拉分题型2 函数性质在解不等式中的应用 复习练习（含答案）高中数学必修1（苏教版2019）

eq \o(\s\up7(),\s\do5(　　拉分题型2　函数性质在解不等式中的应用))
考向一　代入函数解析式结合函数性质解不等式
1. (2024南京期末)在等式ab＝N中，如果只给定a，b，N三个数中的一个数，那么ab＝N就成为另两个数之间的“函数关系”. 如果N为常数10，将a视为自变量x(x>0且x≠1)，则b为x的函数，记为y，那么xy＝10，现将y关于x的函数记为y＝f(x).若f(m2)>f(2m)，则实数m的取值范围是(　　)
A. (0，2)
B. (1，2)
C. (0，1)∪(1，2)
D. ∪(1，2)
2. (2024常州期末)已知f(x)＝ln (－x)＋ax2，g(x)＝a(cos x＋1)，a∈R.
(1) 若f(x)为奇函数，求a的值，并解方程f(tan x)＝－；
(2) 解关于x的不等式f(sin x)＋f≤g(x).
考向二　利用函数性质“脱去”对应法则解不等式
3. (2023扬州新华中学阶段检测)我们知道，函数f(x)的图象关于原点中心对称的充要条件是f(x)为奇函数．该命题可以推广为函数f(x)的图象关于点P(m，n)成中心对称的充要条件是y＝f(x＋m)－n为奇函数．已知函数f(x)＝ln (e为自然对数的底数，约为2.718).
(1) 求函数f(x)的函数值为0的x的值；
(2) 求函数f(x)图象的对称中心；
(3) 写出f(x)的单调区间(无需过程)，求不等式f(4x)＋f(－2x+1－1)>2的解集．
4. (2023如皋期中)已知函数f(x)＝xm－(其中m∈R)，且f(3)＝0.
(1) 判断函数f(x)在区间(0，＋∞)上的单调性，并用函数单调性的定义证明；
(2) 解不等式：f(a2＋1)＋f(－|a|－1)<0.
利用函数的单调性、奇偶性解不等式时，首先要弄清研究哪个函数的性质，其次根据函数的特征选择研究函数性质的方法，如单调性的研究，可以有定义法、结论法(增＋增＝增，减＋减＝减)、复合函数等．
拉分题型2　函数性质在解不等式中的应用
1. D　由xy＝10，得ln xy＝ln 10，则y＝，即f(x)＝.由f(m2)>f(2m)，得>，即或解得0　本题的难点：一是根据题中函数的定义得函数解析式f(x)＝，二是结合不等式的性质和对数的运算性质建立不等式组．
2. (1) f(x)＝ln (－x)＋ax2的定义域为R.
因为f(x)为奇函数，
所以f(－1)＋f(1)＝ln (＋1)＋ln (－1)＋2a＝ln 1＋2a＝0，
解得a＝0，
所以f(x)＝ln (－x).
又f(x)＋f(－x)＝ln (－x)＋ln (＋x)＝ln 1＝0，即f(－x)＝－f(x)，
所以函数f(x)为奇函数，故a＝0满足题意．
又f(tan x)＝－＝－ln ＝ln ，
即ln (－tan x)＝ln ，
解得tan x＝，即x＝＋kπ，k∈Z.
(2) 因为g(x)＝a(cos x＋1)，a∈R，cos ＝－sin x，
所以关于x的不等式f(sin x)＋f(cos (x＋))≤g(x)可转化为2asin 2x≤a(cos x＋1)，a∈R，即a(2－2cos 2x－cos x－1)≤0，则a(cos x＋1)(2cos x－1)≥0.
①当a＝0时，x∈R；
②当a<0时，－1≤cos x≤，
解得＋2kπ≤x≤＋2kπ，k∈Z；
③当a>0时，cos x≥或cos x≤－1，
解得－＋2kπ≤x≤＋2kπ，k∈Z或x＝π＋2kπ，k∈Z.
综上，当a＝0时，原不等式的解集为R；当a<0时，原不等式的解集为{x|＋2kπ≤x≤＋2kπ，k∈Z}；当a>0时，原不等式的解集为{x|－＋2kπ≤x≤＋2kπ或x＝π＋2kπ，k∈Z}．
　有些函数解析式比较简单，或者化简后比较简单的，直接将自变量代入解析式，结合函数性质、不等式的基本性质解不等式．
3. (1) 由题意，得f(x)＝ln ＝0，则＝1，解得x＝.
(2) 设g(x)＝f(x＋m)－n＝ln －n，g(x)为奇函数，函数g(x)的定义域满足>0，解得x>－m或x<－m－1，
所以－m－m－1＝0，解得m＝－，
所以g(x)＝ln －n＝ln ＋1－n.
因为g(x)＋g(－x)＝ln ＋ln ＋2－2n＝2－2n＝0，
所以n＝1，故函数f(x)图象的对称中心为点.
(3) f(x)＝ln ＝1＋ln ，函数定义域满足>0，
即x∈(－∞，－1)∪(0，＋∞).
因为y＝1－在区间(－∞，－1)和区间(0，＋∞)上单调递增，y＝ln x＋1在区间(0，＋∞)上单调递增，
所以f(x)在区间(－∞，－1)和区间(0，＋∞)上单调递增，即f(x)的单调增区间为(－∞，－1)，(0，＋∞).
因为g(x)＝f－1为奇函数，所以f(x)＝g＋1，
则f(4x)＋f(－2x+1－1)>2，
即g＋1＋g＋1>2，
即g>g.
因为g(x)在区间上单调递增，且 4x＋>，2x+1＋>，
所以4x＋>2x+1＋，解得x>1，
即所求不等式的解集为(1，＋∞).
　本题的难点是(3)利用复合函数的单调性确定单调区间，进而脱去对应法则以化简不等式．
4. (1) 函数f(x)在区间(0，＋∞)上单调递增，证明如下：
因为f(3)＝3m－3＝0，所以m＝1，
所以f(x)＝x－.
任取x1，x2∈(0，＋∞)，且x1则f(x1)－f(x2)＝x1－－x2＋＝x1－x2＋＝(x1－x2).
因为x1，x2∈(0，＋∞)，且x1所以x1－x2<0，1＋>0，
所以f(x1)故函数f(x)在区间(0，＋∞)上单调递增．
(2) 因为f(x)＝x－的定义域(－∞，0)∪(0，＋∞)关于原点对称，且f(－x)＋f(x)＝－x＋＋x－＝0，
所以函数f(x)为奇函数，
所以不等式f(a2＋1)＋f(－|a|－1)<0，即f(a2＋1)<－f(－|a|－1)＝f(|a|＋1).
又函数f(x)在区间(0，＋∞)上单调递增，a2＋1>0，|a|＋1>0，
所以a2＋1<|a|＋1，即a2<|a|，则|a|(|a|－1)<0，则0<|a|<1，
所以－1故不等式的解集为(－1，0)∪(0，1).
　若函数解析式比较复杂，一般根据题意研究函数奇偶性，根据奇函数性质转化不等式，再结合单调性解不等式．