拉分题型4 与指数函数、对数函数有关的复合函数的性质 复习练习(含答案)高中数学必修1(苏教版2019)

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名称 拉分题型4 与指数函数、对数函数有关的复合函数的性质 复习练习(含答案)高中数学必修1(苏教版2019)
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资源类型 教案
版本资源 苏教版(2019)
科目 数学
更新时间 2025-08-20 15:36:26

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文档简介

eq \o(\s\up7(),\s\do5(  拉分题型4 与指数函数、对数函数有关的复合函数的性质))
考向一 与指数函数相关的复合函数的性质
1. (2024保定期末)[多选]已知函数f(x)=ax2+a(a>0且a≠1),则下列结论中正确的是(  )
A. f(x)是偶函数
B. f(x)的图象与直线y=1一定没有交点
C. 若f(x)的图象与直线y=a有2个交点,则实数a的取值范围是(0,1)
D. 若f(x)的图象与直线y=a交于A,B两点,则线段AB长度的取值范围是(0,1)
2. (2024无锡期末)已知函数f(x)=是定义在R上的奇函数.
(1) 求实数a,b的值;
(2) 判断并证明函数f(x)的单调性;
(3) 对任意t∈[1,e],关于t的不等式f((ln t)2-ln (et2))+f(k)<0恒成立,求实数k的取值范围.
考向二 与对数函数相关的复合函数的性质
3. (2023扬州新华中学阶段检测)[多选]已知函数f(x)=log2(mx2+2x+m-1),m∈R,则下列说法中正确的是(  )
A. 若函数f(x)的定义域为R,则实数m的取值范围是
B. 若函数f(x)的值域为R,则实数m的取值范围是
C. 若函数f(x)在区间[2,+∞)上单调递增,则实数m的取值范围是[0,+∞)
D. 若m=0,则不等式f(x)<1的解集为
4. (2024连云港期末)已知函数f(x)=log2(4x-a·2x+a+2)(a∈R).
(1) 若a=5,解不等式f(x)>0;
(2) 若函数f(x)在区间[-1,+∞)上的最小值为-1,求实数a的值.
与对数函数有关的复合函数问题的常见题型是定义域、值域和单调性问题. 常用解法:定义域、值域问题常用换元法,单调性问题则分解为若干个简单函数,利用复合函数的单调性法则,结合函数定义域求解.
拉分题型4 与指数函数、对数函数有关的复合函数的性质
1. ABC 因为f(-x)=ax2+a=f(x)(x∈R),所以f(x)是偶函数,故A正确;当a>1时,f(x)在区间(-∞,0]上单调递减,在区间[0,+∞)上单调递增,所以f(x)≥f(0)=aa>a>1,此时f(x)的图象与直线y=1没有交点;当00,解得a<1.又因为a>0且a≠1,所以实数a的取值范围是(0,1),故C正确;由x2=1-a,解得x=±,所以AB=2∈(0,2),故D错误.故选ABC.
 本题的难点是对B选项的处理,讨论a>1和02. (1) 因为函数f(x)=是定义在R上的奇函数,
所以

解得
此时f(x)==.
因为f(x)+f(-x)=+(-1)==0,
所以a=3,b=1符合题意.
(2) 由(1)知,f(x)=,函数f(x)为R上的减函数,证明如下:
任取x1,x2∈R,设x1则f(x1)-f(x2)=-(-1)=×.
因为3x2>3x1>0,所以3x2-3x1>0,3x1+1>0,3x2+1>0,
所以f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2),
所以f(x)是R上的减函数.
(3) 因为f(x)为奇函数,且f((ln t)2-ln (et2))+f(k)<0,所以f((ln t)2-ln (et2))<-f(k)=f(-k).
又f(x)是R上的减函数,
所以(ln t)2-ln (et2)>-k,
所以(ln t)2-2ln t-1>-k对任意t∈[1,e]恒成立.
令u=ln t,由t∈[1,e],得u=ln t∈[0,1],
则g(u)=u2-2u-1,且g(u)的图象开口向上,对称轴为直线u=1,
则g(u)在区间[0,1]上单调递减,
所以g(u)在区间[0,1]上的最小值为g(1)=-2,
则-2>-k,解得k>2,
故实数k的取值范围为(2,+∞).
 与指数函数有关的复合函数问题的常见题型是单调性问题和值域问题,单调性问题常用解法:分解为若干个简单函数,利用复合函数的单调性法则判断复合函数的单调性;值域问题则常用换元法,不要遗忘“新元”的取值范围.
3. AC 对于A,因为f(x)的定义域为R,所以mx2+2x+m-1>0恒成立.当m=0时,2x-1>0,显然不恒成立,故m≠0,所以解得m>,即实数m的取值范围是,故A正确;对于B,因为f(x)的值域为R,所以函数y=mx2+2x+m-1(x∈R)的值域有子集(0,+∞).当m=0时,f(x)=log2(2x-1)的定义域为,值域为R,符合题意;当m≠0时,解得00,综上,m≥0,故C正确;对于D,当m=0时,f(x)=log2(2x-1),由f(x)<1,即log2(2x-1)<1,得0<2x-1<2,解得 本题的难点:一是不能对函数f(x)的定义域为R、值域为R进行等价转化;二是研究对数函数与二次函数的复合函数问题时,遗漏函数的定义域导致变性不等价.
4. (1) 当a=5时,f(x)=log2(4x-5·2x+7).
不等式为log2(4x-5·2x+7)>0,则4x-5·2x+7>1,即4x-5·2x+6>0.
设t=2x>0,不等式化为t2-5t+6>0,
解得03,
故x<1或x>log23,
故不等式的解集为(-∞,1)∪(log23,+∞).
(2) 设g(x)=4x-a·2x+a+2.
由题意,得当x∈[-1,+∞)时,g(x)min=,
设t=2x≥,函数化为h(t)=t2-at+a+2,其图象的对称轴为直线t=.
当≤,即a≤1时,h(t)min=h=+a=,
解得a=-,符合题意;
当>,即a>1时,h(t)min=h=a+2-=,
解得a=2+,a=2-(舍去).
故a的值为-或2+.