广东省佛山市南海区南执高级中学2024-2025学年高二上学期10月阶段性考试数学试题
一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1．（2024高二上·南海月考）某人打靶时，连续射击两次，事件A＝“至少有一次中靶”，B＝“两次都不中靶”，则（ ）
A．A B B．B A C．A∩B＝ D．∩B＝
2．（2024高二上·南海月考）某校高一年级要组建数学、计算机、航空模型三个兴趣小组，某学生只选报其中的2个，则样本点共有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．（2024高二上·南海月考）已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
4．（2024高二上·南海月考）从一箱产品中随机地抽取一件，设事件A=“抽到一等品”，事件B = “抽到二等品”，事件C =“抽到三等品”，且已知 P（A）= 0.65 ，P(B)=0.2 ，P(C)=0.1。则事件“抽到的不是一等品”的概率为（ ）
A．0.65 B．0.35 C．0.3 D．0.005
5．（2024高二上·南海月考）设OABC是四面体，若D为BC的中点，，则（x，y，z）为（ ）
A． B． C． D．
6．（2024高二上·南海月考）设x，，向量，，，且，，（ ）
A． B．3 C．4 D．
7．（2024高二上·南海月考）《列子》中《歧路亡羊》的内容为：杨子之邻亡羊(亡：丢失)，既率其党，又请杨子之竖(竖：书童)追之.杨子曰：“嘻!亡一羊，何追者之众？”邻人曰：“多歧路(歧路：岔路口).”既反，问：“获羊乎？”曰：“亡之矣”﹒曰：“奚亡之？”曰：“歧路之中又有歧焉，吾不知所之，所以反也.”这是一篇古人杨子的邻居寻羊的故事，寓意深刻，假定所有分岔口都有两条新的歧路，且歧路等距离出现，丢失的这只羊在每个分岔口走两条新歧路的可能性是相等的，当羊走过5个岔路口后，杨子的邻人动员了7个人去找羊，则找到羊的可能性为（ ）
A． B． C． D．
8．（2024高二上·南海月考）如图，在菱形ABCD中，，线段AD，BD的中点分别为E，F．现将沿对角线BD翻折，则异面直线BE与CF所成角的取值范围（ ）.
A． B． C． D．
二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分.）
9．（2024高二上·南海月考）概率是对随机事件发生可能性大小的度量，通过试验和观察的方法可以得到试验中某事件发生的频率，进而用频率得到某事件的概率的估计．利用计算机模拟掷两枚硬币的试验，在重复试验次数为20，100，500时各做5组试验，得到事件“一个正面朝上，一个反面朝上”．发生的频数和频率表如下：
序号
频数 频率 频数 频率 频数 频率
1 12 0.6 56 0.56 261 0.522
2 9 0.45 50 0.55 241 0.482
3 13 0.65 48 0.48 250 0.5
4 7 0.35 55 0.55 258 0.516
5 12 0.6 52 0.52 253 0.506
用折线图表示频率的波动情况如下图所示：
根据以上信息，下面说法正确的有（ ）
A．试验次数相同时，频率可能不同，说明随机事件发生的频率具有随机性；
B．试验次数较小时，频率波动较大；试验次数较大时，频率波动较小；所以试验时，试验次数越少越好；
C．随机事件发生的频率会随着试验次数增加而逐渐稳定在一个固定值（即随机事件发生的概率）附近；
D．我们要得到某事件发生的概率时，只需要做一次随机试验得到事件发生的频率即为概率．
10．（2024高二上·南海月考）某社团开展“建党100周年主题活动——学党史知识竞赛”，甲、乙两人能得满分的概率分别为，，两人能否获得满分相互独立，则下列说法错误的是：（ ）
A．两人均获得满分的概率为
B．两人至少一人获得满分的概率为
C．两人恰好只有甲获得满分的概率为
D．两人至多一人获得满分的概率为
11．（2024高二上·南海月考）如图所示，在棱长为2的正方体中，，分别为棱，的中点，则下列结论正确的是（ ）
A．直线与是平行直线
B．直线与所成的角为
C．直线与平面所成的角为
D．平面截正方体所得的截面面积为
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.）
12．（2024高二上·南海月考）已知随机事件 ， 互斥，且 ， ，则 .
13．（2024高二上·南海月考）已知P和不共线三点A，B，C，四点共面且对于空间任意一点O，都有 ，则λ＝ .
14．（2024高二上·南海月考）已知，则函数在区间(1，+∞)上为增函数的概率为 .
四、解答题（本题共6小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
15．（2024高二上·南海月考）已知袋子内装有大小质地完全相同的小球，其中2个红球，m个黄球，1个白球，若从中随机抽取一个小球，抽到每个小球的概率为.
（1）求m的值；
（2）若从中不放回地随机取出两个小球，求只有一个黄球的概率.
16．（2024高二上·南海月考）（本题要求必须使用向量法）如图在边长是2的正方体中，，分别为，的中点.
（1）求直线与直线所成角的大小.
（2）求证：平面.
17．（2024高二上·南海月考）成都市海关对同时从，，三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测，从各地区进口此种商品的数量（单位：件）如表所示.工作人员用分层抽样的方法从这些商品中共抽取5件样品进行检测.
地区
数量 50 50 150
（1）求这5件样品中来自，，各地区商品的数量；
（2）若在这5件样品中随机抽取3件送往甲机构进行进一步检测，求这3件商品并非全选自同一地区的概率.
18．（2024高二上·南海月考）如图，四棱锥中，底面，，，，，是的中点.
（1）求证：；
（2）求证：平面；
（3）求点到平面的距离.
19．（2024高二上·南海月考）在底面是菱形的四棱锥中，已知，，过作侧面的垂线，垂足恰为棱的中点.
（1）求平面与平面夹角的余弦值
（2）在棱上是否存在一点，使得平面，若存在求的长；若不存在，说明理由.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；事件的包含与相等
【解析】【解答】解： 某人打靶时，用1表示射中，0表示未射中，
则连续两次射击包含的基本事件为：，
事件，事件，
则.
故答案为：C.
【分析】利用列举法表示 连续射击两次 包含的基本事件以及事件A，B包含的基本事件，再判断事件A，B的关系即可.
2．【答案】C
【知识点】样本点与有限样本空间
【解析】【解答】解：由题可知：该生选报的所有可能情况：数学和计算机、数学和航空模型、
计算机和航空模型，则样本点有3个.
故答案为：C.
【分析】由题意，列举求样本点个数即可.
3．【答案】C
【知识点】空间向量的线性运算的坐标表示
【解析】【解答】解：，，，则.
故答案为：C.
【分析】根据向量坐标运算求解即可.
4．【答案】B
【知识点】概率的基本性质；互斥事件与对立事件
【解析】【解答】解：由题得事件“抽到的不是一等品”的概率为P=1-0.65=0.35.
故答案为：B
【分析】本题利用对立事件的概率求解公式求出事件“抽到的不是一等品”的概率。
5．【答案】B
【知识点】空间向量基本定理；空间向量的加减法；空间向量的数乘运算
【解析】【解答】解：如图所示：
，
因为，所以.
故答案为：B.
【分析】根据空间向量加减法与数乘运算求解即可.
6．【答案】B
【知识点】空间向量的线性运算的坐标表示；空间向量的数量积运算的坐标表示
【解析】【解答】解： 向量，，，
，则，解得，即，
，则，解得，即，
则，.
故答案为：B.
【分析】根据向量垂直、平行的坐标表示求得，再求的坐标，代根据向量模的坐标表示求值即可.
7．【答案】A
【知识点】概率的应用
【解析】【解答】当到第n个分岔口时，共有 条歧路，当羊走过n个分岔口后，找到羊的概率为 ，
当 时，每个人找到羊的概率为 ，故派出7个人去找羊，找到羊的概率为 。
故答案为：A.
【分析】利用已知条件结合概率的应用，从而求出找到羊的可能性。
8．【答案】C
【知识点】空间向量的加减法；空间向量的数量积运算
【解析】【解答】解：设菱形的边长为1，易知，，
因为分别为线段的中点，
所以，，
则
，
即；
由图可知：，则，
即；
又因为异面直线夹角范围是，所以异面直线BE与CF所成角的取值范围是．
故答案为：C．
【分析】设菱形的边长为1，求得，，根据向量加法的四边形法则可得，，再求，得，由图可知可结合异面直线夹角范围求解即可．
9．【答案】A,C
【知识点】频率的稳定性；用频率估计概率
【解析】【解答】解：A、试验次数相同时，频率可能不同，说明随机事件发生的频率具有随机性，故A正确；
B、由图可知：试验次数较小时，频率波动较大、试验次数较大时，频率波动较小，则试验时，试验次数越多越好，故B错误；
CD、随机事件发生的频率会随着试验次数增加而逐渐稳定在一个固定值（即随机事件发生的概率）附近，故C正确、D错误.
故答案为：AC.
【分析】根据频率、概率的定义判断即可.
10．【答案】B,C,D
【知识点】互斥事件与对立事件；相互独立事件；相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【解答】解：记甲、乙得满分的事件分别为，则，且事件独立，
A、两人均获得满分的概率为：，故A正确；
B、两人至少一人获得满分的概率为：
，
故B错误；
C、两人恰好只有甲获得满分的概率为：
，故C错误；
D、两人至多一人获得满分的概率为：，故D错误.
故答案为：BCD.
【分析】记甲、乙得满分的事件分别为，则，且事件独立，利用独立事件的概率公式和对立事件概率公式计算即可.
11．【答案】B,C,D
【知识点】平面的基本性质及推论；用空间向量研究直线与直线的位置关系；用空间向量求直线间的夹角、距离；用空间向量研究直线与平面所成的角
【解析】【解答】解：以为原点，建立空间直角坐标系，如图所示：
则，，，，，，，
，
A、易知，，和不共线，故A错误；
B、，，，，
则直线与所成的角为，故B正确．
C、由于平面的一个法向量为，
，则，
即直线与平面所成的角为，故C正确；
D、连接，如图所示：
易知，则平面截正方体所得的截面为等腰梯形，
，，，
则等腰梯形的高为，
，故D正确.
故答案为：BCD．
【分析】以为原点，建立空间直角坐标系，利用空间向量法求解即可判断ABC；连接，作出平面截正方体所得的截面等腰梯形，计算其面积即可判断D.
12．【答案】0.5
【知识点】互斥事件的概率加法公式
【解析】【解答】 随机事件 ， 互斥，
，
.
故答案为：0.5.
【分析】 利用互斥事件概率加法公式直接求解．
13．【答案】－2
【知识点】平面向量的基本定理
【解析】【解答】由四点共面的充分必要条件可得：，解得：.
故答案为：-2．
【分析】由题意结合四点共面的充分必要条件整理计算即可求得最终结果.
14．【答案】
【知识点】古典概型及其概率计算公式；列举法计算基本事件数及事件发生的概率
【解析】【解答】解：用表示的取值，则基本事件总数，
若函数在区间上为增函数，
当时，，符合条件的只有，即；
当时，要使函数在上为增函数，则，
符合条件的有，共4种，
综上，函数在区间上为增函数的概率为.
故答案为：.
【分析】由用表示的取值，先计算基本事件总数，再分和讨论函数区间上为增函数包含的基本事件个数，结合古典概型概率公式求解即可.
15．【答案】解：（1） 若从中随机抽取一个小球，抽到每个小球的概率为 ，则，解得；
（2）记两个红球分别为，，两个黄球分别为，，一个白球为，
从中不放回地随机抽取两个小球的所有情况为：，，，，，，，，，，共10种情况，
则只有一个黄球的概率为.
【知识点】古典概型及其概率计算公式
【解析】【分析】（1）由题意可得，据此计算即可；
（2）记两个红球分别为，，两个黄球分别为，，一个白球为，利用列举法结合古典概型概率公式求解即可.
16．【答案】（1）解：以为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示：
，
则，
即直线与直线所成角的大小为；
（2）证明：由（1）的空间直角坐标系可得：，
，即⊥，
，即⊥，
因为，平面，所以平面.
【知识点】用空间向量研究直线与平面的位置关系；用空间向量求直线间的夹角、距离
【解析】【分析】（1）以为坐标原点，建立空间直角坐标系，写出相应点的坐标，利用空间向量法求两直线夹角即可；
（2）由（1）空间直角坐标系，写出相应点的坐标，再计算得，即⊥，⊥，从而证明线面垂直即可.
（1）以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，
，
则，
故直线与直线所成角的大小为；
（2），
，故⊥，
，故⊥，
因为，平面，
所以平面.
17．【答案】（1）解：易知，，地区商品总数量为件，抽样比为，
则地区抽取的样品数量为件；
地区抽取的样品数量为件；
地区抽取的样品数量为件；
即这5件样品中来自地区商品的数量为件，地区商品的数量为件，地区商品的数量为件；
（2）解：抽取的5 件商品分别记为，
从 5 件商品中选 3 件有：，共 10 种，其中3件全选自 同一地区的只有 1 种，
则3 件商品并非全选自同一地区的组合有 9 种，概率为.
【知识点】分层抽样方法；古典概型及其概率计算公式
【解析】【分析】（1）先求，，地区商品总数量，再计算抽样比，利用抽样比求出各地区抽取的样品数量即可；
（2）抽取的5 件商品分别记为，利用列举法，结合古典概型概率公式求解即可.
（1）总体数量为件.
因为要抽取件样品，所以抽样比为.
地区抽取的样品数量为件.
地区抽取的样品数量为件.
地区抽取的样品数量为件.
因此这5件样品中来自地区商品的数量为件，地区商品的数量为件，地区商品的数量为件.
（2）5 件商品分别记为.
那么从 5 件商品中选 3 件的所有组合有：
一共 10 种.
其中3件全选自 C 地区的只有这 1 种.
所以 3 件商品并非全选自同一地区的组合有 9 种，概率就是.
所以这3件商品并非全选自同一地区的概率为.
18．【答案】（1）证明： 四棱锥中，底面，平面，
则，，，即两两互相垂直，
以为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示：
易知，，，，，，，，
，则；
（2）证明：由（1）可得，
设向量是平面的法向量，
则，即，取，则，
易知，则，故平面；
（3）解：由（2）可知：平面的法向量，，
设C点到平面ABE的距离为，则.
【知识点】空间向量的夹角与距离求解公式；用空间向量研究直线与直线的位置关系；用空间向量研究直线与平面的位置关系
【解析】【分析】（1）由题意可得：两两互相垂直，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，求得，，计算得到，即可证明；
（2）由（1）可得坐标，再求出平面的法向量，验证∥，即可证明平面；
（3）利用空间向量中点到面的距离公式求解即可.
（1）因为底面， AB，平面ABCD，所以，，
又
故以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，，所以，，
所以，所以．
（2）由（1），得．
设向量是平面的法向量，则，即，
取，则，所以，所以，
所以平面．
（3）（3）由（2）可知平面ABE的法向量，，
设C点到平面ABE的距离为d，则.
19．【答案】（1）解：连接，因为，为的中点，所以，
又因为面，面，所以两两垂直，
且，，，
以为原点，建立空间直角坐标系，如图所示：
，因为，所以，
，
易知平面的法向量为，
设平面的法向量为，则，即，
取，则，
则，即平面与平面夹角的余弦值为.
（2）解：连接，因为，为的中点，所以，
又因为面，面，所以，
又因为平面，所以平面，
过作于，则，
因为平面，所以，
又因为平面，所以平面，
在中，， ，
因为，所以，
则．
【知识点】直线与平面垂直的判定；用空间向量研究直线与平面的位置关系；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）连接，由题意可得两两垂直，以为原点，建立空间直角坐标系，分别求出平面和平面的法向量，利用空间向量的二面角公式计算即可；
（2）连接，利用线面垂直的判定定理证明平面，过作于，证明平面，根据三角形中的关系求解的长即可.
（1）连接，由可得，
又面，面，所以两两垂直，
，，
所以以为原点，建立如图所示空间直角坐标系，
则，
因为，所以，
，设平面的法向量为，
则，即，取，则，
取平面的法向量为，
所以，
即平面与平面夹角的余弦值为.
（2）连接AO，，O是BS的中点，，
面ABS，面ABS，，
又平面AOD，平面AOD，
过O作于E，则，
平面AOD，，
又平面SBC，面SBC，
在中，， ，
∵，∴，
∴．
1 / 1广东省佛山市南海区南执高级中学2024-2025学年高二上学期10月阶段性考试数学试题
一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1．（2024高二上·南海月考）某人打靶时，连续射击两次，事件A＝“至少有一次中靶”，B＝“两次都不中靶”，则（ ）
A．A B B．B A C．A∩B＝ D．∩B＝
【答案】C
【知识点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；事件的包含与相等
【解析】【解答】解： 某人打靶时，用1表示射中，0表示未射中，
则连续两次射击包含的基本事件为：，
事件，事件，
则.
故答案为：C.
【分析】利用列举法表示 连续射击两次 包含的基本事件以及事件A，B包含的基本事件，再判断事件A，B的关系即可.
2．（2024高二上·南海月考）某校高一年级要组建数学、计算机、航空模型三个兴趣小组，某学生只选报其中的2个，则样本点共有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【知识点】样本点与有限样本空间
【解析】【解答】解：由题可知：该生选报的所有可能情况：数学和计算机、数学和航空模型、
计算机和航空模型，则样本点有3个.
故答案为：C.
【分析】由题意，列举求样本点个数即可.
3．（2024高二上·南海月考）已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】空间向量的线性运算的坐标表示
【解析】【解答】解：，，，则.
故答案为：C.
【分析】根据向量坐标运算求解即可.
4．（2024高二上·南海月考）从一箱产品中随机地抽取一件，设事件A=“抽到一等品”，事件B = “抽到二等品”，事件C =“抽到三等品”，且已知 P（A）= 0.65 ，P(B)=0.2 ，P(C)=0.1。则事件“抽到的不是一等品”的概率为（ ）
A．0.65 B．0.35 C．0.3 D．0.005
【答案】B
【知识点】概率的基本性质；互斥事件与对立事件
【解析】【解答】解：由题得事件“抽到的不是一等品”的概率为P=1-0.65=0.35.
故答案为：B
【分析】本题利用对立事件的概率求解公式求出事件“抽到的不是一等品”的概率。
5．（2024高二上·南海月考）设OABC是四面体，若D为BC的中点，，则（x，y，z）为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】空间向量基本定理；空间向量的加减法；空间向量的数乘运算
【解析】【解答】解：如图所示：
，
因为，所以.
故答案为：B.
【分析】根据空间向量加减法与数乘运算求解即可.
6．（2024高二上·南海月考）设x，，向量，，，且，，（ ）
A． B．3 C．4 D．
【答案】B
【知识点】空间向量的线性运算的坐标表示；空间向量的数量积运算的坐标表示
【解析】【解答】解： 向量，，，
，则，解得，即，
，则，解得，即，
则，.
故答案为：B.
【分析】根据向量垂直、平行的坐标表示求得，再求的坐标，代根据向量模的坐标表示求值即可.
7．（2024高二上·南海月考）《列子》中《歧路亡羊》的内容为：杨子之邻亡羊(亡：丢失)，既率其党，又请杨子之竖(竖：书童)追之.杨子曰：“嘻!亡一羊，何追者之众？”邻人曰：“多歧路(歧路：岔路口).”既反，问：“获羊乎？”曰：“亡之矣”﹒曰：“奚亡之？”曰：“歧路之中又有歧焉，吾不知所之，所以反也.”这是一篇古人杨子的邻居寻羊的故事，寓意深刻，假定所有分岔口都有两条新的歧路，且歧路等距离出现，丢失的这只羊在每个分岔口走两条新歧路的可能性是相等的，当羊走过5个岔路口后，杨子的邻人动员了7个人去找羊，则找到羊的可能性为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】概率的应用
【解析】【解答】当到第n个分岔口时，共有 条歧路，当羊走过n个分岔口后，找到羊的概率为 ，
当 时，每个人找到羊的概率为 ，故派出7个人去找羊，找到羊的概率为 。
故答案为：A.
【分析】利用已知条件结合概率的应用，从而求出找到羊的可能性。
8．（2024高二上·南海月考）如图，在菱形ABCD中，，线段AD，BD的中点分别为E，F．现将沿对角线BD翻折，则异面直线BE与CF所成角的取值范围（ ）.
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】空间向量的加减法；空间向量的数量积运算
【解析】【解答】解：设菱形的边长为1，易知，，
因为分别为线段的中点，
所以，，
则
，
即；
由图可知：，则，
即；
又因为异面直线夹角范围是，所以异面直线BE与CF所成角的取值范围是．
故答案为：C．
【分析】设菱形的边长为1，求得，，根据向量加法的四边形法则可得，，再求，得，由图可知可结合异面直线夹角范围求解即可．
二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分.）
9．（2024高二上·南海月考）概率是对随机事件发生可能性大小的度量，通过试验和观察的方法可以得到试验中某事件发生的频率，进而用频率得到某事件的概率的估计．利用计算机模拟掷两枚硬币的试验，在重复试验次数为20，100，500时各做5组试验，得到事件“一个正面朝上，一个反面朝上”．发生的频数和频率表如下：
序号
频数 频率 频数 频率 频数 频率
1 12 0.6 56 0.56 261 0.522
2 9 0.45 50 0.55 241 0.482
3 13 0.65 48 0.48 250 0.5
4 7 0.35 55 0.55 258 0.516
5 12 0.6 52 0.52 253 0.506
用折线图表示频率的波动情况如下图所示：
根据以上信息，下面说法正确的有（ ）
A．试验次数相同时，频率可能不同，说明随机事件发生的频率具有随机性；
B．试验次数较小时，频率波动较大；试验次数较大时，频率波动较小；所以试验时，试验次数越少越好；
C．随机事件发生的频率会随着试验次数增加而逐渐稳定在一个固定值（即随机事件发生的概率）附近；
D．我们要得到某事件发生的概率时，只需要做一次随机试验得到事件发生的频率即为概率．
【答案】A,C
【知识点】频率的稳定性；用频率估计概率
【解析】【解答】解：A、试验次数相同时，频率可能不同，说明随机事件发生的频率具有随机性，故A正确；
B、由图可知：试验次数较小时，频率波动较大、试验次数较大时，频率波动较小，则试验时，试验次数越多越好，故B错误；
CD、随机事件发生的频率会随着试验次数增加而逐渐稳定在一个固定值（即随机事件发生的概率）附近，故C正确、D错误.
故答案为：AC.
【分析】根据频率、概率的定义判断即可.
10．（2024高二上·南海月考）某社团开展“建党100周年主题活动——学党史知识竞赛”，甲、乙两人能得满分的概率分别为，，两人能否获得满分相互独立，则下列说法错误的是：（ ）
A．两人均获得满分的概率为
B．两人至少一人获得满分的概率为
C．两人恰好只有甲获得满分的概率为
D．两人至多一人获得满分的概率为
【答案】B,C,D
【知识点】互斥事件与对立事件；相互独立事件；相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【解答】解：记甲、乙得满分的事件分别为，则，且事件独立，
A、两人均获得满分的概率为：，故A正确；
B、两人至少一人获得满分的概率为：
，
故B错误；
C、两人恰好只有甲获得满分的概率为：
，故C错误；
D、两人至多一人获得满分的概率为：，故D错误.
故答案为：BCD.
【分析】记甲、乙得满分的事件分别为，则，且事件独立，利用独立事件的概率公式和对立事件概率公式计算即可.
11．（2024高二上·南海月考）如图所示，在棱长为2的正方体中，，分别为棱，的中点，则下列结论正确的是（ ）
A．直线与是平行直线
B．直线与所成的角为
C．直线与平面所成的角为
D．平面截正方体所得的截面面积为
【答案】B,C,D
【知识点】平面的基本性质及推论；用空间向量研究直线与直线的位置关系；用空间向量求直线间的夹角、距离；用空间向量研究直线与平面所成的角
【解析】【解答】解：以为原点，建立空间直角坐标系，如图所示：
则，，，，，，，
，
A、易知，，和不共线，故A错误；
B、，，，，
则直线与所成的角为，故B正确．
C、由于平面的一个法向量为，
，则，
即直线与平面所成的角为，故C正确；
D、连接，如图所示：
易知，则平面截正方体所得的截面为等腰梯形，
，，，
则等腰梯形的高为，
，故D正确.
故答案为：BCD．
【分析】以为原点，建立空间直角坐标系，利用空间向量法求解即可判断ABC；连接，作出平面截正方体所得的截面等腰梯形，计算其面积即可判断D.
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.）
12．（2024高二上·南海月考）已知随机事件 ， 互斥，且 ， ，则 .
【答案】0.5
【知识点】互斥事件的概率加法公式
【解析】【解答】 随机事件 ， 互斥，
，
.
故答案为：0.5.
【分析】 利用互斥事件概率加法公式直接求解．
13．（2024高二上·南海月考）已知P和不共线三点A，B，C，四点共面且对于空间任意一点O，都有 ，则λ＝ .
【答案】－2
【知识点】平面向量的基本定理
【解析】【解答】由四点共面的充分必要条件可得：，解得：.
故答案为：-2．
【分析】由题意结合四点共面的充分必要条件整理计算即可求得最终结果.
14．（2024高二上·南海月考）已知，则函数在区间(1，+∞)上为增函数的概率为 .
【答案】
【知识点】古典概型及其概率计算公式；列举法计算基本事件数及事件发生的概率
【解析】【解答】解：用表示的取值，则基本事件总数，
若函数在区间上为增函数，
当时，，符合条件的只有，即；
当时，要使函数在上为增函数，则，
符合条件的有，共4种，
综上，函数在区间上为增函数的概率为.
故答案为：.
【分析】由用表示的取值，先计算基本事件总数，再分和讨论函数区间上为增函数包含的基本事件个数，结合古典概型概率公式求解即可.
四、解答题（本题共6小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
15．（2024高二上·南海月考）已知袋子内装有大小质地完全相同的小球，其中2个红球，m个黄球，1个白球，若从中随机抽取一个小球，抽到每个小球的概率为.
（1）求m的值；
（2）若从中不放回地随机取出两个小球，求只有一个黄球的概率.
【答案】解：（1） 若从中随机抽取一个小球，抽到每个小球的概率为 ，则，解得；
（2）记两个红球分别为，，两个黄球分别为，，一个白球为，
从中不放回地随机抽取两个小球的所有情况为：，，，，，，，，，，共10种情况，
则只有一个黄球的概率为.
【知识点】古典概型及其概率计算公式
【解析】【分析】（1）由题意可得，据此计算即可；
（2）记两个红球分别为，，两个黄球分别为，，一个白球为，利用列举法结合古典概型概率公式求解即可.
16．（2024高二上·南海月考）（本题要求必须使用向量法）如图在边长是2的正方体中，，分别为，的中点.
（1）求直线与直线所成角的大小.
（2）求证：平面.
【答案】（1）解：以为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示：
，
则，
即直线与直线所成角的大小为；
（2）证明：由（1）的空间直角坐标系可得：，
，即⊥，
，即⊥，
因为，平面，所以平面.
【知识点】用空间向量研究直线与平面的位置关系；用空间向量求直线间的夹角、距离
【解析】【分析】（1）以为坐标原点，建立空间直角坐标系，写出相应点的坐标，利用空间向量法求两直线夹角即可；
（2）由（1）空间直角坐标系，写出相应点的坐标，再计算得，即⊥，⊥，从而证明线面垂直即可.
（1）以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，
，
则，
故直线与直线所成角的大小为；
（2），
，故⊥，
，故⊥，
因为，平面，
所以平面.
17．（2024高二上·南海月考）成都市海关对同时从，，三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测，从各地区进口此种商品的数量（单位：件）如表所示.工作人员用分层抽样的方法从这些商品中共抽取5件样品进行检测.
地区
数量 50 50 150
（1）求这5件样品中来自，，各地区商品的数量；
（2）若在这5件样品中随机抽取3件送往甲机构进行进一步检测，求这3件商品并非全选自同一地区的概率.
【答案】（1）解：易知，，地区商品总数量为件，抽样比为，
则地区抽取的样品数量为件；
地区抽取的样品数量为件；
地区抽取的样品数量为件；
即这5件样品中来自地区商品的数量为件，地区商品的数量为件，地区商品的数量为件；
（2）解：抽取的5 件商品分别记为，
从 5 件商品中选 3 件有：，共 10 种，其中3件全选自 同一地区的只有 1 种，
则3 件商品并非全选自同一地区的组合有 9 种，概率为.
【知识点】分层抽样方法；古典概型及其概率计算公式
【解析】【分析】（1）先求，，地区商品总数量，再计算抽样比，利用抽样比求出各地区抽取的样品数量即可；
（2）抽取的5 件商品分别记为，利用列举法，结合古典概型概率公式求解即可.
（1）总体数量为件.
因为要抽取件样品，所以抽样比为.
地区抽取的样品数量为件.
地区抽取的样品数量为件.
地区抽取的样品数量为件.
因此这5件样品中来自地区商品的数量为件，地区商品的数量为件，地区商品的数量为件.
（2）5 件商品分别记为.
那么从 5 件商品中选 3 件的所有组合有：
一共 10 种.
其中3件全选自 C 地区的只有这 1 种.
所以 3 件商品并非全选自同一地区的组合有 9 种，概率就是.
所以这3件商品并非全选自同一地区的概率为.
18．（2024高二上·南海月考）如图，四棱锥中，底面，，，，，是的中点.
（1）求证：；
（2）求证：平面；
（3）求点到平面的距离.
【答案】（1）证明： 四棱锥中，底面，平面，
则，，，即两两互相垂直，
以为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示：
易知，，，，，，，，
，则；
（2）证明：由（1）可得，
设向量是平面的法向量，
则，即，取，则，
易知，则，故平面；
（3）解：由（2）可知：平面的法向量，，
设C点到平面ABE的距离为，则.
【知识点】空间向量的夹角与距离求解公式；用空间向量研究直线与直线的位置关系；用空间向量研究直线与平面的位置关系
【解析】【分析】（1）由题意可得：两两互相垂直，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，求得，，计算得到，即可证明；
（2）由（1）可得坐标，再求出平面的法向量，验证∥，即可证明平面；
（3）利用空间向量中点到面的距离公式求解即可.
（1）因为底面， AB，平面ABCD，所以，，
又
故以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，，所以，，
所以，所以．
（2）由（1），得．
设向量是平面的法向量，则，即，
取，则，所以，所以，
所以平面．
（3）（3）由（2）可知平面ABE的法向量，，
设C点到平面ABE的距离为d，则.
19．（2024高二上·南海月考）在底面是菱形的四棱锥中，已知，，过作侧面的垂线，垂足恰为棱的中点.
（1）求平面与平面夹角的余弦值
（2）在棱上是否存在一点，使得平面，若存在求的长；若不存在，说明理由.
【答案】（1）解：连接，因为，为的中点，所以，
又因为面，面，所以两两垂直，
且，，，
以为原点，建立空间直角坐标系，如图所示：
，因为，所以，
，
易知平面的法向量为，
设平面的法向量为，则，即，
取，则，
则，即平面与平面夹角的余弦值为.
（2）解：连接，因为，为的中点，所以，
又因为面，面，所以，
又因为平面，所以平面，
过作于，则，
因为平面，所以，
又因为平面，所以平面，
在中，， ，
因为，所以，
则．
【知识点】直线与平面垂直的判定；用空间向量研究直线与平面的位置关系；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）连接，由题意可得两两垂直，以为原点，建立空间直角坐标系，分别求出平面和平面的法向量，利用空间向量的二面角公式计算即可；
（2）连接，利用线面垂直的判定定理证明平面，过作于，证明平面，根据三角形中的关系求解的长即可.
（1）连接，由可得，
又面，面，所以两两垂直，
，，
所以以为原点，建立如图所示空间直角坐标系，
则，
因为，所以，
，设平面的法向量为，
则，即，取，则，
取平面的法向量为，
所以，
即平面与平面夹角的余弦值为.
（2）连接AO，，O是BS的中点，，
面ABS，面ABS，，
又平面AOD，平面AOD，
过O作于E，则，
平面AOD，，
又平面SBC，面SBC，
在中，， ，
∵，∴，
∴．
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