北师大版八年级数学上册全册同步课时教学设计
文档属性
| 名称 | 北师大版八年级数学上册全册同步课时教学设计 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 2.6MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 北师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-08-22 05:31:56 | ||
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文档简介
北师大版八年级数学上册同步课时教学设计
目录
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第一章 勾股定理1
1 探索勾股定理2
第1课时 探索勾股定理2
第2课时 验证勾股定理及其简单应用4
2 一定是直角三角形吗6
3 勾股定理的应用8
☆问题解决策略:反思10
第二章 实数12
1 认识实数13
第1课时 无限不循环小数13
第2课时 实数15
2 平方根与立方根17
第1课时 算术平方根17
第2课时 平方根19
第3课时 立方根21
第4课时 估算23
3 二次根式25
第1课时 二次根式与二次根式的乘除
运算25
第2课时 最简二次根式与二次根式的
加减运算27
第3课时 二次根式的混合运算29
第三章 位置与坐标31
1 确定位置32
2 平面直角坐标系34
第1课时 平面直角坐标系的有关概念34
第2课时 平面直角坐标系中点的坐标特征36
第3课时 建立适当的平面直角坐标系
描述图形的位置38
3 轴对称与坐标变化40
第四章 一次函数42
1 函数43
2 认识一次函数45
第1课时“均匀”变化的量45
第2课时 一次函数与正比例函数的
概念47
第3课时 借助一次函数表达式解决实际问题49
3 一次函数的图象51
第1课时 正比例函数的图象与性质51
第2课时 一次函数的图象与性质53
4 一次函数的应用55
第1课时 确定一次函数的表达式55
第2课时 借助单个一次函数图象解决
实际问题57
第3课时 借助两个一次函数图象解决
实际问题59
第五章 二元一次方程组61
1 认识二元一次方程组62
2 二元一次方程组的解法64
第1课时 代入消元法64
第2课时 加减消元法66
3 二元一次方程组的应用68
第1课时 和差倍分问题68
第2课时 借助表格解决实际问题70第3课时 借助图形、图示解决实际 问题72
4 二元一次方程与一次函数74
第1课时 二元一次方程与一次函数的关系74
第2课时 用二元一次方程组确定一次函数表达式76
*5 三元一次方程组78
☆问题解决策略:逐步确定80
第六章 数据的分析82
1 平均数与方差83
第1课时 平均数与众数83
第2课时 加权平均数86
第3课时 方差88
第4课时 组内离差平方和90
2 中位数与箱线图93
第1课时 中位数93
第2课时 箱线图95
3 哪个团队收益大98
第七章 证明100
1 为什么要证明101
2 认识证明103
第1课时 定义与命题103
第2课时 定理与证明105
3 平行线的证明107
第1课时 平行线的判定107
第2课时 平行线的性质109
第一章 勾股定理
1.在具体现实情境中,学会从几何的角度发现问题和提出问题。
2.经历用几何直观和逻辑推理分析问题和解决问题的过程,培养应用意识和创新意识。
3.经历从不同角度观察立体图形的过程,知道简单立体图形的侧面展开图,发展几何直观和空间观念。
4.探索勾股定理及其逆定理,并能运用它们解决一些简单的实际问题。
勾股定理是数学中非常重要的一个定理,它在几何领域起着基石的作用。从初中数学知识体系来看,它连接了三角形的边长关系与直角三角形的特殊性质,为后续学习三角函数、解直角三角形等内容奠定基础。同时,在实际生活中的测量、建筑设计、工程计算等诸多领域都有广泛应用,体现了数学与生活的紧密联系,凸显了数学的实用性。本章设计了以下3节内容:第1节“探索勾股定理”,验证并应用勾股定理;第2节“一定是直角三角形吗”,探索勾股定理的逆定理;第3节“勾股定理的应用”,在实际应用中巩固勾股定理及其逆定理。在每节的编写中,按照“问题情境—建立模型—解释、应用与拓展”的模式展开,首先通过具体问题情境引入研究的必要性,接着设计探究活动获得有关结论,然后运用探究得到的结论解决具体问题。
1.经历勾股定理及其逆定理的探索过程,了解勾股定理的各种探究方法及其内在联系,进一步发展空间观念和推理能力。
2.掌握勾股定理及其逆定理,并能运用它们解决一些简单的实际问题。
3.通过实例了解勾股定理的历史与应用,体会勾股定理的文化价值。
重点:掌握勾股定理及其逆定理,理解勾股定理的面积验证。
难点:应用勾股定理及其逆定理解决实际问题。
1 探索勾股定理
第1课时 探索勾股定理
课标摘录 1.在具体现实情境中,学会从几何的角度发现问题和提出问题。 2.探索勾股定理,并能运用它们解决一些简单的实际问题。
素养目标 1.通过测量和数格子的方法,理解勾股定理反映的直角三角形的三边之间的数量关系,增强应用意识。 2.通过对勾股定理的理解,会初步运用勾股定理进行简单的计算,体会数形结合和由特殊到一般的思想方法。
教学重难点 重点:掌握勾股定理,并能用它解决一些简单的实际问题。 难点:勾股定理的探索过程。
教学策略 针对八年级学生的知识结构和心理特征,教师应立足于学生已有的生活经验和操作经验创造适当的问题情境,呈现出勾股定理的探索过程,对于可能出现的情况有一定的预见能力,发挥引导作用。
情境导入 图11 如图11所示,从电线杆离地面8 m处向地面拉一条钢索,如果这条钢索在地面的固定点距离电线杆底部6 m,那么需要多长的钢索 在直角三角形中,任意两条边确定了,另外一条边也就随之确定,三边之间存在着一种特定的数量关系。事实上,古人发现,直角三角形的三条边长度的平方存在一种特殊的关系。让我们一起去探索吧!
新知初探 探究一 勾股定理的初步认识 活动1:思考·交流 (1)在纸上画若干个直角三角形,分别测量它们的三条边,看看三条边长度的平方之间有怎样的关系。(与同伴交流) (2)如图所示,方格纸中每个小方格的边长为1,直角三角形三条边长度的平方分别是多少,它们满足上面所猜想的数量关系吗 你是如何计算的 与同伴交流。 学生活动:借助方格纸数正方形的面积进行验证。 可能存在的问题:正方形C的面积不能通过直接数得到,教师可通过课件展示,进行引导。学生可能用到的方法不同,教师给予肯定。 可能用到的求正方形C的面积的不同方法: 发现结论:以等腰直角三角形两直角边为边长的小正方形的面积的和,等于以斜边为边长的正方形的面积。
教师追问:一般的直角三角形是否也具有该性质呢 观察:
填表:
项目A的面积(单位面积)B的面积(单位面积)C的面积(单位面积)左图右图
分析:根据表中数据,你发现了什么 (3)如果直角三角形的两直角边的长度分别为1.6和2.4,那么上面所猜想的数量关系还成立吗 (与同伴交流) 通过探索,学生发现:直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。 教师总结:通过上面的活动,同学们一定已经发现:直角三角形两条直角边长度的平方和等于斜边长度的平方。我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾,较长的直角边称为股,斜边称为弦。因此,人们把上面的结论称为勾股定理。 归纳总结: 勾股定理:直角三角形两条直角边长度的平方和等于斜边长度的平方。如果用a,b和c分别表示直角三角形的两条直角边和斜边的长度,那么a2+b2=c2。 活动2:尝试·思考 在图11的问题中,需要多长的钢索 意图说明 测量和数格子等方法是本节课的教学难点,需要调动全体同学的积极性,留给学生充足的时间探究,同时借助多媒体动态演示,使学生感受勾股定理形成的过程,获得掌握知识的成就感,这对于学生良好思维品质的形成有重要作用。 探究二 初步运用勾股定理求直角三角形的边长 活动3: 如图所示,一高为5 m的竹竿,靠在高为4 m的墙上,这时竹竿底部与墙的距离是多少 解:在Rt△ABC中,根据勾股定理, 得BC2=AB2-AC2=52-42=9, 所以BC=3。 所以竹竿底部与墙的距离是3 m。 意图说明 加强对新知的理解,培养学生灵活应用所学知识解决数学问题的能力。
当堂达标 具体内容见同步课件
课堂小结 具体内容见同步课件
板书设计 探索勾股定理 1.探索发现:直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方 2.勾股定理:如果用a,b和c分别表示直角三角形的两直角边和斜边,那么a2+b2=c2
教学反思
第2课时 验证勾股定理及其简单应用
课标摘录 验证勾股定理,并能运用勾股定理解决一些简单的实际问题。
素养目标 1.掌握勾股定理及其验证方法,并能应用勾股定理解决一些实际问题。 2.经历勾股定理的验证过程,体会数形结合的思想和从特殊到一般的思想。 3.在勾股定理的验证过程中,培养探究能力和合作精神;通过对勾股定理历史的了解,感受数学文化,增强爱国情感,并通过应用勾股定理解决实际问题,培养应用数学的意识。
教学重难点 重点:运用割补、拼图的方法证明勾股定理。 难点:灵活应用勾股定理解决实际问题。
教学策略 在教师的组织引导下,采用自主探索、合作交流等方式,让学生思考问题、获取知识、掌握方法,培养学生动手、动口、动脑的能力,使学生真正成为学习的主体。
情境导入 教师:上一节课,我们通过测量和数格子的方法发现了勾股定理。如图所示,分别以直角三角形的三条边为边长向外作正方形,你能利用这个图说明勾股定理的正确性吗 你是如何做的 学生活动:思考·交流。 教师:对于一般的直角三角形,勾股定理是否成立呢 这需要进一步验证,事实上,现在已经有几百种勾股定理的验证方法,这节课我们也来验证勾股定理。
新知初探 探究一 验证勾股定理 活动1:计算上图中大正方形的面积 教师导入,小组拼图。 教师:今天我们将研究利用拼图的方法验证勾股定理,请你利用自己准备的四个全等的直角三角形,拼出一个以斜边为边长的正方形。 学生动手环节:请每位同学用2 min时间独立拼图,然后再4人一组进行讨论。 学生通过自主探究、小组讨论,可能得到如图(1),图(2)所示的两个图形。 活动2:层层设问,完成验证。 教师提问: (1)如图(1)所示,你能表示大正方形的面积吗 有不同的方法吗 (学生先独立思考,再4人小组交流); (2)你能由此得到勾股定理吗 为什么 (在学生回答的基础上板书(a+b)2=4×ab+c2,并得到a2+b2=c2) 活动3:学生自主探究,利用图(2)验证勾股定理。
教师小结:我们利用拼图的方法,将形的问题与数的问题结合起来,联系整式运算的有关知识,从理论上验证了勾股定理,你还能利用图(2)验证勾股定理吗 意图说明 通过学生自己动手操作,让学生在活动中体会图形的构成,既为勾股定理的验证作铺垫,同时又培养学生的动手能力和创新能力,让学生体会数形结合的思想,加强学生的动手、动脑能力。 探究二 勾股定理的应用 例题 在一次军事演习中,红方侦察员王叔叔在距离一条东西向公路400 m处侦察,发现一辆蓝方汽车在这条公路上疾驶。他用红外测距仪测得汽车与他相距400 m;过了10 s,测得汽车与他相距500 m。你能帮王叔叔计算蓝方汽车这10 s的平均速度吗 解:根据题意,可以画出如图所示的大致图形,其中点A表示王叔叔所在位置,点C、点B表示两个时刻蓝方汽车的位置。由于王叔叔距离公路400 m,因此∠C是直角。由勾股定理,可得AB2=BC2+AC2, 也就是5002=BC2+4002。所以BC=300。 蓝方汽车10 s行驶了300 m,那么它1 s行驶的距离为300÷10=30(m),即蓝方汽车这10 s的平均速度为30 m/s。 意图说明 通过验证勾股定理和初步运用勾股定理解决实际问题,强化应用意识,在应用中体会勾股定理的价值。 探究三 拓展应用 在前面已经讨论了直角三角形三边长满足的关系,那么锐角三角形或钝角三角形的三边长是否也满足这一关系呢 教师展示课件。 问题:观察图片,判断图中三角形的三边长是否满足a2+b2=c2。 让学生尝试利用上面的方法借助方格纸进行推导,教师引导。 学生经过推导后可请一位同学展示自己的结论。 结论1:若钝角三角形中较长边长度为c,较短边长度为a,b,则 a2+b2c2。 意图说明 给出问题,激发学生思考,并讨论交流。引导学生从数学现象背后发现数学规律,为后面学生独立解题打下一定的基础。通过讨论交流,学生将对直角三角形三边之间的关系有进一步认识,并为后续直角三角形的判定打下基础。
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课堂小结 具体内容见同步课件
板书设计 验证勾股定理及其简单应用
教学反思
2 一定是直角三角形吗
课标摘录 探索勾股定理的逆定理,并能运用它们解决一些简单的实际问题。
素养目标 1.理解勾股定理逆定理的具体内容及勾股数的概念。 2.能根据所给三角形三边的条件判断三角形是否为直角三角形。 3.经历一般规律的探索过程,发展学生的抽象思维能力、归纳能力。
教学重难点 重点:经历勾股定理的逆定理的探索过程,进一步发展推理能力。 难点:利用勾股定理的逆定理解决实际问题。
教学策略 教师引导与学生动手操作相结合,学生通过实验—猜想—归纳—论证的过程加深对定理的理解。在突破重难点时让学生亲自动手画三角形,并且让他们用量角器量角的度数,通过自己的活动来得到勾股定理的逆定理,加深印象,提高兴趣。
情境导入 教师提问:古埃及人曾用有13个等距的结的绳子得到了直角,同学们,你们知道古埃及人是用什么方法得到直角的吗 拿出准备好的绳子,每个小组1根,动手操作并交流讨论。
新知初探 探究一 探究勾股定理的逆定理 活动1:下面的每组数分别是一个三角形的三条边的长度a,b,c:①3,4,5;②5,12,13;③8,15,17;④7,24,25。 问题1:这四组数都满足a2+b2=c2吗 学生认真计算,也可借助计算器辅助计算。 答案预设:①②③④都满足a2+b2=c2; 问题2:分别以每组数为三条边的长度画出三角形,用量角器量一量,它们都是直角三角形吗 学生分小组讨论,每个小组可以任选其中的一组数。 学生充分讨论后,汇总各小组实验结果如下: ①3,4,5可以构成直角三角形;②5,12,13可以构成直角三角形;③8,15,17可以构成直角三角形;④7,24,25可以构成直角三角形。 猜想:如果三角形三条边的长度a,b,c满足a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形。 提问:利用量角器测量结果可能有误差,有没有更有说服力的理由 答案预设: 理由一:锐角三角形和钝角三角形中,任意两边的平方和都不等于第三边的平方。因此,以3,4,5为边长的三角形不是锐角三角形和钝角三角形,一定是直角三角形。(其他同理) 理由二:以3和4为邻边构造三角形,观察随着夹角的增大,第三边的变化趋势。
随着夹角增大,第三边的长度也越来越大,根据勾股定理,夹角是直角时,第三边长度是5,夹角不是直角时,第三边长度肯定不是5,因此,边长为3,4,5的三角形一定是直角三角形。(其他同理) 明确猜想,引出勾股数的定义。 归纳总结: (1)勾股定理的逆定理:如果三角形三条边的长度a,b,c满足a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形。 (2)勾股数:满足a2+b2=c2的三个正整数,称为勾股数。 追问: (1)同学们还能找出哪些勾股数呢 (2)今天的结论与前面学习的勾股定理有哪些异同呢 (3)到今天为止,你能用哪些方法判断一个三角形是直角三角形呢 (4)通过合作探究,你能总结出一个数学结论的发现要经历哪些过程吗 意图说明 探索勾股定理的逆定理的过程让学生经历科学探索的一般方法:“实验—猜想—论证”,从特殊到一般再回到特殊,积累数学基本活动经验,通过几何画板直观感受,再到推理求证引导学生条理化,规范学生书写几何推理的正确格式,体会数学和其他学科最大的区别就是通过严格的逻辑推理证明得到的结论。 探究二 勾股定理逆定理的应用 活动2: 图(1) 图(2) 一个零件的形状如图(1)所示,按规定这个零件中∠A和∠DBC都应为直角。工人师傅量得这个零件各边尺寸如图(2)所示,这个零件符合要求吗 解:在△ABD中,AB2+AD2=9+16=25=BD2,所以△ABD是直角三角形,∠A是直角。 在△BCD中,BD2+BC2=25+144=169=CD2,所以△BCD是直角三角形,∠DBC是直角。 因此,这个零件符合要求。 意图说明 初步运用勾股定理的逆定理解决实际问题,强化应用意识,巩固直角三角形的判定方法,规范解题步骤。
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板书设计 一定是直角三角形吗
教学反思
3 勾股定理的应用
课标摘录 探索勾股定理及其逆定理,并能运用它们解决一些简单的实际问题。
素养目标 1.能正确运用勾股定理及其逆定理解决一些简单的实际问题,进一步发展应用意识. 2.能熟练运用勾股定理求最短距离。 3.通过问题情境的设立,帮助学生体会数学来源于生活,又应用于生活,积累利用勾股定理的知识解决生活中实际问题的经验和方法。
教学重难点 重点:利用勾股定理解决简单的实际问题。 难点:从实际问题中合理抽象出数学模型。
教学策略 通过演示,引导学生观察、联想、分析,运用各种手段激发学习欲望和兴趣,组织学生活动,让学生主动参与学习全过程。切实体现学生的主体地位,让学生通过观察、分析、讨论、操作、归纳等理解定理,提高学生的分析问题和解决问题的能力。
情境导入 装修工人李叔叔想检测某块装修用砖的边AD和边BC是否分别垂直于底边AB。 (1)如果李叔叔随身只带了卷尺,那么你能替他想办法完成任务吗 (2)李叔叔测得边AD长30 cm,边AB长40 cm,点B,D之间的距离是50 cm。边AD垂直于边AB吗 (3)如果李叔叔随身只带了一个长度为20 cm的刻度尺,那么他能检验边AD是否垂直于边AB吗 方法总结:判断线段的垂直关系时,一般是把线段放到三角形中,利用勾股定理的逆定理证得直角三角形,进而得到线段的垂直关系.
新知初探 探究一 折叠问题 活动1: 如图所示,正方形纸片ABCD的边长为8 cm,点E是边AD的中点,将这个正方形纸片翻折,使点C落在点E处,折痕交边AB于点G,交边CD于点F,你能求出DF的长吗 学生活动:利用生活常识与已有的知识将数据与图形相结合,标出对应的数据,小组讨论找出直角三角形并利用勾股定理解答。 解:因为正方形ABCD的边长为8 cm, 所以AD=CD=8 cm。 因为点E是边AD的中点, 所以DE=4 cm。设DF=x cm,则FC=(8-x)cm。 由折叠知,EF=FC=(8-x)cm, 在Rt△DEF中,根据勾股定理,得DE2+DF2=EF2, 所以42+x2=(8-x)2, 解得x=3。 故DF的长为3 cm。
意图说明 利用方程将几何与代数联系起来,将实际问题与数学模型再次形象地联系到一起,从而加深学生的印象。 探究二 应用勾股定理解决实际问题 活动2:今有池方一丈,葭生其中央,出水一尺。引葭赴岸,适与岸齐。问水深、葭长各几何 (选自《九章算术》) 题目大意:如图所示,有一个水池,水面是一个边长为1丈(1丈=10尺)的正方形。在水池正中央有一根新生的芦苇,它高出水面1尺。如果把这根芦苇垂直拉向岸边,那么它的顶端恰好到达岸边的水面。这个水池的深度和这根芦苇的长度各是多少 解:设水池的深度OA为x尺,则芦苇的长度OB为(x+1)尺。由于芦苇位于水池中央,所以AC为5尺。 在Rt△OAC中。 由勾股定理,得AC2+OA2=OC2, 即52+x2=(x+1)2, 解得x=12。12+1=13。 因此,水池的深度是12尺,芦苇的长度是13尺。 意图说明 考查学生对生活知识的积累,进一步感受勾股定理与生活的联系,增强应用意识。
当堂达标 具体内容见同步课件
课堂小结 具体内容见同步课件
板书设计 勾股定理的应用
教学反思
☆问题解决策略:反思
课标摘录 1.在具体现实情境中,学会从几何的角度发现问题和提出问题。 2.经历用几何直观和逻辑推理分析问题和解决问题的过程,培养应用意识和创新意识。 3.经历从不同角度观察立体图形的过程,知道简单立体图形的侧面展开图,发展几何直观和空间观念。
素养目标 1.能熟练运用勾股定理求最短距离。 2.能运用勾股定理及其逆定理解决简单的实际问题。 3.培养空间想象力,并增强数学知识的应用意识。
教学重难点 重点:能运用勾股定理及其逆定理解决简单的实际问题。 难点:把立体图形转化成平面图形;在实际问题中构造直角三角形并利用代数解法来解决问题。
教学策略 根据新课标提出的“要从学生已有的生活经验出发,让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释和运用的同时,在思维能力、情感态度和价值观等方面得到进步和发展”的理念,给学生创设丰富的实际问题情境,使教学活动充满趣味性和吸引力,让他们在自主探究、合作交流中分析问题,建立数学模型,利用勾股定理及其逆定理解决问题。在教学过程中,采用一题多变的形式拓宽学生视野,训练学生思维的灵活性,渗透化归的思想以及分类讨论思想、建模思想等,使学生在获得知识的同时提高能力。
情境导入 看图片,引出问题:有一块长方形绿地,绿地周边是小路,在绿地旁边的B处有健身器材。居住在A处的个别居民在看到牌子上“禁止踩踏花草,文明步行”后,为了走近路仍然会直接从A处走到B处。各位同学,你知道他们为什么不走绿地周边的路吗
新知初探 探究 问题解决策略:反思 问题:如图所示,一个圆柱的高为12 cm,底面圆的周长为18 cm。在圆柱的下底面的点A处有一只蚂蚁,它想吃到上底面上与点A相对的点B处的食物,那么它沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少 活动1:理解问题 (1)在这个问题中,已知条件有哪些 你认为已知条件足够解决这个问题吗 (2)沿侧面爬行的可能路线有哪些 什么情况下路线最短 请你用圆柱形水杯等物品实际感受一下。 学生活动:学生讨论,交流,寻找解决问题的途径,并得出正确结论。 活动2:拟订计划 (1)以前研究过最短路线问题吗 这个问题与以前研究的最短路线问题有什么不同 (2)如何将曲面上的最短路线问题转化为平面上的最短路线问题 各个点的位置如何确定 师生活动:给予学生一定的时间去思考,充分讨论,争取让学生自己得到正确答案,并对学习有困难的学生适当引导、点拨。
活动3:实施计划 (1)如图所示,将圆柱侧面剪开,确定展开图的形状,以及与圆柱的对应关系。 (2)在图中标出点B的位置。 (3)在图中确定A,B两点之间最短的路线,并计算它的长度。 学生活动:小组合作探究。 师生合作探究: (1)用做好的圆柱,尝试从点A到点B沿圆柱侧面画出几条路线。你觉得哪条路线最短呢 (2)如图所示,将圆柱侧面剪开,展成一个长方形,从点A到点B的最短路线是什么 你画对了吗 教师总结:将圆柱的侧面展开是一个长方形,点B位于长方形长边的中点位置。 根据两点间线段最短,线段AB就是从点A到点B的最短路线。 如图所示,依题意,在Rt△ABC中,∠C是直角,BC=18÷2=9(cm),AC=12(cm), 根据勾股定理,得AB2=AC2+BC2=122+92=225。 解得AB=15 cm。 所以,蚂蚁爬行的最短路程是15 cm。 小结:立体图形中求两点间的最短距离,一般把立体图形展开成平面图形,连接两点,根据两点之间线段最短确定最短路线。 活动4:回顾反思 (1)在拟订解决问题的方案和实施方案的过程中,你获得了哪些经验 与同伴进行交流。 (2)在这个问题中,影响结果的量有哪些 如果改变有关的量,你还能求解吗 例如,改变圆柱的形状,改变A,B两点的位置,改为沿着圆柱表面爬行……这时又会有哪些新的问题 选择部分问题进行研究,并与同伴进行交流。 (3)解决这个问题的经验,还可以运用到哪些问题中 例如,能否解决正方体、长方体等几何体表面两点之间的最短距离问题 (4)生活中还有哪些现实问题涉及几何体表面上的最短距离 举几个实例,并思考解决问题的方案。 (5)对于解决问题之后的回顾反思,你有哪些体会 与同伴进行交流。 归纳总结: 解决问题之后的反思,一般可以关注以下几个方面:反思解决问题的过程,强化解决问题的经验;比较解决问题的方法,形成多样的解决问题的方法;思考方法的本质,促进方法的运用;改变问题的条件,研究更多的问题。 意图说明 (1)通过自主学习,培养学生自主探究学习的能力。 (2)问题具体化,让学生亲历知识生成的过程,明确本节的重点,突破难点。 (3)问题的层次化引导了学生数学模型的建立。 (4)通过反思培养学生的语言表达能力、归纳总结能力等。
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板书设计 问题解决策略:反思 1.情境导入 2.问题解答 3.归纳总结
教学反思
第二章 实数
1.了解平方根、算术平方根、立方根的概念,会用根号表示数的平方根、算术平方根、立方根。
2.了解乘方与开方互为逆运算,会用平方运算求百以内完全平方数的平方根,会用立方运算求千以内完全立方数(及对应的负整数)的立方根,会用计算器计算平方根和立方根。
3.能用有理数估计一个无理数的大致范围。
4.了解近似数,在解决实际问题时,能用计算器进行近似计算,会按问题的要求进行简单的近似计算。
5.了解二次根式、最简二次根式的概念,了解二次根式(根号下仅限于数)加、减、乘、除运算法则,会用它们进行简单的四则运算。
从有理数扩充到实数是初中阶段数系扩充的最后一个阶段,中学阶段的多数问题是在实数范围内进行的,同时实数也是后继内容(如一元二次方程、函数等)学习的基础。因此,本章学习内容具有基础性,应要求学生能熟练掌握有关实数的运算,适应后续学习的需要。学生以前经历过数系的第一次扩充,已经积累了一些数系扩充的学习经验,感受到数系扩充是源于实际生活的需要。本章再次引领学生经历数系扩充的过程,感受数系扩充的必要性。本章大致按照如下线索展开内容:无理数的引入—无理数的表示—实数的相关概念及其运算(包括简单的二次根式的化简),实数的应用贯穿于内容的始终。
1.经历数系扩充、探求实数性质及其运算规律、借助计算器探索数学规律等活动过程,发展抽象概括能力,并在活动中进一步发展学生独立思考、合作交流的意识和能力。
2.结合具体情境理解估算的意义,能进行简单的估算,进一步发展数感和估算能力。
3.了解平方根、立方根、二次根式、最简二次根式、实数及其相关概念;会求平方根、立方根;能进行有关实数的简单四则运算和简单的二次根式化简,发展运算能力。
4.能运用实数的运算解决简单的实际问题,提高应用意识,发展解决问题的能力,从中体会数学的应用价值。
重点:实数的概念与分类,平方根与立方根的定义、性质及运算,实数的基本运算。
难点:无理数概念的抽象理解,运算顺序的准确把握,以及数形结合思想在解决实数问题中的应用。
1 认识实数
第1课时 无限不循环小数
课标摘录 1.了解无理数和实数,感悟数的扩充。 2.能用有理数估计一个无理数的大致范围。
素养目标 1.经历无限不循环小数的发现过程,感受认识无理数的必要性。 2.经历探索与思考,会判断一个数是不是有理数。 3.通过举例、作图等活动,能准确、严谨地表达自己的想法,描述实际背景中存在的无理数。
教学重难点 重点:1.会判断一个数是不是有理数。 2.感受生活中存在着大量不是有理数的数,并能举例。 难点:推理验证“a2=2时,a不是有理数”。
教学策略 通过引入生活实例,使学生能够直观地理解实数与生活的紧密联系,激发学生的学习兴趣和动力,提高他们的学习积极性。在讲授新知过程中,采用启发式教学方法,引导学生主动发现数系扩充的必要性,培养学生的数学思维能力和解决问题的能力。组织学生进行小组合作讨论,鼓励他们分享自己的想法和经验,培养学生的团队合作意识和沟通能力,提高他们的学习效果。在教学评价方面,采用多元化评价方式,既关注学生的知识掌握程度,也注重培养他们的数学情感、态度和价值观,帮助学生全面发展。
情境导入 小红是一名八年级的学生,一个周末的上午,当工程师的爸爸给小红出了一道数学题:一个边长为6 cm的正方形木板,按如图所示的痕迹锯掉四个一样的直角三角形。请计算剩下的正方形木板的面积。剩下的正方形木板的边长又是多少 你见过这个数吗 你能帮小红解决这个问题吗
新知初探 探究一 a是有理数吗 活动1:由于换了新桌子,原来边长为1的小正方形桌布不够用了,请你剪一剪、拼一拼,将两块边长为1的小正方形桌布拼成一块大正方形桌布。 请同学们合作讨论下列问题: (1)设大正方形的边长为a,a满足什么条件 (2)a可能是整数吗 说说你的理由。 (3)a可能是分数吗 说说你的理由,并与同伴进行交流。 学生活动:(1)动手用两张正方形纸块剪一剪、拼一拼; (2)展示多种剪拼法,比较它们的异同,发现不管怎么拼,拼成的大正方形的面积总是2; (3)通过思考“若用a表示大正方形的边长,a满足什么条件 ”再次得到a2=2,感受像a这样的数在生活中真实存在。 小结:事实上,满足等式a2=2的a既不是整数,也不是分数,所以a不是有理数。
意图说明 (1)通过探究实践性问题——将小正方形桌布拼成大正方形桌布,一方面渗透勤俭节约的生活习惯,让学生感受数学来源于生活,感受身边的无理数;另一方面提升学生的动手能力、合作能力和表达能力。 (2)通过探究a不是有理数的过程,让学生感受数学推理的方法,激发学生思考,提升学生推理能力和数学语言的表达能力,感受分类讨论的数学思想和从特殊到一般的数学方法。 探究二 生活中还有哪些数不是有理数 活动2:如图所示,以直角三角形的斜边为边的正方形的面积是多少 请同学们合作讨论下列问题: (1)设该正方形的边长为b,b满足什么条件 (2)b是有理数吗 小结:在上面的两个问题中,数a,b确实存在,但都不是有理数。 意图说明 加深学生对不是有理数的数的认识与理解,充分体会实际背景中这类数的广泛性,感悟数的扩充,并增强应用意识,建立与实际问题的联系,培养学生数学的眼光,提高他们的思维与表达能力。 探究三 无限不循环小数 活动3:面积为2的正方形的边长a究竟是多少呢 (1)如图所示,三个正方形的边长之间有怎样的大小关系 说说你的理由。 (2)边长a的整数部分是几 十分位是几 百分位呢 千分位呢 ……借助计算器进行探索。 (3)小明将他的探索过程整理如下,你的结果呢 边长a面积S1问题1:a的范围在哪两个数之间 左栏的边长中,前面的数值和后面的数值相比,哪个更接近正方形的实际边长 小结:a是介于1和2之间的一个数,既不是整数,也不是分数,则a一定不是有理数。 问题2:如果写成小数形式,a是有限小数吗 小结:事实上,a=1.414 213 56…,它是一个无限不循环小数。 意图说明 通过对无限不循环小数的探索,更深入地体会不是有理数的数的真实性与广泛性。
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板书设计 无限不循环小数 1.a是有理数吗 2.生活中还有哪些数不是有理数 3.无限不循环小数
教学反思
第2课时 实数
课标摘录 1.初步认识实数与数轴上的点具有一一对应关系,能借助数轴理解相反数和绝对值的意义,会求实数的相反数、绝对值。 2.能利用数轴上的点表示一些具体的实数,能比较实数的大小。
素养目标 1.掌握无理数的概念。 2.了解实数的概念和意义,能按要求对实数进行分类。 3.通过类比有理数的学习经验,探索实数范围内的相反数、倒数、绝对值的意义。 4.了解实数和数轴上的点一一对应,体会数形结合思想。
教学重难点 重点:1.了解实数的概念和意义,能按要求对实数进行分类。 2.求实数范围内的相反数、倒数、绝对值。 难点:会在数轴上表示实数。
教学策略 实数是在有理数和勾股定理等知识基础上进行的第二次数系扩充,在教学中注意运用类比方法,使学生明确新旧知识之间的联系,如实数的相反数、倒数、绝对值等概念可完全类比有理数建立,并通过例题和习题来巩固,适当加深对它们的认识。
情境导入 数学家哈代在《一个数学家的辩白》中提到:当埃斯库罗斯(古希腊诗人)被人们遗忘了,阿基米德仍会被人们记住,因为语言文字会消亡,而数学思想却不会。数的发展与人类的发展密不可分。在生活中,有理数够用吗 答案是不够的,熟知勾股定理的毕达哥拉斯学派信徒希伯索斯发现,如边长为1的正方形的对角线的长,无论如何都无法用整数或整数之比来表示,希伯索斯的这一发现,导致了第一次数学危机的产生。这个无法用整数或整数之比来表示的数就是我们最近学习的无理数。
新知初探 探究一 认识实数 活动1:把下列各数表示成小数,你发现了什么 3,,,-,。 解:3=3.0,=0.8,=0.,-=-0.1,=0.。 分数化成小数,最终此小数的表达形式有哪几种 分数只能化成有限小数或无限循环小数,即任何有限小数或无限循环小数都是有理数。 像0.585 885 888 588 885…,1.414 213 56…,-2.236 067 9…等这些数的小数位数都是无限的,并且不是循环的,它们都是无限不循环小数。我们把无限不循环小数称为无理数。(圆周率π=3.141 592 65…也是一个无限不循环小数,故π是无理数)。 小结:有理数与无理数的区别 (1)有理数是有限小数或无限循环小数,无理数是无限不循环小数。 (2)所有的有理数都能化成分数(整数可以看成分母为1的分数),无理数不能化成分数。(形似分数,但它不是分数,是无理数)
活动2:下列各数中,哪些是有理数,哪些是无理数 3.14,-,0.,0.101 000 100 000 1…(相邻两个1之间0的个数逐次加2)。 解:有理数有3.14,-,0.; 无理数有0.101 000 100 000 1…(相邻两个1之间0的个数逐次加2)。 小结:有理数和无理数统称实数,即实数可以分为有理数和无理数。 活动3:无理数和有理数一样,也有正负之分吗 (1)请你把上面例题中的各数填入下面相应的集合内。 正数集合 负数集合 (2)还记得有理数的分类方法吗 你能用类似的方法对实数进行分类吗 思考: (1)在实数范围内,相反数、倒数、绝对值的意义与有理数范围内的相反数、倒数、绝对值的意义完全一样吗 你还知道哪些 (2)有理数的运算法则及运算律对实数仍然适用吗 小结: (1)a是一个实数,它的相反数为-a,绝对值为|a|。 (2)如果a≠0,那么它的倒数为。 意图说明 通过问题的引导,让学生归纳出无理数和实数的概念,学生再次体验用类比思想对实数进行分类,培养大胆猜想的意识。也为下节课的学习埋下伏笔,激起学生的求知欲和好奇心。 探究二 在数轴上表示实数 活动4:课本第25页讨论的两个正方形,边长分别是a,b,且满足a2=2,b2=5。 (1)如图所示,OA=OB,数轴上点A对应a,b中的哪个数 (2)你能在数轴上找到另一个数对应的点吗 与同伴进行交流。 (3)如果将所有实数都标到数轴上,那么数轴能被填满了吗 小结:每一个实数都可以用数轴上的一个点表示;反过来,数轴上的每一个点都表示一个实数。也就是说,实数和数轴上的点是一一对应的。 意图说明 通过正方形、长方形,化无形为有形,用现有的无理数让学生明白数轴上不仅可以表示有理数,还可以表示无理数。并且实物操作也可降低这部分难度,让学生在动手中从形象思维比较自然地上升到抽象的数学模型。
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板书设计 实数 1.无理数 2.实数 3.实数的分类 4.在数轴上表示实数
教学反思
2 平方根与立方根
第1课时 算术平方根
课标摘录 了解算术平方根的概念,会用根号表示一个数的算术平方根。
素养目标 1.了解算术平方根的概念,会用根号表示一个数的算术平方根。 2.根据算术平方根的概念,会求非负数的算术平方根。 3.了解算术平方根的性质。
教学重难点 重点:算术平方根的概念和求法。 难点:1.对算术平方根概念中被开方数非负性的理解。 2.能运用算术平方根解决实际问题及相关综合计算。
教学策略 通过创设问题情境,引导学生回顾已学知识,自主探究算术平方根的概念,在小组合作交流中深化对概念的理解和应用,教师进行详细讲解和示范,帮助学生掌握算术平方根的求法,最后借助练习巩固所学知识,提高学生的解题能力和数学思维能力。
情境导入 学校要举行美术作品比赛,小明很高兴,他想裁出一块面积为25 dm2的正方形画布,画上自己的作品参加比赛,这块正方形画布的边长应取多少 你能帮小明算一算吗
新知初探 探究一 算术平方根的概念和性质 活动1:请大家根据勾股定理,结合图形完成填空: x2= ,y2= ,z2= ,w2= 。 思考:x,y,z,w中哪些是有理数 哪些是无理数 你能表示它们吗 活动2:填表 正方形的边长/cm120.5正方形的面积/cm2140.25
讨论:你能从表中发现什么共同点吗 已知一个正数,求这个正数的平方,这是平方运算。 正方形的面积/cm2140.3649正方形的边长/cm120.67
讨论:你能从表中发现什么共同点吗 已知一个正数的平方,求这个正数。 两表中的两种运算有什么关系 小组讨论,分享结果。 归纳总结:一般地,如果一个正数x的平方等于a,即x2=a,那么这个正数x就叫作a的算术平方根,记作,读作“根号a”。 特别地,我们规定:0的算术平方根是0,即=0。 思考:怎么用符号来表示一个数的算术平方根
问题1:一个正数的算术平方根有几个 答:一个正数的算术平方根有1个。 问题2:0的算术平方根有几个 答:0的算术平方根有1个,是0。 问题3:-1有算术平方根吗 负数有算术平方根吗 答:没有;负数没有算术平方根。 活动3:求下列各数的算术平方根 (1)900; (2)1; (3); (4)14。 解:(1)因为302=900,所以900的算术平方根是30,即=30。 (2)因为12=1,所以1的算术平方根是1,即=1。 (3)因为2=,所以的算术平方根是,即=。 (4)14的算术平方根是。 思考:(1)在上面的习题中,一些数的算术平方根的结果没有“”了,这些数有什么特点 (2)在上面的习题中,=30,也就是=30。一般地,当a≥0时,=a成立吗 (3)()2=a成立吗 这里的a是什么数 你是怎样理解的 与同伴进行交流。 小结:当a≥0时,=a,()2=a;当a<0时,=-a。 意图说明 通过多个具体实例,引导学生从特殊到一般,归纳总结出算术平方根的概念,培养学生的抽象概括能力。让学生在思考和回答问题的过程中,更好地理解算术平方根的概念的形成过程。 探究二 算术平方根的应用 活动4:由静止自由下落的物体下落的距离s(单位:m)与下落时间t(单位:s)的关系为s=4.9t2。有一个铁球从19.6 m高的建筑物上由静止自由下落,到达地面需要多长时间 解:将s=19.6代入公式s=4.9t2, 得t2=4,所以t==2。 因此,铁球到达地面需要2 s。 小结: 算术平方根的双重非负性: (1)被开方数a≥0;(2)a的算术平方根≥0。 也就是说,非负数的“算术”平方根是非负数。负数不存在算术平方根,即当a<0时,无意义。 意图说明 通过具体的实例,让学生感受算术平方根的实际应用,加深对所学知识的理解。
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板书设计 算术平方根 1.算术平方根的概念 2.算术平方根的性质 3.算术平方根的应用
教学反思
第2课时 平方根
课标摘录 1.了解平方根的概念,会用根号表示数的平方根。 2.了解乘方与开方互为逆运算,会用平方运算求百以内完全平方数的平方根。
素养目标 1.理解平方根的概念,掌握平方根与算术平方根的区别与联系,能准确求出一个数的平方根。 2.理解开平方与平方互为逆运算,会用平方运算求平方根,培养学生的逆向思维能力。
教学重难点 重点:平方根的概念及求法。 难点:区分平方根与算术平方根的概念。
教学策略 利用现代化的教学工具,将抽象的数学概念转化为直观、形象的视觉展示,让学生更容易理解和接受。在讲解平方根时,可以在数轴上清晰地标示出数的平方和开平方的过程,让学生直观地看到一个数在平方和开平方过程中的位置变化。同时,借助多媒体动画,动态展示一个数的平方以及求其平方根的全过程,比如从3的平方得到9,再从9求其平方根得到±3,这种直观的动态演示,能够让学生更深刻地理解平方根的概念和特点。
温故知新 1.什么叫算术平方根 怎样表示 2.我们已经学习过哪些运算 它们中互为逆运算的是什么 3.求下列各式的值: (1)36的算术平方根是 ;(2)17的算术平方根是 ; (3)的算术平方根是 ;(4)的算术平方根是 。
新知初探 探究一 平方根的概念及性质 活动1:填一填 (1)3的平方等于9,那么9的算术平方根就是 ; (2)的平方等于,那么的算术平方根就是 ; (3)展厅地面为正方形,其面积为49 m2,则边长为 m。 问题:平方等于9,,49的数还有吗 分别是什么 活动2:填一填 ( )2=9;( )2=;( )2=49。 问题:上述都是形如x2=a的式子,x的取值范围是什么 类比算术平方根的概念,你能得到新的概念吗 算术平方根的定义:一般地,如果一个 正数x 的平方等于a,即x2=a,那么这个正数x就叫作a的算术平方根,即x=。 类比可得,平方根的定义: 。 活动3:尝试·思考 (1)144的平方根是什么 (2)0的平方根是什么 (3)的平方根是什么 (4)-4有没有平方根 为什么
通过对这些题目的解答,你能得出什么结论 思考:(1)一个正数有几个平方根 (2)0有几个平方根 (3)负数呢 归纳总结: 平方根的性质: (1)一个正数有 两 个平方根,两个平方根 互为相反数 ,其中 正的平方根 为算术平方根。 (2)0的平方根是 0 。 (3)负数 没有 平方根。 意图说明 从具体问题引出平方根的概念,让学生更容易理解。通过提问,引导学生运用定义求一个数的平方根,加深对概念的理解。同时,强调平方根的性质,为后续的学习和计算奠定基础。 探究二 开平方及其运算 活动4:已知一个数,求它的平方的运算,叫作平方运算。反之,已知一个数的平方,求这个数的运算叫什么 答:求一个数a的平方根的运算,叫作开平方,a叫作被开方数。平方与开平方互为逆运算。 活动5:求下列各数的平方根 (1)64; (2); (3)0.000 4; (4)(-25)2; (5)11。 解:(1)因为(±8)2=64,所以64的平方根是±8,即±=±8。 (2)因为±2=,所以的平方根是±,即±=±。 (3)(±0.02)2=0.000 4,所以0.000 4的平方根是±0.02,即±=±0.02。 (4)因为(±25)2=(-25)2,所以(-25)2的平方根是±25,即±=±25。 (5)11的平方根是±。 活动6:求下列各式的值 (1);(2)-;(3)。 解:(1)==15。 (2)-=-=-。 (3)=8。 意图说明 通过对具体习题的讲解,让学生掌握求平方根的方法和书写规范。活动5着重练习求一个数的平方根的基本方法,活动6则进一步强化对平方根符号表示的理解和运用,培养学生的运算能力和严谨的数学态度。
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板书设计 平方根 1.平方根的概念 2.平方根的性质 3.习题讲解 4.归纳总结
教学反思
第3课时 立方根
课标摘录 1.了解立方根的概念,会用根号表示数的立方根。 2.了解立方与开立方互为逆运算,会用立方运算求千以内完全立方数(及对应的负整数)的立方根。
素养目标 1.理解立方根的概念和性质,并会用根号表示一个数的立方根。 2.能用立方运算求某些数的立方根,了解开立方与立方互为逆运算。 3.能用类比的方法学习立方根的有关知识,领会类比思想。
教学重难点 重点:立方根的概念及应用。 难点:用类比方法探究立方根的定义,用类比的数学思想化未知为已知解决问题。
教学策略 1.情境引入法:通过创设实际问题情境,通过求一个三阶魔方每个小正方体的棱长,引出立方根概念,激发学生的学习兴趣和求知欲。 2.类比教学法:类比平方根的概念、性质和运算,引导学生探究立方根,让学生在已有知识基础上构建新知识体系,加深对知识的理解和记忆。 3.小组合作探究法:组织学生分组讨论立方根与平方根的异同点,鼓励学生在交流合作中发现问题、解决问题,培养团队协作能力和自主探究能力。
情境导入 如图所示是由大小相同的小立方块搭成的几何体。如果这个几何体的体积为216 cm3,那么每个小立方块的棱长是多少
新知初探 探究一 立方根的定义及性质 活动1: (1)怎样求下列括号内的数 各题中已知什么数 求什么数 ①( )3=0.001; ②( )3=-; ③( )3=0。 (2) 一个正方体的体积是8 cm3,那么它的棱长a是多少呢 如果正方体的体积是9 cm3,如何去表示它的棱长呢 立方根定义:一般地,如果一个数x的立方等于a,即x3=a,那么这个数x就叫作a的立方根(也叫作三次方根)。如2是8的立方根,-是-的立方根,0是0的立方根。 活动2: (1)填空: 因为( )3=64,所以( )是64的立方根。 因为( )3=-27,所以( )是-27的立方根。 因为x3=2,所以x是 的立方根。 因为a3=5,所以a是 的立方根。 (2)思考:正数有几个立方根 0有几个立方根 负数有几个立方根
归纳总结:立方根的性质 (1)正数的立方根是正数,0的立方根是0,负数的立方根是负数。 (2)每个数a都有一个立方根,记作 ,读作“三次根号a”。求一个数a的立方根的运算叫作开立方,a叫作被开方数。 意图说明 通过两组计算练习,使学生进一步了解求一个数的立方,与求一个数的立方根互为逆运算,感受一个数的立方根的唯一性,计算中对a的取值分别选为正数、负数、0的设计,在此过程中渗透分类讨论的思想方法,体现了立方运算与立方根运算的互逆性。 探究二 例题讲解 例1 求下列各数的立方根: (1)-27; (2); (3)0.216; (4)-5。 解:(1)因为(-3)3=-27,所以-27的立方根是-3,即=-3。 (2)因为3=,所以的立方根是,即=。 (3)因为(0.6)3=0.216,所以0.216的立方根是0.6,即=0.6。 (4)-5的立方根是。 例2 求下列各式的值: (1); (2); (3)-; (4)。 解:(1)==-2。 (2)==0.4。 (3)-=-=-。 (4)()3=9。 意图说明 例1 着眼于弄清立方根的概念,因此这里不仅用立方的方法求立方根,而且书写上采用了语言叙述和符号表示互相补充的做法,学生在熟练以后可以简化写法。例2则巩固立方根的计算,引导学生思考立方根的性质,通过对例题的讲解,加强对立方根的理解及掌握。
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板书设计 立方根 1.立方根的定义 2.立方根的性质 3.例题讲解
教学反思
第4课时 估算
课标摘录 1.能用有理数估计一个无理数的大致范围。 2.了解近似数,在解决实际问题时,能用计算器进行近似计算,会按问题的要求进行简单的近似计算。
素养目标 1.会用平方法估算一个无理数的大致范围;会比较两个无理数的大小;会利用估算解决一些简单的实际问题。 2.经历实际问题的解决过程和平方根、立方根的估算过程,培养学生学习数学的主动性,体会数学知识的实用价值,激发学生的学习热情。 3.会用计算器估算无理数。
教学重难点 重点:掌握估算的方法,提高学生的估算能力。 难点:通过估算比较两个无理数的大小。
教学策略 本节课的教学中选取了“新建环保主题公园”的问题情境引入,与学生平时的生活密切联系,容易把学生的积极性调动起来。在探究估算方法的时候,教师要注重适时的引导,以免让学生无从下手。在教学过程中一定要让学生体会估算的实用价值,了解“数学既来源于生活,又回归到生活,为生活服务”。
情境导入 某地开辟了一块长方形的荒地,新建了一个环保主题公园,已知这块荒地的长是宽的2倍,它的面积为400 000 m2, (1)公园的宽大约是多少 它有1 000 m吗 (2)如果要求结果精确到10 m,它的宽大约是多少 与同伴进行交流。 (3)该公园中心有一个圆形花圃,它的面积是800 m2,你能估计它的半径吗(结果精确到1 m)
新知初探 探究一 估算无理数的大小 活动1:教师提出问题,先让学生思考,然后共同探究并总结。 (1)下列计算结果正确吗 你是怎样判断的 与同伴进行交流。 ≈0.66; ≈96; ≈60.4。 (2)你能估算的大小吗(结果精确到1) (3)宽与长之比为的长方形称为“黄金矩形”。你能比较与的大小吗 你是怎么想的 解:(1)因为0.662=0.435 6,0.652=0.422 5,0.662更靠近0.43,所以≈0.66是正确的。 因为963=884 736>900,所以≈96是错误的。 因为60.42=3 648.16>2 536,所以≈60.4是错误的。 (2)因为93=729,103=1 000,所以9<<10。 因为结果精确到1,要看十分位的数字,所以继续利用立方法进行估算。9.13=753.571,9.23=778.688,9.33=804.357,9.43=830.584,9.53=857.375,9.63=884.736,9.73=912.673,
所以9.6<<9.7。 所以根据四舍五入法,得≈10。 (3)因为5>4,即()2>22, 所以>2。 所以-1>1。 所以>。 活动2: 生活经验表明,靠墙摆放梯子时,若梯子底端离墙的距离约为梯子长度的,则梯子比较稳定。如图所示,现有一架长度为6 m的梯子,当梯子稳定摆放时,它的顶端能抵达5.6 m高的墙头吗 解:设梯子稳定摆放时它的顶端抵达的高度为x m,此时梯子底端到墙的距离恰为梯子长度的,根据勾股定理,有x2+×62=62, 即x2=32,x=。 因为5.62=31.36<32,所以>5.6。 因此,梯子稳定摆放时,它的顶端能抵达5.6 m高的墙头。 意图说明 通过实际例子让学生进一步感受现实生活中的估算,感受估算的广泛性;让学生利用前面所学的知识综合解决问题。 探究二 用计算器估算无理数 活动3:尝试·思考 (1)观察你的计算器面板,对于开方运算,可能用到哪些按键 利用计算器求下列各式的值(结果精确到 0.000 1):①;②。 (2)任意找一个你认为很大的正数,利用计算器对它进行开平方运算,对所得结果再进行开平方运算……随着开方次数的增加,你发现了什么 改用另一个小于1的正数试一试,看看是否仍有类似的规律。 学生操作后,在小组内讨论形成结果,再进行全班交流。 (3)任意找一个非零数,利用计算器对它不断进行开立方运算,你发现了什么 学生操作后,在小组内讨论形成结果,再进行全班交流。 意图说明 熟悉使用计算器求平方根和立方根的技能,并在探求数学规律的活动中,发展推理能力。
当堂达标 具体内容见同步课件
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板书设计 估算 1.估算 2.估算无理数的大小 3.用计算器估算无理数
教学反思
3 二次根式
第1课时 二次根式与二次根式的乘除运算
课标摘录 1.了解二次根式的概念及性质。 2.了解二次根式(根号下仅限于数)乘除运算法则,会用它们进行简单的乘除运算。
素养目标 1.了解二次根式和二次根式的乘除运算法则。 2.了解二次根式(根号下仅限于数)乘除运算法则,会用它们进行简单的乘除运算。
教学重难点 重点:掌握二次根式的乘法法则和除法法则。 难点:利用二次根式的乘法法则和除法法则进行乘除运算。
教学策略 依据学生的年龄特点和已有知识间的纵向联系,拓展学生探索的空间,体现由具体到抽象的认识过程,培养学习数学的思维方法,同时赋予一定的练习讲解。
情境导入 填空: (1)若一个正方形面积为2 m2,则边长为 m;若面积为S m2,则边长为 m; (2)若一个长方形长是宽的2倍,面积为6 m2,则它的宽为 m; (3)一个物体从高处自由落下,落到地面所用的时间t(单位:s)与开始落下的高度h(单位:m)满足关系 h=5 t2,如果h=25,那么t为 。
新知初探 探究一 二次根式的概念及性质 活动1:上面问题中,得到的结果分别是,,,。 问题1:这些式子分别具有什么意义 问题2:这些式子有什么共同特征 学生活动:小组合作交流。 教师总结:可以发现,我们在前面都已学习过这些式子,它们的共同特征是:都含有开方运算,并且被开方数都是非负数。 一般地,形如(a≥0)的式子叫作二次根式,a叫作被开方数。 注意: (1)a可以是实数,也可以是代数式; (2)它具有双重的非负性; (3)形式上必须含有二次根号; (4)它既可以表示开方运算,也可以表示运算结果。 二次根式有些什么性质呢 让我们一起来探索吧。 活动2:计算下列各式,观察计算结果,你发现什么规律 (1)×= ,= ; ×= ,= ; = ,= ; = ,= 。
(2)用计算器计算: ×= ,= ;= ,= 。 问题1:观察上面的结果你可得出什么结论 问题2:从你上面得出的结论,发现了什么规律 能用字母表示这个规律吗 问题3:其中的字母a,b有限制条件吗 归纳总结:·=(a≥0,b≥0),=(a≥0,b>0)。 说明:公式中字母a≥0,b≥0(或b>0)这一条件是公式的一部分,不应忽略。 意图说明 从特殊到一般,让学生经历探索、发现规律的过程,感受规律带给他们运算的便利。通过师生合作探究,引导学生思考问题的方向。 探究二 例题讲解 例1 计算: (1)×;(2)。 解:(1)× ===2。 (2)====3。 例2 计算: (1)3×2;(2)×-5;(3)(+1)2;(4)(+3)(-3); (5)(-)×;(6)。 解:(1)3×2
=3×2××
=3×2×
=6。 (2)×-5
=-5
=6-5
=1。 (3)(+1)2
=()2+2+12
=5+2+1
=6+2。 (4)(+3)(-3)
=()2-32
=13-9
=4。
(5)-×
=×-×
=-
=6-1
=5。 (6)
=+
=+
=2+3
=5。 意图说明 通过例题的讲解和练习,让学生熟练运用二次根式的乘法法则和除法法则进行乘除运算,逐步掌握运算技能。
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板书设计 二次根式与二次根式的乘除运算 1.二次根式的定义 2.二次根式的乘除法则 3.例题讲解
教学反思
第2课时 最简二次根式与二次根式的加减运算
课标摘录 1.了解最简二次根式的概念。 2.了解二次根式(根号下仅限于数)加减运算法则,会用它们进行简单的加减运算。
素养目标 1.理解最简二次根式的概念,能准确判断一个二次根式是否为最简二次根式。 2.掌握二次根式加减法的运算法则,能够熟练进行二次根式的加减运算。 3.通过对最简二次根式和二次根式加减的学习,培养学生的观察、分析、归纳和运算能力。
教学重难点 重点:最简二次根式的概念及判断方法,二次根式加减法的运算法则及应用。 难点:准确判断一个二次根式是否为最简二次根式,理解并正确运用二次根式加减法的运算法则。
教学策略 在概念教学上,通过对比分析,将最简二次根式与非最简二次根式放在一起对比。比如和,详细分析可化为2的过程,让学生明确最简二次根式被开方数不含开得尽方的因数或因式这一关键特征。在加减运算法则的教学上,把二次根式的加减与整式的加减进行类比,向学生说明整式加减是合并同类项,二次根式加减是把化简后被开方数相同的二次根式进行合并。
情境导入 如图所示,两个正方形的边长分别是多少 这两个数之间有什么关系 你能借助什么运算法则或者运算律解释它
新知初探 探究一 最简二次根式 活动1: 上节课我们学习了公式:·=(a≥0,b≥0),=(a≥0,b>0),我们把第一个公式等号左右两边互换,那么可得=·(a≥0,b≥0);=(a≥0,b>0)。 活动2:化简 (1); (2); (3); 解:(1)=×=9×8=72。 (2)=×=5。 (3)==。 如果一个二次根式符合下列条件:被开方数不含能开得尽方的因数或因式;被开方数不含分母;分母中不含根号,这样的二次根式叫作最简二次根式。
活动3:化简 (1);(2);(3)。 解:(1)==×=5。 (2)===。 (3)===。 归纳总结: 如果一个二次根式符合下列条件:(1)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式;(2)被开方数中不含分母;分母中不含根号。这样的二次根式叫作最简二次根式。 意图说明 让学生经历探究、合作、交流,发现并归纳二次根式的性质,灵活运用二次根式的性质进行化简,并把结果化成最简二次根式,并加深理解。 探究二 二次根式的加减 活动4:计算 (1)+; (2)-; (3)+×。 解:(1)+=+=×+=4+=5。 (2)-=-=-=-=。 (3)(+)×=+=+=2+3=5。 小结: (1)以前学习的运算律、运算法则对二次根式同样适用,化简后被开方数相同时,可以进行合并; (2)同类二次根式:几个二次根式化成最简二次根式以后,如果被开方数相同,这几个二次根式就叫作同类二次根式。 判断同类二次根式的关键: (1)化成最简二次根式;(2)被开方数相同,根指数相同。 归纳总结: 二次根式的加减运算步骤:(1)将每个二次根式化为最简二次根式;(2)找出其中的同类二次根式;(3)合并同类二次根式。 意图说明 让学生感受到合并同类项与二次根式加减运算的联系与区别,归纳概括出二次根式加减运算的步骤。“一化简,二判断,三合并。
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板书设计 最简二次根式与二次根式的加减运算 1.二次根式的性质 2.最简二次根式 3.二次根式的加减
教学反思
第3课时 二次根式的混合运算
课标摘录 了解二次根式(根号下仅限于数)加、减、乘、除运算法则,会用它们进行简单的四则运算。
素养目标 1.熟练掌握二次根式的四则运算。 2.灵活运用二次根式的四则运算解决问题。 3.增强学生的符号应用意识,培养学生合作交流、合情推理以及表达能力。
教学重难点 重点:理解并掌握二次根式的四则运算法则。 难点:能灵活运用二次根式的四则运算法则解决问题。
教学策略 本节课借助旧知,引导学生通过自主复习、类比学习、合作互助,探究出二次根式的四则运算法则。在运用中对法则再次适度延伸,便于学生融会贯通地用数学思维分析、解决实际问题。
情境导入 如果梯形的上、下底长分别为2 cm,4 cm,高为 cm,那么它的面积是多少 解:2+4×× =×2+×4 =(2+6)(cm2)。 所以它的面积是(2+6)cm2。
新知初探 探究一 二次根式的四则运算 活动1:尝试·思考 (1)请你计算:+;-。 (2)小明是这样计算+的: +=+=+=。 问题:分子、分母同乘的目的是什么 (3)计算-,你有哪些方法 活动2:计算 (1)-;(2)-+;(3)-÷;(4)+-。 解:(1)-=-=-=。 (2)-+=-+=3-2+=。
(3)-÷=÷-÷=-=- =-=2-=。 (4)+-=+-=+-3=-+。 活动3: 化简-×,其中a=28,b=7。你是如何做的 小组交流。 解:由题知,a>0,b>0。 -×=×-×=-=-=-b。 当a=28,b=7时,-b=-7=-14=-13。 意图说明 通过四则运算的练习,学生能熟练掌握二次根式的化简、合并同类二次根式等技能,深化对根式运算规则的理解,为后续学习更复杂的数学知识打下坚实基础。在进行二次根式四则运算时,学生需要运用逻辑思维,分析运算顺序、判断能否进行合并或化简等。这一过程锻炼了学生的推理能力、抽象思维能力和运算思维,让学生学会从具体的数字和符号中提炼出运算规律,培养严谨的数学思维习惯。 探究二 二次根式四则运算的应用 活动4:如图所示,方格纸中每个小方格的边长均为1,试求图中梯形ABCD的面积。你有哪些求解方法 与同伴进行交流。 (1)直接求法。 解:过点D作AB边上的高DE,可发现边AB,DC及DE 都是某一个小直角三角形的斜边。 根据勾股定理可求得AB=5,CD=,DE=3, 梯形ABCD的面积是(5+)×3=18。 (2)间接求法。 解:将梯形ABCD补成一个5×7的长方形,用长方形的面积减去3个三角形的面积,得梯形ABCD的面积是5×7-×5×5-×4×2-×1×1=18。 意图说明 学生在学习二次根式四则运算后,通过实际应用练习,能进一步熟悉加、减、乘、除的运算规则。在解决实际面积计算问题时,会涉及二次根式与其他数学知识的融合,比如在利用勾股定理计算直角三角形边长(边长为二次根式形式),并求解相关面积、周长问题时,能加深学生对不同知识板块联系的理解,拓展数学知识体系。
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板书设计 二次根式的混合运算 1.二次根式的化简 2.二次根式的四则运算 3.习题讲解 4.二次根式四则运算的应用
教学反思
第三章 位置与坐标
1.理解平面直角坐标系的有关概念,能画出平面直角坐标系;在给定的平面直角坐标系中,能根据坐标描出点的位置,由点的位置写出坐标。
2.在实际问题中,能建立适当的平面直角坐标系,描述物体的位置。
3.对给定的正方形,会选择合适的平面直角坐标系,写出它的顶点坐标,体会可以用坐标表达简单图形。
4.在平面上,运用方位角和距离刻画两个物体的相对位置。
5.在平面直角坐标系中,以坐标轴为对称轴,能写出一个已知顶点坐标的多边形的对称图形的顶点坐标,知道对应顶点坐标之间的关系。
本章内容在初中数学知识体系中起承上启下的作用。从纵向来看,它是在学生已初步了解简单的图形位置关系基础上,对确定位置方法的进一步深化与拓展;从横向来看,它与后续的函数、几何图形的变换等知识紧密相连,为学生理解函数图象的性质以及几何图形在坐标系中的运动变化奠定基础。通过学习这一章节,学生能够掌握用数学语言精确描述物体位置的方法,提升空间观念和数学应用能力,对后续数学学习和解决实际问题意义重大。
1.通过对现实世界中确定位置的现象进行观察、分析、抽象和概括的活动,进一步发展空间观念。
2.经历探索图形位置变化与图形坐标变化之间关系的过程,进一步发展数形结合意识和应用意识,初步建立几何直观。
3.认识并能画出平面直角坐标系;在给定的平面直角坐标系中,会根据坐标描出点的位置,由点的位置写出它的坐标。
4.在实际问题中,能建立适当的平面直角坐标系,描述物体的位置,体会可以用坐标刻画一个简单图形。
5.能结合具体情境灵活运用多种方式确定物体的位置。
6.在平面直角坐标系中,以坐标轴为对称轴,能写出一个已知顶点坐标的多边形的对称图形的顶点坐标,并知道对应顶点坐标之间的关系。
重点:平面直角坐标系相关概念,点的坐标确定与表示,坐标变化与图形变换规律。
难点:理解坐标变化和图形变换的内在联系,运用坐标知识解决复杂实际问题。
1 确定位置
课标摘录 1.在确定物体位置过程中,进一步发展空间观念,经历借助图形思考问题的过程,初步建立几何直观。 2.结合实例进一步体会用有序实数对可以表示物体的位置。
素养目标 1.在现实情境中感受确定物体位置的多种方式方法。 2.能比较灵活地运用不同的方式确定物体的位置。理解在平面内,确定一个物体的位置一般需要两个数据。 3.进一步发展空间观念和数形结合的意识。
教学重难点 重点:在现实情境中感受确定物体位置的多种方式方法,并能比较灵活地运用不同的方式确定物体的位置。 难点:理解在平面内,确定一个物体的位置一般需要两个数据。
教学策略 教法:通过适当的问题情境,启发学生联系生活实际,逐步引导他们理解平面内“确定物体位置”一般需要两个数据。 学法:通过小组合作探究,观察问题中的位置是如何确定的,它们有何共同点,总结归纳出用两个数据确定位置的不同表示法。
温故知新 1.在数轴上,如何确定一个点的位置呢 2.小华母女俩周末去电影院看电影,买了两张票去观看,座位号分别是6排3座和3排6座。怎样才能既快又准地找到座位 问题1:在电影票上,“3排6座”与“6排3座”中的“6”含义有什么不同 问题2:如果将“6排3号”简记作(6,3),那么“3排6号”如何表示 (5,6)表示什么含义 (6,5)呢 问题3:在只有一层的电影院内,确定一个座位一般需要几个数据 3.小组合作探究,分享成果 教师总结:前一张电影票上的“6”表示座位号是6,后一张电影票上的“6”表示排号是6。电影票上有两种数据,分别是“排”与“座”,按合理的习惯,它们排列时有先后顺序,通常排号在前,座号在后,这样规定的排列顺序在确定位置时不容易产生失误。
新知初探 探究 确定位置的方法 活动1:思考·交流 (1)在电影院内,确定一个座位一般需要几个数据 (2)在生活中,确定物体的位置还有其他方法吗 与同伴进行交流。 活动2:我国海军某舰艇编队在某海域展开实兵对抗训练,红蓝双方的对阵情况如图所示(图中1 cm表示20 n mile)。对红方潜艇来说:
(1)北偏东40°方向上有哪些目标 要想确定蓝方战舰B的位置,还需要什么数据 解:对红方潜艇来说,北偏东40°方向上有两个目标,分别是蓝方战舰B和小岛;要想确定蓝方战舰B的位置,还需要知道蓝方战舰B与红方潜艇之间的距离。 (2)距离红方潜艇20 n mile的蓝方战舰有哪几艘 解:距离红方潜艇20 n mile的蓝方战舰有两艘:蓝方战舰A和蓝方战舰C。 (3)要确定每艘蓝方战舰的位置,各需要几个数据 解:要确定每艘蓝方战舰的位置,各需要两个数据:表示方向的角和距离。例如:对红方潜艇来说,蓝方战舰A在正南方向,距离为20 n mile处;蓝方战舰B在北偏东40°方向,距离为28 n mile处;蓝方战舰C在正东方向,距离为20 n mile处。 活动3:思考 在地球上如何确定城市的位置 在地球上有横线和竖线,连接两极点的竖线叫经线,垂直于经线的横线圈为纬线。根据经纬线可以确定地球上任何一点的正确位置。 活动4:尝试·思考 2020年7月23日,我国首次火星探测任务探测器“天问一号”在中国文昌航天发射场发射升空。中国文昌航天发射场位于东经110°、北纬19°左右。你能在地图上找到中国文昌航天发射场的大致位置吗 请试一试。 活动5:思考·交流 (1)你能举出生活中需要确定位置的例子吗 与同伴进行交流。 (2)在平面内,确定一个物体的位置一般需要几个数据 归纳总结: (1)在平面内,确定一个物体的位置一般需要两个数据。 (2)确定位置的方法:①行列法;②表示方向的角和距离;③经纬度;④区域定位。 意图说明 通过情景模拟,能够较好地体现数学的现实性,充分吸引学生的注意力,让学生感受到数学就在自己身边,激发了学生的学习兴趣,有利于学生形成良好的数学观。同时在教师的层层设问中,让学生感觉到位置的确定需要两个数据,同时也培养学生用准确的语言的描述能力。
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板书设计 确定位置 一、在平面内,确定一个物体的位置一般需要两个数据 二、确定位置的方法 1.行列法 2.表示方向的角和距离 3.经纬度 4.区域定位
教学反思
2 平面直角坐标系
第1课时 平面直角坐标系的有关概念
课标摘录 1.理解平面直角坐标系的有关概念,能画出平面直角坐标系;在给定的平面直角坐标系中,能根据坐标描出点的位置,由点的位置写出坐标。 2.在实际问题中,能建立适当的平面直角坐标系,描述物体的位置。
素养目标 1.理解平面直角坐标系以及横轴、纵轴、原点、坐标等概念。 2.认识并能画出平面直角坐标系。 3.能在给定的平面直角坐标系中,由点的位置写出它的坐标,由坐标可以找到相应的点。 4.了解在平面直角坐标系中,有序实数对与平面上的点是一一对应的。
教学重难点 重点:在给定的平面直角坐标系中,由点的位置写出它的坐标,由坐标可以找到相应的点。 难点:理解在平面直角坐标系中,有序实数对与平面上的点是一一对应的。
教学策略 学生已经学习了数轴,画平面直角坐标系时有一定的基础。在平面直角坐标系中描出已知坐标的点,或者读出已知点的坐标,学生对于这种类型掌握应该较好。但是对于平面直角坐标系中,有序实数对与平面上的点的一一对应关系,学生理解不好。针对以上问题解决的策略是应加强学生有效信息获取能力的培养,通过类比所举例子,进一步加深学生对一一对应的理解。
温故知新 问题1:什么是数轴 问题2:数轴的三要素是什么 问题3:数轴上点A和点B表示的数是多少 数轴上的点和实数有怎样的关系
新知初探 探究一 平面直角坐标系 图(1) 活动1:认识平面直角坐标系 (1)图(1)呈现了北京市部分景点的大致位置,小亮和来访的朋友位于卢沟桥,小亮如何向来访的朋友介绍图中各个景点的位置呢 (2)如图(2)所示,小亮在景点图上画上了方格,标上数字,并用(0,0)表示卢沟桥的位置,用(11,4)表示天安门广场的位置,那么北京奥林匹克公园的位置如何表示 (5,12)表示哪个景点的位置 (6,5)呢 (3)如图(3)所示,小亮和他的朋友位于天安门广场,并用(0,0)表示天安门广场的位置,那么你能分别表示北京奥林匹克公园、卢沟桥的位置吗 图(2) 图(3)
活动2:建立平面直角坐标系 阅读课本P59内容,并回答下列问题: (1)什么是平面直角坐标系 它由什么组成 各部分的名称是什么 (2)什么叫横坐标、纵坐标 如何来表示一个点的坐标 (3)平面直角坐标系分成哪几个部分 各部分的名称是什么 它们点的坐标有什么特征 意图说明 通过一系列的问题可以让学生明白平面直角坐标系的组成及各部分坐标特点,体会用有序实数对的形式定位的便捷性,同时也指出坐标系的各个部分的不可或缺性。 探究二 例题讲解 例题 写出下图39中的多边形ABCDEF各个顶点的坐标。 图39 解:如图所示,各个顶点的坐标分别为A(-2,0),B(0,-3),C(3,-3),D(4,0),E(3,3),F(0,3)。 活动3:操作·思考 图310 (1)在图310所示的平面直角坐标系中,描出下列各点:A(-5,0),B(1,4),C(3,3),D(1,0),E(3,-3),F(1,-4)。 (2)依次连接A,B,C,D,E,F,A,你得到什么图形 (3)在平面直角坐标系中,点与有序实数对之间有何关系 解:依次连接A,B,C,D,E,F,A,可得如图所示图形。 归纳总结:在平面直角坐标系中,对于平面上的任意一点,都有唯一的一个有序实数对(即点的坐标)与它对应;反过来,对于任意一个有序实数对,都有平面上唯一的一点和它对应。 意图说明 通过探究活动,增加对坐标系、象限和坐标点的深入理解,并认识到坐标与点的一一对应关系。
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板书设计 平面直角坐标系的有关概念 1.平面直角坐标系相关概念
(1)横轴
(2)纵轴
(3)原点
(4)象限
(5)坐标 2.例题讲解
教学反思
第2课时 平面直角坐标系中点的坐标特征
课标摘录 在给定的平面直角坐标系中,能根据坐标描出点的位置,由点的位置写出坐标。
素养目标 1.掌握在坐标轴上的点以及与坐标轴平行的直线上点的坐标的特征。 2.掌握不同象限内点的坐标的特征。
教学重难点 重点:在已知的平面直角坐标系下描点、连线、观察,确定图形的大致形状。 难点:掌握平面直角坐标系中各类点的特征,能根据坐标描出点的位置,能由点的位置写出它的坐标。
教学策略 教法:引导学生在平面直角坐标系中根据点的坐标描出点的位置,根据点的位置说出点的坐标,从而发展数形结合意识。 学法:借助数形结合的方法掌握不同象限内点的坐标的特征,以及坐标轴上的点、与坐标轴平行的直线上点的坐标的特征。
温故知新 1.什么是平面直角坐标系 2.两条坐标轴把坐标平面分成了哪几部分 (不包括坐标轴) 3.在给定的平面直角坐标系中,由点的位置如何写出它的坐标 4.根据坐标如何描出点的位置
新知初探 探究 坐标轴上的点及平行于坐标轴的直线上的点的特征 活动1:在平面直角坐标系中描出下列各点,并将各组内的点用线段依次连接。 (1)D(-3,5),E(-7,3),C(1,3),D(-3,5); (2)F(-6,3),G(-6,0),A(0,0),B(0,3)。 观察所描出的图形,它像什么 根据图形回答下列问题: (1)图形中哪些点在坐标轴上,它们的坐标有什么特点 (2)线段EC与x轴有什么位置关系 点E和点C的纵坐标有什么关系 线段EC上其他点的坐标呢 (3)点F和点G的横坐标有什么关系 线段FG与y轴有怎样的位置关系 解:如图所示,各点连接起来的图形像“房子”。 (1)线段AG上的点都在x轴上,它们的纵坐标都是0;线段AB上的点、线段CD与y轴的交点都在y轴上,它们的横坐标都是0。 (2)线段EC与x轴平行,点E和点C的纵坐标相同;线段EC上其他点的纵坐标也相同,都是3。 (3)点F和点G的横坐标相同,线段FG与y轴平行。
活动2:如图所示是一个“笑脸”。 (1)在“笑脸”上找出几个位于第一象限的点,指出它们的坐标,说说这些点的坐标有什么特点。 (2)在其他象限内分别找几个点,看看其他各个象限内的点的坐标有什么特点。 (3)不描出点,分别判断A(1,2),B(-1,-3),C(2,-1),D(-3,4)所在的象限。 学生活动:独立完成,在小组内交流结果。 解:(1)观察第一象限内任意点的坐标,可知它们的横、纵坐标都是正数。 (2)第二象限内点的横坐标都是负数,纵坐标都是正数;第三象限内点的横坐标都是负数,纵坐标也都是负数;第四象限内点的横坐标都是正数,纵坐标都是负数。 (3)观察各点的横纵坐标的正负,可知点A在第一象限,点B在第三象限,点C在第四象限,点D在第二象限。 归纳总结: (1)各个象限内点的符号特征: 点M(x,y)所处的位置坐标特征象限内的点点M在第一象限M(正,正)点M在第二象限M(负,正)点M在第三象限M(负,负)点M在第四象限M(正,负)
(2)位于x轴上的点的坐标的特征是 纵坐标等于0 ; 位于y轴上的点的坐标的特征是 横坐标等于0 。 (3)与x轴平行的直线上点的坐标的特征是 纵坐标相同 ; 与y轴平行的直线上点的坐标的特征是 横坐标相同 。 意图说明 以“笑脸”为背景,引领学生探索同一象限内点的坐标的特征,培养学生的推理能力,同时发展数形结合意识。进一步掌握在平面直角坐标系中由坐标找到点的位置,并让学生初步感受坐标轴上的点、与坐标轴平行的直线上点的坐标的特征。
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板书设计 平面直角坐标系中点的坐标特征 1.坐标轴上点的特征 2.不同象限内点的特征 3.与坐标轴平行的直线上点的坐标特征
教学反思
第3课时 建立适当的平面直角坐标系描述图形的位置
课标摘录 1.在实际问题中,能建立适当的平面直角坐标系,描述物体的位置。 2.对给定的正方形,会选择合适的平面直角坐标系,写出它的顶点坐标,体会可以用坐标表达简单图形。
素养目标 1.能结合所给图形的特点,建立适当的平面直角坐标系,写出点的坐标,灵活的选取既简便又易懂的方法求解。 2.能根据已知点的坐标复原平面直角坐标系。 3.经历建立平面直角坐标系描述图形和复原平面直角坐标系的过程,进一步发展数形结合思想和优化思想。
教学重难点 重点:1.根据实际问题,建立适当的平面直角坐标系,并写出各点的坐标。 2.根据特殊点的坐标复原平面直角坐标系。 难点:1.能自主选择合适的平面直角坐标系来研究图形的性质,体会优化的思想。 2.根据特殊点的坐标复原平面直角坐标系。
教学策略 让学生参与本课知识的形成过程,在学生自己发现的基础上,自主建立平面直角坐标系,然后进行交流、比较,老师课上板书引导,分别列举不同的建立平面直角坐标系的方法,最后选出最合适的平面直角坐标系,教师鼓励学生归纳总结,得出一般情况下如何建立平面直角坐标系更容易,让学生体会优化思想。对于复原平面直角坐标系,老师可以先采取在方格纸中找特殊点再到一般点来复原,然后过渡到去掉方格纸,再从特殊点到一般点的复原,遵循学生的认知规律,从特殊到一般,从易到难,循序渐进地解决学生学习中遇到的困难。
情境导入 问题:我们班准备建立小菜园,学校里有一块如图所示的空地,打算进行绿化,小爱想请她的同学提一些建议,电话中告诉她同学如图所示的图形,为了描述清楚,她使用了平面直角坐标系的知识。你知道小爱是怎样叙述的吗
新知初探 探究一 利用平面直角坐标系描述物体的位置 活动1:如图所示,长方形ABCD的长与宽分别是6,4,建立适当的平面直角坐标系,写出各个顶点的坐标。 问题: (1)在没有平面直角坐标系的情况下能否先写出各个顶点的坐标,再建立平面直角坐标系呢 (2)如果不能,那么应如何建立平面直角坐标系呢 请大家思考。 (3)在上面的问题中,你是怎样建立平面直角坐标系的。与同伴交流。 (4)对比不同的建立平面直角坐标系的方法,你觉得哪一种更合理 谈谈你的看法。 (请大家独立思考,然后小组讨论。最后利用投屏交流展示) 预设情况:
活动2:对于边长为4的等边三角形ABC,建立适当的平面直角坐标系,写出各个顶点的坐标。 思考: (1)你是怎样建立平面直角坐标系的 各个顶点的坐标是多少 (2)还有其他建立平面直角坐标系的方法吗 (3)你认为怎样建立更合理,更易于解题 解:以边BC所在直线为x轴,以边BC的中垂线为y轴建立平面直角坐标系。 由等边三角形的性质可知,△ABO是直角三角形。 所以AO===2。 所以A(0,2),B(-2,0),C(2,0)。 意图说明 通过活动1和活动2让学生感受建立平面直角坐标系方法的多样性,为自主选择合适的平面直角坐标系研究图形的性质作好铺垫。通过问题的设计,让学生展示自己的成果,激发求知欲,提高学习兴趣。通过比较不同的方法,学生总结怎样建立平面直角坐标系更简捷高效,提高学生总结、辨析能力,突出优化思想。 探究二 根据已知点的坐标复原坐标系 图317 活动3:如图317在一次“寻宝”游戏中,寻宝人已经找到了A(3,2)和B(3,-2)两个标志点,并且知道藏宝地点的坐标为(4,4),除此之外不知道其他信息。如何确定平面直角坐标系找到“宝藏” 思考:如图317所示,如果不给你方格纸,你应该怎么办 (独立思考,小组讨论,交流展示) 解题思路:连接AB,由点A,点B的纵坐标可得,将线段AB分为四等份,即每一份为一个单位,线段AB的垂直平分线就是x轴。由垂足沿x轴向左数三个单位长度就是坐标原点,然后做出y轴,这样就建立出了平面直角坐标系。 意图说明 根据已知点的坐标来确定平面直角坐标系的原点、单位长度、坐标轴的位置,可以加深学生对平面直角坐标系的理解。
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板书设计 建立适当的平面直角坐标系描述图形的位置 1.建系原则 2.根据已知点的坐标复原坐标系 (1)点在坐标轴上 (2)特殊线段所在直线为坐标轴 (3)以某已知点为原点
教学反思
3 轴对称与坐标变化
课标摘录 在平面直角坐标系中,以坐标轴为对称轴,能写出一个已知顶点坐标的多边形的对称图形的顶点坐标,知道对应顶点坐标之间的关系。
素养目标 1.在同一平面直角坐标系中,感受图形上的点的坐标变化与图形的轴对称变换之间的关系。 2.掌握图形坐标变化与图形轴对称之间的关系。 3.体会平面直角坐标系是数与形之间的桥梁,感受代数与几何的相互转化,初步建立空间概念。
教学重难点 重点:经历图形坐标变化与图形轴对称变换之间关系的探索过程,发展形象思维能力,增强数形结合意识。 难点:由坐标的变化确定新旧图形之间的变化。
教学策略 教法:利用图形的轴对称性质,解决从图形变换到坐标变化问题,再解决从坐标变化到图形变换问题,引导学生从不同角度发现轴对称与坐标之间的变化规律。 学法:利用图形的轴对称性质,采用数形结合思想方法,发现并总结轴对称变换与坐标变化之间的规律,通过适量的练习巩固规律。
情境导入 周末小明逛美术馆时,发现一幅蝴蝶标本画,左右翅膀以中线为轴完全重合。若将其置于平面直角坐标系中,对应翅膀上的点坐标会有怎样的联系 让我们一起开启探索之旅。
新知初探 探究一 轴对称与坐标变化 活动1:△ABC与△A1B1C1在如图所示的平面直角坐标系中,仔细观察,回答下列各题: (1)△ABC与△A1B1C1有怎样的位置关系 (2)请在下表中填入点A与A1、点B与B1、点C与C1的坐标,并思考:这些对应点的坐标之间有什么关系 A:B:C:A1:B1:C1:
(3)如果点P(m,n)在△ABC内,那么它在△A1B1C1内的对应点P1的坐标是 。 解:(1)△ABC与△A1B1C1关于x轴对称。 (2)关于x轴对称的两个点的坐标,横坐标相同,纵坐标互为相反数。 (3)(m,-n) 活动2:如图所示的平面直角坐标系中,第一、第二象限内各有一面小旗。 (1)两面小旗有怎样的位置关系 对应点A与A1的坐标有什么关系 其他的对应点也有这个特点吗
(2)在这个平面直角坐标系中画出小旗ABCD关于x轴的对称图形,它的各个“顶点”的坐标与其对应点的坐标有什么关系 归纳总结:关于x轴对称的两个点的坐标,横坐标相同,纵坐标互为相反数;关于y轴对称的两个点的坐标,纵坐标相同,横坐标互为相反数。 意图说明 通过活动1的解决,将活动1的方法迁移到活动2中进一步讨论关于x轴或y轴对称的点的坐标的特征,借助于两人小组活动进一步总结归纳两个关于坐标轴对称的图形的坐标关系,建立“数”与“形”之间的联系,发展学生的数形结合意识,通过巩固练习加深新知识的理解和掌握。 探究二 坐标变化与图形变化 活动3: (1)在平面直角坐标系中依次连接下列各点:(0,0),(5,4),(3,0),(5,1),(5,-1),(3,0),(4,-2),(0,0)。你得到了一个怎样的图案 (2)将所得图案的各个“顶点”的纵坐标保持不变,横坐标分别乘-1,依次连接这些点,你会得到怎样的图案 这个图案与原图案有怎样的位置关系 解:(1)依次连接各点得到的图案如图319所示,它像一条小鱼。 图319 图320 (2)纵坐标保持不变,横坐标分别乘-1,所得各点的坐标依次是(0,0),(-5,4),(-3,0),(-5,1),(-5,-1),(-3,0),(-4,-2),(0,0),依次连接这些点,所得图案如图3-20所示,它与原图案关于y轴对称。 归纳总结: (1)关于x轴对称的两个图形上点的坐标特征:横坐标不变,纵坐标变为相反数。 (2)关于y轴对称的两个图形上点的坐标特征:纵坐标不变,横坐标变为相反数。 意图说明 通过小组分工合作的形式探索关于x轴或y轴对称的图形的对称点的坐标特征,培养学生合作学习的能力,在合作学习及小组分享的过程进一步感受轴对称与坐标变化之间的关系。
当堂达标 具体内容见同步课件
课堂小结 具体内容见同步课件
板书设计 轴对称与坐标变化 1.轴对称与坐标变化 2.坐标变化与图形变化 (1)关于x轴对称 (2)关于y轴对称
教学反思
第四章 一次函数
1.了解函数的概念和表示方法,能举出函数的实例。
2.能结合图象对简单实际问题中的函数关系进行分析。
3.能确定简单实际问题中函数自变量的取值范围,会求函数值。
4.能用适当的函数表示方法刻画简单实际问题中变量之间的关系,理解函数值的意义。
5.结合对函数关系的分析,能对变量的变化情况进行初步讨论。
6.结合具体情境体会一次函数的意义,能根据已知条件确定一次函数的表达式。
7.能画一次函数的图象,根据图象和表达式y=kx+b(k≠0)探索并理解k>0和k<0时图象的变化情况;理解正比例函数。
8.能用一次函数解决简单实际问题。
一次函数在初中数学教材体系中占据着关键地位。它是在学生学习了代数式、方程等基础知识后,对函数概念的首次深入探究,为后续学习二次函数、反比例函数等更复杂的函数类型奠定基础。从数学知识的发展脉络来看,一次函数是从常量数学到变量数学的重要过渡,帮助学生初步建立起函数思想,理解变量之间的依赖关系。在实际应用方面,一次函数能够解决众多生活和生产中的实际问题,如成本与利润计算、行程规划等,体现了数学的实用性,有助于培养学生运用数学知识,解决实际问题的能力。
1.初步理解函数的概念,在实际背景中感受自变量取值范围的意义;体会一次函数和正比例函数的意义,能根据所给信息确定一次函数表达式。
2.能画一次函数的图象,理解一次函数当k>0和k<0时图象的变化情况,并利用一次函数图象解决简单的实际问题。
3.在画一次函数的图象、探索一次函数图象的变化情况、利用一次函数的图象解决实际问题等过程中,体会数形结合的思想方法与一次函数y=kx+b中k与b的实际意义。
4.经历函数、一次函数等概念的抽象概括过程,体会函数的模型思想,进一步发展符号意识;经历一次函数的图象及其性质的探索过程,在合作与交流活动中发展合作交流的意识和能力。
5.经历利用一次函数及其图象解决实际问题的过程,发展应用意识;经历函数图象信息的识别与应用过程,发展几何直观。
重点:一次函数和正比例函数的概念、表达式、图象和性质,用待定系数法求一次函数表达式,用一次函数解决实际问题。
难点:理解一次函数的性质,尤其是函数图象的变化趋势与系数的关系,以及将实际问题转化为数学模型,运用一次函数知识求解。
1 函数
课标摘录 1.了解函数的概念和表示方法,能举出函数的实例。 2.能结合图象对简单实际问题中的函数关系进行分析。 3.能确定简单实际问题中函数自变量的取值范围,会求函数值。 4.能用适当的函数表示方法刻画简单实际问题中变量之间的关系,理解函数值的意义。 5.结合对函数关系的分析,能对变量的变化情况进行初步讨论。
素养目标 1.理解函数及其相关概念,并能判断两个变量之间的关系是不是函数关系。 2.了解函数的三种表达方式,并会用含有一个变量的代数式表示另一个变量。 3.经历对具体实例的研究过程,进一步发展抽象思维能力。
教学重难点 重点:函数的概念以及函数的三种表示方法。 难点:对函数概念的理解;把实际问题抽象概括,建立函数的数学模型。
教学策略 在教学中,通过“问题情境——建立模型——问题解决——反思拓展”的教学环节,让学生经历探究及数学建模的全过程,使学生能够抓住问题的本质,理解函数概念,初步形成利用函数观点认识现实世界的意识和能力,领会数学建模的思想和方法,提高数学的应用意识和应用数学知识解决实际问题的能力。
情境导入 你一定知道乌鸦喝水的故事吧!一个紧口瓶中盛有一些水,乌鸦想喝水,但是嘴够不着瓶中的水,于是乌鸦衔来一些小石子放入瓶中,瓶中水面的高度随石子的增多而上升,乌鸦喝到了水。但是还没解渴,瓶中水面就下降到乌鸦够不着的高度了,乌鸦只好再去衔些石子放入瓶中,水面又上升,乌鸦终于喝足了水,然后飞走了。如果设衔入瓶中石子的体积为x,瓶中水面的高度为y,下面能大致表示上面故事情节的图象是(B)
新知初探 探究一 函数的概念及表示方法 你坐过摩天轮吗 想一想,如果你坐在摩天轮上,随着时间的变化,你离地面的高度是如何变化的 活动1:图41反映了摩天轮上某一点离地面的高度h(单位:m)与旋转时间t(单位:min)之间的关系。 图41
问题1:根据图41填写下表: t/min012345…h/m
问题2:对于给定的时间t,相应的高度确定吗 活动2:圆柱形物体常常如图42那样堆放。随着层数的增加,物体的总数是如何变化的 图42 填写下表: 层数n12345…物体总数y…
活动3:一定质量的气体在体积不
目录
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第一章 勾股定理1
1 探索勾股定理2
第1课时 探索勾股定理2
第2课时 验证勾股定理及其简单应用4
2 一定是直角三角形吗6
3 勾股定理的应用8
☆问题解决策略:反思10
第二章 实数12
1 认识实数13
第1课时 无限不循环小数13
第2课时 实数15
2 平方根与立方根17
第1课时 算术平方根17
第2课时 平方根19
第3课时 立方根21
第4课时 估算23
3 二次根式25
第1课时 二次根式与二次根式的乘除
运算25
第2课时 最简二次根式与二次根式的
加减运算27
第3课时 二次根式的混合运算29
第三章 位置与坐标31
1 确定位置32
2 平面直角坐标系34
第1课时 平面直角坐标系的有关概念34
第2课时 平面直角坐标系中点的坐标特征36
第3课时 建立适当的平面直角坐标系
描述图形的位置38
3 轴对称与坐标变化40
第四章 一次函数42
1 函数43
2 认识一次函数45
第1课时“均匀”变化的量45
第2课时 一次函数与正比例函数的
概念47
第3课时 借助一次函数表达式解决实际问题49
3 一次函数的图象51
第1课时 正比例函数的图象与性质51
第2课时 一次函数的图象与性质53
4 一次函数的应用55
第1课时 确定一次函数的表达式55
第2课时 借助单个一次函数图象解决
实际问题57
第3课时 借助两个一次函数图象解决
实际问题59
第五章 二元一次方程组61
1 认识二元一次方程组62
2 二元一次方程组的解法64
第1课时 代入消元法64
第2课时 加减消元法66
3 二元一次方程组的应用68
第1课时 和差倍分问题68
第2课时 借助表格解决实际问题70第3课时 借助图形、图示解决实际 问题72
4 二元一次方程与一次函数74
第1课时 二元一次方程与一次函数的关系74
第2课时 用二元一次方程组确定一次函数表达式76
*5 三元一次方程组78
☆问题解决策略:逐步确定80
第六章 数据的分析82
1 平均数与方差83
第1课时 平均数与众数83
第2课时 加权平均数86
第3课时 方差88
第4课时 组内离差平方和90
2 中位数与箱线图93
第1课时 中位数93
第2课时 箱线图95
3 哪个团队收益大98
第七章 证明100
1 为什么要证明101
2 认识证明103
第1课时 定义与命题103
第2课时 定理与证明105
3 平行线的证明107
第1课时 平行线的判定107
第2课时 平行线的性质109
第一章 勾股定理
1.在具体现实情境中,学会从几何的角度发现问题和提出问题。
2.经历用几何直观和逻辑推理分析问题和解决问题的过程,培养应用意识和创新意识。
3.经历从不同角度观察立体图形的过程,知道简单立体图形的侧面展开图,发展几何直观和空间观念。
4.探索勾股定理及其逆定理,并能运用它们解决一些简单的实际问题。
勾股定理是数学中非常重要的一个定理,它在几何领域起着基石的作用。从初中数学知识体系来看,它连接了三角形的边长关系与直角三角形的特殊性质,为后续学习三角函数、解直角三角形等内容奠定基础。同时,在实际生活中的测量、建筑设计、工程计算等诸多领域都有广泛应用,体现了数学与生活的紧密联系,凸显了数学的实用性。本章设计了以下3节内容:第1节“探索勾股定理”,验证并应用勾股定理;第2节“一定是直角三角形吗”,探索勾股定理的逆定理;第3节“勾股定理的应用”,在实际应用中巩固勾股定理及其逆定理。在每节的编写中,按照“问题情境—建立模型—解释、应用与拓展”的模式展开,首先通过具体问题情境引入研究的必要性,接着设计探究活动获得有关结论,然后运用探究得到的结论解决具体问题。
1.经历勾股定理及其逆定理的探索过程,了解勾股定理的各种探究方法及其内在联系,进一步发展空间观念和推理能力。
2.掌握勾股定理及其逆定理,并能运用它们解决一些简单的实际问题。
3.通过实例了解勾股定理的历史与应用,体会勾股定理的文化价值。
重点:掌握勾股定理及其逆定理,理解勾股定理的面积验证。
难点:应用勾股定理及其逆定理解决实际问题。
1 探索勾股定理
第1课时 探索勾股定理
课标摘录 1.在具体现实情境中,学会从几何的角度发现问题和提出问题。 2.探索勾股定理,并能运用它们解决一些简单的实际问题。
素养目标 1.通过测量和数格子的方法,理解勾股定理反映的直角三角形的三边之间的数量关系,增强应用意识。 2.通过对勾股定理的理解,会初步运用勾股定理进行简单的计算,体会数形结合和由特殊到一般的思想方法。
教学重难点 重点:掌握勾股定理,并能用它解决一些简单的实际问题。 难点:勾股定理的探索过程。
教学策略 针对八年级学生的知识结构和心理特征,教师应立足于学生已有的生活经验和操作经验创造适当的问题情境,呈现出勾股定理的探索过程,对于可能出现的情况有一定的预见能力,发挥引导作用。
情境导入 图11 如图11所示,从电线杆离地面8 m处向地面拉一条钢索,如果这条钢索在地面的固定点距离电线杆底部6 m,那么需要多长的钢索 在直角三角形中,任意两条边确定了,另外一条边也就随之确定,三边之间存在着一种特定的数量关系。事实上,古人发现,直角三角形的三条边长度的平方存在一种特殊的关系。让我们一起去探索吧!
新知初探 探究一 勾股定理的初步认识 活动1:思考·交流 (1)在纸上画若干个直角三角形,分别测量它们的三条边,看看三条边长度的平方之间有怎样的关系。(与同伴交流) (2)如图所示,方格纸中每个小方格的边长为1,直角三角形三条边长度的平方分别是多少,它们满足上面所猜想的数量关系吗 你是如何计算的 与同伴交流。 学生活动:借助方格纸数正方形的面积进行验证。 可能存在的问题:正方形C的面积不能通过直接数得到,教师可通过课件展示,进行引导。学生可能用到的方法不同,教师给予肯定。 可能用到的求正方形C的面积的不同方法: 发现结论:以等腰直角三角形两直角边为边长的小正方形的面积的和,等于以斜边为边长的正方形的面积。
教师追问:一般的直角三角形是否也具有该性质呢 观察:
填表:
项目A的面积(单位面积)B的面积(单位面积)C的面积(单位面积)左图右图
分析:根据表中数据,你发现了什么 (3)如果直角三角形的两直角边的长度分别为1.6和2.4,那么上面所猜想的数量关系还成立吗 (与同伴交流) 通过探索,学生发现:直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。 教师总结:通过上面的活动,同学们一定已经发现:直角三角形两条直角边长度的平方和等于斜边长度的平方。我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾,较长的直角边称为股,斜边称为弦。因此,人们把上面的结论称为勾股定理。 归纳总结: 勾股定理:直角三角形两条直角边长度的平方和等于斜边长度的平方。如果用a,b和c分别表示直角三角形的两条直角边和斜边的长度,那么a2+b2=c2。 活动2:尝试·思考 在图11的问题中,需要多长的钢索 意图说明 测量和数格子等方法是本节课的教学难点,需要调动全体同学的积极性,留给学生充足的时间探究,同时借助多媒体动态演示,使学生感受勾股定理形成的过程,获得掌握知识的成就感,这对于学生良好思维品质的形成有重要作用。 探究二 初步运用勾股定理求直角三角形的边长 活动3: 如图所示,一高为5 m的竹竿,靠在高为4 m的墙上,这时竹竿底部与墙的距离是多少 解:在Rt△ABC中,根据勾股定理, 得BC2=AB2-AC2=52-42=9, 所以BC=3。 所以竹竿底部与墙的距离是3 m。 意图说明 加强对新知的理解,培养学生灵活应用所学知识解决数学问题的能力。
当堂达标 具体内容见同步课件
课堂小结 具体内容见同步课件
板书设计 探索勾股定理 1.探索发现:直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方 2.勾股定理:如果用a,b和c分别表示直角三角形的两直角边和斜边,那么a2+b2=c2
教学反思
第2课时 验证勾股定理及其简单应用
课标摘录 验证勾股定理,并能运用勾股定理解决一些简单的实际问题。
素养目标 1.掌握勾股定理及其验证方法,并能应用勾股定理解决一些实际问题。 2.经历勾股定理的验证过程,体会数形结合的思想和从特殊到一般的思想。 3.在勾股定理的验证过程中,培养探究能力和合作精神;通过对勾股定理历史的了解,感受数学文化,增强爱国情感,并通过应用勾股定理解决实际问题,培养应用数学的意识。
教学重难点 重点:运用割补、拼图的方法证明勾股定理。 难点:灵活应用勾股定理解决实际问题。
教学策略 在教师的组织引导下,采用自主探索、合作交流等方式,让学生思考问题、获取知识、掌握方法,培养学生动手、动口、动脑的能力,使学生真正成为学习的主体。
情境导入 教师:上一节课,我们通过测量和数格子的方法发现了勾股定理。如图所示,分别以直角三角形的三条边为边长向外作正方形,你能利用这个图说明勾股定理的正确性吗 你是如何做的 学生活动:思考·交流。 教师:对于一般的直角三角形,勾股定理是否成立呢 这需要进一步验证,事实上,现在已经有几百种勾股定理的验证方法,这节课我们也来验证勾股定理。
新知初探 探究一 验证勾股定理 活动1:计算上图中大正方形的面积 教师导入,小组拼图。 教师:今天我们将研究利用拼图的方法验证勾股定理,请你利用自己准备的四个全等的直角三角形,拼出一个以斜边为边长的正方形。 学生动手环节:请每位同学用2 min时间独立拼图,然后再4人一组进行讨论。 学生通过自主探究、小组讨论,可能得到如图(1),图(2)所示的两个图形。 活动2:层层设问,完成验证。 教师提问: (1)如图(1)所示,你能表示大正方形的面积吗 有不同的方法吗 (学生先独立思考,再4人小组交流); (2)你能由此得到勾股定理吗 为什么 (在学生回答的基础上板书(a+b)2=4×ab+c2,并得到a2+b2=c2) 活动3:学生自主探究,利用图(2)验证勾股定理。
教师小结:我们利用拼图的方法,将形的问题与数的问题结合起来,联系整式运算的有关知识,从理论上验证了勾股定理,你还能利用图(2)验证勾股定理吗 意图说明 通过学生自己动手操作,让学生在活动中体会图形的构成,既为勾股定理的验证作铺垫,同时又培养学生的动手能力和创新能力,让学生体会数形结合的思想,加强学生的动手、动脑能力。 探究二 勾股定理的应用 例题 在一次军事演习中,红方侦察员王叔叔在距离一条东西向公路400 m处侦察,发现一辆蓝方汽车在这条公路上疾驶。他用红外测距仪测得汽车与他相距400 m;过了10 s,测得汽车与他相距500 m。你能帮王叔叔计算蓝方汽车这10 s的平均速度吗 解:根据题意,可以画出如图所示的大致图形,其中点A表示王叔叔所在位置,点C、点B表示两个时刻蓝方汽车的位置。由于王叔叔距离公路400 m,因此∠C是直角。由勾股定理,可得AB2=BC2+AC2, 也就是5002=BC2+4002。所以BC=300。 蓝方汽车10 s行驶了300 m,那么它1 s行驶的距离为300÷10=30(m),即蓝方汽车这10 s的平均速度为30 m/s。 意图说明 通过验证勾股定理和初步运用勾股定理解决实际问题,强化应用意识,在应用中体会勾股定理的价值。 探究三 拓展应用 在前面已经讨论了直角三角形三边长满足的关系,那么锐角三角形或钝角三角形的三边长是否也满足这一关系呢 教师展示课件。 问题:观察图片,判断图中三角形的三边长是否满足a2+b2=c2。 让学生尝试利用上面的方法借助方格纸进行推导,教师引导。 学生经过推导后可请一位同学展示自己的结论。 结论1:若钝角三角形中较长边长度为c,较短边长度为a,b,则 a2+b2
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课堂小结 具体内容见同步课件
板书设计 验证勾股定理及其简单应用
教学反思
2 一定是直角三角形吗
课标摘录 探索勾股定理的逆定理,并能运用它们解决一些简单的实际问题。
素养目标 1.理解勾股定理逆定理的具体内容及勾股数的概念。 2.能根据所给三角形三边的条件判断三角形是否为直角三角形。 3.经历一般规律的探索过程,发展学生的抽象思维能力、归纳能力。
教学重难点 重点:经历勾股定理的逆定理的探索过程,进一步发展推理能力。 难点:利用勾股定理的逆定理解决实际问题。
教学策略 教师引导与学生动手操作相结合,学生通过实验—猜想—归纳—论证的过程加深对定理的理解。在突破重难点时让学生亲自动手画三角形,并且让他们用量角器量角的度数,通过自己的活动来得到勾股定理的逆定理,加深印象,提高兴趣。
情境导入 教师提问:古埃及人曾用有13个等距的结的绳子得到了直角,同学们,你们知道古埃及人是用什么方法得到直角的吗 拿出准备好的绳子,每个小组1根,动手操作并交流讨论。
新知初探 探究一 探究勾股定理的逆定理 活动1:下面的每组数分别是一个三角形的三条边的长度a,b,c:①3,4,5;②5,12,13;③8,15,17;④7,24,25。 问题1:这四组数都满足a2+b2=c2吗 学生认真计算,也可借助计算器辅助计算。 答案预设:①②③④都满足a2+b2=c2; 问题2:分别以每组数为三条边的长度画出三角形,用量角器量一量,它们都是直角三角形吗 学生分小组讨论,每个小组可以任选其中的一组数。 学生充分讨论后,汇总各小组实验结果如下: ①3,4,5可以构成直角三角形;②5,12,13可以构成直角三角形;③8,15,17可以构成直角三角形;④7,24,25可以构成直角三角形。 猜想:如果三角形三条边的长度a,b,c满足a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形。 提问:利用量角器测量结果可能有误差,有没有更有说服力的理由 答案预设: 理由一:锐角三角形和钝角三角形中,任意两边的平方和都不等于第三边的平方。因此,以3,4,5为边长的三角形不是锐角三角形和钝角三角形,一定是直角三角形。(其他同理) 理由二:以3和4为邻边构造三角形,观察随着夹角的增大,第三边的变化趋势。
随着夹角增大,第三边的长度也越来越大,根据勾股定理,夹角是直角时,第三边长度是5,夹角不是直角时,第三边长度肯定不是5,因此,边长为3,4,5的三角形一定是直角三角形。(其他同理) 明确猜想,引出勾股数的定义。 归纳总结: (1)勾股定理的逆定理:如果三角形三条边的长度a,b,c满足a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形。 (2)勾股数:满足a2+b2=c2的三个正整数,称为勾股数。 追问: (1)同学们还能找出哪些勾股数呢 (2)今天的结论与前面学习的勾股定理有哪些异同呢 (3)到今天为止,你能用哪些方法判断一个三角形是直角三角形呢 (4)通过合作探究,你能总结出一个数学结论的发现要经历哪些过程吗 意图说明 探索勾股定理的逆定理的过程让学生经历科学探索的一般方法:“实验—猜想—论证”,从特殊到一般再回到特殊,积累数学基本活动经验,通过几何画板直观感受,再到推理求证引导学生条理化,规范学生书写几何推理的正确格式,体会数学和其他学科最大的区别就是通过严格的逻辑推理证明得到的结论。 探究二 勾股定理逆定理的应用 活动2: 图(1) 图(2) 一个零件的形状如图(1)所示,按规定这个零件中∠A和∠DBC都应为直角。工人师傅量得这个零件各边尺寸如图(2)所示,这个零件符合要求吗 解:在△ABD中,AB2+AD2=9+16=25=BD2,所以△ABD是直角三角形,∠A是直角。 在△BCD中,BD2+BC2=25+144=169=CD2,所以△BCD是直角三角形,∠DBC是直角。 因此,这个零件符合要求。 意图说明 初步运用勾股定理的逆定理解决实际问题,强化应用意识,巩固直角三角形的判定方法,规范解题步骤。
当堂达标 具体内容见同步课件
课堂小结 具体内容见同步课件
板书设计 一定是直角三角形吗
教学反思
3 勾股定理的应用
课标摘录 探索勾股定理及其逆定理,并能运用它们解决一些简单的实际问题。
素养目标 1.能正确运用勾股定理及其逆定理解决一些简单的实际问题,进一步发展应用意识. 2.能熟练运用勾股定理求最短距离。 3.通过问题情境的设立,帮助学生体会数学来源于生活,又应用于生活,积累利用勾股定理的知识解决生活中实际问题的经验和方法。
教学重难点 重点:利用勾股定理解决简单的实际问题。 难点:从实际问题中合理抽象出数学模型。
教学策略 通过演示,引导学生观察、联想、分析,运用各种手段激发学习欲望和兴趣,组织学生活动,让学生主动参与学习全过程。切实体现学生的主体地位,让学生通过观察、分析、讨论、操作、归纳等理解定理,提高学生的分析问题和解决问题的能力。
情境导入 装修工人李叔叔想检测某块装修用砖的边AD和边BC是否分别垂直于底边AB。 (1)如果李叔叔随身只带了卷尺,那么你能替他想办法完成任务吗 (2)李叔叔测得边AD长30 cm,边AB长40 cm,点B,D之间的距离是50 cm。边AD垂直于边AB吗 (3)如果李叔叔随身只带了一个长度为20 cm的刻度尺,那么他能检验边AD是否垂直于边AB吗 方法总结:判断线段的垂直关系时,一般是把线段放到三角形中,利用勾股定理的逆定理证得直角三角形,进而得到线段的垂直关系.
新知初探 探究一 折叠问题 活动1: 如图所示,正方形纸片ABCD的边长为8 cm,点E是边AD的中点,将这个正方形纸片翻折,使点C落在点E处,折痕交边AB于点G,交边CD于点F,你能求出DF的长吗 学生活动:利用生活常识与已有的知识将数据与图形相结合,标出对应的数据,小组讨论找出直角三角形并利用勾股定理解答。 解:因为正方形ABCD的边长为8 cm, 所以AD=CD=8 cm。 因为点E是边AD的中点, 所以DE=4 cm。设DF=x cm,则FC=(8-x)cm。 由折叠知,EF=FC=(8-x)cm, 在Rt△DEF中,根据勾股定理,得DE2+DF2=EF2, 所以42+x2=(8-x)2, 解得x=3。 故DF的长为3 cm。
意图说明 利用方程将几何与代数联系起来,将实际问题与数学模型再次形象地联系到一起,从而加深学生的印象。 探究二 应用勾股定理解决实际问题 活动2:今有池方一丈,葭生其中央,出水一尺。引葭赴岸,适与岸齐。问水深、葭长各几何 (选自《九章算术》) 题目大意:如图所示,有一个水池,水面是一个边长为1丈(1丈=10尺)的正方形。在水池正中央有一根新生的芦苇,它高出水面1尺。如果把这根芦苇垂直拉向岸边,那么它的顶端恰好到达岸边的水面。这个水池的深度和这根芦苇的长度各是多少 解:设水池的深度OA为x尺,则芦苇的长度OB为(x+1)尺。由于芦苇位于水池中央,所以AC为5尺。 在Rt△OAC中。 由勾股定理,得AC2+OA2=OC2, 即52+x2=(x+1)2, 解得x=12。12+1=13。 因此,水池的深度是12尺,芦苇的长度是13尺。 意图说明 考查学生对生活知识的积累,进一步感受勾股定理与生活的联系,增强应用意识。
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板书设计 勾股定理的应用
教学反思
☆问题解决策略:反思
课标摘录 1.在具体现实情境中,学会从几何的角度发现问题和提出问题。 2.经历用几何直观和逻辑推理分析问题和解决问题的过程,培养应用意识和创新意识。 3.经历从不同角度观察立体图形的过程,知道简单立体图形的侧面展开图,发展几何直观和空间观念。
素养目标 1.能熟练运用勾股定理求最短距离。 2.能运用勾股定理及其逆定理解决简单的实际问题。 3.培养空间想象力,并增强数学知识的应用意识。
教学重难点 重点:能运用勾股定理及其逆定理解决简单的实际问题。 难点:把立体图形转化成平面图形;在实际问题中构造直角三角形并利用代数解法来解决问题。
教学策略 根据新课标提出的“要从学生已有的生活经验出发,让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释和运用的同时,在思维能力、情感态度和价值观等方面得到进步和发展”的理念,给学生创设丰富的实际问题情境,使教学活动充满趣味性和吸引力,让他们在自主探究、合作交流中分析问题,建立数学模型,利用勾股定理及其逆定理解决问题。在教学过程中,采用一题多变的形式拓宽学生视野,训练学生思维的灵活性,渗透化归的思想以及分类讨论思想、建模思想等,使学生在获得知识的同时提高能力。
情境导入 看图片,引出问题:有一块长方形绿地,绿地周边是小路,在绿地旁边的B处有健身器材。居住在A处的个别居民在看到牌子上“禁止踩踏花草,文明步行”后,为了走近路仍然会直接从A处走到B处。各位同学,你知道他们为什么不走绿地周边的路吗
新知初探 探究 问题解决策略:反思 问题:如图所示,一个圆柱的高为12 cm,底面圆的周长为18 cm。在圆柱的下底面的点A处有一只蚂蚁,它想吃到上底面上与点A相对的点B处的食物,那么它沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少 活动1:理解问题 (1)在这个问题中,已知条件有哪些 你认为已知条件足够解决这个问题吗 (2)沿侧面爬行的可能路线有哪些 什么情况下路线最短 请你用圆柱形水杯等物品实际感受一下。 学生活动:学生讨论,交流,寻找解决问题的途径,并得出正确结论。 活动2:拟订计划 (1)以前研究过最短路线问题吗 这个问题与以前研究的最短路线问题有什么不同 (2)如何将曲面上的最短路线问题转化为平面上的最短路线问题 各个点的位置如何确定 师生活动:给予学生一定的时间去思考,充分讨论,争取让学生自己得到正确答案,并对学习有困难的学生适当引导、点拨。
活动3:实施计划 (1)如图所示,将圆柱侧面剪开,确定展开图的形状,以及与圆柱的对应关系。 (2)在图中标出点B的位置。 (3)在图中确定A,B两点之间最短的路线,并计算它的长度。 学生活动:小组合作探究。 师生合作探究: (1)用做好的圆柱,尝试从点A到点B沿圆柱侧面画出几条路线。你觉得哪条路线最短呢 (2)如图所示,将圆柱侧面剪开,展成一个长方形,从点A到点B的最短路线是什么 你画对了吗 教师总结:将圆柱的侧面展开是一个长方形,点B位于长方形长边的中点位置。 根据两点间线段最短,线段AB就是从点A到点B的最短路线。 如图所示,依题意,在Rt△ABC中,∠C是直角,BC=18÷2=9(cm),AC=12(cm), 根据勾股定理,得AB2=AC2+BC2=122+92=225。 解得AB=15 cm。 所以,蚂蚁爬行的最短路程是15 cm。 小结:立体图形中求两点间的最短距离,一般把立体图形展开成平面图形,连接两点,根据两点之间线段最短确定最短路线。 活动4:回顾反思 (1)在拟订解决问题的方案和实施方案的过程中,你获得了哪些经验 与同伴进行交流。 (2)在这个问题中,影响结果的量有哪些 如果改变有关的量,你还能求解吗 例如,改变圆柱的形状,改变A,B两点的位置,改为沿着圆柱表面爬行……这时又会有哪些新的问题 选择部分问题进行研究,并与同伴进行交流。 (3)解决这个问题的经验,还可以运用到哪些问题中 例如,能否解决正方体、长方体等几何体表面两点之间的最短距离问题 (4)生活中还有哪些现实问题涉及几何体表面上的最短距离 举几个实例,并思考解决问题的方案。 (5)对于解决问题之后的回顾反思,你有哪些体会 与同伴进行交流。 归纳总结: 解决问题之后的反思,一般可以关注以下几个方面:反思解决问题的过程,强化解决问题的经验;比较解决问题的方法,形成多样的解决问题的方法;思考方法的本质,促进方法的运用;改变问题的条件,研究更多的问题。 意图说明 (1)通过自主学习,培养学生自主探究学习的能力。 (2)问题具体化,让学生亲历知识生成的过程,明确本节的重点,突破难点。 (3)问题的层次化引导了学生数学模型的建立。 (4)通过反思培养学生的语言表达能力、归纳总结能力等。
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板书设计 问题解决策略:反思 1.情境导入 2.问题解答 3.归纳总结
教学反思
第二章 实数
1.了解平方根、算术平方根、立方根的概念,会用根号表示数的平方根、算术平方根、立方根。
2.了解乘方与开方互为逆运算,会用平方运算求百以内完全平方数的平方根,会用立方运算求千以内完全立方数(及对应的负整数)的立方根,会用计算器计算平方根和立方根。
3.能用有理数估计一个无理数的大致范围。
4.了解近似数,在解决实际问题时,能用计算器进行近似计算,会按问题的要求进行简单的近似计算。
5.了解二次根式、最简二次根式的概念,了解二次根式(根号下仅限于数)加、减、乘、除运算法则,会用它们进行简单的四则运算。
从有理数扩充到实数是初中阶段数系扩充的最后一个阶段,中学阶段的多数问题是在实数范围内进行的,同时实数也是后继内容(如一元二次方程、函数等)学习的基础。因此,本章学习内容具有基础性,应要求学生能熟练掌握有关实数的运算,适应后续学习的需要。学生以前经历过数系的第一次扩充,已经积累了一些数系扩充的学习经验,感受到数系扩充是源于实际生活的需要。本章再次引领学生经历数系扩充的过程,感受数系扩充的必要性。本章大致按照如下线索展开内容:无理数的引入—无理数的表示—实数的相关概念及其运算(包括简单的二次根式的化简),实数的应用贯穿于内容的始终。
1.经历数系扩充、探求实数性质及其运算规律、借助计算器探索数学规律等活动过程,发展抽象概括能力,并在活动中进一步发展学生独立思考、合作交流的意识和能力。
2.结合具体情境理解估算的意义,能进行简单的估算,进一步发展数感和估算能力。
3.了解平方根、立方根、二次根式、最简二次根式、实数及其相关概念;会求平方根、立方根;能进行有关实数的简单四则运算和简单的二次根式化简,发展运算能力。
4.能运用实数的运算解决简单的实际问题,提高应用意识,发展解决问题的能力,从中体会数学的应用价值。
重点:实数的概念与分类,平方根与立方根的定义、性质及运算,实数的基本运算。
难点:无理数概念的抽象理解,运算顺序的准确把握,以及数形结合思想在解决实数问题中的应用。
1 认识实数
第1课时 无限不循环小数
课标摘录 1.了解无理数和实数,感悟数的扩充。 2.能用有理数估计一个无理数的大致范围。
素养目标 1.经历无限不循环小数的发现过程,感受认识无理数的必要性。 2.经历探索与思考,会判断一个数是不是有理数。 3.通过举例、作图等活动,能准确、严谨地表达自己的想法,描述实际背景中存在的无理数。
教学重难点 重点:1.会判断一个数是不是有理数。 2.感受生活中存在着大量不是有理数的数,并能举例。 难点:推理验证“a2=2时,a不是有理数”。
教学策略 通过引入生活实例,使学生能够直观地理解实数与生活的紧密联系,激发学生的学习兴趣和动力,提高他们的学习积极性。在讲授新知过程中,采用启发式教学方法,引导学生主动发现数系扩充的必要性,培养学生的数学思维能力和解决问题的能力。组织学生进行小组合作讨论,鼓励他们分享自己的想法和经验,培养学生的团队合作意识和沟通能力,提高他们的学习效果。在教学评价方面,采用多元化评价方式,既关注学生的知识掌握程度,也注重培养他们的数学情感、态度和价值观,帮助学生全面发展。
情境导入 小红是一名八年级的学生,一个周末的上午,当工程师的爸爸给小红出了一道数学题:一个边长为6 cm的正方形木板,按如图所示的痕迹锯掉四个一样的直角三角形。请计算剩下的正方形木板的面积。剩下的正方形木板的边长又是多少 你见过这个数吗 你能帮小红解决这个问题吗
新知初探 探究一 a是有理数吗 活动1:由于换了新桌子,原来边长为1的小正方形桌布不够用了,请你剪一剪、拼一拼,将两块边长为1的小正方形桌布拼成一块大正方形桌布。 请同学们合作讨论下列问题: (1)设大正方形的边长为a,a满足什么条件 (2)a可能是整数吗 说说你的理由。 (3)a可能是分数吗 说说你的理由,并与同伴进行交流。 学生活动:(1)动手用两张正方形纸块剪一剪、拼一拼; (2)展示多种剪拼法,比较它们的异同,发现不管怎么拼,拼成的大正方形的面积总是2; (3)通过思考“若用a表示大正方形的边长,a满足什么条件 ”再次得到a2=2,感受像a这样的数在生活中真实存在。 小结:事实上,满足等式a2=2的a既不是整数,也不是分数,所以a不是有理数。
意图说明 (1)通过探究实践性问题——将小正方形桌布拼成大正方形桌布,一方面渗透勤俭节约的生活习惯,让学生感受数学来源于生活,感受身边的无理数;另一方面提升学生的动手能力、合作能力和表达能力。 (2)通过探究a不是有理数的过程,让学生感受数学推理的方法,激发学生思考,提升学生推理能力和数学语言的表达能力,感受分类讨论的数学思想和从特殊到一般的数学方法。 探究二 生活中还有哪些数不是有理数 活动2:如图所示,以直角三角形的斜边为边的正方形的面积是多少 请同学们合作讨论下列问题: (1)设该正方形的边长为b,b满足什么条件 (2)b是有理数吗 小结:在上面的两个问题中,数a,b确实存在,但都不是有理数。 意图说明 加深学生对不是有理数的数的认识与理解,充分体会实际背景中这类数的广泛性,感悟数的扩充,并增强应用意识,建立与实际问题的联系,培养学生数学的眼光,提高他们的思维与表达能力。 探究三 无限不循环小数 活动3:面积为2的正方形的边长a究竟是多少呢 (1)如图所示,三个正方形的边长之间有怎样的大小关系 说说你的理由。 (2)边长a的整数部分是几 十分位是几 百分位呢 千分位呢 ……借助计算器进行探索。 (3)小明将他的探索过程整理如下,你的结果呢 边长a面积S1
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板书设计 无限不循环小数 1.a是有理数吗 2.生活中还有哪些数不是有理数 3.无限不循环小数
教学反思
第2课时 实数
课标摘录 1.初步认识实数与数轴上的点具有一一对应关系,能借助数轴理解相反数和绝对值的意义,会求实数的相反数、绝对值。 2.能利用数轴上的点表示一些具体的实数,能比较实数的大小。
素养目标 1.掌握无理数的概念。 2.了解实数的概念和意义,能按要求对实数进行分类。 3.通过类比有理数的学习经验,探索实数范围内的相反数、倒数、绝对值的意义。 4.了解实数和数轴上的点一一对应,体会数形结合思想。
教学重难点 重点:1.了解实数的概念和意义,能按要求对实数进行分类。 2.求实数范围内的相反数、倒数、绝对值。 难点:会在数轴上表示实数。
教学策略 实数是在有理数和勾股定理等知识基础上进行的第二次数系扩充,在教学中注意运用类比方法,使学生明确新旧知识之间的联系,如实数的相反数、倒数、绝对值等概念可完全类比有理数建立,并通过例题和习题来巩固,适当加深对它们的认识。
情境导入 数学家哈代在《一个数学家的辩白》中提到:当埃斯库罗斯(古希腊诗人)被人们遗忘了,阿基米德仍会被人们记住,因为语言文字会消亡,而数学思想却不会。数的发展与人类的发展密不可分。在生活中,有理数够用吗 答案是不够的,熟知勾股定理的毕达哥拉斯学派信徒希伯索斯发现,如边长为1的正方形的对角线的长,无论如何都无法用整数或整数之比来表示,希伯索斯的这一发现,导致了第一次数学危机的产生。这个无法用整数或整数之比来表示的数就是我们最近学习的无理数。
新知初探 探究一 认识实数 活动1:把下列各数表示成小数,你发现了什么 3,,,-,。 解:3=3.0,=0.8,=0.,-=-0.1,=0.。 分数化成小数,最终此小数的表达形式有哪几种 分数只能化成有限小数或无限循环小数,即任何有限小数或无限循环小数都是有理数。 像0.585 885 888 588 885…,1.414 213 56…,-2.236 067 9…等这些数的小数位数都是无限的,并且不是循环的,它们都是无限不循环小数。我们把无限不循环小数称为无理数。(圆周率π=3.141 592 65…也是一个无限不循环小数,故π是无理数)。 小结:有理数与无理数的区别 (1)有理数是有限小数或无限循环小数,无理数是无限不循环小数。 (2)所有的有理数都能化成分数(整数可以看成分母为1的分数),无理数不能化成分数。(形似分数,但它不是分数,是无理数)
活动2:下列各数中,哪些是有理数,哪些是无理数 3.14,-,0.,0.101 000 100 000 1…(相邻两个1之间0的个数逐次加2)。 解:有理数有3.14,-,0.; 无理数有0.101 000 100 000 1…(相邻两个1之间0的个数逐次加2)。 小结:有理数和无理数统称实数,即实数可以分为有理数和无理数。 活动3:无理数和有理数一样,也有正负之分吗 (1)请你把上面例题中的各数填入下面相应的集合内。 正数集合 负数集合 (2)还记得有理数的分类方法吗 你能用类似的方法对实数进行分类吗 思考: (1)在实数范围内,相反数、倒数、绝对值的意义与有理数范围内的相反数、倒数、绝对值的意义完全一样吗 你还知道哪些 (2)有理数的运算法则及运算律对实数仍然适用吗 小结: (1)a是一个实数,它的相反数为-a,绝对值为|a|。 (2)如果a≠0,那么它的倒数为。 意图说明 通过问题的引导,让学生归纳出无理数和实数的概念,学生再次体验用类比思想对实数进行分类,培养大胆猜想的意识。也为下节课的学习埋下伏笔,激起学生的求知欲和好奇心。 探究二 在数轴上表示实数 活动4:课本第25页讨论的两个正方形,边长分别是a,b,且满足a2=2,b2=5。 (1)如图所示,OA=OB,数轴上点A对应a,b中的哪个数 (2)你能在数轴上找到另一个数对应的点吗 与同伴进行交流。 (3)如果将所有实数都标到数轴上,那么数轴能被填满了吗 小结:每一个实数都可以用数轴上的一个点表示;反过来,数轴上的每一个点都表示一个实数。也就是说,实数和数轴上的点是一一对应的。 意图说明 通过正方形、长方形,化无形为有形,用现有的无理数让学生明白数轴上不仅可以表示有理数,还可以表示无理数。并且实物操作也可降低这部分难度,让学生在动手中从形象思维比较自然地上升到抽象的数学模型。
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板书设计 实数 1.无理数 2.实数 3.实数的分类 4.在数轴上表示实数
教学反思
2 平方根与立方根
第1课时 算术平方根
课标摘录 了解算术平方根的概念,会用根号表示一个数的算术平方根。
素养目标 1.了解算术平方根的概念,会用根号表示一个数的算术平方根。 2.根据算术平方根的概念,会求非负数的算术平方根。 3.了解算术平方根的性质。
教学重难点 重点:算术平方根的概念和求法。 难点:1.对算术平方根概念中被开方数非负性的理解。 2.能运用算术平方根解决实际问题及相关综合计算。
教学策略 通过创设问题情境,引导学生回顾已学知识,自主探究算术平方根的概念,在小组合作交流中深化对概念的理解和应用,教师进行详细讲解和示范,帮助学生掌握算术平方根的求法,最后借助练习巩固所学知识,提高学生的解题能力和数学思维能力。
情境导入 学校要举行美术作品比赛,小明很高兴,他想裁出一块面积为25 dm2的正方形画布,画上自己的作品参加比赛,这块正方形画布的边长应取多少 你能帮小明算一算吗
新知初探 探究一 算术平方根的概念和性质 活动1:请大家根据勾股定理,结合图形完成填空: x2= ,y2= ,z2= ,w2= 。 思考:x,y,z,w中哪些是有理数 哪些是无理数 你能表示它们吗 活动2:填表 正方形的边长/cm120.5正方形的面积/cm2140.25
讨论:你能从表中发现什么共同点吗 已知一个正数,求这个正数的平方,这是平方运算。 正方形的面积/cm2140.3649正方形的边长/cm120.67
讨论:你能从表中发现什么共同点吗 已知一个正数的平方,求这个正数。 两表中的两种运算有什么关系 小组讨论,分享结果。 归纳总结:一般地,如果一个正数x的平方等于a,即x2=a,那么这个正数x就叫作a的算术平方根,记作,读作“根号a”。 特别地,我们规定:0的算术平方根是0,即=0。 思考:怎么用符号来表示一个数的算术平方根
问题1:一个正数的算术平方根有几个 答:一个正数的算术平方根有1个。 问题2:0的算术平方根有几个 答:0的算术平方根有1个,是0。 问题3:-1有算术平方根吗 负数有算术平方根吗 答:没有;负数没有算术平方根。 活动3:求下列各数的算术平方根 (1)900; (2)1; (3); (4)14。 解:(1)因为302=900,所以900的算术平方根是30,即=30。 (2)因为12=1,所以1的算术平方根是1,即=1。 (3)因为2=,所以的算术平方根是,即=。 (4)14的算术平方根是。 思考:(1)在上面的习题中,一些数的算术平方根的结果没有“”了,这些数有什么特点 (2)在上面的习题中,=30,也就是=30。一般地,当a≥0时,=a成立吗 (3)()2=a成立吗 这里的a是什么数 你是怎样理解的 与同伴进行交流。 小结:当a≥0时,=a,()2=a;当a<0时,=-a。 意图说明 通过多个具体实例,引导学生从特殊到一般,归纳总结出算术平方根的概念,培养学生的抽象概括能力。让学生在思考和回答问题的过程中,更好地理解算术平方根的概念的形成过程。 探究二 算术平方根的应用 活动4:由静止自由下落的物体下落的距离s(单位:m)与下落时间t(单位:s)的关系为s=4.9t2。有一个铁球从19.6 m高的建筑物上由静止自由下落,到达地面需要多长时间 解:将s=19.6代入公式s=4.9t2, 得t2=4,所以t==2。 因此,铁球到达地面需要2 s。 小结: 算术平方根的双重非负性: (1)被开方数a≥0;(2)a的算术平方根≥0。 也就是说,非负数的“算术”平方根是非负数。负数不存在算术平方根,即当a<0时,无意义。 意图说明 通过具体的实例,让学生感受算术平方根的实际应用,加深对所学知识的理解。
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板书设计 算术平方根 1.算术平方根的概念 2.算术平方根的性质 3.算术平方根的应用
教学反思
第2课时 平方根
课标摘录 1.了解平方根的概念,会用根号表示数的平方根。 2.了解乘方与开方互为逆运算,会用平方运算求百以内完全平方数的平方根。
素养目标 1.理解平方根的概念,掌握平方根与算术平方根的区别与联系,能准确求出一个数的平方根。 2.理解开平方与平方互为逆运算,会用平方运算求平方根,培养学生的逆向思维能力。
教学重难点 重点:平方根的概念及求法。 难点:区分平方根与算术平方根的概念。
教学策略 利用现代化的教学工具,将抽象的数学概念转化为直观、形象的视觉展示,让学生更容易理解和接受。在讲解平方根时,可以在数轴上清晰地标示出数的平方和开平方的过程,让学生直观地看到一个数在平方和开平方过程中的位置变化。同时,借助多媒体动画,动态展示一个数的平方以及求其平方根的全过程,比如从3的平方得到9,再从9求其平方根得到±3,这种直观的动态演示,能够让学生更深刻地理解平方根的概念和特点。
温故知新 1.什么叫算术平方根 怎样表示 2.我们已经学习过哪些运算 它们中互为逆运算的是什么 3.求下列各式的值: (1)36的算术平方根是 ;(2)17的算术平方根是 ; (3)的算术平方根是 ;(4)的算术平方根是 。
新知初探 探究一 平方根的概念及性质 活动1:填一填 (1)3的平方等于9,那么9的算术平方根就是 ; (2)的平方等于,那么的算术平方根就是 ; (3)展厅地面为正方形,其面积为49 m2,则边长为 m。 问题:平方等于9,,49的数还有吗 分别是什么 活动2:填一填 ( )2=9;( )2=;( )2=49。 问题:上述都是形如x2=a的式子,x的取值范围是什么 类比算术平方根的概念,你能得到新的概念吗 算术平方根的定义:一般地,如果一个 正数x 的平方等于a,即x2=a,那么这个正数x就叫作a的算术平方根,即x=。 类比可得,平方根的定义: 。 活动3:尝试·思考 (1)144的平方根是什么 (2)0的平方根是什么 (3)的平方根是什么 (4)-4有没有平方根 为什么
通过对这些题目的解答,你能得出什么结论 思考:(1)一个正数有几个平方根 (2)0有几个平方根 (3)负数呢 归纳总结: 平方根的性质: (1)一个正数有 两 个平方根,两个平方根 互为相反数 ,其中 正的平方根 为算术平方根。 (2)0的平方根是 0 。 (3)负数 没有 平方根。 意图说明 从具体问题引出平方根的概念,让学生更容易理解。通过提问,引导学生运用定义求一个数的平方根,加深对概念的理解。同时,强调平方根的性质,为后续的学习和计算奠定基础。 探究二 开平方及其运算 活动4:已知一个数,求它的平方的运算,叫作平方运算。反之,已知一个数的平方,求这个数的运算叫什么 答:求一个数a的平方根的运算,叫作开平方,a叫作被开方数。平方与开平方互为逆运算。 活动5:求下列各数的平方根 (1)64; (2); (3)0.000 4; (4)(-25)2; (5)11。 解:(1)因为(±8)2=64,所以64的平方根是±8,即±=±8。 (2)因为±2=,所以的平方根是±,即±=±。 (3)(±0.02)2=0.000 4,所以0.000 4的平方根是±0.02,即±=±0.02。 (4)因为(±25)2=(-25)2,所以(-25)2的平方根是±25,即±=±25。 (5)11的平方根是±。 活动6:求下列各式的值 (1);(2)-;(3)。 解:(1)==15。 (2)-=-=-。 (3)=8。 意图说明 通过对具体习题的讲解,让学生掌握求平方根的方法和书写规范。活动5着重练习求一个数的平方根的基本方法,活动6则进一步强化对平方根符号表示的理解和运用,培养学生的运算能力和严谨的数学态度。
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板书设计 平方根 1.平方根的概念 2.平方根的性质 3.习题讲解 4.归纳总结
教学反思
第3课时 立方根
课标摘录 1.了解立方根的概念,会用根号表示数的立方根。 2.了解立方与开立方互为逆运算,会用立方运算求千以内完全立方数(及对应的负整数)的立方根。
素养目标 1.理解立方根的概念和性质,并会用根号表示一个数的立方根。 2.能用立方运算求某些数的立方根,了解开立方与立方互为逆运算。 3.能用类比的方法学习立方根的有关知识,领会类比思想。
教学重难点 重点:立方根的概念及应用。 难点:用类比方法探究立方根的定义,用类比的数学思想化未知为已知解决问题。
教学策略 1.情境引入法:通过创设实际问题情境,通过求一个三阶魔方每个小正方体的棱长,引出立方根概念,激发学生的学习兴趣和求知欲。 2.类比教学法:类比平方根的概念、性质和运算,引导学生探究立方根,让学生在已有知识基础上构建新知识体系,加深对知识的理解和记忆。 3.小组合作探究法:组织学生分组讨论立方根与平方根的异同点,鼓励学生在交流合作中发现问题、解决问题,培养团队协作能力和自主探究能力。
情境导入 如图所示是由大小相同的小立方块搭成的几何体。如果这个几何体的体积为216 cm3,那么每个小立方块的棱长是多少
新知初探 探究一 立方根的定义及性质 活动1: (1)怎样求下列括号内的数 各题中已知什么数 求什么数 ①( )3=0.001; ②( )3=-; ③( )3=0。 (2) 一个正方体的体积是8 cm3,那么它的棱长a是多少呢 如果正方体的体积是9 cm3,如何去表示它的棱长呢 立方根定义:一般地,如果一个数x的立方等于a,即x3=a,那么这个数x就叫作a的立方根(也叫作三次方根)。如2是8的立方根,-是-的立方根,0是0的立方根。 活动2: (1)填空: 因为( )3=64,所以( )是64的立方根。 因为( )3=-27,所以( )是-27的立方根。 因为x3=2,所以x是 的立方根。 因为a3=5,所以a是 的立方根。 (2)思考:正数有几个立方根 0有几个立方根 负数有几个立方根
归纳总结:立方根的性质 (1)正数的立方根是正数,0的立方根是0,负数的立方根是负数。 (2)每个数a都有一个立方根,记作 ,读作“三次根号a”。求一个数a的立方根的运算叫作开立方,a叫作被开方数。 意图说明 通过两组计算练习,使学生进一步了解求一个数的立方,与求一个数的立方根互为逆运算,感受一个数的立方根的唯一性,计算中对a的取值分别选为正数、负数、0的设计,在此过程中渗透分类讨论的思想方法,体现了立方运算与立方根运算的互逆性。 探究二 例题讲解 例1 求下列各数的立方根: (1)-27; (2); (3)0.216; (4)-5。 解:(1)因为(-3)3=-27,所以-27的立方根是-3,即=-3。 (2)因为3=,所以的立方根是,即=。 (3)因为(0.6)3=0.216,所以0.216的立方根是0.6,即=0.6。 (4)-5的立方根是。 例2 求下列各式的值: (1); (2); (3)-; (4)。 解:(1)==-2。 (2)==0.4。 (3)-=-=-。 (4)()3=9。 意图说明 例1 着眼于弄清立方根的概念,因此这里不仅用立方的方法求立方根,而且书写上采用了语言叙述和符号表示互相补充的做法,学生在熟练以后可以简化写法。例2则巩固立方根的计算,引导学生思考立方根的性质,通过对例题的讲解,加强对立方根的理解及掌握。
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板书设计 立方根 1.立方根的定义 2.立方根的性质 3.例题讲解
教学反思
第4课时 估算
课标摘录 1.能用有理数估计一个无理数的大致范围。 2.了解近似数,在解决实际问题时,能用计算器进行近似计算,会按问题的要求进行简单的近似计算。
素养目标 1.会用平方法估算一个无理数的大致范围;会比较两个无理数的大小;会利用估算解决一些简单的实际问题。 2.经历实际问题的解决过程和平方根、立方根的估算过程,培养学生学习数学的主动性,体会数学知识的实用价值,激发学生的学习热情。 3.会用计算器估算无理数。
教学重难点 重点:掌握估算的方法,提高学生的估算能力。 难点:通过估算比较两个无理数的大小。
教学策略 本节课的教学中选取了“新建环保主题公园”的问题情境引入,与学生平时的生活密切联系,容易把学生的积极性调动起来。在探究估算方法的时候,教师要注重适时的引导,以免让学生无从下手。在教学过程中一定要让学生体会估算的实用价值,了解“数学既来源于生活,又回归到生活,为生活服务”。
情境导入 某地开辟了一块长方形的荒地,新建了一个环保主题公园,已知这块荒地的长是宽的2倍,它的面积为400 000 m2, (1)公园的宽大约是多少 它有1 000 m吗 (2)如果要求结果精确到10 m,它的宽大约是多少 与同伴进行交流。 (3)该公园中心有一个圆形花圃,它的面积是800 m2,你能估计它的半径吗(结果精确到1 m)
新知初探 探究一 估算无理数的大小 活动1:教师提出问题,先让学生思考,然后共同探究并总结。 (1)下列计算结果正确吗 你是怎样判断的 与同伴进行交流。 ≈0.66; ≈96; ≈60.4。 (2)你能估算的大小吗(结果精确到1) (3)宽与长之比为的长方形称为“黄金矩形”。你能比较与的大小吗 你是怎么想的 解:(1)因为0.662=0.435 6,0.652=0.422 5,0.662更靠近0.43,所以≈0.66是正确的。 因为963=884 736>900,所以≈96是错误的。 因为60.42=3 648.16>2 536,所以≈60.4是错误的。 (2)因为93=729,103=1 000,所以9<<10。 因为结果精确到1,要看十分位的数字,所以继续利用立方法进行估算。9.13=753.571,9.23=778.688,9.33=804.357,9.43=830.584,9.53=857.375,9.63=884.736,9.73=912.673,
所以9.6<<9.7。 所以根据四舍五入法,得≈10。 (3)因为5>4,即()2>22, 所以>2。 所以-1>1。 所以>。 活动2: 生活经验表明,靠墙摆放梯子时,若梯子底端离墙的距离约为梯子长度的,则梯子比较稳定。如图所示,现有一架长度为6 m的梯子,当梯子稳定摆放时,它的顶端能抵达5.6 m高的墙头吗 解:设梯子稳定摆放时它的顶端抵达的高度为x m,此时梯子底端到墙的距离恰为梯子长度的,根据勾股定理,有x2+×62=62, 即x2=32,x=。 因为5.62=31.36<32,所以>5.6。 因此,梯子稳定摆放时,它的顶端能抵达5.6 m高的墙头。 意图说明 通过实际例子让学生进一步感受现实生活中的估算,感受估算的广泛性;让学生利用前面所学的知识综合解决问题。 探究二 用计算器估算无理数 活动3:尝试·思考 (1)观察你的计算器面板,对于开方运算,可能用到哪些按键 利用计算器求下列各式的值(结果精确到 0.000 1):①;②。 (2)任意找一个你认为很大的正数,利用计算器对它进行开平方运算,对所得结果再进行开平方运算……随着开方次数的增加,你发现了什么 改用另一个小于1的正数试一试,看看是否仍有类似的规律。 学生操作后,在小组内讨论形成结果,再进行全班交流。 (3)任意找一个非零数,利用计算器对它不断进行开立方运算,你发现了什么 学生操作后,在小组内讨论形成结果,再进行全班交流。 意图说明 熟悉使用计算器求平方根和立方根的技能,并在探求数学规律的活动中,发展推理能力。
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板书设计 估算 1.估算 2.估算无理数的大小 3.用计算器估算无理数
教学反思
3 二次根式
第1课时 二次根式与二次根式的乘除运算
课标摘录 1.了解二次根式的概念及性质。 2.了解二次根式(根号下仅限于数)乘除运算法则,会用它们进行简单的乘除运算。
素养目标 1.了解二次根式和二次根式的乘除运算法则。 2.了解二次根式(根号下仅限于数)乘除运算法则,会用它们进行简单的乘除运算。
教学重难点 重点:掌握二次根式的乘法法则和除法法则。 难点:利用二次根式的乘法法则和除法法则进行乘除运算。
教学策略 依据学生的年龄特点和已有知识间的纵向联系,拓展学生探索的空间,体现由具体到抽象的认识过程,培养学习数学的思维方法,同时赋予一定的练习讲解。
情境导入 填空: (1)若一个正方形面积为2 m2,则边长为 m;若面积为S m2,则边长为 m; (2)若一个长方形长是宽的2倍,面积为6 m2,则它的宽为 m; (3)一个物体从高处自由落下,落到地面所用的时间t(单位:s)与开始落下的高度h(单位:m)满足关系 h=5 t2,如果h=25,那么t为 。
新知初探 探究一 二次根式的概念及性质 活动1:上面问题中,得到的结果分别是,,,。 问题1:这些式子分别具有什么意义 问题2:这些式子有什么共同特征 学生活动:小组合作交流。 教师总结:可以发现,我们在前面都已学习过这些式子,它们的共同特征是:都含有开方运算,并且被开方数都是非负数。 一般地,形如(a≥0)的式子叫作二次根式,a叫作被开方数。 注意: (1)a可以是实数,也可以是代数式; (2)它具有双重的非负性; (3)形式上必须含有二次根号; (4)它既可以表示开方运算,也可以表示运算结果。 二次根式有些什么性质呢 让我们一起来探索吧。 活动2:计算下列各式,观察计算结果,你发现什么规律 (1)×= ,= ; ×= ,= ; = ,= ; = ,= 。
(2)用计算器计算: ×= ,= ;= ,= 。 问题1:观察上面的结果你可得出什么结论 问题2:从你上面得出的结论,发现了什么规律 能用字母表示这个规律吗 问题3:其中的字母a,b有限制条件吗 归纳总结:·=(a≥0,b≥0),=(a≥0,b>0)。 说明:公式中字母a≥0,b≥0(或b>0)这一条件是公式的一部分,不应忽略。 意图说明 从特殊到一般,让学生经历探索、发现规律的过程,感受规律带给他们运算的便利。通过师生合作探究,引导学生思考问题的方向。 探究二 例题讲解 例1 计算: (1)×;(2)。 解:(1)× ===2。 (2)====3。 例2 计算: (1)3×2;(2)×-5;(3)(+1)2;(4)(+3)(-3); (5)(-)×;(6)。 解:(1)3×2
=3×2××
=3×2×
=6。 (2)×-5
=-5
=6-5
=1。 (3)(+1)2
=()2+2+12
=5+2+1
=6+2。 (4)(+3)(-3)
=()2-32
=13-9
=4。
(5)-×
=×-×
=-
=6-1
=5。 (6)
=+
=+
=2+3
=5。 意图说明 通过例题的讲解和练习,让学生熟练运用二次根式的乘法法则和除法法则进行乘除运算,逐步掌握运算技能。
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板书设计 二次根式与二次根式的乘除运算 1.二次根式的定义 2.二次根式的乘除法则 3.例题讲解
教学反思
第2课时 最简二次根式与二次根式的加减运算
课标摘录 1.了解最简二次根式的概念。 2.了解二次根式(根号下仅限于数)加减运算法则,会用它们进行简单的加减运算。
素养目标 1.理解最简二次根式的概念,能准确判断一个二次根式是否为最简二次根式。 2.掌握二次根式加减法的运算法则,能够熟练进行二次根式的加减运算。 3.通过对最简二次根式和二次根式加减的学习,培养学生的观察、分析、归纳和运算能力。
教学重难点 重点:最简二次根式的概念及判断方法,二次根式加减法的运算法则及应用。 难点:准确判断一个二次根式是否为最简二次根式,理解并正确运用二次根式加减法的运算法则。
教学策略 在概念教学上,通过对比分析,将最简二次根式与非最简二次根式放在一起对比。比如和,详细分析可化为2的过程,让学生明确最简二次根式被开方数不含开得尽方的因数或因式这一关键特征。在加减运算法则的教学上,把二次根式的加减与整式的加减进行类比,向学生说明整式加减是合并同类项,二次根式加减是把化简后被开方数相同的二次根式进行合并。
情境导入 如图所示,两个正方形的边长分别是多少 这两个数之间有什么关系 你能借助什么运算法则或者运算律解释它
新知初探 探究一 最简二次根式 活动1: 上节课我们学习了公式:·=(a≥0,b≥0),=(a≥0,b>0),我们把第一个公式等号左右两边互换,那么可得=·(a≥0,b≥0);=(a≥0,b>0)。 活动2:化简 (1); (2); (3); 解:(1)=×=9×8=72。 (2)=×=5。 (3)==。 如果一个二次根式符合下列条件:被开方数不含能开得尽方的因数或因式;被开方数不含分母;分母中不含根号,这样的二次根式叫作最简二次根式。
活动3:化简 (1);(2);(3)。 解:(1)==×=5。 (2)===。 (3)===。 归纳总结: 如果一个二次根式符合下列条件:(1)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式;(2)被开方数中不含分母;分母中不含根号。这样的二次根式叫作最简二次根式。 意图说明 让学生经历探究、合作、交流,发现并归纳二次根式的性质,灵活运用二次根式的性质进行化简,并把结果化成最简二次根式,并加深理解。 探究二 二次根式的加减 活动4:计算 (1)+; (2)-; (3)+×。 解:(1)+=+=×+=4+=5。 (2)-=-=-=-=。 (3)(+)×=+=+=2+3=5。 小结: (1)以前学习的运算律、运算法则对二次根式同样适用,化简后被开方数相同时,可以进行合并; (2)同类二次根式:几个二次根式化成最简二次根式以后,如果被开方数相同,这几个二次根式就叫作同类二次根式。 判断同类二次根式的关键: (1)化成最简二次根式;(2)被开方数相同,根指数相同。 归纳总结: 二次根式的加减运算步骤:(1)将每个二次根式化为最简二次根式;(2)找出其中的同类二次根式;(3)合并同类二次根式。 意图说明 让学生感受到合并同类项与二次根式加减运算的联系与区别,归纳概括出二次根式加减运算的步骤。“一化简,二判断,三合并。
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板书设计 最简二次根式与二次根式的加减运算 1.二次根式的性质 2.最简二次根式 3.二次根式的加减
教学反思
第3课时 二次根式的混合运算
课标摘录 了解二次根式(根号下仅限于数)加、减、乘、除运算法则,会用它们进行简单的四则运算。
素养目标 1.熟练掌握二次根式的四则运算。 2.灵活运用二次根式的四则运算解决问题。 3.增强学生的符号应用意识,培养学生合作交流、合情推理以及表达能力。
教学重难点 重点:理解并掌握二次根式的四则运算法则。 难点:能灵活运用二次根式的四则运算法则解决问题。
教学策略 本节课借助旧知,引导学生通过自主复习、类比学习、合作互助,探究出二次根式的四则运算法则。在运用中对法则再次适度延伸,便于学生融会贯通地用数学思维分析、解决实际问题。
情境导入 如果梯形的上、下底长分别为2 cm,4 cm,高为 cm,那么它的面积是多少 解:2+4×× =×2+×4 =(2+6)(cm2)。 所以它的面积是(2+6)cm2。
新知初探 探究一 二次根式的四则运算 活动1:尝试·思考 (1)请你计算:+;-。 (2)小明是这样计算+的: +=+=+=。 问题:分子、分母同乘的目的是什么 (3)计算-,你有哪些方法 活动2:计算 (1)-;(2)-+;(3)-÷;(4)+-。 解:(1)-=-=-=。 (2)-+=-+=3-2+=。
(3)-÷=÷-÷=-=- =-=2-=。 (4)+-=+-=+-3=-+。 活动3: 化简-×,其中a=28,b=7。你是如何做的 小组交流。 解:由题知,a>0,b>0。 -×=×-×=-=-=-b。 当a=28,b=7时,-b=-7=-14=-13。 意图说明 通过四则运算的练习,学生能熟练掌握二次根式的化简、合并同类二次根式等技能,深化对根式运算规则的理解,为后续学习更复杂的数学知识打下坚实基础。在进行二次根式四则运算时,学生需要运用逻辑思维,分析运算顺序、判断能否进行合并或化简等。这一过程锻炼了学生的推理能力、抽象思维能力和运算思维,让学生学会从具体的数字和符号中提炼出运算规律,培养严谨的数学思维习惯。 探究二 二次根式四则运算的应用 活动4:如图所示,方格纸中每个小方格的边长均为1,试求图中梯形ABCD的面积。你有哪些求解方法 与同伴进行交流。 (1)直接求法。 解:过点D作AB边上的高DE,可发现边AB,DC及DE 都是某一个小直角三角形的斜边。 根据勾股定理可求得AB=5,CD=,DE=3, 梯形ABCD的面积是(5+)×3=18。 (2)间接求法。 解:将梯形ABCD补成一个5×7的长方形,用长方形的面积减去3个三角形的面积,得梯形ABCD的面积是5×7-×5×5-×4×2-×1×1=18。 意图说明 学生在学习二次根式四则运算后,通过实际应用练习,能进一步熟悉加、减、乘、除的运算规则。在解决实际面积计算问题时,会涉及二次根式与其他数学知识的融合,比如在利用勾股定理计算直角三角形边长(边长为二次根式形式),并求解相关面积、周长问题时,能加深学生对不同知识板块联系的理解,拓展数学知识体系。
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板书设计 二次根式的混合运算 1.二次根式的化简 2.二次根式的四则运算 3.习题讲解 4.二次根式四则运算的应用
教学反思
第三章 位置与坐标
1.理解平面直角坐标系的有关概念,能画出平面直角坐标系;在给定的平面直角坐标系中,能根据坐标描出点的位置,由点的位置写出坐标。
2.在实际问题中,能建立适当的平面直角坐标系,描述物体的位置。
3.对给定的正方形,会选择合适的平面直角坐标系,写出它的顶点坐标,体会可以用坐标表达简单图形。
4.在平面上,运用方位角和距离刻画两个物体的相对位置。
5.在平面直角坐标系中,以坐标轴为对称轴,能写出一个已知顶点坐标的多边形的对称图形的顶点坐标,知道对应顶点坐标之间的关系。
本章内容在初中数学知识体系中起承上启下的作用。从纵向来看,它是在学生已初步了解简单的图形位置关系基础上,对确定位置方法的进一步深化与拓展;从横向来看,它与后续的函数、几何图形的变换等知识紧密相连,为学生理解函数图象的性质以及几何图形在坐标系中的运动变化奠定基础。通过学习这一章节,学生能够掌握用数学语言精确描述物体位置的方法,提升空间观念和数学应用能力,对后续数学学习和解决实际问题意义重大。
1.通过对现实世界中确定位置的现象进行观察、分析、抽象和概括的活动,进一步发展空间观念。
2.经历探索图形位置变化与图形坐标变化之间关系的过程,进一步发展数形结合意识和应用意识,初步建立几何直观。
3.认识并能画出平面直角坐标系;在给定的平面直角坐标系中,会根据坐标描出点的位置,由点的位置写出它的坐标。
4.在实际问题中,能建立适当的平面直角坐标系,描述物体的位置,体会可以用坐标刻画一个简单图形。
5.能结合具体情境灵活运用多种方式确定物体的位置。
6.在平面直角坐标系中,以坐标轴为对称轴,能写出一个已知顶点坐标的多边形的对称图形的顶点坐标,并知道对应顶点坐标之间的关系。
重点:平面直角坐标系相关概念,点的坐标确定与表示,坐标变化与图形变换规律。
难点:理解坐标变化和图形变换的内在联系,运用坐标知识解决复杂实际问题。
1 确定位置
课标摘录 1.在确定物体位置过程中,进一步发展空间观念,经历借助图形思考问题的过程,初步建立几何直观。 2.结合实例进一步体会用有序实数对可以表示物体的位置。
素养目标 1.在现实情境中感受确定物体位置的多种方式方法。 2.能比较灵活地运用不同的方式确定物体的位置。理解在平面内,确定一个物体的位置一般需要两个数据。 3.进一步发展空间观念和数形结合的意识。
教学重难点 重点:在现实情境中感受确定物体位置的多种方式方法,并能比较灵活地运用不同的方式确定物体的位置。 难点:理解在平面内,确定一个物体的位置一般需要两个数据。
教学策略 教法:通过适当的问题情境,启发学生联系生活实际,逐步引导他们理解平面内“确定物体位置”一般需要两个数据。 学法:通过小组合作探究,观察问题中的位置是如何确定的,它们有何共同点,总结归纳出用两个数据确定位置的不同表示法。
温故知新 1.在数轴上,如何确定一个点的位置呢 2.小华母女俩周末去电影院看电影,买了两张票去观看,座位号分别是6排3座和3排6座。怎样才能既快又准地找到座位 问题1:在电影票上,“3排6座”与“6排3座”中的“6”含义有什么不同 问题2:如果将“6排3号”简记作(6,3),那么“3排6号”如何表示 (5,6)表示什么含义 (6,5)呢 问题3:在只有一层的电影院内,确定一个座位一般需要几个数据 3.小组合作探究,分享成果 教师总结:前一张电影票上的“6”表示座位号是6,后一张电影票上的“6”表示排号是6。电影票上有两种数据,分别是“排”与“座”,按合理的习惯,它们排列时有先后顺序,通常排号在前,座号在后,这样规定的排列顺序在确定位置时不容易产生失误。
新知初探 探究 确定位置的方法 活动1:思考·交流 (1)在电影院内,确定一个座位一般需要几个数据 (2)在生活中,确定物体的位置还有其他方法吗 与同伴进行交流。 活动2:我国海军某舰艇编队在某海域展开实兵对抗训练,红蓝双方的对阵情况如图所示(图中1 cm表示20 n mile)。对红方潜艇来说:
(1)北偏东40°方向上有哪些目标 要想确定蓝方战舰B的位置,还需要什么数据 解:对红方潜艇来说,北偏东40°方向上有两个目标,分别是蓝方战舰B和小岛;要想确定蓝方战舰B的位置,还需要知道蓝方战舰B与红方潜艇之间的距离。 (2)距离红方潜艇20 n mile的蓝方战舰有哪几艘 解:距离红方潜艇20 n mile的蓝方战舰有两艘:蓝方战舰A和蓝方战舰C。 (3)要确定每艘蓝方战舰的位置,各需要几个数据 解:要确定每艘蓝方战舰的位置,各需要两个数据:表示方向的角和距离。例如:对红方潜艇来说,蓝方战舰A在正南方向,距离为20 n mile处;蓝方战舰B在北偏东40°方向,距离为28 n mile处;蓝方战舰C在正东方向,距离为20 n mile处。 活动3:思考 在地球上如何确定城市的位置 在地球上有横线和竖线,连接两极点的竖线叫经线,垂直于经线的横线圈为纬线。根据经纬线可以确定地球上任何一点的正确位置。 活动4:尝试·思考 2020年7月23日,我国首次火星探测任务探测器“天问一号”在中国文昌航天发射场发射升空。中国文昌航天发射场位于东经110°、北纬19°左右。你能在地图上找到中国文昌航天发射场的大致位置吗 请试一试。 活动5:思考·交流 (1)你能举出生活中需要确定位置的例子吗 与同伴进行交流。 (2)在平面内,确定一个物体的位置一般需要几个数据 归纳总结: (1)在平面内,确定一个物体的位置一般需要两个数据。 (2)确定位置的方法:①行列法;②表示方向的角和距离;③经纬度;④区域定位。 意图说明 通过情景模拟,能够较好地体现数学的现实性,充分吸引学生的注意力,让学生感受到数学就在自己身边,激发了学生的学习兴趣,有利于学生形成良好的数学观。同时在教师的层层设问中,让学生感觉到位置的确定需要两个数据,同时也培养学生用准确的语言的描述能力。
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板书设计 确定位置 一、在平面内,确定一个物体的位置一般需要两个数据 二、确定位置的方法 1.行列法 2.表示方向的角和距离 3.经纬度 4.区域定位
教学反思
2 平面直角坐标系
第1课时 平面直角坐标系的有关概念
课标摘录 1.理解平面直角坐标系的有关概念,能画出平面直角坐标系;在给定的平面直角坐标系中,能根据坐标描出点的位置,由点的位置写出坐标。 2.在实际问题中,能建立适当的平面直角坐标系,描述物体的位置。
素养目标 1.理解平面直角坐标系以及横轴、纵轴、原点、坐标等概念。 2.认识并能画出平面直角坐标系。 3.能在给定的平面直角坐标系中,由点的位置写出它的坐标,由坐标可以找到相应的点。 4.了解在平面直角坐标系中,有序实数对与平面上的点是一一对应的。
教学重难点 重点:在给定的平面直角坐标系中,由点的位置写出它的坐标,由坐标可以找到相应的点。 难点:理解在平面直角坐标系中,有序实数对与平面上的点是一一对应的。
教学策略 学生已经学习了数轴,画平面直角坐标系时有一定的基础。在平面直角坐标系中描出已知坐标的点,或者读出已知点的坐标,学生对于这种类型掌握应该较好。但是对于平面直角坐标系中,有序实数对与平面上的点的一一对应关系,学生理解不好。针对以上问题解决的策略是应加强学生有效信息获取能力的培养,通过类比所举例子,进一步加深学生对一一对应的理解。
温故知新 问题1:什么是数轴 问题2:数轴的三要素是什么 问题3:数轴上点A和点B表示的数是多少 数轴上的点和实数有怎样的关系
新知初探 探究一 平面直角坐标系 图(1) 活动1:认识平面直角坐标系 (1)图(1)呈现了北京市部分景点的大致位置,小亮和来访的朋友位于卢沟桥,小亮如何向来访的朋友介绍图中各个景点的位置呢 (2)如图(2)所示,小亮在景点图上画上了方格,标上数字,并用(0,0)表示卢沟桥的位置,用(11,4)表示天安门广场的位置,那么北京奥林匹克公园的位置如何表示 (5,12)表示哪个景点的位置 (6,5)呢 (3)如图(3)所示,小亮和他的朋友位于天安门广场,并用(0,0)表示天安门广场的位置,那么你能分别表示北京奥林匹克公园、卢沟桥的位置吗 图(2) 图(3)
活动2:建立平面直角坐标系 阅读课本P59内容,并回答下列问题: (1)什么是平面直角坐标系 它由什么组成 各部分的名称是什么 (2)什么叫横坐标、纵坐标 如何来表示一个点的坐标 (3)平面直角坐标系分成哪几个部分 各部分的名称是什么 它们点的坐标有什么特征 意图说明 通过一系列的问题可以让学生明白平面直角坐标系的组成及各部分坐标特点,体会用有序实数对的形式定位的便捷性,同时也指出坐标系的各个部分的不可或缺性。 探究二 例题讲解 例题 写出下图39中的多边形ABCDEF各个顶点的坐标。 图39 解:如图所示,各个顶点的坐标分别为A(-2,0),B(0,-3),C(3,-3),D(4,0),E(3,3),F(0,3)。 活动3:操作·思考 图310 (1)在图310所示的平面直角坐标系中,描出下列各点:A(-5,0),B(1,4),C(3,3),D(1,0),E(3,-3),F(1,-4)。 (2)依次连接A,B,C,D,E,F,A,你得到什么图形 (3)在平面直角坐标系中,点与有序实数对之间有何关系 解:依次连接A,B,C,D,E,F,A,可得如图所示图形。 归纳总结:在平面直角坐标系中,对于平面上的任意一点,都有唯一的一个有序实数对(即点的坐标)与它对应;反过来,对于任意一个有序实数对,都有平面上唯一的一点和它对应。 意图说明 通过探究活动,增加对坐标系、象限和坐标点的深入理解,并认识到坐标与点的一一对应关系。
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板书设计 平面直角坐标系的有关概念 1.平面直角坐标系相关概念
(1)横轴
(2)纵轴
(3)原点
(4)象限
(5)坐标 2.例题讲解
教学反思
第2课时 平面直角坐标系中点的坐标特征
课标摘录 在给定的平面直角坐标系中,能根据坐标描出点的位置,由点的位置写出坐标。
素养目标 1.掌握在坐标轴上的点以及与坐标轴平行的直线上点的坐标的特征。 2.掌握不同象限内点的坐标的特征。
教学重难点 重点:在已知的平面直角坐标系下描点、连线、观察,确定图形的大致形状。 难点:掌握平面直角坐标系中各类点的特征,能根据坐标描出点的位置,能由点的位置写出它的坐标。
教学策略 教法:引导学生在平面直角坐标系中根据点的坐标描出点的位置,根据点的位置说出点的坐标,从而发展数形结合意识。 学法:借助数形结合的方法掌握不同象限内点的坐标的特征,以及坐标轴上的点、与坐标轴平行的直线上点的坐标的特征。
温故知新 1.什么是平面直角坐标系 2.两条坐标轴把坐标平面分成了哪几部分 (不包括坐标轴) 3.在给定的平面直角坐标系中,由点的位置如何写出它的坐标 4.根据坐标如何描出点的位置
新知初探 探究 坐标轴上的点及平行于坐标轴的直线上的点的特征 活动1:在平面直角坐标系中描出下列各点,并将各组内的点用线段依次连接。 (1)D(-3,5),E(-7,3),C(1,3),D(-3,5); (2)F(-6,3),G(-6,0),A(0,0),B(0,3)。 观察所描出的图形,它像什么 根据图形回答下列问题: (1)图形中哪些点在坐标轴上,它们的坐标有什么特点 (2)线段EC与x轴有什么位置关系 点E和点C的纵坐标有什么关系 线段EC上其他点的坐标呢 (3)点F和点G的横坐标有什么关系 线段FG与y轴有怎样的位置关系 解:如图所示,各点连接起来的图形像“房子”。 (1)线段AG上的点都在x轴上,它们的纵坐标都是0;线段AB上的点、线段CD与y轴的交点都在y轴上,它们的横坐标都是0。 (2)线段EC与x轴平行,点E和点C的纵坐标相同;线段EC上其他点的纵坐标也相同,都是3。 (3)点F和点G的横坐标相同,线段FG与y轴平行。
活动2:如图所示是一个“笑脸”。 (1)在“笑脸”上找出几个位于第一象限的点,指出它们的坐标,说说这些点的坐标有什么特点。 (2)在其他象限内分别找几个点,看看其他各个象限内的点的坐标有什么特点。 (3)不描出点,分别判断A(1,2),B(-1,-3),C(2,-1),D(-3,4)所在的象限。 学生活动:独立完成,在小组内交流结果。 解:(1)观察第一象限内任意点的坐标,可知它们的横、纵坐标都是正数。 (2)第二象限内点的横坐标都是负数,纵坐标都是正数;第三象限内点的横坐标都是负数,纵坐标也都是负数;第四象限内点的横坐标都是正数,纵坐标都是负数。 (3)观察各点的横纵坐标的正负,可知点A在第一象限,点B在第三象限,点C在第四象限,点D在第二象限。 归纳总结: (1)各个象限内点的符号特征: 点M(x,y)所处的位置坐标特征象限内的点点M在第一象限M(正,正)点M在第二象限M(负,正)点M在第三象限M(负,负)点M在第四象限M(正,负)
(2)位于x轴上的点的坐标的特征是 纵坐标等于0 ; 位于y轴上的点的坐标的特征是 横坐标等于0 。 (3)与x轴平行的直线上点的坐标的特征是 纵坐标相同 ; 与y轴平行的直线上点的坐标的特征是 横坐标相同 。 意图说明 以“笑脸”为背景,引领学生探索同一象限内点的坐标的特征,培养学生的推理能力,同时发展数形结合意识。进一步掌握在平面直角坐标系中由坐标找到点的位置,并让学生初步感受坐标轴上的点、与坐标轴平行的直线上点的坐标的特征。
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板书设计 平面直角坐标系中点的坐标特征 1.坐标轴上点的特征 2.不同象限内点的特征 3.与坐标轴平行的直线上点的坐标特征
教学反思
第3课时 建立适当的平面直角坐标系描述图形的位置
课标摘录 1.在实际问题中,能建立适当的平面直角坐标系,描述物体的位置。 2.对给定的正方形,会选择合适的平面直角坐标系,写出它的顶点坐标,体会可以用坐标表达简单图形。
素养目标 1.能结合所给图形的特点,建立适当的平面直角坐标系,写出点的坐标,灵活的选取既简便又易懂的方法求解。 2.能根据已知点的坐标复原平面直角坐标系。 3.经历建立平面直角坐标系描述图形和复原平面直角坐标系的过程,进一步发展数形结合思想和优化思想。
教学重难点 重点:1.根据实际问题,建立适当的平面直角坐标系,并写出各点的坐标。 2.根据特殊点的坐标复原平面直角坐标系。 难点:1.能自主选择合适的平面直角坐标系来研究图形的性质,体会优化的思想。 2.根据特殊点的坐标复原平面直角坐标系。
教学策略 让学生参与本课知识的形成过程,在学生自己发现的基础上,自主建立平面直角坐标系,然后进行交流、比较,老师课上板书引导,分别列举不同的建立平面直角坐标系的方法,最后选出最合适的平面直角坐标系,教师鼓励学生归纳总结,得出一般情况下如何建立平面直角坐标系更容易,让学生体会优化思想。对于复原平面直角坐标系,老师可以先采取在方格纸中找特殊点再到一般点来复原,然后过渡到去掉方格纸,再从特殊点到一般点的复原,遵循学生的认知规律,从特殊到一般,从易到难,循序渐进地解决学生学习中遇到的困难。
情境导入 问题:我们班准备建立小菜园,学校里有一块如图所示的空地,打算进行绿化,小爱想请她的同学提一些建议,电话中告诉她同学如图所示的图形,为了描述清楚,她使用了平面直角坐标系的知识。你知道小爱是怎样叙述的吗
新知初探 探究一 利用平面直角坐标系描述物体的位置 活动1:如图所示,长方形ABCD的长与宽分别是6,4,建立适当的平面直角坐标系,写出各个顶点的坐标。 问题: (1)在没有平面直角坐标系的情况下能否先写出各个顶点的坐标,再建立平面直角坐标系呢 (2)如果不能,那么应如何建立平面直角坐标系呢 请大家思考。 (3)在上面的问题中,你是怎样建立平面直角坐标系的。与同伴交流。 (4)对比不同的建立平面直角坐标系的方法,你觉得哪一种更合理 谈谈你的看法。 (请大家独立思考,然后小组讨论。最后利用投屏交流展示) 预设情况:
活动2:对于边长为4的等边三角形ABC,建立适当的平面直角坐标系,写出各个顶点的坐标。 思考: (1)你是怎样建立平面直角坐标系的 各个顶点的坐标是多少 (2)还有其他建立平面直角坐标系的方法吗 (3)你认为怎样建立更合理,更易于解题 解:以边BC所在直线为x轴,以边BC的中垂线为y轴建立平面直角坐标系。 由等边三角形的性质可知,△ABO是直角三角形。 所以AO===2。 所以A(0,2),B(-2,0),C(2,0)。 意图说明 通过活动1和活动2让学生感受建立平面直角坐标系方法的多样性,为自主选择合适的平面直角坐标系研究图形的性质作好铺垫。通过问题的设计,让学生展示自己的成果,激发求知欲,提高学习兴趣。通过比较不同的方法,学生总结怎样建立平面直角坐标系更简捷高效,提高学生总结、辨析能力,突出优化思想。 探究二 根据已知点的坐标复原坐标系 图317 活动3:如图317在一次“寻宝”游戏中,寻宝人已经找到了A(3,2)和B(3,-2)两个标志点,并且知道藏宝地点的坐标为(4,4),除此之外不知道其他信息。如何确定平面直角坐标系找到“宝藏” 思考:如图317所示,如果不给你方格纸,你应该怎么办 (独立思考,小组讨论,交流展示) 解题思路:连接AB,由点A,点B的纵坐标可得,将线段AB分为四等份,即每一份为一个单位,线段AB的垂直平分线就是x轴。由垂足沿x轴向左数三个单位长度就是坐标原点,然后做出y轴,这样就建立出了平面直角坐标系。 意图说明 根据已知点的坐标来确定平面直角坐标系的原点、单位长度、坐标轴的位置,可以加深学生对平面直角坐标系的理解。
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板书设计 建立适当的平面直角坐标系描述图形的位置 1.建系原则 2.根据已知点的坐标复原坐标系 (1)点在坐标轴上 (2)特殊线段所在直线为坐标轴 (3)以某已知点为原点
教学反思
3 轴对称与坐标变化
课标摘录 在平面直角坐标系中,以坐标轴为对称轴,能写出一个已知顶点坐标的多边形的对称图形的顶点坐标,知道对应顶点坐标之间的关系。
素养目标 1.在同一平面直角坐标系中,感受图形上的点的坐标变化与图形的轴对称变换之间的关系。 2.掌握图形坐标变化与图形轴对称之间的关系。 3.体会平面直角坐标系是数与形之间的桥梁,感受代数与几何的相互转化,初步建立空间概念。
教学重难点 重点:经历图形坐标变化与图形轴对称变换之间关系的探索过程,发展形象思维能力,增强数形结合意识。 难点:由坐标的变化确定新旧图形之间的变化。
教学策略 教法:利用图形的轴对称性质,解决从图形变换到坐标变化问题,再解决从坐标变化到图形变换问题,引导学生从不同角度发现轴对称与坐标之间的变化规律。 学法:利用图形的轴对称性质,采用数形结合思想方法,发现并总结轴对称变换与坐标变化之间的规律,通过适量的练习巩固规律。
情境导入 周末小明逛美术馆时,发现一幅蝴蝶标本画,左右翅膀以中线为轴完全重合。若将其置于平面直角坐标系中,对应翅膀上的点坐标会有怎样的联系 让我们一起开启探索之旅。
新知初探 探究一 轴对称与坐标变化 活动1:△ABC与△A1B1C1在如图所示的平面直角坐标系中,仔细观察,回答下列各题: (1)△ABC与△A1B1C1有怎样的位置关系 (2)请在下表中填入点A与A1、点B与B1、点C与C1的坐标,并思考:这些对应点的坐标之间有什么关系 A:B:C:A1:B1:C1:
(3)如果点P(m,n)在△ABC内,那么它在△A1B1C1内的对应点P1的坐标是 。 解:(1)△ABC与△A1B1C1关于x轴对称。 (2)关于x轴对称的两个点的坐标,横坐标相同,纵坐标互为相反数。 (3)(m,-n) 活动2:如图所示的平面直角坐标系中,第一、第二象限内各有一面小旗。 (1)两面小旗有怎样的位置关系 对应点A与A1的坐标有什么关系 其他的对应点也有这个特点吗
(2)在这个平面直角坐标系中画出小旗ABCD关于x轴的对称图形,它的各个“顶点”的坐标与其对应点的坐标有什么关系 归纳总结:关于x轴对称的两个点的坐标,横坐标相同,纵坐标互为相反数;关于y轴对称的两个点的坐标,纵坐标相同,横坐标互为相反数。 意图说明 通过活动1的解决,将活动1的方法迁移到活动2中进一步讨论关于x轴或y轴对称的点的坐标的特征,借助于两人小组活动进一步总结归纳两个关于坐标轴对称的图形的坐标关系,建立“数”与“形”之间的联系,发展学生的数形结合意识,通过巩固练习加深新知识的理解和掌握。 探究二 坐标变化与图形变化 活动3: (1)在平面直角坐标系中依次连接下列各点:(0,0),(5,4),(3,0),(5,1),(5,-1),(3,0),(4,-2),(0,0)。你得到了一个怎样的图案 (2)将所得图案的各个“顶点”的纵坐标保持不变,横坐标分别乘-1,依次连接这些点,你会得到怎样的图案 这个图案与原图案有怎样的位置关系 解:(1)依次连接各点得到的图案如图319所示,它像一条小鱼。 图319 图320 (2)纵坐标保持不变,横坐标分别乘-1,所得各点的坐标依次是(0,0),(-5,4),(-3,0),(-5,1),(-5,-1),(-3,0),(-4,-2),(0,0),依次连接这些点,所得图案如图3-20所示,它与原图案关于y轴对称。 归纳总结: (1)关于x轴对称的两个图形上点的坐标特征:横坐标不变,纵坐标变为相反数。 (2)关于y轴对称的两个图形上点的坐标特征:纵坐标不变,横坐标变为相反数。 意图说明 通过小组分工合作的形式探索关于x轴或y轴对称的图形的对称点的坐标特征,培养学生合作学习的能力,在合作学习及小组分享的过程进一步感受轴对称与坐标变化之间的关系。
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板书设计 轴对称与坐标变化 1.轴对称与坐标变化 2.坐标变化与图形变化 (1)关于x轴对称 (2)关于y轴对称
教学反思
第四章 一次函数
1.了解函数的概念和表示方法,能举出函数的实例。
2.能结合图象对简单实际问题中的函数关系进行分析。
3.能确定简单实际问题中函数自变量的取值范围,会求函数值。
4.能用适当的函数表示方法刻画简单实际问题中变量之间的关系,理解函数值的意义。
5.结合对函数关系的分析,能对变量的变化情况进行初步讨论。
6.结合具体情境体会一次函数的意义,能根据已知条件确定一次函数的表达式。
7.能画一次函数的图象,根据图象和表达式y=kx+b(k≠0)探索并理解k>0和k<0时图象的变化情况;理解正比例函数。
8.能用一次函数解决简单实际问题。
一次函数在初中数学教材体系中占据着关键地位。它是在学生学习了代数式、方程等基础知识后,对函数概念的首次深入探究,为后续学习二次函数、反比例函数等更复杂的函数类型奠定基础。从数学知识的发展脉络来看,一次函数是从常量数学到变量数学的重要过渡,帮助学生初步建立起函数思想,理解变量之间的依赖关系。在实际应用方面,一次函数能够解决众多生活和生产中的实际问题,如成本与利润计算、行程规划等,体现了数学的实用性,有助于培养学生运用数学知识,解决实际问题的能力。
1.初步理解函数的概念,在实际背景中感受自变量取值范围的意义;体会一次函数和正比例函数的意义,能根据所给信息确定一次函数表达式。
2.能画一次函数的图象,理解一次函数当k>0和k<0时图象的变化情况,并利用一次函数图象解决简单的实际问题。
3.在画一次函数的图象、探索一次函数图象的变化情况、利用一次函数的图象解决实际问题等过程中,体会数形结合的思想方法与一次函数y=kx+b中k与b的实际意义。
4.经历函数、一次函数等概念的抽象概括过程,体会函数的模型思想,进一步发展符号意识;经历一次函数的图象及其性质的探索过程,在合作与交流活动中发展合作交流的意识和能力。
5.经历利用一次函数及其图象解决实际问题的过程,发展应用意识;经历函数图象信息的识别与应用过程,发展几何直观。
重点:一次函数和正比例函数的概念、表达式、图象和性质,用待定系数法求一次函数表达式,用一次函数解决实际问题。
难点:理解一次函数的性质,尤其是函数图象的变化趋势与系数的关系,以及将实际问题转化为数学模型,运用一次函数知识求解。
1 函数
课标摘录 1.了解函数的概念和表示方法,能举出函数的实例。 2.能结合图象对简单实际问题中的函数关系进行分析。 3.能确定简单实际问题中函数自变量的取值范围,会求函数值。 4.能用适当的函数表示方法刻画简单实际问题中变量之间的关系,理解函数值的意义。 5.结合对函数关系的分析,能对变量的变化情况进行初步讨论。
素养目标 1.理解函数及其相关概念,并能判断两个变量之间的关系是不是函数关系。 2.了解函数的三种表达方式,并会用含有一个变量的代数式表示另一个变量。 3.经历对具体实例的研究过程,进一步发展抽象思维能力。
教学重难点 重点:函数的概念以及函数的三种表示方法。 难点:对函数概念的理解;把实际问题抽象概括,建立函数的数学模型。
教学策略 在教学中,通过“问题情境——建立模型——问题解决——反思拓展”的教学环节,让学生经历探究及数学建模的全过程,使学生能够抓住问题的本质,理解函数概念,初步形成利用函数观点认识现实世界的意识和能力,领会数学建模的思想和方法,提高数学的应用意识和应用数学知识解决实际问题的能力。
情境导入 你一定知道乌鸦喝水的故事吧!一个紧口瓶中盛有一些水,乌鸦想喝水,但是嘴够不着瓶中的水,于是乌鸦衔来一些小石子放入瓶中,瓶中水面的高度随石子的增多而上升,乌鸦喝到了水。但是还没解渴,瓶中水面就下降到乌鸦够不着的高度了,乌鸦只好再去衔些石子放入瓶中,水面又上升,乌鸦终于喝足了水,然后飞走了。如果设衔入瓶中石子的体积为x,瓶中水面的高度为y,下面能大致表示上面故事情节的图象是(B)
新知初探 探究一 函数的概念及表示方法 你坐过摩天轮吗 想一想,如果你坐在摩天轮上,随着时间的变化,你离地面的高度是如何变化的 活动1:图41反映了摩天轮上某一点离地面的高度h(单位:m)与旋转时间t(单位:min)之间的关系。 图41
问题1:根据图41填写下表: t/min012345…h/m
问题2:对于给定的时间t,相应的高度确定吗 活动2:圆柱形物体常常如图42那样堆放。随着层数的增加,物体的总数是如何变化的 图42 填写下表: 层数n12345…物体总数y…
活动3:一定质量的气体在体积不
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