第二十一章 一元二次方程 根与系数的关系综合解答题 提升练 2025-2026学年上学期初中数学人教版九年级上册

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第二十一章 一元二次方程 根与系数的关系综合解答题 提升练 2025-2026学年上学期初中数学人教版九年级上册
1．已知方程x2﹣（k-1）x﹣6=0是关于x的一元二次方程，若方程的一个根是-3，求k的值及方程的另一个根．
2．已知关于x的一元二次方程．
(1)求证：该方程总有两个不相等的实数根．
(2)若该方程的两根互为相反数，求m的值．
3．已知x＝n是关于x的一元二次方程mx2﹣4x﹣5＝0的一个根，若mn2﹣4n+m＝6，求m的值．
4．，是关于的方程的两个实数根，且，求的值．
5．已知关于x的一元二次方程．
(1)求证：不论实数m取何值，方程总有实数根；
(2)当m取何值时，方程有两个相等的实数根？
6．已知关于x的一元二次方程（a+c）x2+2bx+（a﹣c）=0，其中a、b、c分别为△ABC三边的长．
（1）如果x=﹣1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；
（2）如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由；
（3）如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．
7．已知关于x的方程x2-(2m+1)x+m(m+1)=0.
(1)求证:方程总有两个不相等的实数根;
(2)已知方程的一个根为x=0,求代数式(2m-1)2+(3+m)(3-m)+7m-5的值(要求先化简再求值).
8．已知关于x的方程mx2+(3﹣m)x﹣3=0(m为实数，m≠0)．
(1) 试说明：此方程总有两个实数根．
(2) 如果此方程的两个实数根都为正整数，求整数m的值.
9．关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．
（1）求的取值范围；
（2）若、是方程的两根，且，求的值．
10．已知关于的一元二次方程有实数根．
（1）求实数的取值范围；
（2）当取满足条件的最大整数时，求方程的解．
11．已知关于x的一元二次方程有两个实数根．
(1)求k的取值范围．
(2)设方程的两个实数根分别为，且满足，求k的值．
12．已知关于x的一元二次方程有两个实数根，m为正整数，且该方程的根都是整数，求符合条件的所有正整数m的值的和．
13．已知关于x的一元二次方程x2+x+m﹣1＝0．
（1）当m＝0时，求方程的实数根．
（2）若方程有两个不相等的实数根，求实数m的取值范围．
14．已知在关于x的分式方程 ①和一元二次方程（2﹣k）x2+3mx+（3﹣k）n=0②中，k、m、n均为实数，方程①的根为非负数．
（1）求k的取值范围；
（2）当方程②有两个整数根x1、x2，k为整数，且k=m+2，n=1时，求方程②的整数根；
（3）当方程②有两个实数根x1、x2，满足x1（x1﹣k）+x2（x2﹣k）=（x1﹣k）（x2﹣k），且k为负整数时，试判断|m|≤2是否成立？请说明理由．
15．关于x的方程(k－1)x2+2kx+2=0
（1）求证：无论k为何值，方程总有实数根．
（2）设x1，x2是方程(k－1)x2+2kx+2=0的两个根，记S=++ x1+x2，S的值能为2吗？若能，求出此时k的值．若不能，请说明理由．
参考答案
1．k的值为0，该方程的另一个根2．
【分析】根据根与系数的关系建立方程组求解即可得出结论．
【详解】解：设关于x的一元二次方程x2﹣（k-1）x﹣6=0的另一根为m，
根据根与系数的关系得，-3+m=k-1，-3m=-6，
∴m=2，k=0，
即：k的值为0，方程的另一个根为2．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，熟记方程根与系数的关系是解本题的关键．
2．(1)见解析
(2)4
【分析】（1）根据一元二次方程列出根的判别式，即可做出判断；
（2）根据一元二次方程根与系数关系列式求解即可．
【详解】（1）证明：，
∴，，，
∵，
∴该方程总有两个不相等的实数根．
（2）∵该方程的两根互为相反数，
∴，
∴．
【点睛】此题考查了一元二次方程根的判别式和根与系数关系，熟练掌握相关知识并准确计算是解题的关键．
3．1
【分析】把x=n代入方程求出mn2-4n的值，代入已知等式求出m的值即可．
【详解】依题意，得．
∴．
∵，
∴．∴．
【点睛】此题考查了一元二次方程的解，以及一元二次方程的定义，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
4．
【分析】，然后根据方程的解的定义以及一元二次方程根与系数的关系，得到关于k的一元一次方程，即可解得答案．
【详解】解：∵是方程的根
∴，
∴
∴．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解以及根与系数的关系，掌握相关知识并熟练使用，同时注意解题中需注意的问题是本题的解题关键．
5．(1)见详解
(2)
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟记“”是解题关键．
（1）方程有实数根时，由此即可求解．
（2）方程有两个相等的实数根即，由此即可求解．
【详解】（1）证明：
，
不论实数m取何值，方程总有实数根．
（2）由（1）问可知：，
方程有两个相等的实数根，
即，
解得：．
故当时，方程有两个相等的实数根．
6．(1) △ABC是等腰三角形；(2)△ABC是直角三角形；(3) x1=0，x2=﹣1．
【分析】（1）直接将x=﹣1代入得出关于a，b的等式，进而得出a=b，即可判断△ABC的形状；
（2）利用根的判别式进而得出关于a，b，c的等式，进而判断△ABC的形状；
（3）利用△ABC是等边三角形，则a=b=c，进而代入方程求出即可．
【详解】（1）△ABC是等腰三角形；
理由：∵x=﹣1是方程的根，
∴（a+c）×（﹣1）2﹣2b+（a﹣c）=0，
∴a+c﹣2b+a﹣c=0，
∴a﹣b=0，
∴a=b，
∴△ABC是等腰三角形；
（2）∵方程有两个相等的实数根，
∴（2b）2﹣4（a+c）（a﹣c）=0，
∴4b2﹣4a2+4c2=0，
∴a2=b2+c2，
∴△ABC是直角三角形；
（3）当△ABC是等边三角形，∴（a+c）x2+2bx+（a﹣c）=0，可整理为：
2ax2+2ax=0，
∴x2+x=0，
解得：x1=0，x2=﹣1．
7．（1）证明见解析；（2）5.
【详解】试题分析:（1）找出a，b及c，表示出根的判别式，变形后得到其值大于0，即可得证．
（2）把x=0代入方程即可求m的值，然后化简代数式再将m的值代入所求的代数式并求值即可．
试题解析：（1）∵关于x的一元二次方程x2-（2m+1）x+m（m+1）=0．
∴△=（2m+1）2-4m（m+1）=1＞0，
∴方程总有两个不相等的实数根；
（2）∵x=0是此方程的一个根，
∴把x=0代入方程中得到m（m+1）=0，
∴m=0或m=-1，
∵（2m-1）2+（3+m）（3-m）+7m-5=4m2-4m+1+9-m2+7m-5=3m2+3m+5，
把m=0代入3m2+3m+5得：3m2+3m+5=5；
把m=-1代入3m2+3m+5得：3m2+3m+5=3×1-3+5=5．
考点：1.根的判别式；2.一元二次方程的解．
8．(1)见解析；(2)m=-1,-3.
【分析】（1）先计算判别式得到△=（m-3）2-4m （-3）=（m+3）2，利用非负数的性质得到△≥0，然后根据判别式的意义即可得到结论；
（2）利用公式法可求出x1=，x2=-1，然后利用整除性即可得到m的值．
【详解】解: （1）∵m≠0，
∴方程mx2+（m-3）x-3=0（m≠0）是关于x的一元二次方程，
∴△=（m-3）2-4m×（-3）=（m+3）2，
∵（m+3）2≥0，即△≥0，
∴方程总有两个实数根；
（2）∵x= ，
∴x1=-，x2=1，
∵m为正整数，且方程的两个根均为整数，
∴m=-1或-3．
【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2-4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了解一元二次方程．
9．（1）；（2）
【分析】（1）根据一元二次方程判别式的性质计算，即可得到答案；
（2）根据一元二次方程根与系数的关系、分式方程、一元二次方程判别式的性质计算，即可得到答案．
【详解】（1）根据题意，得，
解得：；
（2）根据题意，得：，
∵，即
∴
解得：或
∵
∴舍去
当时，
∴的值是．
【点睛】本题考查了一元二次方程的知识；解题的关键是熟练掌握一元二次方程判别式、一元二次方程根与系数关系、一元一次不等式、分式方程的性质，从而完成求解．
10．（1）；（2），．
【分析】（1）利用判别式的意义得到△=（2m-1）2-4×（m2-3）≥0，然后解不等式即可；
（2）先确定m的最大整数为3，代入原方程，用因式分解法解方程即可．
【详解】（1）∵方程有实数根，
∴
解得：
（2）∵取最大的整数，
∴
∴一元二次方程为
∴方程的解为：，
【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2-4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根．
11．(1)
(2)2
【详解】（1）一元二次方程有两个实数根，
，解得．
（2）由根与系数的关系可知，．
，
．
整理，得，
解得．
，
．
12．5
【分析】本题考查根的判别式，公式法解一元二次方程，根据方程有两个实数根，得到，求出的范围，求根公式求出方程的根，根据根为整数，求出符合条件的正整数m的值，再求和即可．
【详解】解：关于x的一元二次方程有两个实数根，
．
又是正整数，
的值为1或2或3．
由求根公式，得．
方程的根都是整数，
是整数，
的值为2或3，
符合条件的所有正整数m的和为5．
13．（1）x1＝，x2＝（2）m＜
【分析】（1）令m=0，用公式法求出一元二次方程的根即可；
（2）根据方程有两个不相等的实数根，计算根的判别式得关于m的不等式，求解不等式即可．
【详解】（1）当m=0时，方程为x2+x﹣1=0．
△=12﹣4×1×（﹣1）=5＞0，∴x，∴x1，x2．
（2）∵方程有两个不相等的实数根，∴△＞0，即12﹣4×1×（m﹣1）=1﹣4m+4=5﹣4m＞0，∴m．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解法、根的判别式．一元二次方程根的判别式△=b2﹣4ac．
14．(1) k≥﹣1且k≠1且k≠2；(2) x1=0，x2=3；(3)成立
【分析】（1）先解出分式方程①的解，根据分式的意义和方程①的根为非负数得出k的取值；
（2）先把k=m+2，n=1代入方程②化简，由方程②有两个整数实根得△是完全平方数，列等式得出关于m的等式，由根与系数的关系和两个整数根x1、x2得出m=1和﹣1，分别代入方程后解出即可；
（3）根据（1）中k的取值和k为负整数得出k=﹣1，化简已知所给的等式，并将两根和与积代入计算求出m的值，做出判断．
【详解】解：（1）∵关于x的分式方程的根为非负数，
∴x≥0且x≠1，
又∵x=≥0，且≠1，
∴解得k≥﹣1且k≠1，
又∵一元二次方程（2﹣k）x2+3mx+（3﹣k）n=0中2﹣k≠0，
∴k≠2，
综上可得：k≥﹣1且k≠1且k≠2；
（2）∵一元二次方程（2﹣k）x2+3mx+（3﹣k）n=0有两个整数根x1、x2，且k=m+2，n=1时，
∴把k=m+2，n=1代入原方程得：﹣mx2+3mx+（1﹣m）=0，即：mx2﹣3mx+m﹣1=0，
∴△≥0，即△=（﹣3m）2﹣4m（m﹣1），且m≠0，
∴△=9m2﹣4m（m﹣1）=m（5m+4），
∵x1、x2是整数，k、m都是整数，
∵x1+x2=3，x1 x2==1﹣，
∴1﹣为整数，
∴m=1或﹣1，
∴把m=1代入方程mx2﹣3mx+m﹣1=0得：x2﹣3x+1﹣1=0， x2﹣3x=0，
x（x﹣3）=0， x1=0，x2=3；
把m=﹣1,k=m+2=1不符合题意舍去.
（3）|m|≤2成立，理由是：
由（1）知：k≥﹣1且k≠1且k≠2， ∵k是负整数， ∴k=﹣1，
（2﹣k）x2+3mx+（3﹣k）n=0且方程有两个实数根x1、x2，
∴x1+x2=﹣==﹣m，x1x2==，
x1（x1﹣k）+x2（x2﹣k）=（x1﹣k）（x2﹣k），
x12﹣x1k+x22﹣x2k=x1x2﹣x1k﹣x2k+k2，
x12+x22═x1x2+k2，
（x1+x2）2﹣2x1x2﹣x1x2=k2，
（x1+x2）2﹣3x1x2=k2，
（﹣m）2﹣3×=（﹣1）2，
m2﹣4n=1，
Δ=（3m）2-4（2-k）（3-k）n=9m2-48n≥0②，
把①代入②得：
m2≤4，
∴|m|≤2成立．
【点睛】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，考查了根的判别式及分式方程的解；注意：①解分式方程时分母不能为0；②一元二次方程有两个整数根时，根的判别式△为完全平方数．
15．（1）详见解析；（2）S的值能为2，此时k的值为2．
【分析】（1） 本题二次项系数为(k－1)，可能为0，可能不为0，故要分情况讨论；要保证一元二次方程总有实数根，就必须使△＞0恒成立；（2）欲求k的值，先把此代数式变形为两根之积或两根之和的形式，代入数值计算即可．
【详解】（1）①当k-1=0即k=1时，方程为一元一次方程2x=1,
x=-1有一个解；
②当k-1≠0即k≠1时，方程为一元二次方程，
△=（2k） -4×2（k-1）=4k -8k＋8="4(k-1)" ＋4＞0
方程有两不等根
综合①②得不论k为何值，方程总有实根
（2）∵x ＋x ＝,x x =
∴S=++ x1+x2
=
=
=
=
=2k-2=2，
解得k=2，
∴当k=2时，S的值为2
∴S的值能为2，此时k的值为2．
考点：一元二次方程根的判别式；根与系数的关系．
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