第二十一章 一元二次方程--一元二次方程的根与系数的关系 专项练 2025-2026学年上学期初中数学人教版九年级上册

中小学教育资源及组卷应用平台
第二十一章 一元二次方程--一元二次方程的根与系数的关系
专项练 2025-2026学年上学期初中数学人教版九年级上册
一、单选题
1．若，是一元二次方程的两个根，则的值为（ ）
A． B． C． D．
2．关于x的一元二次方程 的两个根分别是3，，则p、q的值为（ ）
A．， B．， C．， D．，
3．若是一元二次方程的一个解，则方程的另一个解为（ ）
A． B． C． D．
4．已知一元二次方程的两个根和，则的值为（ ）
A．10 B． C．24 D．
5．已知是的两个根，则的值是（ ）
A． B． C．3 D．5
6．已知和是方程的两个根，则的值为（ ）
A． B． C． D．
7．若方程的两根之积为，则的值是（ ）
A．-1 B．1 C． D．
8．已知关于的一元二次方程的两个实数根分别是和，则的值等于（ ）
A．16 B．9 C．6 D．4
9．已知m，n是方程的两个实数根，则的值是（）
A．2025 B．2028 C．2030 D．4048
10．已知关于的一元二次方程，则下列判断中不正确的是（　　）
A．若方程有一根为1，则
B．若异号，则方程必有解
C．若，则方程两根互为相反数
D．若，则方程有一根为0
二、填空题
11．已知a，b是一元二次方程的两个根，则 ．
12．一元二次方程的两个根分别为、，则 ．
13．已知是关于x的一元二次方程的两个实数根，其中，则 ．
14．已知是一元二次方程的两个根，则 ．
15．若m和n是关于x的一元二次方程的两根，则代数式的值是 ．
16．已知是关于的一元二次方程的两个实数根．若，则的值为 ．
三、解答题
17．已知关于 的一元二次方程有两个不相等的实数根．
（1）求 k 的取值范围；
（2）若 k 为正整数，且该方程的根都是整数，求方程的根．
18．已知关于x的一元二次方程．
(1)求证：该方程总有两个不相等的实数根．
(2)若该方程的两根互为相反数，求m的值．
19．已知关于x的一元二次方程．
(1)若方程有两个不相等的实数根，求实数m的取值范围；
(2)若方程两实数根为，，且满足，求实数m的值．
20．已知关于x的一元二次方程x2+kx﹣k﹣2＝0．
（1）求证：无论k取何值时，方程总有两个不相等的实数根；
（2）若方程的两根之和等于3，求k的值以及方程的两个根．
21．已知方程5x2+kx－10=0一个根是－5，求它的另一个根及k的值
22．已知关于的一元二次方程．
（1）若方程有两个不相等的实数根，请求出的最大整数值；
（2）设、是（1）中所得到的方程的两个实数根，求的值．
23．已知关于的方程有两个实数根．
（1）求的取值范围；
（2）当时，设所给方程的两个根分别为，求的值．
24．设，是方程的两个实数根，且，求的值．
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D B A C C D B A B C
1．D
【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系．解题的关键是掌握：若，是一元二次方程的两个实数根，则，．据此解答即可．
【详解】解：∵，是一元二次方程的两个根，
∴，
∴的值为．
故选：D．
2．B
【分析】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，．根据根与系数的关系得到，，然后解方程即可得到p和q的值．
【详解】解：根据题意得，，
∴，．
故选：B．
3．A
【分析】此题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握一元二次方程根与系数的关系．根据根与系数的关系即可求解．
【详解】解：设方程的另一个根为，
则，
∴．
故选：A．
4．C
【分析】本题考查了根与系数的关系：若是一元二次方程的两根时，．据此求解即可．
【详解】解：∵一元二次方程的两个根和，
∴，
故选：C．
5．C
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是熟知：若是一元二次方程的两个根，则，．根据一元二次方程根与系数的关系可得出，，再代入中计算即可．
【详解】解：∵是方程的两个实数根，
∴，，
∴，
故选：C．
6．D
【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程的解，熟记相关结论：若一元二次方程的两个根为，则，，利用根与系数的关系得出，再利用，即可求解．
【详解】解：∵是方程的两个根，
∴，
又∵是方程的根，
∴，
∴，
故选 D．
7．B
【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，判别式，掌握知识点是解题的关键．
根据一元二次方程根与系数的关系，方程的两根之积等于常数项除以二次项系数．结合题目条件建立方程求解，并验证判别式是否非负．
【详解】解：对于方程 ，设其两根为 和 ，根据根与系数的关系，根的积为 ．
题目给出根的积为 ，因此有：
解得：
验证判别式：
当 时，，方程有实根，符合条件．
故选B．
8．A
【分析】本题考查了根与系数的关系．
将方程化为一般式，利用根与系数的关系求出，进而求解即可．
【详解】解：一元二次方程可化为，
∴，
解得，
∴，
∴，
故选：A．
9．B
【分析】本题考查了一元二次方程的根以及根与系数的关系，利用方程根的定义将高次项降次，结合根与系数的关系求解．
【详解】解：∵是方程的实数根，
∴．
代入所求表达式：
由根与系数的关系，方程的两根之和为：，
∴．
故选：B．
10．C
【分析】本题考查一元二次方程的相关概念，熟练掌握一元二次方程的定义和解法是关键.
将代入方程即可判断A，利用根的判别式可判断B，将代入方程，根据直接开平方法解方程即可判断C，将代入方程，可判断D.
【详解】A．若方程有一根为1，把x=1代入原方程，则，故A正确；
B．若a、c异号，则，∴方程必有解，故B正确；
C．若，方程变为，若方程有解，则，此时两根和为0，互为相反数，但若、同号，方程无实数根，故C错误；
D．若，则方程变为，必有一根为0．故D正确．
故选：C．
11．3
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，若，为方程的两个根，则，与系数的关系式：，．据此求解即可．
【详解】解：∵a，b是一元二次方程的两个根，
∴．
故答案为：3．
12．
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，掌握这个关系是关键．当然本题也可直接解方程来求解．
由一元二次方程根与系数的关系带入即可求得．
【详解】解：由根与系数的关系得：；；
∴
故答案为： ．
13．
【分析】本题考查根与系数的关系，根据根与系数的关系得到，结合，进行求解即可，熟练掌握根与系数的关系，是解题的关键．
【详解】解：∵是关于x的一元二次方程的两个实数根，
∴，
∵，
∴；
故答案为：．
14．
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系、一元二次方程的解、代数式求值．根据题意得、，再将其代入即可求解．
【详解】解：由题意得：
，即：，
，
，
故答案为：2021．
15．1
【分析】本题考查一元二次方程的解、根与系数关系，利用根与系数关系得到，将方程的根m代入方程中得到，再利用整体代入求出答案即可．
【详解】解：∵m和n是关于x的一元二次方程的两根，
∴，，则，
∴，
故答案为：1．
16．
【分析】此题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟记两个关系式是解题的关键．
根据一元二次方程根与系数的关系得到，代入求解即可．
【详解】解：∵一元二次方程的两个实数根分别为，
，
，
，
．
故答案为：．
17．（1）＜ ；（2）当时，．
【分析】（1）根据判别式的意义得到＞0，然后解不等式即可得到k的范围； （2）先确定整数k的值为1或2，然后把k=1或k=2代入方程得到两个一元二次方程，然后解方程，确定方程的整数解即可．
【详解】解：（1）因为有两个不相等的实数根，
所以＞0，即＞0，
所以＜20，解得：＜
（2）因为＜且为正整数， 所以=l或2，
当=l时，方程化为，△=12，此方程无整数根；
当=2时，方程化为 解得，
所以=2，方程的有整数根为．
【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程（a≠0）的根与有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；当△＜0时，方程无实数根．同时考查了不等式的正整数解及解一元二次方程，掌握基础是关键．
18．(1)见解析
(2)4
【分析】（1）根据一元二次方程列出根的判别式，即可做出判断；
（2）根据一元二次方程根与系数关系列式求解即可．
【详解】（1）证明：，
∴，，，
∵，
∴该方程总有两个不相等的实数根．
（2）∵该方程的两根互为相反数，
∴，
∴．
【点睛】此题考查了一元二次方程根的判别式和根与系数关系，熟练掌握相关知识并准确计算是解题的关键．
19．(1)
(2)
【分析】（1）本题考查一元二次方程判别式的意义，直接根据判别式直接进行求解即可；
（2）本题考查一元二次方程根于系数的关系，利用根于系数的关系带入原始即可求解．
【详解】（1）解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴，
∴，
∴．
（2）解：由根与系数的关系：，，
∴，
∴．
20．（1）见解析；（2）x1＝，x2＝．
【分析】（1）根据判别式公式，求出该一元二次方程的判别式△，得到△＞0恒成立，即可得证，
（2）根据根与系数的关系，结合“方程的两根之和等于3”，列出关于k的一元一次方程，求出k值，代入原方程，解之即可．
【详解】（1）证明：因为△＝k2﹣4（﹣k﹣2）＝k2+4k+8＝（k+2）2+4＞0，所以方程有两个不相等的实数根．
（2）由题意，得﹣k＝3，所以k＝﹣3．
当k＝﹣3时，方程为x2﹣3x+1＝0．
所以x1＝，x2＝．
【点睛】本题考查了根与系数的关系和根的判别式，解题的关键：（1）正确掌握判别式公式，（2）正确掌握根与系数的关系公式．
21．；k=23 .
【详解】试题分析：把x=-5代入5x2+kx－10=0求出k的值，然后把k的值代回到原方程，再根据根与系数的关系可求出方程的另一根.
解：把x=-5代入5x2+kx－10=0，得
125-5k-10=0,
解之得
k=23.
把k=23代入5x2+kx－10=0，得
5x2+23x－10=0，
∵x1x2=,x1=-5,
∴.
22．（1）m的最大整数值为4；（2）13
【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式△≥0，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围，再取其中最大整数值即可得出结论；
（2）求出方程的解，再代入求出即可．
【详解】解：（1）x2+4x+m-1=0．
∵，，，
∴b2-4ac=42-4×1×（m-1）=-4m+20＞0，
解得m＜5，
m的最大整数值为4；
（2）方程为x2+4x+3=0，
解得：x=-3或-1，
设α=-3，β=-1，
α2+β2+αβ=（-3）2+（-1）2+（-3）×（-1）=9+1+3=13．
【点睛】本题考查了根的判别式、根与系数的关系以及解一元二次方程，能熟记根的判别式和根与系数的关系的内容是解此题的关键．
23．（1）且；（2）14.
【分析】（1）根据一元二次方程的定义和根的判别式的意义得到k2≠0且△=4（k+1）2-4k2≥0，然后解两个不等式，求出它们的公共部分即可；
（2）先把k=1代入方程，再根据根与系数的关系得到x1+x2=4，x1 x2=1，然后把所求的代数式变形得到，然后利用整体思想进行计算．
【详解】（1）根据题意得，，
整理得，，
所以，解得；
因为方程有两个实数根，
所以应为一元二次方程，所以．
故且；
（2）原式，
当时，原方程为：，
根据一元二次方程根与系数的关系可得，，，
将和代入得：原式.
【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2-4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的根与系数的关系．
24．0
【分析】x12+x22=x12+2x1 x2+x22-2x1 x2=（x1+x2）2-2x1 x2=4，然后根据根与系数的关系即可得到一个关于k的方程，从而求得k的值．
【详解】解：∵，是方程的两个实数根，
∴，，
，，
∵，
∴，，
解得或，
∵，∴．
【点睛】本题考查了一元二次方程，解题的关键是熟练运用根的判别式以及根与系数的关系，本题属于基础题型．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)