第二十一章 一元二次方程 章末综合闯关试题 2025-2026学年上学期初中数学人教版九年级上册

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第二十一章 一元二次方程 章末综合闯关试题
2025-2026学年上学期初中数学人教版九年级上册
一、单选题
1．下列方程中，是一元二次方程的是（ ）
A． B． C． D．
2．一元二次方程配方后可变形为（ ）
A． B． C． D．
3．嘉嘉在解方程时，只得到一个解是，则他漏掉的解是（ ）
A． B． C． D．
4．如果，那么的值为（ ）
A．2或-1 B．0或1 C．2 D．-1
5．设a，b是方程的两个实数根，则的值为（　　）
A．2019 B．2018 C．2015 D．2016
6．二次三项式x2﹣3x+2的二次项系数，一次项系数，常数项分别是（ ）
A．0，，2 B．0，，-2 C．1，，2 D．1，3，2
7．若一个三角形的两边长分别为2和6，第三边是方程x2－8x＋15＝0的一根，则这个三角形的周长为( )
A．5 B．3或5 C．13 D．11或13
8．我国古代数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载了关于一元二次方程的几何解法．以方程即为例：构造图1中四个小矩形的面积各为14，大正方形的面积是，其中它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即，可得，那么对于一元二次方程可以构造图2来解，已知图2由4个面积为3的相同矩形构成，中间围成的正方形面积为4，那么此方程的系数a，b分别是（　　）
A．， B．， C．， D．，
9．某市2017年国内生产总值（GDP）比2016年增长了12%，由于受到国际金融危机的影响，预计2018比2017年增长7%，若这两年GDP年平均增长率为%，则%满足的关系是
A． B．
C． D．
10．下列说法正确的是（ ）．
①若 ，则一元二次方程 必有一根为 -2．
②已知关于x 的方程 有两实根，则k 的取值范围是 ﹒
③一个多边形对角线的条数等于它的边数的 4倍，则这个多边形的内角和为1620度 ．
④一个多边形剪去一个角后，内角和为1800度 ，则原多边形的边数是 11或 12．
A．①③ B．①②③ C．②④ D．②③④
二、填空题
11．方程x2－3＝0的根是 ．
12．若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围为 ．
13．如图，小明同学用一张长11cm，宽7cm的矩形纸板制作一个底面积为的无盖长方体纸盒，他将纸板的四个角各剪去一个同样大小的正方形，将四周向上折叠即可（损耗不计）．设剪去的正方形边长为xcm，则可列出关于x的方程为 ．
14．已知实数满足，那么的值为 ．
15．已知的三边长、、都是正整数，且满足，则的周长是 ；
16．关于x的一元二次方程的两实数根，满足，则的值是 ．
三、解答题
17．解方程：．
18．已知关于x的一元二次方程．
(1)求证：该方程总有两个不相等的实数根．
(2)若该方程的两根互为相反数，求m的值．
19．如图是一张长，宽的长方形纸板，将纸板四个角各剪去一个同样的边长为的正方形，然后将四周突出部分折起，可制成一个无盖的长方体纸盒．
(1)无盖方盒盒底的长为 ，宽为 （用含x的式子表示）．
(2)若要制作一个底面积是的无盖的长方体纸盒，求剪去的正方形边长．
20．某网店以每件40元的价格购进一批商品，若以单价50元销售，每月可售出200件，调查表明：单价每上涨1元，该商品每月的销售量就减少10件．为了尽可能的减少快递支出，网店决定采取适当的涨价措施．设每件商品涨价x元．据此规律，请回答：
(1)该网店月销售量减少_______件，每件商品盈利________元（用含x的代数式表示）；
(2)在上述条件下，每件商品售价多少元时，网店月盈利可达到2000元？
21．小颖与小明两位同学解方程过程如下框：
小颖： 两边同除以，得． 小明： 移项，得， 提取公因式，得． 所以，或， 解得，．
(1)你认为他们的过程是否正确？若正确请在括号内打“√”；若错误请在括号内打“×”：小颖______，小明______；
(2)写出你的解答过程．
22．已知抛物线与x轴交点的坐标分别为，，且．
(1)若抛物线与x轴交点的坐标分别为，，且．试判断下列每组数据的大小（填写、或）：
①________；②________；③________．
(2)若，，求b的取值范围；
(3)当时，最大值与最小值的差为，求b的值．
23．如图，有长为的篱笆，围成矩形花圃，且花圃的长可借用一段墙体．（墙体的最大可用长度为），如果围成的花圃的面积为，试求的长．

24．如图，已知长方形的边长，，某一时刻，动点从点出发沿方向以的速度向点匀速运动；同时，动点从点出发沿方向以的速度向点匀速运动，当点到达点时，两点同时停止运动，问：
(1)经过多长时间，的长为？
(2)经过多长时间，的面积等于长方形面积的？
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D D A C D C C B D A
1．D
【详解】一元二次方程有三个特点：（1）只含有一个未知数；（2）未知数的最高次数是2；（3）是整式方程．故A.是二元一次方程；
B.是一元一次方程；
C.是一元一次方程；
D.x2=0符合要求．
故选D.
2．D
【分析】本题考查配方法解一元二次方程．根据配方法解一元二次方程的方法求解即可得到答案．
【详解】解：整理得，
配方得，即，
故选：D．
3．A
【分析】利用因式分解法解方程，求出两个解，即可得出漏掉的解．
【详解】解：，
因式分解得，
∴ 或，
∴，，
∴ 他漏掉的解是．
故选：A．
【点睛】本题考查因式分解法解一元二次方程，属于基础题，掌握因式分解法解一元二次方程的基本步骤是解题的关键．
4．C
【详解】解：因为任何一个不为零的数的零次方为1，
所以可得方程
解方程得x的值为2或-1，
但当x=-1时，x+1=0，无意义，
∴x=2．
故选：C
5．D
【分析】根据一元二次方程的解及根与系数的关系可得出、，将其代入中即可求出结论．
【详解】∵a，b是方程的两个实数根，
∴
∴
故选：D．
【点睛】本题考查了根与系数的关系以及一元二次方程的解，根据一元二次方程的解及根与系数的关系找出是解题的关键．
6．C
【分析】根据任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c=0（a≠0）．这种形式叫一元二次方程的一般形式．其中ax2叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项；b是一次项系数，c叫做常数项进行分析即可．
【详解】解：x2-3x+2=0的二次项系数是1，一次项系数是-3，常数项是2，
故选：C．
【点睛】此题主要考查了一元二次方程的一般形式，关键是掌握判断二次项系数，一次项系数，常数项时要先化成一般式．
7．C
【分析】先解一元二次方程，然后根据三角形三边关系定理，将不合题意的解舍去．
【详解】解：x2－8x＋15＝0，
得：x1=3，x2=5；
当x=3时，三角形三边长为2、3、6，2+3<6，构不成三角形，故x=3不合题意；
当x=5时，三角形三边长为2、5、6，6-2＜5＜6+2，能构成三角形；
所以这个三角形的周长为5+6+2=13．
故选C．
【点睛】此题是一元二次方程的解结合几何图形的性质的应用，注意分类讨论．
8．B
【分析】根据题意把x2+ax+b=0，变形为x（x+a）=-b，根据图2由4个面积为3的相同矩形构成，中间围成的正方形面积为4，即可得到答案．
【详解】解：∵x2+ax+b=0，
∴x（x+a）=-b，
∴四个小矩形的面积各为-b，大正方形的面积是（x+x+a）2，
其中它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即4×（-b）+a2，
∵图2由4个面积为3的相同矩形构成，中间围成的正方形面积为4，
∴-b=3，a2=4，
解得：b=-3，a=±2，
故选：B．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，勾股定理的证明，能知道系数a，b与各图形面积的关系是解题的关键．
9．D
【详解】设2016年的国内生产总值为1，
∵2017年国内生产总值（GDP）比2016年增长了12%，∴2017年的国内生产总值为1+12%；
∵2018年比2017年增长7%，∴2018年的国内生产总值为（1+12%）（1+7%），
∵这两年GDP年平均增长率为x%，∴2018年的国内生产总值也可表示为：，
∴可列方程为：（1+12%）（1+7%）=．故选D．
10．A
【分析】①由可得4a-2b+c=0，当x=-2时，4a-2b+c=0成立，即可判定；②运用一元二次方程根的判别式求出k的范围进行比较即可判定；③设这个多边形的边数为n，根据多边形内角和定理求得n即可判定；④分剪刀所剪的直线过多边形一个顶点、两个顶点和不过顶点三种剪法进行判定即可．
【详解】解：①b=2a+c，则4a-2b+c=0，
一元二次方程必有一个根为-2．故①说法正确；
②：有两实数根，
:原方程是一元二次方程．
，故②说法错误；
③设这个多边形的边数为n，
则
解得n=11或0(舍去）
:这个多边形是11边形．
:这个多边形的内角和为：
(11-2)×180°=9×180°=1620°．
故③说法正确；
一个多边形剪去一个角的剪法有过多边形一个顶点、两个顶点和不过顶点三种剪法，会有三个结果，故④错．
故选：A．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解和根的判别式以及多边形内角和定理，灵活应用所学知识是正确解答本题的关键．
11．x1＝，x2＝－
【详解】x2－3＝0
移项得x2=3，
开方得x1=，x2=-．
故答案为：x1=，x2=-
12．且
【分析】利用一元二次方程根的定义和判别式的意义得到且，然后求出两不等式的公共部分即可．
【详解】解：根据题意得且，
解得且．
故答案为∶ 且．
【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．
13．
【分析】设剪去的正方形边长为xcm，根据题意，列出方程，即可求解．
【详解】解：设剪去的正方形边长为xcm，根据题意得：
．
故答案为：
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键．
14．1
【分析】设，将已知方程转化为关于的一元二次方程，然后利用因式分解法解方程即可．
【详解】设，
∴原式可转化为：，
整理得，，
解得，或，
∵，
∴将(舍去)
∴的值为1，
故答案为：1．
【点睛】本题考查了换元法解一元二次方程、完全平方式等知识点，解答本题的关键是将设为一个整体，并对所求值进行取舍．
15．7
【分析】将已知等式变形成零加零的形式求得的值，再根据题意及三边关系求得，即可求解
【详解】
、、都是正整数
的周长
故答案为:7
【点睛】本题考查了非负数之和为0，三角形三边关系，求解不等式组的正整数解，完全平方公式，熟悉以上知识点是解题的关键．
16．32
【分析】由题意得b2-4ac≥0，求出m≥0，再根据根与系数的关系，得m=2，最后把化简为(x1x2)2 +2(x1+x2)2-4x1.x2+4，即可得答案．
【详解】解：由题意得b2-4ac=(2m)2 -4(m2 -m)≥0，
∴m≥0，
∵关于x的一元二次方程x2+2mx+m2-m=0的两实数根x1，x2，x1x2=2，
∴x1+x2=-2m，x1·x2=m2-m=2，
∴m2 -m-2=0，
解得：m=2或m=-1(舍去)，
∴x1+x2=-4，
=(x1x2)2 +2(x1+x2)2-4x1.x2+4，
=22+2×(-4)2-4×2+4
=32．
【点睛】本题考查了根据根与系数的关系，解题的关键是掌握x1+x2= ，x1x2=．
17．，
【分析】直接利用因式分解法解一元二次方程即可．
【详解】解：，
，
或，
，．
【点睛】本题考查因式分解法解一元二次方程，正确计算是解题的关键．
18．(1)见解析
(2)4
【分析】（1）根据一元二次方程列出根的判别式，即可做出判断；
（2）根据一元二次方程根与系数关系列式求解即可．
【详解】（1）证明：，
∴，，，
∵，
∴该方程总有两个不相等的实数根．
（2）∵该方程的两根互为相反数，
∴，
∴．
【点睛】此题考查了一元二次方程根的判别式和根与系数关系，熟练掌握相关知识并准确计算是解题的关键．
19．(1)，
(2)
【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用，正确理解题意是解题关键．
（1）根据图形即可求解；
（2）求解方程即可．
【详解】（1）由图示可知：无盖方盒盒底的长为，宽为
故答案为：，
（2）由题意得：，
整理得：，
解得：（不符合题意，舍去）
∴剪去的正方形边长为
20．(1)10x，10+x；
(2)每件商品售价为60元时，网店月盈利可达到2000元．
【分析】（1）根据题中已知条件“每件40元的价格购进一批商品，若以单价50元销售，每月可售出200件，调查表明：单价每上涨1元，该商品每月的销售量就减少10件”即可表示；
（2）利用销量×每件的利润＝总利润列方程求解即可．
【详解】（1）解：由题意每件商品涨价x元，销量减少10x件，
每件盈利：50-40+x=（10+x）元，
故答案为：10x，10+x；
（2）解：设每件商品涨价x元，网店月盈利可达到2000元，
则，
解得：（舍去）
售价为50+10=60（元），
即每件商品售价为60元时，网店月盈利可达到2000元．
【点睛】本题考查一元二次方程的应用，根据题意找到等量关系列方程是解题的关键．
21．(1)×，×
(2)见解析
【分析】本题考查了因式分解法解一元二次方程．熟练掌握因式分解法解一元二次方程是解题的关键．
（1）根据因式分解法解一元二次方程判断即可；
（2）根据因式分解法解一元二次方程求解即可．
【详解】（1）解：由题意知，小颖×，小明×，
故答案为：×，×；
（2）解：，
，
，
∴或，
解得，，．
22．(1)；；；
(2)
(3)b的值为或．
【分析】本题考查根与系数的关系，二次函数图像与性质，不等式性质，二次函数最值情况，解题的关键在于熟练掌握二次函数图像与性质．
（1）根据根与系数的关系得到，以及，即可判断①，利用二次函数的图像与性质得到，进而得到，利用不等式性质变形，即可判断②③．
（2）根据题意得到，结合进行求解，即可解题；
（3）根据题意得到抛物线顶点坐标为，对称轴为；当时，，当时，，由最大值与最小值的差为，分以下三种情况：①当在取得最大值，在取得最小值时，②当在取得最大值，在顶点取得最小值时，③当在取得最大值，在顶点取得最小值时，建立等式求解，即可解题．
【详解】（1）解： 与x轴交点的坐标分别为，，且，
，且抛物线开口向上，
与x轴交点的坐标分别为，，且．
即向上平移1个单位，
，且，
①；
，
，即②；
，即③．
故答案为；；；；
（2）解：，，
，
，
；
（3）解：抛物线顶点坐标为，
对称轴为；
当时，，
当时，，
①当，则，
那么，在取得最大值，在取得最小值时，
有，解得（不符合题意，舍去）；
②当，解得，
那么，在取得最大值，在顶点取得最小值时，
有，解得（不符合题意，舍去）或，
③当，解得，
那么，在取得最大值，在顶点取得最小值时，
有，解得（不符合题意，舍去）或；
综上所述，b的值为或．
23．的长为12米
【分析】本题考查了二次函数的应用，根据题意列出函数关系式是解答本类题目的关键．设的长为，则，根据围成的花圃的面积为建立方程求解，排除不符合实际的解，即可得出结果．
【详解】解：设的长为，则，
由已知，，
则
依据题意列方程得：，
解得：（舍），
答：的长为12米．
24．(1)经过或之后，的长为cm；
(2)秒或秒．
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，勾股定理，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
（）设经过后，则，，，然后由勾股定理列出方程，然后解方程即可；
（）设经过秒，由题意得，，，由的面积等于长方形面积的，列出方程，然后解方程即可；
【详解】（1）设经过后，则，，，的长为cm，
根据题意，由勾股定理得：，
即，
解得：，，
答：经过或之后，的长为cm；
（2）设经过秒，的面积等于矩形面积的，
由题意得，，，
∵矩形中，，，
∴，，
∴矩形的面积为：，
∴的面积，
整理得：，
解得，，
答：经过秒或秒，的面积等于长方形面积的．
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