第二十二章 二次函数 经典题型单选 专项练 2025-2026学年上学期初中数学人教版九年级上册

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第二十二章 二次函数 经典题型单选 专项练 2025-2026学年
上学期初中数学人教版九年级上册
1．y=3（x﹣1）2+2与y轴的交点坐标是（　　）
A．（0，2） B．（0，5） C．（2，0） D．（5，0）
2．已知点，，都在二次函数的图象上，那么、、的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
3．在同一坐标系中，作y=3x2+2，y=﹣3x2﹣1，y=x2的图像，则它们（　　）
A．都是关于y轴对称 B．顶点都在原点
C．都是开口向上 D．以上都不对
4．如图，是一条抛物线的图象，则其解析式为（　　）
A．y=x2﹣2x+3 B．y=x2﹣2x﹣3 C．y=x2+2x+3 D．y=x2+2x-3
5．已知二次函数y=x2﹣bx+2（﹣2≤b≤2），当b从﹣2逐渐增加到2的过程中，它所对应的抛物线的位置也随之变动，下列关于抛物线的移动方向的描述中，正确的是（　　）
A．先往左上方移动，再往左下方移动
B．先往左下方移动，再往左上方移动
C．先往右上方移动，再往右下方移动
D．先往右下方移动，再往右上方移动
6．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）图象如图，下列结论：
①abc＞0；②3a+c＜0；③a+b≥am2+bm；④a﹣b+c＞0；⑤若ax12+bx1=ax22+bx2，且x1≠x2，则x1+x2=2．
其中正确的有（　　）个．
A．2 B．3 C．4 D．5
7．已知3x+y＝6，则xy的最大值为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．6
8．已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0有两个相等的实数根，则抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点个数是（　　）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
9．已知抛物线y=x2﹣x﹣1与x轴的一个交点为（a，0），则代数式a2﹣a+2018的值为（　　）
A．2017 B．2018 C．2019 D．2020
10．抛物线的部分图像如图所示，与x轴的一个交点坐标为，抛物线的对称轴是下列结论中：
；；方程有两个不相等的实数根；抛物线与x轴的另一个交点坐标为；若点在该抛物线上，则．
其中正确的有　　
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
11．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A（﹣1，0）、B（3，0），与y轴交于点C，顶点为D，对称轴为直线x=1，有下列四个判断：
①关于x的一元二次方程的两个根分别是；
②；
③若抛物线上有三个点分别为（﹣2，y1）、（1，y2）、（2，y3），则y1＜y2＜y3；
④当OC=3时，点P为抛物线对称轴上的一个动点，则△PCA的周长的最小值是，
上述四个判断中正确的 有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
12．如图，抛物线与x轴一个交点为，对称轴为直线，则时x的范围是　　
A．或 B．
C． D．
13．已知二次函数的图像如图，有下列5个结论：
①；②；③；④；⑤（的实数），其中正确的结论个数有（ ）

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
14．已知二次函数y=（x－h）2+1（h为常数），在自变量x的值满足1≤x≤3的情况下，与其对应的函数y的最小值为5，则h的值是（　　）
A．－1 B．－1或5 C．5 D．－5
15．如图，二次函数（）的图象与轴交于点、两点，与轴交于点，对称轴为直线，点的坐标为，则下列结论：①；②；③；④，其中正确的结论有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
16．将抛物线y=x2﹣4x+3向上平移至顶点落在x轴上，如图所示，则两条抛物线、对称轴和y轴围成的图形的面积S（图中阴影部分）是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
17．若二次函数y=﹣x2﹣3x+2的自变量x分别取x1、x2、x3，且x1、x2、x3，且0＜x1＜x2＜x3，则对应的函数值y1、y2、y3的大小关系正确的是（ ）
A．y3＜y2＜y1 B．y1＜y2＜y3 C．y1＜y3＜y2 D．y2＜y3＜y1
18．一次函数与二次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
19．如图，抛物线y=﹣2x2+4x与x轴的另一个交点为A，现将抛物线向右平移m（m＞2）个单位长度，所得抛物线与x轴交于C，D，与原抛物线交于点P，设△PCD的面积为S，则用m表示S正确的是（　　）
A．（m2﹣4） B． m2﹣2 C．（4﹣m2） D．2﹣m2
20．已知二次函数图象如图所示，下列结论：
；；；点，都在抛物线上，则有其中正确的结论有　　
A．4个
B．3个
C．2个
D．1个
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B D A B C B B B C B
题号 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
答案 C B B B C B A C B C
1．B
求抛物线与y轴的交点坐标，可令x=0，求得y值即可.
∵当x=0时，y=3(x-1)2+2=3(0-1)2+2=5，
∴y=3（x﹣1）2+2与y轴的交点坐标是（0，5），
2．D
分别计算自变量为 2、、 对应的函数值，然后比较函数值的大小即可．
解：当x＝ 2时，a＝ x2＋2x＋3＝ （ 2）2＋2×（ 2）＋3＝ 5；当x＝时，b＝ x2＋2x＋3＝ （）2＋2×＋3＝；当x＝时，c＝ x2＋2x＋3＝ （）2＋2×＋3＝ ；
所以a＜c＜b．
3．A
从三个二次函数解析式看，它们都缺少一次项，即一次项系数为0，故对称轴x=0，对称轴为y轴．
观察三个二次函数解析式可知，一次项系数都为0，
故对称轴x=-=0，对称轴为y轴，都关于y轴对称．
4．B
根据题意可知抛物线与x轴的交点坐标为（-1，0），（3，0），则可设交点式为y=a（x+1）（x-3），然后把（0，-3）代入求出a的值即可．
因为抛物线与x轴的交点坐标为（-1，0），（3，0），
可设交点式为y=a（x+1）（x-3），
把（0，-3）代入y=a（x+1）（x-3），
可得：-3=a（0+1）（0-3），
解得：a=1，
所以解析式为：y=x2-2x-3，
故选B．
5．C
根据顶点坐标公式求二次函数y=x2-bx+2的顶点坐标，设顶点的横坐标为m，纵坐标为n，转化为关于x、y的函数关系式进行判断．
∵抛物线y=x2-bx+2的顶点坐标为（，）
设m=，n=，则n=-m2+2，
∴顶点在抛物线y=-x2+2（-1≤x≤1）的一段上移动，
∵抛物线开口向下，对称轴为y轴，
∴先往右上方移动，再往右下方移动．
6．B
解：∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵抛物线的对称轴为直线x=－=1，
∴b=－2a＞0，
∵抛物线与x轴的交点在x轴上方，
∴c＞0，
∴abc＜0，所以①错误；
∵抛物线与x轴的一个交点在（2，0）与（3，0）之间，
∴抛物线与x轴的另一个交点在（－1，0）与（0，0）之间，
∴当x=－1时，y＜0，
即a－b+c＜0，所以④错误；
∴a+2a+c＜0，即3a+c＜0，所以②正确；
∵x=1时，y有最大值，
∴a+b+c≥am2+bm+c，
即a+b≥am2+bm，所以③正确；
∵ax12+bx1=ax22+bx2，
∴a（x1+x2）（x1－x2）+b（x1－x2）=0，
∴（x1－x2）[a（x1+x2）+b]=0，
而x1≠x2，
∴a（x1+x2）+b=0，
∴x1+x2=－=－=2，所以⑤正确．
7．B
根据已知方程得到y=－3x+6，将其代入所求的代数式后得到：xy=－3x2+6x，利用配方法求该式的最值．
解：∵3x+y=6，
∴y=－3x+6，
∴xy=－3x2+6x=－3（x－1）2+3．
∵（x－1）2≥0，
∴－3（x－1）2+3≤3，即xy的最大值为3．
8．B
抛物线与x轴的交点的横坐标，即令y=0所对应的一元二次方程的根．
∵关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0有两个相等的实数根，
∴抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点个数是1．
故选B．
考查了二次函数与一元二次方程之间的联系，即抛物线与x轴的交点的个数与一元二次方程的根的关系．
9．C
把（a，0）代入y=x2﹣x﹣1可以求得a2﹣a=1,再将其整体代入所求的代数式进行求值即可.
∵抛物线y=x2﹣x﹣1与x轴的一个交点为（a，0），
∴a2﹣a﹣1=0，
∴a2﹣a=1，
∴a2﹣a+2018=1+2018=2019.
10．B
结合函数图像，根据二次函数的性质及二次函数与一元二次方程、一元二次不等式间的关系逐一判断即可．
对称轴是y轴的右侧，
，
抛物线与y轴交于正半轴，
，
，故错误，不符合题意；
，
，，故正确，符合题意；
由图像得：时，与抛物线有两个交点，
方程有两个不相等的实数根，故正确，符合题意；
抛物线与x轴的一个交点坐标为，抛物线的对称轴是，
抛物线与x轴的另一个交点坐标为，故正确，符合题意；
抛物线的对称轴是，
有最大值是，
点在该抛物线上，
，故正确，符合题意，
本题正确的结论有：，4个，
11．C
由抛物线与对称轴的交点对①进行判断；由抛物线经过点（-1，0），代入解析式即可对②进行判断；利用抛物线的对称轴对③进行判断；利用抛物线的对称性得到PA=PB，当B、P、C在一条直线上时，PB+PC=BC，此时PA+PC最小，则△PCA的周长最小，根据勾股定理求得AC、BC即可对④进行判断．
∵抛物线与x轴交于点A（-1，0）、B（3，0），
∴关于x的一元二次方程的两个根分别是,故①正确；
∵抛物线与x轴交于点A（-1，0），
∴，故②正确；
∵抛物线开口向下，对称轴为直线x==1，抛物线上有三个点分别为
（-2，y1）、（1，y2）、（2，y3），
∴|-2-1|＞|2-1|，
∴y1＜y3＜y2；，故③错误；
∵P为抛物线对称轴上的一个动点，
∴点A与点B为抛物线的对称点，
∴PA=PB，
∴PA+PC=PB+PC，
当B、P、C在一条直线上时，PB+PC=BC，
此时PA+PC最小，则△PCA的周长最小，
∵OA=1，OC=3，OB=3，
∴AC=，BC=，
∴△PCA的周长最小值为+．故④正确．
12．B
因为抛物线与x轴的一个交点为（ 2，0），对称轴为直线x=1，
所以抛物线另一个与x轴的交点为（4，0），
∴y＜0时， 2＜x＜4．
故选B．
13．B
由抛物线的开口方向判断的符号，由抛物线与轴的交点判断的符号，然后根据对称轴及抛物线与轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
解：由对称知，当时，函数值大于0，即，故③正确；
由图象可知：图象开口向下，对称轴在y轴左侧，与y轴交于正半轴，
则，，，故，故①错误；
当时，，即，当时，，即，故②错误；
当时函数值小于0，，且，
即，代入得，得，故④正确；
当时，的值最大．此时，，
而当时，，
所以，
故，即，故⑤正确．
综上所述，③④⑤正确．
故选：B．
本题考查二次函数系数符号，熟知系数符号由抛物线开口方向、对称轴和抛物线与轴的交点、抛物线与轴交点的个数确定是解题的关键．
14．B
由解析式可知该函数在时取得最小值1、时，随的增大而增大、当时，随的增大而减小，根据时，函数的最小值为5可分如下两种情况：①若，时，取得最小值5；②若，当时，取得最小值5，分别列出关于的方程求解即可．
解：∵当x＞h时，y随x的增大而增大，当x＜h时，y随x的增大而减小，
∴①若h＜1≤x≤3，x=1时，y取得最小值5，
可得：（1－h）2+1=5，
解得：h=－1或h=3（舍）；
②若1≤x≤3＜h，当x=3时，y取得最小值5，
可得：（3－h）2+1=5，
解得：h=5或h=1（舍）．
综上，h的值为－1或5，
故选B．
本题主要考查二次函数的性质和最值，根据二次函数的性质和最值分类讨论是解题的关键．
15．C
根据B点的坐标与二次函数的对称轴即可求出A点坐标，即能求出AB的值，可判断①；由二次函数的图象与x轴有两个交点，即可确定，可判断②；由图象开口向上，可确定．由二次函数对称轴为，即可知，从而得到b的符号，即求出的符号，可判断③；根据图象可知，再由，即可判断出的符号．可判断④；
∵A、B两点是二次函数与x轴的交点，且二次函数对称轴为
∴A、B两点关于直线对称．
∵B(1，0)，
∴A(-3，0)，
∴．
故①正确；
∵二次函数的图象与x轴有两个交点A点和B点，
∴一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴，即．
故②正确；
根据图象开口向上可知，
∵二次函数对称轴为，即，
∴．
∴．
故③错误；
根据图象可知对于该二次函数，当时有最小值，且最小值小于0，
即，
∵，且，
∴，即．
故④正确；
综上，正确的结论有①②④，共3个．
故选：C
本题考查二次函数的图象和性质，二次函数与一元二次方程的关系．熟练掌握二次函数的性质是解答本题的关键．
16．B
把点A、B、C代入抛物线解析式y=ax2+bx+c利用待定系数法求解即可；把抛物线解析式整理成顶点式形式，然后写出顶点坐标；根据顶点坐标求出向上平移的距离，再根据阴影部分的面积等于平行四边形的面积，列式进行计算即可得解．
解：∵抛物线y=ax2+bx+c经过点A（0，3），B（3，0），C（4，3），把点A、B、C代入抛物线解析式y=ax2+bx+c
得，
解得；
∴抛物线的函数表达式为y=x2﹣4x+3=（x﹣2）2﹣1，
∴抛物线的顶点坐标为（2，-1），
∴PP′=1，
阴影部分的面积等于平行四边形A′APP′的面积，
平行四边形A′APP′的面积=1×2=2，
∴阴影部分的面积=2．故选B．
本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，二次函数图象与几何变换，根据平移的性质，把阴影部分的面积转化为平行四边形的面积是解题的关键．
17．A
试题分析：∵抛物线y=﹣x2﹣3x+2的对称轴x=﹣=﹣，a=﹣1＜0，
∴当x＞﹣时，y随x增大而减小，∴0＜x1＜x2＜x3时，∴y1＞y2＞y3，
18．C
逐一分析四个选项，根据二次函数图象的开口方向以及对称轴与y轴的位置关系，即可得出a、b的正负性，由此即可得出一次函数图象经过的象限，即可得出结论．
A. ∵二次函数图象开口向下，对称轴在y轴左侧，
∴a<0，b<0，
∴一次函数图象应该过第二、三、四象限，故本选项错误；
B. ∵二次函数图象开口向上，对称轴在y轴右侧，
∴a>0，b<0，
∴一次函数图象应该过第一、三、四象限，故本选项错误；
C. ∵二次函数图象开口向下，对称轴在y轴左侧，
∴a<0，b<0，
∴一次函数图象应该过第二、三、四象限，故本选项正确；
D. ∵二次函数图象开口向下，对称轴在y轴左侧，
∴a<0，b<0，
∴一次函数图象应该过第二、三、四象限，故本选项错误．
故选C．
本题主要考查二次函数图象与一次函数图象的综合，掌握二次函数与一次函数系数与图象的关系，是解题的关键．
19．B
先求出A的坐标，设P关于x=1的对称点为Q，且设P的横坐标为x1，Q的横坐标为x2，根据题意可知x1+x2=2，x1﹣x2=m，从而求出x1与x2的表达式．
∵y=﹣2x2+4x=y=﹣2（x－1）2+2，
∴抛物线的对称轴为：x=1，令y=0代入y=﹣2x2+4x，
∴0=﹣2x2+4x，
∴x=0或x=2，
∴A（2，0），
∴OA=2，设P关于x=1的对称点为Q，且设P的横坐标为x1，Q的横坐标为x2，
∴．
∵抛物线向右平移m（m＞2）个单位长度，
∴PQ=m，
∴x1﹣x2=m，
∴，解得：x1=，x2=．
把x1=代入y=﹣2x2+4x，
∴y=2﹣＜0，
∴在△PCD中，CD边上的高为：﹣2．
∵OA=CD=2，
∴S△PCD=×2×（）=﹣2．
故选B．

20．C
观察图象判断出a、b、c的符号,即可得出结论①正确,利用对称轴公式x<-1,可得结论②正确;判断出x=-1时纵坐标为负,可得结论③错误,利用图象法可以判断出④错误;
解:∵抛物线开口向上,
∴a>0，
∵-
∴b>0
∵拋物线交y轴于负半轴,
∴c<0,
∴abc<0,故①正确,
∵-，a>0,
∴b>2a,
∴2a-b<0,故②正确,
∵x=-1时,y<0
∴a-b+c<0，故③错误,
点(-3,y1),(1,y2)都在抛物线上,
观察图象可知y121世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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