第二十二章 二次函数 章末综合闯关试题 2025-2026学年上学期初中数学人教版九年级上册

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第二十二章 二次函数 章末综合闯关试题
2025-2026学年上学期初中数学人教版九年级上册
一、单选题
1．下列函数中，y总随x的增大而减小的是（　　）
A．y＝﹣4x B．y＝x﹣4 C．y＝ D．y＝x2
2．对于二次函数 ，下列说法错误的是（　　）．
A．该二次函数图象的对称轴可以是 轴
B．该二次函数图象的对称轴不可能是
C．当 时， 的值随 的值增大而增大
D．该二次函数图象的对称轴只能在 轴的右侧
3．将抛物线 向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到抛物线的解析式是（　　）
A． B．
C． D．
4．已知二次函数y＝﹣（x﹣3）2，那么这个二次函数的图象有（　　）．
A．最高点（3，0） B．最高点（﹣3，0）
C．最低点（3，0） D．最低点（﹣3，0）
5．若点 在抛物线 上，则下列结论正确的是（　　）
A． B． C． D．
6．如图，直线 与抛物线 交于A、B两点，则 的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
7．二次函数 的部分对应值如下表：
x -2 -1 0 1 2 4
y 5 0 -3 -4 -3 5
则关于x的一元二次方程 的解为（　　）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
8．若二次函数 的最小值为-2，则方程 的不相同实数根的个数是（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
9．竖直向上的小球离地面的高度h（米）与时间t（秒）的关系函数关系式为h=-2t2+mt+ ，若小球经过 秒落地，则小球在上抛过程中，第（　　）秒离地面最高.
A． B． C． D．
10．已知二次函数 图象的对称轴为 ，其图象如图所示，现有下列结论：① ；② ；③ ；④ ；⑤ ．正确的是（　　）
A．①③ B．②⑤ C．③④ D．④⑤
二、填空题
11．二次函数y＝﹣（x﹣3）2+6的最大值是　 　．
12．若二次函数 的图象开口向下，则 　 　0（填“＝”或“>”或“<”）．
13．已知二次函数的图象经过点 ，顶点为 将该图象向右平移，当它再次经过点 时，所得抛物线的函数表达式为　 　.
14．抛物线 与x轴有交点，则k的取值范围是　 　.
15．将抛物线y＝ (x－1)2 +3向左平移1个单位，再向下平移3个单位后所得抛物线的解析式为　 　
16．抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点A(－3，0)、B(4，0)两点，则关于x的一元二次方程a(x－1)2＋c＝b－bx的解是　 　
17．一个小球从水平面开始竖直向上发射，小球的高度h(m)关于运动时间t(s)的函数表达式为h=at2+bt，其图象如图所示．若小球在发射后第2s与第6s时的高度相等，则小球从发射到回到水平面共需时间　 　(s)。
18．如图，抛物线 过点 ， ，且顶点在第一象限，设 ，则M的取值范围是　 　．
三、解答题
19．已知y=（m﹣1）x 是关于x的二次函数，求m的值．
20．在画二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象时，甲写错了一次项的系数，列表如下
x …… ﹣1 0 1 2 3 ……
y甲 …… 6 3 2 3 6 ……
乙写错了常数项，列表如下：
x …… ﹣1 0 1 2 3 ……
y乙 …… ﹣2 ﹣1 2 7 14 ……
通过上述信息，解决以下问题：
（1）求原二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的表达式；
（2）对于二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0），当x　 　时，y的值随x的值增大而增大；
21．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝x2﹣mx+n.
（1）当m＝2时，
①求抛物线的对称轴，并用含n的式子表示顶点的纵坐标；
②若点A（﹣2，y1），B（x2，y2）都在抛物线上，且y2＞y1，求x2的取值范围；
（2）已知点P（﹣1，2），将点P向右平移4个单位长度，得到点Q.当n＝3时，若抛物线与线段PQ恰有一个公共点，结合函数图象，求m的取值范围.
22．已知：二次函数 (a为常数).
（1）请写出该二次函数图象的三条性质；
（2）在同一直角坐标系中，若该二次函数的图象在 的部分与一次函数 的图象有两个交点，求 的取值范围.
23．某网点销售一种儿童玩具，每件进价30元，规定单件销售利润不低于10元，且不高于31元，试销售期间发现，当销售单价定为40元时，每天可售出500件，销售单价每上涨1元，每天销售量减少10件，该网点决定提价销售，设销售单价为x元，每天销售利润为y元.
（1）求y与x之间的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围；
（2）销售单价是多少元时，网店每天可获得最大利润？最大利润是多少？
（3）销售单价是多少元时，网店每天的利润是8000元？根据以上结论，请直接写出销售单价在什么范围时，网店每天的利润不低于8000元.
24．随着新农村的建设和旧城的改造，我们的家园越来越美丽，小明家附近广场中央新修了个圆形喷水池，在水池中心竖直安装了一根高为2米的喷水管，它喷出的抛物线形水柱在与水池中心的水平距离为1米处达到最高，水柱落地处离池中心3米．
（1）请你建立适当的平面直角坐标系，并求出水柱抛物线的函数解析式；
（2）求出水柱的最大高度的多少？
25．如图，已知抛物线经过两点A（﹣3，0），B（0，3），且其对称轴为直线x＝﹣1．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）若点P是抛物线上点A与点B之间的动点（不包括点A，点B），求△PAB的面积的最大值，并求出此时点P的坐标．
26．已知二次函数y＝﹣x2+（m﹣2）x+3（m+1）与x轴交于AB两点（A在B左侧），与y轴正半轴交于点C．
（1）当m≠﹣4时，说明这个二次函数的图象与x轴必有两个交点；
（2）若OA OB＝6，求点C的坐标；
（3）在（2）的条件下，在x轴下方的抛物线上找一点P，使S△PAC的面积为15，求P点的坐标．
答案解析部分
1．A
2．D
3．C
4．A
5．A
6．B
7．C
8．B
9．A
10．D
11．6
12．<
13．
14． 且k≠1
15．y＝x2
16． 或5
17．8
18．
19．解：∵y=（m﹣1）x 是关于x的二次函数，
∴m2+2m﹣1=2，
解得m=1或﹣3，
∵m﹣1≠0，
∴m≠1，
∴m=﹣3
20．（1）解：由甲同学的错误可知c＝3，
由乙同学提供的数据选x＝﹣1，y＝﹣2；x＝1，y＝2，
有 ，
∴ ，
∴y＝﹣3x2+2x+3
（2）≤
21．（1）解：①∵m＝2，
∴抛物线为y＝x2﹣2x+n.
∵x 1，
∴抛物线的对称轴为直线x＝1.
∵当线x＝1时，y＝1﹣2+n＝n﹣1，
∴顶点的纵坐标为：n﹣1.
②∵抛物线的对称轴为直线x＝1，开口向上，
x＝﹣2到x＝1的距离为3，
∴点A（﹣2，y1），B（x2，y2）都在抛物线上，且y2＞y1，则x2的取值范围是x2＜﹣2或x2＞4，
（2）解：∵点P（﹣1，2），向右平移4个单位长度，得到点Q.
∴点Q的坐标为（3，2），
∵n＝3，
抛物线为y＝x2﹣mx+3.
当抛物线经过点Q（3，2）时，2＝32﹣3m+3，解得 ；
当抛物线经过点P（﹣1，2）时，2＝（﹣1）2+m+3，解得m＝﹣2；
当抛物线的顶点在线段PQ上时， 2，解得m＝±2.
结合图象可知，m的取值范围是m≤﹣2或m＝2或 .
故答案为：m≤﹣2或m＝2或 .
22．（1）解：①图象开口向上；②图象的对称轴为直线 ；③当 时， 随 的增大而增大；④当 时， 随 的增大而减小；⑤当 时，函数有最小值
（2）解：∵二次函数的图象与一次函数 的图象有两个交点，
∴ ，即 ，
，解得 ，
∵二次函数的图象在 的部分与一次函数 的图象有两个交点，
∴二次函数 的图象与 轴 的部分有两个交点，
画出二次函数 的图象，结合图象，
可知当 时， ，
∴当 时， ，得 ，
∴当二次函数的图象在 的部分与一次函数 的图象有两个交点时，
的取值范围为
23．（1）解： ；
（2）解：∵
∴当 时， 有最大值9000
即销售单价是60元时，网店每天可获得最大利润9000元
（3）解：根据题意得， ，
解得： ， ，
∵ ，∴ ，
答：当销售单价是50元时，网店每天获利8000元；销售单价范围在50-61元时，网店每天的利润不低于8000元.
24．（1）解：如图，以水管与地面交点为原点，原点与水柱落地点所在直线为x轴，水管所在直线为y轴，建立平面直角坐标系.由题意可设抛物线的函数解析式为y=a(x-1)2+h(0≤x≤3)抛物线过点（0，2）和（3，0），代入抛物线解析式得：解得： 所以，抛物线的解析式为：y=- (x-1)2+ (0≤x≤3)，
化为一般形式为：y=-﹣ x2+ x+2（0≤x≤3）
（2）解：由（1）知抛物线的解析式为y=- (x-1)2+ (0≤x≤3)，
当x=1时，y= ，
所以，抛物线水柱的最大高度为 m.
25．（1）解：∵抛物线对称轴是直线x＝﹣1且经过点A（﹣3，0） 由抛物线的对称性可知：抛物线还经过点（1，0）
设抛物线的解析式为y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a≠0）
即：y＝a（x﹣1）（x+3）
把B（0，3）代入得：3＝﹣3a
∴a＝﹣1
∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2﹣2x+3
（2）解：设直线AB的解析式为y＝kx+b， ∵A（﹣3，0），B（0，3）， ∴ ，
∴直线AB为y＝x+3，
作PQ⊥x轴于Q，交直线AB于M，
设P（x，﹣x2﹣2x+3），则M（x，x+3），
∴PM＝﹣x2﹣2x+3﹣（x+3）＝﹣x2﹣3x，
∴ ， 当 时， ， ， ∴△PAB的面积的最大值为 ，此时点P的坐标为（ ， ）.
26．（1）解：∵m≠﹣4，
∴△＝（m﹣2）2﹣4×（﹣1）×3（m+1）＝（m+4）2＞0，
∴当m≠﹣4时，二次函数y＝﹣x2+（m﹣2）x+3（m+1）的图象与x轴必有两个交点；
（2）解：令y＝﹣x2+（m﹣2）x+3（m+1）＝0，
解得x1＝m+1，x2＝﹣3，
∵二次函数y＝﹣x2+（m﹣2）x+3（m+1）与x轴交于AB两点（A在B左侧），与y轴正半轴交于点C，
∴A（﹣3，0），B（m+1，0），m+1＞0，
∵OA OB＝6，
∴3（m+1）＝6，
解得m＝1，
∴二次函数y＝﹣x2﹣x+6，
当x＝0时，y＝6，
∴点C的坐标为（0，6）；
（3）解：设P点的坐标为（a，﹣a2﹣a+6），
如图一所示，
当P在y轴左边时， ，并且有：
则有：
即： ，
解得a＝﹣5，a＝2（不合题意，舍去），
∴P点的坐标为（﹣5，﹣14）；
如图二所示，
当P在y轴右边， ，并且有：
则有：
即： ，
解得a＝﹣5（不合题意，舍去），a＝2，
∴P点的坐标为（2，0）；
故P点的坐标为（﹣5，﹣14）或（2，0）．
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