学习目标 1.通过圆锥曲线方程的学习，进一步体会数形结合思想在最值(范围)问题中的应用. 2.能根据圆锥曲线的有关性质解决有关最值(范围)的综合问题. 3.借助于圆锥曲线的最值(范围)问题，进一步提升直观想象、逻辑推理、数学运算的核心素养.
题型一 范围问题
如图，以原点O为圆心，分别以2和1为半径作两个同心圆，设A为大圆上任意一点，连接OA交小圆于点B，设∠AOx＝θ，过点A，B分别作x轴，y轴的垂线，两垂线交于点M.
(1)求动点M的轨迹C的方程；
(2)点E，F分别是轨迹C上两点，且·＝0，求△EOF面积的取值范围.
解：(1)因为∠AOx＝θ(0≤θ＜2π)，所以A(2cos θ，2sin θ)，B(cos θ，sin θ).
设M(x，y)，则(θ是参数)，
消去θ得＋y2＝1，
即动点M的轨迹C的方程为＋y2＝1.
(2)如图所示，因为·＝0，
所以OE⊥OF，
当直线OE或OF的斜率不存在时，易得＝×2×1＝1；
当直线OE和OF的斜率都存在时，设lOE：y＝kx(k≠0)，E(x1，y1)，
则lOF：y＝－，
由
所以｜OE｜＝＝，
同理可得｜OF｜＝＝，
所以＝｜OE｜·｜OF｜＝2.
令t＝k2＋1＞1，
则S△EOF＝2＝2
＝2∈.
综上，△EOF面积的取值范围为.
圆锥曲线中求取值范围问题的五种常用方法
1.利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围.
2.利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系.
3.利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围.
4.利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围.
5.利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围.
对点练1.已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的右焦点坐标为(，0)，且点(0，－1)在C上.
(1)求椭圆的方程；
(2)过点(1，0)的直线l与椭圆C交于M，N两点，P为线段MN的中点，A为C的左顶点，求直线PA的斜率k的取值范围.
解：(1)由题意，得
所以椭圆C的方程为＋y2＝1.
(2)当直线l的斜率为0时，AP的斜率k＝0.
当直线l的斜率不为0时，设直线l的方程为x＝my＋1，
联立方程组得(m2＋4)y2＋2my－3＝0.
Δ＞0显然成立.
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，P(x0，y0)，
则y1＋y2＝－，
所以y0＝－，
则x0＝my0＋1＝－＋1＝，
而点A的坐标为(－2，0)，
所以直线AP的斜率k＝＝.
①当m＝0时，k＝0.
②当m≠0时，｜k｜＝＝.
因为＝｜2m｜＋≥4，当且仅当｜2m｜
＝时，等号成立.
所以0＜≤，从而－≤k≤且k≠0.
综上所述，斜率k的取值范围为.
题型二 最值问题
已知O为坐标原点，椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，e＝，椭圆C上的点到焦点F2的最短距离为－2.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)设T为直线x＝－3上任意一点，过F1的直线交椭圆C于点P，Q，且·＝0，求的最小值.
解：(1)由题意知，＝，
而a－c＝－2，
又a2＝b2＋c2，得a＝，b＝，
故椭圆C的标准方程为＋＝1.
(2)由(1)知F1(－2，0)，因为·＝0，
故⊥，设T(－3，m)，
所以｜TF1｜＝，直线TF1的斜率为－m，
当m≠0时，直线PQ的斜率为，
直线PQ的方程为x＝my－2.
当m＝0时，直线PQ的方程为x＝－2，
也符合方程x＝my－2.
设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
将直线PQ的方程与椭圆C的方程联立，
得消去x，得(m2＋3)y2－4my－2＝0，
Δ＞0，y1＋y2＝，y1y2＝，
｜PQ｜＝＝＝，
＝＝
＝≥＝，
当且仅当＝，
即m＝±1时，等号成立.
所以.
圆锥曲线最值问题的求解方法
圆锥曲线中的最值问题类型较多，解法灵活多变，但总体上主要有两种方法：一是利用几何法，即通过利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解；二是利用代数法，即把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个(些)参数的函数(解析式)，然后利用函数方法、不等式方法等进行求解.
对点练2.已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的右焦点为F(2，0)，离心率为，O为坐标原点.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)设点P(3，m)(m＞0)，过F作PF的垂线交椭圆于A，B两点.求△OAB面积的最大值.
解：(1)由椭圆C的右焦点为F(2，0)，
可得c＝2，又离心率为，
所以a＝，b2＝a2－c2＝6－4＝2，
所以椭圆C的标准方程为＋＝1.
(2)由题意知，kPF＝＝m，
所以kAB＝－，
故直线AB的方程为y＝－(x－2)，即x＝－my＋2，
由可得(3＋m2)y2－4my－2＝0，
Δ＞0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则y1＋y2＝，y1y2＝，
所以｜y1－y2｜＝＝＝，
所以△OAB的面积S＝×｜OF｜×｜y1－y2｜＝，
令t＝＞1，
所以S＝＝≤＝，
当且仅当＝t，即t＝，m＝1时取等号，
所以△OAB面积的最大值为.
21世纪教育网(www.21cnjy.com)(共21张PPT)
重点突破(四) 圆锥曲线中的最值(范围)问题
第二章 §4 直线与圆锥曲线的位置关系
学习目标
1.通过圆锥曲线方程的学习，进一步体会数形结合思想在最 值(范围)问题中的应用.
2.能根据圆锥曲线的有关性质解决有关最值(范围)的综合
问题.
3.借助于圆锥曲线的最值(范围)问题，进一步提升直观想象、 逻辑推理、数学运算的核心素养.
题型一 范围问题
典例
1
规律方法
圆锥曲线中求取值范围问题的五种常用方法
1.利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围.
2.利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系.
3.利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围.
4.利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围.
5.利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围.
返回
题型二 最值问题
典例
2
规律方法
圆锥曲线最值问题的求解方法
圆锥曲线中的最值问题类型较多，解法灵活多变，但总体上主要有两种方法：一是利用几何法，即通过利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解；二是利用代数法，即把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个(些)参数的函数(解析式)，然后利用函数方法、不等式方法等进行求解.
返回
