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重点突破(三) 离心率的计算
第六章 §2 双曲线
学习目标
1.掌握圆锥曲线的离心率求法.
2.会求圆锥曲线的离心率的最值及范围问题.
3.借助于圆锥曲线的离心率，进一步提升直观想象、逻辑推 理、数学运算的核心素养.
题型一 直接法求离心率
典例
1
√
规律方法
√
返回
题型二 定义法求离心率
典例
2
规律方法
根据椭圆或双曲线的定义，求出a，c或列出关于a，c的等式，得到关于e的方程，进而求出e.
返回
题型三 几何法求离心率
典例
3
√
规律方法
返回
题型四 齐次式法求离心率
典例
4
规律方法
根据条件及几何图形建立a，b，c满足的关系式，化为a，c的齐次方程，然后将等式两边同时除以a的n次方(一般除以a或a2)，从而转化为关于e的方程，解方程即可.此时要注意椭圆的离心率e满足0＜e＜1，双曲线的离心率e满足e＞1.
√
返回
题型五 代数法、几何法求离心率的最值(取值范围)
典例
5
√
√
规律方法
求离心率范围的常用思路
1.通过几何方法如圆锥曲线上点的坐标的范围、三角形中的不等关系等转化为求离心率的取值范围.
2.通过代数方法如基本不等式、函数最值求得离心率的取值
范围.
√
返回学习目标 1.掌握圆锥曲线的离心率求法. 2.会求圆锥曲线的离心率的最值及范围问题. 3.借助于圆锥曲线的离心率，进一步提升直观想象、逻辑推理、数学运算的核心素养.
题型一 直接法求离心率
已知椭圆C：＋＝1(a＞)的左、右焦点分别为F1，F2，经过点F1的直线与椭圆C相交于A，B两点，若△ABF2的周长为16，则椭圆C的离心率为( )
A. B.
C. D.
答案：D
解析：由题意知，4a＝16，即a＝4，c＝＝，所以椭圆C的离心率e＝＝.故选D.
根据已知条件求出a和c的值，代入e＝，即可求出离心率.
对点练1.已知F为双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的右焦点，l为双曲线的一条渐近线，F到直线l的距离为，过F且垂直于x轴的直线交双曲线C于A，B两点，若｜AB｜＝10，则C的离心率为( )
A.2 B.
C.4 D.6
答案：B
解析：双曲线的一条渐近线方程为bx－ay＝0，所以焦点F(c，0)到渐近线bx－ay＝0的距离为＝＝b＝.由－＝1，令x＝c，得－＝1，则y2＝5＝5×＝＝，所以y＝±，所以｜AB｜＝＝10，a＝1，所以c＝＝，所以e＝＝.故选B.
题型二 定义法求离心率
已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，若过F1(－c，0)的直线与圆x2＋y2＝相切，与椭圆在第一象限交于点P，且PF2垂直于x轴，则椭圆的离心率为 .
答案：
解析：如图所示，设过F1(－c，0)的直线与圆x2＋y2＝相切于点Q，则OQ⊥PF1，由于｜OQ｜＝｜OF1｜，所以∠PF1F2＝30°，因为PF2垂直于x轴，所以tan∠PF1F2＝＝＝，所以｜PF2｜＝，则｜PF1｜＝，因为｜PF1｜＋｜PF2｜＝2a，所以＋＝2a，化简得a＝c，所以离心率e＝＝＝.
根据椭圆或双曲线的定义，求出a，c或列出关于a，c的等式，得到关于e的方程，进而求出e.
对点练2.已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别是F1，F2，M是双曲线C右支上的一点，F1M交双曲线C的左支于点N，若∶｜MN｜∶＝1∶2∶2，则C的离心率为 .
答案：
解析：如图所示：因为M是双曲线C右支上的一点，F1M交双曲线C的左支于点N，若｜NF1｜∶｜MN｜∶｜MF2｜＝1∶2∶2，由双曲线的定义，可得2a＝｜MF1｜－｜MF2｜＝｜NF1｜＋｜MN｜－｜MF2｜＝｜NF1｜，｜NF2｜－｜NF1｜＝2a，则｜NF2｜＝2a＋｜NF1｜＝4a，所以｜MN｜＝｜MF2｜＝2｜NF1｜＝4a＝｜NF2｜，故△MNF2为等边三角形，则∠F1MF2＝，在△MF1F2中，｜MF1｜＝6a，｜MF2｜＝4a，∠F1MF2＝，由余弦定理可得2c＝｜F1F2｜
＝
＝＝2a，因此双曲线C的离心率为e＝＝.
题型三 几何法求离心率
设F1，F2分别是椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，点P在椭圆C上，若线段PF1的中点在y轴上，∠PF1F2＝30°，则椭圆的离心率为( )
A. B.
C. D.
答案：D
解析：如图所示，设PF1的中点为M，连接PF2.因为O为F1F2的中点，所以OM为△PF1F2的中位线.所以OM∥PF2，所以∠PF2F1＝∠MOF1＝90°.因为∠PF1F2＝30°，所以｜PF1｜＝2｜PF2｜，｜F1F2｜＝｜PF2｜.由椭圆定义得2a＝｜PF1｜＋｜PF2｜＝3｜PF2｜，即a＝，2c＝｜F1F2｜＝｜PF2｜，即c＝，则e＝＝·＝.故选D.
涉及焦点三角形的题目往往利用圆锥曲线的定义及三角形中的正弦定理、余弦定理、三角形面积公式等来求得的值.
对点练3.设F1，F2是双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的两个焦点，P是C上一点.若｜PF1｜＋｜PF2｜＝6a，且△PF1F2的最小内角为30°，则C的离心率为 .
答案：
解析：根据双曲线的对称性，不妨设点P在第一象限，则又因为｜F1F2｜＝2c，所以｜PF2｜最小.在△PF1F2中，由余弦定理，得＝cos 30°，所以2ac＝3a2＋c2.等式两边同除以a2，得e2－2e＋3＝0，解得e＝.
题型四 齐次式法求离心率
已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的右焦点为F，过F分别作C的两条渐近线的平行线与C交于A，B两点，若｜AB｜＝2b，则C的离心率为 .
答案：＋2
解析：如图所示，设直线方程为y＝(x－c)，与双曲线方程－＝1(a＞0，b＞0)联立，解得x＝，y＝－.因为｜AB｜＝2b，所以2×＝2b，所以b2＝2ac，所以c2－2ac－a2＝0，即e2－2e－1＝0，解得e＝＋2.
根据条件及几何图形建立a，b，c满足的关系式，化为a，c的齐次方程，然后将等式两边同时除以a的n次方(一般除以a或a2)，从而转化为关于e的方程，解方程即可.此时要注意椭圆的离心率e满足0＜e＜1，双曲线的离心率e满足e＞1.
对点练4.已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的右焦点为F，以坐标原点O为圆心，线段OF为半径作圆，与C的右支的一个交点为A，若cos ∠AOF＝，则C的离心率为( )
A. B.2
C. D.
答案：D
解析：如图所示，由题意可知cos ∠AOF＝，且∠AOF为锐角，故sin ∠AOF＝＝.而｜OA｜＝｜OF｜＝c，故A.将A代入C：－＝1(a＞0，b＞0)中，得－＝1，结合b2＝c2－a2整理得13c4－98a2c2＋49a4＝0，即13e4－98e2＋49＝0，解得e2＝7或e2＝，由于双曲线离心率e＞1，故舍去e2＝，故e＝.故选D.
题型五 代数法、几何法求离心率的最值(取值范围)
(1)已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的右顶点到其渐近线的距离不大于a，则离心率e的取值范围为( )
A.[，＋∞) B.[，＋∞)
C.(1，] D.(1，]
(2)已知两定点A(－2，0)和B(2，0)，动点P(x，y)在直线l：y＝x＋3上移动，椭圆C以A，B为焦点且经过点P，则椭圆C的离心率的最大值为( )
A. B.
C. D.
答案：(1)D (2)C
解析：(1)由题意得，点(a，0)到渐近线bx＋ay＝0的距离不大于a，所以≤a，结合c2＝a2＋b2，解得e≤.又e＞1，所以1＜e≤.故选D.
(2)由题意得，2c＝｜AB｜＝4，所以c＝2，2a＝｜PA｜＋｜PB｜，当a取最小值时，椭圆C的离心率有最大值.设点A(－2，0)关于直线l：y＝x＋3的对称点为A'(x，y)，则所以A'(－3，1).则2a＝｜PA｜＋｜PB｜＝＝，如图所示.所以当a＝时，椭圆有最大离心率，此时e＝＝＝.故选C.
求离心率范围的常用思路
1.通过几何方法如圆锥曲线上点的坐标的范围、三角形中的不等关系等转化为求离心率的取值范围.
2.通过代数方法如基本不等式、函数最值求得离心率的取值范围.
对点练5.已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，若在C上存在点P(不是顶点)，使得∠PF2F1＝3∠PF1F2，则C的离心率的取值范围为( )
A.(，2) B.(，＋∞)
C.(1，] D.
答案：A
解析：设PF1与y轴交于Q点，连接QF2，则｜QF1｜＝｜QF2｜，如图所示，所以∠QF1F2＝∠QF2F1，因为∠PF2F1＝3∠PF1F2，故P点在双曲线右支上，且∠PF2Q＝∠PQF2＝2∠PF1F2，故｜PQ｜＝｜PF2｜，而｜PF1｜－｜PF2｜＝2a，故｜PF1｜－｜PF2｜＝｜PF1｜－｜PQ｜＝｜QF1｜＝2a.在Rt△QOF1中，｜QF1｜＞｜OF1｜，即2a＞c，故e＝＜2.由∠PF2F1＝3∠PF1F2，且三角形内角和为180°，故∠PF1F2＜＝45°，则cos ∠PF1F2＝＞cos 45°，即＞，即e＝＞，所以C的离心率的取值范围为(，2).故选A.
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