学习目标 1.了解空间坐标系建立的过程与必要性. 2.能建立空间直角坐标系解决空间几何问题，提升直观想象、逻辑推理、数学运算的核心素养.
题型一 利用共顶点的互相垂直的三条棱建系
如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ACB＝90°，｜AC｜＝｜BC｜＝｜CC1｜＝2.
(1)求证：AB1⊥BC1；
(2)求点B到平面AB1C1的距离.
解：(1)证明：如图所示，以点C为原点，CA，CB，CC1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系.
依题意得A(2，0，0)，B(0，2，0)，B1(0，2，2)，C1(0，0，2).所以＝(－2，2，2)，＝(0，－2，2).
因为·＝(－2，2，2)·(0，－2，2)＝0，
所以AB1⊥BC1.
(2)由(1)知＝(－2，0，2)，＝(－2，2，2).
设n1＝(x1，y1，z1)是平面AB1C1的法向量，
由
所以
令z1＝1，则n1＝(1，0，1)，因为＝(－2，2，0)，
所以点B到平面AB1C1的距离为d＝
＝＝.
1.在长方体、正方体中，一般选择共顶点的三条相互垂直的棱为坐标轴建系.
2.直棱柱的侧棱垂直于底面，如果在底面上有相互垂直的邻边，也可构造此类建系模型.
对点练1.如图，已知四边形ABCD是直角梯形，AD∥BC，∠ABC＝90°，SA⊥平面ABCD，SA＝AB＝BC＝1，AD＝，试建立适当的坐标系，求：
(1)平面ABCD的一个法向量；
(2)平面SAB的一个法向量；
(3)平面SCD的一个法向量.
解：以点A为原点，AD，AB，AS所在的直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系.
则A(0，0，0)，B(0，1，0)，C(1，1，0)，D，S(0，0，1).
(1)因为SA⊥平面ABCD，
所以＝(0，0，1)是平面ABCD的一个法向量.
(2)因为AD⊥AB，AD⊥SA，AB∩SA＝A，AB，SA 平面SAB，
所以AD⊥平面SAB，
所以＝是平面SAB的一个法向量.
(3)在平面SCD中，＝，＝(1，1，－1).
设平面SCD的法向量为n＝(x，y，z)，
则n⊥，n⊥，
所以
所以取y＝－1，得x＝2，z＝1，
所以n＝(2，－1，1).
所以n＝(2，－1，1)是平面SCD的一个法向量.
题型二 利用正棱锥底面中心与高所在的直线建系
如图，在正四棱锥P-ABCD中，PA＝AB＝2，点E，F分别为PB，PD的中点.若平面AEF与棱PC交于点G，求平面AEGF与平面ABCD的夹角的余弦值.
解：如图所示，连接AC，BD交于点O，连接OP，则OA，OB，OP两两互相垂直.
所以以点O为原点，OA，OB，OP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系.
因为PA＝AB＝2，由勾股定理易知OA＝OB＝OP＝＝2.
从而可得有关点的坐标分别为A(2，0，0)，B(0，2，0)，C(－2，0，0)，D(0，－2，0)，P(0，0，2)，E(0，1，1)，F(0，－1，1).
所以＝(－2，1，1)，＝(－2，－1，1).
设平面AEGF的法向量为n＝(x，y，z)，
则
可取x＝1，解得y＝0，z＝2，
从而得到平面AEGF的一个法向量为n＝(1，0，2).
平面ABCD的法向量显然可取为m＝(0，0，1)，
从而cos〈m，n〉＝＝＝.
所以平面AEGF与平面ABCD的夹角的余弦值是.
正棱锥底面中心与顶点的连线与底面垂直，建系时常作z轴.
对点练2.已知正四棱锥V-ABCD中，E为VC的中点，正四棱锥的底面边长为2a，高为h.
(1)求∠DEB的余弦值；
(2)若BE⊥VC，求∠DEB的余弦值.
解：(1)如图所示，以V在底面ABCD内的正投影O为坐标原点建立空间直角坐标系.其中Ox∥BC，Oy∥AB.由AB＝2a，OV＝h，
知B(a，a，0)，C(－a，a，0)，D(－a，－a，0)，V(0，0，h)，E.
所以＝，＝.
所以cos〈，〉＝＝，
即cos∠DEB＝.
(2)因为BE⊥VC，所以·＝0，
又＝(－a，a，－h)，
即·(－a，a，－h)＝0，
所以a2－－＝0，所以h＝a.
此时cos〈，〉＝＝
＝－＝－，
即cos∠DEB＝－.
题型三 利用线面、面面的垂直关系建系
如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD∥BC，AD＝2BC＝2AB＝4，PA＝2，且∠ABC＝60°，点E为棱PD上一点(不与P，D重合)，平面BCE交棱PA于点F.
(1)求证：BC∥EF；
(2)若E为PD中点，求平面ACE与平面PAD夹角的余弦值.
解：(1)证明：因为BC∥AD，AD 平面PAD，BC 平面PAD，
所以BC∥平面PAD.
又BC 平面BCEF，平面BCEF∩平面PAD＝EF，
所以BC∥EF.
(2)取BC的中点为M，连接AM，
因为AB＝BC，且∠ABC＝60°，
所以△ABC为等边三角形，
所以AM⊥BC，又AD∥BC，所以AM⊥AD.
所以以点A为原点，AM，AD，AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图所示.
则A(0，0，0)，C(，1，0)，E(0，2，1).
所以＝(0，2，1)，＝(，1，0).
设平面ACE的法向量为n＝(x，y，z)，
则
取x＝，则y＝－3，z＝6，得n＝(，－3，6).
因为AM⊥平面PAD，所以平面PAD的法向量为m＝(1，0，0).
设平面ACE与平面PAD的夹角为θ，
则cos θ＝＝＝＝.
所以平面ACE与平面PAD夹角的余弦值为.
1.已知条件中的线面、面面垂直关系是建系的依据.
2.如果题目中没有明显的垂直关系，可先根据已知条件，设法证明线面、面面垂直，进而为建系做准备.
对点练3.如图，直三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长都是2，D，E分别是AC，CC1的中点.
(1)求证：AE⊥平面A1BD；
(2)求直线AB与平面A1BD所成角的正弦值.
解：(1)证明：如图所示，取A1C1的中点G，连接DG，由直三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长都是2，D是AC的中点，所以BD⊥AC.
又平面ABC⊥平面ACC1A1，平面ABC∩平面ACC1A1＝AC，BD 平面ABC，
所以BD⊥平面ACC1A1.
由D，G分别为AC，A1C1的中点，可得DG⊥AC，可得DG，DA，DB两两垂直.
所以以点D为原点，DG，DA，DB所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图所示.
则D(0，0，0)，A(0，1，0)，A1(2，1，0)，E(1，－1，0)，B(0，0，)，B1(2，0，).
可得＝(1，－2，0)，＝(2，1，0)，＝(0，0，).
因为·＝0，·＝0，
所以AE⊥DA1，AE⊥DB.
又DA1∩DB＝D，DA1，DB 平面A1BD，
所以AE⊥平面A1BD.
(2)由(1)可得AE⊥平面A1BD，则n＝＝(1，－2，0)，即为平面A1BD的一个法向量.
又＝(0，－1，)，设直线AB与平面A1BD所成的角为θ，
可得sin θ＝｜cos〈，n〉｜＝＝＝，
所以直线AB与平面A1BD所成角的正弦值为.
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重点突破(六) 空间直角坐标系的构建问题
第三章 §4 向量在立体几何中的应用
学习目标
1.了解空间坐标系建立的过程与必要性.
2.能建立空间直角坐标系解决空间几何问题，提升直观想象、逻辑推 理、数学运算的核心素养.
题型一 利用共顶点的互相垂直的三条棱建系
如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ACB＝
90°，｜AC｜＝｜BC｜＝｜CC1｜＝2.
(1)求证：AB1⊥BC1；
解：证明：如图所示，以点C为原点，CA，CB，CC1
所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系.
典例
1
规律方法
1.在长方体、正方体中，一般选择共顶点的三条相互垂直的棱为坐标轴建系.
2.直棱柱的侧棱垂直于底面，如果在底面上有相互垂直的邻边，也可构造此类建系模型.
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题型二 利用正棱锥底面中心与高所在的直线建系
典例
2
规律方法
正棱锥底面中心与顶点的连线与底面垂直，建系时常作z轴.
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题型三 利用线面、面面的垂直关系建系
如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，
AD∥BC，AD＝2BC＝2AB＝4，PA＝2，且∠ABC＝60°，
点E为棱PD上一点(不与P，D重合)，平面BCE交棱PA于
点F.
(1)求证：BC∥EF；
解：证明：因为BC∥AD，AD 平面PAD，BC 平面PAD，
所以BC∥平面PAD.
又BC 平面BCEF，平面BCEF∩平面PAD＝EF，
所以BC∥EF.
典例
3
(2)若E为PD中点，求平面ACE与平面PAD夹角的余弦值.
解：取BC的中点为M，连接AM，
因为AB＝BC，且∠ABC＝60°，
所以△ABC为等边三角形，
所以AM⊥BC，又AD∥BC，所以AM⊥AD.
所以以点A为原点，AM，AD，AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图所示.
规律方法
1.已知条件中的线面、面面垂直关系是建系的依据.
2.如果题目中没有明显的垂直关系，可先根据已知条件，设法证明线面、面面垂直，进而为建系做准备.
对点练3.如图，直三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长都是
2，D，E分别是AC，CC1的中点.
(1)求证：AE⊥平面A1BD；
解：证明：如图所示，取A1C1的中点G，连接DG，
由直三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长都是2，D是AC的中点，所以BD⊥AC.
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