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重点突破(五) 圆锥曲线中的定点(线)、定值问题
第二章 §4 直线与圆锥曲线的位置关系
学习目标
1.通过圆锥曲线方程的学习，进一步体会数形结合思想在定 点(线)、定值问题中的应用.
2.能根据圆锥曲线的有关性质解决有关定点(线)、定值的综合 问题.
3.借助于圆锥曲线的定点(线)、定值问题，进一步提升直观想 象、逻辑推理、数学运算的核心素养.
题型一 直线过定点问题
典例
1
规律方法
由直线方程确定其过定点时，若得到了直线方程的点斜式y－y0＝k(x－x0)，则直线必过定点(x0，y0)；若得到了直线方程的斜截式y＝kx＋m，则直线必过定点(0，m).
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题型二 其他曲线过定点问题
典例
2
规律方法
1.求解直线或曲线过定点问题的基本思路
把直线或曲线方程中的变量x，y当作常数看待，把方程一端化为零，既然是过定点，那么这个方程就要对任意参数都成立，这时参数的系数就要全部等于零，这样就得到一个关于x，y的方程组，这个方程组的解所确定的点就是直线或曲线所过的定点.
规律方法
2.用好两个策略
(1)“先特殊后一般”策略：即从特殊情况入手，先探求定点，再证明与变量无关.
(2)“重视对称作用”策略：即用好“由题意知，定点必在x轴上，或者定点显然在y轴上”.
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题型三 定值问题
典例
3
规律方法
圆锥曲线中的定值问题的常见类型及解题策略
1.求代数式为定值：依题设条件，得出与代数式参数有关的等式，代入代数式，化简即可得出定值.
2.求点到直线的距离为定值：利用点到直线的距离公式得出距离的解析式，再利用题设条件化简、变形求得.
3.求某线段长度为定值：利用长度公式求得解析式，再依据条件对解析式进行化简、变形即可求得.
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题型四 定直线问题
典例
4
规律方法
动点在定直线上的问题解题方法
1.设点法：通过已知点轨迹，消去参数，从而得到轨迹方程.
2.待定系数法：设出含参数的直线方程，代入条件求解系数.
3.验证法：面对复杂问题时，可从特殊情况入手，先确定可能的定直线，然后再验证该直线对一般情况是否符合，属于“先猜
后证”.
注意：本题为非对称韦达定理的应用.
返回学习目标 1.通过圆锥曲线方程的学习，进一步体会数形结合思想在定点(线)、定值问题中的应用. 2.能根据圆锥曲线的有关性质解决有关定点(线)、定值的综合问题. 3.借助于圆锥曲线的定点(线)、定值问题，进一步提升直观想象、逻辑推理、数学运算的核心素养.
题型一 直线过定点问题
已知椭圆C：＋＝1的右焦点为F，A，B分别是椭圆C的左、右顶点，P为椭圆C的上顶点，△PAB的面积为.
(1)求椭圆C的方程；
(2)设直线l：y＝kx＋m与椭圆C交于不同的两点M，N，点Q，若直线MQ的斜率与直线NQ的斜率互为相反数，求证：直线l过定点.
解：(1)由题意知c＝1，A，B，P，
由△PAB的面积为，得ab＝.
又a2＝b2＋c2，代入可得a2＝2，b2＝1，
所以椭圆C的方程为＋y2＝1.
(2)证明：联立x2＋4kmx＋2m2－2＝0，
设M，N，可得x1＋x2＝，x1x2＝，
由题知kMQ＋kNQ＝0，
即＋＝＋＝＝0，
即2kx1x2＋－4m＝0，解得k＝－m，
所以直线l的方程为y＝k，
故直线l恒过定点.
由直线方程确定其过定点时，若得到了直线方程的点斜式y－y0＝k(x－x0)，则直线必过定点(x0，y0)；若得到了直线方程的斜截式y＝kx＋m，则直线必过定点(0，m).
对点练1.已知椭圆＋＝1的离心率e＝，上顶点是P，左、右焦点分别是F1，F2，若椭圆经过点.
(1)求椭圆的方程；
(2)点A和B是椭圆上的两个动点，点A，B，P不共线，直线PA和PB的斜率分别是k1和k2，若k1k2＝，求证直线AB经过定点，并求出该定点的坐标.
解：(1)因为椭圆的离心率e＝，椭圆经过点，所以又a2＝b2＋c2，
解得a2＝3，b2＝1，c2＝2.
所以椭圆的方程为＋y2＝1.
(2)证明：若直线AB的斜率不存在，设直线AB的方程为x＝m，m∈(－，).A(m，n)，B(m，－n)，＋n2＝1.
k1·k2＝·＝＝≠，显然不符合题意.
故设直线AB的方程为y＝kx＋b，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
联立得(1＋3k2)x2＋6kbx＋3b2－3＝0，
所以x1＋x2＝－，x1x2＝，
k1＝，k2＝，
所以k1·k2＝·＝
＝＝，
解得b＝－3，所以直线AB的方程为y＝kx－3.
所以直线AB过定点(0，－3).
题型二 其他曲线过定点问题
已知椭圆C：＋＝1(a＞b≥1)的离心率为，其上焦点到直线bx＋2ay－＝0的距离为.
(1)求椭圆C的方程；
(2)过点P的直线l交椭圆C于A，B两点，试探究以线段AB为直径的圆是否过定点，若过，求出定点坐标；若不过，请说明理由.
解：(1)由题意得，e＝＝，
又a2＝b2＋c2，所以a＝b，c＝b，
又＝，a＞b≥1，所以b2＝1，a2＝2，
故椭圆C的方程为＋x2＝1.
(2)当AB⊥x轴时，以线段AB为直径的圆的方程为＋y2＝.
当AB⊥y轴时，以线段AB为直径的圆的方程为x2＋y2＝1，
可得两圆交点为Q(－1，0)，
由此可知，若以线段AB为直径的圆恒过定点，则该定点为Q(－1，0).
下证Q(－1，0)符合题意.
设直线l的斜率存在，且不为0，
其方程为y＝k，代入＋x2＝1，
并整理得(k2＋2)x2－k2x＋k2－2＝0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝，x1x2＝，
所以·＝(x1＋1)(x2＋1)＋y1y2＝x1x2＋x1＋x2＋1＋k2＝(1＋k2)x1x2＋(x1＋x2)＋1＋k2＝(1＋k2)·＋·＋1＋k2＝0，故⊥，
即Q(－1，0)在以线段AB为直径的圆上.
综上，以线段AB为直径的圆恒过定点(－1，0).
1.求解直线或曲线过定点问题的基本思路
把直线或曲线方程中的变量x，y当作常数看待，把方程一端化为零，既然是过定点，那么这个方程就要对任意参数都成立，这时参数的系数就要全部等于零，这样就得到一个关于x，y的方程组，这个方程组的解所确定的点就是直线或曲线所过的定点.
2.用好两个策略
(1)“先特殊后一般”策略：即从特殊情况入手，先探求定点，再证明与变量无关.
(2)“重视对称作用”策略：即用好“由题意知，定点必在x轴上，或者定点显然在y轴上”.
对点练2.已知双曲线C：－＝1经过点(2，－3)，一条渐近线的斜率为，直线l交双曲线于A，B两点.
(1)求双曲线C的方程；
(2)若动直线l经过双曲线的右焦点F2，点M(－1，0)，求证：以AB为直径的圆经过点M.
解：(1)由题意知，
所以双曲线C的方程为x2－＝1.
(2)证明：由(1)得c＝＝2，F2(2，0)，
若直线l的斜率不存在，则其方程为x＝2，
将x＝2代入双曲线C方程，有22－＝1，解得y＝±3，
此时A(2，3)，B(2，－3)，F2是AB中点，
由于｜F2A｜＝｜F2B｜＝｜F2M｜，故以AB为直径的圆经过点M；
若直线l的斜率存在，设其方程为y＝k(x－2)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
联立得(3－k2)x2＋4k2x－(4k2＋3)＝0，
所以当k≠±时，Δ＝16k4＋4(3－k2)(4k2＋3)＝36(k2＋1)＞0，该方程有两解，
所以x1＋x2＝，x1x2＝，
所以·＝(x1＋1，y1)·(x2＋1，y2)＝(x1＋1)(x2＋1)＋y1y2＝(x1＋1)(x2＋1)＋k2(x1－2)(x2－2)＝(1＋k2)x1x2＋(1－2k2)(x1＋x2)＋1＋4k2
＝(1＋k2)·＋(1－2k2)·＋1＋4k2＝＝0，
所以⊥，即以AB为直径的圆经过点M.
综上所述，以AB为直径的圆经过点M.
题型三 定值问题
已知中心在坐标原点O，以坐标轴为对称轴的双曲线E经过点P，且其渐近线的斜率为±.
(1)求双曲线E的方程；
(2)若动直线l与E交于A，B两点，且∠AOB＝，证明：为定值.
解：(1)由题意可设双曲线E的方程为4y2－3x2＝λ.
因为E经过点P，
所以4×7－3×＝λ，解得λ＝12.
故双曲线E的方程为－＝1.
(2)证明：若直线l的斜率存在，设l：y＝kx＋m，
由消去y得x2＋8kmx＋4m2－12＝0，
则Δ＝64k2m2－4＞0，即m2＋4k2－3＞0，
设A，B，则x1＋x2＝，x1x2＝.
因为∠AOB＝，所以·＝0，即x1x2＋y1y2＝0，
所以x1x2＋＝0，
整理得12＝m2，
如图所示，
设点O到直线l的距离为d，则由等面积法得·＝·d，所以＝d，
又d＝＝＝＝2，
所以＝2.
若直线l的斜率不存在，则直线OA的斜率为±1，
不妨设直线OA的斜率为1，则x1＝y1，
将点A的坐标代入方程－＝1，得＝12，
所以＝＝2，＝4，
所以＝2.
综上，为定值2.
圆锥曲线中的定值问题的常见类型及解题策略
1.求代数式为定值：依题设条件，得出与代数式参数有关的等式，代入代数式，化简即可得出定值.
2.求点到直线的距离为定值：利用点到直线的距离公式得出距离的解析式，再利用题设条件化简、变形求得.
3.求某线段长度为定值：利用长度公式求得解析式，再依据条件对解析式进行化简、变形即可求得.
对点练3.已知椭圆C：＋＝1和抛物线E：y2＝2px.从两条曲线上各取两个点，将其坐标混合记录如下：P1，P2，P3(，－1)，P4.
(1)求椭圆C和抛物线E的方程；
(2)设m为实数，已知点T，直线x＝my＋3与抛物线E交于A，B两点.记直线TA，TB的斜率分别为k1，k2，判断＋m2是否为定值，并说明理由.
解：(1)将四个点代入抛物线方程解得p的值分别为p1＝－，p2＝，p3＝，p4＝，
注意到P2，P4对应的p一样，所以P2，P4在抛物线上，
故抛物线E的方程为y2＝x.
所以P1，P3为椭圆上的点，
则
所以椭圆C的方程为＋＝1.
(2)＋m2是定值，理由如下：
设A，B，如图所示，
联立整理得
y2－my－3＝0，
由韦达定理得
又因为x1＝my1＋3，
所以k1＝＝＝，
同理k2＝.
所以＋m2＝＋m2＝2m2＋＋＝2m2＋＋＝－12，
所以＋m2为定值－12.
题型四 定直线问题
(2023·新课标Ⅱ卷)已知双曲线C的中心为坐标原点，左焦点为(－2，0)，离心率为.
(1)求双曲线C的方程；
(2)记C的左、右顶点分别为A1，A2，过点(－4，0)的直线与C的左支交于M，N两点，M在第二象限，直线MA1与NA2交于点P，证明：点P在定直线上.
解：(1)设双曲线C的方程为－＝1(a＞0，b＞0)，由焦点坐标可知c＝2，
则由e＝＝，可得a＝2，b＝＝4，
故双曲线C的方程为－＝1.
(2)证明：由(1)可得A1(－2，0)，A2(2，0)，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，如图所示，
显然直线的斜率不为0，所以设直线MN的方程为x＝my－4，且－＜m＜，
与－＝1联立可得(4m2－1)y2－32my＋48＝0，且Δ＝64(4m2＋3)＞0，
则y1＋y2＝，y1y2＝，
直线MA1的方程为y＝(x＋2)，直线NA2的方程为y＝(x－2)，
联立直线MA1与直线NA2的方程可得
＝
＝
＝
＝＝＝－，
由＝－，可得x＝－1，即xP＝－1，
据此可得点P在定直线 x＝－1上.
动点在定直线上的问题解题方法
1.设点法：通过已知点轨迹，消去参数，从而得到轨迹方程.
2.待定系数法：设出含参数的直线方程，代入条件求解系数.
3.验证法：面对复杂问题时，可从特殊情况入手，先确定可能的定直线，然后再验证该直线对一般情况是否符合，属于“先猜后证”.
注意：本题为非对称韦达定理的应用.
对点练4.已知椭圆C：＋＝1.A1，A2分别为椭圆C的左、右顶点.直线l：x＝my＋1与椭圆C交于P，Q两点，直线A1P与A2Q交于点S.当直线l变化时，点S是否恒在一条定直线上？若是，求此定直线方程；若不是，请说明理由.
解：当l⊥x轴时，
不妨令P，Q，
又A1(－3，0)，A2(3，0)，：y＝(x＋3)，
：y＝(x－3)，联立解得S(9，4).
当l过椭圆的上顶点时，
y＝－x，P(0，)，Q，
：y＝(x＋3)，：y＝(x－3)，
联立解得S(9，4).
若定直线存在，则方程应是x＝9.
下面给予证明.
把x＝my＋1代入椭圆方程，整理得
(2m2＋3)y2＋4my－16＝0，Δ＞0成立，
记P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
则y1＋y2＝，y1y2＝.
：y＝(x＋3)，：y＝(x－3)，
联立的方程可得
＝＝
＝＝＝2，
由＝2，可得x＝9，
综上，定直线方程为x＝9.
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