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重点突破(二) 与圆有关的最值问题
第一章 §2 圆与圆的方程
学习目标
1.能用直线与圆的方程解决一些简单的最值问题.
2.初步了解代数方法处理几何问题的思想.
3.通过处理与圆有关的最值问题，进一步提升直观想象、逻 辑推理及数学运算的核心素养.
题型一 与距离有关的最值问题
(1)已知点P是圆C：x2＋y2－4x－2y＋1＝0上一点，点Q(－1，5)，则线段PQ长度的最大值为
A.3 B.5
C.7 D.9
典例
1
√
(2)过圆Q：(x－1)2＋y2＝1外一直线l：y＝x＋2上一动点P作圆Q的切线，则
切线长最小值为_____.
规律方法
与距离有关的最值问题
类型 最值 图示
圆外一点到圆上任意一点的距离 最小值＝d－r，
最大值＝d＋r
直线与圆相离，圆上任意一点到直线的距离 最小值＝d－r，
最大值＝d＋r
规律方法
类型 最值 图示
过圆内一定点的直线被圆截得的弦长
直线与圆相离，过直线上一点作圆的切线
√
对点练1.(1)点M在圆(x－5)2＋(y－3)2＝9上，则点M到直线3x＋4y－2＝0的最短距离为
A.2 B.5
C.8 D.9
(2)直线(2m＋1)x＋(3m－2)y＋1－5m＝0被圆x2＋y2＝16所截得的弦长的最小值为_______.
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题型二 与面积有关的最值问题
(1)已知点O(0，0)，A(0，2)，点M是圆(x－3)2＋(y＋1)2＝4上的动点，则△OAM面积的最小值为___.
典例
2
1
(2)已知点P(x，y)是直线kx＋y＋4＝0(k＞0)上一动点，PA，PB是圆C：x2＋y2－2y＝0的两条切线，A，B是切点，若四边形PACB的最小面积是2，则k＝___.
2
圆C：x2＋y2－2y＝0的圆心为C(0，1)，半径r＝1，由圆的性质可知，四边形PACB的面积S＝2S△PBC，如图所示.
规律方法
求与圆有关的面积的最值问题，一般转化为寻求圆的半径相关的函数关系或者几何图形的关系，借助函数求最值的方法，如配方法、基本不等式法等求解，有时可以通过转化思想，利用数形结合思想求解.
√
(2)已知直线l：x－y＝1与圆M：x2＋y2－2x＋2y－1＝0相交于A，C两点，点B，D分别在圆M上运动，且位于直线AC两侧，则四边形ABCD面积的最大值为______.
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题型三 利用代数式的几何意义求解最值
典例
3
规律方法
返回学习目标 1.能用直线与圆的方程解决一些简单的最值问题. 2.初步了解代数方法处理几何问题的思想. 3.通过处理与圆有关的最值问题，进一步提升直观想象、逻辑推理及数学运算的核心素养.
题型一 与距离有关的最值问题
(1)已知点P是圆C：x2＋y2－4x－2y＋1＝0上一点，点Q(－1，5)，则线段PQ长度的最大值为( )
A.3 B.5
C.7 D.9
(2)过圆Q：(x－1)2＋y2＝1外一直线l：y＝x＋2上一动点P作圆Q的切线，则切线长最小值为 .
答案：(1)C(2)
解析：(1)圆C：x2＋y2－4x－2y＋1＝0，即(x－2)2＋(y－1)2＝4，则圆心C(2，1)，半径r＝2.由点Q(－1，5)，则｜CQ｜＝＝5＞2，即点Q在圆外，则｜PQ｜max＝｜CQ｜＋r＝5＋2＝7.故选C.
(2)如图所示，过直线l：y＝x＋2上任意一点P作圆Q：(x－1)2＋y2＝1的切线，设切点为R.由题意圆Q：(x－1)2＋y2＝1的圆心坐标为Q(1，0)，半径为r＝1，则切线长｜PR｜＝＝＝.若要切线长｜PR｜最小，则只需｜PQ｜最小即可，而｜PQ｜的最小值即为点Q(1，0)到直线l：y＝x＋2的距离.因此｜PQ｜的最小值为d＝＝，从而切线长｜PR｜的最小值为｜PR｜min＝＝ ＝.
与距离有关的最值问题
类型 最值 图示
圆外一点到圆上任意一点的距离 最小值＝d－r， 最大值＝d＋r
直线与圆相离，圆上任意一点到直线的距离 最小值＝d－r， 最大值＝d＋r
过圆内一定点的直线被圆截得的弦长 最小值＝2， 最大值＝2r
直线与圆相离，过直线上一点作圆的切线 切线长的最小值＝
对点练1.(1)点M在圆(x－5)2＋(y－3)2＝9上，则点M到直线3x＋4y－2＝0的最短距离为( )
A.2 B.5
C.8 D.9
(2)直线(2m＋1)x＋(3m－2)y＋1－5m＝0被圆x2＋y2＝16所截得的弦长的最小值为 .
答案：(1)A(2)2
解析：(1)圆心(5，3)到直线3x＋4y－2＝0的距离为d＝＝5.又r＝3，则点M到直线的最短距离为5－3＝2.故选A.
(2)直线(2m＋1)x＋(3m－2)y＋1－5m＝0可化为x－2y＋1＋m(2x＋3y－5)＝0，
由即直线(2m＋1)x＋(3m－2)y＋1－5m＝0过定点P(1，1).而圆x2＋y2＝16的圆心为O(0，0)，半径r＝4，所以根据圆的几何性质，可知当直线(2m＋1)x＋(3m－2)y＋1－5m＝0与OP垂直时，直线被圆所截得的弦长最小，即2＝2＝2.
题型二 与面积有关的最值问题
(1)已知点O(0，0)，A(0，2)，点M是圆(x－3)2＋(y＋1)2＝4上的动点，则△OAM面积的最小值为 .
(2)已知点P(x，y)是直线kx＋y＋4＝0(k＞0)上一动点，PA，PB是圆C：x2＋y2－2y＝0的两条切线，A，B是切点，若四边形PACB的最小面积是2，则k＝ .
答案：(1)1(2)2
解析：(1)根据题意，得圆(x－3)2＋(y＋1)2＝4的圆心为(3，－1)，半径r＝2，O(0，0)，A(0，2)，OA所在的直线是y轴，如图所示.当M到直线AO的距离最小时，△OAM的面积最小，则M到直线AO的距离的最小值d＝3－2＝1，则△OAM的面积最小值S＝×｜OA｜×d＝1.
(2)圆C：x2＋y2－2y＝0的圆心为C(0，1)，半径r＝1，由圆的性质可知，四边形PACB的面积S＝2S△PBC，如图所示.
又四边形PACB的最小面积是2，则S△PBC的最小值S＝1＝r｜PB｜min＝｜PB｜min，则｜PB｜min＝2.因为｜PB｜＝＝，所以当｜PC｜取最小值时，｜PB｜最小.又点P(x，y)是直线kx＋y＋4＝0上的动点，当CP垂直于直线kx＋y＋4＝0时，｜PC｜最小，即为圆心C(0，1)到直线的距离，所以＝＝，解得k＝±2，因为k＞0，所以k＝2.
求与圆有关的面积的最值问题，一般转化为寻求圆的半径相关的函数关系或者几何图形的关系，借助函数求最值的方法，如配方法、基本不等式法等求解，有时可以通过转化思想，利用数形结合思想求解.
对点练2.(1)直线y＝kx＋3与圆O：x2＋y2＝1相交于A，B两点，则△OAB面积的最大值为( )
A.1 B.
C. D.
(2)已知直线l：x－y＝1与圆M：x2＋y2－2x＋2y－1＝0相交于A，C两点，点B，D分别在圆M上运动，且位于直线AC两侧，则四边形ABCD面积的最大值为 .
答案：(1)B(2)
解析：(1)设圆心到直线的距离为d(0＜d＜1)，则｜AB｜＝2，所以S△OAB＝·2·d＝.由基本不等式，可得S△OAB＝≤＝，当且仅当d＝时，等号成立.故选B.
(2)把圆M：x2＋y2－2x＋2y－1＝0化标准方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝3，圆心M(1，－1)，半径r＝.直线l与圆相交，由点到直线的距离公式得弦心距d＝＝，由勾股定理得半弦长＝＝，所以弦长｜AC｜＝2×＝.又B，D两点在圆上，并且位于直线l的两侧，四边形ABCD的面积可以看成是△ABC和△ACD的面积之和，当B，D为如图所示位置，即BD为弦AC的垂直平分线(即为直径)时，两三角形的面积之和最大，即四边形ABCD的面积最大，最大面积为S＝｜AC｜×｜BE｜＋｜AC｜×｜DE｜＝｜AC｜×｜BD｜＝××2＝.
题型三 利用代数式的几何意义求解最值
已知点P(x，y)在圆C：x2＋y2－6x－6y＋14＝0上.
(1)求的最大值和最小值；
(2)求x2＋y2＋2x＋3的最大值与最小值；
(3)求x＋y的最大值与最小值.
解：方程x2＋y2－6x－6y＋14＝0可化为(x－3)2＋(y－3)2＝4.
(1)表示圆上的点P与原点连线所在直线的斜率，如图①所示，显然PO(O为坐标原点)与圆相切时，斜率最大或最小.
设切线方程为y＝kx(由题意知，斜率一定存在)，即kx－y＝0，由圆心C(3，3)到切线的距离等于半径2，可得＝2，解得k＝，所以，最小值为.
(2)x2＋y2＋2x＋3＝(x＋1)2＋y2＋2，它表示圆上的点P到点E(－1，0)的距离的平方再加2，所以当点P与点E的距离最大或最小时，所求式子取得最大值或最小值，如图②所示，显然点E在圆C的外部，所以点P与点E距离的最大值｜P1E｜＝｜CE｜＋2，点P与点E距离的最小值｜P2E｜＝｜CE｜－2.又｜CE｜＝＝5，所以x2＋y2＋2x＋3的最大值为(5＋2)2＋2＝51，最小值为(5－2)2＋2＝11.
(3)设x＋y＝b，则b表示动直线y＝－x＋b在y轴上的截距，如图③所示，显然当动直线y＝－x＋b与圆(x－3)2＋(y－3)2＝4相切时，b取得最大值或最小值，此时圆心C(3，3)到切线x＋y＝b的距离等于圆的半径2，则＝2，即｜b－6｜＝2，解得b＝6±2，所以x＋y的最大值为6＋2，最小值为6－2.
1.(1)形如t＝形式的最值问题，可转化为过点(x，y)和(a，b)的动直线的斜率的最值问题；
(2)形如t＝ax＋by形式的最值问题，可转化为动直线y＝－x＋截距的最值问题；
(3)形如(x－a)2＋(y－b)2形式的最值问题，可转化为动点(x，y)到定点(a，b)的距离的平方的最值问题.
2.求解策略一般是根据所求最值的几何意义找圆心和半径，将数与形结合起来，用平面几何的性质求解.
对点练3.已知实数x，y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0，求：
(1)的最值；
(2)y－x的最值；
(3)x2＋y2的最值.
解：原方程可化为(x－2)2＋y2＝3，表示以(2，0)为圆心，为半径的圆.
(1)的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，所以设＝k，即y＝kx，
当直线y＝kx与圆相切时，如图①所示，斜率k取最大值或最小值，此时＝，解得k＝±.所以，最小值为－.
(2)y－x可看作是直线y＝x＋b在y轴上的截距.如图②所示，当直线y＝x＋b与圆相切时，纵截距b取得最大值或最小值，此时＝，解得b＝－2±，
所以y－x的最大值为－2＋，最小值为－2－.
(3)x2＋y2表示圆上的一点与原点距离的平方.由平面几何知识知，在原点和圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值.又圆心到原点的距离为2，
所以x2＋y2的最大值是(2＋)2＝7＋4，x2＋y2的最小值是(2－)2＝7－4.
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