学习目标 1.学会解决点点、点线、线线对称问题. 2.会应用对称关系解决最值问题. 3.通过点点、点线、线线对称的学习，提升直观想象、数学运算、逻辑推理的核心素养.
题型一 中心对称问题
(1)求点(3，－1)关于点(2，4)的对称点；
(2)(一题多解)求直线3x－y－4＝0关于点(2，－1)的对称直线l的方程.
解：(1)设所求点为(x0，y0)，
由中点坐标公式得
即对称点为(1，9).
(2)法一：设直线l上任意一点M的坐标为(x，y)，则此点关于点(2，－1)的对称点为M1(4－x，－2－y)，
且M1在直线3x－y－4＝0上，
所以3(4－x)－(－2－y)－4＝0，
即3x－y－10＝0.
所以所求直线l的方程为3x－y－10＝0.
法二：在直线3x－y－4＝0上取两点A(0，－4)，B(1，－1)，
则点A(0，－4)关于点(2，－1)的对称点为A1(4，2)，点B(1，－1)关于点(2，－1)的对称点为B1(3，－1).
可得直线A1B1的方程为3x－y－10＝0，
即所求直线l的方程为3x－y－10＝0.
法三：由平面几何知识易知所求直线l与直线3x－y－4＝0平行，
则可设l的方程为3x－y＋c＝0(c≠－4).
在直线3x－y－4＝0上取一点(0，－4)，
则点(0，－4)关于点(2，－1)的对称点(4，2)在直线3x－y＋c＝0上，
所以3×4－2＋c＝0，所以c＝－10.
所以所求直线l的方程为3x－y－10＝0.
中心对称的常见类型及解题策略
1.点关于点对称
点P(x0，y0)关于点A(m，n)的对称点P'(x'，y')，本质是中点问题，所以可利用中点坐标公式求得，即由
2.直线关于点对称
直线l关于点P对称的直线l'满足：(1)直线l'与直线l平行；(2)直线l上的任意一点关于点P的对称点在直线l'上.直线l关于点P(x0，y0)的对称直线l'的方程的三种求法：①设直线l'上任意一点N(x，y)，则其关于点P(x0，y0)的对称点M的坐标为(2x0－x，2y0－y)，且点M在直线l上，将点M的坐标代入直线l的方程，化简即可得直线l'的方程.②求出直线l上的两个特殊点M，N关于点P的对称点M'，N'的坐标，则直线M'N'的方程即为所求直线l'的方程.③若直线l的方程为Ax＋By＋C＝0，点P(x0，y0)，可设直线l'的方程为Ax＋By＋C'＝0(C'≠C).由点P到直线l和l'的距离相等，可列方程＝求解，进而可得直线l'的方程.
对点练1.(1)已知不同的两点P(a，－b)与Q(b＋1，a－1)关于点(3，4)对称，则ab＝( )
A.14 B.－14
C.5 D.－5
(2)与直线2x＋3y－6＝0关于点(1，－1)对称的直线方程是( )
A.3x－2y＋2＝0 B.2x＋3y＋7＝0
C.3x－2y－12＝0 D.2x＋3y＋8＝0
答案：(1)B(2)D
解析：(1)由题意知故ab＝7×(－2)＝－14.故选B.
(2)由平面几何知识易知所求直线与已知直线2x＋3y－6＝0平行，则可设所求直线方程为2x＋3y＋C＝0(C≠－6).在直线2x＋3y－6＝0上任取一点(3，0)，则点(3，0)关于点(1，－1)的对称点(－1，－2)必在所求直线上，所以2×(－1)＋3×(－2)＋C＝0，解得C＝8.所以所求直线方程是2x＋3y＋8＝0.故选D.
题型二 轴对称问题
已知直线l：y＝3x＋3，求：
(1)点P(4，5)关于l的对称点的坐标；
(2)直线y＝x－2关于l的对称直线的方程.
解：(1)设点P关于直线l的对称点为P'(x'，y')，
则线段PP'的中点在直线l上，且直线PP'垂直于直线l，
即
所以点P'的坐标为(－2，7).
(2)解方程组
则点在所求直线上.
在直线y＝x－2上任取一点M(2，0)，
设点M关于直线l的对称点为M'(x0，y0)，
则
点M'也在所求直线上，
由两点式得直线方程为＝，
化简得7x＋y＋22＝0，即为所求直线方程.
轴对称的常见类型及解题策略
1.点关于直线对称
(1)基本方法：设点P(x0，y0)关于直线Ax＋By＋C＝0的对称点为P'(x'，y')，则线段PP'的中点在已知直线上且直线PP'与已知直线垂直.即解此方程组可得x'，y'，即得点P'的坐标.
(2)常见结论：
点P(x0，y0)关于x轴的对称点为P'(x0，－y0)；
点P(x0，y0)关于y轴的对称点为P'(－x0，y0)；
点P(x0，y0)关于直线x＝a的对称点为P'(2a－x0，y0)；
点P(x0，y0)关于直线y＝b的对称点为P'(x0，2b－y0)；
点P(x0，y0)关于直线y＝x的对称点为P'(y0，x0)；
点P(x0，y0)关于直线y＝－x的对称点为P'(－y0，－x0)；
点P(x0，y0)关于直线y＝x＋b的对称点为P'(y0－b，x0＋b)；
点P(x0，y0)关于直线y＝－x＋b的对称点为P'(－y0＋b，－x0＋b).
2.直线关于直线对称
(1)基本方法：①若已知直线l1与已知对称轴相交，则交点必在与直线l1对称的直线l2上，然后求出直线l1上任意一点(除交点外)关于对称轴对称的点，由两点式写出直线l2的方程.
②若已知直线l1与已知对称轴平行，则直线l1关于对称轴对称的直线l2与直线l1平行，可以利用直线l1与对称轴间的距离等于直线l2与对称轴间的距离求解；也可以求出直线l1上任意一点关于对称轴对称的点，利用点斜式写出直线l2的方程.
(2)常见结论：
与直线Ax＋By＋C＝0关于x轴对称的直线的方程为Ax－By＋C＝0；
与直线Ax＋By＋C＝0关于y轴对称的直线的方程为－Ax＋By＋C＝0；
与直线Ax＋By＋C＝0关于直线y＝x对称的直线的方程为Ay＋Bx＋C＝0；
与直线Ax＋By＋C＝0关于直线y＝－x对称的直线的方程为－Ay－Bx＋C＝0.
对点练2.已知P(－1，2)，M(1，3)，直线l：y＝2x＋1.
(1)求点P关于直线l的对称点R的坐标；
(2)求直线PM关于直线l对称的直线方程.
解：(1)设点P关于直线l的对称点R的坐标为(x，y)，
则有
解得所以R的坐标为.
(2)因为M(1，3)的坐标满足直线l的方程，
又点P关于直线l的对称点为R，
则直线MR即为所求的直线，由两点式得所求直线方程为11x＋2y－17＝0.
题型三 与对称有关的最值(范围)问题
已知直线l：3x－y－1＝0及点A(4，1)，B(0，4)，C(2，0).
(1)试在l上求一点P，使｜AP｜＋｜CP｜最小，并求这个最小值；
(2)试在l上求一点Q，使｜｜AQ｜－｜BQ｜｜最大，并求这个最大值.
解：(1)设C关于直线l的对称点C'的坐标为(a，b)，
则
即C'(－1，1)，
则直线AC'的方程为y＝1，
联立
即交点为P，此时｜AP｜＋｜CP｜最小，最小值为｜AC'｜＝＝4＋1＝5.
(2)设B关于直线l的对称点B'的坐标为(m，n)，
则
解得得B'(3，3)，
直线AB'的方程为＝，即2x＋y－9＝0，
联立即Q(2，5)，
由对称性知，｜BQ｜＝｜B'Q｜，｜AQ｜－｜BQ｜＝｜AQ｜－｜B'Q｜≤｜AB'｜(当且仅当Q，B'，A三点共线时取“＝”)，
所以l上的点Q(2，5)，是使｜｜AQ｜－｜BQ｜｜最大的点.
此时最大值为｜AB'｜＝＝.
利用对称性求距离的最值问题
由平面几何知识(三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差的绝对值小于第三边)可知，要解决在直线l上求一点，使这点到两定点A，B的距离之差最大的问题，若这两点A，B位于直线l的同侧，则只需求出直线AB的方程，再求它与已知直线的交点，即得所求的点的坐标；若A，B两点位于直线l的异侧，则先求A，B两点中某一点，如A关于直线l的对称点A'，得直线A'B的方程，再求其与直线l的交点即可.对于在直线l上求一点P，使P到平面上两点A，B的距离之和最小的问题可用类似方法求解.
对点练3.在直线l：x－y－1＝0上求两点P，Q.使得：
(1)P到B(0，4)与A(4，1)的距离之差最大；
(2)Q到A(4，1)与C(3，0)的距离之和最小.
解：(1)如图所示，
设点B关于l的对称点B'的坐标为(a，b)，连接BB'，则·kl＝－1，即×1＝－1，
所以a＋b－4＝0.①
因为BB'的中点在直线l上，
所以－－1＝0，即a－b－6＝0.②
由①②得
所以点B'的坐标为(5，－1).
于是AB'所在直线的方程为＝，即2x＋y－9＝0.
易知｜PB｜－｜PA｜＝｜PB'｜－｜PA｜，当且仅当P，B'，A三点共线时，｜PB'｜－｜PA｜最大.
所以联立直线l与AB'的方程，解得x＝，y＝，
即直线l与AB'的交点坐标为.
故点P的坐标为.
(2)如图所示，
设点C关于l的对称点为C'，可求得C'的坐标为(1，2)，
所以AC'所在直线的方程为x＋3y－7＝0.
易知｜QA｜＋｜QC｜＝｜QA｜＋｜QC'｜，当且仅当Q，A，C'三点共线时，｜QA｜＋｜QC'｜最小.
所以联立直线AC'与l的方程，解得x＝，y＝，
即直线AC'与l的交点坐标为.
故点Q的坐标为.
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重点突破(一) 对称与最值问题
第一章 §1 直线与直线的方程
学习目标
1.学会解决点点、点线、线线对称问题.
2.会应用对称关系解决最值问题.
3.通过点点、点线、线线对称的学习，提升直观想象、数学 运算、逻辑推理的核心素养.
题型一 中心对称问题
典例
1
(2)(一题多解)求直线 3x－y－4＝0关于点(2，－1)的对称直线l的方程.
解：法一：设直线l上任意一点M的坐标为(x，y)，则此点关于点(2，－1)的对称点为M1(4－x，－2－y)，
且M1在直线3x－y－4＝0上，
所以3(4－x)－(－2－y)－4＝0，
即3x－y－10＝0.
所以所求直线l的方程为3x－y－10＝0.
法二：在直线3x－y－4＝0上取两点A(0，－4)，B(1，－1)，
则点A(0，－4)关于点(2，－1)的对称点为A1(4，2)，点B(1，－1)关于点(2，－1)的对称点为B1(3，－1).
可得直线A1B1的方程为3x－y－10＝0，
即所求直线l的方程为3x－y－10＝0.
法三：由平面几何知识易知所求直线l与直线3x－y－4＝0平行，
则可设l的方程为3x－y＋c＝0(c≠－4).
在直线3x－y－4＝0上取一点(0，－4)，
则点(0，－4)关于点(2，－1)的对称点(4，2)在直线3x－y＋c＝0上，
所以3×4－2＋c＝0，所以c＝－10.
所以所求直线l的方程为3x－y－10＝0.
规律方法
规律方法
√
对点练1.(1)已知不同的两点P(a，－b)与Q(b＋1，a－1)关于点(3，4)对称，则ab＝
A.14 B.－14
C.5 D.－5
√
(2)与直线2x＋3y－6＝0关于点(1，－1)对称的直线方程是
A.3x－2y＋2＝0 B.2x＋3y＋7＝0
C.3x－2y－12＝0 D.2x＋3y＋8＝0
由平面几何知识易知所求直线与已知直线2x＋3y－6＝0平行，则可设所求直线方程为2x＋3y＋C＝0(C≠－6).在直线2x＋3y－6＝0上任取一点(3，0)，则点(3，0)关于点(1，－1)的对称点(－1，－2)必在所求直线上，所以2×(－1)＋3×(－2)＋C＝0，解得C＝8.所以所求直线方程是2x＋3y＋8＝0.故选D.
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题型二 轴对称问题
典例
2
规律方法
规律方法
(2)常见结论：
点P(x0，y0)关于x轴的对称点为P'(x0，－y0)；
点P(x0，y0)关于y轴的对称点为P'(－x0，y0)；
点P(x0，y0)关于直线x＝a的对称点为P'(2a－x0，y0)；
点P(x0，y0)关于直线y＝b的对称点为P'(x0，2b－y0)；
点P(x0，y0)关于直线y＝x的对称点为P'(y0，x0)；
点P(x0，y0)关于直线y＝－x的对称点为P'(－y0，－x0)；
点P(x0，y0)关于直线y＝x＋b的对称点为P'(y0－b，x0＋b)；
点P(x0，y0)关于直线y＝－x＋b的对称点为P'(－y0＋b，－x0＋b).
规律方法
2.直线关于直线对称
(1)基本方法：①若已知直线l1与已知对称轴相交，则交点必在与直线l1对称的直线l2上，然后求出直线l1上任意一点(除交点外)关于对称轴对称的点，由两点式写出直线l2的方程.
②若已知直线l1与已知对称轴平行，则直线l1关于对称轴对称的直线l2与直线l1平行，可以利用直线l1与对称轴间的距离等于直线l2与对称轴间的距离求解；也可以求出直线l1上任意一点关于对称轴对称的点，利用点斜式写出直线l2的方程.
规律方法
(2)常见结论：
与直线Ax＋By＋C＝0关于x轴对称的直线的方程为Ax－By＋C＝0；
与直线Ax＋By＋C＝0关于y轴对称的直线的方程为－Ax＋By＋C＝0；
与直线Ax＋By＋C＝0关于直线y＝x对称的直线的方程为Ay＋Bx＋C＝0；
与直线Ax＋By＋C＝0关于直线y＝－x对称的直线的方程为－Ay－Bx＋C＝0.
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题型三 与对称有关的最值(范围)问题
典例
3
规律方法
利用对称性求距离的最值问题
由平面几何知识(三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差的绝对值小于第三边)可知，要解决在直线l上求一点，使这点到两定点A，B的距离之差最大的问题，若这两点A，B位于直线l的同侧，则只需求出直线AB的方程，再求它与已知直线的交点，即得所求的点的坐标；若A，B两点位于直线l的异侧，则先求A，B两点中某一点，如A关于直线l的对称点A'，得直线A'B的方程，再求其与直线l的交点即可.对于在直线l上求一点P，使P到平面上两点A，B的距离之和最小的问题可用类似方法求解.
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