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章末综合提升
第七章 统计案例
体 系 构 建
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分 层 探 究
典例
1
规律方法
解决回归分析问题的一般步骤
第一步：画散点图.根据已知数据画出散点图；
第二步：判断变量的相关性并求线性回归方程.通过观察散点图，直观感知两个变量是否具有相关关系；在此基础上，利用最小二乘法求回归系数，然后写出线性回归方程；
第三步：实际应用.依据求得的线性回归方程解决实际问题.
单价x(千元) 3 4 5 6 7 8
销量y(百件) 70 65 62 59 56 48
单价x(千元) 3 4 5 6 7 8
销量y(百件) 70 65 62 59 56 48
单价x(千元) 3 4 5 6 7 8
销量y(百件) 70 65 62 59 56 48
单价x(千元) 3 4 5 6 7 8
销量y(百件) 70 65 62 59 56 48
单价x(千元) 3 4 5 6 7 8
销量y(百件) 70 65 62 59 56 48
探究点二 独立性检验
为了全面贯彻落实《未成年人保护法》和《海南省中小学生生命安全教育和防护能力提升工程实施方案》，进一步加强中小学生生命安全宣教，海南省某学校组织了一场安全知识竞赛(总分100分)，一共有1 000名学生参加，竞赛结束后，将得分按照[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]分成5组，绘制了如图所示的频率分布直方图.
典例
2
(1)求出x的值并估计这1 000名学生的平均得分
(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；
解：由频率分布直方图可得10×(0.005＋x＋
0.035＋0.030＋0.010)＝1，解得x＝0.020.
估计这1 000名学生的平均得分为55×0.05＋
65×0.20＋75×0.35＋85×0.30＋95×0.10＝77(分).
(2)已知得分不低于80分的为“优良”.
①请补充完整下面的2×2列联表(单位：人)；
性别 得分情况 总计
非“优良” “优良”
男 500
女 280
总计
解：补充完整2×2列联表如下表(单位：人)：
性别 得分情况 总计
非“优良” “优良”
男 320 180 500
女 280 220 500
总计 600 400 1 000
P(χ2≥k0) 0.1 0.05 0.01
k0 2.706 3.841 6.635
规律方法
处理独立性检验问题的一般步骤
第一步：认真读题，指出相关数据，得出2×2列联表；
第二步：根据2×2列联表中的数据，计算统计量χ2；
第三步：通过统计量χ2与已知临界值的比较判断“X与Y有关系”的把握的大小.
对点练2.甲、乙两城之间的长途客车均由A和B两家公司运营，为了解这两家公司长途客车的运行情况，随机调查了甲、乙两城之间的500个班次，得到下面列联表：
运营公司 班次数
准点 未准点
A 240 20
B 210 30
(1)根据上表，分别估计这两家公司甲、乙两城之间的长途客车准点的概率；
运营公司 班次数
准点 未准点
A 240 20
B 210 30
P(χ2≥k0) 0.1 0.05 0.01
k0 2.706 3.841 6.635
解：补充列联表如下.
运营公司 班次数 合计
准点 未准点
A 240 20 260
B 210 30 240
合计 450 50 500
返回
考 教 衔 接
(2024·天津卷)下列图中，线性相关系数最大的是
真题
1
√
溯源(北师版P246例3)表7－7中是在某校高二年级中抽取了246名学生的化学成绩(单位：分)和物理成绩(单位：分)，求这组成对数据中化学成绩和物理成绩的样本相关系数.
表7－7(表中部分数据略，详见教材)
学号 化学 物理 学号 化学 物理
21012 88 99 20830 97 92
20823 92 99 20922 83 92
20727 65 86 20220 78 79
20903 70 79 20527 74 81
20836 80 68 20219 84 60
20216 73 76 20413 71 77
20837 88 83 20908 80 82
20712 78 81 20429 82 79
20720 70 61 20212 58 67
点评：教材例题给出了化学成绩与物理成绩的冰冷数据，但是把这些数据放到散点图中，就会呈现这两个变量之间的相关关系，而真题直接抛弃了数据关系，直接给出变量间的直观显示，二者考查本质几乎相同，体现了真题来源于教材而高于教材的命题规则.
(2024·上海卷)已知沿海地区气温和海水表层温度相关，且样本相关系数为正数，对此描述正确的是
A.沿海地区气温高，海水表层温度就高
B.沿海地区气温高，海水表层温度就低
C.随着沿海地区气温由低到高，海水表层温度呈上升趋势
D.随着沿海地区气温由低到高，海水表层温度呈下降趋势
真题
2
√
对于A、B，当气温高时，海水表层温度高低不确定，故A、B错误.对于C、D，因为相关系数为正，故随着气温由低到高时，海水表层温度呈上升趋势，故C正确，D错误.故选C.
溯源(北师版P235T1)下表是某小卖部6天卖出热茶的杯数(单位：杯)与当天气温(单位：℃)的对比表：
(1)根据上表中的数据画出散点图.
(2)你能从散点图中发现当天气温与卖出热茶的杯数近似地呈现什么关
系吗？
点评：教材习题让学生观察到随着温度的降低，卖出的热茶杯数有增加的趋势，两变量负相关，而真题考查气温与海水温度之间的相关关系，二者都是研究变量间的相关关系，是教材习题的变式的典范.
气温/℃ 26 18 13 10 4 －1
杯数/杯 20 24 34 38 50 64
(2024·全国甲卷(理))某工厂进行生产线智能化升级改造.升级改造后，从该工厂甲、乙两个车间的产品中随机抽取150件进行检验，数据
如下：
真题
3
优级品 合格品 不合格品 总计
甲车间 26 24 0 50
乙车间 70 28 2 100
总计 96 52 2 150
(1)填写如下列联表：
优级品 非优级品
甲车间
乙车间
能否有95％的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异？能否有
99％的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异？
解：填写如下列联表：
优级品 非优级品
甲车间 26 24
乙车间 70 30
优级品 非优级品 总计
甲车间 26 24 50
乙车间 70 30 100
总计 96 54 150
P(χ2≥k0) 0.050 0.010 0.001
k0 3.841 6.635 10.828
溯源(北师版P257练习T1)某县有甲、乙两所规范化学校，教育主管部门为了检验两校九年级学生的数学水平，从甲、乙两校的九年级学生中，分别随机抽取55人和45人(各占全校九年级学生总数的15％)进行统一试题的数学测验.测验结果如下表(单位：人)：
试问：甲、乙两校九年级学生的数学成绩的差异是否显著？
点评：教材习题与高考真题都考查两个变量之间在多大程度上是否有关联的问题，是教材习题的另一种变式.
学校 及格情况
及格 不及格
甲校 47 8
乙校 30 15
返回
单 元 检 测 卷
√
√
由题意知，χ2＝4.836＞3.841，因此有95％的把握认为两变量有关联.故选D.
√
√
重金属含量高 重金属含量低
设备甲 6 9
设备乙 1 14
重金属含量高 重金属含量低 合计
设备甲 6 9 15
设备乙 1 14 15
合计 7 23 30
√
年收入x/万元 8.2 8.6 10.0 11.3 11.9
年支出y/万元 6.2 7.5 8.0 8.5 9.8
年收入x/万元 8.2 8.6 10.0 11.3 11.9
年支出y/万元 6.2 7.5 8.0 8.5 9.8
√
班级 数学成绩 总计
优秀 非优秀
甲班 10 b
乙班 c 30
总计 105
班级 数学成绩 总计
优秀 非优秀
甲班 10 b
乙班 c 30
总计 105
√
√
Y
X y1 y2 总计
x1 a 10 a＋10
x2 c 30 c＋30
总计 60 40 100
Y
X y1 y2 总计
x1 a 10 a＋10
x2 c 30 c＋30
总计 60 40 100
9.下面各图中，散点图与样本相关系数r符合的有
√
√
对于A，散点图上所有点都在一条斜率小于0的直线上，所以样本相关系数r＝－1，故A正确；对于B，散点图上所有点都在一条斜率大于0的直线上，所以样本相关系数r＝1，故B错误；对于C，散点图上所有点从左到右是向下的带状分布，所以－1＜r＜0，故C正确；对于D，散点图中x，y之间几乎不存在线性相关关系，所以样本相关系数趋于0，故D错误.故选AC.
10.某公司过去五个月的广告费支出X(单位：万元)与销售额Y(单位：万元)之间有下列对应数据：
工作人员不慎将表格中Y的第一个数据丢失.已知Y与X具有线性相关关系，且线性回归方程为Y＝6.5X＋17.5，则下列说法正确的有
A.销售额Y与广告费支出X正相关
B.丢失的数据(表中▲处)为30
C.该公司广告费支出每增加1万元，销售额一定增加6.5万元
D.若该公司下月广告费支出为8万元，则销售额约为75万元
√
√
广告费支出X/万元 2 4 5 6 8
销售额Y/万元 ▲ 40 60 50 70
广告费支出X/万元 2 4 5 6 8
销售额Y/万元 ▲ 40 60 50 70
√
√
数学成绩 是否选物理 总计
选物理 不选物理
数学成绩优异 20 7 27
数学成绩一般 10 13 23
总计 30 20 50
P(χ2≥k0) 0.1 0.05 0.01
k0 2.706 3.841 6.635
数学成绩 是否选物理 总计
选物理 不选物理
数学成绩优异 20 7 27
数学成绩一般 10 13 23
总计 30 20 50
12.某单位通过对数据的统计与分析得知，日用电量Y(单位：度)与当天的平均气温X(单位：℃)之间具有线性相关关系，且Y关于X的线性回归方程为Y＝－2X＋60.据此可以预测，当某天的平均气温为－4 ℃时，日用电量的度数为 .
68
由线性回归方程知，当某天的平均气温为－4 ℃时，日用电量的度数为－2×(－4)＋60＝68.
13.为了考察某种药物预防疾病的效果，进行动物试验，得到了如下的列联表：
认为这种药物对预防疾病有效果的把握有 .
是否服用药 是否患病 总计
患病 未患病
服用药 10 46 56
没服用药 22 32 54
总计 32 78 110
99％
是否服用药 是否患病 总计
患病 未患病
服用药 10 46 56
没服用药 22 32 54
总计 32 78 110
16.(15分)(2025·河北邢台高二期中)为了给学生提供更为丰富的校园文化生活，学校增设了两门全新的课程A，B，学生根据自己的兴趣爱好在这两门课程中任选一门进行学习.学校统计了学生的选课情况，得到如下表格.
选择课程A 选择课程B
男生 40 60
女生 20 80
(1)根据上表，是否有99.5％的把握认为选择课程与性别有关联？
P(χ2≥k0) 0.05 0.01 0.005 0.001
k0 3.841 6.635 7.879 10.828
17.(15分)(2025·吉林白山高二期末)为更好探索有机农业的发展，返乡新农人小王在试验田按有机标准改良土壤，经过了三年置换期后，在2018年采用轮作等方式种植有机胡萝卜，并记录了2018－2024年这7年的有机胡萝卜的亩产量，得到数据如下表：
年份 2018 2019 2020 2021 2022 2023 2024
年份代码x 1 2 3 4 5 6 7
亩产量y/(吨/亩) 0.4 0.5 0.8 1.1 1.5 1.7 0.2
(1)从这7年的有机胡萝卜的亩产数据中任取3年的数据，若至少有2年的亩产量不低于0.5吨/亩，求3年的亩产量都不低于0.5吨/亩的概率；
年份 2018 2019 2020 2021 2022 2023 2024
年份代码x 1 2 3 4 5 6 7
亩产量y/(吨/亩) 0.4 0.5 0.8 1.1 1.5 1.7 0.2
年份 2018 2019 2020 2021 2022 2023 2024
年份代码x 1 2 3 4 5 6 7
亩产量y/(吨/亩) 0.4 0.5 0.8 1.1 1.5 1.7 0.2
年份 2018 2019 2020 2021 2022 2023 2024
年份代码x 1 2 3 4 5 6 7
亩产量y/(吨/亩) 0.4 0.5 0.8 1.1 1.5 1.7 0.2
年份 2018 2019 2020 2021 2022 2023 2024
年份代码x 1 2 3 4 5 6 7
亩产量y/(吨/亩) 0.4 0.5 0.8 1.1 1.5 1.7 0.2
所以y与x的线性回归方程为Y＝0.28X＋0.02，
当X＝8时，Y＝0.28×8＋0.02＝2.26(吨/亩).
所以在排除气候因素影响的情况下，预测2025年小王的有机胡萝卜的亩产量为2.26吨/亩.
年份 2018 2019 2020 2021 2022 2023 2024
年份代码x 1 2 3 4 5 6 7
亩产量y/(吨/亩) 0.4 0.5 0.8 1.1 1.5 1.7 0.2
18.(17分)某服装批发市场2024年1月至5月的服装销售量x与利润y的统计数据如下表：
月份 1 2 3 4 5
销售量x/万件 3 6 4 7 8
利润y/万元 19 34 26 41 46
月份 1 2 3 4 5
销售量x/万件 3 6 4 7 8
利润y/万元 19 34 26 41 46
(3)若由线性回归方程得到的利润的估计数据与真实数据的误差不超过2万元，则认为得到的利润的估计数据是理想的.请用表格中第5个月的数据检验由(2)中回归方程所得的第5个月的利润的估计数据是否理想.
月份 1 2 3 4 5
销售量x/万件 3 6 4 7 8
利润y/万元 19 34 26 41 46
19.(17分)直播带货是扶贫助农的一种新模式，这种模式是利用主流媒体的公信力，聚合销售主播的力量助力打通农产品产销链条，切实助力农民增收.我国南方某蜜桔种植县通过网络平台直播销售蜜桔，其中每箱蜜桔重5千克，单价为40元/箱，已知最近5天单日直播总时长x(即所有主播的直播时长之和，单位：小时)与蜜桔的单日销售量y(单位：百箱)之间的统计数据如下表：
直播总时长x 8 9 11 12 15
单日销售量y 67 63 80 80 85
可用线性回归模型拟合y与x之间的关系.
直播总时长x 8 9 11 12 15
单日销售量y 67 63 80 80 85
(2)若每位主播每天直播的时间不超过4小时，要使每天直播带货销售蜜桔的总金额超过60万元，则至少要请几位主播进行直播？
直播总时长x 8 9 11 12 15
单日销售量y 67 63 80 80 85
直播总时长x 8 9 11 12 15
单日销售量y 67 63 80 80 85
直播总时长x 8 9 11 12 15
单日销售量y 67 63 80 80 85
直播总时长x 8 9 11 12 15
单日销售量y 67 63 80 80 85
直播总时长x 8 9 11 12 15
单日销售量y 67 63 80 80 85
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直播总时长x 8 9 11 12 15
单日销售量y 67 63 80 80 85章末综合提升
探究点一 线性回归分析
下图是某市2018年至2024年生活垃圾无害化处理量y(单位：万吨)与年份代码t的散点图.
(1)根据散点图推断变量y与t是否线性相关，并用相关系数加以说明；
(2)建立y关于t的回归方程(系数精确到0.01)，预测2026年该市生活垃圾无害化处理量.
参考数据：yi＝9.06，tiyi＝39.33，
＝0.36，≈2.646.
参考公式：＝，＝－；相关系数r＝.
解：(1)根据散点图推断变量y与t线性相关，说明如下：
由题意得＝＝＝4，
＝＋＋(－1)2＋02＋12＋22＋32＝28，
＝tiyi－7＝39.33－4×9.06＝3.09，
故r＝≈≈0.97，
由y与t的相关系数约为0.97表明y与t线性相关，且相关程度相当高.
(2)由＝≈1.29以及(1)可得＝＝≈0.11，
则＝－≈1.29－0.11×4≈0.85，故y关于t的回归方程为Y＝0.85＋0.11T，
将2026年对应的年份代码t＝9代入回归方程得Y＝0.85＋0.11×9＝1.84，
故预测2026年该市生活垃圾无害化处理量约为1.84万吨.
解决回归分析问题的一般步骤
第一步：画散点图.根据已知数据画出散点图；
第二步：判断变量的相关性并求线性回归方程.通过观察散点图，直观感知两个变量是否具有相关关系；在此基础上，利用最小二乘法求回归系数，然后写出线性回归方程；
第三步：实际应用.依据求得的线性回归方程解决实际问题.
对点练1.某手机生产企业为了对一批最新款手机进行合理定价，将该款手机按事先拟定的价格进行试销，得到一组销售数据，如表所示：
单价x(千元) 3 4 5 6 7 8
销量y(百件) 70 65 62 59 56 48
(1)若变量x，y具有线性相关关系，求产品销量y(百件)关于试销单价x(千元)的线性回归方程Y＝X＋；
(2)用(1)中所求的线性回归方程得到与xi对应的产品销量的估计值.若当销售数据满足≤1时，则将销售数据称为一个“好数据”.现从6个销售数据中任取2个，求“好数据”至少有1个的概率.
参考数据：xiyi＝1 910，＝199(参考公式：线性回归方程中，的估计值分别为＝，＝－).
解：(1)由题意知，＝＝5.5，＝＝60，
而xiyi＝1 910，＝199，于是＝＝＝＝－4，
＝－＝60＋4×5.5＝82，
所以所求线性回归方程为Y＝－4X＋82.
(2)利用(1)中所求得的线性回归方程＝－4x＋82，
当x1＝3时，＝70；当x2＝4时，＝66；
当x3＝5时，＝62；当x4＝6时，＝58；
当x5＝7时，＝54；当x6＝8时，＝50，
与销售数据对比知满足｜－yi｜≤1(i＝1，2，…，6)的共有4个“好数据”：(3，70)，(4，65)，(5，62)，(6，59).从6个销售数据中任取2个，
记“好数据”至少有1个为事件A，
则P(A)＝＝，
所以“好数据”至少有1个的概率为.
探究点二 独立性检验
为了全面贯彻落实《未成年人保护法》和《海南省中小学生生命安全教育和防护能力提升工程实施方案》，进一步加强中小学生生命安全宣教，海南省某学校组织了一场安全知识竞赛(总分100分)，一共有1 000名学生参加，竞赛结束后，将得分按照[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]分成5组，绘制了如图所示的频率分布直方图.
(1)求出x的值并估计这1 000名学生的平均得分(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；
(2)已知得分不低于80分的为“优良”.
①请补充完整下面的2×2列联表(单位：人)；
性别 得分情况 总计
非“优良” “优良”
男 500
女 280
总计
②是否有99％的把握认为这次安全知识竞赛的得分是否“优良”与性别有关联？
附：χ2＝，其中n＝a＋b＋c＋d.
P(χ2≥k0) 0.1 0.05 0.01
k0 2.706 3.841 6.635
解：(1)由频率分布直方图可得10×(0.005＋x＋0.035＋0.030＋0.010)＝1，解得x＝0.020.
估计这1 000名学生的平均得分为55×0.05＋65×0.20＋75×0.35＋85×0.30＋95×0.10＝77(分).
(2)①补充完整2×2列联表如下表(单位：人)：
性别 得分情况 总计
非“优良” “优良”
男 320 180 500
女 280 220 500
总计 600 400 1 000
②根据列联表计算得χ2＝≈6.667＞6.635，
所以有99％的把握认为这次安全知识竞赛的得分是否“优良”与性别有关联.
处理独立性检验问题的一般步骤
第一步：认真读题，指出相关数据，得出2×2列联表；
第二步：根据2×2列联表中的数据，计算统计量χ2；
第三步：通过统计量χ2与已知临界值的比较判断“X与Y有关系”的把握的大小.
对点练2.甲、乙两城之间的长途客车均由A和B两家公司运营，为了解这两家公司长途客车的运行情况，随机调查了甲、乙两城之间的500个班次，得到下面列联表：
运营公司 班次数
准点 未准点
A 240 20
B 210 30
(1)根据上表，分别估计这两家公司甲、乙两城之间的长途客车准点的概率；
(2)能否有90％的把握认为甲、乙两城之间的长途客车是否准点与客车所属公司有关？
附：χ2＝，
P(χ2≥k0) 0.1 0.05 0.01
k0 2.706 3.841 6.635
解：(1)根据表中数据，A家公司共有班次260次，准点班次有240次，设A家公司长途客车准点事件为M，
则P(M)＝＝.
B家公司共有班次240次，准点班次有210次，
设B家公司长途客车准点事件为N，
则P(N)＝＝.
所以A家公司长途客车准点的概率为，
B家公司长途客车准点的概率为.
(2)补充列联表如下.
运营公司 班次数 合计
准点 未准点
A 240 20 260
B 210 30 240
合计 450 50 500
根据2×2列联表，可得χ2＝＝≈3.205＞2.706.
所以有90％的把握认为甲、乙两城之间的长途客车是否准点与客车所属公司有关.
(2024·天津卷)下列图中，线性相关系数最大的是( )
答案：A
解析：观察选项可知，A图散点分布比较集中，且大体接近某一条直线，线性回归模型拟合效果比较好，呈现明显的正相关，值相比于其他3图更接近1.故选A.
溯源(北师版P246例3)表7－7中是在某校高二年级中抽取了246名学生的化学成绩(单位：分)和物理成绩(单位：分)，求这组成对数据中化学成绩和物理成绩的样本相关系数.
表7－7(表中部分数据略，详见教材)
学号 化学 物理 学号 化学 物理
21012 88 99 20830 97 92
20823 92 99 20922 83 92
20727 65 86 20220 78 79
20903 70 79 20527 74 81
20836 80 68 20219 84 60
20216 73 76 20413 71 77
20837 88 83 20908 80 82
20712 78 81 20429 82 79
20720 70 61 20212 58 67
点评：教材例题给出了化学成绩与物理成绩的冰冷数据，但是把这些数据放到散点图中，就会呈现这两个变量之间的相关关系，而真题直接抛弃了数据关系，直接给出变量间的直观显示，二者考查本质几乎相同，体现了真题来源于教材而高于教材的命题规则.
(2024·上海卷)已知沿海地区气温和海水表层温度相关，且样本相关系数为正数，对此描述正确的是( )
A.沿海地区气温高，海水表层温度就高
B.沿海地区气温高，海水表层温度就低
C.随着沿海地区气温由低到高，海水表层温度呈上升趋势
D.随着沿海地区气温由低到高，海水表层温度呈下降趋势
答案：C
解析：对于A、B，当气温高时，海水表层温度高低不确定，故A、B错误.对于C、D，因为相关系数为正，故随着气温由低到高时，海水表层温度呈上升趋势，故C正确，D错误.故选C.
溯源(北师版P235T1)下表是某小卖部6天卖出热茶的杯数(单位：杯)与当天气温(单位：℃)的对比表：
气温/℃ 26 18 13 10 4 －1
杯数/杯 20 24 34 38 50 64
(1)根据上表中的数据画出散点图.
(2)你能从散点图中发现当天气温与卖出热茶的杯数近似地呈现什么关系吗？
点评：教材习题让学生观察到随着温度的降低，卖出的热茶杯数有增加的趋势，两变量负相关，而真题考查气温与海水温度之间的相关关系，二者都是研究变量间的相关关系，是教材习题的变式的典范.
(2024·全国甲卷(理))某工厂进行生产线智能化升级改造.升级改造后，从该工厂甲、乙两个车间的产品中随机抽取150件进行检验，数据如下：
优级品 合格品 不合格品 总计
甲车间 26 24 0 50
乙车间 70 28 2 100
总计 96 52 2 150
(1)填写如下列联表：
优级品 非优级品
甲车间
乙车间
能否有95％的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异？能否有99％的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异？
(2)已知升级改造前该工厂产品的优级品率p＝0.5.设为升级改造后抽取的n件产品的优级品率.如果＞p＋1.65，则认为该工厂产品的优级品率提高了.根据抽取的150件产品的数据，能否认为生产线智能化升级改造后，该工厂产品的优级品率提高了？(≈12.247)
附：χ2＝，n＝a＋b＋c＋d.
P(χ2≥k0) 0.050 0.010 0.001
k0 3.841 6.635 10.828
解：(1)填写如下列联表：
优级品 非优级品
甲车间 26 24
乙车间 70 30
则完整的2×2列联表如下：
优级品 非优级品 总计
甲车间 26 24 50
乙车间 70 30 100
总计 96 54 150
K2＝＝4.687 5.
因为K2＝4.687 5＞3.841，所以有95％的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异；
因为K2＝4.687 5＜6.635，所以没有99％的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异.
(2)由题意可知＝＝0.64，
又p＋1.65＝0.5＋1.65×≈0.5＋1.65×≈0.57，
所以＞p＋1.65，所以能认为生产线智能化升级改造后，该工厂产品的优级品率提高了.
溯源(北师版P257练习T1)某县有甲、乙两所规范化学校，教育主管部门为了检验两校九年级学生的数学水平，从甲、乙两校的九年级学生中，分别随机抽取55人和45人(各占全校九年级学生总数的15％)进行统一试题的数学测验.测验结果如下表(单位：人)：
学校 及格情况
及格 不及格
甲校 47 8
乙校 30 15
试问：甲、乙两校九年级学生的数学成绩的差异是否显著？
点评：教材习题与高考真题都考查两个变量之间在多大程度上是否有关联的问题，是教材习题的另一种变式.
单元检测卷(六) 统计案例
(时间：120分钟 满分：150分)
一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)
1.(2025·山东菏泽高二期末)关于回归分析，下列说法错误的是( )
A.回归分析是研究两个具有相关关系的变量的方法
B.运用最小二乘法求得的回归直线一定过点(，)
C.回归模型中一定存在随机误差
D.散点图能明确反映变量间的关系
答案：D
解析：对于A，回归分析是研究两个具有相关关系的变量的方法，故A正确；对于B，运用最小二乘法求得的回归直线一定过点(，)，故B正确；对于C，因为相关关系是一种非确定关系，所以回归模型中一定存在随机误差，故C正确；对于D，散点图反映的是两个变量间的关系，但存在误差，故D错误.故选D.
2.研究两个变量时，依据作出的2×2列联表，计算得χ2＝4.836，而已知P≈0.05，P(χ2≥6.635)≈0.01，则下列说法正确的是( )
A.有99％的把握认为两变量有关联
B.有99％的把握认为两变量无关联
C.有95％的把握认为两变量无关联
D.有95％的把握认为两变量有关联
答案：D
解析：由题意知，χ2＝4.836＞3.841，因此有95％的把握认为两变量有关联.故选D.
3.已知一组数据(1≤i≤10且i∈Z)的线性回归方程为Y＝7X＋a，若xi＝70，yi＝500，则a的值为( )
A.－1 B.0
C.1 D.2
答案：C
解析：由于xi＝70，yi＝500，所以＝7，＝50.将代入Y＝7X＋a，所以7×7＋a＝50，解得a＝1.故选C.
4.有甲、乙两种过滤水中重金属的设备，为了检验使用这两种设备与过滤后水中重金属含量的关系，各过滤了15瓶受重金属污染的相同水体，调查得出以下数据：
重金属含量高 重金属含量低
设备甲 6 9
设备乙 1 14
根据以上数据，则χ2＝( )
A. B.
C. D.
答案：A
解析：由题意得到如下2×2列联表：
重金属含量高 重金属含量低 合计
设备甲 6 9 15
设备乙 1 14 15
合计 7 23 30
所以χ2＝＝.故选A.
5.(2025·四川广安高二月考)为了了解某社区居民的家庭年收入与年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到统计数据表：
年收入x/万元 8.2 8.6 10.0 11.3 11.9
年支出y/万元 6.2 7.5 8.0 8.5 9.8
根据上表可得线性回归方程Y＝＋0.76X.据此估计，该社区一户年收入为15万元家庭的年支出为( )
A.11.4万元 B.11.8万元
C.12.0万元 D.12.2万元
答案：B
解析：因为＝＝10，＝＝8，所以＝－0.76＝8－0.76×10＝0.4，所以Y＝0.4＋0.76X.当X＝15时，Y＝0.4＋0.76×15＝11.8.故选B.
6.有甲、乙两个班级进行数学考试，按照大于或等于85分为优秀，85分以下为非优秀统计成绩，得到如下所示的列联表：
班级 数学成绩 总计
优秀 非优秀
甲班 10 b
乙班 c 30
总计 105
已知在全部105人中随机抽取1人，成绩优秀的概率为，则下列说法正确的是( )
A.列联表中c的值为30，b的值为35
B.列联表中c的值为15，b的值为50
C.根据列联表中的数据，若按95％的可靠性要求，能认为“成绩与班级有关系”
D.根据列联表中的数据，若按95％的可靠性要求，不能认为“成绩与班级有关系”
答案：C
解析：由题意知，成绩优秀的学生数是30，成绩非优秀的学生数是75，所以c＝20，b＝45，故A、B错误；根据列联表中的数据，得到χ2＝≈6.109＞3.841，因此有95％的把握认为“成绩与班级有关系”.故选C.
7.已知由样本数据组成的一个样本，变量x，y具有线性相关关系，其线性回归方程为＝x＋，并计算出变量x，y之间的相关系数为－0.96，xi＝－8，yi＝－15，则线性回归直线经过( )
A.第一、二、三象限 B.第二、三、四象限
C.第一、二、四象限 D.第一、三、四象限
答案：B
解析：由相关系数为－0.96，知x，y负相关，所以＜0.又xi＝－8，yi＝－15，求得样本中心点为(－0.8，－1.5)，由于(－0.8，－1.5)在经验回归直线上，且点在第三象限，所以经验回归直线经过第二、三、四象限.故选B.
8.假设有两个变量X和Y的2×2列联表如下：χ2＝＝n(－)(－).对于同一样本，以下数据能说明X和Y有关系的可能性最大的一组是( )
Y X y1 y2 总计
x1 a 10 a＋10
x2 c 30 c＋30
总计 60 40 100
A.a＝45，c＝15 B.a＝40，c＝20
C.a＝35，c＝25 D.a＝30，c＝30
答案：A
解析：根据独立性检验的方法和2×2列联表可得，当相差越大，则分类变量X和Y有关系的可能性越大，即a，c相差越大，相差越大.由各选项可得A满足条件.故选A.
二、多项选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.)
9.下面各图中，散点图与样本相关系数r符合的有( )
答案：AC
解析：对于A，散点图上所有点都在一条斜率小于0的直线上，所以样本相关系数r＝－1，故A正确；对于B，散点图上所有点都在一条斜率大于0的直线上，所以样本相关系数r＝1，故B错误；对于C，散点图上所有点从左到右是向下的带状分布，所以－1＜r＜0，故C正确；对于D，散点图中x，y之间几乎不存在线性相关关系，所以样本相关系数趋于0，故D错误.故选AC.
10.某公司过去五个月的广告费支出X(单位：万元)与销售额Y(单位：万元)之间有下列对应数据：
广告费支出X/万元 2 4 5 6 8
销售额Y/万元 ▲ 40 60 50 70
工作人员不慎将表格中Y的第一个数据丢失.已知Y与X具有线性相关关系，且线性回归方程为Y＝6.5X＋17.5，则下列说法正确的有( )
A.销售额Y与广告费支出X正相关
B.丢失的数据(表中▲处)为30
C.该公司广告费支出每增加1万元，销售额一定增加6.5万元
D.若该公司下月广告费支出为8万元，则销售额约为75万元
答案：AB
解析：由线性回归方程为Y＝6.5X＋17.5，可知＝6.5，则销售额Y与广告费支出X正相关，故A正确；设丢失的数据为m，由表中的数据可得＝5，＝，把点(5，)的坐标代入线性回归方程，可得＝6.5×5＋17.5，解得m＝30，故B正确；该公司广告费支出每增加1万元，销售额不一定增加6.5万元，故C不正确；若该公司下月广告费支出为8万元，则销售额约为6.5×8＋17.5＝69.5(万元)，故D不正确.故选AB.
11.为了解高中生选科时是否选物理与数学成绩之间是否有关系，某教研机构随机抽取了50名高中生，通过问卷调查，得到以下数据(单位：人)：
数学成绩 是否选物理 总计
选物理 不选物理
数学成绩优异 20 7 27
数学成绩一般 10 13 23
总计 30 20 50
由以上数据，计算得到χ2＝≈4.844，根据临界值表，以下说法正确的是( )
临界值表：
P(χ2≥k0) 0.1 0.05 0.01
k0 2.706 3.841 6.635
A.有95％的把握认为是否选物理与数学成绩有关
B.在犯错误的概率不超过0.05的前提下，认为是否选物理与数学成绩有关
C.95％的数学成绩优异的同学选择物理
D.若表格中的所有数据都扩大为原来的10倍，在相同条件下，χ2值不会发生变化
答案：AB
解析：因为4.844＞3.841，所以有95％的把握认为是否选物理与数学成绩有关，即在犯错误的概率不超过0.05的前提下，认为是否选物理与数学成绩有关，故A、B正确；由独立性检验的基本思想可知C错误；若表中的数据都扩大为原来的10倍，则χ2＝≈48.44，所以χ2值发生变化，故D错误.故选AB.
三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分.请把正确答案填在题中横线上.)
12.某单位通过对数据的统计与分析得知，日用电量Y(单位：度)与当天的平均气温X(单位：℃)之间具有线性相关关系，且Y关于X的线性回归方程为Y＝－2X＋60.据此可以预测，当某天的平均气温为－4 ℃时，日用电量的度数为 .
答案：68
解析：由线性回归方程知，当某天的平均气温为－4 ℃时，日用电量的度数为－2×(－4)＋60＝68.
13.为了考察某种药物预防疾病的效果，进行动物试验，得到了如下的列联表：
是否服用药 是否患病 总计
患病 未患病
服用药 10 46 56
没服用药 22 32 54
总计 32 78 110
认为这种药物对预防疾病有效果的把握有 .
答案：99％
解析：因为χ2＝≈6.979＞6.635，所以有99％的把握认为这种药物对预防疾病有效果.
14.(2025·江苏扬州高二期末)将某保护区分为面积大小相近的多个区域，用简单随机抽样的方法抽取其中6个区域，统计这些区域内的某种水源指标xi和某植物分布的数量yi，得到样本，且其相关系数r＝，记y关于x的线性回归方程为Y＝＋X.经计算可知：＝9，＝550，＝256，则＝ .
参考公式：＝，
r＝.
答案：
解析：因为＝9，＝550，所以＝－6＝550－6×92＝64.由r＝＝＝，
解得＝120，
所以＝＝＝.
四、解答题(本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.)
15.(13分)某水果店对某个新品种水果进行试销，需了解试销价格X(单位：元/斤)对销售量Y(单位：斤)的影响情况，现得到5对销售数据，并对得到的数据进行初步处理，得到如图所示的散点图.
(1)由散点图看出，可用线性回归模型拟合Y与X的关系，请用样本相关系数加以说明；(结果精确到0.01)
(2)求Y关于X的线性回归方程.
附：参考公式：样本相关系数r＝，＝，＝－.
参考数据：≈8.367.
解：(1)由题意知，＝＝5，
＝＝14，
(xi－)2＝10，(yi－)2＝112，(xi－)(yi－)＝－32，
所以r＝＝≈－0.96，
由样本相关系数r≈－0.96，可以推断Y与X这两个变量负相关，且线性相关程度很强，从而可以用线性回归模型拟合Y与X的关系.
(2)由(1)可得＝＝－＝－3.2，＝－＝14－(－3.2)×5＝30，
所以Y＝－3.2X＋30.
16.(15分)(2025·河北邢台高二期中)为了给学生提供更为丰富的校园文化生活，学校增设了两门全新的课程A，B，学生根据自己的兴趣爱好在这两门课程中任选一门进行学习.学校统计了学生的选课情况，得到如下表格.
选择课程A 选择课程B
男生 40 60
女生 20 80
(1)根据上表，是否有99.5％的把握认为选择课程与性别有关联？
(2)现从男生的样本中，按分层抽样的方法选出5人组成一个小组，再从这5名男生中抽取3人做问卷调查，求这3人中选择课程B的人数比选择课程A的人数多的概率.
附：χ2＝.
P(χ2≥k0) 0.05 0.01 0.005 0.001
k0 3.841 6.635 7.879 10.828
解：(1)依题意得：χ2＝
＝≈9.524＞7.879，
所以有99.5％的把握认为选择课程与性别有关联.
(2)选出的5名男生中，选择课程A的人数为5×＝2，
选择课程B的人数为5×＝3，
从5人中选3人，这3人中选择课程B的人数比选择课程A的人数多有如下两种可能：
选择课程B有3人，选择课程A有0人，此时有种选法；
选择课程B有2人，选择课程A有1人，此时有种选法；
记“这3人中选择课程B的人数比选择课程A的人数多”为事件M，
则P(M)＝＝.
17.(15分)(2025·吉林白山高二期末)为更好探索有机农业的发展，返乡新农人小王在试验田按有机标准改良土壤，经过了三年置换期后，在2018年采用轮作等方式种植有机胡萝卜，并记录了2018－2024年这7年的有机胡萝卜的亩产量，得到数据如下表：
年份 2018 2019 2020 2021 2022 2023 2024
年份代码x 1 2 3 4 5 6 7
亩产量y/(吨/亩) 0.4 0.5 0.8 1.1 1.5 1.7 0.2
(1)从这7年的有机胡萝卜的亩产数据中任取3年的数据，若至少有2年的亩产量不低于0.5吨/亩，求3年的亩产量都不低于0.5吨/亩的概率；
(2)已知这7年间有一年由于天气原因，导致胡萝卜损失很大.若剔除天气因素导致的异常，经计算，y与x有线性关系，求出该线性回归方程，并预测在排除气候因素影响的情况下，2025年小王的有机胡萝卜的亩产量.
附：＝，＝－.
解：(1)由表知，这7年的有机胡萝卜的亩产数据中，有5年的亩产量不低于0.5吨/亩，2年的亩产量低于0.5吨/亩，记A＝“从这7年中任取3年，至少有2年的亩产量不低于0.5吨/亩”，B＝“从这7年中任取3年，3年的亩产量都不低于0.5吨/亩”，
则P(A)＝＝，P(AB)＝＝，
所以P(B｜A)＝＝＝.
(2)由表可知，2024年的数据异常，剔除2024年的数据，
则剩余6年的数据中，＝＝3.5，＝＝1，
＝(1－3.5)×(0.4－1)＋(2－3.5)×(0.5－1)＋(3－3.5)×(0.8－1)＋(4－3.5)×(1.1－1)＋(5－3.5)×(1.5－1)＋(6－3.5)×(1.7－1)＝4.9，
＝(1－3.5)2＋(2－3.5)2＋(3－3.5)2＋(4－3.5)2＋(5－3.5)2＋(6－3.5)2＝17.5，
所以＝＝＝0.28，
所以＝－＝1－0.28×3.5＝0.02，
所以y与x的线性回归方程为Y＝0.28X＋0.02，
当X＝8时，Y＝0.28×8＋0.02＝2.26(吨/亩).
所以在排除气候因素影响的情况下，预测2025年小王的有机胡萝卜的亩产量为2.26吨/亩.
18.(17分)某服装批发市场2024年1月至5月的服装销售量x与利润y的统计数据如下表：
月份 1 2 3 4 5
销售量x/万件 3 6 4 7 8
利润y/万元 19 34 26 41 46
(1)从这5个月的利润中任选2个，分别记为m，n，求事件“m，n均不小于30”的概率；
(2)已知销售量x与利润y近似满足线性关系，请根据表中前4个月的数据，求出y关于x的线性回归方程y＝＋x；
(3)若由线性回归方程得到的利润的估计数据与真实数据的误差不超过2万元，则认为得到的利润的估计数据是理想的.请用表格中第5个月的数据检验由(2)中回归方程所得的第5个月的利润的估计数据是否理想.
解：(1)这5个月的利润中有3个月的利润不小于30万元，有2个月的利润小于30万元，
记“m，n均不小于30”为事件A，所以所求概率P＝＝.
(2)由题表中前4个月的数据可得＝5，＝30，xiyi＝652，＝110，
所以＝＝5.2，＝30－5.2×5＝4，
所以所求的线性回归方程为y＝5.2x＋4.
(3)由题意，得当x＝8时，y＝5.2×8＋4＝45.6，＝0.4＜2，
所以利用(2)中回归方程所得的第5个月的利润的估计数据是理想的.
19.(17分)直播带货是扶贫助农的一种新模式，这种模式是利用主流媒体的公信力，聚合销售主播的力量助力打通农产品产销链条，切实助力农民增收.我国南方某蜜桔种植县通过网络平台直播销售蜜桔，其中每箱蜜桔重5千克，单价为40元/箱，已知最近5天单日直播总时长x(即所有主播的直播时长之和，单位：小时)与蜜桔的单日销售量y(单位：百箱)之间的统计数据如下表：
直播总时长x 8 9 11 12 15
单日销售量y 67 63 80 80 85
可用线性回归模型拟合y与x之间的关系.
(1)试求变量y与x的线性回归方程＝x＋；
(2)若每位主播每天直播的时间不超过4小时，要使每天直播带货销售蜜桔的总金额超过60万元，则至少要请几位主播进行直播？
(3)直播带货大大提升销量的同时，也增加了坏果赔付的成本.该蜜桔平均每箱按80个计算，若客户在收到货时有坏果，则每个坏果要赔付1元.现有甲、乙两款包装箱，若采用甲款包装箱，成本为t元/箱，且每箱坏果的个数X服从P＝若采用乙款包装箱，成本为t元/箱，且每箱坏果的个数Y服从P(Y＝i)＝请运用概率统计的相关知识分析，选择哪款包装箱获得的利润更大？
附：＝，＝－，xiyi＝4 218，＝635.
解：(1)由题意得＝＝11，＝＝75，
又xiyi＝4 218，＝635，
所以＝＝＝＝＝3.1，
所以＝－＝75－3.1×11＝40.9，
所以线性回归方程为Y＝3.1X＋40.9.
(2)根据题意得，
40×100·Y＝4 000＞600 000，
解得X＞≈35.2，又＝8.8，
所以至少要请9位主播进行直播.
(3)对于乙款包装箱，
由m＋m＋m＋＝1，所以m＝.
设采用甲款包装箱每箱获得的利润的均值为E1，
则E1＝40－EX－t＝40－1×［0×＋1×＋2×＋3×＋4×＋5×］－t＝－t，
设采用乙款包装箱每箱获得的利润的均值为E2，
则E2＝40－EY－t＝40－1×［0×＋1×＋2×＋3×］－t＝－t，
令－t＝－t，解得t＝.
因为1≤t≤5，所以令－t＞－t，解得t∈，
令－t＜－t，解得t∈.
综上所述，当t＝时，采用两款包装箱获得的利润一样；
当t∈时，采用甲款包装箱获得的利润更大；
当t∈时，采用乙款包装箱获得的利润更大.
模块综合检测卷
(时间：120分钟 满分：150分)
一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)
1.若随机变量ξ，η满足ξ＋η＝3，且ξ～B，则D的值为( )
A. B.
C. D.10
答案：D
解析：由随机变量ξ～B，可得Dξ＝np(1－p)＝5××＝，因为ξ＋η＝3，可得η＝3－ξ，所以Dη＝D＝(－1)2×Dξ＝，所以D(3η＋1)＝32×Dη＝10.故选D.
2.(2025·北京海淀高二期中)若直线l1：x＋2y＋1＝0与直线l2：3x＋ay－1＝0平行，则a＝( )
A.3 B.－2
C.3或－2 D.3或1
答案：A
解析：由直线l1：x＋2y＋1＝0与直线l2：3x＋ay－1＝0平行，得＝≠，所以a＝3.故选A.
3.(2025·河南南阳高二期中)某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表：
广告费用x/万元 4 2 3 5
销售额y/万元 49 26 39 54
根据上表可得线性回归方程Y＝X＋中的为9.4，据此模型预测广告费用为6万元时销售额为( )
A.9.1万元 B.9.2万元
C.67.7万元 D.65.5万元
答案：D
解析： ＝＝，＝＝42，因为线性回归方程Y＝X＋经过样本点的中心，所以42＝9.4×＋，所以＝9.1，所以y＝9.4x＋9.1，当x＝6时，y＝9.4×6＋9.1＝65.5.故选D.
4.(2023·新高考全国Ⅱ卷)某学校为了解学生参加体育运动的情况，用比例分配的分层随机抽样法作抽样调查，拟从初中部和高中部共抽取60名学生，已知该校初中部和高中部分别有400名和200名学生，则不同的抽样结果共有( )
A.·种 B.·种
C.·种 D.·种
答案：D
解析：根据分层抽样的定义知初中部共抽取60×＝40(人)，高中部共抽取60×＝20(人)，根据组合公式和分步计数原理，则不同的抽样结果共有·种.故选D.
5.(2025·山西大同高二期中)已知a＞b＞0，双曲线－＝1的两个焦点为F1，F2，若椭圆＋＝1的两个焦点是线段F1F2的三等分点，则该双曲线的渐近线方程为( )
A.y＝±x B.y＝±x
C.y＝±x D.y＝±x
答案：C
解析：双曲线－＝1的焦点坐标为(0，±)，椭圆＋＝1的焦点坐标为(0，±)，由题意可得＝，因为a＞b＞0，可得＝，因此，双曲线－＝1的渐近线方程为y＝±x＝±x.故选C.
6.质监部门对某种建筑构件的抗压能力进行检测，对此建筑构件实施打击，该构件有A，B两个易损部位，每次打击后，A部位损坏的概率为，B部位损坏的概率为，则在第一次打击后就有部位损坏(只考虑A，B两个易损部分)的条件下，A，B两个部位都损坏的概率是( )
A. B.
C. D.
答案：A
解析：记事件E：第一次打击后就有部位损坏，事件F：A，B两个部位都损坏，则P(E)＝1－(1－)(1－)＝，P(EF)＝×＝，所以P(F｜E)＝＝.故选A.
7.(2025·辽宁沈阳高二期中)已知圆C：(x－2)2＋(y－1)2＝1和两点A(－t，0)，B(t，0)(t＞0)，若圆C上存在点P，使得·＝0，则t的取值范围为( )
A.[2，4] B.[1，3]
C.(2，4) D.[0，4]
答案：A
解析：圆C：(x－2)2＋(y－1)2＝1的圆心C(2，1)，半径r＝1，设P(a，b)，因为A(－t，0)，B(t，0)(t＞0)，所以＝(－t－a，－b)，＝(t－a，－b)，所以·＝(－t－a)(t－a)＋(－b)(－b)＝a2－t2＋b2＝0，即t2＝a2＋b2，所以｜OP｜＝＝t，因为点P在圆C上，所以t表示圆C上的点P到原点的距离，又＝＝3，r＝1，所以｜OC｜－r≤｜OP｜≤｜OC｜＋r，即2≤｜OP｜≤4，得2≤t≤4，因此t的取值范围为[2，4].故选A.
8.(2025·广东广州高二期末)阅读材料：数轴上，方程Ax＋B＝0(A≠0)可以表示数轴上的点，平面直角坐标系xOy中，方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)可以表示坐标平面内的直线，空间直角坐标系O-xyz中，方程Ax＋By＋Cz＋D＝0(A，B，C不同时为0)可以表示坐标空间内的平面.过点P(x0，y0，z0)且一个法向量为n＝(a，b，c)的平面α的方程可表示为a(x－x0)＋b(y－y0)＋c(z－z0)＝0.阅读上面材料，解决下面问题：已知平面α的方程为3x－5y＋z－7＝0，直线l是两平面x－3y－7＝0与4y＋2z＋1＝0的交线，则直线l与平面α所成角的正弦值为( )
A. B.
C. D.
答案：A
解析：因为平面α的方程为3x－5y＋z－7＝0，所以平面α的法向量可取m＝(3，－5，1)，平面x－3y－7＝0的法向量可取a＝(1，－3，0)，平面4y＋2z＋1＝0的法向量可取b＝(0，4，2)，设两平面的交线l的方向向量为c＝(p，q，r)，由令p＝3，则q＝1，r＝－2，所以两平面的交线l的方向向量可取c＝(3，1，－2)，设直线l与平面α所成角的大小为θ，则sin θ＝＝＝.故选A.
二、多项选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.)
9.随机事件A，B满足P(A)＝，P(B)＝，P(A)＝，则下列说法正确的是( )
A.事件A与B互斥 B.事件A与B相互独立
C.P(A＋B)＝P() D.P(B｜)＝P(A)
答案：ABC
解析：对于A，因为AB一定互斥，所以A正确；对于B，P(A)＝＝＝，所以P(AB)＝×＝P(A)P(B)，所以事件A，B相互独立，故B正确；对于C，P(A＋B)＝P(A)＋P(B)－P(AB)＝＋－＝＝1－＝P()，故C正确；对于D，P(B｜)＝＝＝＝P(B)＝≠P(A)，故D错误.故选ABC.
10.(2025·河北衡水高二期末)已知点O为坐标原点，直线y＝x＋1与抛物线C：x2＝4y相交于A，B两点，焦点为F，则下列选项正确的是( )
A.＝8
B.OA⊥OB
C.＋＝1
D.线段AB的中点到x轴的距离为2
答案：AC
解析：由抛物线C：x2＝4y，可得焦点F(0，1)，则直线y＝x＋1过抛物线C的焦点，联立方程组整理得到y2－6y＋1＝0，显然Δ＞0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，可得y1＋y2＝6，y1y2＝1，对于A，由抛物线的定义，可得＝y1＋y2＋p＝6＋2＝8，故A正确；对于B，由·＝x1x2＋y1y2＝(y1－1)(y2－1)＋y1y2 ＝2y1y2－(y1＋y2)＋1＝－3≠0，所以OA与OB不垂直，故B错误；对于C，由y2－6y＋1＝0，可得y1＝3＋2，y2＝3－2，由抛物线定义，可得＝4＋2，＝4－2，则＋＝＋＝1，故C正确；对于D，线段AB的中点到x轴的距离为＝3，故D错误.故选AC.
11.(2025·浙江宁波高二期中)如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，点E，F在四边形A1B1C1D1所在的平面内，若＝，AC⊥DF，则下述结论正确的是( )
A.二面角A1-BD-A的平面角的正切值为2
B.CF⊥AC1
C.点E的轨迹是一个圆
D.直线DF与平面A1BD所成角的正弦值的最大值为
答案：BCD
解析：对于A，记AC，BD相交于O，连接OA1，由于AO⊥BD，且A1B＝DA1，故A1O⊥BD，因此∠A1OA为二面角A1-BD-A的平面角，故tan∠A1OA＝＝＝，故A错误；对于C，连接A1E，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，AA1⊥平面A1B1C1D1，A1E 平面A1B1C1D1，所以AA1⊥A1E，故AE2＝A＋A1E2，则有A1E＝1，所以点E的轨迹是以A1为圆心，1为半径的圆，故C正确；对于B，在正方体中，平面ABCD⊥平面B1BDD1，且两平面交线为BD，AC⊥BD，AC 平面ABCD，故AC⊥平面B1BDD1，因为AC⊥DF，则DF 平面B1BDD1，
故F在B1D1上，建立如图所示的空间直角坐标系，因为点F的轨迹是直线B1D1，设＝λ，则F(2λ，2－2λ，2)，则A(0，0，0)，A1(0，0，2)，B(2，0，0)，D(0，2，0)，C，C1，则＝(2λ－2，－2λ，2)，＝，故·＝2(2λ－2)－4λ＋4＝0，进而可得⊥，故CF⊥AC1，故B正确；又＝(2，0，－2)，＝(－2，2，0)，＝(2λ，－2λ，2)，设平面A1BD的一个法向量为n＝(x，y，z)，则有令x＝1，则y＝1，z＝1，故平面A1BD的一个法向量为n＝(1，1，1)，设DF与平面A1BD所成的角为α，则sin α＝｜cos 〈，n〉｜＝＝，当λ＝0时，sin α有最大值，故DF与平面A1BD所成角的正弦值的最大值为，故D正确.故选BCD.
三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分.请把正确答案填在题中横线上.)
12.(1－2x)(1＋3x)6的展开式中，含x2的项的系数为 .(用数字作答)
答案：99
解析：由题意得(1＋3x)6的展开式的通项为Tk＋1＝＝3kxk，所以(1－2x)(1＋3x)6的展开式中，含x2的项为32x2－2x·31x1＝99x2，所以展开式中含x2的项的系数为99.
13.(2025·湖南长沙高二期末)正三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱长为2，底面边长为1，M是BC的中点，在侧棱CC1上存在一点N，使得MN⊥AB1，则CN＝ .
答案：
解析：正三棱柱ABC-A1B1C1中，在平面ABC内过A作Ax⊥AC，以A为原点建立空间直角坐标系，则A(0，0，0)，B1(，，2)，M(，，0)，设N(0，1，t)，0≤t≤2，则＝(－，，t)，＝(，，2)，由MN⊥AB1，得·＝－×＋×＋2t＝0，解得t＝，所以CN＝.
14.(2025·山东济南高二期中)已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的右焦点是F，过点F作直线l交椭圆于点A，B，过点F与直线l垂直的射线交椭圆于点P，＝，且A，O，P三点共线(其中O是坐标原点)，则椭圆的离心率为 .
答案：
解析：设椭圆的左焦点为F'.由于A，O，P三点共线，故由椭圆的对称性知｜AO｜＝｜OP｜，而｜FO｜＝｜OF'｜，故四边形AFPF'是平行四边形.又因为FP⊥FA，故四边形AFPF'是矩形.由于四边形是矩形，故＝＝，｜BF'｜＝＝＝｜AB｜.从而可设｜AF'｜＝8k，｜AB｜＝15k，｜BF'｜＝17k，此时40k＝｜AF'｜＋｜AB｜＋｜BF'｜＝4a，解得k＝a，所以｜AF'｜＝a，｜AB｜＝a，｜BF'｜＝a，所以｜AF｜＝2a－a＝a，由｜AF｜2＋｜AF'｜2＝｜FF'｜2＝4c2，得到( a)2＋( a)2＝4c2，即a2＝4c2，故＝.从而椭圆的离心率e＝＝＝.
四、解答题(本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.)
15.(13分)近年来，解放军强军兴军的深刻变化，感召了越来越多的高中优秀青年学子献身国防，投身军营.2024年高考，很多高考毕业学生报考了军事类院校.从某地区内学校的高三年级中随机抽取了900名学生，其中男学生500人，女学生400人，通过调查，有报考军事类院校意向的男学生、女学生各100名.
(1)完成给出的列联表，并分别估计该地区高三男、女学生有报考军事类院校意向的概率；
有报考意向 无报考意向 合计
男学生
女学生
合计
(2)依据表中数据分析是否有90％的把握认为学生有报考军事类院校的意愿与性别有关.
参考公式及数据：χ2＝，
n＝a＋b＋c＋d.
P(χ2≥k0) 0.15 0.1 0.05 0.025 0.01
k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635
解：(1)根据已知条件，填写2×2列联表如下：
有报考意向 无报考意向 合计
男学生 100 400 500
女学生 100 300 400
合计 200 700 900
男学生有报考军事类院校意向的概率为＝，
女学生有报考军事类院校意向的概率为＝.
(2)χ2＝≈3.214＞2.706，
所以有90％的把握认为学生有报考军事类院校的意愿与性别有关.
16.(15分)(2025·江苏常州高二期中)已知圆M的圆心在直线y＝－2x上，并且经过点P(2，－1)，与直线x＋y－1＝0相切.
(1)求圆M的方程；
(2)经过点(2，1)的直线l与圆M交于A，B两点，且｜AB｜＝2，求直线l的方程.
解：(1)由题意，设圆心M，半径为r，
因为圆M经过点P(2，－1)，
所以r＝＝，
因为圆M与直线x＋y－1＝0相切，
所以圆心M到直线x＋y－1＝0的距离d＝＝r，
所以＝，化简得a2－2a＋1＝0，解得a＝1，
则圆心M，半径r＝＝＝，
所以圆M的方程为(x－1)2＋(y＋2)2＝2.
(2)由题意知，圆心M到直线l的距离d＝＝＝1，
若直线l的斜率不存在，其方程为x＝2，显然符合题意；
若直线l的斜率存在，设直线l的方程为y－1＝k(x－2)，即kx－y＋1－2k＝0，
则圆心M到直线l的距离d＝＝1，解得k＝，
则直线l的方程为y－1＝(x－2)，即4x－3y－5＝0.
综上，直线l的方程为x＝2或4x－3y－5＝0.
17.(15分)如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝3DE＝6，BC＝2BE＝4，且BE⊥AD，现将△ABE沿BE翻折至△PBE，使得PD＝2.
(1)证明：PD⊥平面BCDE；
(2)求平面PCD与平面PBE所成角的正弦值.
解：(1)证明：因为BE⊥AD，
所以BE⊥ED且BE⊥AE，
易得翻折后BE⊥PE，
又ED∩PE＝E，ED，PE 平面PED，
所以BE⊥平面PED，
因为PD 平面PED，
所以BE⊥PD，
因为DE＝2，PE＝AE＝4，PD＝2，
所以PD2＋DE2＝PE2，即PD⊥DE，
又BE∩DE＝E，BE，DE 平面BCDE，
所以PD⊥平面BCDE.
(2)连接BD，在梯形BCDE中，易得DB＝DC＝2，
所以DB2＋DC2＝BC2，DB⊥DC，
如图，以D为坐标原点，建立空间直角坐标系，
则P，B，E，
＝，＝，
设平面PBE的法向量为m＝，
则令z＝2，则x＝，y＝－，
则m＝为平面PBE的一个法向量，
结合(1)易知BD⊥平面PCD，所以取平面PCD的一个法向量为n＝，
所以cos 〈m，n〉＝＝，
即平面PCD与平面PBE所成角的余弦值为，
所以平面PCD与平面PBE所成角的正弦值为.
18.(17分)某试点高校校招过程中笔试通过后才能进入面试环节.2024年报考该试点高校的学生的笔试成绩X'近似服从正态分布N.其中，μ近似为样本平均数，σ2近似为样本方差s2.已知μ的近似值为76.5，s的近似值为5.5，以样本估计总体.
(1)假设有84.135％的学生的笔试成绩高于该校预期的平均成绩，求该校预期的平均成绩大约是多少？
(2)若笔试成绩高于76.5进入面试，若从报考该试点高校的学生中随机抽取10人，设其中进入面试学生数为ξ，求随机变量ξ的均值；
(3)现有甲、乙、丙、丁四名学生进入了面试，且他们通过面试的概率分别为，，，.设这4名学生中通过面试的人数为X，求随机变量X的分布列和均值.
参考数据：若X～N，则：P(μ－σ＜X≤μ＋σ)≈0.682 7；P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)≈0.954 5；P(μ－3σ＜X≤μ＋3σ)≈0.997 3.
解：(1)由P＝＋≈0.841 35，
又μ的近似值为76.5，σ的近似值为5.5，
所以该校预期的平均成绩大约是76.5－5.5＝71(分).
(2)由μ≈76.5，可得P＝，
即从所有报考该试点高校的学生中随机抽取1人，
该学生笔试成绩高于76.5的概率为，
所以随机变量ξ～B，故Eξ＝10×＝5.
(3)X的可能取值为0，1，2，3，4，
P(X＝0)＝×××＝，
P(X＝1)＝××××＋××××＝，
P(X＝2)＝×××＋×××××＋×××＝，
P(X＝3)＝××××＋××××＝，
P(X＝4)＝×××＝，
所以X的分布列为
X 0 1 2 3 4
P
所以EX＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＝.
19.(17分)中国结是一种手工编制工艺品，因其外观对称精致，符合中国传统装饰的审美观念，广受中国人喜爱.它有着复杂奇妙的曲线，却可以还原成单纯的二维线条，其中的“八字结”对应着数学曲线中的伯努利双纽线.在xOy平面上，我们把与定点F1，F2距离之积等于a2的动点的轨迹称为伯努利双纽线，F1，F2为该曲线的两个焦点.数学家雅各布 伯努利曾将该曲线作为椭圆的一种类比开展研究.已知曲线C：＝9是一条伯努利双纽线.
(1)求曲线C的焦点F1，F2的坐标；
(2)试判断曲线C上是否存在两个不同的点A，B(异于坐标原点O)，使得以AB为直径的圆过坐标原点O.如果存在，求出A，B坐标；如果不存在，请说明理由.
解：(1)法一：设焦点F1，F2，
曲线C：＝9与x轴正半轴交于点P，
由题意知＝＝9－a2＝a2，
于是a2＝，a＝，
因此F1，F2.
法二：设焦点F1，F2，
由题意知＝a4，
即[(x2＋a2＋y2)＋2ax][(x2＋a2＋y2)－2ax]＝a4，
整理得＝2a2，于是a2＝，a＝.
因此，F1，F2.
(2)假设曲线C上存在两点A，B，使得以AB为直径的圆过坐标原点O，即OA⊥OB，
由题意知直线OA，OB斜率均存在，
不妨设直线OA的方程为y＝k1x，直线OB的方程为y＝k2x，
将直线OA的方程与曲线C联立，得x4＝9x2，由x≠0，即x2＝＞0.
解得－1＜k1＜1，同理－1＜k2＜1，
因此k1k2＝－1不可能成立，于是假设不成立，
即曲线C上不存在两点A，B，使得以AB为直径的圆过坐标原点O.
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