(共97张PPT)
章末综合提升
第二章 圆锥曲线
体 系 构 建
返回
分 层 探 究
探究点一 圆锥曲线的定义与应用
(1)(多选题)已知平面上点A(－2，0)，B(2，0)，动点M(x，y)，以下叙述正确的是
A.若｜MA｜2－｜MB｜2＝3，则M的轨迹是一条直线
B.若｜MA｜－｜MB｜＝4，则M的轨迹是双曲线的一支
C.若｜MA｜＝k｜MB｜(k为正常数，且k≠1)，则M的轨迹一定是圆
D.若｜MA｜＋｜MB｜＝8，则M的轨迹是椭圆
典例
1
√
√
√
(2)已知平面内两点F1(－1，2)，F2(3，5)，且动点M满足｜MF1｜－｜MF2｜＝5，则M的轨迹为 .
一条射线
规律方法
1.涉及椭圆、双曲线上的点与两个定点构成的三角形问题时，常用定义结合图形解题.
2.求抛物线的最值问题时，常利用定义把抛物线上一点到焦点的距离转化为到准线的距离，结合几何图形解题.
√
(2)已知动圆C与圆C1：(x－3)2＋y2＝4，圆C2：(x＋3)2＋y2＝4中的一个外
切、一个内切，则动圆圆心C的轨迹方程为 .
设动圆圆心C的坐标为(x，y)，半径为r，由圆C1：(x－3)2＋y2＝4，可得圆心C1(3，0)，半径r1＝2，由圆C2：(x＋3)2＋y2＝4，可得圆心C2(－3，0)，半径r2＝2.
典例
2
规律方法
√
典例
3
√
规律方法
求解离心率的三种方法
1.定义法：这是基本且常用的方法.
2.齐次式法：建立参数a与c之间的齐次关系式，这是求离心率的十分重要的思路及方法.
3.几何法：求与过焦点的三角形有关的离心率问题，根据平面几何性质以及椭圆(双曲线)的定义、几何性质，建立参数之间的关系，通过画出图形，观察线段之间的关系，使问题更形象、
直观.
√
典例
4
规律方法
1.直线与圆锥曲线的位置关系可以通过代数法判断.
2.一元二次方程的判别式Δ、弦长公式是代数法解决问题的常用工具.
探究点五 圆锥曲线的综合问题
已知抛物线C：x2＝－2py(p＞0)经过点(2，－1).
(1)求抛物线C的方程及其准线方程；
解：由抛物线C：x2＝－2py经过点(2，－1)得p＝2.
所以抛物线C的方程为x2＝－4y，
其准线方程为y＝1.
典例
5
规律方法
圆锥曲线的综合问题可以从分析问题的数量关系入手，利用直线系或曲线系方程或函数方程思想，通过联想与类比的方法解决此类问题.
返回
考 教 衔 接
真题
1
√
真题
2
√
溯源(北师版P56例7)如图，点P是圆O：x2＋y2＝4上的动点，作PH⊥x轴于点H，求线段PH的中点M的轨迹方程，并指出该轨迹是什么图形.
点评：两题都是考查圆锥曲线的轨迹问题，高考题源于教材，是教材的完美变式.通过本题可知，平时学习回归教材的重要性，熟练掌握教材内容是解决问题的关键.要做到对教材解法的挖掘、教材模型的探究、教材素材的拓展.
真题
3
真题
4
返回
单 元 检 测 卷
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
12.在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线的渐近线方程为y＝±x，且双曲
线的一个焦点与抛物线x2＝8y的焦点重合，则该双曲线的方程为 .
.
＝1
13
4
17.(15分)如图，是抛物线型拱桥，当水面在l时，
水面宽16米，拱桥顶部离水面8米.
(1)当拱顶离水面2米时，水面宽多少米？
解：如图所示，建立平面直角坐标系xOy，设抛物
线型拱桥的方程为x2＝ay(a＜0)，
由题意，可知抛物线经过点G(8，－8)，代入抛物线方程可得64＝－8a，即得a＝－8，
所以抛物线方程为x2＝－8y.
当拱顶离水面2米时，即y＝－2，代入抛物线方程可得x＝±4，即水面宽为8米.
返回章末综合提升
探究点一 圆锥曲线的定义与应用
(1)(多选题)已知平面上点A(－2，0)，B(2，0)，动点M(x，y)，以下叙述正确的是( )
A.若｜MA｜2－｜MB｜2＝3，则M的轨迹是一条直线
B.若｜MA｜－｜MB｜＝4，则M的轨迹是双曲线的一支
C.若｜MA｜＝k｜MB｜(k为正常数，且k≠1)，则M的轨迹一定是圆
D.若｜MA｜＋｜MB｜＝8，则M的轨迹是椭圆
(2)已知平面内两点F1(－1，2)，F2(3，5)，且动点M满足｜MF1｜－｜MF2｜＝5，则M的轨迹为 .
答案：(1)ACD (2)一条射线
解析：(1)对于A，根据题意可得(x＋2)2＋y2－＝3，整理可得x＝，故M的轨迹是一条直线，故A正确；对于B，｜MA｜－｜MB｜＝4＝｜AB｜，故点M的轨迹是一条射线，不满足双曲线定义，故B错误；对于C，｜MA｜＝k｜MB｜(k≠1，k＞0)，即(x＋2)2＋y2＝k2，整理可得＋y2＝，其表示圆心为，半径为的圆，故C正确；对于D，｜MA｜＋｜MB｜＝8＞｜AB｜，故其轨迹是以A，B为焦点，且长轴长为8的椭圆，故D正确.故选ACD.
(2)由｜F1F2｜＝＝5，｜MF1｜－｜MF2｜＝｜F1F2｜.又｜MF1｜＞｜MF2｜，故M的轨迹为一条射线.
1.涉及椭圆、双曲线上的点与两个定点构成的三角形问题时，常用定义结合图形解题.
2.求抛物线的最值问题时，常利用定义把抛物线上一点到焦点的距离转化为到准线的距离，结合几何图形解题.
对点练1.(1)(2023·全国甲卷)设F1，F2为椭圆C：＋y2＝1的两个焦点，点P在C上，若·＝0，则｜PF1｜·｜PF2｜＝( )
A.1 B.2
C.4 D.5
(2)已知动圆C与圆C1：(x－3)2＋y2＝4，圆C2：(x＋3)2＋y2＝4中的一个外切、一个内切，则动圆圆心C的轨迹方程为 .
答案：(1)B (2)－＝1
解析：(1)法一：因为·＝0，所以∠F1PF2＝90°，从而＝b2tan 45°＝1＝×｜PF1｜·｜PF2｜，所以｜PF1｜·｜PF2｜＝2.故选B.
法二：因为·＝0，所以∠F1PF2＝90°，由椭圆方程可知，c2＝5－1＝4 c＝2，所以｜PF1｜2＋＝｜F1F2｜2＝42＝16，又｜PF1｜＋｜PF2｜＝2a＝2，平方得：｜PF1｜2＋｜PF2｜2＋2｜PF1｜·｜PF2｜＝16＋2｜PF1｜·｜PF2｜＝20，所以｜PF1｜·｜PF2｜＝2.故选B.
(2)设动圆圆心C的坐标为(x，y)，半径为r，由圆C1：(x－3)2＋y2＝4，可得圆心C1(3，0)，半径r1＝2，由圆C2：(x＋3)2＋y2＝4，可得圆心C2(－3，0)，半径r2＝2.根据题意，可得－＝4或－＝－4，可得｜｜CC1｜－｜CC2｜｜＝4，又因为｜C1C2｜＝6，可得｜｜CC1｜－｜CC2｜｜＝4＜＝6，根据双曲线的定义，可得点C的轨迹为以C1，C2为焦点的双曲线，且2a＝4，2c＝6，所以a＝2，c＝3，则b＝＝，所以所求动圆圆心C的轨迹方程为－＝1.
探究点二 圆锥曲线的标准方程
(1)已知抛物线y2＝8x的准线过双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的一个焦点，且双曲线的离心率为2，则该双曲线的方程为 .
答案：x2－＝1
解析：由题意得则b2＝c2－a2＝3，因此双曲线的方程为x2－＝1.
(2)在圆x2＋y2＝4上任取一点P，设点P在x轴上的正投影为点D.当点P在圆上运动时，动点M满足＝2，动点M形成的轨迹为曲线C.求曲线C的方程.
解：法一：由＝2，知点M为线段PD的中点，设点M的坐标为(x，y)，
则点P的坐标为(x，2y).
因为点P在圆x2＋y2＝4上，
所以x2＋(2y)2＝4，
所以曲线C的方程为＋y2＝1.
法二：设点M的坐标为(x，y)，点P的坐标为(x0，y0)，则D(x0，0)，由＝2，得x0＝x，y0＝2y，
因为点P(x0，y0)在圆x2＋y2＝4上，
所以＋＝4，(*)
把x0＝x，y0＝2y代入(*)式，得x2＋4y2＝4，
所以曲线C的方程为＋y2＝1.
求圆锥曲线方程的步骤
第一步(定位)：指的是圆锥曲线的焦点位置与对称轴的位置.根据“位”设方程的形式，例如焦点在x轴上的椭圆可设为＋＝1(a＞b＞0)，焦点在y轴上的椭圆可设为＋＝1(a＞b＞0)，焦点不确定在哪个坐标轴上就设mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0)；
第二步(定量)：由题设中的条件找到“式”中待定系数的等量关系，通过解方程组得到量的大小.
对点练2.(1)设双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，O为坐标原点.以F1F2为直径的圆与双曲线的右支交于P点，且以OF2为直径的圆与直线PF1相切，若｜PF1｜＝8，双曲线C与抛物线y2＝2px有共同的焦点F2，则抛物线的标准方程为( )
A.y2＝12x B.y2＝12x
C.y2＝6x D.y2＝6x
(2)若双曲线C与－y2＝1有共同的渐近线，且与椭圆＋＝1有相同的焦点，则该双曲线C的方程为 .
答案：(1)A (2)－＝1
解析：(1)依题意知PF1⊥PF2，设以OF2为直径的圆与直线PF1相切于点N，圆心为M，如图所示，则MN⊥PF1，因此Rt△PF1F2∽Rt△NF1M，所以＝.设双曲线的焦距为2c，则＝，解得｜PF2｜＝.由勾股定理可得｜PF1｜＝＝＝，于是＝8，c＝3.又因为双曲线C与抛物线y2＝2px有共同的焦点F2，则＝3，所以2p＝12，即抛物线方程为y2＝12x.故选A.
(2)双曲线－y2＝1的渐近线方程为y＝±x，由椭圆＋＝1，则其焦点为(±2，0).由题意可知，双曲线C的标准方程可设为－＝1，则则双曲线C的标准方程为－＝1.
探究点三 圆锥曲线的几何性质
(1)(2021·新高考Ⅱ卷)已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的离心率e＝2，则双曲线C的渐近线方程为 .
(2)(2021·全国乙卷)设B是椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的上顶点，若C上的任意一点P都满足｜PB｜≤2b，则C的离心率的取值范围是( )
A. B.
C. D.
答案：(1)y＝±x (2)C
解析：(1)因为双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的离心率为2，所以e＝＝＝2，所以＝3，所以该双曲线的渐近线方程为y＝±x＝±x.
(2)设P(x0，y0)，由B(0，b)，因为＋＝1，a2＝b2＋c2，所以｜PB｜2＝＋(y0－b)2＝a2＋(y0－b)2＝－＋＋a2＋b2.因为－b≤y0≤b，当－≤－b，即b2≥c2时，｜PB＝4b2，即｜PB｜max＝2b，符合题意，由b2≥c2可得a2≥2c2，即0＜e≤；当－＞－b，即b2＜c2时，｜PB＝＋a2＋b2，即＋a2＋b2≤4b2，化简得(c2－b2)2≤0，显然该不等式不成立.故选C.
求解离心率的三种方法
1.定义法：这是基本且常用的方法.
2.齐次式法：建立参数a与c之间的齐次关系式，这是求离心率的十分重要的思路及方法.
3.几何法：求与过焦点的三角形有关的离心率问题，根据平面几何性质以及椭圆(双曲线)的定义、几何性质，建立参数之间的关系，通过画出图形，观察线段之间的关系，使问题更形象、直观.
对点练3.已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的半焦距是c，A，B分别是长轴、短轴的一个端点，O为原点，若△ABO的面积是c2，则此椭圆的离心率是( )
A. B.
C. D.
答案：A
解析：由ab＝c2，即a2(a2－c2)＝12c4，所以(a2＋3c2)(a2－4c2)＝0，所以a2＝4c2，a＝2c，故e＝＝.故选A.
探究点四 直线与圆锥曲线的位置关系
已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)经过点(0，)，离心率为，左、右焦点分别为F1(－c，0)，F2(c，0).
(1)求椭圆的方程；
(2)若直线l：y＝－x＋m与椭圆交于A，B两点，与以F1F2为直径的圆交于C，D两点，且满足＝，求直线l的方程.
解：(1)由题意知
解得a＝2，b＝，c＝1，
所以椭圆的方程为＋＝1.
(2)由(1)知，以F1F2为直径的圆的方程为x2＋y2＝1，
所以圆心到直线l的距离d＝，
由d＜1，得｜m｜＜.①
所以｜CD｜＝2＝2＝.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由得x2－mx＋m2－3＝0，
Δ＝m2－4(m2－3)＝12－3m2＞0.②
由根与系数的关系可得x1＋x2＝m，x1x2＝m2－3.
所以｜AB｜＝＝.
由＝，得＝1，
解得m＝±，满足①②.
所以直线l的方程为y＝－x＋或y＝－x－.
1.直线与圆锥曲线的位置关系可以通过代数法判断.
2.一元二次方程的判别式Δ、弦长公式是代数法解决问题的常用工具.
对点练4.已知椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)，其焦点为F1，F2，离心率为，直线l：x＋2y－2＝0与x轴，y轴分别交于点A，B.
(1)若点A是椭圆E的一个顶点，求椭圆E的方程；
(2)若线段AB上存在点P满足｜PF1｜＋｜PF2｜＝2a，求实数a的取值范围.
解：(1)由椭圆的离心率为，得a＝c，
由A(2，0)，得a＝2，
所以c＝，b＝，
所以椭圆E的方程为＋＝1.
(2)由e＝，得椭圆方程为＋＝1，
联立化简、整理得6y2－8y＋4－a2＝0.
若线段AB上存在点P满足｜PF1｜＋｜PF2｜＝2a，
则线段AB与椭圆E有公共点，等价于方程6y2－8y＋4－a2＝0在y∈[0，1]上有解.
设f(y)＝6y2－8y＋4－a2，
所以
所以≤a2≤4，
所以实数a的取值范围为.
探究点五 圆锥曲线的综合问题
已知抛物线C：x2＝－2py(p＞0)经过点(2，－1).
(1)求抛物线C的方程及其准线方程；
(2)设O为原点，过抛物线C的焦点作斜率不为0的直线l交抛物线C于两点M，N，直线y＝－1分别交直线OM，ON于点A和点B.求证：以AB为直径的圆经过y轴上的两个定点.
解：(1)由抛物线C：x2＝－2py经过点(2，－1)得p＝2.
所以抛物线C的方程为x2＝－4y，
其准线方程为y＝1.
(2)证明：抛物线C的焦点为F(0，－1).
设直线l的方程为y＝kx－1(k≠0).
由
得x2＋4kx－4＝0.
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1x2＝－4.
直线OM的方程为y＝x.
令y＝－1，得点A的横坐标xA＝－，
同理得B的横坐标xB＝－.
设点D(0，n)，则＝，＝(－，－1－n)，·＝＋(n＋1)2＝＋(n＋1)2＝＋(n＋1)2＝－4＋(n＋1)2.
令·＝0，即－4＋(n＋1)2＝0，得n＝1或n＝－3.
综上，以AB为直径的圆经过y轴上的定点(0，1)和(0，－3).
圆锥曲线的综合问题可以从分析问题的数量关系入手，利用直线系或曲线系方程或函数方程思想，通过联想与类比的方法解决此类问题.
对点练5.双曲线C：－＝1(a＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F2作与x轴垂直的直线交双曲线C于A，B两点，△F1AB的面积为12，抛物线E：y2＝2px(p＞0)以双曲线C的右顶点为焦点.
(1)求抛物线E的方程；
(2)如图，点P(t≠0)为抛物线E的准线上一点，过点P作y轴的垂线交抛物线于点M，连接PO并延长交抛物线于点N，求证：直线MN过定点.
解：(1)设F2(c，0)(c＞0)，则c＝，
令x＝c，代入C的方程，得＝.
所以＝×2c×2＝＝12，
所以a＝1，
故＝a＝1，即p＝2.
所以抛物线E的方程为y2＝4x.
(2)证明：由(1)知P(－1，t)(t≠0)，则M.
直线PO的方程为y＝－tx，代入抛物线E的方程有N.
当t2≠4时，kMN＝＝，
所以直线MN的方程为y－t＝，
即y＝(x－1).
所以此时直线MN过定点(1，0).
当t2＝4时，直线MN的方程为x＝1，此时仍过点(1，0).
综上，直线MN过定点(1，0).
(2024·全国甲卷)已知双曲线的两个焦点分别为(0，4)，(0，－4)，点(－6，4)在该双曲线上，则该双曲线的离心率为( )
A.4 B.3
C.2 D.
答案：C
解析：根据焦点坐标可知c＝4，根据焦点在y轴上，可设双曲线的方程为－＝1(a＞0，b＞0)，则所以离心率e＝＝2.
溯源(北师版P67练习T2(2))求下列双曲线的实轴和虚轴的长、顶点的坐标、离心率和渐近线方程，并画出双曲线的草图：－＝1.
点评：两题都是考查焦点在y轴上的双曲线的离心率问题.在本章中，椭圆、双曲线的离心率问题(尤其双曲线)都是高考常考的核心概念，一定要熟练掌握求离心率的方法.高考题符合“依标命题、源于教材”的命题理念，在学习中要重视教材，回归课堂，要与教材和课堂同向同行、同频共振.
(2024·新课标Ⅱ卷)已知曲线C：x2＋y2＝16(y＞0)，从C上任意一点P向x轴作垂线段PP'，P'为垂足，则线段PP'的中点M的轨迹方程为( )
A.＋＝1(y＞0) B.＋＝1(y＞0)
C.＋＝1(y＞0) D.＋＝1(y＞0)
答案：A
解析：设点M(x0，y0)，则P(x0，2y0)，因为点P在曲线C上，所以＋＝16(y0＞0)，即＋＝1(y0＞0)，所以线段PP'的中点M的轨迹方程为＋＝1(y＞0).故选A.
溯源(北师版P56例7)如图，点P是圆O：x2＋y2＝4上的动点，作PH⊥x轴于点H，求线段PH的中点M的轨迹方程，并指出该轨迹是什么图形.
点评：两题都是考查圆锥曲线的轨迹问题，高考题源于教材，是教材的完美变式.通过本题可知，平时学习回归教材的重要性，熟练掌握教材内容是解决问题的关键.要做到对教材解法的挖掘、教材模型的探究、教材素材的拓展.
(2024·北京卷)若直线y＝k(x－3)与双曲线－y2＝1只有一个公共点，则k的一个取值为 .
答案：(或－)
解析：由题意，知该双曲线的渐近线方程为y＝±x，直线y＝k(x－3)过定点(3，0).因为点(3，0)在双曲线内，所以要使过该点的直线与双曲线只有一个公共点，则该直线与双曲线的渐近线平行，所以k＝±(任答一个即可).
溯源(北师版P80练习T1)已知直线l：y＝kx－1与双曲线C：－＝1有且只有一个公共点，求实数k的值.
点评：两题都是考查直线与双曲线的位置关系中只有一个公共点问题.与真题2一样，基本上都是教材的原题，再次证明教材是高考题的源和流，是学生发展成长之源，是学习之本，回归教材才是“以不变应万变”的最佳学习策略.同时通过这两题要熟练掌握直线与圆锥曲线位置关系的解题方法.
(2023·全国甲卷)已知直线x－2y＋1＝0与抛物线C：y2＝2px(p＞0)交于A，B两点，｜AB｜＝4.
(1)求p；
(2)设F为C的焦点，M，N为C上两点，且·＝0，求△MFN面积的最小值.
解：(1)设A(xA，yA)，B(xB，yB)，
由可得y2－4py＋2p＝0，
所以yA＋yB＝4p，yAyB＝2p，
所以｜AB｜＝＝｜yA－yB｜＝×＝4，
即2p2－p－6＝0，因为p＞0，解得p＝2.
(2)因为F(1，0)，显然直线MN的斜率不可能为零，
设直线MN：x＝my＋n，M(x1，y1)，N(x2，y2)，
由可得y2－4my－4n＝0，
所以y1＋y2＝4m，y1y2＝－4n，
Δ＝16m2＋16n＞0 m2＋n＞0.
因为·＝0，所以(x1－1)(x2－1)＋y1y2＝0，
即(my1＋n－1)(my2＋n－1)＋y1y2＝0，
亦即(m2＋1)y1y2＋m(n－1)(y1＋y2)＋(n－1)2＝0，
将y1＋y2＝4m，y1y2＝－4n代入得，
4m2＝n2－6n＋1，即4(m2＋n)＝(n－1)2＞0，
所以n≠1，且n2－6n＋1≥0，解得n≥3＋2或n≤3－2.
设点F到直线MN的距离为d，所以d＝，
｜MN｜＝＝｜y1－y2｜＝
＝＝2｜n－1｜，
所以△MFN的面积S＝×d×｜MN｜＝××2｜n－1｜＝(n－1)2，
而n≥3＋2或n≤3－2，
所以当n＝3－2时，△MFN的面积Smin＝(2－2)2＝12－8.
溯源(北师版P90 B组T5)已知点F1，F2分别为椭圆＋＝1的左、右焦点，直线l经过点F2，且与椭圆交于M，N两点，求△MF1N面积的最大值，并求此时的直线l的方程.
点评：两题都是以三角形面积的最值问题为切入点命制的题目，从这个角度看，两题具有关联性，又高考题还涉及向量等有关内容，加大了综合性的考查.在解析几何的学习中，要注重多想少算、通性通法和转化与化归思想的运用.
单元检测卷(二) 圆锥曲线
(时间：120分钟 满分：150分)
一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)
1.已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的离心率为，则C的渐近线方程为( )
A.y＝±x B.y＝±x
C.y＝±x D.y＝±x
答案：C
解析：由e＝＝＝，得＝，即＝，故渐近线方程为y＝±x＝±x.故选C.
2.已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，直线y＝2x－4与C交于A，B两点，则cos ∠AFB等于( )
A. B.
C.－ D.－
答案：D
解析：由令B(1，－2)，A(4，4)，又F(1，0)，所以由两点间距离公式得｜BF｜＝2，｜AF｜＝5，｜AB｜＝3.所以cos∠AFB＝＝＝－.故选D.
3.直线x－y＋＝0经过椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左焦点F，交椭圆于A，B两点，交y轴于C点，若＝2，则该椭圆的离心率是( )
A.－1 B.
C.2－2 D.－1
答案：A
解析：由题意知，直线x－y＋＝0经过椭圆的左焦点F，令y＝0，解得x＝－，所以c＝，即椭圆的左焦点为F(－，0)，且a2－b2＝3 ①，直线交y轴于C(0，1)，所以＝，＝1，＝2，因为＝2，所以＝3，所以A，又由点A在椭圆上，得＋＝4 ②，由①②，可得4a4－24a2＋9＝0，解得a2＝，所以e2＝＝(－1)2，所以椭圆的离心率为e＝－1.故选A.
4.已知抛物线y2＝2px(p＞0)上一点M(1，m)(m＞0)到其焦点的距离为5，双曲线－y2＝1的左顶点为A，若双曲线的一条渐近线与直线AM平行，则实数a的值为( )
A. B.
C. D.
答案：C
解析：根据题意，抛物线y2＝2px(p＞0)上一点M(1，m)(m＞0)到其焦点的距离为5，则点M到抛物线的准线x＝－的距离也为5，即1＋＝5，解得p＝8，所以抛物线的方程为y2＝16x，则m2＝16，所以m＝4，即M的坐标为(1，4).又双曲线－y2＝1的左顶点A(－a，0)，一条渐近线为y＝x，而kAM＝.由双曲线的一条渐近线与直线AM平行，则有＝，解得a＝.故选C.
5.黄金分割是指将整体一分为二，较大部分与整体部分的比值等于较小部分与较大部分的比值，其比值为，把称为黄金分割数.已知双曲线－＝1的实轴长与焦距的比值恰好是黄金分割数，则m的值为( )
A.2－2 B.＋1
C.2 D.2
答案：A
解析：由题意得，在双曲线中a2＝(－1)2，b2＝m，所以c2＝a2＋b2＝(－1)2＋m.因为双曲线的实轴长与焦距的比值为黄金分割数，所以＝＝，所以＝，即＝()2，解得m＝2－2.故选A.
6.已知双曲线C1：－＝1(a＞0，b＞0)的一个焦点F与抛物线C2：y2＝2px(p＞0)的焦点相同，C1与C2交于A，B两点，且直线AB过点F，则双曲线C1的离心率为( )
A. B.
C.2 D.＋1
答案：D
解析：由图形的对称性及题设条件知AF⊥x轴，且c＝，p＝2c，不妨设交点A，y1＞0，代入y2＝2px可得y1＝p，故A－＝1，即e2－1＝，也即e2－1＝，由此可得(e2－1)2＝4e2，即e2－1＝2e，也即(e－1)2＝2，所以e＝＋1.故选D.
7.已知中心在坐标原点的椭圆与双曲线有公共焦点，且左、右焦点分别为F1，F2.这两条曲线在第一象限的交点为P，△PF1F2是以PF1为底边的等腰三角形.若｜PF1｜＝10，记椭圆与双曲线的离心率分别为e1，e2，则e1·e2的取值范围是( )
A. B.
C. D.(0，＋∞)
答案：C
解析：设椭圆和双曲线的半焦距为c，｜PF1｜＝m，｜PF2｜＝n(m＞n)，由于△PF1F2是以PF1为底边的等腰三角形，若｜PF1｜＝10，即有m＝10，n＝2c，由椭圆的定义可得m＋n＝2a1，由双曲线的定义可得m－n＝2a2，即a1＝5＋c，a2＝5－c(c＜5)，再由三角形的两边之和大于第三边，可得2c＋2c＞10，可得c＞，即有＜c＜5，由离心率公式可得e1·e2＝·＝＝，由于1＜＜4，则有＞，则e1·e2的取值范围是.故选C.
8.过双曲线－＝1的右支上一点P，如图，分别向☉C1：(x＋4)2＋y2＝3和☉C2：(x－4)2＋y2＝1作切线，切点分别为M，N，则(＋)·的最小值为( )
A.28 B.29
C.30 D.32
答案：C
解析：设P(x0，y0)(x0≥2)，由题意知C1(－4，0)，C2(4，0)，则(＋)·＝(＋)·(－)＝－＝(－3)－(－1)＝－－2＝(x0＋4)2＋－[(x0－4)2＋]－2＝16x0－2≥16×2－2＝30.故选C.
优解：由双曲线定义知，－＝2×2＝4，所以－－2＝(＋)(－)－2＝4(＋)－2≥4－2＝4×8－2＝30.故选C.
二、多项选择题(本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.)
9.若方程＋＝1所表示的曲线为C，则下面四个命题中正确的是( )
A.若1＜t＜5，则C为椭圆
B.若t＜1，则C为双曲线
C.若C为双曲线，则焦距为4
D.若C为焦点在y轴上的椭圆，则3＜t＜5
答案：BD
解析：由题意知，若方程＋＝1表示椭圆，则满足解得1＜t＜3或3＜t＜5.对于A，当t＝3时，此时方程x2＋y2＝2表示圆，故A错误；当方程＋＝1表示焦点在y轴上的椭圆，则满足解得3＜t＜5，故D正确；对于B，当t＜1时，5－t＞0，t－1＜0，此时表示焦点在x轴上的双曲线，故B正确；对于C，当t＝0时，方程－＝1，此时双曲线的焦距为2，故C错误.故选BD.
10.如图，某探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点P变轨进入以月球球心F为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在点P第二次变轨进入仍以F为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行，最终卫星在点P第三次变轨进入以F为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月飞行，若用2c1和2c2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用2a1和2a2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴长，则下列式子正确的是( )
A.a1－c1＝a2－c2 B.a1＋c1＝a2＋c2
C.＜ D.c1a2＞a1c2
答案：AD
解析：观察给定图形，由｜PF｜＝a1－c1及｜PF｜＝a2－c2得a1－c1＝a2－c2，故A正确；由a1＞a2，c1＞c2，得a1＋c1＞a2＋c2，故B不正确；因为a1－c1＝a2－c2，即a1＋c2＝a2＋c1，有(a1＋c2)2＝(a2＋c1)2，得－＋2a1c2＝－＋2a2c1，令＝－(b1＞0)，＝－(b2＞0)，即有＋2a1c2＝＋2a2c1，由给定轨道图知，b1＞b2，因此，c1a2＞a1c2，故D正确；而c1a2＞a1c2 ＞，故C不正确.故选AD.
11.已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，准线为l，经过点F且斜率为的直线与抛物线C交于A，B两点(点A在第一象限)，若｜AF｜＝4，D(0，1)，则以下结论正确的是( )
A.p＝4
B.｜AF｜＝3｜BF｜
C.若E为C上的动点，其在l上的射影为E1，则｜ED｜＋≥
D.过点D且与C有且仅有一个公共点的直线有3条
答案：BCD
解析：对于A，因为F，直线的斜率为，则设直线l的方程为y＝，联立得12x2－20px＋3p2＝0，解得xA＝，xB＝，由｜AF｜＝xA＋＝2p＝4，得p＝2，故A错误；对于B，由于｜BF｜＝xB＋＝p，则｜AF｜＝3｜BF｜，故B正确；对于C，如图所示，抛物线C：y2＝4x的焦点为F(1，0)，｜ED｜＋＝｜ED｜＋｜EF｜≥｜DF｜＝，当且仅当D，E，F三点共线时取等号，故C正确；对于D，当直线斜率不存在时，直线方程为x＝0，与抛物线只有一个公共点；当直线斜率存在时，设直线方程为y＝kx＋1，联立消去x得ky2－4y＋4＝0，当k＝0时，方程的解为y＝1，此时直线与抛物线只有一个交点；当k≠0时，则Δ＝16－16k＝0，解得k＝1，综上所述，过点D与C有且仅有一个公共点的直线有3条，故D正确.故选BCD.
三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，将答案填在题中的横线上.)
12.在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线的渐近线方程为y＝±x，且双曲线的一个焦点与抛物线x2＝8y的焦点重合，则该双曲线的方程为 .
答案：－＝1
解析：由题意知，抛物线x2＝8y的焦点坐标为(0，2)，故双曲线的一个焦点为(0，2)，所以双曲线的实轴在y轴上.由双曲线的渐近线方程为y＝±x，可设该双曲线的方程为y2－x2＝m(m＞0)，所以＝2，解得m＝2，于是双曲线的方程为－＝1.
13.已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)，C的上顶点为A，两个焦点为F1，F2，离心率为.过F1且垂直于AF2的直线与C交于D，E两点，｜DE｜＝6，则△ADE的周长是 .
答案：13
解析：因为椭圆的离心率为e＝＝，所以a＝2c，所以b2＝a2－c2＝3c2，所以椭圆的方程为＋＝1，即3x2＋4y2－12c2＝0，不妨设左焦点为F1，右焦点为F2，如图所示，因为AF2＝a，OF2＝c，a＝2c，所以∠AF2O＝，所以△AF1F2为正三角形，因为过F1且垂直于AF2的直线与C交于D，E两点，DE为线段AF2的垂直平分线，所以直线DE的斜率为，斜率倒数为，直线DE的方程x＝y－c，代入椭圆方程3x2＋4y2－12c2＝0，整理化简得13y2－6cy－9c2＝0，判别式Δ＝(－6c)2＋4×13×9c2＝62×16×c2，所以＝＝2×＝2×6×4×＝6，所以c＝，得a＝2c＝，因为DE为线段AF2的垂直平分线，根据对称性，AD＝DF2，AE＝EF2，所以△ADE的周长等于△F2DE的周长，利用椭圆的定义得到△F2DE的周长为｜DF2｜＋｜EF2｜＋｜DE｜＝｜DF2｜＋｜EF2｜＋｜DF1｜＋｜EF1｜＝｜DF1｜＋｜DF2｜＋｜EF1｜＋｜EF2｜＝2a＋2a＝4a＝13，故△ADE的周长为13.
14.已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的上、下焦点分别为F1，F2，过F1且垂直于y轴的直线与C交于A，B两点，直线AF2，BF2分别交x轴于点C，D，若＋＝12，则过点M(a，b2)，N(－2，0)的直线的斜率的最大值为 .此时双曲线的离心率为 .
答案：4
解析：由题意得＝，＝，因为＋＝12，所以＋＝24，根据双曲线的定义可知＝＋2a，＝＋2a，所以＋＋4a＝24，即＋4a＝24 ＋4a＝24，整理为b2＝12a－2a2＞0，解得0＜a＜6，kMN＝＝＝＝－2(a＋2)－＋20＝－2＋20≤－4＋20＝4，当a＋2＝时，即a＝2时等号成立，所以kMN的最大值为4；此时a＝2，b2＝16，则c2＝a2＋b2＝20，此时双曲线的离心率e＝＝.
四、解答题(本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
15.(13分)已知A(－2，0)，B(2，0)，P是动点，且直线AP与BP的斜率之积等于.
(1)求动点P的轨迹方程；
(2)若点O为坐标原点，当｜OP｜＝时，求第二象限点P的坐标.
解：(1)设点P的坐标为(x，y)，
由题意得·＝(x≠±2)，
化简得－＝1(x≠±2).
故动点P的轨迹方程为－＝1(x≠±2).
(2)因为｜OP｜＝＝，故x2＋y2＝.①
又由(1)知－＝1，②
由①②得 又点P在第二象限内，
所以点P的坐标为(－，).
16.(15分)已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)经过点A(2，1)，离心率为，过点B(3，0)的直线l与椭圆交于不同的两点M，N.
(1)求椭圆的方程；
(2)若｜MN｜＝，求直线MN的方程.
解：(1)由题意有＋＝1，e＝＝，
a2－b2＝c2，
解得a＝，b＝，c＝，
所以椭圆的方程为＋＝1.
(2)由直线MN过点B且与椭圆有两交点，则直线MN的斜率必存在.
可设直线MN的方程为y＝k(x－3)，
代入椭圆方程整理得(2k2＋1)x2－12k2x＋18k2－6＝0，
Δ＝24－24k2＞0，得k2＜1.
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，
则x1＋x2＝，x1x2＝，
｜MN｜＝
＝
＝＝，
解得k＝±，满足k2＜1，
所以所求直线方程为y＝±(x－3).
17.(15分)如图，是抛物线型拱桥，当水面在l时，水面宽16米，拱桥顶部离水面8米.
(1)当拱顶离水面2米时，水面宽多少米？
(2)现有一艘船，可近似为长方体的船体高4.2米，吃水深2.7米(即水面上部分高1.5米)，船体宽为12米，前后长为80米，若河水足够深，要使这艘船能安全通过，则水面宽度至少应为多少米？(计算结果保留至小数点后一位，参考数据：≈1.732)
解：(1)如图所示，建立平面直角坐标系xOy，设抛物线型拱桥的方程为x2＝ay(a＜0)，
由题意，可知抛物线经过点G(8，－8)，代入抛物线方程可得64＝－8a，即得a＝－8，
所以抛物线方程为x2＝－8y.
当拱顶离水面2米时，即y＝－2，代入抛物线方程可得x＝±4，即水面宽为8米.
(2)由于船体宽12米，则当船体恰好能通过时，令x＝6，
代入抛物线方程中，则36＝－8y，
解得y＝－4.5，
即拱顶与船顶的最近距离为4.5米.
又因为船在水面上部分高为1.5米，
故拱顶离水面6米.
在抛物线方程x2＝－8y中，令y＝－6，
则x＝±4，
故2＝8≈13.9，
所以水面宽度至少应为13.9米.
18.(17分)已知双曲线Γ：－＝1(a＞0，b＞0)，其渐近线方程为x±2y＝0，点(2，1)在Γ上.
(1)求双曲线Γ的方程；
(2)过点A(2，0)的两条直线AP，AQ分别与双曲线Γ交于P，Q两点(不与点A重合)，且两条直线的斜率之和为1，求证：直线PQ过定点.
解：(1)因为a＞0，b＞0，依题意，得
解得a＝2，b＝1，
所以双曲线Γ的方程为－y2＝1.
(2)证明：依题意可知PQ斜率存在，设方程为y＝kx＋m，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，如图所示，
由 (1－4k2)x2－8kmx－4m2－4＝0，
则Δ＝64k2m2＋4(1－4k2)(4m2＋4)＞0，即m2＋1－4k2＞0①，
所以
设直线AP，AQ的斜率分别为k1，k2，
由题意知k1＋k2＝1，
故有k1＋k2＝＋
＝
＝＝1，
即－4(2k＋m)＋4(m2＋4km＋4k2)＝0，
整理得(m＋2k)(m＋2k－1)＝0.
当m＋2k＝0 PQ：y＝kx－2k，过A(2，0)舍去，
当m＋2k－1＝0 PQ：y＝kx－2k＋1，过点(2，1)，
此时，将m＝1－2k代入①得(1－2k)2＋1－4k2＝2－4k＞0，得k＜，满足题意.
所以直线PQ过定点(2，1).
19.(17分)已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，左、右焦点分别是为F1，F2，上顶点为P，且＝4.
(1)求C的标准方程；
(2)不过原点O的直线l：y＝kx＋m与C交于不同的两点A，B，在OA的延长线上取一点D使得｜OA｜＝｜AD｜，连接BD交C于点E(点E在线段BD上且不与端点重合)，若S△OAB＝2S△EAB，试求直线l与坐标轴所围成三角形面积的最小值.
解：(1)由题意可得＝｜F1F2｜·｜OP｜＝×2c×b＝bc＝4.
又因为椭圆C的离心率为e＝＝，
所以a2＝2c2.
又a2＝b2＋c2，解得a2＝8，b2＝4.
所以椭圆C的标准方程为＋＝1.
(2)设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，
联立可得(2k2＋1)x2＋4kmx＋2m2－8＝0，
则Δ＝(4km)2－4(2k2＋1)(2m2－8)＝8(8k2＋4－m2)＞0.①
由韦达定理可得x1＋x2＝－，x1x2＝，
所以y1y2＝(kx1＋m)(kx2＋m)＝k2x1x2＋km(x1＋x2)＋m2＝＝.
因为点A为OD的中点，所以D(2x1，2y1)，
由S△OAB＝2S△EAB，可得S△ABD＝S△OAB＝2S△EAB，即｜BD｜＝2｜BE｜，
所以点E为BD中点，
所以点E的坐标为(x1＋x2，y1＋y2).
将点E的坐标代入椭圆C的方程＋＝1，
可得(x1＋x2)2＋(y1＋y2)2＝1，
化简得(＋)＋＋)＋(＋)＝1.
又＋＝1，＋＝1，
代入上式可得，＋＝－，即x1x2＋2y1y2＝－2.
把x1x2＝，y1y2＝，代入x1x2＋2y1y2＝－2，
可得2m2＝6k2＋3，且满足①式.
在直线l的方程中，令y＝0，可得x＝－，即直线l交x轴于点(－，0).
所以直线l与坐标轴所围成三角形的面积为S＝｜m｜｜｜＝＝·＝(2｜k｜＋)≥×2＝，
当且仅当2｜k｜＝时，即当k＝±时取等号.
所以直线l与坐标轴所围成的三角形面积的最小值为.
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
