章末综合提升
探究点一 直线的方程
已知点A(1，3)，B(3，1)，C(－1，0).求：
(1)BC边上的中线所在直线的方程；
(2)BC边上的高所在直线的方程；
(3)三角形ABC的面积.
解：(1)因为A(1，3)，B(3，1)，C(－1，0)，
所以线段BC的中点坐标为( 1，).
易知BC边上的中线所在直线的斜率不存在，
所以BC边上的中线所在的直线方程为x＝1.
(2)因为kBC＝＝，
所以BC边上的高所在直线的斜率k＝－4，
所以BC边上的高所在直线的方程为y－3＝－4(x－1)，即4x＋y－7＝0.
(3)因为直线BC的方程为y－0＝(x＋1)，即x－4y＋1＝0，则点A到直线BC的距离d＝＝.
又｜BC｜＝＝，
所以S△ABC＝××＝5.
求直线方程的关注点
方法 直接法、待定系数法
关键 掌握直线方程五种形式的适用条件及相互转化，能根据条件灵活选用方程
注意 当不能确定某种条件是否具备时，要另行讨论条件不满足的情况
对点练1.(1)已知直线l的一个法向量为(1，－2)，且经过点A(1，0)，则直线l的方程为( )
A.x－y－1＝0 B.x＋y－1＝0
C.x－2y－1＝0 D.x＋2y－1＝0
(2)经过点(1，3)且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程是( )
A.x＋y＝4 B.y＝x＋2
C.y＝3x或x＋y＝4 D.y＝3x或y＝x＋2
答案：(1)C(2)D
解析：(1)直线l的一个法向量为(1，－2)，所以设直线l的方程为x－2y＋C＝0，代入点A(1，0)，得1－0＋C＝0，解得C＝－1，故直线l的方程为x－2y－1＝0.故选C.
(2)当直线过原点时，方程为y＝3x，符合题意；当直线不过原点时，设直线方程为＋＝1，将点(1，3)代入直线方程中，则＋＝1，解得a＝－2，所以直线方程为y＝x＋2，综上，所求直线的方程为y＝3x或y＝x＋2.故选D.
探究点二 两条直线的平行与垂直
已知两条直线l1：ax－by＋4＝0，l2：(a－1)x＋y＋b＝0，求分别满足下列条件的a，b的值.
(1)直线l1过点(－3，－1)，并且直线l1与直线l2垂直；
(2)直线l1与直线l2平行，并且坐标原点到l1，l2的距离相等.
解：(1)因为l1⊥l2，
所以a(a－1)＋(－b)·1＝0，即a2－a－b＝0.①
又点(－3，－1)在l1上，
所以－3a＋b＋4＝0.②
由①②解得a＝2，b＝2.
(2)因为l1∥l2且l2的斜率为1－a，
所以l1的斜率也存在，＝1－a，即b＝.
故l1和l2的方程可分别表示为
l1：(a－1)x＋y＋＝0，
l2：(a－1)x＋y＋＝0.
因为原点到l1与l2的距离相等，
所以4＝，解得a＝2或a＝.
因此
直线一般式方程下两直线的平行与垂直
已知两直线的方程为l1：A1x＋B1y＋C1＝0(A1，B1不同时为0)，l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A2，B2不同时为0)，则l1∥l2 A1B2－A2B1＝0且C1B2－C2B1≠0，l1⊥l2 A1A2＋B1B2＝0.
对点练2.(1)已知直线l1：ax－3y＋1＝0，l2：2x＋(a＋1)y＋1＝0.若l1⊥l2，则实数a的值为 .
(2)已知两直线l1：x＋my＋6＝0，l2：(m－2)x＋3y＋2m＝0，若l1∥l2，则m＝ .
答案：(1)－3(2)－1
解析：(1)因为直线l1：ax－3y＋1＝0与l2：2x＋(a＋1)y＋1＝0垂直，所以2a－3(a＋1)＝0，解得a＝－3.
(2)因为直线l1：x＋my＋6＝0与l2：(m－2)x＋3y＋2m＝0平行，所以解得m＝－1.
探究点三 两直线的交点与距离问题
已知三条直线l1：2x－y＋a＝0(a＞0)，直线l2：4x－2y－1＝0和直线l3：x＋y－1＝0，且l1和l2的距离是.
(1)求a的值；
(2)能否找到一点P，使得P点同时满足下列三个条件：
①P是第一象限的点；
②P点到l1的距离是P点到l2的距离的；
③P点到l1的距离与P点到l3的距离之比是∶？若能，求出P点坐标；若不能，请说明理由.
解：(1)l2的方程即为2x－y－＝0，
所以l1和l2的距离d＝＝，
所以｜a＋｜＝.
因为a＞0，所以a＝3.
(2)设点P(x0，y0)，若P点满足条件②，
则P点在与l1和l2平行的直线l'：2x－y＋c＝0上，且＝×，
即c＝或c＝.
所以2x0－y0＋＝0或2x0－y0＋＝0.
若点P满足条件③，由点到直线的距离公式，得＝·，
所以x0－2y0＋4＝0或3x0＋2＝0.
因为点P在第一象限，
所以3x0＋2＝0不符合题意.
联立方程
解得x0＝－3，y0＝，应舍去.
联立
解得x0＝，y0＝.
所以P( ，)即为同时满足三个条件的点.
1.平面直角坐标系中的距离公式
2.两条直线的位置关系的研究以两直线的交点为基础，通过交点与距离涵盖直线的所有问题.
3.解决解析几何中的交点与距离问题，往往是代数运算与几何图形直观分析相结合，培养数学运算的核心素养.
对点练3.(1)若点(1，a)到直线y＝x＋1的距离是，则实数a的值为( )
A.－1 B.5
C.－1或5 D.－3或3
(2)(一题多解)已知直线l过直线l1：x－2y＋3＝0与直线l2：2x＋3y－8＝0的交点，且点P(0，4)到直线l的距离为2，则这样的直线l的条数为( )
A.0 B.1
C.2 D.3
答案：(1)C(2)C
解析：(1)因为点(1，a)到直线y＝x＋1的距离是，所以＝，即｜a－2｜＝3，解得a＝－1或a＝5，所以实数a的值为－1或5.故选C.
(2)法一：由即直线l过点(1，2).设点Q(1，2)，因为｜PQ｜＝＝＞2，所以满足条件的直线l有2条.故选C.
法二：依题意，设经过直线l1与l2交点的直线l的方程为2x＋3y－8＋λ(x－2y＋3)＝0(λ∈R)，
即(2＋λ)x＋(3－2λ)y＋3λ－8＝0.由题意得＝2，化简得5λ2－8λ－36＝0，解得λ＝－2或λ＝，代入得直线l的方程为y＝2或4x－3y＋2＝0，故满足条件的直线l有2条.故选C.
探究点四 对称问题
(1)已知A(－3，0)，B(3，0)，C(0，3)，一束光线从点F(－1，0)出发经AC反射后，再经BC上点D反射，落到点E(1，0)上.则点D的坐标为( )
A. B.
C.(1，2) D.(2，1)
(2)已知点A(2，0)，B(－2，－4)，P在直线l：x－2y＋8＝0上，则｜PA｜＋｜PB｜的最小值等于 .
答案：(1)C(2)12
解析：(1)根据入射光线与反射光线关系可知，分别作出F，E关于AC，BC的对称点G，H，连接GH，交BC于D，则D点即为所求，如图所示，因为AC所在直线方程为y＝x＋3，F(－1，0)，设G(x，y)，则解得x＝－3，y＝2，即G(－3，2)，由BC所在直线方程为y＝－x＋3，E(1，0)，同理可得H(3，2)，所以直线GH方程为y＝2，由解得D(1，2).故选C.
(2)设A关于l的对称点为A'(m，n)，则解得m＝－2，n＝8，所以A'(－2，8)，则＝＝12，所以｜PA｜＋｜PB｜的最小值是12.
1.点关于点的对称问题：是对称问题中最基础最重要的一类，其余几类对称问题均可以化归为点关于点的对称进行求解.熟练掌握和灵活运用中点坐标公式是处理这类问题的关键.
2.点关于直线的对称问题：是点关于点的对称问题的延伸，处理这类问题主要抓住两个方面：(1)两点连线与已知直线互相垂直，斜率乘积等于－1；(2)两点的中点在已知直线上.
3.直线关于点的对称问题：可转化为直线上的点关于此点对称的问题，这里需要注意的是两对称直线是平行的，我们往往利用平行直线系去求解.
对点练4.(1)与直线2x＋3y－6＝0关于点(1，－1)对称的直线方程是( )
A.3x－2y＋2＝0 B.2x＋3y＋7＝0
C.3x－2y－12＝0 D.2x＋3y＋8＝0
(2)已知点M(3，5)，在直线l：x－2y＋2＝0和y轴上各找一点P和Q，则△MPQ周长最小为 .
答案：(1)D(2)4
解析：(1)设所求直线上一点的坐标为(x，y)，则其关于点(1，－1)对称的点的坐标为(2－x，－2－y)，则点(2－x，－2－y)在直线2x＋3y－6＝0上，即2(2－x)＋3(－2－y)－6＝0，化简得2x＋3y＋8＝0.故选D.
(2)由点M(3，5)及直线l，可求得点M关于l的对称点为M1(5，1).同样可求得点M关于y轴的对称点为M2(－3，5).则周长最小值为｜M1M2｜＝＝4.
探究点五 圆的方程
已知△ABC的顶点C(2，－8)，直线AB的方程为y＝－2x＋11，AC边上的高BH所在直线的方程为x＋3y＋2＝0.
(1)求顶点A和B的坐标；
(2)求△ABC外接圆的一般式方程.
解：(1)联立所以顶点B(7，－3).
因为AC⊥BH，所以kAC·kBH＝－1，已知kBH＝－，所以kAC＝3，
所以设直线AC的方程为y＝3x＋b，
将C(2，－8)代入得b＝－14，所以直线AC的方程为y＝3x－14.
由可得顶点A(5，1).
(2)设△ABC的外接圆方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
将A(5，1)，B(7，－3)和C(2，－8)三点的坐标分别代入，
得
所以△ABC外接圆的一般式方程为x2＋y2－4x＋6y－12＝0.
1.圆的方程中有三个参数，即标准方程中的a，b，r，或一般式中的D，E，F，因此需要三个独立条件建立方程组求解.
2.求圆的方程时，首选几何法，即先分析给出的条件的几何意义，或直接利用待定系数法求解.
对点练5.已知圆的半径为，圆心在直线y＝2x上，圆被直线x－y＝0截得的弦长为4，求圆的方程.
解：设圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝10，
则圆心为(a，b)，半径r＝，
圆心(a，b)到直线x－y＝0的距离d＝.
由半弦长、弦心距、半径组成的直角三角形得d2＋＝r2，
即＋8＝10，所以(a－b)2＝4.
又因为b＝2a，所以a＝2，b＝4或a＝－2，b＝－4.
故所求圆的方程是(x－2)2＋(y－4)2＝10或(x＋2)2＋(y＋4)2＝10.
探究点六 直线与圆、圆与圆的位置关系
已知圆C：(x＋1)2＋(y－2)2＝16，直线l：(2m＋1)x＋(m－1)y－7m＋1＝0，m∈R.
(1)证明：不论m取任何实数，直线l与圆C恒交于两点；
(2)当直线l被圆C截得的弦长最短时，求此最短弦长及直线l的方程.
解：(1)证明：因为l：(2m＋1)x＋(m－1)y－7m＋1＝0，
所以m(2x＋y－7)＋(x－y＋1)＝0，
因为m∈R，所以
故直线l过定点A(2，3).
因为圆C的圆心为C(－1，2)，r＝4，＝＜4，则点A在圆内.
所以直线l与圆C恒交于两点.
(2)由(1)知直线l过定点A(2，3)，所以当直线l被圆C截得的弦长最短时有l⊥AC，
弦心距d＝ ＝，
所以最短弦长为2＝2＝2.
因为kAC＝＝，所以kl＝－3，故直线l的方程为3x＋y－9＝0.
已知圆C1：x2＋y2＋4x－4y－5＝0与圆C2：x2＋y2－8x＋4y＋7＝0.
(1)证明圆C1与圆C2相切，并求过切点的两圆公切线的方程；
(2)求过点(2，3)且与两圆相切于(1)中切点的圆的方程.
解：(1)把圆C1与圆C2都化为标准方程形式，得圆C1：(x＋2)2＋(y－2)2＝13，圆C2：(x－4)2＋(y＋2)2＝13.
则C1(－2，2)，r1＝；C2(4，－2)，r2＝.
因为｜C1C2｜＝＝2＝r1＋r2，
所以圆C1与圆C2相切.
两圆方程相减得12x－8y－12＝0，
即3x－2y－3＝0，此方程即为过切点的两圆公切线的方程.
(2)由圆系方程，可设所求圆的方程为x2＋y2＋4x－4y－5＋λ(3x－2y－3)＝0.
点(2，3)在此圆上，将此点坐标代入方程解得λ＝.
所以所求圆的方程为x2＋y2＋4x－4y－5＋(3x－2y－3)＝0，
即x2＋y2＋8x－y－9＝0.
1.直线与圆问题的类型
(1)求切线方程：可以利用待定系数法结合图形或代数法求得.
(2)弦长问题：常用几何法(垂径定理)，也可用代数法结合弦长公式求解.
2.(1)圆与圆的位置关系主要是通过圆心距与两半径长的和或两半径长的差的绝对值的大小关系来判断.
(2)求两圆的公切线方程时，主要利用圆心到直线的距离等于半径求解.特别地，当两圆相切时，与求两圆公共弦所在直线方程的方法类似，将两圆的方程相减即得两圆公切线方程.
(3)灵活地运用圆系方程进行解题可以使问题化繁为简，提高运算效率.
对点练6.已知圆C的圆心在x轴的正半轴上，半径为2，且被直线l：4x－3y－3＝0截得的弦长为2.
(1)求圆C的方程；
(2)设P是直线x＋y＋4＝0上的动点，过点P作圆C的切线PA，切点为A，证明：经过A，P，C三点的圆必过定点，并求出所有定点的坐标.
解：(1)设圆心C(a，0)(a＞0)，
则圆心C到直线l：4x－3y－3＝0的距离d＝，
由题意可得，d2＋()2＝22，即＋3＝4，
解得a＝2或a＝－(舍去).
所以圆C的方程为(x－2)2＋y2＝4.
(2)证明：因为P是直线x＋y＋4＝0上的动点，
设P(m，－m－4)，
因为PA为圆C的切线，所以PA⊥AC，
即过A，P，C三点的圆是以PC为直径的圆.
设圆上任一点Q(x，y)，
则·＝0，
因为＝(x－m，y＋m＋4)，＝(x－2，y)，
所以·＝(x－m)(x－2)＋y(y＋m＋4)＝0，
即x2＋y2－2x＋4y＋m(－x＋y＋2)＝0，
令
所以经过A，P，C三点的圆必过定点(－1，－3)和(2，0).
(2024·北京卷)圆x2＋y2－2x＋6y＝0的圆心到直线x－y＋2＝0的距离为( )
A. B.2
C.3 D.3
答案：D
解析：化圆的方程为标准方程，得(x－1)2＋(y＋3)2＝10，所以该圆的圆心(1，－3)到直线x－y＋2＝0的距离为＝＝3.
溯源(北师版P23例23)求点P(－2，1)到下列直线的距离：
(1)3x＋4y－1＝0；(2)y＝2x＋3；(3)2x＋5＝0.
点评：两题都是考查点到直线的距离问题，而高考题高于教材，彰显综合性，又考查由圆的一般方程求圆心等特征量问题.二者考查本质几乎相同，体现了真题源于教材而高于教材的命题理念.
(2023·新课标Ⅰ卷)过点(0，－2)与圆x2＋y2－4x－1＝0相切的两条直线的夹角为α，则sin α＝( )
A.1 B.
C. D.
答案：B
解析：法一：因为x2＋y2－4x－1＝0，即(x－2)2＋y2＝5，可得圆心C(2，0)，半径r＝，过点P(0，－2)作圆C的切线，切点为A，B，因为｜PC｜＝＝2，则｜PA｜＝＝，可得sin∠APC＝＝，cos∠APC＝＝，则sin∠APB＝sin 2∠APC＝2sin∠APCcos∠APC＝2××＝，cos∠APB＝cos 2∠APC＝cos2∠APC－sin2∠APC＝( )2－( )2＝－＜0，所以sin α＝sin(π－∠APB)＝sin∠APB＝.故选B.
法二：圆x2＋y2－4x－1＝0的圆心C(2，0)，半径r＝.过点P(0，－2)作圆C的切线，切点为A，B，连接AB(图略)，可得｜PC｜＝＝2，则｜PA｜＝｜PB｜＝＝，因为｜PA｜2＋｜PB｜2－2｜PA｜·｜PB｜cos∠APB＝｜CA｜2＋｜CB｜2－2｜CA｜·｜CB｜cos∠ACB，且∠ACB＝π－∠APB，则3＋3－6cos∠APB＝5＋5－10cos(π－∠APB)，即3－3cos∠APB＝5＋5cos∠APB，解得cos∠APB＝－＜0，即∠APB为钝角，则cos α＝cos(π－∠APB)＝－cos∠APB＝，且α为锐角，所以sin α＝＝.故选B.
溯源(北师版P39A组T8)已知直线2x－y－1＝0与圆x2＋y2＋2x－4y＋m＝0相切，求切点坐标.
点评：两题都是考查直线与圆相切问题，而高考题高于教材，涉及圆的两条公切线问题和三角恒等变换(主要是二倍角)，体现了知识的内在联系，导向明确，符合新高考试题命题的趋势.从高考题可以得到如下启示：在平时的学习中，要用联系的观点看待知识，建立相关的知识联系，形成知识的多元联系表示方式，提升认知水平.
(2023·新课标Ⅱ卷)已知直线x－my＋1＝0与☉C：(x－1)2＋y2＝4交于A，B两点，写出满足“△ABC的面积为”的m的一个值 .
答案：2(2，－2，，－中任意一个皆可以)
解析：设点C到直线 AB 的距离为d，由弦长公式得｜AB｜＝2，所以S△ABC＝×d×2＝，解得d＝或d＝.由d＝＝，所以＝＝，解得m＝±或m＝±2.
溯源(北师版P40B组T1)已知圆C：x2＋y2＋2x－2y＋m＝0与x轴交于A，B两点，若｜AB｜＝4，求实数m的值.
点评：两题都是考查直线与圆的位置关系问题，涉及数形结合思想和逻辑推理能力.教材习题主要考查弦长问题，而高考题不仅考查弦长，还涉及求面积问题，同时还具有开放性特点，所以无论是考查内容，还是考查的深度、广度都高于教材，具有很好的导向作用.
(2022·新高考Ⅰ卷)写出与圆x2＋y2＝1和(x－3)2＋(y－4)2＝16都相切的一条直线的方程 .
答案：x＝－1(填3x＋4y－5＝0，7x－24y－25＝0都正确)
解析：圆x2＋y2＝1的圆心坐标为O(0，0)，半径r1＝1，圆(x－3)2＋(y－4)2＝16的圆心坐标为C(3，4)，半径r2＝4，如图所示，
因为｜OC｜＝r1＋r2，所以两圆外切，由图可知，与两圆都相切的直线有三条.因为kO C＝，所以l1的斜率为－，设直线l1：y＝－x＋b，即3x＋4y－4b＝0，由＝1，解得b＝(负值舍去)，则l1：3x＋4y－5＝0；由图可知，l2：x＝－1；l2与l3关于直线y＝x对称，联立解得l2与l3的交点为，在l2上取一点(－1，0)，设该点关于y＝x的对称点为(x0，y0)，则.所以＝＝，则l3：y＝(x＋1)－，即7x－24y－25＝0.所以与圆x2＋y2＝1和(x－3)2＋(y－4)2＝16都相切的一条直线的方程为x＝－1(填3x＋4y－5＝0，7x－24y－25＝0都正确).
溯源(北师版P38例10)已知圆C与x轴和y轴都相切，且与圆O：x2＋y2＝1相外切，求圆C的方程.
点评：两题都是考查直线与圆的相切问题，教材题目主要考查与x轴、y轴相切，圆与圆相切问题，综合性较强.而高考题主要考查一条直线与两圆相切，即公切线方程问题，两题关联性较强，高考题具有明显的开放性，所以高考题更符合新高考命题的发展方向.
(2022·新高考Ⅱ卷)设点A(－2，3)，B(0，a)，若直线AB关于y＝a对称的直线与圆(x＋3)2＋(y＋2)2＝1有公共点，则a的取值范围是 .
答案：
解析：因为点A(－2，3)，B(0，a)，kAB＝，所以直线AB关于y＝a对称的直线的斜率为，所以对称直线方程为y－a＝·x，即(3－a)x－2y＋2a＝0，又(x＋3)2＋(y＋2)2＝1的圆心(－3，－2)，半径为1，所以≤1，得6a2－11a＋3≤0，解得a∈.
溯源(北师版P39A组T9)经过点A(－1，2)的直线与圆x2＋y2－2x＋6y＋6＝0相交，求直线l的斜率的取值范围.
点评：两题都是考查由直线与圆的位置关系求参数问题，具有较强的相关性.又因高考题涉及对称性的知识，显然考查的广度、深度都高于教材题目.直线与圆、圆与圆的位置关系是本章的重点，所以要能够运用代数法与几何法解决这两类问题.
单元检测卷(一) 直线与圆
(时间：120分钟 满分：150分)
一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)
1.直线x＝2 025的倾斜角为( )
A.0° B.90°
C.180° D.不存在
答案：B
解析：因为直线x＝2 025与x轴垂直，所以直线x＝2 025的倾斜角为90°.故选B.
2.已知直线l1：2x＋y－1＝0，l2：4x＋2y＋1＝0，则l1，l2间的距离为( )
A. B.
C. D.
答案：C
解析：将直线l1方程化为4x＋2y－2＝0，由平行直线间的距离公式得d＝＝.故选C.
3.若直线l1：ax＋y－4＝0与直线l2：x－y－2＝0的交点位于第一象限，则实数a的取值范围是( )
A.(－1，2) B.(－1，＋∞)
C.(－∞，2) D.(－∞，－1)∪(2，＋∞)
答案：A
解析：当a＝－1时，l1：x－y＋4＝0，此时l1∥l2，不满足题意；当a≠－1时，解方程组解得－1＜a＜2，即实数a的取值范围为(－1，2).故选A.
4.已知点P在圆(x＋1)2＋y2＝2上，则点P到直线x＋y－5＝0距离的最小值为( )
A. B.
C.2 D.3
答案：C
解析：(x＋1)2＋y2＝2的圆心C(－1，0)，r＝，圆心C(－1，0)到直线x＋y－5＝0的距离d＝＝＝3，故圆(x＋1)2＋y2＝2上的动点P到直线x＋y－5＝0的距离的最小值为3－＝2.故选C.
5.冰糖葫芦是中国传统小吃，起源于南宋.由山楂串成的冰糖葫芦如图①所示，若将山楂看成是大小相同的圆，竹签看成一条线段，如图②所示，且山楂的半径(图②中圆的半径)为2，竹签所在的直线方程为2x＋y＝0，则与该串冰糖葫芦的山楂都相切的直线方程为( )
A.2x＋y±2＝0 B.2x＋y±＝0
C.2x＋y±4＝0 D.2x＋y±2＝0
答案：D
解析：因为竹签所在的直线方程为2x＋y＝0，设与该串冰糖葫芦的山楂都相切的直线方程为2x＋y＋c＝0，由两平行直线间的距离公式，可得＝2，解得c＝±2，所以与该串冰糖葫芦的山楂都相切的直线方程为2x＋y±2＝0.故选D.
6.若直线l：kx－y－2＝0与曲线C：＝x－1有两个不同的交点，则实数k的取值范围是( )
A. B.
C.∪ D.
答案：B
解析：直线l：kx－y－2＝0恒过定点(0，－2)，由＝x－1，得到(x－1)2＋(y－1)2＝1(x≥1)，所以曲线C表示以点(1，1)为圆心，半径为1，且位于直线x＝1右侧的半圆(包括点(1，2)，(1，0))，如图所示，当直线l经过点(1，0)时，l与曲线C有两个不同的交点，此时k＝2，当l与半圆相切时，由＝1，得k＝，由图可知，当＜k≤2时，l与曲线C有两个不同的交点.故选B.
7.已知在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2＋y2＝－2y＋3，直线l经过点(1，0)且与直线x－y＋1＝0垂直，若直线l与圆C交于A，B两点，则△OAB的面积为( )
A.1 B.
C.2 D.2
答案：A
解析：由题意，得圆C的标准方程为x2＋(y＋1)2＝4，圆心为(0，－1)，半径r＝2.因为直线l经过点(1，0)且与直线x－y＋1＝0垂直，所以直线l的斜率为－1，方程为y－0＝－(x－1)，即为x＋y－1＝0.又圆心(0，－1)到直线l的距离d＝＝，所以弦长｜AB｜＝2＝2＝2.又坐标原点O到弦AB的距离为＝，所以△OAB的面积为×2×＝1.故选A.
8.在平面直角坐标系中，已知点A(2，0)，B(0，2)，圆C：(x－a)2＋y2＝1.若圆C上存在点M，使得｜MA｜2＋｜MB｜2＝12，则实数a的值不可能是( )
A.－1 B.0
C.1＋2 D.－2
答案：D
解析：设M(x，y)，由题意可知｜MA｜2＋｜MB｜2＝12＝(x－2)2＋y2＋x2＋(y－2)2 (x－1)2＋(y－1)2＝4，即M(x，y)是圆C：(x－a)2＋y2＝1与圆D：(x－1)2＋(y－1)2＝4的交点，由两圆位置关系可知圆心距满足：2－1≤｜CD｜≤1＋2，即∈ a∈[1－2，1＋2 ]，a的值不可能是－2.故选D.
二、多项选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.)
9.已知直线l：x＋y－2＝0，则下列选项中正确的有( )
A.直线l在y轴上的截距是2
B.直线l的斜率为
C.直线l不经过第三象限
D.直线l的一个方向向量为v＝(－，3)
答案：ACD
解析：对于A，直线方程可变为y＝－x＋2，在y轴上的截距是2，故A正确；对于B，斜率k＝－，故B错误；对于C，由直线方程y＝－x＋2可知，直线l不经过第三象限，故C正确；对于D，该直线的一个方向向量为(1，－)，与v＝(－，3)平行，故D正确.故选ACD.
10.已知AB为圆C：x2＋y2＝4的直径，直线l：y＝kx＋1与y轴交于点M(A，B，M三点不共线)，则下列结论正确的是( )
A.l与C恒有公共点
B.△ABM是钝角三角形
C.△ABM的面积的最大值为1
D.l被C截得的弦的长度最小值为2
答案：ABD
解析：直线l：y＝kx＋1与y轴交于点M，所以M(0，1)，且M在圆C：x2＋y2＝4内部，所以l与C恒有公共点，故A正确；因为点M在圆C：x2＋y2＝4内部，所以∠AMB为钝角，所以△ABM是钝角三角形，故B正确；M到AB的最大距离，即到圆心的距离为1，所以≤×4×1＝2，故C错误；l被C截得的弦的长度最小时，圆心到直线的距离最大，且此距离为M到圆心的距离为1，故弦长的最小值为2＝2，故D正确.故选ABD.
11.已知圆M：x2＋y2＋4x＝0和圆N：x2＋y2－4y－12＝0相交于A，B两点，则下列说法正确的是( )
A.AB⊥MN
B.直线AB的方程为x＋y＋3＝0
C.线段AB的长为
D.M到直线AB的距离与N到直线AB的距离之比为1∶4
答案：ABC
解析：对于A，因为两个圆相交，所以圆心M，N所在直线垂直平分两圆的公共弦，故A正确；对于B，因为圆M：x2＋y2＋4x＝0和圆N：x2＋y2－4y－12＝0相交于A，B两点，所以两圆方程相减得到4x＋4y＋12＝0，即AB：x＋y＋3＝0，故B正确；对于C，圆M：x2＋y2＋4x＝0化为标准方程是(x＋2)2＋y2＝4，圆心M(－2，0)到直线AB：x＋y＋3＝0的距离为d＝＝，所以｜AB｜＝2＝2＝，故C正确；对于D，因为圆N：x2＋y2－4y－12＝0化为标准方程是x2＋(y－2)2＝16，圆心N(0，2)到直线AB：x＋y＋3＝0的距离为d'＝＝，所以M到直线AB的距离与N到直线AB的距离之比为d∶d'＝∶＝1∶5，故D错误.故选ABC.
三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，将答案填在题中的横线上.)
12.已知直线l过点(－1，6)且方向向量为(2，－3)，则l在y轴上的截距为 .
答案：
解析：因为直线l的方向向量为(2，－3)，所以直线斜率k＝－，又直线l过点(－1，6)，所以直线方程为y－6＝－(x＋1)，即3x＋2y－9＝0，令x＝0，得y＝，所以l在y轴上的截距为.
13.由点A(－3，3)发出的光线l经x轴反射，反射光线与圆x2＋y2－4x－4y＋7＝0相切，则l的方程为 .
答案：3x＋4y－3＝0或4x＋3y＋3＝0
解析：已知圆的标准方程是(x－2)2＋(y－2)2＝1，它关于x轴对称的圆的方程是(x－2)2＋(y＋2)2＝1，设光线l所在直线的方程是y－3＝k(x＋3)(其中斜率k待定)，即kx－y＋3k＋3＝0，由题设知对称圆的圆心C'(2，－2)到这条直线的距离等于1，即d＝＝1，整理得12k2＋25k＋12＝0，解得k＝－或k＝－.故所求的直线方程是y－3＝－(x＋3)或y－3＝－(x＋3)，即3x＋4y－3＝0或4x＋3y＋3＝0.
14.某市为了改善城市中心环境，计划将市区某工厂向城市外围迁移，需要拆除工厂内一个高塔，施工单位在某平台O的北偏东45°方向40 m处设立观测点A，在平台O的正西方向240 m处设立观测点B，已知经过O，A，B三点的圆为圆C，规定圆C及其内部区域为安全预警区.以O为坐标原点，O的正东方向为x轴正方向，建立平面直角坐标系，如图，经观测发现，在平台O的正南方向200 m的P处，有一辆小汽车沿北偏西45°方向行驶，则小汽车 进入安全预警区.(填“会”或“不会”)
答案：会
解析：由题意得A(40，40)，B(－240，0)，设圆C的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，因为圆C经过O，A，B三点，所以所以圆C的方程为x2＋y2＋240x－320y＝0，即(x＋120)2＋(y－160)2＝40 000，圆心为C(－120，160)，半径r＝200，小汽车行驶路线所在直线的斜率为－1，又点P的坐标是(0，－200)，所以小汽车行驶路线所在直线的方程为y＝－x－200，圆心C到直线y＝－x－200的距离d＝＝120＜r，所以直线y＝－x－200与圆C相交，即小汽车会进入安全预警区.
四、解答题(本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
15.(13分)已知直线l经过点P(－2，5)，且斜率为－.
(1)求直线l的方程；
(2)若直线m与l平行，且点P到直线m的距离为3，求直线m的方程.
解：(1)由直线方程的点斜式，得y－5＝－(x＋2)，
整理得所求直线方程为3x＋4y－14＝0.
(2)由直线m与直线l平行，可设直线m的方程为3x＋4y＋C＝0(C≠－14)，
由点到直线的距离公式得＝3，
即＝3，解得C＝1或C＝－29，
故所求直线m的方程为3x＋4y＋1＝0或3x＋4y－29＝0.
16.(15分)已知直线l经过直线l1：x－2y＋3＝0，l2：x＋y－3＝0的交点P，且A(3，2)，B(－1，－2)两点到直线l的距离相等.
(1)求直线l的一般式方程；
(2)若点A，B在直线l的同侧，且Q为直线l上一个动点，求｜AQ｜＋｜BQ｜的最小值.
解：(1)由所以交点P(1，2).
①当所求直线与直线AB平行时，
直线AB的斜率为kAB＝＝1，
则所求直线的方程为y－2＝1×(x－1)，即x－y＋1＝0.
②当所求直线过AB的中点时，
则所求直线垂直于x轴.
故所求直线方程为x＝1，即x－1＝0.
综上所述，所求直线方程为x－y＋1＝0或x－1＝0.
(2)因为点A，B在直线l的同侧，所以直线l的方程为x－y＋1＝0，
设点A关于直线l的对称点为C(x0，y0)，
则
化简可得
所以点C(1，4).
因为｜AQ｜＋｜BQ｜≥｜CB｜＝＝2.
当Q，B，C三点共线时等号取到，
故｜AQ｜＋｜BQ｜的最小值为2.
17.(15分)已知k∈R，圆C：x2＋y2＋2kx＋(4k＋10)y＋(5k2＋20k＋9)＝0.
(1)若圆C与圆x2＋y2＝1外切，求实数k的值；
(2)求圆心C的轨迹方程；
(3)是否存在定直线l，使得动圆C截直线l所得的弦长恒为？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由.
解：(1)由圆C：x2＋y2＋2kx＋(4k＋10)y＋(5k2＋20k＋9)＝0，
化为标准方程为(x＋k)2＋(y＋2k＋5)2＝42，
所以圆C的圆心为C(－k，－2k－5)，半径r＝4.
因为圆C与圆x2＋y2＝1外切，
所以＝4＋1＝5，解得k＝0或k＝－4.
(2)由(1)得C(－k，－2k－5)，即消去k得y＝2x－5，
所以圆心C的轨迹方程为y＝2x－5.
(3)设直线l交圆C于A，B两点，设C(－k，－2k－5)到直线l的距离为d，
则｜AB｜＝2，假设存在符合题意的定直线l，
则＝2，解得d＝，
即圆心C到直线l的距离恒为，
而圆心C的轨迹方程为2x－y－5＝0，
所以可设直线l的方程为2x－y＋t＝0(t≠－5)，
且＝，｜t＋5｜＝，
解得t＝－或t＝－，
所以存在符合题意的定直线l，且定直线l的方程为2x－y－＝0或2x－y－＝0.
18.(17分)已知圆心为C的圆经过A(3，0)，B(－1，4)两点，且圆心在直线l1：y＝3x－1上.
(1)求圆C的方程；
(2)在直线l2：y＝－2x上是否存在一点Q，过点Q向圆C引两切线，切点为E，F，使△QEF为正三角形？若存在，求出点Q的坐标，若不存在，说明理由.
解：(1)设圆C的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)，
则
所以圆C的方程为(x－1)2＋(y－2)2＝8.
(2)由(1)得，圆C的圆心C(1，2)，半径r＝2，
假设存在点Q，如图所示.
设Q(t，－2t)，
则∠CQE＝∠CQF＝30°，
则在Rt△QCE中，｜CQ｜＝2｜CE｜＝2r＝4，
即＝4，
解得t＝或－3，
则Q或Q(－3，6)，
所以存在点Q或Q(－3，6)使△QEF为正三角形.
19.(17分)在平面直角坐标系中，已知圆C经过原点和点P(2，0)，并且圆心在x轴上.
(1)求圆C的标准方程；
(2)设P1P2为圆C的动弦，且P1P2不经过点P，记k1，k2分别为弦P1P，P2P的斜率.
①若k1·k2＝－1，求△PP1P2面积的最大值；
②若k1·k2＝3，请判断动弦P1P2是否过定点？若过定点，求该定点坐标；若不过定点，请说明理由.
解：(1)法一：几何法
由已知得，圆心在直线x＝1和y＝0上，
从而圆心坐标为C(1，0)，半径为r＝1，
所以圆C的标准方程为(x－1)2＋y2＝1.
法二：代数法
设圆C的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，
由已知可得
解得a＝1，b＝0，r＝1，
所以圆C的标准方程为(x－1)2＋y2＝1.
(2)①法一：几何法
因为k1·k2＝－1，所以P1P⊥P2P，从而直线P1P2经过圆心，从而｜P1P2｜＝2，
要使△PP1P2的面积最大，需使点P到直线P1P2的距离等于圆C的半径1，
所以()max＝×2×1＝1.
法二：代数法
因为k1·k2＝－1，所以P1P⊥P2P，
从而直线P1P2经过圆心，△PP1P2是直角三角形，且｜P1P2｜＝2，
设｜P1P｜＝a，｜P2P｜＝b，则a2＋b2＝4，
又4＝a2＋b2≥2ab，所以ab≤2，当且仅当a＝b＝时取等号，
所以()max＝ab＝1.
②由k1·k2＝3，可知直线P1P2的斜率存在，
设直线P1P2的方程为y＝kx＋m，P1(x1，y1)，P2(x2，y2).
由消去y，得(k2＋1)x2＋2(km－1)x＋m2＝0，
则Δ＞0，x1＋x2＝－，x1x2＝(※)
又k1·k2＝·＝＝＝3，
即(3－k2)x1x2－(km＋6)(x1＋x2)＋12－m2＝0，
代入(※)得，m2＋5km＋6k2＝0，
即(m＋2k)(m＋3k)＝0，
解得m＝－2k或m＝－3k.
当m＝－2k时，此时直线P1P2的方程为y＝k(x－2)，过定点P(2，0)(舍去).
当m＝－3k时，此时直线P1P2的方程为y＝k(x－3)，过定点(3，0).
故当k1·k2＝3，动弦P1P2过定点(3，0).
21世纪教育网(www.21cnjy.com)(共100张PPT)
章末综合提升
第一章 直线与圆
体 系 构 建
返回
分 层 探 究
典例
1
规律方法
求直线方程的关注点
方法 直接法、待定系数法
关键 掌握直线方程五种形式的适用条件及相互转化，能根据条件灵活选用方程
注意 当不能确定某种条件是否具备时，要另行讨论条件不满足的情况
√
对点练1.(1)已知直线l的一个法向量为(1，－2)，且经过点A(1，0)，则直线l的方程为
A.x－y－1＝0 B.x＋y－1＝0
C.x－2y－1＝0 D.x＋2y－1＝0
直线l的一个法向量为(1，－2)，所以设直线l的方程为x－2y＋C＝0，代入点A(1，0)，得1－0＋C＝0，解得C＝－1，故直线l的方程为x－2y－1＝0.故选C.
√
(2)经过点(1，3)且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程是
A.x＋y＝4 B.y＝x＋2
C.y＝3x或x＋y＝4 D.y＝3x或y＝x＋2
探究点二 两条直线的平行与垂直
已知两条直线l1：ax－by＋4＝0，l2：(a－1)x＋y＋b＝0，求分别满足下列条件的a，b的值.
(1)直线l1过点(－3，－1)，并且直线l1与直线l2垂直；
解：因为l1⊥l2，
所以a(a－1)＋(－b)·1＝0，即a2－a－b＝0.①
又点(－3，－1)在l1上，
所以－3a＋b＋4＝0.②
由①②解得a＝2，b＝2.
典例
2
规律方法
直线一般式方程下两直线的平行与垂直
已知两直线的方程为l1：A1x＋B1y＋C1＝0(A1，B1不同时为0)，l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A2，B2不同时为0)，则l1∥l2 A1B2－A2B1＝0且C1B2－C2B1≠0，l1⊥l2 A1A2＋B1B2＝0.
对点练2.(1)已知直线l1：ax－3y＋1＝0，l2：2x＋(a＋1)y＋1＝0.若l1⊥l2，则实数a的值为______.
－3
因为直线l1：ax－3y＋1＝0与l2：2x＋(a＋1)y＋1＝0垂直，所以2a－3(a＋1)＝0，解得a＝－3.
(2)已知两直线l1：x＋my＋6＝0，l2：(m－2)x＋3y＋2m＝0，若l1∥l2，则m＝_____.
－1
典例
3
规律方法
1.平面直角坐标系中的距离公式
规律方法
2.两条直线的位置关系的研究以两直线的交点为基础，通过交点与距离涵盖直线的所有问题.
3.解决解析几何中的交点与距离问题，往往是代数运算与几何图形直观分析相结合，培养数学运算的核心素养.
√
√
(2)(一题多解)已知直线l过直线l1：x－2y＋3＝0与直线l2：2x＋3y－8＝0的交点，且点P(0，4)到直线l的距离为2，则这样的直线l的条数为
A.0 B.1
C.2 D.3
典例
4
√
(2)已知点A(2，0)，B(－2，－4)，P在直线l：x－2y＋8＝0上，则｜PA｜＋｜PB｜的最小值等于____.
12
规律方法
1.点关于点的对称问题：是对称问题中最基础最重要的一类，其余几类对称问题均可以化归为点关于点的对称进行求解.熟练掌握和灵活运用中点坐标公式是处理这类问题的关键.
2.点关于直线的对称问题：是点关于点的对称问题的延伸，处理这类问题主要抓住两个方面：(1)两点连线与已知直线互相垂直，斜率乘积等于－1；(2)两点的中点在已知直线上.
3.直线关于点的对称问题：可转化为直线上的点关于此点对称的问题，这里需要注意的是两对称直线是平行的，我们往往利用平行直线系去求解.
√
对点练4.(1)与直线2x＋3y－6＝0关于点(1，－1)对称的直线方程是
A.3x－2y＋2＝0 B.2x＋3y＋7＝0
C.3x－2y－12＝0 D.2x＋3y＋8＝0
设所求直线上一点的坐标为(x，y)，则其关于点(1，－1)对称的点的坐标为(2－x，－2－y)，则点(2－x，－2－y)在直线2x＋3y－6＝0上，即2(2－x)＋3(－2－y)－6＝0，化简得2x＋3y＋8＝0.故选D.
(2)已知点M(3，5)，在直线l：x－2y＋2＝0和y轴上各找一点P和Q，则△MPQ周长最小为______.
典例
5
规律方法
1.圆的方程中有三个参数，即标准方程中的a，b，r，或一般式中的D，E，F，因此需要三个独立条件建立方程组求解.
2.求圆的方程时，首选几何法，即先分析给出的条件的几何意义，或直接利用待定系数法求解.
典例
6
典例
7
规律方法
1.直线与圆问题的类型
(1)求切线方程：可以利用待定系数法结合图形或代数法求得.
(2)弦长问题：常用几何法(垂径定理)，也可用代数法结合弦长公式求解.
规律方法
2.(1)圆与圆的位置关系主要是通过圆心距与两半径长的和或两半径长的差的绝对值的大小关系来判断.
(2)求两圆的公切线方程时，主要利用圆心到直线的距离等于半径求解.特别地，当两圆相切时，与求两圆公共弦所在直线方程的方法类似，将两圆的方程相减即得两圆公切线方程.
(3)灵活地运用圆系方程进行解题可以使问题化繁为简，提高运算效率.
返回
考 教 衔 接
真题
1
√
溯源(北师版P23例23)求点P(－2，1)到下列直线的距离：
(1)3x＋4y－1＝0；(2)y＝2x＋3；(3)2x＋5＝0.
点评：两题都是考查点到直线的距离问题，而高考题高于教材，彰显综合性，又考查由圆的一般方程求圆心等特征量问题.二者考查本质几乎相同，体现了真题源于教材而高于教材的命题理念.
真题
2
√
溯源(北师版P39A组T8)已知直线2x－y－1＝0与圆x2＋y2＋2x－4y＋m＝0相切，求切点坐标.
点评：两题都是考查直线与圆相切问题，而高考题高于教材，涉及圆的两条公切线问题和三角恒等变换(主要是二倍角)，体现了知识的内在联系，导向明确，符合新高考试题命题的趋势.从高考题可以得到如下启示：在平时的学习中，要用联系的观点看待知识，建立相关的知识联系，形成知识的多元联系表示方式，提升认知水平.
真题
3
溯源(北师版P40B组T1)已知圆C：x2＋y2＋2x－2y＋m＝0与x轴交于A，B两点，若｜AB｜＝4，求实数m的值.
点评：两题都是考查直线与圆的位置关系问题，涉及数形结合思想和逻辑推理能力.教材习题主要考查弦长问题，而高考题不仅考查弦长，还涉及求面积问题，同时还具有开放性特点，所以无论是考查内容，还是考查的深度、广度都高于教材，具有很好的导向作用.
(2022·新高考Ⅰ卷)写出与圆x2＋y2＝1和(x－3)2＋(y－4)2＝16都相切的一条直线的方程_____________________________________________.
真题
4
x＝－1(填3x＋4y－5＝0，7x－24y－25＝0都正确)
圆x2＋y2＝1的圆心坐标为O(0，0)，半径r1＝1，圆(x－3)2＋(y－4)2＝16的圆心坐标为C(3，4)，半径r2＝4，如图所示，
溯源(北师版P38例10)已知圆C与x轴和y轴都相切，且与圆O：x2＋y2＝1相外切，求圆C的方程.
点评：两题都是考查直线与圆的相切问题，教材题目主要考查与x轴、y轴相切，圆与圆相切问题，综合性较强.而高考题主要考查一条直线与两圆相切，即公切线方程问题，两题关联性较强，高考题具有明显的开放性，所以高考题更符合新高考命题的发展方向.
(2022·新高考Ⅱ卷)设点A(－2，3)，B(0，a)，若直线AB关于y＝a对
称的直线与圆(x＋3)2＋(y＋2)2＝1有公共点，则a的取值范围是_________.
真题
5
溯源(北师版P39A组T9)经过点A(－1，2)的直线与圆x2＋y2－2x＋6y＋6＝0相交，求直线l的斜率的取值范围.
点评：两题都是考查由直线与圆的位置关系求参数问题，具有较强的相关性.又因高考题涉及对称性的知识，显然考查的广度、深度都高于教材题目.直线与圆、圆与圆的位置关系是本章的重点，所以要能够运用代数法与几何法解决这两类问题.
返回
单 元 检 测 卷
√
1.直线x＝2 025的倾斜角为
A.0° B.90°
C.180° D.不存在
因为直线x＝2 025与x轴垂直，所以直线x＝2 025的倾斜角为90°.故
选B.
√
√
3.若直线l1：ax＋y－4＝0与直线l2：x－y－2＝0的交点位于第一象限，则实数a的取值范围是
A.(－1，2) B.(－1，＋∞)
C.(－∞，2) D.(－∞，－1)∪(2，＋∞)
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
12.已知直线l过点(－1，6)且方向向量为(2，－3)，则l在y轴上的截距为
____.
13.由点A(－3，3)发出的光线l经x轴反射，反射光线与圆x2＋y2－4x－4y＋7＝0相切，则l的方程为____________________________.
3x＋4y－3＝0或4x＋3y＋3＝0
会
②当所求直线过AB的中点时，
则所求直线垂直于x轴.
故所求直线方程为x＝1，即x－1＝0.
综上所述，所求直线方程为x－y＋1＝0或x－1＝0.
19.(17分)在平面直角坐标系中，已知圆C经过原点和点P(2，0)，并且圆心在x轴上.
(1)求圆C的标准方程；
解：法一：几何法
由已知得，圆心在直线x＝1和y＝0上，
从而圆心坐标为C(1，0)，半径为r＝1，
所以圆C的标准方程为(x－1)2＋y2＝1.
即(3－k2)x1x2－(km＋6)(x1＋x2)＋12－m2＝0，
代入(※)得，m2＋5km＋6k2＝0，
即(m＋2k)(m＋3k)＝0，
解得m＝－2k或m＝－3k.
当m＝－2k时，此时直线P1P2的方程为y＝k(x－2)，过定点P(2，0)(舍去).
当m＝－3k时，此时直线P1P2的方程为y＝k(x－3)，过定点(3，0).
故当k1·k2＝3，动弦P1P2过定点(3，0).
返回
