组合的应用(习题课)
学习目标 1.掌握具有限制条件的排列、组合问题的解决方法. 2.理解排列、组合中的多面手、分组分配等问题，培养数学运算、数学建模的核心素养.
任务一 有限制条件的组合问题
(一题多问)某班共有团员14人，其中男团员8人，女团员6人，并且男、女团员各有一名组长，现从中选6人参加学校的团员座谈会.(用数字做答)
(1)若至少有1名组长当选，求不同的选法总数；
(2)若至多有3名女团员当选，求不同的选法总数；
(3)若既要有组长当选，又要有女团员当选，求不同的选法总数.
解：(1)法一：至少有一名组长含有两种情况：只有一名组长和恰有两名组长，故共有·＋·＝2 079种.
法二：至少有一名组长可以采用排除法，有－＝2 079种.
(2)至多有3名女团员含有四种情况：有3名女团员，有2名女团员，有1名女团员，
没有女团员，故共有＋＋＋＝2 534种.
(3)既要有组长当选，又要有女团员当选含两类情况：
第一类：女组长当选，有种；
第二类：女组长不当选，男组长当选，从剩余7名男团员，5名女团员中选5人，
其中至少选择1名女团员，有－种.
故共有＋－＝2 058种.
解决有限制条件的组合问题的策略
1.与解决有约束条件的排列问题的方法一样，都是遵循“谁特殊谁优先”的原则，在此前提下，或分类或分步或用间接法.
2.要正确理解题中的关键词，如“至少”“至多”“含”“不含”等的确切含义，正确分类，合理分步.
3.要谨防重复或遗漏，当直接法中分类较复杂时，可考虑用间接法处理，即“正难则反”的策略.
对点练1.小明准备从苹果、香橙、水蜜桃和圣女果等六种水果中买三种.
(1)若不买苹果，共有多少种买法？
(2)若香橙和水蜜桃中至多买一种，共有多少种买法？
(3)若香橙和圣女果中至少买一种，且香橙和苹果不同时买，共有多少种买法？
解：(1)若不买苹果，共有＝10种买法.
(2)若香橙和水蜜桃中至多买一种，共有＋＝16种买法.
(3)当香橙和圣女果中只买香橙时，有种买法；
当香橙和圣女果中只买圣女果时，有种买法；
当香橙和圣女果都买时，有种买法.
故买法总数为＋＋＝12种.
任务二 与几何图形有关的组合问题
已知平面α∥β，在α内有4个点，在β内有6个点.
(1)过这10个点中的3点作一平面，最多可作多少个不同平面？
(2)以这些点为顶点，最多可作多少个三棱锥？
(3)上述三棱锥中最多可以有多少个不同的体积？
解：(1)所作出的平面有三类：①α内1点，β内2点确定的平面，有个；②α内2点，β内1点确定的平面，有·个；③α，β本身.
所以所作的平面最多有·＋·＋2＝98(个).
(2)所作的三棱锥有三类：①α内1点，β内3点确定的三棱锥，有·个；②α内2点，β内2点确定的三棱锥，有·个；③α内3点，β内1点确定的三棱锥，有·个.
所以最多可作出的三棱锥有：·＋·＋·＝194(个).
(3)因为当等底面积、等高的情况下三棱锥的体积相等，且平面α∥β，
所以体积不相同的三棱锥最多有＋＋·＝114(个).
解答与几何有关的组合问题的策略
1.几何图形组合问题主要考查组合的知识和空间想象能力，题目多以立体几何中的点、线、面的位置关系为背景.这类问题情境新颖，多个知识点交汇在一起，综合性强.
2.解答几何图形组合问题的思考方法与一般的组合问题基本一样，只要把图形的限制条件视为组合问题的限制条件即可.
3.计算时可用直接法，也可用间接法，要注意在限制条件较多的情况下，需要分类计算符合题意的组合数.
对点练2.(1)以平行六面体的顶点为顶点的四面体的个数为( )
A.70 B.64
C.58 D.24
(2)平面上有8个点，其中有3个点在同一条直线上，除此之外，不再有任意三点共线，由这些点可以确定 条直线.
答案：(1)C (2)26
解析：(1)由题意知：要使平行六面体的顶点为顶点构成四面体，则4个顶点不共面，8个顶点任选4个，有种；8个顶点任选4个，共面的有12种，所以以平行六面体的顶点为顶点的四面体有－12＝58个.故选C.
(2)先分类，再分步.当取3个共线的点中的两个时，可确定1条；当取不共线的5个点中的两个时，可确定＝10条；当取不共线的5个点中的一个与共线三个点点中的一个时，可确定＝15条；所以一共26条.
任务三 分组、分配问题
角度1 不同元素的分组分配问题
(多选题)下列说法正确的为( )
A.6本不同的书分给甲、乙、丙三人，每人两本，有种不同的分法
B.6本不同的书分给甲、乙、丙三人，其中一人1本，一人2本，一人3本，有种不同的分法
C.6本不同的书分给甲、乙、丙三人，甲分4本，乙、丙各一本，有30种不同的分法
D.6本不同的书分给甲、乙、丙三人，每人至少一本，有540种不同的分法
答案：ACD
解析：对于A，法一：6本不同的书中，先取2本给甲，再从剩余的4本中取2本给乙，最后2本给丙，共有种不同的分法；法二：6本不同的书平均分成3组，有种方法，再分每人一组，共有＝种方法，故A正确；对于B，6本不同的书中，先取1本作为一组，再从剩余的5本中取2本作为一组，最后3本作为一组，共有种，再将3组分给甲、乙、丙三人，共有种，故B不正确；对于C，6本不同的书分给甲、乙、丙三人，甲分4本，乙、丙各一本，所以共有＝30种分法；对于D，6本不同的书分给甲、乙、丙三人，每人至少一本，分3种情况讨论：①一人4本，其他两人各1本，共有＝90种；②一人1本，一人2本，一人3本，共有＝360种，③每人2本，共有＝90种，故共有90＋360＋90＝540种.故选ACD.
分组、分配问题的规律方法
1.分组问题属于“组合”问题，常见的分组问题有三种：
(1)完全均匀分组，每组的元素个数均相等，均匀分成n组，最后必须除以n！；
(2)部分均匀分组，应注意不要重复，有n组均匀，最后则需除以n！；
(3)完全非均匀分组，这种分组不考虑重复现象.
2.分配问题属于“排列”问题，分配问题可以按要求逐个分配，也可以先分组后分配.
角度2 相同元素的分组分配问题
(双空题)将8个相同的小球放入5个编号为1，2，3，4，5的盒子，每个盒子都不空的方法数为 ，
恰有一个空盒子的方法数为 .
答案：35 175
解析：先把8个相同的小球排成一行，然后在8个小球之间的7个空隙中任选4个空隙各插入一块隔板，每一种插入隔板的方式对应一种球的放入方式，故每个盒子都不空的方法数共有＝35种；若恰有一个空盒子，先选出一个空盒子，有种选法，并在8个小球之间的7个空隙中任选3个空隙各插入一块隔板，有种插法，故由分步乘法计数原理恰有一个空盒子的方法数共有·＝175种.
相同元素分配问题的处理策略
1.隔板法：如果将放有小球的盒子紧挨着成一行放置，便可看作排成一行的小球的空隙中插入了若干隔板，相邻两块隔板形成一个“盒”.每一种插入隔板的方法对应着小球放入盒子的一种方法，此法称为隔板法.隔板法专门解决相同元素的分配问题.
2.将n个相同的元素分给m个不同的对象(每个对象至少有一个元素)(n≥m)，有种方法.可描述为(n－1)个空隙中插入(m－1)块隔板.
对点练3.(1)已知A，B两个公司承包6项工程，每个公司至少承包2项，则承包方式共有( )
A.24种 B.70种
C.48种 D.50种
(2)某校准备参加2025年高中数学联赛，把10个选手名额分配给高三年级的3个教学班.若每班至少一个名额，则不同的分配方案有 种.(用数字作答)
(3)将5名大学生分配到3个乡镇当村官.每个乡镇至少一名，则不同分配方案有 种.
答案：(1)D (2)36 (3)150
解析：(1)根据题意，分三种情况：①A公司承包2项工程，剩余4项工程B公司承包，则有＝15种方式，②A公司承包3项工程，剩余3项工程B公司承包，则有＝20种方式，③A公司承包4项工程，剩余2项工程B公司承包，则有＝15种方式，所以承包方式共有15＋20＋15＝50种.故选D.
(2)根据题意，只需把10个名额分成3份，每份至少一个名额即可，分别对应3个班，选用隔板法，即将10个名额排成一列，共9个间隔，即9个空位，从其9个空位中，选取2个，插入隔板就符合题意，即＝36种分配方案.
(3)依题意，要使每个乡镇至少一名，可以有“2∶2∶1”或“3∶1∶1”两种分配方案.按照“2∶2∶1”分配时，有·＝90种方法；按照“3∶1∶1”分配时，有·＝60种方法.由分类加法计数原理，可得不同分配方案有90＋60＝150种.
任务四 排列与组合的综合问题
从甲、乙、丙等7人中选出5人排成一排.(以下问题均用数字作答)
(1)甲、乙、丙三人恰有两人在内，有多少种排法？
(2)甲、乙、丙三人全在内，且甲在乙、丙之间(可以不相邻)有多少种排法？
解：(1)由于甲、乙、丙三人中恰有两人在内，所以可以分3步完成：
第1步，从3人中选中2人，有种选法.
第2步，从其余4人中选出3人，有种选法.
第3步，将选出的5个人全排列，有种排法.
根据分步乘法计数原理，不同的排法有××＝1 440种.
(2)由于三人全在内，且甲在乙、丙之间，所以可以分3步完成：
第1步，从其余4人中选出2人，有种选法.
第2步，将2人安排到5个位置中的2个位置，有种方法.
第3步，剩余3个位置排甲、乙、丙三人，有2种方法.
根据分步乘法计数原理，不同排法有××2＝240种.
[变式探究]
(变条件)甲、乙、丙都在内，且甲、乙必须相邻，甲、丙不相邻，有多少种排法？
解：由于甲、乙必须相邻，甲、丙不相邻，所以分3步完成：
第1步：从其余4人中选出2人，有种选法.
第2步：将甲、乙捆绑与选出的2人排列，有×种方法.
第3步：将丙插空有3种方法.
根据分步乘法计数原理，不同排法共有×××3＝216种.
解排列、组合综合问题的一般思路是“先选后排”，也就是先把符合题意的元素都选出来，再对元素或位置进行排列.
对点练4.有5个男生和3个女生，从中选出5人担任5门不同学科的课代表，求分别符合下列条件的选法数.
(1)有女生但人数必须少于男生；
(2)某男生必须包括在内，但不担任数学课代表；
(3)某女生一定要担任语文课代表，某男生必须担任课代表，但不担任数学课代表.
解：(1)先选后排，先取可以是2女3男，也可以是1女4男，先取有＋种，后排有种，共·＝5 400(种).
(2)先选后排，但先安排该男生，有··＝3 360(种).
(3)先从除去该男生、该女生的6人中选3人有种，再安排该男生有种，其余3人全排有种，共··＝360(种).
任务再现 1.有限制条件的组合问题.2.与几何图形有关的组合问题.3.分组、分配问题.4.排列与组合的综合问题
方法提炼 分类讨论、插空法、隔板法、均分法
易错警示 分类不当；平均分组理解不到位
1.甲乙两人分别从a，b，c，d，e五项不同科目中随机选三项学习，则两人恰好有两项科目相同的选法有( )
A.30种 B.60种
C.45种 D.90种
答案：B
解析：两人恰好有两项科目相同的选法为＝60种.故选B.
2.两位同学分4本不同的书，每人至少分1本，4本书都分完，则不同的分发方式共有( )
A.10种 B.14种
C.20种 D.24种
答案：B
解析：①一个人一本，另一个人三本有＝8种；②每人各2本有＝6种，所以一共有14种.故选B.
3.有8个点在同一平面内，其中任意三点不共线，从中任选三点为顶点，可以作 个三角形.
答案：56
解析：因8个点中，任意三点不共线，且选定三点为顶点的三角形只有一个，故这样的三角形有＝＝56个.
4.现有9件产品，其中4件一等品，3件二等品，2件三等品，从中抽取3件产品.
(1)试问共有多少种不同的抽法？
(2)抽出的3件产品中一等品、二等品、三等品各1件的抽法共有多少种？
(3)抽出的3件产品中至少有1件二等品的抽法共有多少种？
解：(1)从9件产品中抽取3件产品共有＝84种.
(2)从9件产品中抽取3件产品，其中一等品、二等品、三等品各1件有＝24种.
(3)“抽出的3件产品中至少有1件二等品”的对立事件是“抽取的3件产品没有一件二等品”，
因此抽出的3件产品中至少有1件二等品共有－＝64种.
课时分层评价35 组合的应用(习题课)
(时间：60分钟 满分：100分)
(1—9，每小题5分，共45分)
1.从5名学生中选出3名参加社团活动，其中甲必须入选的选法有( )
A.6种 B.8种
C.12种 D.16种
答案：A
解析：从5名学生中选出3名参加社团活动，其中甲必须入选的选法有＝＝6种.故选A.
2.从1，3，5，7，9这五个数字中任取3个，从2，4，6，8这四个数中任取2个，组成数字不重复的五位数的个数是( )
A. B.
C. D.
答案：D
解析：从1，3，5，7，9中任取3个数有种方法，从2，4，6，8中任取2个数有种方法，再把取出的5个数全排列共有种.故选D.
3.如图是2024年法国巴黎奥运会和残奥会吉祥物“弗里热”，其中残奥会的吉祥物有一个“腿”被设计成了假肢，现将4个奥运会吉祥物和2个残奥会吉祥物排成一排，则不同的排法有( )
A.6种 B.12种
C.15种 D.60种
答案：C
解析：从一排的6个位置选2个摆放残奥会吉祥物即可(剩下的4个位置放奥运会吉祥物)，＝15.故选C.
4.在直角坐标xOy平面中，平行直线x＋y－a＝0(a＝0，1，2，3，4，5)与平行直线2x－y＋b＝0(b＝0，1，2，3，4，5)组成的图形中，平行四边形共有( )
A.25个 B.36个
C.100个 D.225个
答案：D
解析：从平行直线x＋y－a＝0中选2条，再从平行直线2x－y＋b＝0(b＝0，1，2，3，4，5)中选2条，即可确定1个平行四边形，所以可确定平行四边形的个数为×＝15×15＝225个.故选D.
5.某人工智能研发公司从5名程序员与3名数据科学家中选择3人组建一个项目小组，该小组负责开发一个用于图象识别的深度学习算法.已知选取的3人中至少有1名负责算法的实现与优化的程序员和1名负责数据的准备与分析的数据科学家，且选定后3名成员还需有序安排，则不同的安排方法的种数为( )
A.240 B.270
C.300 D.330
答案：B
解析：选取的3人中有1名程序员和2名科学家的组合有种；选取的3人中有2名程序员和1名科学家的组合有种；由题意，不同的安排方法有＝270种.故选B.
6.(多选题)某学生在物理，化学，生物，政治，历史，地理这六门课程中选择三门作为选考科目，则下列说法正确的是( )
A.若任意选择三门课程，则总选法为
B.若物理和历史至少选一门，则总选法为
C.若物理和历史不能同时选，则总选法为－
D.若物理和历史至少选一门且不能同时选，则总选法为
答案：ACD
解析：对于A，若任意选择三门课程，选法总数为种，故A正确；对于B，若物理和历史选一门，有种方法，其余两门从剩余的4门中选2门，有种选法，若物理和历史选两门，有种选法，剩下一门从剩余的4门中选1门，有种选法，由分步乘法计数原理知，选法总数为＋种，故B错误；对于C，若物理和历史不能同时选，选法总数为－＝－种，故C正确；对于D，由选项B的分析知，若物理和历史至少选一门且不能同时选，有种选法，故D正确.故选ACD.
7.某校的4名体育教师对足球、篮球、羽毛球3个运动兴趣小组进行指导，要求每项运动至少有一名教师指导，每名教师指导一项运动，则分派方法共有 种.
答案：36
解析：先将4名教师分成3组的方法有＝6种，将3组教师分配指导3个运动兴趣小组的方法有＝6种，所以总的分派方法共有6×6＝36种.
8.人的身高各不相等，排成前后排，每排5人，要求从左至右身高逐渐增加，共有 种排法.
答案：252
解析：由题意可知，每排5人，身高定序，选出5人即按序排好，第一步，先定前排，从10人中选5人按身高排好，有＝＝252种方法，第二步，再定后排，前排选定后，余下5人在后排且定序排好，只有1种排法.由分步乘法计数原理得，共有252×1＝252种排法.
9.一个词典里包含10个不同的单词，其中有4个以字母“A”开头，其余以其他字母开头.从中选择5个单词组成一个新的子集，其中至少包含两个“A”开头，一共有 个这样的子集.(要求用数字作答)
答案：186
解析：从含有4个以字母“A”开头的10个不同的单词选择5个单词，其中至少包含两个“A”开头的选法可分为4类，第一类：所选5个单词中，有且只有两个“A”开头的单词，符合要求的选法有个；第二类：所选5个单词中，有且只有三个“A”开头的单词，符合要求的选法有个；第三类：所选5个单词中，有且只有四个“A”开头的单词，符合要求的选法有个；由分类加法计数原理可得，符合要求的子集共有＋＋＝186个.
10.(15分)从6名男生，5名女生中选举3人分别担任班长，学习委员和体育委员.
(1)若担任班长，学习委员和体育委员的3人中有女生，则不同的情况有多少种？
(2)若担任班长和学习委员的学生性别不同，则不同的情况有多少种？
解：(1)由题意知担任班长，学习委员和体育委员的3人中有女生，
可从11人中入选3人，减去全是选男生的情况，再分配担任不同的职务，
故不同的情况有－＝870种.
(2)若担任班长和学习委员的学生性别不同，
则不同的情况有＝540种.
(11—13，每小题5分，共15分)
11.四面体的顶点和各棱的中点共10个点.在这10个点中取4个不共面的点，则不同的取法种数为( )
A.141 B.144
C.150 D.155
答案：A
解析：从10个点中任取4个点有种取法，其中4点共面的情况有三类.第一类，取出的4个点位于四面体的同一个面上，有4种；第二类，取任一条棱上的3个点及该棱所对棱的中点，这4点共面，有6种；第三类，由中位线构成的平行四边形(其两组对边分别平行于四面体相对的两条棱)，它的4顶点共面，有3种.以上三类情况不合要求应减掉，所以不同的取法共有－4－6－3＝141种.故选A.
12.(多选题)现安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加暑期志愿者服务活动，有翻译、导购员、收银员、仓库管理员四项工作可供选择，每人至多从事一项工作，下列说法正确的是( )
A.若5人每人可任选一项工作，则有45种不同的选法
B.若安排甲和乙分别从事翻译、收银工作，其余3人中任选2人分别从事导购、仓库管理工作，则有12种不同的方案
C.若仓库管理工作必须安排2人，其余工作各安排1人，则有60种不同的方案
D.若每项工作至少安排1人，每人均需参加一项工作，其中甲、乙不能从事翻译工作，则有126种不同的方案
答案：ACD
解析：对于A，若5人每人可任选一项工作，每人有4种选法，共有45种，故A正确；对于B，若安排甲和乙分别从事翻译、收银工作，其余3人中任选2人分别从事导购、仓库管理工作，则共有＝6种，故B错误；对于C，若仓库管理工作必须安排2人，其余工作各安排1人，则有＝60种，故C正确；对于D，若每项工作至少安排1人，每人均需参加一项工作，其中甲、乙不能从事翻译工作，分两种情况：从余下三名同学中选一人从事翻译工作，此时有··＝108种；从余下三名同学中选两人从事翻译工作，此时有·＝18种；所以共有108＋18＝126种，故D正确.故选ACD.
13.若从0，1，2，3，4，5这六个数字中任取2个偶数和2个奇数，组成一个无重复数字的四位数，则不同的四位数的个数是 .
答案：180
解析：根据题意，可将四位数分成两类：第一类，数字0被取到，则可从2，4中任选一个，再从1，3，5中任选两个，接着从除0外的另外三个数中取一个排在首位，剩下的在三个数位上全排，此时共有＝108个四位数；第二类，数字0没被取到，故2，4全被取到，只需从1，3，5中任选两个，再与2，4共4个数字在四个数位上全排，此时共有＝72个四位数.根据分类加法计数原理，不同的四位数的个数是108＋72＝180.
14.(15分)从A，B，C等7人中选5人排成一排(写出必要的数学式，结果用数字作答).
(1)若A必须在内，有多少种排法？
(2)若A，B，C三人不全在内，有多少种排法？
(3)若A，B，C都在内，且A，B必须相邻，C与A，B都不相邻，有多少种排法？
解：(1)根据题意，若A必须在内，先在其余6人中选出4人，再与A全排列即可，一共有＝1 800种排法.
(2)根据题意，在7人中选出5人排成一排，有＝2 520种排法，
若A，B，C都在内，有＝720种排法，
则A，B，C三人不全在内的排法有2 520－720＝1 800种.
(3)根据题意，先在其他4人中选出2人，有＝6种选法，
将A，B看成一个整体，与选出2人全排列，有2＝12种排法，
排好后，有2个空位可用，在其中选出1个，安排C，有2种情况，
则有6×12×2＝144种排法.
(15、16，每小题5分，共10分)
15.(新定义)定义：如果集合U存在一组两两不交(两个集合交集为空集时，称为不交)的非空真子集A1，A2，…，Ak，且A1∪A2∪…∪Ak＝U，那么称无序子集组A1，A2，…，Ak构成集合U的一个k划分.已知集合I＝{x∈N｜≤0}，则集合I的所有划分的个数为 .
答案：51
解析：由题意得，I＝＝，共有5个元素，则2划分有＋＝15个，3划分有＝25个，4划分有＝10个，5划分有1个，所以所有划分的个数为51个.
16.(双空题)为研究方程x＋y＋z＝8正整数解的不同组数，我们可以用“挡板法”：取8个相同的小球排成一排，这8个小球间有7个“空挡”，在这7个“空挡”中选择2个“空挡”，在每个“空挡”插入1块挡板，2块挡板将这8个小球分成“三段”，每段小球的个数分别对应x，y，z的一个正整数解，由此可以得出此方程正整数解的不同组数为.据此原理，则方程w＋x＋y＋z＝10的正整数解的不同组数为 (用数字作答)；该方程自然数解的不同组数为 (用数字作答).
答案：84 286
解析：由题意，则方程w＋x＋y＋z＝10的正整数解的不同组数为＝84，若w，x，y，z中没有0，则有＝84种，若w，x，y，z中有1个为0，则有＝144种，若w，x，y，z中有2个为0，则有＝54种，若w，x，y，z中有3个为0，则有＝4种，该方程自然数解的不同组数为84＋144＋54＋4＝286.
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组合的应用(习题课)
第五章 §3 组合问题
学习目标
1.掌握具有限制条件的排列、组合问题的解决方法.
2.理解排列、组合中的多面手、分组分配等问题，培养数学 运算、数学建模的核心素养.
任务一 有限制条件的组合问题
典例
1
规律方法
解决有限制条件的组合问题的策略
1.与解决有约束条件的排列问题的方法一样，都是遵循“谁特殊谁优先”的原则，在此前提下，或分类或分步或用间接法.
2.要正确理解题中的关键词，如“至少”“至多”“含”“不含”等的确切含义，正确分类，合理分步.
3.要谨防重复或遗漏，当直接法中分类较复杂时，可考虑用间接法处理，即“正难则反”的策略.
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任务二 与几何图形有关的组合问题
典例
2
规律方法
解答与几何有关的组合问题的策略
1.几何图形组合问题主要考查组合的知识和空间想象能力，题目多以立体几何中的点、线、面的位置关系为背景.这类问题情境新颖，多个知识点交汇在一起，综合性强.
2.解答几何图形组合问题的思考方法与一般的组合问题基本一样，只要把图形的限制条件视为组合问题的限制条件即可.
3.计算时可用直接法，也可用间接法，要注意在限制条件较多的情况下，需要分类计算符合题意的组合数.
√
对点练2.(1)以平行六面体的顶点为顶点的四面体的个数为
A.70 B.64
C.58 D.24
(2)平面上有8个点，其中有3个点在同一条直线上，除此之外，不再有任意三点共线，由这些点可以确定 条直线.
26
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任务三 分组、分配问题
典例
3
√
√
√
规律方法
分组、分配问题的规律方法
1.分组问题属于“组合”问题，常见的分组问题有三种：
(1)完全均匀分组，每组的元素个数均相等，均匀分成n组，最后必须除以n！；
(2)部分均匀分组，应注意不要重复，有n组均匀，最后则需除以n！；
(3)完全非均匀分组，这种分组不考虑重复现象.
2.分配问题属于“排列”问题，分配问题可以按要求逐个分配，也可以先分组后分配.
角度2 相同元素的分组分配问题
(双空题)将8个相同的小球放入5个编号为1，2，3，4，5的盒子，每个盒子都不空的方法数为 ，恰有一个空盒子的方法数为 .
35
175
典例
4
规律方法
对点练3.(1)已知A，B两个公司承包6项工程，每个公司至少承包2项，则承包方式共有
A.24种 B.70种
C.48种 D.50种
√
(2)某校准备参加2025年高中数学联赛，把10个选手名额分配给高三年级的3个教学班.若每班至少一个名额，则不同的分配方案有 种.(用数字作答)
36
(3)将5名大学生分配到3个乡镇当村官.每个乡镇至少一名，则不同分配方案有 种.
150
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任务四 排列与组合的综合问题
典例
5
规律方法
解排列、组合综合问题的一般思路是“先选后排”，也就是先把符合题意的元素都选出来，再对元素或位置进行排列.
课堂小结
任务再现 1.有限制条件的组合问题.2.与几何图形有关的组合问题.3.分组、分配问题.4.排列与组合的综合问题
方法提炼 分类讨论、插空法、隔板法、均分法
易错警示 分类不当；平均分组理解不到位
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随堂评价
√
1.甲乙两人分别从a，b，c，d，e五项不同科目中随机选三项学习，则两人恰好有两项科目相同的选法有
A.30种 B.60种
C.45种 D.90种
√
2.两位同学分4本不同的书，每人至少分1本，4本书都分完，则不同的分发方式共有
A.10种 B.14种
C.20种 D.24种
3.有8个点在同一平面内，其中任意三点不共线，从中任选三点为顶点，可以作 个三角形.
56
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课时分层评价
√
1.从5名学生中选出3名参加社团活动，其中甲必须入选的选法有
A.6种 B.8种
C.12种 D.16种
√
√
3.如图是2024年法国巴黎奥运会和残奥会吉祥物“弗里热”，其中残奥会的吉祥物有一个“腿”被设计成了假肢，现将4个奥运会吉祥物和2个残奥会吉祥物排成一排，则不同的排法有
A.6种
B.12种
C.15种
D.60种
√
4.在直角坐标xOy平面中，平行直线x＋y－a＝0(a＝0，1，2，3，4，5)与平行直线2x－y＋b＝0(b＝0，1，2，3，4，5)组成的图形中，平行四边形共有
A.25个 B.36个
C.100个 D.225个
√
5.某人工智能研发公司从5名程序员与3名数据科学家中选择3人组建一个项目小组，该小组负责开发一个用于图象识别的深度学习算法.已知选取的3人中至少有1名负责算法的实现与优化的程序员和1名负责数据的准备与分析的数据科学家，且选定后3名成员还需有序安排，则不同的安排方法的种数为
A.240 B.270
C.300 D.330
√
√
√
7.某校的4名体育教师对足球、篮球、羽毛球3个运动兴趣小组进行指导，要求每项运动至少有一名教师指导，每名教师指导一项运动，则分派方法共有 种.
36
8.人的身高各不相等，排成前后排，每排5人，要求从左至右身高逐渐增加，共有 种排法.
252
9.一个词典里包含10个不同的单词，其中有4个以字母“A”开头，其余以其他字母开头.从中选择5个单词组成一个新的子集，其中至少包含两个“A”开头，一共有 个这样的子集.(要求用数字作答)
186
√
11.四面体的顶点和各棱的中点共10个点.在这10个点中取4个不共面的点，则不同的取法种数为
A.141 B.144
C.150 D.155
√
√
12.(多选题)现安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加暑期志愿者服务活动，有翻译、导购员、收银员、仓库管理员四项工作可供选择，每人至多从事一项工作，下列说法正确的是
A.若5人每人可任选一项工作，则有45种不同的选法
B.若安排甲和乙分别从事翻译、收银工作，其余3人中任选2人分别从事导购、仓库管理工作，则有12种不同的方案
C.若仓库管理工作必须安排2人，其余工作各安排1人，则有60种不同的
方案
D.若每项工作至少安排1人，每人均需参加一项工作，其中甲、乙不能从事翻译工作，则有126种不同的方案
√
13.若从0，1，2，3，4，5这六个数字中任取2个偶数和2个奇数，组成一个无重复数字的四位数，则不同的四位数的个数是 .
180
51
84
286
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