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第3课时 直线方程的一般式
第一章 §1 直线与直线的方程
1.3 直线的方程
学习目标
1.根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线方程的一 般式，培养数学抽象的核心素养.
2.理解关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(A，B不全为0)都可表示一条直线.
3.会进行直线方程的五种形式之间的转化，提升逻辑推理、直观想象和数学运算的核心养.
任务一 直线方程的一般式
问题导思
新知构建
Ax＋By＋C＝0
微提醒
直线方程的一般式的结构特征
(1)方程是关于x，y的二元一次方程，方程中等号的左侧自左向右一般按x，y，常数的先后顺序排列.(2)x的系数一般不为分数和负数.(3)解题时，如无特殊说明，应把求得的直线方程化为一般式.
2.直线方程五种形式的比较
名称 已知条件 方程形式 适用范围
点斜式 点P1(x1，y1)和斜率k ______________ _________________
斜截式 斜率k和在y轴上的截距b ______________ _________________
两点式 点P1(x1，y1)和点P2(x2，y2) ______________________
不垂直于x，y轴的直线
不垂直于x轴的直线
不垂直于x轴的直线
y＝kx＋b
y－y1＝k(x－x1)
名称 已知条件 方程形式 适用范围
截距式 在x轴上的截距为a，在y轴上的截距为b，且截距不为零 ____________________________________
一般式 两个独立的条件 ______________ __________________
Ax＋By＋C＝0
A，B不全为零
不垂直于x，y轴的直线，不过原点的直线
当直线满足如下位置关系时，直线方程Ax＋By＋C＝0的系数A，B，C满足什么条件？
(1)与两条坐标轴都相交；
提示：当A≠0，B≠0；
(2)直线只与x轴相交；
提示：当A≠0，B＝0，C≠0；
(3)直线只与y轴相交；
提示：当A＝0，B≠0，C≠0；
微思考
(4)直线与x轴重合；
提示：当A＝0，B≠0，C＝0；
(5)直线与y轴重合.
提示：当A≠0，B＝0，C＝0.
(2)斜率为4，在y轴上的截距为－2；
解：由直线方程的斜截式得直线方程为y＝4x－2，
即4x－y－2＝0.
典例
1
(3)经过A(－1，5)，B(2，－1)两点；
(4)在x轴、y轴上的截距分别为－3，－1.
即2x＋y－3＝0.
即x＋3y＋3＝0.
规律方法
1.求直线方程的一般式的策略
在求直线方程时，设一般式有时并不简单，常用的还是根据给定条件选出四种特殊形式之一求方程(常设的方程有点斜式和斜截式)，然后转化为一般式.
2.直线方程的一般式与其他形式的互化
x＋2y＋4＝0
2x－y－3＝0
返回
(3)经过点P1(3，－2)，P2(5，－4)的直线方程为 .
x＋y－1＝0
任务二 与含参数的一般式方程有关的问题
已知方程(m2－2m－3)x＋(2m2＋m－1)y＋6－2m＝0(m∈R).
(1)求该方程表示一条直线的条件；
解：当x，y的系数不同时为零时，方程表示一条直线.
令m2－2m－3＝0，解得m＝－1或m＝3；
所以x，y的系数同时为零时m＝－1，
故若方程表示一条直线，则m≠－1，
典例
2
(2)当m为何实数时，方程表示的直线斜率不存在？求出这时的直线方程；
解：当x的系数不为0，y的系数为0时斜率不存在，
此时直线方程为3x－4＝0.
(3)已知方程表示的直线l在x轴上的截距为－3，求实数m的值.
解：易知m≠－1且m≠3时，直线在x轴上的截距存在.
变式探究
(变条件)本例(3)中，若方程表示的直线l的倾斜角是45°，求实数m的值.
因为直线的倾斜角是45°，所以斜率为1，
规律方法
已知含参数的直线的一般式方程求参数的值或取值范围的步骤
对点练2.已知直线l：ax＋(1－2a)y＋1－a＝0.
(1)当直线l在x轴上的截距是它在y轴上的截距的3倍时，求实数a的值；
(2)当直线l不通过第四象限时，求实数a的取值范围.
√
典例
3
(2)(双空题)直线3x＋4y－7＝0的点向式方程是 ；点法式方程
是 .
3(x－1)＋4(y－1)＝0
返回
课堂小结
任务再现 1.直线方程的一般式.2.直线方程五种形式的互化.3.与含参数的一般式方程有关的问题
方法提炼 分类讨论思想、转化与化归思想
易错警示 1.忽视斜率不存在的情况.2.忽视不同直线方程形式的适用范围
随堂评价
√
√
3.经过点P(2，1)，且在x轴上的截距是在y轴上的截距的2倍的直线l的一般式方程是 .
x－2y＝0或x＋2y－4＝0
3
返回
课时分层评价
令y＝0，则2x＋6＝0，解得x＝－3，所以直线l：2x－3y＋6＝0在x轴上的截距是－3.故选C.
√
1.直线l：2x－3y＋6＝0在x轴上的截距是
A.(－3，0) B.(3，0)
C.－3 D.3
√
√
3.直线l的方程为Ax＋By＋C＝0，若直线l过原点和第二、四象限，则
A.C＝0，B＞0 B.A＞0，B＞0，C＝0
C.AB＜0，C＝0 D.AB＞0，C＝0
4.直线l1：ax－y＋b＝0，l2：bx－y＋a＝0(a≠0，b≠0，a≠b)在同一坐标系中的图象大致是
√
将l1与l2的方程化为l1：y＝ax＋b，l2：y＝bx＋a.对于A，由l1的图象可知，a＜0，b＜0，由l2的图象知b＞0，a＞0，两者矛盾，故A错误；对于B，由l1的图象可知，a＜0，b＞0，由l2的图象知b＞0，a＞0，两者矛盾，故B错误；对于C，由l1的图象可知，a＞0，b＞0，由l2的图象可知，a＞0，b＞0，故C正确；对于D，由l1的图象可知，a＞0，b＜0，由l2的图象可知a＞0，b＞0，两者矛盾，故D错误.故选C.
√
√
√
√
√
6.(多选题)下列说法中正确的是
A.平面上任一条直线都可以用一个关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)表示
B.当C＝0时，方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)表示的直线过原点
C.当A＝0，B≠0，C≠0时，方程Ax＋By＋C＝0表示的直线与x轴平行
D.任何一条直线的一般式都能与其他四种形式互化
由直线点斜式方程可得y－3＝2(x－1)，化成一般式为2x－y＋1＝0.
7.斜率为2，且经过点A(1，3)的直线的一般式方程为 .
2x－y＋1＝0
8.已知直线(a＋2)x＋(a2－2a－3)y－2a＝0在x轴上的截距为3，则该直线在
y轴上的截距为 .
9.若直线l：ax＋y－2－a＝0在x轴和y轴上的截距相等，则直线l的斜率为 .
2或－1
10.(13分)若方程(m2－3m＋2)x＋(m－2)y－2m＋5＝0表示直线.
(1)求实数m需满足的条件；
(2)若该直线的斜率k＝1，求实数m的值.
解：由题意知，m≠2，
又方程表示直线时，m2－3m＋2与m－2不同时为0，故m≠2.
√
11.将直线l上一点A(－1，2)向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到的点B仍在直线l上，则直线l的方程是
A.2x－y＋4＝0 B.2x＋y＝0
C.2x－y＋5＝0 D.x＋2y－3＝0
12.当点P(x，y)为直线l上任意一点时，点Q(4x＋2y，x＋3y)也在该直线上，则直线l的方程为 .
x＋y＝0或x－2y＝0
设直线方程为ax＋by＋c＝0，则a(4x＋2y)＋b(x＋3y)＋c＝0也成立，即(4a＋b)x＋(2a＋3b)y＋c＝0，它与ax＋by＋c＝0表示的是同一直线方程，若a，b之一为0，则由上述结论可知另一数也为0，这不可能.所以a，b均不为0，上述两个直线方程表示同一直线，则(4a＋b)b＝(2a＋3b)a，即(2a＋b)(a－b)＝0，所以b＝a或b＝－2a，无论何种情况c都为0，所以直线方程经化简后为x＋y＝0或x－2y＝0.
9
14.(15分)设直线l的方程为(a＋1)x＋y＋2－a＝0(a∈R).
(1)若l在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程；
解：当直线过原点时满足条件，此时2－a＝0，解得a＝2，化为3x＋y＝0.
当直线不过原点时，则直线斜率为－1，故a＋1＝1，解得a＝0，可得直线l的方程为x＋y＋2＝0.
综上所述，直线l的方程为3x＋y＝0或x＋y＋2＝0.
(2)若l不经过第二象限，求实数a的取值范围；
解：y＝－(a＋1)x＋a－2，
因为l不经过第二象限，
(3)若直线l交x轴正半轴于点A，交y轴负半轴于点B，△AOB的面积为S，求S的最小值并求此时直线l的方程.
解：令x＝0，得y＝a－2＜0，解得a＜2；
综上有a＜－1.
当且仅当a＝－4时取等号.
所以S的最小值是6，此时直线l的方程为－3x＋y＋6＝0，即3x－y－6＝0.
15.(5分)(新情境)如图所示，在平面直角坐标系Oxy中，
已知点A(0，2)，B(－2，0)，C(1，0)，分别以AB，AC
为边向外作正方形ABEF与ACGH，则直线FH的一般式
方程为 .
x＋4y－14＝0
解：由题意可得kOA＝tan 45°＝1，
返回第3课时 直线方程的一般式
学习目标 1.根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线方程的一般式，培养数学抽象的核心素养. 2.理解关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(A，B不全为0)都可表示一条直线. 3.会进行直线方程的五种形式之间的转化，提升逻辑推理、直观想象和数学运算的核心素养.
任务一 直线方程的一般式
问题1.平面直角坐标系中任意一条直线都可以用一个关于x，y的二元一次方程表示吗？
提示：可以.直线斜率存在时，点斜式方程y－y0＝k(x－x0)为二元一次方程；斜率不存在时，x－x0＝0也可以认为是y的系数为0的二元一次方程.
问题2.任何关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(A，B不全为0)都可以表示平面直角坐标系中的一条直线吗？
提示：可以，任何关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(A，B不全为0)，当B≠0时，y＝－x－，它表示平面直角坐标系中的一条与x轴不垂直的直线(其中－是直线的斜率)；当B＝0，且A≠0时，x＝－，它表示平面直角坐标系中的一条与x轴垂直的直线.
1.直线方程的一般式
(1)定义：关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(其中A，B不全为0)表示的是一条直线，称它为直线方程的一般式.
(2)适用范围：平面直角坐标系中，任何一条直线都可用一般式表示.
(3)几何意义：①当B≠0时，则－＝k(斜率)，－＝b(y轴上的截距)；
②当B＝0，且A≠0时，则－＝a(x轴上的截距)，此时不存在斜率.
微提醒 直线方程的一般式的结构特征
(1)方程是关于x，y的二元一次方程，方程中等号的左侧自左向右一般按x，y，常数的先后顺序排列.(2)x的系数一般不为分数和负数.(3)解题时，如无特殊说明，应把求得的直线方程化为一般式.
2.直线方程五种形式的比较
名称 已知条件 方程形式 适用范围
点斜式 点P1(x1，y1)和斜率k y－y1＝k(x－x1) 不垂直于x轴的直线
斜截式 斜率k和在y轴上的截距b y＝kx＋b 不垂直于x轴的直线
两点式 点P1(x1，y1)和点P2(x2，y2) ＝ 不垂直于x，y轴的直线
截距式 在x轴上的截距为a，在y轴上的截距为b，且截距不为零 ＋＝1 不垂直于x，y轴的直线，不过原点的直线
一般式 两个独立的条件 Ax＋By＋C＝0 A，B不全为零
[微思考] 当直线满足如下位置关系时，直线方程Ax＋By＋C＝0的系数A，B，C满足什么条件？
(1)与两条坐标轴都相交；(2)直线只与x轴相交；
(3)直线只与y轴相交；(4)直线与x轴重合；
(5)直线与y轴重合.
提示：(1)当A≠0，B≠0；(2)当A≠0，B＝0，C≠0；(3)当A＝0，B≠0，C≠0；(4)当A＝0，B≠0，C＝0；(5)当A≠0，B＝0，C＝0.
(链教材P13例11)根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式：
(1)斜率是 ，且经过点A(5，3)；
(2)斜率为4，在y轴上的截距为－2；
(3)经过A(－1，5)，B(2，－1)两点；
(4)在x轴、y轴上的截距分别为－3，－1.
解：(1)由直线方程的点斜式得y－3＝(x－5)，
即x－y－5＋3＝0.
(2)由直线方程的斜截式得直线方程为y＝4x－2，
即4x－y－2＝0.
(3)由直线方程的两点式得＝，
即2x＋y－3＝0.
(4)由直线方程的截距式得直线方程为＋＝1，
即x＋3y＋3＝0.
1.求直线方程的一般式的策略 在求直线方程时，设一般式有时并不简单，常用的还是根据给定条件选出四种特殊形式之一求方程(常设的方程有点斜式和斜截式)，然后转化为一般式. 2.直线方程的一般式与其他形式的互化
对点练1.根据下列各条件写出直线的方程，并化成一般式：
(1)斜率是－，且经过点A(8，－6)的直线方程为 ；
(2)在x轴和y轴上的截距分别是和－3的直线方程为 ；
(3)经过点P1(3，－2)，P2(5，－4)的直线方程为 .
答案：(1)x＋2y＋4＝0(2)2x－y－3＝0(3)x＋y－1＝0
解析：(1)由直线方程的点斜式得y－(－b)＝－(x－8)，即x＋2y＋4＝0；
(2)由直线方程的截距式得＋＝1，即2x－y－3＝0；
(3)由直线方程的两点式得＝，即x＋y－1＝0.
任务二 与含参数的一般式方程有关的问题
已知方程(m2－2m－3)x＋(2m2＋m－1)y＋6－2m＝0(m∈R).
(1)求该方程表示一条直线的条件；
(2)当m为何实数时，方程表示的直线斜率不存在？求出这时的直线方程；
(3)已知方程表示的直线l在x轴上的截距为－3，求实数m的值.
解：(1)当x，y的系数不同时为零时，方程表示一条直线.
令m2－2m－3＝0，解得m＝－1或m＝3；
令2m2＋m－1＝0，解得m＝－1或m＝.
所以x，y的系数同时为零时m＝－1，
故若方程表示一条直线，则m≠－1，
即实数m的取值范围为.
(2)当x的系数不为0，y的系数为0时斜率不存在，
由(1)知当m＝时，2m2＋m－1＝0且m2－2m－3≠0，方程表示的直线的斜率不存在，
此时直线方程为3x－4＝0.
(3)易知m≠－1且m≠3时，直线在x轴上的截距存在.
依题意，令y＝0，得直线在x轴上的截距＝－3，解得m＝－(m＝3舍去).
所以实数m的值为－.
[变式探究]
(变条件)本例(3)中，若方程表示的直线l的倾斜角是45°，求实数m的值.
解：易知m≠－1且m≠时，直线的斜率存在，
方程即y＝－x－(m∈R)，故斜率为－.
因为直线的倾斜角是45°，所以斜率为1，
所以－＝1，解得m＝(m＝－1舍去).
所以实数m的值为.
已知含参数的直线的一般式方程求参数的值或取值范围的步骤
对点练2.已知直线l：ax＋(1－2a)y＋1－a＝0.
(1)当直线l在x轴上的截距是它在y轴上的截距的3倍时，求实数a的值；
(2)当直线l不通过第四象限时，求实数a的取值范围.
解：(1)由条件知，a≠0且a≠，
在直线l的方程中，令y＝0得x＝，令x＝0得y＝.
所以＝×3，解得a＝1，或a＝，
经检验，a＝1，均符合要求.
(2)当a＝时，l的方程为x＋＝0，即x＝－1，此时l不通过第四象限；
当a≠时，直线l的方程为y＝x＋.
l不通过第四象限，即＜a≤1.
综上所述，当直线l不通过第四象限时，实数a的取值范围为.
[教材拓展1] 直线的点向式方程与平面内直线的点法式方程(源于教材P15－例14、例15)
(1)已知点A，B和C(4，－5)，则经过点A且与BC垂直的直线l的点法式方程为( )
A.2－＝0
B.－2＋3＝0
C.x－4＝0
D.7－4＝0
(2)(双空题)直线3x＋4y－7＝0的点向式方程是 ；点法式方程是 .
答案：(1)D(2)＝ 3(x－1)＋4(y－1)＝0
解析：(1)根据题意知道直线l的法向量可取＝(7，－4)，则直线l的点法式方程为7－4(y－6)＝0.故选D.
(2)因为直线3x＋4y－7＝0过点(1，1)，一个方向向量为(4，－3)，所以点向式方程是＝，点法式方程是3(x－1)＋4(y－1)＝0.
任务 再现 1.直线方程的一般式.2.直线方程五种形式的互化.3.与含参数的一般式方程有关的问题
方法 提炼 分类讨论思想、转化与化归思想
易错 警示 1.忽视斜率不存在的情况.2.忽视不同直线方程形式的适用范围
1.直线＋＝1化成一般式方程为( )
A.y＝－x＋4 B.y＝－(x－3)
C.4x＋3y－12＝0 D.4x＋3y＝12
答案：C
2.在平面直角坐标系中，直线x＋ y＋1＝0的倾斜角是( )
A. B.
C. D.
答案：C
解析：因为直线斜率k＝－，所以倾斜角为.故选C.
3.经过点P(2，1)，且在x轴上的截距是在y轴上的截距的2倍的直线l的一般式方程是 .
答案：x－2y＝0或x＋2y－4＝0
解析：当截距不为0时，设直线方程为＋＝1，将P(2，1)代入得＋＝1，解得a＝2，故直线方程为＋＝1，即x＋2y－4＝0；当截距为0时，设直线方程为y＝kx，将P(2，1)代入得1＝2k，解得k＝，故y＝x，即x－2y＝0.
4.若直线(2m2－5m＋2)x－(m2－4)y＋5m＝0的倾斜角是，则实数m的值是 .
答案：3
解析：由已知得解得m＝3.
课时分层评价4 直线方程的一般式
(时间：60分钟 满分：110分)
(1—9，每小题5分，共45分)
1.直线l：2x－3y＋6＝0在x轴上的截距是( )
A.(－3，0) B.(3，0)
C.－3 D.3
答案：C
解析：令y＝0，则2x＋6＝0，解得x＝－3，所以直线l：2x－3y＋6＝0在x轴上的截距是－3.故选C.
2.已知直线x－ay＝4在y轴上的截距是2，则a等于( )
A.－2 B.2
C.－ D.
答案：A
解析：直线x－ay＝4可化为y＝x－，所以－＝2，得a＝－2.故选A.
3.直线l的方程为Ax＋By＋C＝0，若直线l过原点和第二、四象限，则( )
A.C＝0，B＞0 B.A＞0，B＞0，C＝0
C.AB＜0，C＝0 D.AB＞0，C＝0
答案：D
解析：因为直线l过原点和第二、四象限，所以即AB＞0，C＝0.故选D.
4.直线l1：ax－y＋b＝0，l2：bx－y＋a＝0(a≠0，b≠0，a≠b)在同一坐标系中的图象大致是( )
答案：C
解析：将l1与l2的方程化为l1：y＝ax＋b，l2：y＝bx＋a.对于A，由l1的图象可知，a＜0，b＜0，由l2的图象知b＞0，a＞0，两者矛盾，故A错误；对于B，由l1的图象可知，a＜0，b＞0，由l2的图象知b＞0，a＞0，两者矛盾，故B错误；对于C，由l1的图象可知，a＞0，b＞0，由l2的图象可知，a＞0，b＞0，故C正确；对于D，由l1的图象可知，a＞0，b＜0，由l2的图象可知a＞0，b＞0，两者矛盾，故D错误.故选C.
5.(多选题)下列说法正确的是( )
A.直线y＝ax－2a(a∈R)必过定点(2，0)
B.直线y＋1＝3x在y轴上的截距为1
C.直线x＋y＋1＝0的倾斜角为
D.经过点P(2，1)，且在x，y轴上截距互为相反数的直线方程为y＝x或x－y－1＝0
答案：AD
解析：对于A，由直线方程有y＝a(x－2)，故必过定点(2，0)，故A正确；对于B，令x＝0得y＝－1，故在y轴上的截距为－1，故B错误；对于C，由直线方程知：斜率为－，则倾斜角不为，故C错误；对于D，当直线过原点时，直线方程为y＝x；当直线不过原点时，设直线方程为＋＝1，代入P(2，1)，得a＝1，所以直线方程为x－y－1＝0，故D正确.故选AD.
6.(多选题)下列说法中正确的是( )
A.平面上任一条直线都可以用一个关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)表示
B.当C＝0时，方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)表示的直线过原点
C.当A＝0，B≠0，C≠0时，方程Ax＋By＋C＝0表示的直线与x轴平行
D.任何一条直线的一般式都能与其他四种形式互化
答案：ABC
解析：对于A，因为在平面直角坐标系中，每一条直线都有倾斜角α，当α≠时，直线的斜率k存在，其方程可写成y＝kx＋b，它可变形为kx－y＋b＝0，与Ax＋By＋C＝0比较，A＝k，B＝－1，C＝b；当α＝时，直线的斜率不存在，其方程可写成x－x1＝0，与Ax＋By＋C＝0比较，A＝1，B＝0，C＝－x1，显然A，B不同时为0，故A正确；对于B，当C＝0时，方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)，即Ax＋By＝0，显然有A·0＋B·0＝0，即直线过原点O(0，0)，故B正确；对于C，当A＝0，B≠0，C≠0时，方程Ax＋By＋C＝0可化为y＝－，它表示的直线与x轴平行，故C正确；对于D，当A＝0，B≠0，C≠0时，方程Ax＋By＋C＝0可化为y＝－，它表示的直线与x轴平行，不能用直线的截距式表示，故D错误.故选ABC.
7.斜率为2，且经过点A(1，3)的直线的一般式方程为 .
答案：2x－y＋1＝0
解析：由直线点斜式方程可得y－3＝2(x－1)，化成一般式为2x－y＋1＝0.
8.已知直线(a＋2)x＋(a2－2a－3)y－2a＝0在x轴上的截距为3，则该直线在y轴上的截距为 .
答案：－
解析：把(3，0)代入已知方程，得(a＋2)×3－2a＝0，所以a＝－6，所以直线方程为－4x＋45y＋12＝0，令x＝0，得y＝－.
9.若直线l：ax＋y－2－a＝0在x轴和y轴上的截距相等，则直线l的斜率为 .
答案：2或－1
解析：根据题意a≠0，由直线l：ax＋y－2－a＝0，令y＝0，得到直线在x轴上的截距是，令x＝0，得到直线在y轴上的截距是2＋a，根据题意得＝2＋a，即a2＋a－2＝0，解得a＝－2或a＝1.故直线l的斜率为2或－1.
10.(13分)若方程(m2－3m＋2)x＋(m－2)y－2m＋5＝0表示直线.
(1)求实数m需满足的条件；
(2)若该直线的斜率k＝1，求实数m的值.
解：(1)由解得m＝2.
又方程表示直线时，m2－3m＋2与m－2不同时为0，故m≠2.
(2)由题意知，m≠2，
由－＝1，解得m＝0.
(11—13，每小题5分，共15分)
11.将直线l上一点A(－1，2)向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到的点B仍在直线l上，则直线l的方程是( )
A.2x－y＋4＝0 B.2x＋y＝0
C.2x－y＋5＝0 D.x＋2y－3＝0
答案：A
解析：将A(－1，2)向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，得B(0，4)，因为A，B都在直线l上，则kl＝＝2，所以直线l的方程为y－4＝2x，即2x－y＋4＝0.故选A.
12.当点P(x，y)为直线l上任意一点时，点Q(4x＋2y，x＋3y)也在该直线上，则直线l的方程为 .
答案：x＋y＝0或x－2y＝0
解析：设直线方程为ax＋by＋c＝0，则a(4x＋2y)＋b(x＋3y)＋c＝0也成立，即(4a＋b)x＋(2a＋3b)y＋c＝0，它与ax＋by＋c＝0表示的是同一直线方程，若a，b之一为0，则由上述结论可知另一数也为0，这不可能.所以a，b均不为0，上述两个直线方程表示同一直线，则(4a＋b)b＝(2a＋3b)a，即(2a＋b)(a－b)＝0，所以b＝a或b＝－2a，无论何种情况c都为0，所以直线方程经化简后为x＋y＝0或x－2y＝0.
13.(新角度)已知直线(k＋1)x＋(1－2k)y－3＝0(k∈R)恒过定点A，点A在直线＋＝1(m＞0，n＞0)上，则2m＋n的最小值为 .
答案：9
解析：由题意知，(k＋1)x＋(1－2k)y－3＝k(x－2y)＋x＋y－3＝0，所以当时，方程恒成立，故直线恒过定点A(2，1)，所以＋＝1.则2m＋n＝(2m＋n)·＝5＋＋≥5＋2＝9，当且仅当m＝n＝3时等号成立，所以2m＋n的最小值为9.
14.(15分)设直线l的方程为(a＋1)x＋y＋2－a＝0(a∈R).
(1)若l在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程；
(2)若l不经过第二象限，求实数a的取值范围；
(3)若直线l交x轴正半轴于点A，交y轴负半轴于点B，△AOB的面积为S，求S的最小值并求此时直线l的方程.
解：(1)当直线过原点时满足条件，此时2－a＝0，解得a＝2，化为3x＋y＝0.
当直线不过原点时，则直线斜率为－1，故a＋1＝1，解得a＝0，可得直线l的方程为x＋y＋2＝0.
综上所述，直线l的方程为3x＋y＝0或x＋y＋2＝0.
(2)y＝－(a＋1)x＋a－2，
因为l不经过第二象限，
所以解得a≤－1.
所以实数a的取值范围是.
(3)令x＝0，得y＝a－2＜0，解得a＜2；
令y＝0，得x＝＞0，解得a＞2或a＜－1.
综上有a＜－1.
所以S＝＝｜a＋1＋－6｜＝3＋
≥3＋×2＝6，
当且仅当a＝－4时取等号.
所以S的最小值是6，此时直线l的方程为－3x＋y＋6＝0，即3x－y－6＝0.
15.(5分)(新情境)如图所示，在平面直角坐标系Oxy中，已知点A(0，2)，B(－2，0)，C(1，0)，分别以AB，AC为边向外作正方形ABEF与ACGH，则直线FH的一般式方程为 .
答案：x＋4y－14＝0
解析：过点H，F分别作y轴的垂线，垂足分别为M，N(图略).因为四边形ACGH为正方形，所以Rt△AMH≌Rt△COA，所以AM＝OC＝1，MH＝OA＝2，所以OM＝OA＋AM＝3，所以点H的坐标为(2，3)，同理得到F(－2，4)，所以直线FH的方程为＝，化为一般式方程为x＋4y－14＝0.
16.(17分)如图，射线OA，OB分别与x轴正半轴成45°和30°角，过点P(1，0)作直线AB分别交OA，OB于A，B两点，当AB的中点C恰好落在直线y＝x上时，求直线AB的方程.
解：由题意可得kOA＝tan 45°＝1，
kOB＝tan(180°－30°)＝tan 150°＝－，
所以lOA：y＝x，lOB：y＝－x.
设A(m，m)，B(－n，n)，
所以AB的中点C.
由点C在直线y＝x上，且A，P，B三点共线，得
解得m＝，所以A(，).
又P(1，0)，所以kAB＝kAP＝＝，
所以lAB：y＝(x－1)，
即直线AB的方程为(3＋)x－2y－3－＝0.
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