(共72张PPT)
1.4 两条直线的平行与垂直
第一章 §1 直线与直线的方程
学习目标
1.理解两条直线平行、垂直的条件，培养直观想象的核心
素养.
2.能根据斜率判定两条直线平行与垂直，提升逻辑推理和数
学运算的核心素养.
3.运用两直线平行和垂直时的斜率关系解决相应的几何问
题，提升数学运算的核心素养.
任务一 两条直线平行
问题导思
问题1.如图所示，设直线l1与l2的倾斜角分别为α1与α2，斜
率分别为k1与k2，若l1∥l2，则α1与α2之间有什么关系？k1与
k2之间有什么关系？
提示：若l1∥l2，α1与α2之间的关系为α1＝α2；
对于k1与k2之间的关系，当α1＝α2≠90°时，k1＝k2，当α1＝α2＝90°时，k1与k2均不存在.
问题2.对于两条不重合的直线l1与l2，若k1＝k2，是否一定有l1∥l2？为
什么？
提示：一定有l1∥l2.因为k1＝k2，所以tan α1＝tan α2，所以α1＝α2，所以l1∥l2.
新知构建
1.对于两条不重合的直线l1，l2，倾斜角分别为α1，α2，斜率存在时斜率分别为k1，k2.则对应关系如下：
类型 斜率存在 斜率不存在
前提条件 α1＝α2≠90° α1＝α2＝90°
对应关系 l1∥l2 ________ l1∥l2 两直线斜率都不存在
图示
k1＝k2
2.对于两条不重合的直线l1：y＝k1x＋b1和l2：y＝k2x＋b2(其中b1≠b2)，则l1∥l2 ________.
3.若直线l1与直线l2的斜率都不存在，则它们都是倾斜角为___的直线，从而它们互相____________.
k1＝k2
平行或重合
微提醒
微思考
对于两条不重合的直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0和l2：A2x＋B2y＋C2＝0，可否用它们的法向量n1＝(A1，B1)，n2＝(A2，B2)来判断这两条直线是否平
行呢？
提示：能，l1∥l2 A1B2－A2B1＝0.
典例
1
(3)l1：x＝2 000，l2：x＝2 025；
解：设两直线l1，l2的斜率分别为k1，k2，在y轴上的截距分别为b1，b2.
由两直线的方程可知，l1∥y轴，
l2∥y轴，且两直线在x轴上的截距不相等，
所以l1∥l2.
(4)l1：y＝2x＋1，l2：2x－y＋1＝0.
解：设两直线l1，l2的斜率分别为k1，k2，在y轴上的截距分别为b1，b2.
因为k1＝k2＝2，b1＝b2＝1，
所以l1与l2重合.
规律方法
判断两条不重合直线是否平行的方法
返回
任务二 两条直线垂直
问题导思
问题3.平面中，两条直线l1，l2的斜率分别为k1，k2，则两条直线的方向向量分别为v1＝(1，k1)，v2＝(1，k2)，当两条直线互相垂直时，可以得出什么结论？
提示：k1·k2＝－1.
新知构建
1.对于两条不重合的直线l1，l2，当其斜率都存在时，设它们的斜率分别为k1，k2.两条直线的方向向量分别为v1＝(1，k1)，v2＝(1，k2)，则对应关系如下：
类型 斜率存在 其中一条斜率不存在
前提条件 ｜α2－α1｜＝90° α1＝0°，α2＝90°
对应关系 l1⊥l2 ___________________ l1斜率为___，l2斜率不存在
图示
k1·k2＝－1
0
2.对于两条不重合的直线l1：y＝k1x＋b1和l2：y＝k2x＋b2，则l1⊥l2 k1·k2＝_____.
特殊地，当l1，l2中有一条直线的斜率不存在时，说明斜率不存在的直线与___轴垂直，因此，若l1⊥l2，则另一条直线与x轴平行或重合，即另一条直线的斜率为___.
－1
x
0
微提醒
(1)l1⊥l2 k1·k2＝－1成立的前提：两条直线l1，l2的斜率都存在，且均不等于0.(2)两条直线垂直与斜率之间的关系：l1⊥l2
对于两条直线l1：Ax＋By＋C＝0和l2：Bx－Ay＋C2＝0，判断它们的位置关系，判断的理由是什么？
提示：l1⊥l2.理由：l1的一个法向量为n1＝(A，B)，l2的一个法向量为n2＝(B，－A).因为n1·n2＝0，所以n1⊥n2，所以l1⊥l2.
微思考
典例
2
规律方法
判断两条直线是否垂直的方法
1.在这两条直线都有斜率的前提下，只需看它们的斜率之积是否等于－1即可；若有一条直线与x轴垂直，另一条直线与x轴平行或重合时，这两条直线也垂直.
2.若两直线的法向量互相垂直，则这两条直线也垂直.
√
√
√
返回
任务三 利用两直线平行、垂直求直线方程
典例
3
法二：设所求直线方程为3x＋4y＋C＝0(C≠－20)，
因为点(2，2)在直线上，
所以3×2＋4×2＋C＝0，所以C＝－14.
所以所求直线方程为3x＋4y－14＝0.
变式探究
(变条件)本例中条件“l：3x＋4y－20＝0”改为“l：x＝1”，求相应的直线方程.
解：(1)设所求直线为x－m＝0(m≠1)，因为过点(2，2)，则m＝2，
所以所求直线方程为x－2＝0.
(2)易知l：x＝1的斜率不存在，所以所求直线的斜率k＝0，
所以所求直线方程为y＝2，即y－2＝0.
规律方法
法二：因为l'∥l，
所以可设l'的方程为4x－3y＋m＝0(m≠－12)，
将(－1，3)代入得m＝13，
所以所求直线l'的方程为4x－3y＋13＝0.
法二：设与直线2x＋y－10＝0垂直的直线方程为x－2y＋m＝0.
因为直线l经过点A(2，1)，
所以2－2×1＋m＝0，所以m＝0.
所以所求直线l的方程为x－2y＝0.
返回
任务四 利用两直线平行、垂直关系求参数值或范围
典例
4
规律方法
1.利用斜率研究两直线的平行和垂直关系时，要分斜率存在、不存在两种情况进行讨论.
2.当直线是一般式方程时，也可利用以下结论研究两直线的平行和垂直关系：
直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0.
(1)l1∥l2 A1B2－A2B1＝0且B1C2－B2C1≠0(或A1C2－A2C1≠0)；
(2)l1⊥l2 A1A2＋B1B2＝0.
返回
任务五 基于图形特征的直线平行与垂直
已知四边形ABCD的顶点B(6，－1)，C(5，2)，D(1，2).若四边形ABCD为直角梯形，求A点坐标.
解：若∠A＝∠D＝90°，如图①所示，由已知AB∥DC，AD⊥AB，而kCD＝0，故A(1，－1).
典例
5
规律方法
1.利用两条直线平行或垂直判定几何图形形状的步骤
规律方法
2.利用图形中的平行和垂直求点的坐标的方法
课堂小结
任务再现 1.两条直线平行.2.两条直线垂直.3.利用两直线平行、垂直求直线方程.4.利用两直线平行、垂直关系求参数值或范围.5.基于图形特征的直线平行与垂直
方法提炼 分类讨论、数形结合、转化与化归思想
易错警示 研究两直线平行时，忽略两直线重合的情况；研究两直线垂直时忽略直线斜率为0或斜率不存在的情况
返回
随堂评价
√
1.过点(1，2)和点(－3，2)的直线与x轴的位置关系是
A.相交但不垂直 B.平行
C.重合 D.垂直
√
√
4.已知A(－4，3)，B(2，5)，C(6，3)，D(－3，0)四点，若顺次连接ABCD四点，则图形ABCD的形状为__________.
直角梯形
返回
课时分层评价
已知直线l1：y＝x－2，l2：y＝kx＋2 025，因为l1∥l2，所以k＝1.故选D.
√
1.已知直线l1：y＝x－2，l2：y＝kx＋2 025，若l1∥l2，则实数k＝
A.－2 B.－1
C.0 D.1
√
√
√
√
4.以A(－1，1)，B(2，－1)，C(1，4)为顶点的三角形是
A.锐角三角形
B.钝角三角形
C.以A点为直角顶点的直角三角形
D.以B点为直角顶点的直角三角形
√
5.“λ＝－1”是“直线l1：x＋λy＋9＝0与l2：(λ－2)x＋3y＋3λ＝0平行”的
A.充要条件
B.充分不必要条件
C.必要不充分条件
D.既不充分也不必要条件
λ＝－1时，直线l2：－3x＋3y－3＝0即x－y＋1＝0，与直线l1：x－y＋9＝0平行，充分性成立；直线l1：x＋λy＋9＝0与l2：(λ－2)x＋3y＋3λ＝0平行，有λ(λ－2)＝3，解得λ＝－1，或λ＝3，其中λ＝3时，两直线重合，舍去，故λ＝
－1，必要性成立.“λ＝－1”是“直线l1：x＋λy＋9＝0与l2：(λ－2)x＋3y＋3λ＝0平行”的充要条件.故选A.
√
6.如图，在平面直角坐标系中，以O(0，0)，A(1，1)，B(3，0)为顶点构造平行四边形，下列各点中不能作为平行四边形顶点坐标的是
A.(－3，1) B.(4，1)
C.(－2，1) D.(2，－1)
如图所示，因为经过三点可构造三个平行四边形，即 AOBC1， ABOC2， AOC3B.根据平行四边形的性质，可知选项B，C，D分别是点C1，C2，C3的坐标.故选A.
7.若直线l1：2x－5y＋20＝0，l2：mx－2y－10＝0与两坐标轴围成的四边形有外接圆，则实数m的值为______.
－5
l1，l2与坐标轴围成的四边形有外接圆，则四边形对角互补.因为坐标轴垂直，故l1⊥l2，即2m＋10＝0，所以m＝－5.
8.已知A(3，1)，B(－1，－1)，C(2，1)，则△ABC的BC边上的高所在的直线方程为______________.
3x＋2y－11＝0
9.若a，b为正实数，直线x＋(2a－1)y＋1＝0与直线bx＋2y－1＝0互相垂
直，则ab的最大值为____.
10.(13分)已知A(－m－3，2)，B(－2m－4，4)，C(－m，m)，D(3，3m＋2)，若直线AB⊥CD，求m的值.
解：因为A，B两点纵坐标不相等，
所以AB与x轴不平行.
因为AB⊥CD，所以CD与x轴不垂直，－m≠3，m≠－3.
①当AB与x轴垂直时，－m－3＝－2m－4，
解得m＝－1.而m＝－1时，C，D纵坐标均为－1，
所以CD∥x轴，此时AB⊥CD，满足题意.
√
√
√
12.直角坐标平面上，一机器人在行进中始终保持到两点A(a，0)(其中a∈R)和B(0，1)的距离相等，且机器人也始终接触不到直线l：y＝x＋1，则a的值为____.
1
13.已知直线l1：x＋(1＋m)y＋m－2＝0与直线l2：mx＋2y＋8＝0平行，则经过点A(3，2)且与直线l2垂直的直线方程为______________.
2x－y－4＝0
因为直线l1：x＋(1＋m)y＋m－2＝0与直线l2：mx＋2y＋8＝0平行，所以m(1＋m)＝1×2，解得m＝1或m＝－2，当m＝－2时，l1：x－y－4＝0，l2：－2x＋2y＋8＝0，则l1与l2重合，舍去；当m＝1时，l1：x＋2y－1＝0，l2：x＋2y＋8＝0，所以l1与l2平行，符合题意，设与直线l2垂直的直线方程为2x－y＋n＝0，则2×3－2＋n＝0，解得n＝－4，所以所求直线方程为2x－y－4＝0.
√
√
返回1.4 两条直线的平行与垂直
学习目标 1.理解两条直线平行、垂直的条件，培养直观想象的核心素养. 2.能根据斜率判定两条直线平行与垂直，提升逻辑推理和数学运算的核心素养. 3.运用两直线平行和垂直时的斜率关系解决相应的几何问题，提升数学运算的核心素养.
任务一 两条直线平行
问题1.如图所示，设直线l1与l2的倾斜角分别为α1与α2，斜率分别为k1与k2，若l1∥l2，则α1与α2之间有什么关系？k1与k2之间有什么关系？
提示：若l1∥l2，α1与α2之间的关系为α1＝α2；
对于k1与k2之间的关系，当α1＝α2≠90°时，k1＝k2，当α1＝α2＝90°时，k1与k2均不存在.
问题2.对于两条不重合的直线l1与l2，若k1＝k2，是否一定有l1∥l2？为什么？
提示：一定有l1∥l2.因为k1＝k2，所以tan α1＝tan α2，所以α1＝α2，所以l1∥l2.
1.对于两条不重合的直线l1，l2，倾斜角分别为α1，α2，斜率存在时斜率分别为k1，k2.则对应关系如下：
类型 斜率存在 斜率不存在
前提条件 α1＝α2≠90° α1＝α2＝90°
对应关系 l1∥l2 k1＝k2 l1∥l2 两直线斜率都不存在
图示
2.对于两条不重合的直线l1：y＝k1x＋b1和l2：y＝k2x＋b2(其中b1≠b2)，则l1∥l2 k1＝k2.
3.若直线l1与直线l2的斜率都不存在，则它们都是倾斜角为的直线，从而它们互相平行或重合.
微提醒(1)l1∥l2 k1＝k2成立的前提：两条直线l1，l2的斜率都存在，分别为k1，k2；直线l1，l2不重合.(2)两条直线平行与斜率之间的关系：
l1∥l2
[微思考] 对于两条不重合的直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0和l2：A2x＋B2y＋C2＝0，可否用它们的法向量n1＝(A1，B1)，n2＝(A2，B2)来判断这两条直线是否平行呢？
提示：能，l1∥l2 A1B2－A2B1＝0.
(链教材P17例16)判断下列各组直线是否平行，并说明理由：
(1)l1：y＝2x＋3，l2：2x－y＋5＝0；
(2)l1：y＝2x＋1，l2：x－2y＝0；
(3)l1：x＝2 000，l2：x＝2 025；
(4)l1：y＝2x＋1，l2：2x－y＋1＝0.
解：设两直线l1，l2的斜率分别为k1，k2，在y轴上的截距分别为b1，b2.
(1)因为k1＝k2＝2，b1＝3，b2＝5，b1≠b2，
所以l1∥l2.
(2)因为k1＝2，k2＝，k1≠k2，
所以l1与l2不平行.
(3)由两直线的方程可知，l1∥y轴，
l2∥y轴，且两直线在x轴上的截距不相等，
所以l1∥l2.
(4)因为k1＝k2＝2，b1＝b2＝1，
所以l1与l2重合.
判断两条不重合直线是否平行的方法
对点练1.根据下列给定的条件，判断直线l1与直线l2的位置关系：
(1)l1经过点A(2，1)，B(－3，5)，l2经过点C(3，－3)，D(8，－7)；
(2)l1的倾斜角为60°，l2经过点M(3，2)，N(－2，－3).
解：(1)由题意知k1＝＝－，
k2＝＝－，
所以l1与l2平行或重合.
需进一步研究A，B，C，D四点是否共线，
因为kBC＝＝－≠－，
所以A，B，C，D四点不共线，
所以l1∥l2.
(2)由题意知k1＝tan 60°＝，
k2＝＝，
因为k1＝k2，所以l1∥l2，或l1与l2重合.
任务二 两条直线垂直
问题3.平面中，两条直线l1，l2的斜率分别为k1，k2，则两条直线的方向向量分别为v1＝(1，k1)，v2＝(1，k2)，当两条直线互相垂直时，可以得出什么结论？
提示：k1·k2＝－1.
1.对于两条不重合的直线l1，l2，当其斜率都存在时，设它们的斜率分别为k1，k2.两条直线的方向向量分别为v1＝(1，k1)，v2＝(1，k2)，则对应关系如下：
类型 斜率存在 其中一条斜率不存在
前提条件 ｜α2－α1｜＝90° α1＝0°，α2＝90°
对应关系 l1⊥l2 k1·k2＝－1 l1斜率为0，l2斜率不存在
图示
2.对于两条不重合的直线l1：y＝k1x＋b1和l2：y＝k2x＋b2，则l1⊥l2 k1·k2＝－1.
特殊地，当l1，l2中有一条直线的斜率不存在时，说明斜率不存在的直线与x轴垂直，因此，若l1⊥l2，则另一条直线与x轴平行或重合，即另一条直线的斜率为0.
微提醒(1)l1⊥l2 k1·k2＝－1成立的前提：两条直线l1，l2的斜率都存在，且均不等于0.(2)两条直线垂直与斜率之间的关系：l1⊥l2
[微思考] 对于两条直线l1：Ax＋By＋C＝0和l2：Bx－Ay＋C2＝0，判断它们的位置关系，判断的理由是什么？
提示：l1⊥l2.理由：l1的一个法向量为n1＝(A，B)，l2的一个法向量为n2＝(B，－A).因为n1·n2＝0，所以n1⊥n2，所以l1⊥l2.
(链教材P18例18)判断下列各组直线是否垂直，并说明理由：
(1)l1：y＝－3x＋2，l2：y＝x＋5；
(2)l1：4x＋3y＝10，l2：3x－4y＝5；
(3)l1：y＝2 025，l2：x＝2 026.
解：(1)因为k1＝－3，k2＝，
所以k1k2＝－1，则l1⊥l2.
(2)法一：因为k1＝－，k2＝，
所以k1k2＝－1，则l1⊥l2.
法二：由两直线方程可得它们的一个法向量分别为n1＝(4，3)，n2＝(3，－4).
因为n1·n2＝0，
所以l1⊥l2.
(3)由两个方程，可知l1∥x轴，l2∥y轴，所以l1⊥l2.
判断两条直线是否垂直的方法 1.在这两条直线都有斜率的前提下，只需看它们的斜率之积是否等于－1即可；若有一条直线与x轴垂直，另一条直线与x轴平行或重合时，这两条直线也垂直. 2.若两直线的法向量互相垂直，则这两条直线也垂直.
对点练2.(多选题)下列各对直线互相垂直的是( )
A.l1过点M(1，1)，N(1，2)，l2过点P(1，5)，Q(3，5)
B.l1的斜率为－，l2过点P(1，1)，Q( 0，－)
C.l1的倾斜角为30°，l2过点P(3，)，Q(4，2)
D.l1过点M(1，0)，N(4，－5)，l2过点P(－6，0)，Q(－1，3)
答案：ABD
解析：对于A，l1与x轴垂直，l2与x轴平行，故两直线垂直；对于B，l2过点P(1，1)，Q( 0，－)，kPQ＝，－×＝－1，故两条直线垂直；对于C，kPQ＝，＝，·kPQ≠－1，故l1与l2不垂直；对于D，l1过点M(1，0)，N(4，－5)，kMN＝－，l2过点P(－6，0)，Q(－1，3)，kPQ＝，kMN·kPQ＝－1，故两条直线垂直.故选ABD.
任务三 利用两直线平行、垂直求直线方程
(链教材P17例17，P18例19)已知点A(2，2)和直线l：3x＋4y－20＝0，求：
(1)过点A和直线l平行的直线方程；
(2)过点A和直线l垂直的直线方程.
解：法一：因为直线l的方程为3x＋4y－20＝0，
所以kl＝－.
(1)设过点A与直线l平行的直线为l1，
因为kl＝，所以＝－.
所以l1的方程为y－2＝－(x－2)，
即3x＋4y－14＝0.
(2)设过点A与直线l垂直的直线为l2，
因为kl·＝－1，所以( －)·＝－1，
所以＝.
所以l2的方程为y－2＝(x－2)，即4x－3y－2＝0.
法二：(1)设所求直线方程为3x＋4y＋C＝0(C≠－20)，
因为点(2，2)在直线上，
所以3×2＋4×2＋C＝0，所以C＝－14.
所以所求直线方程为3x＋4y－14＝0.
(2)设所求直线方程为4x－3y＋λ＝0，
因为点(2，2)在直线上，所以4×2－3×2＋λ＝0，
所以λ＝－2，即所求直线的方程为4x－3y－2＝0.
[变式探究]
(变条件)本例中条件“l：3x＋4y－20＝0”改为“l：x＝1”，求相应的直线方程.
解：(1)设所求直线为x－m＝0(m≠1)，因为过点(2，2)，则m＝2，
所以所求直线方程为x－2＝0.
(2)易知l：x＝1的斜率不存在，所以所求直线的斜率k＝0，
所以所求直线方程为y＝2，即y－2＝0.
1.根据两直线的位置关系求出所求直线的斜率，用点斜式求解，或利用待定系数法求解. 2.直线方程的常用设法 (1)过定点P(x0，y0)，可设点斜式y－y0＝k(x－x0)(斜率存在)；斜率不存在时，x＝x0. (2)知斜率k，设斜截式y＝kx＋b. (3)与直线Ax＋By＋C＝0平行，设为Ax＋By＋m＝0(m≠C). (4)与直线Ax＋By＋C＝0垂直，设为Bx－Ay＋n＝0.
对点练3.(1)已知直线l的方程为4x－3y－12＝0，求过点(－1，3)且与l平行的直线l'的方程；
(2)求经过点A(2，1)，且与直线2x＋y－10＝0垂直的直线l的方程.
解：(1)法一：l的方程可化为y＝x－4，
所以l的斜率为.
因为l'∥l，所以l'的斜率为.
又l'过点(－1，3)，
所以由点斜式得直线l'的方程为y－3＝(x＋1)，
即4x－3y＋13＝0.
法二：因为l'∥l，
所以可设l'的方程为4x－3y＋m＝0(m≠－12)，
将(－1，3)代入得m＝13，
所以所求直线l'的方程为4x－3y＋13＝0.
(2)法一：设直线l的斜率为k，
因为直线l与直线2x＋y－10＝0垂直，
所以k·(－2)＝－1，所以k＝.
又因为直线l经过点A(2，1)，
所以所求直线l的方程为y－1＝(x－2)，
即x－2y＝0.
法二：设与直线2x＋y－10＝0垂直的直线方程为x－2y＋m＝0.
因为直线l经过点A(2，1)，
所以2－2×1＋m＝0，所以m＝0.
所以所求直线l的方程为x－2y＝0.
任务四 利用两直线平行、垂直关系求参数值或范围
已知直线l1：(k－3)x＋(4－k)y＋1＝0与l2：2(k－3)x－2y＋3＝0.
(1)若这两条直线垂直，求k的值；
(2)若这两条直线平行，求k的值.
解：(1)根据题意，得(k－3)×2(k－3)＋(4－k)×(－2)＝0，解得k＝.
所以若这两条直线垂直，则k＝.
(2)根据题意，得(k－3)×(－2)－2(k－3)×(4－k)＝0，解得k＝3，或k＝5.经检验，均符合题意.
所以若这两条直线平行，则k＝3，或k＝5.
1.利用斜率研究两直线的平行和垂直关系时，要分斜率存在、不存在两种情况进行讨论. 2.当直线是一般式方程时，也可利用以下结论研究两直线的平行和垂直关系： 直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0. (1)l1∥l2 A1B2－A2B1＝0且B1C2－B2C1≠0(或A1C2－A2C1≠0)； (2)l1⊥l2 A1A2＋B1B2＝0.
对点练4. 若直线l1：ax＋4y－2＝0，l2：x＋ay＋1＝0，求a取何值时，l1∥l2，l1⊥l2.
解：将直线l1化成斜截式方程y＝－x＋，
当a＝0时，l2的方程为x＝－1，
l1的方程为y＝，此时l1⊥l2；
当a≠0时，l2的斜截式方程为y＝－x－.
若即a＝2时，l1∥l2；
若－·( －)＝－1，即＝－1，矛盾，
故l1与l2在a≠0时不垂直.
综上，当a＝2时，l1∥l2；当a＝0时，l1⊥l2.
任务五 基于图形特征的直线平行与垂直
已知四边形ABCD的顶点B(6，－1)，C(5，2)，D(1，2).若四边形ABCD为直角梯形，求A点坐标.
解：若∠A＝∠D＝90°，如图①所示，由已知AB∥DC，AD⊥AB，而kCD＝0，故A(1，－1).
若∠A＝∠B＝90°，如图②所示.
设A(a，b)，则kBC＝－3，kAD＝，kAB＝.
由AD∥BC kAD＝kBC，即＝－3. ①
由AB⊥BC kAB·kBC＝－1，
即·(－3)＝－1. ②
解①②，得故A( ，－).
综上所述，A点坐标为(1，－1)或( ，－).
1.利用两条直线平行或垂直判定几何图形形状的步骤 2.利用图形中的平行和垂直求点的坐标的方法
对点练5. 已知矩形ABCD的三个顶点的坐标分别为A(0，1)，B(1，0)，C(3，2)，求第四个顶点D的坐标.
解：设第四个顶点D的坐标为(x，y)，
因为AD⊥CD，AD∥BC，所以kAD·kCD＝－1，
且kAD＝kBC.
所以
所以第四个顶点D的坐标为(2，3).
任务再现 1.两条直线平行.2.两条直线垂直.3.利用两直线平行、垂直求直线方程.4.利用两直线平行、垂直关系求参数值或范围.5.基于图形特征的直线平行与垂直
方法提炼 分类讨论、数形结合、转化与化归思想
易错警示 研究两直线平行时，忽略两直线重合的情况；研究两直线垂直时忽略直线斜率为0或斜率不存在的情况
1.过点(1，2)和点(－3，2)的直线与x轴的位置关系是( )
A.相交但不垂直 B.平行
C.重合 D.垂直
答案：B
解析：过点(1，2)和(－3，2)的直线的斜率k＝＝0，所以直线的方程为y＝2，故直线与x轴平行.故选B.
2.过点且与直线2x－3y＋4＝0垂直的直线方程为( )
A.3x＋2y＋7＝0 B.3x＋2y－1＝0
C.2x－3y＋5＝0 D.2x－3y＋8＝0
答案：B
解析：法一：直线2x－3y＋4＝0的斜率为，所以与直线2x－3y＋4＝0垂直的直线斜率为－，故由点斜式可得y－2＝－，即3x＋2y－1＝0.故选B.
法二：与直线2x－3y＋4＝0垂直的直线方程可设为3x＋2y＋m＝0，又所求直线过点，则3×(－1)＋2×2＋m＝0，即m＝－1，所以所求直线方程为 3x＋2y－1＝0.故选B.
3.已知直线l1：x＋2ay－1＝0与直线l2：(2a－1)x－ay－1＝0互相平行，则实数a的值为( )
A. B.
C.0或 D.0或
答案：C
解析：由2a(2a－1)－1·(－a)＝0，解得a＝0，或a＝，当a＝0时，直线l1：x－1＝0与l2：－x－1＝0平行，当a＝时，直线l1：x＋y－1＝0与l2：－x－y－1＝0平行，所以实数a的值为0或.故选C.
4.已知A(－4，3)，B(2，5)，C(6，3)，D(－3，0)四点，若顺次连接ABCD四点，则图形ABCD的形状为 .
答案：直角梯形
解析：由题意知，A，B，C，D四点在坐标平面内的位置如图所示，由斜率公式可得，kAB＝＝，kCD＝＝，kAD＝＝－3，kBC＝＝－.所以kAB＝kCD，由图可知，AB与CD不重合，所以AB∥CD，又kAD≠kBC，所以AD与BC不平行.又因为kAB·kAD＝×(－3)＝－1，所以AB⊥AD，故四边形ABCD为直角梯形.
课时分层评价5 两条直线的平行与垂直
(时间：60分钟 满分：110分)
(1—9，每小题5分，共45分)
1.已知直线l1：y＝x－2，l2：y＝kx＋2 025，若l1∥l2，则实数k＝( )
A.－2 B.－1
C.0 D.1
答案：D
解析：已知直线l1：y＝x－2，l2：y＝kx＋2 025，因为l1∥l2，所以k＝1.故选D.
2.(多选题)如果直线l1的斜率为a，l1⊥l2，那么直线l2的斜率可能为( )
A. B.a
C.－ D.不存在
答案：CD
解析：当a≠0时，由l1⊥l2，得＝－，当a＝0时，由l1⊥l2，得l2的斜率不存在.故选CD.
3.下列直线中，与已知直线y＝－x＋1平行，且不过第一象限的直线的方程是( )
A.3x＋4y＋7＝0 B.4x＋3y＋7＝0
C.4x＋3y－42＝0 D.3x＋4y－42＝0
答案：B
解析：先看斜率，A、D选项中斜率为－，排除掉；直线与y轴交点需在y轴非正半轴上，才能使直线不过第一象限，只有B选项符合.故选B.
4.以A(－1，1)，B(2，－1)，C(1，4)为顶点的三角形是( )
A.锐角三角形
B.钝角三角形
C.以A点为直角顶点的直角三角形
D.以B点为直角顶点的直角三角形
答案：C
解析：因为kAB＝－，kAC＝，所以kAB·kAC＝－1，即AB⊥AC.故选C.
5.“λ＝－1”是“直线l1：x＋λy＋9＝0与l2：(λ－2)x＋3y＋3λ＝0平行”的( )
A.充要条件
B.充分不必要条件
C.必要不充分条件
D.既不充分也不必要条件
答案：A
解析：λ＝－1时，直线l2：－3x＋3y－3＝0即x－y＋1＝0，与直线l1：x－y＋9＝0平行，充分性成立；直线l1：x＋λy＋9＝0与l2：(λ－2)x＋3y＋3λ＝0平行，有λ(λ－2)＝3，解得λ＝－1，或λ＝3，其中λ＝3时，两直线重合，舍去，故λ＝－1，必要性成立.“λ＝－1”是“直线l1：x＋λy＋9＝0与l2：(λ－2)x＋3y＋3λ＝0平行”的充要条件.故选A.
6.如图，在平面直角坐标系中，以O(0，0)，A(1，1)，B(3，0)为顶点构造平行四边形，下列各点中不能作为平行四边形顶点坐标的是( )
A.(－3，1) B.(4，1)
C.(－2，1) D.(2，－1)
答案：A
解析：如图所示，因为经过三点可构造三个平行四边形，即 AOBC1， ABOC2， AOC3B.根据平行四边形的性质，可知选项B，C，D分别是点C1，C2，C3的坐标.故选A.
7.若直线l1：2x－5y＋20＝0，l2：mx－2y－10＝0与两坐标轴围成的四边形有外接圆，则实数m的值为 .
答案：－5
解析：l1，l2与坐标轴围成的四边形有外接圆，则四边形对角互补.因为坐标轴垂直，故l1⊥l2，即2m＋10＝0，所以m＝－5.
8.已知A(3，1)，B(－1，－1)，C(2，1)，则△ABC的BC边上的高所在的直线方程为 .
答案：3x＋2y－11＝0
解析：因为kBC＝＝，所以BC边上的高所在直线的斜率k＝－，所以所求直线方程为y－1＝－(x－3)，即3x＋2y－11＝0.
9.若a，b为正实数，直线x＋(2a－1)y＋1＝0与直线bx＋2y－1＝0互相垂直，则ab的最大值为 .
答案：
解析：因为直线x＋(2a－1)y＋1＝0与直线bx＋2y－1＝0互相垂直，所以b＋2(2a－1)＝0，即4a＋b＝2，由基本不等式可得2＝4a＋b≥2，即ab≤，当且仅当时等号成立.所以ab的最大值为.
10.(13分)已知A(－m－3，2)，B(－2m－4，4)，C(－m，m)，D(3，3m＋2)，若直线AB⊥CD，求m的值.
解：因为A，B两点纵坐标不相等，
所以AB与x轴不平行.
因为AB⊥CD，所以CD与x轴不垂直，－m≠3，m≠－3.
①当AB与x轴垂直时，－m－3＝－2m－4，
解得m＝－1.而m＝－1时，C，D纵坐标均为－1，
所以CD∥x轴，此时AB⊥CD，满足题意.
②当AB与x轴不垂直时，由斜率公式得
kAB＝＝，
kCD＝＝.
因为AB⊥CD，
所以kAB·kCD＝－1，
即·＝－1，
解得m＝1.
综上，m的值为1或－1.
(11—13，每小题5分，共15分)
11.(多选题)已知直线l1：ax－3y＋1＝0，l2：x－by＋2＝0，则下列结论正确的是( )
A.若l1⊥l2，则＝－3
B.若l1∥l2，则ab＝3
C.若l1与坐标轴围成的三角形面积为1，则a＝±
D.当b＜0时，l2不经过第一象限
答案：BCD
解析：对于A，当l1⊥l2时，a＋3b＝0，解得＝－3或a＝b＝0，故A错误；对于B，当l1∥l2时，－ab＋3＝0，解得ab＝3，故B正确；对于C，在直线l1：ax－3y＋1＝0中，当x＝0时，y＝，当y＝0时，x＝－，所以l1与坐标轴围成的三角形面积为S＝··＝1，解得a＝±，故C正确；对于D，由题知当b＜0时，l2：y＝x＋的图象不经过第一象限，故D正确.故选BCD.
12.直角坐标平面上，一机器人在行进中始终保持到两点A(a，0)(其中a∈R)和B(0，1)的距离相等，且机器人也始终接触不到直线l：y＝x＋1，则a的值为 .
答案：1
解析：根据题意可知机器人在线段AB的中垂线上运动，且轨迹与直线l：y＝x＋1平行，由此可得AB⊥l，即kAB·kl＝－1，所以×1＝－1(a≠0)，解得a＝1.
13.已知直线l1：x＋(1＋m)y＋m－2＝0与直线l2：mx＋2y＋8＝0平行，则经过点A(3，2)且与直线l2垂直的直线方程为 .
答案：2x－y－4＝0
解析：因为直线l1：x＋(1＋m)y＋m－2＝0与直线l2：mx＋2y＋8＝0平行，所以m(1＋m)＝1×2，解得m＝1或m＝－2，当m＝－2时，l1：x－y－4＝0，l2：－2x＋2y＋8＝0，则l1与l2重合，舍去；当m＝1时，l1：x＋2y－1＝0，l2：x＋2y＋8＝0，所以l1与l2平行，符合题意，设与直线l2垂直的直线方程为2x－y＋n＝0，则2×3－2＋n＝0，解得n＝－4，所以所求直线方程为2x－y－4＝0.
14.(15分)已知集合A＝，集合B＝{(x，y)｜ax－y－2＝0}，当a取何值时，A∩B＝ ？
解：由＝2可得2x－y－1＝0(x≠2)，
故A＝{(x，y)｜2x－y－1＝0，x≠2}，
故集合A表示的是直线2x－y－1＝0上除点(2，3)外的点构成的集合.
①当直线ax－y－2＝0与直线2x－y－1＝0平行时，满足A∩B＝ ，此时a＝2；
②当直线ax－y－2＝0过点(2，3)时，满足A∩B＝ ，则2a－5＝0，解得a＝.
综上所述，a＝2或.
15.(5分)(新角度)(多选题)在平面直角坐标系中，设M(x1，y1)，N(x2，y2)为不同的两点，直线l的方程为ax＋by＋c＝0，设δ＝，其中a，b，c均为实数.则下列结论正确的是( )
A.存在实数δ，使点N在直线l上
B.若δ＝1，则过M，N两点的直线与直线l重合
C.若δ＝－1，则直线l经过线段MN的中点
D.若δ＞1，则点M，N在直线l的同侧，且直线l与线段MN的延长线相交
答案：CD
解析：若点N在直线l上，则ax2＋by2＋c＝0，所以不存在实数δ，使点N在直线l上，故A错误；若δ＝1，则ax1＋by1＋c＝ax2＋by2＋c，当b≠0时，即＝－，所以kMN＝kl；当b＝0，a≠0时，x1＝x2，又由A知过M，N两点的直线与直线l不重合，则过M，N两点的直线与直线l平行，故B错误；若δ＝－1，则ax1＋by1＋c＋ax2＋by2＋c＝0，即a＋b＋c＝0，所以直线l经过线段MN的中点，故C正确；若δ＞1，则ax1＋by1＋c＞ax2＋by2＋c＞0，或ax1＋by1＋c＜ax2＋by2＋c＜0，即点M，N在直线l的同侧，且直线l与线段MN的延长线相交，故D正确.故选CD.
16.(17分)已知M(1，－1)，N(2，2)，P(3，0).
(1)求点Q的坐标，满足PQ⊥MN，PN∥MQ；
(2)若点Q在x轴上，且∠NQP＝∠NPQ，求直线MQ的倾斜角.
解：(1)设Q(x，y)，由已知得kMN＝3，
由PQ⊥MN，可得kPQ·kMN＝－1，
即×3＝－1.①
由已知得kPN＝－2，由PN∥MQ，可得kPN＝kMQ，
即＝－2.②
联立①②，解得x＝0，y＝1，即Q(0，1).
(2)设Q(x，0)，因为∠NQP＝∠NPQ，
所以kNQ＝－kNP.
又因为kNQ＝，kNP＝－2，
所以＝2，即x＝1，
所以Q(1，0).
又因为M(1，－1)，所以MQ⊥x轴，
故直线MQ的倾斜角为90°.
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