第2课时 直线方程的两点式
学习目标 1.根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线方程的两点式、截距式，培养数学抽象的核心素养.2.掌握直线方程的两点式、截距式的特点及适用范围. 3.能用直线的两点式方程和截距式方程解决有关问题，提升数学运算的核心素养.
任务一 直线方程的两点式
问题1.我们知道已知两点可以确定一条直线，在平面直角坐标系中，给定一个点P0(x0，y0)和斜率k，可得出直线方程.若给定直线上两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2，y1≠y2)，如图，你能否得出直线的方程呢？
提示：由点斜式方程，得y－y1＝(x－x1)，即＝(x1≠x2，y1≠y2).
直线方程的两点式
名称 两点式方程
已知条件 A(x1，y1)和B(x2，y2)，其中x1≠x2，y1≠y2
示意图
方程形式
适用范围 不表示垂直于坐标轴的直线
微提醒(1)当经过两点(x1，y1)，(x2，y2)的直线斜率不存在(x1＝x2)或斜率为0(y1＝y2)时，不能用直线方程的两点式表示.(2)直线方程的两点式与这两个点的顺序无关.(3)方程中等号两边表达式中分子之比等于分母之比，也就是同一条直线的斜率相等.
(链教材P12练习T2)(1)已知△ABC的三个顶点坐标分别为A(2，－1)，B(2，2)，C(4，1)，求三角形三条边所在直线的方程；
(2)已知直线经过点A(1，0)，B(m，1)，求这条直线的方程.
解：(1)A，B两点横坐标相同，直线AB与x轴垂直，故其方程为x＝2.
由直线方程的两点式，可得直线AC的方程为＝，即x－y－3＝0.
同理可得直线BC的方程为＝，即x＋2y－6＝0.
所以三边AB，AC，BC所在的直线方程分别为x＝2，x－y－3＝0，x＋2y－6＝0.
(2)由直线经过点A(1，0)，B(m，1)，因此该直线斜率不可能为零，但有可能不存在.
①当直线斜率不存在，即m＝1时，直线方程为x＝1；
②当直线斜率存在，即m≠1时，利用两点式，可得直线方程为＝，即x－(m－1)y－1＝0.
综上可得，当m＝1时，直线方程为x＝1；
当m≠1时，直线方程为x－(m－1)y－1＝0.
利用两点式求直线的方程的步骤 第一步：首先要判断是否满足两点式方程的适用条件：两点的连线不垂直于坐标轴； 第二步：若不满足，不能用两点式求方程，可直接结合图形写方程；若满足，可用两点式写出方程. 注意：若点的坐标中含有参数，需注意对参数的讨论.
对点练1.已知△ABC的三个顶点坐标分别为A(－3，2)，B(5，－4)，C(0，－2).
(1)求BC边所在的直线方程；
(2)求BC边上的中线所在直线的方程.
解：(1)BC边过两点B(5，－4)，C(0，－2)，
由两点式，得＝，
即2x＋5y＋10＝0，
故BC边所在的直线方程为2x＋5y＋10＝0.
(2)设BC的中点为M(a，b)，
则a＝＝，b＝＝－3，
所以M，
又BC边的中线过点A(－3，2)，
所以＝，即10x＋11y＋8＝0，
所以BC边上的中线所在直线的方程为10x＋11y＋8＝0.
任务二 直线方程的截距式
问题2.若给定直线上两点A(a，0)，B(0，b)(a≠0，b≠0)，你能否得出直线的方程呢？
提示：＋＝1.
直线方程的截距式
名称 截距式方程
已知条件 在x轴上的截距为a，在y轴上的截距为b(a≠0，b≠0)
示意图
方程形式 ＝1
适用范围 不表示垂直于坐标轴的直线及过原点的直线
微提醒(1)如果已知直线在两坐标轴上的截距，可以直接代入截距式求直线的方程.(2)将直线的方程化为截距式后，可以观察出直线在x轴和y轴上的截距，这一点常被用来作图.(3)与坐标轴平行和过原点的直线都不能用截距式表示.(4)过原点的直线的横、纵截距都为零.
求过点(3，4)，且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线l的方程.
解：①当直线l在两坐标轴上的截距互为相反数且不为0时，可设直线l的方程为＋＝1.又l过点(3，4)，所以＋＝1，解得a＝－1.
所以直线l的方程为＋＝1，即x－y＋1＝0.
②当直线l在两坐标轴上的截距互为相反数且为0时，即直线l过原点时，设直线l的方程为y＝kx，因为l过点(3，4)，所以4＝k·3，解得k＝，所以直线l的方程为y＝x，即4x－3y＝0.
综上，直线l的方程为x－y＋1＝0或4x－3y＝0.
[变式探究]
(变条件)若将本例中“截距互为相反数”改为“截距相等”，其他条件不变，求直线l的方程.
解：①当截距不为0时，
设直线l的方程为＋＝1，
又l过点(3，4)，所以＋＝1，解得a＝7，
所以直线l的方程为x＋y－7＝0.
②当截距为0时，设直线l的方程为y＝kx，
又l过点(3，4)，所以4＝k·3，解得k＝，
所以直线l的方程为y＝x，即4x－3y＝0.
综上，直线l的方程为x＋y－7＝0或4x－3y＝0.
应用截距式方程的注意事项 1.如果问题中涉及直线与坐标轴相交，则可考虑选用截距式方程，用待定系数法确定其系数即可. 2.选用截距式方程时，必须首先考虑直线能否过原点以及能否与两坐标轴垂直. 3.要注意截距式方程的逆向应用.
对点练2.(1)在x轴、y轴上的截距分别是－3，4的直线方程是( )
A.＋＝1 B.＋＝1
C.－＝1 D.＋＝1
(2)过点A(3，－1)且在两坐标轴上截距的绝对值相等的直线有( )
A.2条 B.3条
C.4条 D.无数多条
答案：(1)A(2)B
解析：(1)由题意知a＝－3，b＝4代入＋＝1即可.故选A.
(2)当截距都为零时满足题意要求，直线方程为y＝－x，当截距不为零时，设直线方程为＋＝1，所以＋＝1或＋＝1，所以满足条件的直线共有3条.故选B.
任务三 截距式方程的应用
直线过点P且与x轴、y轴的正半轴分别交于A，B两点，O为坐标原点，求分别满足下列条件的直线方程.
(1)△AOB的周长为12；
(2)△AOB的面积为6.
解：(1)设直线方程为＋＝1(a＞0，b＞0)，
由题意可知，a＋b＋ ＝12.①
又因为直线过点P，
所以＋＝1，②
由①②可得5a2－32a＋48＝0，
解得
所以所求直线的方程为＋＝1或＋＝1，
即3x＋4y－12＝0或15x＋8y－36＝0.
(2)设直线方程为＋＝1(a＞0，b＞0)，
由题意可知
所以所求直线的方程为＋＝1或＋＝1，
即3x＋4y－12＝0或3x＋y－6＝0.
[变式探究]
(变条件)是否存在这样的直线同时满足下列条件：(1)△AOB的周长为12；(2)△AOB的面积为6.若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由.
解：由本例知，
满足条件：△AOB的周长为12的方程为3x＋4y－12＝0或15x＋8y－36＝0.
满足条件：△AOB的面积为6的方程为3x＋4y－12＝0或3x＋y－6＝0.
所以同时满足(1)、(2)两个条件的直线方程为3x＋4y－12＝0.
直线方程与三角形的面积、周长之间的关系 解决直线与坐标轴围成的三角形面积或周长问题时，一般选择直线方程的截距式，若设直线在x轴、y轴上的截距分别为a，b，则直线与坐标轴所围成的三角形的 面积为S＝｜a｜｜b｜，周长c＝｜a｜＋｜b｜＋ .
对点练3.已知直线l的斜率为6，且被两坐标轴所截得的线段长为 ，求直线l的方程.
解：设所求直线为＋＝1，则与x轴、y轴的交点分别为(a，0)，(0，b)，
由勾股定理知a2＋b2＝37.
又k＝－＝6，
所以
因此所求直线l的方程是x－＝1或－x＋＝1，
即6x－y－6＝0或6x－y＋6＝0.
任务 再现 1.直线的两点式方程.2.直线的截距式方程.3.截距式方程的应用
方法 提炼 分类讨论思想、数形结合思想
易错 警示 容易疏忽两点式和截距式方程的使用条件；利用截距式求直线方程时易忽略过原点的情况
1.过点(1，2)，(5，3)的直线方程是( )
A.＝ B.＝
C.＝ D.＝
答案：B
解析：因为所求直线过点(1，2)，(5，3)，所以所求直线方程是＝.故选B.
2.过两点A(0，3)，B(－2，0)的截距式方程为( )
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
答案：D
解析：由于直线过A(0，3)，B(－2，0)两点，所以直线在x轴、y轴上的截距分别为－2，3，由截距式可知，方程为＋＝1.故选D.
3.已知A(2，－1)，B(6，1)，则在y轴上的截距是－3，且经过线段AB中点的直线方程为 .
答案：3x－4y－12＝0
解析：因为A(2，－1)，B(6，1)，则线段AB的中点为E(4，0)，又因为所求直线在y轴上的截距为－3，故所求直线方程为－＝1，即3x－4y－12＝0.
4.已知A(4，0)，B(0，5)，直线AB上一动点P(x，y)，则xy的最大值是 .
答案：5
解析：直线AB的方程为＋＝1，显然xy取得最大值时，x，y＞0，又因为＋≥2，即2≤1，解得xy≤5，当且仅当x＝2，y＝时取等号.
课时分层评价3 直线方程的两点式
(时间：60分钟 满分：110分)
(1—9，每小题5分，共45分)
1.直线2x－y＋2＝0在x轴上的截距是( )
A.－1 B.1
C.－2 D.2
答案：A
解析：令y＝0，则2x－0＋2＝0，解得x＝－1，所以直线2x－y＋2＝0在x轴上的截距是－1.故选A.
2.已知△ABC的顶点坐标分别为A(1，2)，B(3，6)，C(5，2)，M为AB的中点，N为AC的中点，则中位线MN所在的直线方程为( )
A.2x－y＋8＝0 B.2x＋y－8＝0
C.2x－y－12＝0 D.2x＋y－12＝0
答案：B
解析：由中点坐标公式可得M(2，4)，N(3，2)，再由两点式可得直线MN的方程为＝，即2x＋y－8＝0.故选B.
3.若直线l过点(－1，－1)和(2，5)，且点(91，b)在直线l上，则b的值为( )
A.180 B.181
C.182 D.183
答案：D
解析：因为直线l过点(－1，－1)和(2，5)，由直线的两点式方程，得直线l的方程为＝，即y＝2x＋1.由于点(91，b)在直线l上，所以b＝2×91＋1，解得b＝183.故选D.
4.两直线－＝1与－＝1的图象可能是图中的哪一个( )
答案：B
解析：直线－＝1的斜率为k1＝，直线－＝1的斜率为k2＝，所以直线－＝1与直线－＝1斜率的符号相同，故只有B选项符合题意.故选B.
5.若直线l：＋＝1(a＞0，b＞0)经过点(1，2)，则直线l在x轴和y轴上的截距之和取最小值时，＝( )
A. B.
C. D.2
答案：B
解析：因为直线l：＋＝1(a＞0，b＞0)经过点(1，2)，所以＋＝1，则a＋b＝(a＋b)＝3＋＋≥3＋2，当且仅当＝，即b＝a时，等号成立，所以直线l在x轴和y轴上的截距之和的最小值为3＋2，此时b＝a，则＝＝.故选B.
6.(多选题)下列说法正确的是( )
A.＝k不能表示过点M(x1，y1)且斜率为k的直线方程
B.在x轴，y轴上的截距分别为a，b的直线方程为＋＝1
C.直线y＝kx＋b与y轴的交点到原点的距离为b
D.过两点A(x1，y1)，B(x2，y2)的直线方程为(x－x2)(y1－y2)－(y－y2)(x1－x2)＝0
答案：AD
解析：对于A，＝k表示过点M(x1，y1)且斜率为k的直线去掉点(x1，y1)，故A正确；对于B，在x轴，y轴上的截距分别为a，b，只有ab≠0时，直线方程为＋＝1，故B错误；对于C，直线y＝kx＋b与y轴的交点坐标是(0，b)，交点到原点的距离为，故C错误；对于D，过两点A(x1，y1)，B(x2，y2)的直线当x1≠x2时，直线方程为y－y2＝(x－x2)，变形为(x－x2)(y1－y2)－(y－y2)(x1－x2)＝0，当x1＝x2时，直线方程为x＝x2，也适合方程(x－x2)(y1－y2)－(y－y2)(x1－x2)＝0，故D正确.故选AD.
7.已知直线l的两点式方程为＝，则l的斜率为 .
答案：－
解析：易得直线＝过(－5，0)，(3，－3)，故l的斜率为＝－.
8.已知直线l过点(－3，4)且方向向量为(1，－2)，则l在x轴上的截距为 .
答案：－1
解析：因为直线l的方向向量为(1，－2)，所以直线斜率k＝－2，又直线l过点(－3，4)，所以直线方程为y－4＝－2(x＋3)，即2x＋y＋2＝0，令y＝0，得x＝－1，所以l在x轴上的截距为－1.
9.(易错题)过点P(1，2)且在两坐标轴上截距的和为0的直线方程为 .
答案：2x－y＝0或x－y＋1＝0
解析：当直线过原点即在坐标轴上的截距均为零时，得直线方程为2x－y＝0；当在坐标轴上的截距不为零时，可设直线方程为－＝1，将x＝1，y＝2代入方程可得a＝－1，得直线方程为x－y＋1＝0.所以所求直线方程为2x－y＝0或x－y＋1＝0.
10.(13分)直线l过点P，且与x轴的正半轴、y轴的正半轴分别交于A，B两点，O为坐标原点.
(1)当｜OA｜＝｜OB｜时，求直线l的方程；
(2)若｜OA｜＋｜OB｜＝7，求直线l的方程.
解：(1)设直线l的方程为＋＝1(a＞0，b＞0)，且A(a，0)，B(0，b)，
由｜OA｜＝｜OB｜，得a＝b，由直线l过点P( ，2)，得＋＝1，解得
所以直线l的方程为3x＋3y－10＝0.
(2)设直线l的方程为＋＝1(a＞0，b＞0)，
由题意知，a＋b＝7 ①，
因为直线l过点P，所以＋＝1 ②，
联立①②，解得
所以直线l的方程为3x＋4y－12＝0或6x＋3y－14＝0.
(11—13，每小题5分，共15分)
11.(多选题)已知直线＋＝1经过第一、二、三象限且斜率小于1，那么下列不等式中一定正确的是( )
A.＞ B.＞
C.(b－a)(b＋a)＞0 D.＞
答案：AB
解析：因为直线＋＝1经过第一、二、三象限，可得a＜0，b＞0，由直线的斜率小于1，可得0＜－＜1，结合a＜0，可得a＜0＜b＜－a，由绝对值的性质，可得＞，故A正确；由幂函数y＝的单调性知， ＞，故B正确；由b－a＞0，b＋a＜0，所以(b－a)(b＋a)＜0，故C错误；由＜0，＞0，得＜，故D错误.故选AB.
12.若直线l与两坐标轴围成一个等腰直角三角形，且此三角形的面积为18，则直线l的方程为 .
答案：x±y＋6＝0或x±y－6＝0
解析：因为直线l与两坐标轴围成一个等腰直角三角形，所以直线l在两坐标轴上的截距的绝对值相等且不为0.设直线方程为＋＝1，则｜a｜＝｜b｜.因为｜a｜·｜b｜＝｜a｜2＝18，即a2＝36，所以a＝±6，所以a＝6时，b＝±6，当a＝－6时，b＝±6，所以直线l的方程为x±y＋6＝0或x±y－6＝0.
13.(双空题)若直线l过点(4，1)且与x轴、y轴的正半轴分别交于A，B两点，O为坐标原点，则△AOB面积的最小值为 ，当△AOB的面积取最小值时直线l的方程是 .
答案：8 x＋4y－8＝0
解析：设直线l的方程为＋＝1(a＞0，b＞0)，因为直线l过点(4，1)，所以＋＝1.又＋≥2，所以1≥2，即ab≥16，当且仅当＝，即a＝8，b＝2时取等号，所以(S△AOB)min＝×16＝8，此时直线l的方程为＋＝1，即x＋4y－8＝0.
14.(15分)一河流同侧有两个村庄A，B，两村庄计划在河边共建一水电站供两村使用，已知A，B两村到河边的垂直距离分别为300 m和700 m，且两村相距500 m，问：水电站建于何处送电到两村的电线用料最省？
解：如图所示，以河流所在直线为x轴，y轴通过点A，建立平面直角坐标系，
则点A(0，300)，B(x，700)，设B点在y轴上的射影为H，则x＝｜BH｜＝＝300，
故点B(300，700)，
设点A关于x轴的对称点为A'(0，－300)，
则直线A'B的斜率k＝，直线A'B的方程为y＝x－300.
令y＝0，得x＝90，则点P(90，0)，
故水电站建在河边P(90，0)处电线用料最省.
15.(5分)(新情境)数学家欧拉在1765年发表的《三角形的几何学》一书中有这样一个定理：三角形的外心、垂心和重心都在同一直线上.这条直线被后人称为三角形的欧拉线.已知△ABC的顶点分别为A(0，2)，B(－1，0)，C(4，0)，则△ABC的欧拉线方程为( )
A.4x－3y－6＝0 B.3x＋4y＋3＝0
C.4x＋3y－6＝0 D.3x＋4y－3＝0
答案：C
解析：因为△ABC的顶点分别为A(0，2)，B(－1，0)，C(4，0)，所以△ABC的重心为G，因为kAB＝2，kAC＝－，所以kAB·kAC＝－1，所以AB⊥AC，所以△ABC的外心为BC的中点D(，0)，因为三角形的外心、垂心和重心都在同一直线上，所以△ABC的欧拉线为直线GD，所以△ABC的欧拉线方程为＝，即4x＋3y－6＝0.故选C.
16.(17分)如图，为了绿化城市，拟在矩形区域ABCD内建一个矩形草坪，另外△AEF内部有一文物保护区域不能占用，经过测量，AB＝100 m，BC＝80 m，AE＝30 m，AF＝20 m，应该如何设计才能使草坪面积最大？
解：以A为原点，AB，AD所在直线为x，y轴建立平面直角坐标系，如图所示，在线段EF上取一点P(m，n)，作PQ⊥BC于Q，PR⊥CD于R，则矩形PQCR即为要建的矩形草坪，设矩形PQCR的面积是S，则S＝｜PQ｜·｜PR｜＝(100－m)(80－n).
又因为P(m，n)在直线EF：＋＝1上，
所以＋＝1(0≤m≤30)，
所以n＝20，
故S＝(100－m)＝－(m－5)2＋(0≤m≤30)，
当m＝5时，S有最大值，此时＝＝5，
即当点P为线段EF上靠近F点的六等分点时，可使草坪面积最大.
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第2课时 直线方程的两点式
第一章 §1 直线与直线的方程
1.3 直线的方程
学习目标
1.根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线方程的两点式、截距式，培养数学抽象的核心素养.
2.掌握直线方程的两点式、截距式的特点及适用范围.
3.能用直线的两点式方程和截距式方程解决有关问题，提升数学运算的核心素养.
任务一 直线方程的两点式
问题导思
新知构建
直线方程的两点式
名称 两点式方程
已知条件 A(x1，y1)和B(x2，y2)，其中x1≠x2，y1≠y2
示意图
方程形式 _______________________________
适用范围 不表示 坐标轴的直线
垂直于
微提醒
(1)当经过两点(x1，y1)，(x2，y2)的直线斜率不存在(x1＝x2)或斜率为0(y1＝y2)时，不能用直线方程的两点式表示.(2)直线方程的两点式与这两个点的顺序无关.(3)方程中等号两边表达式中分子之比等于分母之比，也就是同一条直线的斜率相等.
(链教材P12练习T2)(1)已知△ABC的三个顶点坐标分别为A(2，－1)，B(2，2)，C(4，1)，求三角形三条边所在直线的方程；
解：A，B两点横坐标相同，直线AB与x轴垂直，故其方程为x＝2.
所以三边AB，AC，BC所在的直线方程分别为x＝2，x－y－3＝0，x＋2y－6＝0.
典例
1
解：由直线经过点A(1，0)，B(m，1)，因此该直线斜率不可能为零，但有可能不存在.
(2)已知直线经过点A(1，0)，B(m，1)，求这条直线的方程.
①当直线斜率不存在，即m＝1时，直线方程为x＝1；
综上可得，当m＝1时，直线方程为x＝1；
当m≠1时，直线方程为x－(m－1)y－1＝0.
规律方法
利用两点式求直线的方程的步骤
第一步：首先要判断是否满足两点式方程的适用条件：两点的连线不垂直于坐标轴；
第二步：若不满足，不能用两点式求方程，可直接结合图形写方程；若满足，可用两点式写出方程.
注意：若点的坐标中含有参数，需注意对参数的讨论.
对点练1.已知△ABC的三个顶点坐标分别为A(－3，2)，B(5，－4)，C(0，－2).
(1)求BC边所在的直线方程；
解： BC边过两点B(5，－4)，C(0，－2)，
即2x＋5y＋10＝0，
故BC边所在的直线方程为2x＋5y＋10＝0.
返回
(2)求BC边上的中线所在直线的方程.
解：设BC的中点为M(a，b)，
又BC边的中线过点A(－3，2)，
所以BC边上的中线所在直线的方程为10x＋11y＋8＝0.
所以BC边上的中线所在直线的方程为10x＋11y＋8＝0.
任务二 直线方程的截距式
问题导思
新知构建
直线方程的截距式
名称 截距式方程
已知条件 在x轴上的截距为a，在y轴上的截距为b(a≠0，b≠0)
示意图
方程形式 ________________
适用范围 不表示 坐标轴的直线及过 的直线
垂直于
原点
微提醒
(1)如果已知直线在两坐标轴上的截距，可以直接代入截距式求直线的方程.(2)将直线的方程化为截距式后，可以观察出直线在x轴和y轴上的截距，这一点常被用来作图.(3)与坐标轴平行和过原点的直线都不能用截距式表示.(4)过原点的直线的横、纵截距都为零.
求过点(3，4)，且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线l的方程.
综上，直线l的方程为x－y＋1＝0或4x－3y＝0.
典例
2
变式探究
(变条件)若将本例中“截距互为相反数”改为“截距相等”，其他条件不变，求直线l的方程.
解：①当截距不为0时，
所以直线l的方程为x＋y－7＝0.
②当截距为0时，设直线l的方程为y＝kx，
综上，直线l的方程为x＋y－7＝0或4x－3y＝0.
规律方法
应用截距式方程的注意事项
1.如果问题中涉及直线与坐标轴相交，则可考虑选用截距式方程，用待定系数法确定其系数即可.
2.选用截距式方程时，必须首先考虑直线能否过原点以及能否与两坐标轴垂直.
3.要注意截距式方程的逆向应用.
√
(2)过点A(3，－1)且在两坐标轴上截距的绝对值相等的直线有
A.2条 B.3条
C.4条 D.无数多条
√
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任务三 截距式方程的应用
由①②可得5a2－32a＋48＝0，
典例
3
即3x＋4y－12＝0或15x＋8y－36＝0.
(2)△AOB的面积为6.
即3x＋4y－12＝0或3x＋y－6＝0.
变式探究
(变条件)是否存在这样的直线同时满足下列条件：(1)△AOB的周长为12；(2)△AOB的面积为6.若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由.
解：由本例知，
满足条件：△AOB的周长为12的方程为3x＋4y－12＝0或15x＋8y－36＝0.
满足条件：△AOB的面积为6的方程为3x＋4y－12＝0或3x＋y－6＝0.
所以同时满足(1)、(2)两个条件的直线方程为3x＋4y－12＝0.
规律方法
由勾股定理知a2＋b2＝37.
即6x－y－6＝0或6x－y＋6＝0.
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课堂小结
任务再现 1.直线的两点式方程.2.直线的截距式方程.3.截距式方程的应用
方法提炼 分类讨论思想、数形结合思想
易错警示 容易疏忽两点式和截距式方程的使用条件；利用截距式求直线方程时易忽略过原点的情况
随堂评价
√
√
3.已知A(2，－1)，B(6，1)，则在y轴上的截距是－3，且经过线段AB中点的直线方程为 .
3x－4y－12＝0
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4.已知A(4，0)，B(0，5)，直线AB上一动点P(x，y)，则xy的最大值是 .
5
课时分层评价
令y＝0，则2x－0＋2＝0，解得x＝－1，所以直线2x－y＋2＝0在x轴上的截距是－1.故选A.
√
1.直线2x－y＋2＝0在x轴上的截距是
A.－1 B.1
C.－2 D.2
√
2.已知△ABC的顶点坐标分别为A(1，2)，B(3，6)，C(5，2)，M为AB的中点，N为AC的中点，则中位线MN所在的直线方程为
A.2x－y＋8＝0 B.2x＋y－8＝0
C.2x－y－12＝0 D.2x＋y－12＝0
√
3.若直线l过点(－1，－1)和(2，5)，且点(91，b)在直线l上，则b的值为
A.180 B.181
C.182 D.183
√
√
√
√
8.已知直线l过点(－3，4)且方向向量为(1，－2)，则l在x轴上的截距为 .
因为直线l的方向向量为(1，－2)，所以直线斜率k＝－2，又直线l过点(－3，4)，所以直线方程为y－4＝－2(x＋3)，即2x＋y＋2＝0，令y＝0，得x＝－1，所以l在x轴上的截距为－1.
－1
9.(易错题)过点P(1，2)且在两坐标轴上截距的和为0的直线方程为 .
2x－y＝0或x－y＋1＝0
所以直线l的方程为3x＋3y－10＝0.
(2)若｜OA｜＋｜OB｜＝7，求直线l的方程.
由题意知，a＋b＝7 ①，
所以直线l的方程为3x＋4y－12＝0或6x＋3y－14＝0.
√
√
12.若直线l与两坐标轴围成一个等腰直角三角形，且此三角形的面积为18，则直线l的方程为 .
x±y＋6＝0或x±y－6＝0
13.(双空题)若直线l过点(4，1)且与x轴、y轴的正半轴分别交于A，B两点，O为坐标原点，则△AOB面积的最小值 ，当△AOB的面积取最小值时直线l的方程是 .
8
x＋4y－8＝0
14.(15分)一河流同侧有两个村庄A，B，两村庄计划在河边共建一水电站供两村使用，已知A，B两村到河边的垂直距离分别为300 m和700 m，且两村相距500 m，问：水电站建于何处送电到两村的电线用料最省？
解：如图所示，以河流所在直线为x轴，y轴通过点A，
建立平面直角坐标系，
故点B(300，700)，
设点A关于x轴的对称点为A'(0，－300)，
令y＝0，得x＝90，则点P(90，0)，
故水电站建在河边P(90，0)处电线用料最省.
15.(5分)(新情境)数学家欧拉在1765年发表的《三角形的几何学》一书中有这样一个定理：三角形的外心、垂心和重心都在同一直线上.这条直线被后人称为三角形的欧拉线.已知△ABC的顶点分别为A(0，2)，B(－1，0)，C(4，0)，则△ABC的欧拉线方程为
A.4x－3y－6＝0
B.3x＋4y＋3＝0
C.4x＋3y－6＝0
D.3x＋4y－3＝0
√
16.(17分)如图，为了绿化城市，拟在矩形区域ABCD内建一个矩形草坪，另外△AEF内部有一文物保护区域不能占用，经过测量，AB＝100 m，BC＝80 m，AE＝30 m，AF＝20 m，应该如何设计才能使草坪面积最大？
解：以A为原点，AB，AD所在直线为x，y轴建立平面
直角坐标系，如图所示，在线段EF上取一点P(m，n)，
作PQ⊥BC于Q，PR⊥CD于R，则矩形PQCR即为要建
的矩形草坪，设矩形PQCR的面积是S，则S＝
｜PQ｜·｜PR｜＝(100－m)(80－n).
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即当点P为线段EF上靠近F点的六等分点时，可使草坪面积最大.
