1.3 直线的方程
第1课时 直线方程的点斜式
学习目标 1.根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线方程的点斜式与斜截式，培养直观想象、逻辑推理的核心素养. 2.会利用直线的点斜式方程与斜截式方程解决有关的问题，提升数学运算的核心素养.
任务一 直线方程的点斜式
问题1.过点P0(x0，y0)的直线在平面内有多少条？过点P0(x0，y0)且斜率为k的直线有多少条？由此得到什么结论？
提示：无数条和一条，结论是：平面内一个点和斜率确定一条直线.
问题2.已知直线过P0(x0，y0)且斜率为k，直线上任意一点P(x，y)和它们有怎样的关系？试建立它们的代数关系式.
提示：如图所示，当P与P0不重合时，由斜率公式k＝得y－y0＝k(x－x0).当P与P0重合，即x＝x0，y＝y0时，同样满足上式，这说明任意P(x，y)均满足：y－y0＝k(x－x0).
1.直线l的方程
一般地，如果一条直线l上的每一点的坐标都是一个方程的解，并且以这个方程的解为坐标的点都在直线l上，那么这个方程称为直线l的方程.
2.直线方程的点斜式
名称 点斜式方程
已知条件 直线l经过点P(x0，y0)，且斜率为k
示意图
方程形式 y－y0＝k(x－x0)
适用范围 斜率存在
3.特殊的直线方程
直线l经过点P(x0，y0)，
(1)当直线l的斜率为0，即k＝0时，直线l与x轴平行(或重合)，直线方程为y＝y0，特别地，x轴的方程是 y＝0.
(2)当直线l的斜率不存在，即直线l倾斜角为时，直线l与y轴平行(或重合)，直线方程为x＝x0，特别地，y轴的方程是 x＝0.
微提醒(1)点斜式应用的前提是直线的斜率存在，若斜率不存在，则不能应用此式.(2)过某点P，可设直线方程的点斜式，注意讨论斜率不存在的情况.
(链教材P10例7)根据条件写出下列直线的方程，并画出直线：
(1)经过点A(－1，4)，斜率k＝－3；
(2)经过坐标原点，倾斜角为；
(3)经过点B(3，－5)，倾斜角为；
(4)经过点C(2，8)，D(－3，－2).
解：(1)y－4＝－3[x－(－1)]，即y＝－3x＋1.如图①所示.
(2)因为k＝tan＝1，所以y－0＝x－0，即y＝x.如图②所示.
(3)因为倾斜角为，所以直线的斜率k不存在，所以直线方程为x＝3.如图③所示.
(4)因为k＝＝2，所以y－8＝2(x－2)，
即y＝2x＋4.如图④所示.
求直线方程的点斜式的步骤
对点练1.求满足下列条件的直线方程：
(1)经过点(2，－3)，倾斜角是直线y＝x的倾斜角的2倍；
(2)经过点P(5，－2)，且与y轴平行；
(3)过P(－2，3)，Q(5，－4)两点.
解：(1)因为直线y＝x的斜率为，
所以直线y＝x的倾斜角为.
所以所求直线的倾斜角为，故其斜率为.
所以所求直线方程为y＋3＝(x－2)，
即x－y－2－3＝0.
(2)与y轴平行的直线，其斜率k不存在，不能用点斜式方程表示.但直线上点的横坐标均为5，
故直线方程可记为x＝5.
(3)过P(－2，3)，Q(5，－4)两点的直线斜率
kPQ＝＝＝－1.
因为直线过点P(－2，3)，
所以由直线的点斜式方程可得直线方程为
y－3＝－(x＋2)，即x＋y－1＝0.
任务二 直线方程的斜截式
问题3.考虑一种特殊情形：如果直线l的斜率为k且过P0(0，b)，那么此时直线的方程如何表示？
提示：由y－b＝k(x－0)，得y＝kx＋b.
直线方程的斜截式
名称 斜截式方程
已知条件 斜率k和直线在y轴上的截距b
示意图
方程形式 y＝kx＋b
适用范围 斜率存在
微提醒(1)直线的斜截式方程是直线的点斜式方程的特殊情况.(2)截距是一个实数，它是直线与坐标轴交点的横坐标或纵坐标，可以为正数、负数和0.当直线过原点时，它的横截距和纵截距都为0.(3)由直线的斜截式方程可直接得到直线的斜率和纵截距，如直线y＝2x－3的斜率k＝2，纵截距为－3.
写出下列直线的斜截式方程：
(1)斜率为2，在y轴上的截距为－1；
(2)倾斜角为直线y＝x＋1的倾斜角的一半，在y轴上的截距为－2；
(3)倾斜角为60°，在y轴上的截距为3.
解：(1)由题意得k＝2，b＝－1，由斜截式得直线方程为y＝2x－1.
(2)因为直线y＝x＋1的斜率为，
所以其倾斜角为60°，
故所求直线的倾斜角为30°，所以k＝tan 30°＝.
又b＝－2，所以直线方程为y＝x－2.
(3)因为直线的倾斜角为60°，
所以其斜率k＝tan 60°＝.
因为在y轴上的截距为3，
所以直线在y轴上的截距b＝3.
所以所求直线方程为y＝x＋3.
[变式探究]
(变条件)若本例(3)变为：倾斜角为60°，与y轴的交点到坐标原点的距离为3.求直线的斜截式方程.
解：因为直线的倾斜角为60°，
所以其斜率k＝tan 60°＝.
因为直线与y轴的交点到坐标原点的距离为3，
所以直线在y轴上的截距b＝3或b＝－3.
所以所求直线方程为y＝x＋3或y＝x－3.
求直线的斜截式方程的策略 1.直线的斜截式方程是点斜式方程的特殊形式，其适用前提是直线的斜率存在，只要点斜式中的点在y轴上，就可以直接用斜截式表示. 2.直线的斜截式方程y＝kx＋b中只有两个参数，因此要确定直线方程，只需知道参数k，b的值即可.
对点练2.(1)(多选题)关于直线l：y＝x－1，下列说法正确的是( )
A.过点(，－2) B.斜率为
C.倾斜角为60° D.在y轴上的截距为1
(2)(双空题)直线l过点(2，－1)，且斜率为3，则直线l的斜截式方程为
；在y轴上的截距为 .
答案：(1)BC(2)y＝3x－7 －7
解析：(1)对于A，将点(，－2)代入y＝x－1，可知不满足方程，故A不正确；易知B正确；对于C，由k＝，即tan α＝，可得直线的倾斜角为60°，故C正确；对于D，由y＝x－1，知直线在y轴上的截距为－1，故D不正确.故选BC.
(2)直线l过点(2，－1)，且l的斜率为3，由直线的点斜式方程得：y＋1＝3(x－2)，即y＝3x－7，当x＝0时，y＝－7，则l在y轴上的截距为－7.
任务三 点斜式(斜截式)方程的应用
过点P(2，1)作直线l与x轴和y轴的正半轴分别交于A，B两点，求：
(1)△AOB面积的最小值及此时直线l的方程；
(2)直线l在两坐标轴上截距之和的最小值及此时直线l的方程.
解：(1)设直线l的方程为y－1＝k(x－2)，
则可得A，B(0，1－2k).
因为与x轴、y轴正半轴分别交于A，B两点，
所以 k＜0.
于是S△AOB＝｜OA｜｜OB｜＝··(1－2k)
＝≥＝4，
当且仅当－＝－4k，即k＝－时，△AOB面积有最小值为4，此时直线l的方程为
y－1＝－(x－2)，即y＝－x＋2.
(2)因为A，B(0，1－2k)(k＜0)，
所以截距之和为＋1－2k＝3－2k－≥
3＋2＝3＋2，
当且仅当－2k＝－，即k＝－时，等号成立.
故截距之和的最小值为3＋2，此时直线l的方程为
y－1＝－(x－2)，即y＝－x＋＋1.
直线点斜式与基本不等式综合的3个关键点 1.一般地，已知直线上某点时，常设出其点斜式，且注意斜率是否存在. 2.构建函数解析式后，应注明变量的取值范围. 3.运用基本不等式求最值，应注意“等号”是否取到.如果取不到，可用函数单调性求最值.
对点练3.已知直线l过点(1，2)且在x，y轴上的截距相等.
(1)求直线l的方程；
(2)若直线l在x，y轴上的截距不为0，点P(a，b)在直线l上，求3a＋3b的最小值.
解：(1)①截距为0时，l：y＝2x；
②截距不为0时，k＝－1，l：y－2＝－(x－1)，
所以y＝－x＋3.
综上，l的方程为y＝2x，或y＝－x＋3.
(2)由题意得l：x＋y－3＝0，所以a＋b＝3，
所以3a＋3b≥2＝2＝6，
当且仅当a＝b＝时，等号成立，
所以3a＋3b的最小值为6.
任务再现 1.直线方程的点斜式.2.直线方程的斜截式.3.点斜式(斜截式)方程的应用
方法提炼 待定系数法、数形结合思想
易错警示 求直线方程时忽视斜率不存在的情况；混淆截距与距离
1.方程y＝k(x－1)(k∈R)表示( )
A.过点(－1，0)的一切直线
B.过点(1，0)的一切直线
C.过点(1，0)且不垂直于x轴的一切直线
D.过点(1，0)且除x轴外的一切直线
答案：C
解析：y＝k(x－1)表示过点(1，0)且不垂直于x轴的一切直线.故选C.
2.斜率为4，且过点(2，－3)的直线的点斜式方程是( )
A.y＋3＝4(x－2) B.y－3＝4(x－2)
C.y－3＝4(x＋2) D.y＋3＝4(x＋2)
答案：A
3.直线y＝kx＋b通过第一、三、四象限，则有( )
A.k＞0，b＞0 B.k＞0，b＜0
C.k＜0，b＞0 D.k＜0，b＜0
答案：B
解析：因为直线通过第一、三、四象限，所以图象如图所示，由图知，k＞0，b＜0.故选B.
4.经过点A(1，2)，倾斜角为的直线的斜截式方程为 .
答案：y＝x＋1
解析：因为倾斜角为，则斜率k＝tan ＝1，且过点A(1，2)，所以y－2＝1×(x－1)，即y＝x＋1.
课时分层评价2 直线方程的点斜式
(时间：60分钟 满分：110分)
(1—9，每小题5分，共45分)
1.直线l经过点P(2，－3)，且倾斜角α＝，则直线的点斜式方程是( )
A.y＋3＝x－2 B.y－3＝x＋2
C.y＋2＝x－3 D.y－2＝x＋3
答案：A
解析：因为直线l的斜率k＝tan ＝1，所以直线l的点斜式方程为y＋3＝x－2.故选A.
2.直线y＝kx＋1恒过点( )
A.(1，0) B.(－1，0)
C.(0，1) D.(0，－1)
答案：C
解析：当x＝0时，y＝1，所以直线y＝kx＋1恒过点.故选C.
3.直线y＝ax－的图象可能是( )
答案：B
解析：直线y＝ax－的斜率与在y轴上的截距异号.故选B.
4.直线l1：y＝k1x＋b1与l2：y＝k2x＋b2的位置关系如图所示，则有( )
A.k1＜k2，且b1＜b2
B.k1＜k2，且b1＞b2
C.k1＞k2，且b1＞b2
D.k1＞k2，且b1＜b2
答案：A
解析：设直线l1，l2的倾斜角分别为α1，α2.由题图可知，＜α1＜α2＜π，所以k1＜k2，又b1＜0，b2＞0，所以b1＜b2.故选A.
5.已知直线kx－y＋1－3k＝0，当k变化时，所有的直线恒过定点( )
A.(1，3) B.(－1，－3)
C.(3，1) D.(－3，－1)
答案：C
解析：直线kx－y＋1－3k＝0变形为y－1＝k(x－3)，所以恒过定点(3，1).故选C.
6.(多选题)经过点(2，1)，且与两坐标轴围成等腰直角三角形的直线方程为( )
A.y＝x＋3 B.y＝x－1
C.y＝－x＋3 D.y＝－x－1
答案：BC
解析：由题意可知直线的斜率为k＝±1，当直线的斜率为1时，直线方程为y－1＝x－2，化简得y＝x－1；当直线的斜率为－1时，直线方程为y－1＝－(x－2)，化简得y＝－x＋3.故选BC.
7.直线y＝x－4在y轴上的截距是 .
答案：－4
解析：在y＝x－4中，令x＝0，得y＝－4.
8.在y轴上的截距为－6，且与y轴相交成角的直线的斜截式是
.
答案：y＝x－6或y＝－x－6
解析：因为直线与y轴相交成角，所以直线的倾斜角为，所以直线的斜率为或－，又因为直线在y轴上的截距为－6，所以直线的斜截式为y＝x－6或y＝－x－6.
9.已知直线y＝(3－2k)x－6不经过第一象限，则实数k的取值范围为 .
答案：
解析：由题意知，需满足它在y轴上的截距不大于零，且斜率不大于零，则得k≥.
10.(13分)求斜率为，且与两坐标轴所围成的三角形的周长是20的直线的方程.
解：设所求直线的方程为y＝x＋b，
令x＝0，得y＝b；
令y＝0，得x＝－b.
由已知，得｜b｜＋＋ ＝20，
即｜b｜＋｜b｜＋｜b｜＝20，解得b＝±5.
故所求直线的方程为y＝x±5.
(11—13，每小题5分，共15分)
11.已知直线l1：y＝x＋2，直线l2是直线l1绕点P(－2，1)逆时针旋转45°得到的直线，则直线l2的方程是( )
A.y＝x＋3 B.y＝－2x－3
C.y＝4x＋9 D.y＝3x＋7
答案：D
解析：设直线l1，l2的倾斜角分别为α，β，则tan α，β＝α＋45°，故tan β＝tan(α＋45°)＝＝3，又点P在直线l2上，故直线l2的方程为y－1＝3(x＋2)，整理得y＝3x＋7.故选D.
12.(新情境)若光线沿倾斜角为120°的直线射向y轴上的点A(0，－4)，则经y轴反射后，反射光线所在的直线方程为( )
A.y＝x－4 B.y＝－x－4
C.y＝－x－4 D.y＝x－4
答案：A
解析：光线沿倾斜角为120°的直线射向y轴上的点A(0，－4)，经y轴反射后反射光线所在的直线的倾斜角为60°，则反射光线斜率k＝tan 60°＝，且反射光线过点A(0，－4)，故反射光线所在的直线方程为y＝x－4.故选A.
13.(多选题)设点A(－1，0)，B(1，0)，直线y＝－2x＋b与线段AB相交，则实数b可取的值有( )
A.－1 B.0
C.2 D.3
答案：ABC
解析：b为直线y＝－2x＋b在y轴上的截距，如图所示，当直线y＝－2x＋b过点A(－1，0)和点B(1，0)时，b分别取得最小值和最大值，当直线y＝－2x＋b过点A(－1，0)时，0＝－2×(－1)＋b，解得b＝－2，当直线y＝－2x＋b过点B(1，0)时，0＝－2×1＋b，解得b＝2，所以实数b的取值范围是[－2，2].故选ABC.
14.(15分)已知直线l经过点P(－1，2).
(1)若l不过原点且在两坐标轴上截距和为零，求l的点斜式方程；
(2)设l的斜率k＞0，l与两坐标轴的交点分别为A，B，当△AOB的面积最小时，求l的斜截式方程.
解：(1)由l不过原点且在两坐标轴上截距和为0，可得截距互为相反数，则斜率k＝1，
所以l的点斜式方程为y－2＝1·[x－(－1)].
(2)设直线l的方程为y－2＝k(x＋1)，
可得A(0，k＋2)，B( －－1，0)，
所以△AOB的面积S＝·｜k＋2｜＝＝＋2＋≥2＋2＝4，
当且仅当＝，k＞0，即k＝2时等号成立，
l的点斜式方程为y－2＝2(x＋1)，即y＝2x＋4，
所以l的斜截式方程为y＝2x＋4.
15.(5分)若△ABC的顶点坐标分别为A(3，4)，B(6，0)，C(－5，－2)，则角A的平分线所在的直线方程为 .
答案：y＝7x－17
解析：因为A(3，4)，B(6，0)，C(－5，－2)，所以kAB＝＝－，kAC＝＝，则kABkAC＝－1.所以∠BAC＝90°.如图所示，设角A的平分线所在直线的倾斜角为α，则tan α＝－tan(45°＋∠ABO)＝－＝7.所以角A的平分线所在直线的斜率为7，因此所求的直线方程为y－4＝7(x－3)，即y＝7x－17.
16.(17分)如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的长为2，宽为1，边AB，AD分别在x轴，y轴的正半轴上，点A与坐标原点重合.将矩形折叠，使点A落在线段DC上.若折痕所在直线的斜率为k，试写出折痕所在的直线方程.
解：当k＝0时，A与D重合，
折痕所在直线方程为y＝；
当k≠0时，点A关于折痕EF的对称点G在DC上.
设点G的坐标为(t，1)，A(0，0)，则由AG⊥EF，得·k＝－1，所以t＝－k，所以G(－k，1)，
所以M，代入点斜式，
得直线EF的方程为y－＝k，
即y＝k＋＝kx＋＋，
当k＝0时也满足上式.
综上所述，直线EF的方程为y＝kx＋＋.
所以折痕所在的直线方程为y＝kx＋＋.
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1.3 直线的方程
第一章 §1 直线与直线的方程
第1课时 直线方程的点斜式
学习目标
1.根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线方程的点斜式与斜截式，培养直观想象、逻辑推理的核心素养.
2.会利用直线的点斜式方程与斜截式方程解决有关的问题，提升数学运算的核心素养.
任务一 直线方程的点斜式
问题导思
新知构建
1.直线l的方程
一般地，如果一条直线l上的每一点的坐标都是一个方程的解，并且以这个方程的解为坐标的点都在直线l上，那么这个方程称为_____________.
2.直线方程的点斜式
名称 点斜式方程
已知条件 直线l经过点P(x0，y0)，且斜率为k
示意图
方程形式 _________________
适用范围 斜率存在
直线l的方程
y－y0＝k(x－x0)
y＝y0
y＝0
x＝x0
x＝0
(1)点斜式应用的前提是直线的斜率存在，若斜率不存在，则不能应用此式.(2)过某点P，可设直线方程的点斜式，注意讨论斜率不存在的情况.
微提醒
典例
1
规律方法
求直线方程的点斜式的步骤
返回
任务二 直线方程的斜截式
问题导思
问题3.考虑一种特殊情形：如果直线l的斜率为k且过P0(0，b)，那么此时直线的方程如何表示？
提示：由y－b＝k(x－0)，得y＝kx＋b.
新知构建
直线方程的斜截式
名称 斜截式方程
已知条件 斜率k和直线在y轴上的截距b
示意图
方程形式 __________
适用范围 斜率存在
y＝kx＋b
微提醒
(1)直线的斜截式方程是直线的点斜式方程的特殊情况.(2)截距是一个实数，它是直线与坐标轴交点的横坐标或纵坐标，可以为正数、负数和0.当直线过原点时，它的横截距和纵截距都为0.(3)由直线的斜截式方程可直接得到直线的斜率和纵截距，如直线y＝2x－3的斜率k＝2，纵截距为－3.
典例
2
规律方法
求直线的斜截式方程的策略
1.直线的斜截式方程是点斜式方程的特殊形式，其适用前提是直线的斜率存在，只要点斜式中的点在y轴上，就可以直接用斜截式
表示.
2.直线的斜截式方程y＝kx＋b中只有两个参数，因此要确定直线方程，只需知道参数k，b的值即可.
√
√
(2)(双空题)直线l过点(2，－1)，且斜率为3，则直线l的斜截式方程为____________；在y轴上的截距为________.
－7
y＝3x－7
直线l过点(2，－1)，且l的斜率为3，由直线的点斜式方程得：y＋1＝3(x－2)，即y＝3x－7，当x＝0时，y＝－7，则l在y轴上的截距为－7.
返回
任务三 点斜式(斜截式)方程的应用
典例
3
规律方法
直线点斜式与基本不等式综合的3个关键点
1.一般地，已知直线上某点时，常设出其点斜式，且注意斜率是否存在.
2.构建函数解析式后，应注明变量的取值范围.
3.运用基本不等式求最值，应注意“等号”是否取到.如果取不到，可用函数单调性求最值.
返回
课堂小结
任务再现 1.直线方程的点斜式.2.直线方程的斜截式.3.点斜式(斜截式)方程的应用
方法提炼 待定系数法、数形结合思想
易错警示 求直线方程时忽视斜率不存在的情况；混淆截距与距离
随堂评价
√
1.方程y＝k(x－1)(k∈R)表示
A.过点(－1，0)的一切直线
B.过点(1，0)的一切直线
C.过点(1，0)且不垂直于x轴的一切直线
D.过点(1，0)且除x轴外的一切直线
y＝k(x－1)表示过点(1，0)且不垂直于x轴的一切直线.故选C.
2.斜率为4，且过点(2，－3)的直线的点斜式方程是
A.y＋3＝4(x－2)
B.y－3＝4(x－2)
C.y－3＝4(x＋2)
D.y＋3＝4(x＋2)
√
3.直线y＝kx＋b通过第一、三、四象限，则有
A.k＞0，b＞0
B.k＞0，b＜0
C.k＜0，b＞0
D.k＜0，b＜0
解析：因为直线通过第一、三、四象限，所以图象如图所示，由图知，k＞0，b＜0.故选B.
√
y＝x＋1
返回
课时分层评价
√
√
2.直线y＝kx＋1恒过点
A.(1，0) B.(－1，0)
C.(0，1) D.(0，－1)
√
√
4.直线l1：y＝k1x＋b1与l2：y＝k2x＋b2的位置关系如图所示，则有
A.k1＜k2，且b1＜b2
B.k1＜k2，且b1＞b2
C.k1＞k2，且b1＞b2
D.k1＞k2，且b1＜b2
√
5.已知直线kx－y＋1－3k＝0，当k变化时，所有的直线恒过定点
A.(1，3)
B.(－1，－3)
C.(3，1)
D.(－3，－1)
直线kx－y＋1－3k＝0变形为y－1＝k(x－3)，所以恒过定点(3，1).故
选C.
√
√
6.(多选题)经过点(2，1)，且与两坐标轴围成等腰直角三角形的直线方
程为
A.y＝x＋3
B.y＝x－1
C.y＝－x＋3
D.y＝－x－1
由题意可知直线的斜率为k＝±1，当直线的斜率为1时，直线方程为
y－1＝x－2，化简得y＝x－1；当直线的斜率为－1时，直线方程为y－1＝－(x－2)，化简得y＝－x＋3.故选BC.
－4
9.已知直线y＝(3－2k)x－6不经过第一象限，则实数k的取值范围为
_____________.
√
√
13.(多选题)设点A(－1，0)，B(1，0)，直线y＝－2x＋b与线段AB相交，则实数b可取的值有
A.－1 B.0
C.2 D.3
√
√
√
b为直线y＝－2x＋b在y轴上的截距，如图所示，当直线
y＝－2x＋b过点A(－1，0)和点B(1，0)时，b分别取得最
小值和最大值，当直线y＝－2x＋b过点A(－1，0)时，0
＝－2×(－1)＋b，解得b＝－2，当直线y＝－2x＋b过点B(1，0)时，0＝－2×1＋b，解得b＝2，所以实数b的取值范围是[－2，2].故选ABC.
14.(15分)已知直线l经过点P(－1，2).
(1)若l不过原点且在两坐标轴上截距和为零，求l的点斜式方程；
解：由l不过原点且在两坐标轴上截距和为0，可得截距互为相反数，则斜率k＝1，
所以l的点斜式方程为y－2＝1·[x－(－1)].
15.(5分)若△ABC的顶点坐标分别为A(3，4)，B(6，0)，C(－5，－2)，则角A的平分线所在的直线方程为__________.
y＝7x－17
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