1.6 平面直角坐标系中的距离公式
第1课时 两点间的距离公式
学习目标 1.探索并掌握平面上两点间的距离公式，提升直观想象、数学运算的核心素养. 2.会利用两点间的距离公式解决一些相关的问题，提升逻辑推理、数学运算的核心素养.
任务一 两点间的距离公式
问题1.在数轴上已知两点A，B，如何求A，B两点间的距离？
提示：｜AB｜＝｜xB－xA｜.
问题2.在平面直角坐标系中，若两点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，怎样求这两点间的距离｜AB｜？
提示：(1)当AB与x轴平行时，｜AB｜＝｜x2－x1｜；
(2)当AB与y轴平行时，｜AB｜＝｜y2－y1｜；
(3)当AB与坐标轴不平行时，如图所示，在Rt△ABC中，
｜AB｜2＝｜AC｜2＋｜BC｜2，
所以｜AB｜
＝.
即A(x1，y1)，B(x2，y2)两点间的距离为｜AB｜＝.
1.两点间的距离公式
平面上A(x1，y1)，B(x2，y2)两点间的距离公式｜AB｜＝.
2.两点间距离的特殊情况
(1)原点O(0，0)与任一点A(x，y)间的距离｜OA｜＝.
(2)当AB∥x轴(y1＝y2)时，｜AB｜＝｜x2－x1｜.
(3)当AB∥y轴(x1＝x2)时，｜AB｜＝｜y2－y1｜.
[微思考] A(x1，y1)，B(x2，y2)两点间的距离公式是否可以写成｜AB｜＝的形式？
提示：可以，原因是＝，也就是说公式中A，B两点的位置没有先后之分，与两点的先后顺序无关.
(1)已知A(－1，0)，B(5，6)，C(3，4)，则的值为( )
A. B.
C.3 D.2
答案：D
解析：由两点间的距离公式，得｜AC｜＝＝4，｜CB｜＝＝2，所以＝＝2.故选D.
(2)已知点A(－3，4)，B(2，)，在x轴上找一点P，使｜PA｜＝｜PB｜，并求｜PA｜的值.
解：设点P的坐标为(x，0)，则有
｜PA｜＝＝，
｜PB｜＝＝.
由｜PA｜＝｜PB｜，得x2＋6x＋25＝x2－4x＋7，
解得x＝－.
故所求点P的坐标为.
｜PA｜＝＝.
计算两点间的距离的方法
1.对于任意两点A(x1，y1)和B(x2，y2)，则｜AB｜＝.
2.对于两点的横坐标或纵坐标相等的情况，可直接利用距离公式的特殊情况｜y2－y1｜或｜x2－x1｜求解.
对点练1.求下列两点间的距离：
(1)A(3，1)，B(－2，5)；
(2)A(3，0)，B(－1，0)；
(3)A(a，5)，B(a，－2).
解：(1)｜AB｜＝＝.
(2)由于点A，B均在x轴上，
所以｜AB｜＝｜－1－3｜＝4.
(3)由于直线AB⊥x轴，
所以｜AB｜＝｜－2－5｜＝7.
任务二 两点间的距离公式的应用
角度1 由两点间的距离求参数的值
若点M到x轴和到点N(－4，2)的距离都等于10，则点M的坐标为 .
答案：(2，10)或(－10，10)
解析：由点M到x轴的距离等于10可知，其纵坐标为±10.设点M的坐标为(xM，±10).由两点间的距离公式，得｜MN｜＝＝10或｜MN｜＝＝10，解得xM＝－10或xM＝2，所以点M的坐标为(2，10)或(－10，10).
[变式探究]
(变条件)将本例中“点M到x轴”改为“点M到y轴”，其他条件不变，求点M的坐标.
解：由点M到y轴的距离等于10可知，其横坐标为±10.
设点M的坐标为(±10，yM)，
由两点间的距离公式得
｜MN｜＝＝10，
或｜MN｜＝＝10，
解得yM＝－6或10.
所以点M的坐标为(－10，－6)或(－10，10).
根据两点间的距离公式得到所求参数的方程，注意含有根号需要平方，方能求解.
对点练2.已知A(a，3)，B(3，3a＋3)的距离为5，求a的值.
解：｜AB｜＝
＝＝5，
即(a－3)2＋(3a)2＝25，
即5a2－3a－8＝0，
解得a＝－1，或a＝，
因此a的值为－1或.
角度2 判断三角形的形状
(一题多解)已知△ABC三顶点坐标为A(－3，1)，B(3，－3)，C(1，7)，试判断△ABC的形状.
解：法一：根据两点间的距离公式，
得｜AB｜＝＝2，
｜AC｜＝＝2，
又｜BC｜＝＝2，
所以｜AB｜2＋｜AC｜2＝｜BC｜2，且｜AB｜＝｜AC｜，
所以△ABC是等腰直角三角形.
法二：因为kAC＝＝，
kAB＝＝－，
则kAC·kAB＝－1，所以AC⊥AB.
又｜AC｜＝＝2，
｜AB｜＝＝2，
所以｜AC｜＝｜AB｜.
所以△ABC是等腰直角三角形.
1.判断三角形的形状，要采用数形结合的方法，大致明确三角形的形状，以确定证明的方向.
2.在分析三角形的形状时，要从两方面考虑：一是要考虑角的特征，主要考查是否为直角或等角；二是要考虑三角形的长度特征，主要考查边是否相等或是否满足勾股定理.
对点练3.已知点A(5，1)关于x轴的对称点为B(x1，y1)，关于原点的对称点为C(x2，y2).
(1)试判断△ABC的形状；
(2)求△ABC的面积.
解：(1)依题意得，点A(5，1)关于x轴的对称点为B(5，－1)，关于原点的对称点为C(－5，－1)，
根据两点间的距离公式，
得｜AB｜＝＝，
｜BC｜＝＝，
｜AC｜＝＝，
所以｜AB｜2＋｜BC｜2＝｜AC｜2，
所以△ABC是直角三角形.
(2)S△ABC＝·＝×2×10＝10.
角度3 坐标法在平面几何中的应用
如图，在△ABC中，｜AB｜＝｜AC｜，D是BC边上异于B，C的任意一点.求证：｜AB｜2＝｜AD｜2＋｜BD｜·｜DC｜.
证明：如图所示，以BC的中点为原点O，
BC所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系.设A(0，a)，B(－b，0)，C(b，0)，D(m，0)，－b＜m＜b，
则｜AB｜2＝(－b－0)2＋(0－a)2＝a2＋b2，
｜AD｜2＝(m－0)2＋(0－a)2＝m2＋a2，
｜BD｜·｜DC｜＝｜m＋b｜·｜b－m｜＝(b＋m)(b－m)＝b2－m2，
所以｜AD｜2＋｜BD｜·｜DC｜＝a2＋b2，
所以｜AB｜2＝｜AD｜2＋｜BD｜·｜DC｜.
利用坐标法解决平面几何问题的基本步骤
第一步：建立坐标系，用坐标表示有关的量；
第二步：进行有关代数运算；
第三步：把代数运算的结果“翻译”成几何结论.
注意：建系的原则主要有两点：①让尽可能多的点落在坐标轴上，这样便于运算；②如果条件中有互相垂直的两条线，要考虑将它们作为坐标轴；如果图形为中心对称图形，可考虑将中心作为原点；如果有轴对称性，可考虑将对称轴作为坐标轴.
对点练4.如图，正方形ABCD中，在BC上任取一点P(点P不与B，C重合)，过点P作AP的垂线PQ交∠C的外角平分线于点Q.用坐标法证明：｜AP｜＝｜PQ｜.
证明：以B为原点，射线BC，BA分别为x轴、y轴的正半轴建立平面直角坐标系.如图所示，
设正方形边长为a，
则A(0，a)，C(a，0)，
设点P的坐标为(t，0)(0＜t＜a).
kAP＝－，lPQ：y＝(x－t)，①
lCQ：y＝x－a.②
联立①②可得Q(a＋t，t)(或利用三角形相似求得点Q坐标).
因为｜AP｜＝，｜PQ｜＝，
所以｜AP｜＝｜PQ｜.
任务再现 1.两点间的距离公式.2.两点间的距离公式的应用
方法提炼 待定系数法、坐标法、设而不求、整体代入、整体消元
易错警示 1.依据距离公式求参数易漏解.2.坐标系建立不恰当
1.已知点A(－2，－1)，B(a，3)，且｜AB｜＝5，则a的值为( )
A.1 B.－5
C.1或－5 D.－1或5
答案：C
解析：因为｜AB｜＝＝5，所以a2＋4a－5＝0，解得a＝1或－5.故选C.
2.已知△ABC三个顶点的坐标分别为A(－4，－4)，B(2，2)，C(4，－2)，则AB边上的中线长为( )
A. B.
C. D.
答案：B
解析：AB中点的坐标为D(－1，－1)，所以｜CD｜＝＝.故选B.
3.已知A(5，－1)，B(1，1)，C(2，3)，则△ABC是( )
A.直角三角形 B.锐角三角形
C.钝角三角形 D.等腰三角形
答案：A
解析：因为A(5，－1)，B(1，1)，C(2，3)，所以｜AB｜＝＝2，｜AC｜＝5，｜BC｜＝，所以｜AB｜2＋｜BC｜2＝｜AC｜2，所以△ABC是直角三角形.故选A.
4.在平面直角坐标系xOy中，已知A(4，3)，B(5，2)，C(1，0)，平面内的点P满足｜PA｜＝｜PB｜＝｜PC｜，则点P的坐标为 .
答案：(3，1)
解析：设点P的坐标为(x，y)，由因此点P的坐标为(3，1).
课时分层评价7 两点间的距离公式
(时间：60分钟 满分：110分)
(1—9，每小题5分，共45分)
1.已知点A，B是直线x＋2y－1＝0与坐标轴的交点，则｜AB｜＝( )
A. B.
C.1 D.2
答案：A
解析：由x＋2y－1＝0，令x＝0，得y＝，设A(0，)；令y＝0，得x＝1，设B(1，0).所以｜AB｜＝＝.故选A.
2.在直线2x－3y＋5＝0上求一点P，使点P到点A(2，3)的距离为，则点P的坐标是( )
A.(5，5) B.(－1，1)
C.(5，5)或(－1，1) D.(5，5)或(1，－1)
答案：C
解析：设点P(x，y)，则y＝.由｜PA｜＝，得(x－2)2＋＝13，即(x－2)2＝9，解得x＝－1，或x＝5.当x＝－1时，y＝1；当x＝5时，y＝5，所以P(－1，1)或(5，5).故选C.
3.(多选题)对于，下列说法正确的是( )
A.可看作点(x，0)与点(1，2)的距离
B.可看作点(x，0)与点(－1，－2)的距离
C.可看作点(x，0)与点(－1，2)的距离
D.可看作点(x，－1)与点(－1，1)的距离
答案：BCD
解析：由题意，可得＝＝＝，可看作点(x，0)与点(－1，－2)的距离，可看作点(x，0)与点(－1，2)的距离，可看作点(x，－1)与点(－1，1)的距离，故A不正确，BCD正确.故选BCD.
4.已知△ABC的顶点A(2，3)，B(－1，0)，C(2，0)，则△ABC的周长是( )
A.2 B.3＋2
C.6＋3 D.6＋
答案：C
解析：由两点间的距离公式及题意得｜AB｜＝＝3，｜BC｜＝＝3，｜CA｜＝＝3.从而△ABC的周长为3＋3＋3＝6＋3.故选C.
5.若两直线3ax－y－2＝0和(2a－1)x＋5ay－1＝0分别过定点A，B，则｜AB｜的值为( )
A. B.
C. D.
答案：C
解析：直线3ax－y－2＝0过定点A(0，－2)，直线(2a－1)x＋5ay－1＝0过定点B，由两点间的距离公式，得｜AB｜＝.故选C.
6.已知点A(2，3)，B(－2，6)，C(6，6)，D(10，3)，则以A，B，C，D为顶点的四边形是( )
A.平行四边形 B.菱形
C.矩形 D.梯形
答案：A
解析：由题意可得lAD：y＝3，lBC：y＝6，｜AD｜＝＝8＝｜BC｜＝，即lAD∥lBC，｜AD｜＝｜BC｜，又kAB＝＝－，即AB，AD不垂直，｜AB｜＝＝5≠｜AD｜，所以以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形.故选A.
7.过点A(a，4)和点B(b，2)的直线与直线x＋y＋m＝0垂直，则｜AB｜＝ .
答案：2
解析：因为过点A(a，4)和点B(b，2)的直线与直线x＋y＋m＝0垂直，所以kAB＝＝1，即a－b＝2，所以｜AB｜＝ ＝＝2.
8.在x轴上找一点Q，使点Q与A(5，12)间的距离为13，则点Q的坐标为 .
答案：(10，0)或(0，0)
解析：设Q(x0，0)，则有13＝，得x0＝0，或x0＝10，即点Q的坐标为(10，0)或(0，0).
9.(双空题)点P在直线l：x－y＋4＝0上，且到点M(－2，－4)，N(4，6)的距离相等，则点P的坐标为 ；经过点P且垂直于l的直线方程为 .
答案： x＋y－1＝0
解析：设点P的坐标是(a，a＋4)，由题意可知｜PM｜＝｜PN｜，即＝，解得a＝－，故点P的坐标是.所以经过点P且垂直于l的直线方程为y－＝－(x＋)，即x＋y－1＝0.
10.(13分)已知直线l1：2x＋y－6＝0和点A(1，－1)，过点A作直线l与已知直线l1相交于点B，且使｜AB｜＝5，求直线l的方程.
解：当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为
y＋1＝k(x－1)，
解方程组
即B.
由｜AB｜＝＝5，
解得k＝－，
所以直线l的方程为y＋1＝－(x－1)，
即3x＋4y＋1＝0.
当过点A的直线l的斜率不存在时，方程为x＝1.
此时，与l1的交点为(1，4)，也满足题意.
综上所述，直线l的方程为3x＋4y＋1＝0或x＝1.
(11—13，每小题5分，共15分)
11.已知A(5，2a－1)，B(a＋1，a－4)，当｜AB｜取最小值时，实数a的值是( )
A.－ B.－
C. D.
答案：C
解析：因为A(5，2a－1)，B(a＋1，a－4)，所以｜AB｜＝
＝＝
＝，所以当a＝时，｜AB｜取得最小值.故选C.
12.设m∈R，过定点A的直线x＋my－m＝0和过定点B的直线mx－y－m＋3＝0交于点P，则｜PA｜2＋｜PB｜2的值为( )
A.5 B.
C. D.与m的取值有关
答案：A
解析：直线x＋my－m＝0过定点A(0，1)，直线mx－y－m＋3＝0过定点B(1，3)，且直线x＋my－m＝0和直线mx－y－m＋3＝0满足1×m－m×1＝0，故两直线垂直，故｜PA｜2＋｜PB｜2＝｜AB｜2＝12＋22＝5.故选A.
13.在Rt△ABC中，点D是斜边AB的中点，点P为线段CD的中点，则＝ .
答案：10
解析：以C为原点，AC，BC所在直线分别为x轴，y轴建立平面直角坐标系(图略)，设A(4a，0)，B(0，4b)，则D(2a，2b)，P(a，b)，所以｜PA｜2＝9a2＋b2，｜PB｜2＝a2＋9b2，｜PC｜2＝a2＋b2，于是｜PA｜2＋｜PB｜2＝10(a2＋b2)＝10｜PC｜2，即＝10.
14.(15分)已知正三角形ABC的边长为a，在平面ABC上求一点P，使｜PA｜2＋｜PB｜2＋｜PC｜2最小，并求此最小值.
解：以BC所在直线为x轴，以线段BC的中点为原点，建立平面直角坐标系，如图所示.
因为正三角形ABC的边长为a，
所以B，C，A.
设P(x，y)，由两点间的距离公式，
得｜PA｜2＋｜PB｜2＋｜PC｜2＝x2＋＋＋y2＋＋y2＝3x2＋3y2－ay＋＝3x2＋3＋a2≥a2，
当且仅当x＝0，y＝a时，等号成立，
故所求最小值为a2，此时点P的坐标为.
15.(5分)在平面直角坐标系内有四点A(－1，0)，B(2，1)，C(1，5)，D(－2，2)，P为该平面内的动点，则P到A，B，C，D四点的距离之和的最小值为( )
A.10 B.＋
C.14 D.＋
答案：D
解析：依题意可知，四点A(－1，0)，B(2，1)，C(1，5)，D(－2，2)构成一个四边形ABCD，因为｜PA｜＋｜PC｜≥｜AC｜，当且仅当P在对角线AC上时取得等号，因为｜PB｜＋｜PD｜≥｜BD｜，当且仅当P在对角线BD上时取得等号，所以｜PA｜＋｜PC｜＋｜PB｜＋｜PD｜≥｜AC｜＋｜BD｜＝＋＝＋，当且仅当P为两条对角线的交点时取得等号.故P到A，B，C，D四点的距离之和的最小值为＋.故选D.
16.(17分)若不等式＋＋＋≥m对任意的实数x，y恒成立，求m的最大值.
解：设坐标原点为O，建立如图所示的平面直角坐标系，
设P(x，y)，A(6，8)，B(3，0)，C(3，8)，则四边形ACOB为平行四边形，则＋＋＋＝｜OP｜＋｜PA｜＋｜PB｜＋｜PC｜，而｜OP｜＋｜PA｜＋｜PB｜＋｜PC｜≥｜AO｜＋｜BC｜＝10＋8＝18，当且仅当P在平行四边形ACOB的对角线的交点E处时等号成立，此时P(3，4).故｜OP｜＋｜PA｜＋｜PB｜＋｜PC｜的最小值为18.因为不等式＋＋＋≥m对任意的实数x，y恒成立，所以m≤18，即m的最大值为18，此时x＝3，y＝4.
21世纪教育网(www.21cnjy.com)(共51张PPT)
1.6 平面直角坐标系中的距离公式
第1课时 两点间的距离公式
第一章 §1 直线与直线的方程
学习目标
1.探索并掌握平面上两点间的距离公式，提升直观想象、数 学运算的核心素养.
2.会利用两点间的距离公式解决一些相关的问题，提升逻辑 推理、数学运算的核心素养.
任务一 两点间的距离公式
问题导思
问题1.在数轴上已知两点A，B，如何求A，B两点间的距离？
提示：｜AB｜＝｜xB－xA｜.
问题2.在平面直角坐标系中，若两点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，怎样求这两点间的距离｜AB｜？
提示：(1)当AB与x轴平行时，｜AB｜＝｜x2－x1｜；
(2)当AB与y轴平行时，｜AB｜＝｜y2－y1｜；
新知构建
微思考
典例
1
√
规律方法
返回
任务二 两点间的距离公式的应用
问题导思
角度1 由两点间的距离求参数的值
若点M到x轴和到点N(－4，2)的距离都等于10，则点M的坐标为___________________.
典例
2
(2，10)或(－10，10)
规律方法
根据两点间的距离公式得到所求参数的方程，注意含有根号需要平方，方能求解.
典例
3
规律方法
1.判断三角形的形状，要采用数形结合的方法，大致明确三角形的形状，以确定证明的方向.
2.在分析三角形的形状时，要从两方面考虑：一是要考虑角的特征，主要考查是否为直角或等角；二是要考虑三角形的长度特征，主要考查边是否相等或是否满足勾股定理.
角度3 坐标法在平面几何中的应用
如图，在△ABC中，｜AB｜＝｜AC｜，D是BC边上异于B，C的任意一点.求证：｜AB｜2＝｜AD｜2＋｜BD｜·｜DC｜.
证明：如图所示，以BC的中点为原点O，
BC所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系.设
A(0，a)，B(－b，0)，C(b，0)，D(m，0)，－b＜m＜b，
则｜AB｜2＝(－b－0)2＋(0－a)2＝a2＋b2，
｜AD｜2＝(m－0)2＋(0－a)2＝m2＋a2，
｜BD｜·｜DC｜＝｜m＋b｜·｜b－m｜＝(b＋m)(b－m)
＝b2－m2，
所以｜AD｜2＋｜BD｜·｜DC｜＝a2＋b2，
所以｜AB｜2＝｜AD｜2＋｜BD｜·｜DC｜.
典例
4
规律方法
利用坐标法解决平面几何问题的基本步骤
第一步：建立坐标系，用坐标表示有关的量；
第二步：进行有关代数运算；
第三步：把代数运算的结果“翻译”成几何结论.
注意：建系的原则主要有两点：①让尽可能多的点落在坐标轴上，这样便于运算；②如果条件中有互相垂直的两条线，要考虑将它们作为坐标轴；如果图形为中心对称图形，可考虑将中心作为原点；如果有轴对称性，可考虑将对称轴作为坐标轴.
对点练4.如图，正方形ABCD中，在BC上任取一点P(点P不与B，C重合)，过点P作AP的垂线PQ交∠C的外角平分线于点Q.用坐标法证明：｜AP｜＝｜PQ｜.
证明：以B为原点，射线BC，BA分别为x轴、y轴的
正半轴建立平面直角坐标系.如图所示，
设正方形边长为a，
则A(0，a)，C(a，0)，
设点P的坐标为(t，0)(0＜t＜a).
课堂小结
任务再现 1.两点间的距离公式.2.两点间的距离公式的应用
方法提炼 待定系数法、坐标法、设而不求、整体代入、整体消元
易错警示 1.依据距离公式求参数易漏解.2.坐标系建立不恰当
返回
随堂评价
√
1.已知点A(－2，－1)，B(a，3)，且｜AB｜＝5，则a的值为
A.1 B.－5
C.1或－5 D.－1或5
√
√
3.已知A(5，－1)，B(1，1)，C(2，3)，则△ABC是
A.直角三角形 B.锐角三角形
C.钝角三角形 D.等腰三角形
4.在平面直角坐标系xOy中，已知A(4，3)，B(5，2)，C(1，0)，平面内的点P满足｜PA｜＝｜PB｜＝｜PC｜，则点P的坐标为_______.
(3，1)
返回
课时分层评价
√
√
√
√
√
√
√
√
6.已知点A(2，3)，B(－2，6)，C(6，6)，D(10，3)，则以A，B，C，D为顶点的四边形是
A.平行四边形 B.菱形
C.矩形 D.梯形
7.过点A(a，4)和点B(b，2)的直线与直线x＋y＋m＝0垂直，则｜AB｜＝______.
8.在x轴上找一点Q，使点Q与A(5，12)间的距离为13，则点Q的坐标为_______________.
(10，0)或(0，0)
9.(双空题)点P在直线l：x－y＋4＝0上，且到点M(－2，－4)，N(4，6)的
距离相等，则点P的坐标为____________；经过点P且垂直于l的直线方程为____________.
x＋y－1＝0
√
√
直线x＋my－m＝0过定点A(0，1)，直线mx－y－m＋3＝0过定点B(1，3)，且直线x＋my－m＝0和直线mx－y－m＋3＝0满足1×m－m×1＝0，故两直线垂直，故｜PA｜2＋｜PB｜2＝｜AB｜2＝12＋22＝5.故选A.
10
√
返回
