(共61张PPT)
2.2 圆的一般方程
第一章 §2 圆与圆的方程
学习目标
1.回顾确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中，探索并掌 握圆的一般方程及其特点，培养数学抽象的核心素养.
2.会将圆的一般方程化为圆的标准方程，并能熟练地指出圆 心的坐标和半径的大小，提升数学运算的核心素养.
3.能根据某些具体条件求圆的一般方程，会求与圆有关的简 单的轨迹方程问题，提升数学运算、逻辑推理的核心素养.
任务一 圆的一般方程
问题导思
问题1.方程x2＋y2－2x＋4y＋1＝0，x2＋y2－2x＋4y＋5＝0，x2＋y2－2x＋4y＋6＝0分别表示什么图形？
提示：对方程x2＋y2－2x＋4y＋1＝0配方，得(x－1)2＋(y＋2)2＝4，表示以(1，－2)为圆心，2为半径的圆；对方程x2＋y2－2x＋4y＋5＝0配方，得(x－1)2＋(y＋2)2＝0，表示点(1，－2)；对方程x2＋y2－2x＋4y＋6＝0配方，得(x－1)2＋(y＋2)2＝－1，不表示任何图形.
新知构建
1.圆的一般方程
_______________________(其中D2＋E2－4F＞0)称为圆的一般方程.
2.方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示的图形
条件 表示的图形
D2＋E2－4F＜0 不表示任何图形
D2＋E2－4F＝0 表示一个点__________
D2＋E2－4F＞0 表示以__________为圆心，以_______________为半径的圆
x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0
微提醒
(1)二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件是D2＋E2－4F＞0.
(2)圆的标准方程和一般方程的相互转化：
1.对于二元二次方程Ax2＋Cxy＋By2＋Dx＋Ey＋F＝0而言，表示圆的代数特征是什么？
提示：x2，y2的系数相同，且不等于0，即A＝B≠0；不含xy这样的二次项，即C＝0.
2.能从代数角度说明“不共线的三点可以确定一个圆”吗？
提示：可以.把不共线的三个点的坐标代入圆的一般方程(或标准方程)，所得的关于D，E，F(或a，b，r)的方程组只有唯一一组解.
微思考
角度1 圆的一般方程的判断
(1)若x2＋y2－4x＋2y＋5k＝0表示圆，则实数k的取值范围是
A.R B.(－∞，1)
C.(－∞，1] D.[1，＋∞)
典例
1
√
由方程x2＋y2－4x＋2y＋5k＝0可得，(x－2)2＋(y＋1)2＝5－5k，此方程表示圆，则5－5k＞0，解得k＜1.故选B.
(2)(双空题)已知a∈R，方程a2x2＋(a＋2)y2＋4x＋8y＋5a＝0表示圆，则圆心坐标是__________，半径是____.
(－2，－4)
5
规律方法
方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的判断方法
1.配方法：对形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的二元二次方程可以通过配方变形为标准方程后，观察是否表示圆.
2.运用圆的一般方程的判断方法求解，即通过判断D2＋E2－4F的符号是否为正，确定它是否表示圆.
注意：在利用D2＋E2－4F＞0来判断二元二次方程是否表示圆时，务必注意x2及y2的系数均为1.
典例
2
变式探究
(变设问)若点M(0，b)在△ABC的外接圆外，求b的取值范围.
解：由M(0，b)在圆x2＋y2－6x－8y＝0外得b2－8b＞0，
解得b＜0或b＞8，
所以b的取值范围是(－∞，0)∪(8，＋∞).
规律方法
待定系数法求圆的方程的解题策略
1.如果已知条件与圆心坐标、半径有关，一般采用圆的标准方程，再用待定系数法求出a，b，r.
2.如果已知条件与圆心和半径都无直接关系，一般采用圆的一般方程，再用待定系数法求出常数D，E，F.
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任务二 与圆有关的轨迹方程问题
典例
3
典例
4
典例
5
规律方法
求与圆有关的轨迹问题的方法
1.直接法：根据题目条件，建立坐标系，设出动点坐标，找出动点满足的条件，然后化简、求解.
2.定义法：当动点的运动轨迹符合圆的定义时，可利用定义写出动点的轨迹方程.
3.代入法：若动点P(x，y)依赖于某圆上的一个动点Q(x1，y1)而运动，把x1，y1用x，y表示，再将Q点的坐标代入到已知圆的方程中，得点P的轨迹方程.
因为点C不能在x轴上，
所以y≠0.
综上，点C的轨迹是以(－6，0)为圆心，6为半径的圆，去掉(－12，0)和(0，0)两点.
轨迹方程为(x＋6)2＋y2＝36(y≠0).
典例
6
√
课堂小结
任务再现 1.圆的一般方程.2.与圆有关的轨迹方程问题
方法提炼 待定系数法、几何法、定义法、代入法
易错警示 忽视圆的一般方程中系数的限制条件
返回
随堂评价
√
√
2.已知圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的圆心坐标为(－2，3)，则D，E分别为
A.4，－6 B.－4，－6
C.－4，6 D.4，6
√
3.当a取不同的实数时，由方程x2＋y2＋2ax＋2ay－1＝0可以得到不同的圆，则
A.这些圆的圆心都在直线y＝x上
B.这些圆的圆心都在直线y＝－x上
C.这些圆的圆心都在直线y＝x或在直线y＝－x上
D.这些圆的圆心不在同一条直线上
圆的方程变为(x＋a)2＋(y＋a)2＝2a2＋1，所以圆心坐标为(－a，－a)，故圆心都在直线y＝x上.故选A.
4.已知圆C过点M(1，1)，N(5，1)，且圆心在直线y＝x－2上，则圆C的一般方程为______________________.
x2＋y2－6x－2y＋6＝0
返回
课时分层评价
√
1.方程2x2＋2y2－4x＋8y＋10＝0表示的图形是
A.一个点 B.一个圆
C.一条直线 D.不存在
方程2x2＋2y2－4x＋8y＋10＝0可化为(x－1)2＋(y＋2)2＝0，所以方程2x2＋2y2－4x＋8y＋10＝0表示点(1，－2).故选A.
√
√
√
A，B，D显然正确；C中方程可化为(x－2)2＋(y＋3)2＝0，表示点(2，
－3).故选ABD.
√
√
4.圆x2＋y2－2x＋4y－4＝0关于直线x＋y－1＝0对称的圆的方程是
A.(x－3)2＋y2＝16 B.x2＋(y－3)2＝9
C.x2＋(y－3)2＝16 D.(x－3)2＋y2＝9
√
5.“k＞4”是“方程x2＋y2＋kx＋(k－2)y＋5＝0表示圆”的
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
若方程x2＋y2＋kx＋(k－2)y＋5＝0表示圆，则k2＋(k－2)2－4×5＞0，解得k＜－2或k＞4.k＞4可以推出x2＋y2＋kx＋(k－2)y＋5＝0表示圆，满足充分性；x2＋y2＋kx＋(k－2)y＋5＝0表示圆不能推出k＞4，不满足必要性，所以“k＞4”是“方程x2＋y2＋kx＋(k－2)y＋5＝0表示圆”的充分不必要条件.故选A.
√
7.在平面直角坐标系中，经过三点(0，0)，(1，1)，(2，0)的圆的方程为______________.
(x－1)2＋y2＝1
以(0，0)，(1，1)，(2，0)为顶点的三角形为等腰直角三角形，其外接圆的圆心为(1，0)，半径为1，所以所求圆的方程为(x－1)2＋y2＝1.
8.(双空题)如果圆的方程为x2＋y2＋kx＋2y＋k2＝0，那么当圆面积最大时，该圆的方程为_______________，最大面积为___.
x2＋(y＋1)2＝1
π
9.设圆x2＋y2－4x＋2y－11＝0的圆心为A，点P在圆上，则线段PA的中点M的轨迹方程是_____________________.
x2＋y2－4x＋2y＋1＝0
√
√
√
√
72
√
16.(17分)(新定义)在平面几何中，通常将完全覆盖某平面图形且直径最小的圆称为该平面图形的最小覆盖圆.
最小覆盖圆满足以下性质：
①线段AB的最小覆盖圆就是以AB为直径的圆.
②锐角△ABC的最小覆盖圆就是其外接圆.
已知曲线W：x2＋y4＝16，A(0，t)，B(4，0)，C(0，2)，D(－4，0)为曲线W上不同的四点.
(1)求实数t的值及△ABC的最小覆盖圆的方程；
(2)求四边形ABCD的最小覆盖圆的方程；
解：因为线段DB的最小覆盖圆就是以DB为直径的圆，
所以线段DB的最小覆盖圆的方程为x2＋y2＝16.
又因为｜OA｜＝｜OC｜＝2＜4(O为坐标原点)，所以点A，C都在圆内.
所以四边形ABCD的最小覆盖圆的方程为x2＋y2＝16.
返回2.2 圆的一般方程
学习目标 1.回顾确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的一般方程及其特点，培养数学抽象的核心素养. 2.会将圆的一般方程化为圆的标准方程，并能熟练地指出圆心的坐标和半径的大小，提升数学运算的核心素养. 3.能根据某些具体条件求圆的一般方程，会求与圆有关的简单的轨迹方程问题，提升数学运算、逻辑推理的核心素养.
任务一 圆的一般方程
问题1.方程x2＋y2－2x＋4y＋1＝0，x2＋y2－2x＋4y＋5＝0，x2＋y2－2x＋4y＋6＝0分别表示什么图形？
提示：对方程x2＋y2－2x＋4y＋1＝0配方，得(x－1)2＋(y＋2)2＝4，表示以(1，－2)为圆心，2为半径的圆；对方程x2＋y2－2x＋4y＋5＝0配方，得(x－1)2＋(y＋2)2＝0，表示点(1，－2)；对方程x2＋y2－2x＋4y＋6＝0配方，得(x－1)2＋(y＋2)2＝－1，不表示任何图形.
问题2.(1)如果方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0能表示圆的方程，有什么条件？
(2)当D2＋E2－4F＝0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示什么图形？
提示：(1)对方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0进行配方，得＋＝，当D2＋E2－4F＞0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆.
(2)当D2＋E2－4F＝0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示一个点.
1.圆的一般方程
x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(其中D2＋E2－4F＞0)称为圆的一般方程.
2.方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示的图形
条件 表示的图形
D2＋E2－4F＜0 不表示任何图形
D2＋E2－4F＝0 表示一个点(－，－)
D2＋E2－4F＞0 表示以(－，－)为圆心，以为半径的圆
微提醒(1)二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件是D2＋E2－4F＞0.
(2)圆的标准方程和一般方程的相互转化：
[微思考] 1.对于二元二次方程Ax2＋Cxy＋By2＋Dx＋Ey＋F＝0而言，表示圆的代数特征是什么？
提示：x2，y2的系数相同，且不等于0，即A＝B≠0；不含xy这样的二次项，即C＝0.
2.能从代数角度说明“不共线的三点可以确定一个圆”吗？
提示：可以.把不共线的三个点的坐标代入圆的一般方程(或标准方程)，所得的关于D，E，F(或a，b，r)的方程组只有唯一一组解.
角度1 圆的一般方程的判断
(1)若x2＋y2－4x＋2y＋5k＝0表示圆，则实数k的取值范围是( )
A.R B.(－∞，1)
C.(－∞，1] D.[1，＋∞)
(2)(双空题)已知a∈R，方程a2x2＋(a＋2)y2＋4x＋8y＋5a＝0表示圆，则圆心坐标是 ，半径是 .
答案：(1)B(2)(－2，－4) 5
解析：(1)由方程x2＋y2－4x＋2y＋5k＝0可得，(x－2)2＋(y＋1)2＝5－5k，此方程表示圆，则5－5k＞0，解得k＜1.故选B.
(2)由题可得a2＝a＋2，解得a＝－1或a＝2.当a＝－1时，方程为x2＋y2＋4x＋8y－5＝0表示圆，故圆心为(－2，－4)，半径为5.当a＝2时，方程为4x2＋4y2＋4x＋8y＋10＝0，即( x＋)2＋(y＋1)2＝－，不表示圆.
方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的判断方法
1.配方法：对形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的二元二次方程可以通过配方变形为标准方程后，观察是否表示圆.
2.运用圆的一般方程的判断方法求解，即通过判断D2＋E2－4F的符号是否为正，确定它是否表示圆.
注意：在利用D2＋E2－4F＞0来判断二元二次方程是否表示圆时，务必注意x2及y2的系数均为1.
对点练1.若方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0表示圆.
(1)求实数m的取值范围；
(2)写出圆心坐标和半径.
解：(1)由表示圆的充要条件，
得(2m)2＋(－2)2－4(m2＋5m)＞0，
解得m＜，即实数m的取值范围为(－∞，).
(2)将方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0写成标准方程为(x＋m)2＋(y－1)2＝1－5m，
故圆心坐标为(－m，1)，半径r＝.
角度2 求圆的一般方程
(链教材P32例4)已知A(0，0)，B(6，0)，C(－1，7)，求△ABC的外接圆的圆心坐标和半径.
解：设外接圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0.①
将圆上三点的坐标依次代入方程①，得到一个关于D，E，F的三元一次方程组
解得D＝－6，E＝－8，F＝0，
因此，外接圆的方程为x2＋y2－6x－8y＝0，
整理得(x－3)2＋(y－4)2＝52.
所以外接圆的圆心坐标为(3，4)，半径为5.
[变式探究]
(变设问)若点M(0，b)在△ABC的外接圆外，求b的取值范围.
解：由M(0，b)在圆x2＋y2－6x－8y＝0外得b2－8b＞0，
解得b＜0或b＞8，
所以b的取值范围是(－∞，0)∪(8，＋∞).
待定系数法求圆的方程的解题策略
1.如果已知条件与圆心坐标、半径有关，一般采用圆的标准方程，再用待定系数法求出a，b，r.
2.如果已知条件与圆心和半径都无直接关系，一般采用圆的一般方程，再用待定系数法求出常数D，E，F.
对点练2.(一题多解)已知△ABC的三个顶点为A(1，4)，B(－2，3)，C(4，－5)，求△ABC的外接圆方程、外心坐标和外接圆半径.
解：法一：设△ABC的外接圆方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
因为A，B，C在圆上，
所以
所以△ABC的外接圆方程为x2＋y2－2x＋2y－23＝0，
即(x－1)2＋(y＋1)2＝25.
所以外心坐标为(1，－1)，外接圆半径为5.
法二：因为kAB＝＝，kAC＝＝－3，
所以kAB·kAC＝－1，所以AB⊥AC.
所以△ABC是以角A为直角的直角三角形，
所以外心是线段BC的中点，坐标为(1，－1)，r＝｜BC｜＝5.
所以外接圆方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝25.
所以外心坐标为(1，－1)，外接圆半径为5.
任务二 与圆有关的轨迹方程问题
角度1 直接法求轨迹方程
求到两个定点A(－2，0)，B(1，0)的距离之比等于2的点的轨迹方程.
解：设M(x，y)为所求轨迹上一点，则＝2，
所以＝2，即(x＋2)2＋y2＝4(x－1)2＋4y2，
整理可得x2－4x＋y2＝0，即(x－2)2＋y2＝4.
角度2 定义法求轨迹方程
已知Rt△ABC的斜边为AB，且A(－1，0)，B(3，0)，求直角顶点C的轨迹方程.
解：设AB的中点为D，由中点坐标公式，
得D(1，0).
由直角三角形的性质，知｜CD｜＝｜AB｜＝2.
由圆的定义，知动点C的轨迹是以D(1，0)为圆心，以2为半径长的圆(因为A，B，C三点不共线，所以应除去与x轴的交点).
设C(x，y)，则直角顶点C的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝4(x≠3，且x≠－1).
角度3 代入法求轨迹方程
已知定点Q(3，0)，动点P在圆x2＋y2＝1上，求线段PQ的中点M的轨迹方程.
解：设P(x1，y1)，PQ的中点M的坐标为(x，y)，
因为Q(3，0)，所以
又因为点P在圆x2＋y2＝1上，所以＋＝1，所以(2x－3)2＋4y2＝1，
即线段PQ的中点M的轨迹方程为x2＋y2－3x＋2＝0.
求与圆有关的轨迹问题的方法
1.直接法：根据题目条件，建立坐标系，设出动点坐标，找出动点满足的条件，然后化简、求解.
2.定义法：当动点的运动轨迹符合圆的定义时，可利用定义写出动点的轨迹方程.
3.代入法：若动点P(x，y)依赖于某圆上的一个动点Q(x1，y1)而运动，把x1，y1用x，y表示，再将Q点的坐标代入到已知圆的方程中，得点P的轨迹方程.
对点练3.(1)若线段AB的端点分别在x轴、y轴上运动，且｜AB｜＝4，求线段AB中点M的轨迹方程.
(2)(一题多解)已知圆O的方程为x2＋y2＝9，求经过点A(1，2)的弦的中点P的轨迹方程.
(3)已知△ABC的边AB长为4，若BC边上的中线为定长3，求顶点C的轨迹方程.
解：(1)由题意，设原点为O(0，0)，
则｜OM｜＝｜AB｜＝2，由圆的定义，M在以O(0，0)为圆心，2为半径的圆上，
即x2＋y2＝4，即为M的轨迹方程.
(2)法一：设点P的坐标为(x，y).
当AP垂直于x轴，即点P的坐标为(1，0)时符合题意；
当AP垂直于y轴，即点P的坐标为(0，2)时，符合题意；
当点P与点A或点O重合，即点P的坐标为(1，2)或(0，0)时，符合题意；
当x≠0，且x≠1时，根据题意可知AP⊥OP，
即kAP·kOP＝－1，
因为kAP＝，kOP＝，
所以·＝－1，
即＋(y－1)2＝(x≠0，且x≠1).
经检验，点(1，0)，(1，2)，(0，0)，(0，2)也适合上式.
即中点P的轨迹方程为＋(y－1)2＝.
法二：设点P的坐标为(x，y)，则A，P重合或OP⊥AP，总有·＝0，
即(x－1，y－2)·(x，y)＝0，x(x－1)＋y(y－2)＝0，即x2＋y2－x－2y＝0，
亦即＋(y－1)2＝.
(3)以直线AB为x轴，AB的中垂线为y轴建立直角坐标系(如图)，
则点A(－2，0)，B(2，0)，
设C(x，y)，BC中点D(x0，y0).
所以①
因为｜AD｜＝3，所以(x0＋2)2＋＝9.②
将①代入②，整理得(x＋6)2＋y2＝36.
因为点C不能在x轴上，
所以y≠0.
综上，点C的轨迹是以(－6，0)为圆心，6为半径的圆，去掉(－12，0)和(0，0)两点.
轨迹方程为(x＋6)2＋y2＝36(y≠0).
[教材拓展2] 圆的一般方程下的切线长公式(源自于教材P40C组T2)
由直线y＝x＋1上的一点向圆(x－3)2＋y2＝1引切线，则切线长的最小值为( )
A. B.2
C.1 D.3
答案：A
解析：代数法：令点P(x0，x0＋1)为直线上任一点，则切线长d＝＝＝≥.故选A.
几何法：由图可知，｜PT｜2＝｜PC｜2－｜TC｜2＝｜PC｜2－1，则当｜PC｜取最小值时切线长最短，此时，需｜PC｜＝＝2，所以｜PT＝8－1＝7，｜PT｜min＝.故选A.
任务再现 1.圆的一般方程.2.与圆有关的轨迹方程问题
方法提炼 待定系数法、几何法、定义法、代入法
易错警示 忽视圆的一般方程中系数的限制条件
1.方程x2＋y2＋4mx－2y＋5m＝0表示圆的充要条件是( )
A.＜m＜1 B.m＞1
C.m＜ D.m＜或m＞1
答案：D
解析：方程x2＋y2＋4mx－2y＋5m＝0表示圆的充要条件是(4m)2＋(－2)2－4×5m＞0，即m＜或m＞1.故选D.
2.已知圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的圆心坐标为(－2，3)，则D，E分别为( )
A.4，－6 B.－4，－6
C.－4，6 D.4，6
答案：A
解析：圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的圆心坐标为，又已知该圆的圆心坐标为(－2，3)，所以－＝－2，－＝3，所以D＝4，E＝－6.故选A.
3.当a取不同的实数时，由方程x2＋y2＋2ax＋2ay－1＝0可以得到不同的圆，则( )
A.这些圆的圆心都在直线y＝x上
B.这些圆的圆心都在直线y＝－x上
C.这些圆的圆心都在直线y＝x或在直线y＝－x上
D.这些圆的圆心不在同一条直线上
答案：A
解析：圆的方程变为(x＋a)2＋(y＋a)2＝2a2＋1，所以圆心坐标为(－a，－a)，故圆心都在直线y＝x上.故选A.
4.已知圆C过点M(1，1)，N(5，1)，且圆心在直线y＝x－2上，则圆C的一般方程为 .
答案：x2＋y2－6x－2y＋6＝0
解析：设圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，由题意得所以圆C的一般方程为x2＋y2－6x－2y＋6＝0.
课时分层评价10 圆的一般方程
(时间：60分钟 满分：110分)
(1—9，每小题5分，共45分)
1.方程2x2＋2y2－4x＋8y＋10＝0表示的图形是( )
A.一个点 B.一个圆
C.一条直线 D.不存在
答案：A
解析：方程2x2＋2y2－4x＋8y＋10＝0可化为(x－1)2＋(y＋2)2＝0，所以方程2x2＋2y2－4x＋8y＋10＝0表示点(1，－2).故选A.
2.(多选题)下列结论正确的是( )
A.任何一个圆的方程都可以写成一个二元二次方程
B.圆的一般方程和标准方程可以互化
C.方程x2＋y2－4x＋6y＋13＝0表示圆
D.若点M(x0，y0)在圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0内，则＋＋Dx0＋Ey0＋F＜0
答案：ABD
解析：A，B，D显然正确；C中方程可化为(x－2)2＋(y＋3)2＝0，表示点(2，－3).故选ABD.
3.若点(1，－1)在圆x2＋y2－x＋y＋m＝0外，则实数m的取值范围是( )
A. B.
C.(－2，0) D.(0，2)
答案：B
解析：x2＋y2－x＋y＋m＝0可化为＋(y＋)2＝－m，由题意得解得0＜m＜.故选B.
4.圆x2＋y2－2x＋4y－4＝0关于直线x＋y－1＝0对称的圆的方程是( )
A.(x－3)2＋y2＝16 B.x2＋(y－3)2＝9
C.x2＋(y－3)2＝16 D.(x－3)2＋y2＝9
答案：D
解析：圆x2＋y2－2x＋4y－4＝0的圆心坐标为(1，－2)，半径为3，设点(1，－2)关于直线x＋y－1＝0的对称点为(m，n)，则则圆x2＋y2－2x＋4y－4＝0关于直线x＋y－1＝0对称的圆的圆心坐标为(3，0)，所以该圆的方程为(x－3)2＋y2＝9.故选D.
5.“k＞4”是“方程x2＋y2＋kx＋(k－2)y＋5＝0表示圆”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
答案：A
解析：若方程x2＋y2＋kx＋(k－2)y＋5＝0表示圆，则k2＋(k－2)2－4×5＞0，解得k＜－2或k＞4.k＞4可以推出x2＋y2＋kx＋(k－2)y＋5＝0表示圆，满足充分性；x2＋y2＋kx＋(k－2)y＋5＝0表示圆不能推出k＞4，不满足必要性，所以“k＞4”是“方程x2＋y2＋kx＋(k－2)y＋5＝0表示圆”的充分不必要条件.故选A.
6.圆x2＋y2＋2x＋4y－3＝0上到直线x＋y＋1＝0的距离为的点共有( )
A.1个 B.2个
C.3个 D.4个
答案：C
解析：因为圆心(－1，－2)，r＝＝2，所以圆心到直线x＋y＋1＝0的距离d＝＝.所以共有3个点符合题意.故选C.
7.在平面直角坐标系中，经过三点(0，0)，(1，1)，(2，0)的圆的方程为 .
答案：(x－1)2＋y2＝1
解析：以(0，0)，(1，1)，(2，0)为顶点的三角形为等腰直角三角形，其外接圆的圆心为(1，0)，半径为1，所以所求圆的方程为(x－1)2＋y2＝1.
8.(双空题)如果圆的方程为x2＋y2＋kx＋2y＋k2＝0，那么当圆面积最大时，该圆的方程为 ，最大面积为 .
答案：x2＋(y＋1)2＝1 π
解析：将圆的方程配方，得＋(y＋1)2＝－k2＋1，因为r2＝1－k2≤1，所以rmax＝1，此时k＝0.故圆的方程为x2＋(y＋1)2＝1，最大面积为π×12＝π.
9.设圆x2＋y2－4x＋2y－11＝0的圆心为A，点P在圆上，则线段PA的中点M的轨迹方程是 .
答案：x2＋y2－4x＋2y＋1＝0
解析：设PA的中点M的坐标为(x，y)，P(x1，y1)，因为圆x2＋y2－4x＋2y－11＝0的圆心为A(2，－1)，
所以又点P在圆A上，所以＋－4x1＋2y1－11＝0，所以(2x－2)2＋(2y＋1)2－4(2x－2)＋2(2y＋1)－11＝0，即x2＋y2－4x＋2y＋1＝0.
10.(13分)平面直角坐标系中有一个△ABC，已知B(－1，0)，C(1，0)，且｜AB｜＝｜AC｜.
(1)求顶点A的轨迹方程；
(2)求△ABC的面积的最大值.
解：(1)设A(x，y)，又B(－1，0)，C(1，0)，且｜AB｜＝｜AC｜，
所以(x＋1)2＋y2＝2(x－1)2＋2y2，整理得x2＋y2－6x＋1＝0，
由于三点要构成三角形，轨迹方程需去掉与x轴的交点，
所以顶点A的轨迹方程为x2＋y2－6x＋1＝0(x≠3±2).
(2)x2＋y2－6x＋1＝0可化为(x－3)2＋y2＝8，即圆的半径为2，
所以A到x轴的最大距离为2，故△ABC的面积的最大值为×2×2＝2.
(11—13，每小题5分，共15分)
11.已知直线l：ax＋by＋1＝0，圆C：x2＋y2＋4x＋2y＋1＝0，若圆C上存在两点关于直线l对称，则(a－2)2＋(b－7)2的最小值是( )
A. B.5
C.2 D.20
答案：D
解析：圆C：x2＋y2＋4x＋2y＋1＝0的圆心坐标为C(－2，－1)，圆C上存在两点关于直线l对称，则直线l过圆心，即－2a－b＋1＝0，有b＝－2a＋1，(a－2)2＋(b－7)2＝(a－2)2＋(－2a－6)2＝5a2＋20a＋40＝5，当a＝－2时，(a－2)2＋(b－7)2有最小值20.故选D.
12.(多选题)已知△ABC的三个顶点为A(－1，2)，B(2，1)，C(3，4)，则下列关于△ABC的外接圆圆M的说法正确的是( )
A.圆M的圆心坐标为(1，3)
B.圆M的半径为
C.圆M关于直线x＋y＝0对称
D.点(2，3)在圆M内
答案：ABD
解析：设△ABC的外接圆圆M的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)，则所以△ABC的外接圆圆M的方程为x2＋y2－2x－6y＋5＝0，即(x－1)2＋(y－3)2＝5.故圆M的圆心坐标为(1，3)，圆M的半径为，故A，B正确；因为直线x＋y＝0不经过圆M的圆心(1，3)，所以圆M不关于直线x＋y＝0对称，故C错误；因为(2－1)2＋(3－3)2＝1＜5，故点(2，3)在圆M内，故D正确.故选ABD.
13.已知A(－3，0)，B(3，0)，P为圆C：x2＋y2－10x＋9＝0上的动点，则·的最大值为 .
答案：72
解析：由x2＋y2－10x＋9＝0，得(x－5)2＋y2＝16，则圆心C(5，0)，半径r＝4，所以x∈，设P(x，y)，由P在圆C：x2＋y2－10x＋9＝0上，可得x2＋y2＝10x－9，x∈，又因为＝(－3－x，－y)，＝(3－x，－y)，则·＝(－3－x)(3－x)＋(－y)2＝x2＋y2－9＝(10x－9)－9＝10x－18，因为x∈，所以当x＝9时，·取到最大值10×9－18＝72.
14.(15分)已知圆C过点(2，－3)，(0，－3)，(0，－1).
(1)求圆C的方程；
(2)已知点P是直线2x＋y－1＝0与直线x＋2y＋1＝0的交点，过点P作直线与圆C交于点A，B，求弦AB的中点M的轨迹方程.
解：(1)设圆C的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0).
把点(2，－3)，(0，－3)，(0，－1)代入得，
所以圆C的方程为x2＋y2－2x＋4y＋3＝0.
(2)联立所以P(1，－1).
设弦AB的中点M的坐标为(x，y)，
可知CM⊥AB，即CM⊥PM，则kCM·kPM＝－1.
由(1)知，圆心为C(1，－2)，
所以·＝－1，整理得x2＋y2－2x＋3y＋3＝0.
故中点M的轨迹方程为x2＋y2－2x＋3y＋3＝0.
15.(5分)已知正方形ABCD的边长为2，点M在以C为圆心，1为半径的圆上，则2｜MB｜＋｜MD｜的最小值为( )
A. B.
C. D.
答案：D
解析：依题意，以点C为原点，直线CB，CD分别为x，y轴建立平面直角坐标系，则B(2，0)，D(0，2)，如图所示，取点E(0，)，设M'(x，y)，当｜M'D｜＝2｜M'E｜时，＝2，化简整理得x2＋y2＝1，即点M'的轨迹是以C为圆心，1为半径的圆，而点M在以C为圆心，1为半径的圆上，因此｜MD｜＝2｜ME｜，显然点B在圆C：x2＋y2＝1外，则2｜MB｜＋｜MD｜＝2｜MB｜＋2｜ME｜＝2(｜MB｜＋｜ME｜)≥2｜BE｜，当且仅当M为线段BE与圆C的交点时取等号，而｜BE｜＝＝，所以2｜MB｜＋｜MD｜的最小值为2｜BE｜＝.故选D.
16.(17分)(新定义)在平面几何中，通常将完全覆盖某平面图形且直径最小的圆称为该平面图形的最小覆盖圆.
最小覆盖圆满足以下性质：
①线段AB的最小覆盖圆就是以AB为直径的圆.
②锐角△ABC的最小覆盖圆就是其外接圆.
已知曲线W：x2＋y4＝16，A(0，t)，B(4，0)，C(0，2)，D(－4，0)为曲线W上不同的四点.
(1)求实数t的值及△ABC的最小覆盖圆的方程；
(2)求四边形ABCD的最小覆盖圆的方程；
(3)求曲线W的最小覆盖圆的方程.
解：(1)由题意，得t＝－2，
由于△ABC为锐角三角形，其外接圆就是△ABC的最小覆盖圆.
设△ABC的外接圆方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
则
所以△ABC的最小覆盖圆的方程为x2＋y2－3x－4＝0.
(2)因为线段DB的最小覆盖圆就是以DB为直径的圆，
所以线段DB的最小覆盖圆的方程为x2＋y2＝16.
又因为｜OA｜＝｜OC｜＝2＜4(O为坐标原点)，所以点A，C都在圆内.
所以四边形ABCD的最小覆盖圆的方程为x2＋y2＝16.
(3)由题意知曲线W为中心对称图形.
设曲线W上一点P(x0，y0)，则＋＝16.
所以｜OP｜2＝＋(O为坐标原点)，且－2≤y0≤2.
故｜OP｜2＝＋＝16－＋＝－＋，
所以当＝时，｜OP｜max＝，
所以曲线W的最小覆盖圆的方程为x2＋y2＝.
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