(共66张PPT)
2.4 圆与圆的位置关系
第一章 §2 圆与圆的方程
学习目标
1.掌握圆与圆的位置关系及判断方法，培养数学抽象的核心 素养.
2.能根据给定圆的方程，判断圆与圆的位置关系，提升数学 运算的核心素养.
3.能综合应用圆与圆的位置关系解决问题，提升数学运算、 逻辑推理的核心素养.
任务一 圆与圆的位置关系
问题导思
问题1.观察下图，思考问题.
上图为某次拍到的日环食全过程，可以用下图所示的两个圆来表示变化
过程.
根据上图，结合平面几何，思考圆与圆的位置关系有几种？
提示：有三种，分别为相交、相切(含外切与内切)和相离(含外离与内含).
问题2.能否通过一些数量关系判断两圆的位置关系？
提示：可以用两圆的圆心距与两圆半径之间的关系判断，比较准确区分5种位置关系；也可以用公共点的个数，但相切、相离时不够准确.
新知构建
1.平面内两个不等的圆之间的5种位置关系
位置关系 定义 图形
外离 两个圆______公共点，并且每个圆上的点都在另一个圆的______
外切 两个圆有______的公共点，并且除了这个公共点以外，每个圆上的点都在另一个圆的______，这个唯一的公共点叫作两个圆的切点
相交 两个圆有______公共点
没有
外部
唯一
外部
两个
位置关系 定义 图形
内切 两个圆有______的公共点，并且除了这个公共点以外，一个圆上的点都在另一个圆的______，这个唯一的公共点叫作两个圆的切点
内含 两个圆______公共点，并且一个圆上的点都在另一个圆的______
唯一
内部
没有
内部
2.判断方法
几何法：两个圆的圆心距d、两个圆的半径r1，r2的大小关系与两个圆的位置关系有如下的对应关系：
位置关系 图示 d与r1，r2的大小关系
外离 d____r1＋r2
外切 d____r1＋r2
＞
＝
位置关系 图示 d与r1，r2的大小关系
相交 ｜r1－r2｜＜d＜r1＋r2
内切 d____｜r1－r2｜
内含 d____｜r1－r2｜
＝
＜
1.(1)当两圆外离、外切、相交、内切、内含时，公切线的条数分别是多少？
提示：公切线的条数分别是4，3，2，1，0.
(2)当两圆相交、外切、内切时，连心线有什么性质？
提示：当两圆相交时，连心线垂直平分公共弦；当两圆外切时，连心线垂直于过两圆公共点的公切线；当两圆内切时，连心线垂直于两圆的公
切线.
微思考
2.圆与圆的位置关系可以根据它们的方程组成的方程组解的情况来判
断吗？
提示：当有两组解时，两圆相交，可以用代数法判断；当有一组解或无解时，不可以用代数法判断，因为当有一组解时，两圆位置关系是相切，但不能判断是内切还是外切；当无解时，两圆位置关系是相离，但不能判断是外离，还是内含，所以此时还得重新用几何法进一步确定.
典例
1
规律方法
判断两圆的位置关系的三种方法
1.几何法：将两圆的圆心距d与两圆的半径之差的绝对值、半径之和进行比较，进而判断出两圆的位置关系，这是在解析几何中主要使用的方法.
2.代数法：将两圆的方程组成方程组，通过解方程组，根据方程组解的个数进而判断两圆的位置关系.
3.公切线法：根据公切线的条数有时也可判断两圆的位置关系.
注意：在运用代数法判断两圆的位置关系时，只能粗略判断相交、相离、相切，因此在实际解题时要优先选用几何法.
返回
任务二 利用两圆的位置关系求圆的方程
典例
2
规律方法
通过直线与圆、圆与圆的位置关系，建立数学模型，利用方程思想，解决求圆的方程问题.
设圆A的方程为(x＋1)2＋(y－1)2＝r2(r＞0)，
当两圆外切时，有r＋1＝5，所以r＝4，
故所求圆的方程为(x＋1)2＋(y－1)2＝16；
当两圆内切时，有r－1＝5，所以r＝6，故所求圆的方程为(x＋1)2＋(y－1)2＝36.
综上所述，所求圆的方程为(x＋1)2＋(y－1)2＝16或(x＋1)2＋(y－1)2＝36.
返回
任务三 相交弦及圆系方程问题
典例
3
规律方法
1.两圆的公共弦问题
(1)若圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0与圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0相交，则两圆公共弦所在的直线方程为(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋F1－F2＝0.
(2)公共弦长的求法
①代数法：将两圆的方程联立，解出交点坐标，利用两点间的距离公式求出弦长.
②几何法：求出公共弦所在直线的方程，利用圆的半径、半弦长、弦心距构成的直角三角形，根据勾股定理求解.
规律方法
2.过两圆的交点的圆的方程
已知圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0与圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0相交，则过两圆交点的圆的方程可设为x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(λ≠－1).
法二：设所求圆C的方程为x2＋y2＋2x－4y－8＋λ(x＋y)＝0.
因为点P(－1，－2)在圆C上，
所以(－1)2＋(－2)2＋2×(－1)－4×(－2)－8＋λ(－1－2)＝0，解得λ＝1，
所以所求圆C的方程为x2＋y2＋2x－4y－8＋x＋y＝0，
即x2＋y2＋3x－3y－8＝0.
课堂小结
任务再现 1.圆与圆的位置关系.2.利用两圆的位置关系求圆的方程.3.相交弦及圆系方程问题
方法提炼 几何法、代数法
易错警示 混淆两圆位置关系的条件以及忽略两圆相切包括内切与外切两种情况
返回
随堂评价
√
1.两圆C1：x2＋y2－2x－3＝0，C2：x2＋y2－4x＋2y＋3＝0的位置关系是
A.外离 B.相切
C.相交 D.内含
√
2.(多选题)若圆C1：(x＋2)2＋(y－m)2＝9与圆C2：(x－m)2＋(y＋1)2＝4外切，则m的值为
A.2 B.－2
C.5 D.－5
√
√
3.以(a，1)为圆心，且与两条直线2x－y＋4＝0和2x－y－6＝0同时相切的圆的标准方程为
A.(x－1)2＋(y－1)2＝5
B.(x＋1)2＋(y＋1)2＝5
C.(x－1)2＋y2＝5
D.x2＋(y－1)2＝5
4.过两圆x2＋y2－2y－4＝0与x2＋y2－4x＋2y＝0的交点，且圆心在直线l：2x＋4y－1＝0上的圆的方程是____________________.
x2＋y2－3x＋y－1＝0
返回
课时分层评价
√
1.圆O1：x2＋y2－2x＝0和圆O2：x2＋y2－4y＝0的位置关系为
A.相离 B.外切
C.相交 D.内切
√
√
3.圆(x＋2)2＋y2＝5关于直线x－y＋1＝0对称的圆的方程为
A.(x－2)2＋y2＝5
B.x2＋(y－2)2＝5
C.(x－1)2＋(y－1)2＝5
D.(x＋1)2＋(y＋1)2＝5
√
4.圆O1：x2＋y2－6x＋16y－48＝0与圆O2：x2＋y2＋4x－8y－44＝0的公切线条数为
A.1 B.2
C.3 D.4
√
√
√
7.圆x2＋y2－2x－3＝0与圆x2＋y2＋2x＋4y＋1＝0的公共弦长为_____.
8.(易错题)到点A(－1，2)，B(3，－1)的距离分别为3和1的直线有____条.
4
9.已知圆系方程(x－m)2＋(y－2m)2＝5(m∈R，m为参数)，则这些圆的公切线方程为______________.
2x－y±5＝0
√
√
√
12.在平面直角坐标系xOy中，圆C：x2－2ax＋y2－2ay＋2a2－1＝0上存在
点P到点(0，1)的距离为2，则实数a的取值范围是________________________.
15.(5分)已知☉M：x2＋y2－2x－2y－2＝0，直线l：2x＋y＋2＝0，P为l上的动点.过点P作☉M的切线PA，PB，切点为A，B，当｜PM｜·｜AB｜最小时，直线AB的方程为
A.2x－y－1＝0 B.2x＋y－1＝0
C.2x－y＋1＝0 D.2x＋y＋1＝0
√
返回2.4 圆与圆的位置关系
学习目标 1.掌握圆与圆的位置关系及判断方法，培养数学抽象的核心素养. 2.能根据给定圆的方程，判断圆与圆的位置关系，提升数学运算的核心素养. 3.能综合应用圆与圆的位置关系解决问题，提升数学运算、逻辑推理的核心素养.
任务一 圆与圆的位置关系
问题1.观察下图，思考问题.
上图为某次拍到的日环食全过程，可以用下图所示的两个圆来表示变化过程.
根据上图，结合平面几何，思考圆与圆的位置关系有几种？
提示：有三种，分别为相交、相切(含外切与内切)和相离(含外离与内含).
问题2.能否通过一些数量关系判断两圆的位置关系？
提示：可以用两圆的圆心距与两圆半径之间的关系判断，比较准确区分5种位置关系；也可以用公共点的个数，但相切、相离时不够准确.
1.平面内两个不等的圆之间的5种位置关系
位置 关系 定义 图形
外离 两个圆没有公共点，并且每个圆上的点都在另一个圆的外部
外切 两个圆有唯一的公共点，并且除了这个公共点以外，每个圆上的点都在另一个圆的外部，这个唯一的公共点叫作两个圆的切点
相交 两个圆有两个公共点
续表
内切 两个圆有唯一的公共点，并且除了这个公共点以外，一个圆上的点都在另一个圆的内部，这个唯一的公共点叫作两个圆的切点
内含 两个圆没有公共点，并且一个圆上的点都在另一个圆的内部
2.判断方法
几何法：两个圆的圆心距d、两个圆的半径r1，r2的大小关系与两个圆的位置关系有如下的对应关系：
位置关系 图示 d与r1，r2的大小关系
外离 d＞r1＋r2
外切 d＝r1＋r2
相交 ｜r1－r2｜＜d＜r1＋r2
内切 d＝｜r1－r2｜
内含 d＜｜r1－r2｜
[微思考] 1.(1)当两圆外离、外切、相交、内切、内含时，公切线的条数分别是多少？
(2)当两圆相交、外切、内切时，连心线有什么性质？
提示：(1)公切线的条数分别是4，3，2，1，0.
(2)当两圆相交时，连心线垂直平分公共弦；当两圆外切时，连心线垂直于过两圆公共点的公切线；当两圆内切时，连心线垂直于两圆的公切线.
2.圆与圆的位置关系可以根据它们的方程组成的方程组解的情况来判断吗？
提示：当有两组解时，两圆相交，可以用代数法判断；当有一组解或无解时，不可以用代数法判断，因为当有一组解时，两圆位置关系是相切，但不能判断是内切还是外切；当无解时，两圆位置关系是相离，但不能判断是外离，还是内含，所以此时还得重新用几何法进一步确定.
已知圆C1：x2＋y2－2ax－2y＋a2－15＝0(a＞0)，圆C2：x2＋y2－4ax－2y＋4a2＝0(a＞0).试求当a为何值时，两圆C1，C2的位置关系为：
(1)相切；(2)相交；(3)外离；(4)内含.
解：圆C1，C2的方程经配方后可得
C1：(x－a)2＋(y－1)2＝16，
C2：(x－2a)2＋(y－1)2＝1，
所以圆心C1(a，1)，C2(2a，1)，半径r1＝4，r2＝1.
所以｜C1C2｜＝＝a.
(1)当｜C1C2｜＝r1＋r2＝5，即a＝5时，两圆外切；
当｜C1C2｜＝r1－r2＝3，即a＝3时，两圆内切.
(2)当3＜｜C1C2｜＜5，即3＜a＜5时，两圆相交.
(3)当｜C1C2｜＞5，即a＞5时，两圆外离.
(4)当｜C1C2｜＜3，即0＜a＜3时，两圆内含.
判断两圆的位置关系的三种方法
1.几何法：将两圆的圆心距d与两圆的半径之差的绝对值、半径之和进行比较，进而判断出两圆的位置关系，这是在解析几何中主要使用的方法.
2.代数法：将两圆的方程组成方程组，通过解方程组，根据方程组解的个数进而判断两圆的位置关系.
3.公切线法：根据公切线的条数有时也可判断两圆的位置关系.
注意：在运用代数法判断两圆的位置关系时，只能粗略判断相交、相离、相切，因此在实际解题时要优先选用几何法.
对点练1.当实数k为何值时，两圆C1：x2＋y2＋4x－6y＋12＝0，C2：x2＋y2－2x－14y＋k＝0相交、相切、外离？
解：将两圆的一般方程化为标准方程，
C1：(x＋2)2＋(y－3)2＝1，C2：(x－1)2＋(y－7)2＝50－k.
圆C1的圆心为C1(－2，3)，半径长r1＝1；
圆C2的圆心为C2(1，7)，半径长r2＝(k＜50)，
从而｜C1C2｜＝＝5.
当1＋＝5，即k＝34时，两圆外切；
当｜－1｜＝5，即＝6，即k＝14时，两圆内切；
当｜－1｜＜5＜1＋，即14＜k＜34时，两圆相交；
当＋1＜5，即34＜k＜50时，两圆外离.
任务二 利用两圆的位置关系求圆的方程
求与圆x2＋y2－2x＝0外切且与直线x＋y＝0相切于点M(3，－)的圆的方程.
解：设所求圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)，
由题知所求圆与圆x2＋y2－2x＝0外切，
则＝r＋1.①
又所求圆过点M的切线为直线x＋y＝0，
故＝.②
＝r.③
解①②③，得a＝4，b＝0，r＝2或a＝0，b＝－4，r＝6.
故所求圆的方程为(x－4)2＋y2＝4或x2＋(y＋4)2＝36.
[变式探究]
(变条件)将本例变为“求与圆x2＋y2－2x＝0外切，圆心在x轴上，且过点(3，－)的圆的方程”，如何求？
解：因为圆心在x轴上，
所以可设圆心坐标为(a，0)，设半径为r，
则所求圆的方程为(x－a)2＋y2＝r2.
又因为与圆x2＋y2－2x＝0外切，且过点(3，－)，
所以
所以圆的方程为(x－4)2＋y2＝4.
通过直线与圆、圆与圆的位置关系，建立数学模型，利用方程思想，解决求圆的方程问题.
对点练2.已知△ABC的边AB，AC所在的直线方程分别为x－2y＋3＝0，x＋2y－1＝0.求以点A为圆心，与圆D：(x－2)2＋(y＋3)2＝1相切的圆的方程.
解：由
所以点A.
A满足(－1－2)2＋(1＋3)2＞1，即A在圆D：(x－2)2＋(y＋3)2＝1外.
由题意知D(2，－3)，
所以｜AD｜＝＝5.
设圆A的方程为(x＋1)2＋(y－1)2＝r2(r＞0)，
当两圆外切时，有r＋1＝5，所以r＝4，
故所求圆的方程为(x＋1)2＋(y－1)2＝16；
当两圆内切时，有r－1＝5，所以r＝6，故所求圆的方程为(x＋1)2＋(y－1)2＝36.
综上所述，所求圆的方程为(x＋1)2＋(y－1)2＝16或(x＋1)2＋(y－1)2＝36.
任务三 相交弦及圆系方程问题
已知圆C1：x2＋y2＋6x－4＝0和圆C2：x2＋y2＋6y－28＝0.
(1)求两圆公共弦所在直线的方程及弦长；
(2)(一题多解)求经过两圆交点且圆心在直线x－y－4＝0上的圆的方程.
解：(1)设两圆交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则A，B两点坐标是方程组
的解.
①－②，得x－y＋4＝0.
因为A，B两点的坐标都满足此方程，
所以x－y＋4＝0即为两圆公共弦所在直线的方程.
又圆C1的圆心为C1(－3，0)，r＝，
所以C1到直线AB的距离d＝＝，
所以｜AB｜＝2＝2＝5，
即两圆的公共弦长为5.
(2)法一：解方程组
得两圆的交点A(－1，3)，B(－6，－2).
设所求圆的圆心为(a，b)，因为圆心在直线x－y－4＝0上，所以b＝a－4.
则＝，
解得a＝，故圆心为(，－)，半径为.
故圆的方程为( x－)2＋( y＋)2＝，即x2＋y2－x＋7y－32＝0.
法二：设所求圆的方程为x2＋y2＋6x－4＋λ(x2＋y2＋6y－28)＝0(λ≠－1)，
其圆心为( －，－)，代入x－y－4＝0，
解得λ＝－7.
故所求圆的方程为x2＋y2－x＋7y－32＝0.
1.两圆的公共弦问题
(1)若圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0与圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0相交，则两圆公共弦所在的直线方程为(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋F1－F2＝0.
(2)公共弦长的求法
①代数法：将两圆的方程联立，解出交点坐标，利用两点间的距离公式求出弦长.
②几何法：求出公共弦所在直线的方程，利用圆的半径、半弦长、弦心距构成的直角三角形，根据勾股定理求解.
2.过两圆的交点的圆的方程
已知圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0与圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0相交，则过两圆交点的圆的方程可设为x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(λ≠－1).
对点练3.(一题多解)已知点P(－1，－2)在圆C上，且圆C经过直线x＋y＝0与圆C1：x2＋y2＋2x－4y－8＝0的交点，求圆C的方程.
解：法一：由
得
所以直线x＋y＝0与圆C1交于点A(1，－1)和点B(－4，4).
设所求圆C的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)，
将点A，B，P的坐标代入，得
解得满足D2＋E2－4F＞0，
所以所求圆C的方程为x2＋y2＋3x－3y－8＝0.
法二：设所求圆C的方程为x2＋y2＋2x－4y－8＋λ(x＋y)＝0.
因为点P(－1，－2)在圆C上，
所以(－1)2＋(－2)2＋2×(－1)－4×(－2)－8＋λ(－1－2)＝0，解得λ＝1，
所以所求圆C的方程为x2＋y2＋2x－4y－8＋x＋y＝0，
即x2＋y2＋3x－3y－8＝0.
任务再现 1.圆与圆的位置关系.2.利用两圆的位置关系求圆的方程.3.相交弦及圆系方程问题
方法提炼 几何法、代数法
易错警示 混淆两圆位置关系的条件以及忽略两圆相切包括内切与外切两种情况
1.两圆C1：x2＋y2－2x－3＝0，C2：x2＋y2－4x＋2y＋3＝0的位置关系是( )
A.外离 B.相切
C.相交 D.内含
答案：C
解析：法一：(几何法)：把两圆的方程分别配方，化为标准方程是(x－1)2＋y2＝4，(x－2)2＋(y＋1)2＝2，所以两圆圆心为C1(1，0)，C2(2，－1)，半径为r1＝2，r2＝，则｜C1C2｜＝＝，r1＋r2＝2＋，r1－r2＝2－，故r1－r2＜｜C1C2｜＜r1＋r2，所以两圆相交.故选C.
法二：(代数法)：联立方程 即方程组有2组解，也就是说两圆的交点个数为2，所以两圆相交.故选C.
2.(多选题)若圆C1：(x＋2)2＋(y－m)2＝9与圆C2：(x－m)2＋(y＋1)2＝4外切，则m的值为( )
A.2 B.－2
C.5 D.－5
答案：AD
解析：圆C1：(x＋2)2＋(y－m)2＝9的圆心为(－2，m)，半径为3，圆C2：(x－m)2＋(y＋1)2＝4的圆心为(m，－1)，半径为2.依题意有＝3＋2，即m2＋3m－10＝0，解得m＝2，或m＝－5.故选AD.
3.以(a，1)为圆心，且与两条直线2x－y＋4＝0和2x－y－6＝0同时相切的圆的标准方程为( )
A.(x－1)2＋(y－1)2＝5
B.(x＋1)2＋(y＋1)2＝5
C.(x－1)2＋y2＝5
D.x2＋(y－1)2＝5
答案：A
解析：由题意知，圆心在直线2x－y－1＝0上，将点(a，1)代入上式可得a＝1，即圆心为(1，1)，半径r＝＝，所以圆的标准方程为(x－1)2＋(y－1)2＝5.故选A.
4.过两圆x2＋y2－2y－4＝0与x2＋y2－4x＋2y＝0的交点，且圆心在直线l：2x＋4y－1＝0上的圆的方程是 .
答案：x2＋y2－3x＋y－1＝0
解析：设圆的方程为x2＋y2－4x＋2y＋λ(x2＋y2－2y－4)＝0，λ≠－1，则(1＋λ)x2－4x＋(1＋λ)y2＋(2－2λ)y－4λ＝0，把圆心代入l：2x＋4y－1＝0，可得λ＝，所以所求圆的方程为x2＋y2－3x＋y－1＝0.
课时分层评价12 圆与圆的位置关系
(时间：60分钟 满分：110分)
(1—9，每小题5分，共45分)
1.圆O1：x2＋y2－2x＝0和圆O2：x2＋y2－4y＝0的位置关系为( )
A.相离 B.外切
C.相交 D.内切
答案：C
解析：圆O1的圆心坐标为(1，0)，半径长r1＝1；圆O2的圆心坐标为(0，2)，半径长r2＝2，1＝r2－r1＜｜O1O2｜＝＜r1＋r2＝3，即两圆相交.故选C.
2.设两圆C1，C2都和两坐标轴相切，且都过点(4，1)，则两圆心的距离｜C1C2｜＝( )
A.4 B.8
C.4 D.8
答案：B
解析：由题意知，可设圆心坐标为(a，a)，半径为r，其中r＝a＞0，因此圆方程是(x－a)2＋(y－a)2＝a2，由圆过点(4，1)，得(4－a)2＋(1－a)2＝a2，即a2－10a＋17＝0，则该方程的两根分别是圆心C1，C2的横坐标，｜C1C2｜＝×＝8.故选B.
3.圆(x＋2)2＋y2＝5关于直线x－y＋1＝0对称的圆的方程为( )
A.(x－2)2＋y2＝5
B.x2＋(y－2)2＝5
C.(x－1)2＋(y－1)2＝5
D.(x＋1)2＋(y＋1)2＝5
答案：D
解析：由圆(x＋2)2＋y2＝5，可知其圆心为(－2，0)，半径为.设点(－2，0)关于直线x－y＋1＝0对称的点为(x，y)，则所以所求圆的圆心为(－1，－1).又所求圆的半径为，所以圆(x＋2)2＋y2＝5关于直线x－y＋1＝0对称的圆的方程为(x＋1)2＋(y＋1)2＝5.故选D.
4.圆O1：x2＋y2－6x＋16y－48＝0与圆O2：x2＋y2＋4x－8y－44＝0的公切线条数为( )
A.1 B.2
C.3 D.4
答案：B
解析：圆O1为(x－3)2＋(y＋8)2＝121，O1(3，－8)，r＝11，圆O2为(x＋2)2＋(y－4)2＝64，O2(－2，4)，R＝8，所以｜O1O2｜＝＝13，所以r－R＜｜O1O2｜＜R＋r，所以两圆相交.所以公切线有2条.故选B.
5.若圆C1：(x－1)2＋y2＝4与圆C2：(x＋1)2＋(y－3)2＝9的相交弦所在的直线为l，则直线l被圆O：x2＋y2＝4截得的弦长为( )
A. B.4
C. D.
答案：D
解析：由圆C1与圆C2的方程相减得l：2x－3y＋2＝0.圆心O(0，0)到直线l的距离d＝，圆O的半径r＝2，所以截得的弦长为2＝2＝.故选D.
6.(多选题)若对于圆C：(x－m－2)2＋(y－m)2＝1上任意一点P，在圆O：x2＋y2＝1上总存在点Q，使得∠PQO＝，则实数m可以取的值为( )
A.－3 B.－2
C.0 D.1
答案：AD
解析：由∠PQO＝，知PQ为圆O的切线，即圆C上任意一点P都可以向圆O作切线，当两圆外离时，满足条件，所以｜OC｜＞1＋1，即＞2，化简得m2＋2m＞0，解得m＜－2或m＞0.结合选项可知m可以取－3，1.故选AD.
7.圆x2＋y2－2x－3＝0与圆x2＋y2＋2x＋4y＋1＝0的公共弦长为 .
答案：2
解析：联立方程组两式相减得x＋y＋1＝0，为公共弦长所在直线的方程.又圆x2＋y2－2x－3＝0的圆心为，r＝2，圆心到直线x＋y＋1＝0的距离为d＝＝，所以两圆的公共弦长为2＝2＝2.
8.(易错题)到点A(－1，2)，B(3，－1)的距离分别为3和1的直线有 条.
答案：4
解析：到点A(－1，2)的距离为3的直线是以A为圆心，3为半径的圆的切线；同理，到B的距离为1的直线是以B为圆心，半径为1的圆的切线，所以满足题设条件的直线是这两圆的公切线，而这两圆的圆心距｜AB｜＝＝5.半径之和为3＋1＝4，因为5＞4，所以圆A和圆B外离，因此它们的公切线有4条.
9.已知圆系方程(x－m)2＋(y－2m)2＝5(m∈R，m为参数)，则这些圆的公切线方程为 .
答案：2x－y±5＝0
解析：由题意知圆心的轨迹方程为y＝2x，则这些圆的公切线与直线y＝2x平行，设圆的公切线方程为2x－y＋c＝0，则＝，所以c＝±5，所以这些圆的公切线方程为2x－y±5＝0.
10.(13分)已知两圆x2＋y2－2x－6y－1＝0和x2＋y2－10x－12y＋m＝0.
(1)m取何值时两圆外切？
(2)m取何值时两圆内切？
(3)求m＝45时两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长.
解：两圆的标准方程分别为(x－1)2＋(y－3)2＝11，(x－5)2＋(y－6)2＝61－m，
圆心分别为M(1，3)，N(5，6)，半径分别为.
(1)当两圆外切时，＝＋，
解得m＝25＋10.
(2)当两圆内切时，因定圆的半径小于两圆圆心间距离5，
故－＝5，解得m＝25－10.
(3)两圆的公共弦所在直线方程为(x2＋y2－2x－6y－1)－(x2＋y2－10x－12y＋45)＝0，即4x＋3y－23＝0，
所以公共弦长为
2＝2.
(11—13，每小题5分，共15分)
11.(多选题)已知圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝1和两点A(－m，0)，B(m，0)(m＞0).若圆C上存在点P，使得∠APB＝90°，则实数m的取值可以为( )
A. B.4
C. D.6
答案：BCD
解析：因为∠APB＝90°，所以点P的轨迹是以AB为直径的圆O，半径为m，故点P是圆O与圆C的交点.圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝1的圆心和半径分别为(3，4)，r＝1，｜OC｜＝＝5，因此两圆相切或相交，即｜m－1｜≤≤m＋1，解得4≤m≤6.故选BCD.
12.在平面直角坐标系xOy中，圆C：x2－2ax＋y2－2ay＋2a2－1＝0上存在点P到点(0，1)的距离为2，则实数a的取值范围是 .
答案：∪
解析：因为圆C：x2－2ax＋y2－2ay＋2a2－1＝0，所以(x－a)2＋(y－a)2＝1，其圆心C(a，a)，半径r＝1.因为点P到点(0，1)的距离为2，所以点P的轨迹为x2＋(y－1)2＝4.因为P又在圆C：(x－a)2＋(y－a)2＝1上，所以圆C与圆x2＋(y－1)2＝4有交点，即2－1≤ ≤2＋1，所以≤a≤0或1≤a≤.所以实数a的取值范围是∪.
13.已知圆C1：x2＋(y－3)2＝8与圆C2：(x－a)2＋y2＝8相交于A，B两点，直线AB交x轴于点P，则的最小值为 .
答案：
解析：圆C1：x2＋(y－3)2＝8的圆心C1(0，3)，半径r1＝2，圆C2：(x－a)2＋y2＝8的圆心C2(a，0)，半径r2＝2.因为两圆相交，则0＜｜C1C2｜＜4，即0＜＜4，解得－＜a＜.两圆的方程相减得2ax－6y＋9－a2＝0，即直线AB的方程为2ax－6y＋9－a2＝0.当a＝0时，直线AB的方程为2y－3＝0，此时AB∥x轴，与x轴没有交点，不符合题意.当a≠0时，令y＝0，得x＝－，即P( －，0).则＝×3×｜－－a｜＝｜a＋｜＝( ｜a｜＋)≥×2＝，当且仅当｜a｜＝，即a＝±3时取等号，所以.
14.(15分)已知圆C1：x2＋y2＝m与圆C2：x2＋y2－4x＝0.
(1)若圆C1与圆C2内切，求实数m的值；
(2)设点A(3，0)，在x轴正半轴上是否存在异于点A的点B(b，0)，使得对于圆C2上任意一点P，为定值？若存在，求b的值；若不存在，请说明理由.
解：(1)因为C2：x2＋y2－4x＝0，即(x－2)2＋y2＝4，
故圆C2的圆心坐标为C2(2，0)，半径r2＝2，
且圆C1：x2＋y2＝m，故圆C1的圆心坐标为C1(0，0)，半径r1＝(m＞0)，
若圆C1与圆C2内切，则＝，
即＝2，且m＞0，所以m＝16.
(2)设点P(x，y)，则x2＋y2－4x＝0，
于是｜PA｜2＝(x－3)2＋y2＝(x－3)2＋(4x－x2)＝－2x＋9，
同理｜PB｜2＝(4－2b)x＋b2，
可得＝，
要使为定值，则＝，解得b＝6或b＝3(舍去)，
故存在点B使得为定值，此时b＝6.
15.(5分)已知☉M：x2＋y2－2x－2y－2＝0，直线l：2x＋y＋2＝0，P为l上的动点.过点P作☉M的切线PA，PB，切点为A，B，当｜PM｜·｜AB｜最小时，直线AB的方程为( )
A.2x－y－1＝0 B.2x＋y－1＝0
C.2x－y＋1＝0 D.2x＋y＋1＝0
答案：D
解析：由☉M：x2＋y2－2x－2y－2＝0①，得☉M：(x－1)2＋(y－1)2＝4，所以圆心M(1，1)，半径r＝2.如图所示，连接AM，BM，易知四边形PAMB的面积为｜PM｜·｜AB｜，欲使｜PM｜·｜AB｜最小，只需四边形PAMB的面积最小，即只需△PAM的面积最小.因为｜AM｜＝2，所以只需｜PA｜最小.又｜PA｜＝＝，所以只需直线2x＋y＋2＝0上的动点P到M的距离最小，其最小值为＝，此时PM⊥l，易求出直线PM的方程为x－2y＋1＝0.由所以P(－1，0).易知P，A，M，B四点共圆，所以以PM为直径的圆的方程为x2＋＝，即x2＋y2－y－1＝0②，由①②得，直线AB的方程为2x＋y＋1＝0.故选D.
16.(17分)已知圆C的圆心在直线l：2x－y＝0上，且与直线l1：x－y＋1＝0相切.
(1)若圆C与圆x2＋y2－2x－4y－76＝0外切，试求圆C的半径；
(2)满足已知条件的圆显然不止一个，但它们都与直线l1相切，我们称l1是这些圆的公切线.这些圆是否还有其他公切线？若有，求出公切线的方程，若没有，说明理由.
解：(1)圆x2＋y2－2x－4y－76＝0的圆心坐标为(1，2)，半径为9.
设圆C的圆心坐标为(a，2a)，则半径r＝＝，两圆的圆心距为
＝｜a－1｜＝r，
因为两圆外切，所以r＝r＋9，所以r＝＋1.
(2)如果存在另一条切线，则它必过l与l1的交点(1，2).
①若斜率不存在，则直线方程为x＝1，圆心C到它的距离｜a－1｜＝r＝，由于方程需要对任意的a都成立，因此无解，所以它不是公切线；
②若斜率存在，设公切线方程为y－2＝k(x－1)，
则d＝＝r＝对任意的a都成立，即＝，＝，
两边平方并化简得k2－8k＋7＝0，解得k＝1或k＝7，当k＝1时，直线与l1重合，
当k＝7时，直线方程为7x－y－5＝0，
故还存在一条公切线，其方程为7x－y－5＝0.
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
