2024-2025学年山西省长治二中高二（下）期中数学试卷(含部分答案)

2024-2025学年山西省长治二中高二（下）期中数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知函数f（x）=ln2x，则f′（x）=（　　）
A. B. C. D.
2.已知{an}是公差不为0的等差数列，则a9-a6+a1=（　　）
A. a1 B. a2 C. a3 D. a4
3.现从含甲、乙在内的10名特种兵中选出4人去参加抢险，则在甲被选中的前提下，乙也被选中的概率为（　　）
A. B. C. D.
4.的展开式中常数项为（　　）
A. -80 B. 80 C. -160 D. 160
5.小李一家打算去张家界或长沙旅游，去张家界与长沙的概率分别为0.6，0.4，在张家界去徒步爬山的概率为0.5，在长沙去徒步爬山的概率为0.6，则小李一家旅游时去徒步爬山的概率为（　　）
A. 0.54 B. 0.56 C. 0.58 D. 0.6
6.设等比数列{an}的前n项和为Sn,S2=-1,S4=-5,则S6=( )
A. -9 B. -21 C. -25 D. -63
7.设随机变量Z～N（μ，1），函数f（x）=x3-3x2+Z x在定义域R上是单调递增函数的概率为，则P（1＜Z≤2）=（　　）
附：若Z～N（μ，σ2），则P（μ-σ＜Z≤μ+σ）≈0.683，P（μ-2σ＜Z≤μ+2σ）≈0.954.
A. 0.1587 B. 0.1355 C. 0.2718 D. 0.3413
8.已知函数f（x）=aex+ln（ea）（a＞0），若对任意实数x＞1，不等式f（x）ln（x-1）总成立，则实数a的取值范围为（　　）
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.下列结论中，正确的有（　　）
A. 数据4，1，6，2，9，5，8的第70百分位数为5
B. 若随机变量ξ～N（1，σ2），P（ξ≤-2）=0.21，则P（ξ≤4）=0.79
C. 若0＜P（C）＜1，0＜P（D）＜1，且P（）=1-P（D|C），则C，D相互独立
D. 根据分类变量X与Y的成对样本数据，计算得到χ2=9.632，依据小概率值α=0.001的χ2独立性检验（x0.001=10.828），可判断X与Y有关联，此推断犯错误的概率不大于0.001
10.已知抛物线C：x2=4y的焦点为F，过焦点的直线l与抛物线C交于A，B两点（点A在第二象限），则（　　）
A. △ABO可能为等边三角形
B.
C. 若直线l的倾斜角为30°，则
D. 若直线l的倾斜角为30°，则△OAB的面积为
11.记等比数列{an}的前n项和为Sn，已知a1=1，公比为-2，则（　　）
A. |an+an+1|是等比数列 B. |log2a2n-1|是等差数列
C. |Sn-1|是等比数列 D. |3Sn-1|是等比数列
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若焦点在y轴上的双曲线C2与双曲线C1有相同的渐近线，则C2的离心率为______.
13.某班一天上午有4节课，下午有3节课，现要安排该班一天中语文、数学、英语、物理、化学、政治，体育7堂课的课程表，要求数学课、物理课都排在上午，且数学课、物理课不连排，体育课排在下午，不同排法种数是______.（用数字作答）
14.已知各项均不为0的数列{an}的前n项和为Sn，且，则的最大值为______.（注：ln2≈0.69）
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
已知数列{an}的前n项和为Sn，点在直线上，n∈N*.
（1）求数列{an}的前n项和Sn以及数列{an}的通项公式；
（2）若数列{bn}满足bn=an-12，设数列{bn}的前n项和为Tn，求Tn的最小值.
16.(本小题12分)
甲、乙两人用同一台机床加工同一规格的零件，随机抽取他们加工后的零件各50个，得到他们加工后的零件尺寸x（单位：cm）及个数y,如表：
零件尺寸x 1.01 1.02 1.03 1.04 1.05
零件个数y 甲 4 5 20 15 6
乙 9 7 15 8 11
已知一等品零件尺寸与1.03（cm）的误差不超过0.01（cm），其余零件为二等品.
（1）试根据上述数据建立一个2×2列联表，并依据小概率值α=0.05的独立性检验，判断加工后的零件是不是一等品与甲、乙有关？
（2）如果从已经抽检出的这100个零件中，按照甲、乙分层随机抽样的方法抽取7个一等品零件，再从这7个零件中随机抽取4个零件送给有意向购买此零件的商家进行试用.设乙加工的零件送给商家试用的个数为随机变量X，求X的分布列与数学期望.
参考公式：，其中n=a+b+c+d.
参考数据：
α 0.1 0.05 0.025
xα 2.706 3.841 5.024
17.(本小题12分)
已知函数，a为实数.
（1）若函数f（x）在x=1处的切线经过点（0，1），求a的值；
（2）若f（x）有极小值，且极小值大于2，求a的取值范围；
（3）若对任意的x1＞x2，且x1，x2∈[1，e]，f（x1）-f（x2）＜x1-x2恒成立，求a的取值范围.（e为自然常数）
18.(本小题12分)
如图，在多面体ABCDEGF中，AG，DE，BF均与平面ABCD垂直，且C，E，F，G四点共面，AB⊥BC，AB=AD=2，，DE=BF=3.
（Ⅰ）求线段AG的长；
（Ⅱ）求直线AE与平面ECFG所成角的正弦值.
19.(本小题12分)
如图，双曲线的虚轴长为2，离心率为，斜率为k的直线l过x轴上一点A（t,0）.
（1）求双曲线E的标准方程；
（2）若双曲线E上存在关于直线l对称的不同两点B，C，直线BC与直线l及y轴的交点分别为P，Q.
（i）当时，求t的取值范围；
（ii）当t=-3时，求S△APQ的最小值.
1.【答案】D
2.【答案】D
3.【答案】A
4.【答案】C
5.【答案】A
6.【答案】B
7.【答案】B
8.【答案】D
9.【答案】BC
10.【答案】BC
11.【答案】ABD
12.【答案】
13.【答案】432
14.【答案】5
15.【答案】解：（1）由题意可得，，即Sn=n(3n+5)，
当n2时，Sn-1=(n-1)(3n+2)，
两式相减可得，an=Sn-Sn-1=n(3n+5)-(n-1)(3n+2)=3n+1，
当n=1时，a1=S1=4，满足上式，
故an=3n+1，n∈N*；
（2）bn=an-12=3n-11，
则Tn==，
函数的对称轴为,
可知，当n=3时，Tn=-15，
当n=4时，Tn=-14，
故Tn的最小值为-15.
16.【答案】列联表见解析，有关；
分布列见解析，．
17.【答案】解：（1）由题意可得，∴f′（1）=1+a,
又f（1）=-a,∴函数f（x）在x=1处的切线方程为y+a=（1+a）（x-1），
∵切线经过点（0，1），∴1+a=（1+a）（0-1），解得a=-1；
（2），
当a≥0时，f′（x）＞0在（0，+∞）上恒成立，∴f（x）在（0，+∞）上单调递增，无极值，
当a＜0时，令f′（x）=0，得x=-a,
∴当0＜x＜-a时，f′（x）＜0，函数f（x）在（0，-a）上单调递减，
当x＞-a时，f′（x）＞0，函数f（x）在（-a,+∞）上单调递增，
∴当x=-a时，函数f（x）有极小值，极小值为f（-a）=ln（-a）+1，
由ln（-a）+1＞2，∴a＜-e,∴a的取值范围为（-∞，-e）；
（3）由f（x1）-f（x2）＜x1-x2得f（x1）-x1＜x1f（x2）-x2，
令g（x）=f（x）-x,∴对任意的x1＞x2，且x1，x2∈[1，e]，g（x1）＜g（x2）恒成立，
∴g（x）在[1，e]单调递减，
∴在[1，e]上恒成立，
∴a≤x2-x在[1，e]上恒成立，
∵二次函数y=x2-x在[1，e]上单调递增，
∴函数y=x2-x在[1，e]上的最小值为0，
∴a≤0，即a的取值范围是（-∞，0]．
18.【答案】4； ．
19.【答案】； （i）；（ii）．
第1页，共1页