4.1.1 n次方根与分数指数幂 课件（29张PPT） 高一数学 人教A版2019必修一

(共29张PPT)
第 4 章 指数函数与对数函数
4.1.1 n次方根与分数指数幂
人教A版2019必修第一册
分数指数幂的运算
3
n次方根
1
分数指数幂
2
目录
教学目标
1. 理解n次方根、根式的概念与分数指数幂的概念;
2. 掌握分数指数幂和根式之间的互化、化简、求值；
3. 掌握分数指数幂的运算性质。
情景导入
01
情景导入

有一则神话,讲的是茅山老道有“穿墙之术”,该法术可以让人视墙壁为无物而随意进出,门窗就成了摆设.读了这则故事的人未免会心生遐想:如果我有了穿墙术,就会……
数学中也有“穿墙术”的例子,如:-(a+b)=-a-b.这里我们可以认为负号穿过了括号分别与a,b作用,在根式中也有穿墙的例子,如
思考：已知这个式子能“穿墙”去掉根号吗？
情景导入

为了研究指数函数，我们需要把指数范围拓展到全体实数。初中已经学过整数指数幂．
在学习幂函数时，我们把正方形场地的边长c关于面积S的函数 . 记作，像 这样以分数为指数的幂，其意义是什么呢？
下面从已知的平方根、立方根的意义入手展开研究．
n次方根
02
概念讲解
我们知道：
如果，那么x叫做a的平方根．例如,±2就是4的平方根．
如果，那么x叫做a的立方根．例如，2就是8的立方根．
类似地，由于，我们把±2叫做16的4次方根；
由于，2叫做32的5次方根．
概念讲解
n次方根
一般地，如果那么x叫做a的n次方根，其中n>1且
定义
（1）当n是奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数．这时a的n次方根用符号表示 .例如
（2） 当n是偶数时，正数的n次方根有两个，这两个数互为相反数.正的n次方根用表示，负的n次方根用表示. 两者也可以合并成(a>0).
n次方根的性质
概念讲解
n次方根的性质
（3）负数没有偶次方根.
（4） 0的任何次方根都是0.记作：
思考：为什么负数没有偶次方根？
因为在实数的定义里，任意实数的偶次方是非负数. 因此负数没有偶次方根.
概念讲解
根式
式子叫做根式，这里n叫做根指数 ，a叫做被开方数．
定义
根指数
被开方数
根据n次方根的定义，可得：，
注意：
（1）一般读作“n次根号a”
（2） 当a＜0且n为偶数时，在实数范围内没有意义.
（3）当有意义时， 是一个实数，且它的n次方等于a.
概念讲解
探究：表示的n次方根，一定成立吗？如果不一定成立，那么等于什么？
不一定成立。例如但是
可以得到
①当n为奇数时，
②当n为偶数时，
概念辨析
√
×
×
概念辨析
A
概念讲解
例1.求下列各式的值：
(1) ；(2) ；(3) ；(4) .
解：(1) ；
(2) ；
(3)
(4)
概念讲解
分数指数幂
03
概念讲解
牛顿是大家所熟悉的物理学家,你知道他在数学上的贡献吗 他在1676年6月13日写给莱布尼茨的信里面说:“因为数学家将aa,aaa,aaaa等写成a2,a3,a4等,所以可将…写成…;将…写成…
牛顿的这一发现，使得正整数指数幂推广到了任意有理数指数幂。
概念讲解
事实上，任何一个根式都可以表示为分数指数幂的形式，例如：
, .
一般地
概念讲解
分数指数幂
规定正数的正分数指数幂的意义是：
规定正数的负分数指数幂的意义是：
0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义。
定义
概念讲解
思考：分数指数幂中，为什么规定底数a>0？
提示：当a=0时，a0及a的负分数指数幂没有意义；
当a<0时，若n为偶数，m为奇数，则， 无意义.
概念辨析
×
×
×
注意：分数指数幂不可以随意约分。
概念讲解
例2.求值：（1） ；（2） .
解：
（1）法一；
（2）法一.
法二；
法二.
法三.
概念讲解
归纳小结
利用指数幂的运算性质化简求值的方法
(1)进行指数幂的运算时，一般化负指数为正指数，化根式为分数指数幂，化小数为分数，同时兼顾运算的顺序．
(2)在明确根指数的奇偶(或具体次数)时，若能明确被开方数的符号，则可以对根式进行化简运算．
(3)对于含有字母的化简求值的结果，一般用分数指数幂的形式表示．
概念讲解
有理数指数幂的运算性质
有理数指数幂的运算性质()
(1)
(2)
(3)
拓展：
概念讲解
解：
例3.用分数指数幂的形式表示并计算下列各式( 其中a>0).
； .
(1) ；
(2) .
概念讲解
课堂小结
05
课堂小结