广东省深圳市福田外国语学校2024-2025学年九年级上学期开学数学试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（2024九上·深圳开学考）在数学活动课中，同学们利用几何画板绘制出了下列曲线，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．三叶玫瑰线 B．笛卡尔心形线
C．蝴蝶曲线 D．四叶玫瑰线
2．（2024九上·深圳开学考）下列各等式从左边到右边的变形中，是因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2024九上·深圳开学考）已知点在第二象限，则的取值范围在数轴上表示正确的是( )
A． B．
C． D．
4．（2024九上·深圳开学考）小明在解关于的分式方程时，发现墨水不小心把其中一个数字污染了，翻看答案上说此方程有增根无解，则被污染的数字为（ ）
A． B． C． D．
5．（2024九上·深圳开学考）下面是嘉嘉作业本上的一道习题及解答过程：
已知：如图，中，，平分的外角，点是的中点，连接并延长交于点，连接． 求证：四边形是平行四边形． 证明：，． ，，， ____． 又，， ≌____． 四边形是平行四边形．
若以上解答过程正确，，应分别为（ ）
A．， B．，
C．， D．，
6．（2024九上·深圳开学考）某单位向一所希望小学赠送了件文具，现用、两种不同的包裝箱进行包装，已知每个型包装箱比型包装箱多装件文具，单独使用型包装箱比单独使用型包装箱可少用个，设型包装箱每个可以装件文具，根据题意列方程为（ ）
A． B．
C． D．
7．（2024九上·深圳开学考）如图，在中，，过点作，连接与交于点，是边的中点，，若，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
8．（2024九上·深圳开学考）如图，在四边形中，，，，，，则对角线的长是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
9．（2024九上·深圳开学考）分解因式：3a3-
12a = .
10．（2024九上·深圳开学考）若代数式在实数范围内有意义，则的取值范围是 .
11．（2024九上·深圳开学考）如图所示，一次函数与的交点坐标为，则不等式的解集为 ．
12．（2024九上·深圳开学考）如图，为中的外角平分线，于，为中点，，，则长为 ．
13．（2024九上·深圳开学考）如图，在矩形中，，点P是边上一点，连接，以A为中心，将线段绕点A逆时针旋转得到，连接，且，则的长度为 ．
三、解答题：本题共7小题，共61分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
14．（2024九上·深圳开学考）解方程：．
15．（2024九上·深圳开学考）先化简：，再从，，，中选择一个适当的数作为的值代入求值．
16．（2024九上·深圳开学考）如图，已知的三个顶点的坐标分别为，，．
（1）画出关于原点成中心对称的图形；
（2）是的边上一点，将平移后点的对称点，请画出平移后的；
（3）若和关于某一点成中心对称，则对称中心的坐标为 ．
17．（2024九上·深圳开学考）端午节主要风俗有挂钟道像、赛龙舟、饮用雄黄酒、吃五毒饼、咸蛋、粽子等，在端午节来临之际，某单位准备购买粽子和咸蛋共盒分发给员工回家过节其中粽子比咸蛋每盒贵元．
（1）若用元购买咸蛋与用元购买粽子的数量相同，求粽子和咸蛋每盒的价格；
（2）在的条件下，若购买咸蛋数量不超过粽子数量的倍，如何购买才能使总费用最少？
18．（2024九上·深圳开学考）如图，在中，点O是对角线的中点．某数学兴趣小组要在上找两个点E，F，使四边形为平行四边形，现总结出甲、乙两种方案如下：
甲方案 乙方案
在上分别取点E，F，使得 作于点E，于点F
请回答下列问题：
（1）选择其中一种方案，并证明四边形为平行四边形；
（2）在（1）的基础上，若，，则的面积为______．
19．（2024九上·深圳开学考）如图，在四边形中，，顶点坐标分别为，，，，，动点从开始以每秒个单位长度的速度沿线段向运动，另一个动点以每秒个单位长度的速度从开始运动，、同时出发，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为秒．
请回答下列问题：
（1） ， ；
（2）如图，若点沿折线向运动，
为何值时，，请说明理由；
为何值时，以点、和四边形的任意两个顶点为顶点的四边形是平行四边形，请说明理由；
（3）如图，若点沿射线运动，当线段被平分时，直接写出点坐标为 ．
20．（2024九上·深圳开学考）综合与实践
问题情境：“综合与实践”课上，老师提出如下问题：如图，在 中，，点是边的中点，连接保持 不动，将从图的位置开始，绕点顺时针旋转得到，点，，的对应点分别为点，，当线段与线段相交于点点不与点，，，重合时，连接老师要求各个小组结合所学的图形变换的知识展开数学探究．
（1）初步思考：如图，连接，“勤学”小组在旋转的过程中发现，请你证明这一结论；
（2）操作探究：如图，连接，“善思”小组在旋转的过程中发现垂直平分，请你证明这一结论；
（3）拓展延伸：已知，，在旋转的过程中，当以点，，为顶点的三角形是等腰三角形时，请直接写出此时线段的长度．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】轴对称图形；中心对称图形
【解析】【解答】解：A是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
B是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
C是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
D既是轴对称图形又是中心对称图形，符合题意.
故答案为：D
【分析】将图形沿某一条直线折叠后能够重合的图形为轴对称图形；将图形沿某一点旋转180°后能够与原图重合的图形为中心对称图象.
2．【答案】C
【知识点】因式分解的概念
【解析】【解答】解：A不是因式分解，不符合题意；
B不是因式分解，不符合题意；
C是因式分解，符合题意；
D不是因式分解，不符合题意；
故答案为：C
【分析】根据因式分解的定义即可求出答案.
3．【答案】D
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组；点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】∵ 点在第二象限，
∴，
解不等式得1故选：D.
【分析】根据点所在象限建立点的不等关系，解不等式组并在数轴上表示即可得出选项.
4．【答案】A
【知识点】分式方程的增根；已知分式方程的解求参数
【解析】【解答】解：设被污染的数字为a
去分母可得：x=(a-2)(x+1)
整理得：3x=a-2
∵此方程有增根无解
∴x+1=0，即x=-1
∴3×(-1)=a-2
解得：a=-1
故答案为：A
【分析】设被污染的数字为a，去分母，将方程转换为整式方程，再解方程可得3x=a-2，根据方程有增根无解，可得x=-1，再代入等式即可求出答案.
5．【答案】D
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定-ASA
【解析】【分析】根据角之间的关系可得∠2=∠3，再根据全等三角形判定定理及性质即可求出答案.
6．【答案】B
【知识点】分式方程的实际应用
【解析】【解答】解： 设型包装箱每个可以装x件文具， 则A型包装箱每个可以装（x-15）件文具，根据条件“ 单独使用型包装箱比单独使用型包装箱可少用个 ”，即可列出等式： ，故选B。
故答案为：B.
【分析】先用未知数分别表示出两种包装箱每个能包文具的个数，再根据分别使用两种包装箱单独包装时所用的包装箱数量差，即可列出等式。
7．【答案】C
【知识点】平行线的性质；勾股定理；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：∵AD∥BC
∴∠DAF=∠B=90°
∵E是FD中点
∴
∴∠D=∠EAD
∴∠AEC=∠D+∠EAD=2∠D
∵∠ACD=2∠D
∴∠ACD=∠AEC
∴
∵，∠B=90°
∴
故答案为：C
【分析】根据直线平行性质可得∠DAF=∠B=90°，再根据线段中点可得，根据等边对等角可得∠D=∠EAD，再根据角之间的关系可得∠ACD=∠AEC，则，再根据勾股定理即可求出答案.
8．【答案】A
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；等腰三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；勾股定理
【解析】【解答】解：延长BA至F，使AF=BC，连接DF
∵四边形ABCD中，∠ADC=120°，∠CBA=60°
∴∠BAD+∠C=180°
∴∠DAF=∠C
∵AD=CD，AF=BC
∴△DAF≌△DCB
∴DB=DF，∠ADF=∠CDB，AF=BC
∴△DBF为等腰三角形，∠FDB=∠ADC
∵∠ADC=120°，BC=2
∴∠FDB=120°，AF=2
∴∠DBF=30°
过点D作DH⊥BF，垂足为H
∵AB=5
∴BF=AB+AF=7
∴
在Rt△BDH中，∠DBF=30°
∴
∴HD2+BH2=BD2
∴
∴BD=
故答案为：A
【分析】延长BA至F，使AF=BC，连接DF，根据角之间的关系可得∠DAF=∠C，再根据全等三角形判定定理可得△DAF≌△DCB，则DB=DF，∠ADF=∠CDB，AF=BC，再根据等腰三角形判定定理可得△DBF为等腰三角形，∠FDB=∠ADC，则∠FDB=120°，AF=2，过点D作DH⊥BF，垂足为H，根据边之间的关系可得BF，根据含30°角的直角三角形性质可得，再根据勾股定理建立方程，解方程即可求出答案.
9．【答案】3a（a - 2）（a +2）
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：3a3- 12a =3 .
故答案为： 3a（a - 2）（a +2） .
【分析】先利用提公因式法分解因式，再将剩下的商式利用平方差公式分解到每一个因式都不能再分解为止.
10．【答案】x＞-3
【知识点】分式有无意义的条件；二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：要使代数式在实数范围内有意义，必须
2x+6＞0，
解得：x＞-3．
故答案为：x＞-3.
【分析】根据二次根式有意义的条件：根号下的数或式子大于等于0；分式有意义的条件：分母不等于0，进行求解即可．
11．【答案】
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系；两一次函数图象相交或平行问题
【解析】【解答】解：由题意可得：
当时，有
故答案为：
【分析】当一次函数的图象在一次函数的上方时，有，结合函数图象即可求出答案.
12．【答案】7
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：延长BD，CA交于点H
在△ADH和△ADB中
∴△ADH≌△ADB(ASA)
∴BD=DH，AB=AH
∵BD=DH，BE=EC
∴CH=2DE=10
∴AH=CH-AC=7
∴AB=AH=7
故答案为：7
【分析】延长BD，CA交于点H，根据全等三角形判定定理可得△ADH≌△ADB(ASA)，则BD=DH，AB=AH，再根据边之间的关系即可求出答案.
13．【答案】
【知识点】三角形全等及其性质；等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；矩形的判定与性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：连接，取的中点O，连接
则，
在矩形中，，，
所以
所以
故是等边三角形，，则
连接并延长交于E
由旋转性质得，
所以
在和中，
，所以，
所以，
由得
解得，则
故点Q在射线上运动，
因为
所以
过Q作于M，于N，则四边形是矩形
所以
设，则，，
在中，，，
所以
在中，，则
所以
由得
解得，则
所以，
在中，由得，
整理，得，即，
所以，又
故，．
故填：．
【分析】本题全面考查了矩形的判定与性质，旋转性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，含30度角的直角三角形的性质以及等腰直角三角形的判定与性质.解题过程中，通过连接辅助线AC和BO，构造出等边三角形，为后续的角度和边长计算提供了基础.利用旋转的性质得到AP=AQ和，结合矩形的性质证明，确定点Q的运动轨迹为射线OE.再根据得出，通过作辅助线QM和QN，将问题转化为直角三角形中的边长计算，最后利用勾股定理建立方程求解.整个过程需要综合运用多种几何知识，是一道综合性较强的几何题．
14．【答案】解：，
方程两边都乘，得，
解得：，
检验：当时，，
所以是增根，
即原方程无解．
【知识点】解分式方程
【解析】【分析】去分母，将方程转换为整式方程，再解方程即可求出答案.
15．【答案】.解：
，
，，
或，
当时，分式
【知识点】分式的混合运算；分式的化简求值-择值代入
【解析】【分析】根据分式的混合运算，结合平方差公式化简，再根据分式有意义的条件代值计算即可求出答案.
16．【答案】如图所示，即为所求；如图所示，即为所求．．
（1）解：如图所示，即为所求；
（2）如图所示，即为所求．
（3）
【知识点】坐标与图形变化﹣平移；作图﹣平移；坐标与图形变化﹣中心对称；作图﹣中心对称
【解析】【分析】（1）根据对称中心的定义作图即可.
（2）根据平移的性质作图即可.
（3）连接AA1，BB1，CC1交于点D，即为对称中心，再求出坐标即可.
17．【答案】（1）解：设粽子每盒的价格为元，则咸蛋每盒的价格为元，
由题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
，
答：粽子每盒的价格为元，咸蛋每盒的价格为元；
（2）解：设购买咸蛋为盒，则购买粽子为盒，
由题意得：，
解得：，
设总费用为元，
则，
，
随的增大而减小，
当时，最小，
此时，，
答：购买咸蛋盒，粽子盒时，总费用最少．
【知识点】一次函数的实际应用-销售问题；分式方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设粽子每盒的价格为元，则咸蛋每盒的价格为元，根据题意建立方程，解方程即可求出答案.
（2）设购买咸蛋为盒，则购买粽子为盒，根据题意建立不等式，求出m的取值范围，设总费用为元，再求出表达式，结合一次函数的性质即可求出答案.
18．【答案】（1）解：甲方案，证明：连接BD，如图：
∵四边形是平行四边形，
∴AO=CO，BO=DO，
∵AE=CF，
∴AO－AE＝CO－CF，即EO=FO，
∵BO=DO，EO=FO，
∴四边形是平行四边形．
乙方案，证明：连接BD，如图：
∵四边形是平行四边形，
∴BO=DO.
∵于点于点，
∴，
又∵∠BOE=∠DOF，
∴△BEO≌△DFO(AAS)
∴EO=FO，
∴四边形是平行四边形；
（2）50
【知识点】三角形的面积；平行四边形的判定与性质；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：（2）由（1）得四边形BEDF是平行四边形，
∴OE=OF，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO=CO，
∴AE=CF.
，
，
∵四边形是平行四边形，
，
，
故答案为：50．
【分析】（1）甲方案，连接BD，由平行四边形的性质得AO=CO，BO=DO，再结合题意得EO=FO，即可证明四边形是平行四边形；
乙方案，连接BD，证明△BEO≌△DFO，可得EO=FO，即可证明四边形是平行四边形；
（2）证明AE=CF，结合题意即可得到，然后再由平行四边形的性质和三角形面积关系得，即可解决问题．
（1）解：甲方案，证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形．
乙方案，证明：∵于点于点，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形；
（2）解：由（1）得，
，
，
，
∵四边形是平行四边形，
，
，
故答案为：50．
19．【答案】（1）2；3
（2）解：由题意知点运动过程中的坐标为，
，
是直角三角形，
，
，
，，
，
即或，
解得或舍去，
时，；
由题意，分两种情况，当时，时，
由题得当时，点在上运动，
若想，与四边形的任意两个顶点构成平行四边形，，
即且，
，，
，
；
当时，
根据题意，，
，
，，
，
；
当时，
，
；
故的值为或或；
（3）
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；四边形-动点问题；坐标系中的两点距离公式；分类讨论
【解析】【解答】解：（1）过点A作AE⊥x轴于点H
∵，，
∴BE=-1-(-2)=1，
∴
∵，
∴AD=2-(-1)=3
故答案为：2；3
（3）设直线的解析式为，代入，两点，则，得，
，
，
被平分，
的中点，
在线段上，
点纵坐标为，
，
，
，
点坐标为，
故答案为：
【分析】（1）根据两点间距离可得BE=-1-(-2)=1，，再根据勾股定理可得AB长，再根据两点间距离可得AD长.
（2）①由题意知点运动过程中的坐标为，根据含30°角的直角三角形性质可得，，再根据边之间的关系建立方程，解方程即可求出答案.
②分情况讨论：时，时，根据边之间的关系建立方程，解方程即可求出答案.
20．【答案】（1）证明：如图，连接，，
将绕点顺时针旋转得到，
，，
，
，
，
点是边的中点，
，
．
四边形是平行四边形，
，
，
又，
，
，
在和中，
≌，
，
是的一个外角，
，
即，
，
；
（2）证明：如图，延长交于点，
由知：≌，
，，
将绕点顺时针旋转得到，
，
四边形是平行四边形，
，
，
，
即，
，，，
，
垂直平分；
（3）或或
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；矩形的判定与性质；旋转的性质；线段垂直平分线的判定
【解析】【解答】解：（3）解：以点，，为顶点的三角形是等腰三角形，
或或，
当时，如图，过点作于，交于，过点作于，
则四边形、、均为矩形，
，，
，，点是边的中点，
，
，，
，
，
由旋转得，
又，
，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
；
当时，如图，连接，
由旋转得，
又，
≌，
，
，
，
即、、三点共线，
在和中，
，
≌，
，
设，
四边形是矩形，，，
，，
则，，
在中，，
，
解得：，
；
当时，如图，过点作于，
，，
，
在中，，
，
和均为等腰直角三角形，
，
，
，
，
四边形是矩形，
；
综上所述，线段的长度为或或．
【分析】（1）连接，，根据旋转性质可得，，则，再根据平行四边形性质可得，则，根据角之间的关系可得，再根据全等三角形判定定理可得≌，则，再根据三角形外角性质可得，则，再根据直线平行判定定理即可求出答案.
（2）延长交于点，根据全等三角形性质可得，，再根据旋转性质可得，根据平行四边形性质可得，再根据边之间的关系可得，再根据角之间的关系可得，再根据垂直平分线判定定理即可求出答案.
（3）根据等腰三角形性质分类讨论：当时，过点作于，交于，过点作于，则四边形、、均为矩形，根据矩形性质可得，，再根据边之间的关系可得，由旋转得，根据勾股定理可得FK，则，根据等腰直角三角形判定定理可得是等腰直角三角形，则，再根据边之间的关系即可求出答案；当时，连接，由旋转得，根据全等三角形判定定理可得≌，则，根据角之间的关系可得、、三点共线，再根据全等三角形判定定理可得≌，则，设，根据矩形性质可得，，则则，，再根据勾股定理建立方程，解方程即可求出答案；当时，过点作于，根据垂直平分线性质可得，再根据勾股定理可得OK，根据等腰直角三角形判定定理可得和均为等腰直角三角形，则，再根据角之间的关系可得，再根据矩形判定定理及性质即可求出答案.
1 / 1广东省深圳市福田外国语学校2024-2025学年九年级上学期开学数学试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（2024九上·深圳开学考）在数学活动课中，同学们利用几何画板绘制出了下列曲线，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．三叶玫瑰线 B．笛卡尔心形线
C．蝴蝶曲线 D．四叶玫瑰线
【答案】D
【知识点】轴对称图形；中心对称图形
【解析】【解答】解：A是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
B是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
C是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
D既是轴对称图形又是中心对称图形，符合题意.
故答案为：D
【分析】将图形沿某一条直线折叠后能够重合的图形为轴对称图形；将图形沿某一点旋转180°后能够与原图重合的图形为中心对称图象.
2．（2024九上·深圳开学考）下列各等式从左边到右边的变形中，是因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】因式分解的概念
【解析】【解答】解：A不是因式分解，不符合题意；
B不是因式分解，不符合题意；
C是因式分解，符合题意；
D不是因式分解，不符合题意；
故答案为：C
【分析】根据因式分解的定义即可求出答案.
3．（2024九上·深圳开学考）已知点在第二象限，则的取值范围在数轴上表示正确的是( )
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组；点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】∵ 点在第二象限，
∴，
解不等式得1故选：D.
【分析】根据点所在象限建立点的不等关系，解不等式组并在数轴上表示即可得出选项.
4．（2024九上·深圳开学考）小明在解关于的分式方程时，发现墨水不小心把其中一个数字污染了，翻看答案上说此方程有增根无解，则被污染的数字为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】分式方程的增根；已知分式方程的解求参数
【解析】【解答】解：设被污染的数字为a
去分母可得：x=(a-2)(x+1)
整理得：3x=a-2
∵此方程有增根无解
∴x+1=0，即x=-1
∴3×(-1)=a-2
解得：a=-1
故答案为：A
【分析】设被污染的数字为a，去分母，将方程转换为整式方程，再解方程可得3x=a-2，根据方程有增根无解，可得x=-1，再代入等式即可求出答案.
5．（2024九上·深圳开学考）下面是嘉嘉作业本上的一道习题及解答过程：
已知：如图，中，，平分的外角，点是的中点，连接并延长交于点，连接． 求证：四边形是平行四边形． 证明：，． ，，， ____． 又，， ≌____． 四边形是平行四边形．
若以上解答过程正确，，应分别为（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】D
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定-ASA
【解析】【分析】根据角之间的关系可得∠2=∠3，再根据全等三角形判定定理及性质即可求出答案.
6．（2024九上·深圳开学考）某单位向一所希望小学赠送了件文具，现用、两种不同的包裝箱进行包装，已知每个型包装箱比型包装箱多装件文具，单独使用型包装箱比单独使用型包装箱可少用个，设型包装箱每个可以装件文具，根据题意列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】分式方程的实际应用
【解析】【解答】解： 设型包装箱每个可以装x件文具， 则A型包装箱每个可以装（x-15）件文具，根据条件“ 单独使用型包装箱比单独使用型包装箱可少用个 ”，即可列出等式： ，故选B。
故答案为：B.
【分析】先用未知数分别表示出两种包装箱每个能包文具的个数，再根据分别使用两种包装箱单独包装时所用的包装箱数量差，即可列出等式。
7．（2024九上·深圳开学考）如图，在中，，过点作，连接与交于点，是边的中点，，若，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】平行线的性质；勾股定理；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：∵AD∥BC
∴∠DAF=∠B=90°
∵E是FD中点
∴
∴∠D=∠EAD
∴∠AEC=∠D+∠EAD=2∠D
∵∠ACD=2∠D
∴∠ACD=∠AEC
∴
∵，∠B=90°
∴
故答案为：C
【分析】根据直线平行性质可得∠DAF=∠B=90°，再根据线段中点可得，根据等边对等角可得∠D=∠EAD，再根据角之间的关系可得∠ACD=∠AEC，则，再根据勾股定理即可求出答案.
8．（2024九上·深圳开学考）如图，在四边形中，，，，，，则对角线的长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；等腰三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；勾股定理
【解析】【解答】解：延长BA至F，使AF=BC，连接DF
∵四边形ABCD中，∠ADC=120°，∠CBA=60°
∴∠BAD+∠C=180°
∴∠DAF=∠C
∵AD=CD，AF=BC
∴△DAF≌△DCB
∴DB=DF，∠ADF=∠CDB，AF=BC
∴△DBF为等腰三角形，∠FDB=∠ADC
∵∠ADC=120°，BC=2
∴∠FDB=120°，AF=2
∴∠DBF=30°
过点D作DH⊥BF，垂足为H
∵AB=5
∴BF=AB+AF=7
∴
在Rt△BDH中，∠DBF=30°
∴
∴HD2+BH2=BD2
∴
∴BD=
故答案为：A
【分析】延长BA至F，使AF=BC，连接DF，根据角之间的关系可得∠DAF=∠C，再根据全等三角形判定定理可得△DAF≌△DCB，则DB=DF，∠ADF=∠CDB，AF=BC，再根据等腰三角形判定定理可得△DBF为等腰三角形，∠FDB=∠ADC，则∠FDB=120°，AF=2，过点D作DH⊥BF，垂足为H，根据边之间的关系可得BF，根据含30°角的直角三角形性质可得，再根据勾股定理建立方程，解方程即可求出答案.
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
9．（2024九上·深圳开学考）分解因式：3a3-
12a = .
【答案】3a（a - 2）（a +2）
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：3a3- 12a =3 .
故答案为： 3a（a - 2）（a +2） .
【分析】先利用提公因式法分解因式，再将剩下的商式利用平方差公式分解到每一个因式都不能再分解为止.
10．（2024九上·深圳开学考）若代数式在实数范围内有意义，则的取值范围是 .
【答案】x＞-3
【知识点】分式有无意义的条件；二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：要使代数式在实数范围内有意义，必须
2x+6＞0，
解得：x＞-3．
故答案为：x＞-3.
【分析】根据二次根式有意义的条件：根号下的数或式子大于等于0；分式有意义的条件：分母不等于0，进行求解即可．
11．（2024九上·深圳开学考）如图所示，一次函数与的交点坐标为，则不等式的解集为 ．
【答案】
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系；两一次函数图象相交或平行问题
【解析】【解答】解：由题意可得：
当时，有
故答案为：
【分析】当一次函数的图象在一次函数的上方时，有，结合函数图象即可求出答案.
12．（2024九上·深圳开学考）如图，为中的外角平分线，于，为中点，，，则长为 ．
【答案】7
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：延长BD，CA交于点H
在△ADH和△ADB中
∴△ADH≌△ADB(ASA)
∴BD=DH，AB=AH
∵BD=DH，BE=EC
∴CH=2DE=10
∴AH=CH-AC=7
∴AB=AH=7
故答案为：7
【分析】延长BD，CA交于点H，根据全等三角形判定定理可得△ADH≌△ADB(ASA)，则BD=DH，AB=AH，再根据边之间的关系即可求出答案.
13．（2024九上·深圳开学考）如图，在矩形中，，点P是边上一点，连接，以A为中心，将线段绕点A逆时针旋转得到，连接，且，则的长度为 ．
【答案】
【知识点】三角形全等及其性质；等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；矩形的判定与性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：连接，取的中点O，连接
则，
在矩形中，，，
所以
所以
故是等边三角形，，则
连接并延长交于E
由旋转性质得，
所以
在和中，
，所以，
所以，
由得
解得，则
故点Q在射线上运动，
因为
所以
过Q作于M，于N，则四边形是矩形
所以
设，则，，
在中，，，
所以
在中，，则
所以
由得
解得，则
所以，
在中，由得，
整理，得，即，
所以，又
故，．
故填：．
【分析】本题全面考查了矩形的判定与性质，旋转性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，含30度角的直角三角形的性质以及等腰直角三角形的判定与性质.解题过程中，通过连接辅助线AC和BO，构造出等边三角形，为后续的角度和边长计算提供了基础.利用旋转的性质得到AP=AQ和，结合矩形的性质证明，确定点Q的运动轨迹为射线OE.再根据得出，通过作辅助线QM和QN，将问题转化为直角三角形中的边长计算，最后利用勾股定理建立方程求解.整个过程需要综合运用多种几何知识，是一道综合性较强的几何题．
三、解答题：本题共7小题，共61分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
14．（2024九上·深圳开学考）解方程：．
【答案】解：，
方程两边都乘，得，
解得：，
检验：当时，，
所以是增根，
即原方程无解．
【知识点】解分式方程
【解析】【分析】去分母，将方程转换为整式方程，再解方程即可求出答案.
15．（2024九上·深圳开学考）先化简：，再从，，，中选择一个适当的数作为的值代入求值．
【答案】.解：
，
，，
或，
当时，分式
【知识点】分式的混合运算；分式的化简求值-择值代入
【解析】【分析】根据分式的混合运算，结合平方差公式化简，再根据分式有意义的条件代值计算即可求出答案.
16．（2024九上·深圳开学考）如图，已知的三个顶点的坐标分别为，，．
（1）画出关于原点成中心对称的图形；
（2）是的边上一点，将平移后点的对称点，请画出平移后的；
（3）若和关于某一点成中心对称，则对称中心的坐标为 ．
【答案】如图所示，即为所求；如图所示，即为所求．．
（1）解：如图所示，即为所求；
（2）如图所示，即为所求．
（3）
【知识点】坐标与图形变化﹣平移；作图﹣平移；坐标与图形变化﹣中心对称；作图﹣中心对称
【解析】【分析】（1）根据对称中心的定义作图即可.
（2）根据平移的性质作图即可.
（3）连接AA1，BB1，CC1交于点D，即为对称中心，再求出坐标即可.
17．（2024九上·深圳开学考）端午节主要风俗有挂钟道像、赛龙舟、饮用雄黄酒、吃五毒饼、咸蛋、粽子等，在端午节来临之际，某单位准备购买粽子和咸蛋共盒分发给员工回家过节其中粽子比咸蛋每盒贵元．
（1）若用元购买咸蛋与用元购买粽子的数量相同，求粽子和咸蛋每盒的价格；
（2）在的条件下，若购买咸蛋数量不超过粽子数量的倍，如何购买才能使总费用最少？
【答案】（1）解：设粽子每盒的价格为元，则咸蛋每盒的价格为元，
由题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
，
答：粽子每盒的价格为元，咸蛋每盒的价格为元；
（2）解：设购买咸蛋为盒，则购买粽子为盒，
由题意得：，
解得：，
设总费用为元，
则，
，
随的增大而减小，
当时，最小，
此时，，
答：购买咸蛋盒，粽子盒时，总费用最少．
【知识点】一次函数的实际应用-销售问题；分式方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设粽子每盒的价格为元，则咸蛋每盒的价格为元，根据题意建立方程，解方程即可求出答案.
（2）设购买咸蛋为盒，则购买粽子为盒，根据题意建立不等式，求出m的取值范围，设总费用为元，再求出表达式，结合一次函数的性质即可求出答案.
18．（2024九上·深圳开学考）如图，在中，点O是对角线的中点．某数学兴趣小组要在上找两个点E，F，使四边形为平行四边形，现总结出甲、乙两种方案如下：
甲方案 乙方案
在上分别取点E，F，使得 作于点E，于点F
请回答下列问题：
（1）选择其中一种方案，并证明四边形为平行四边形；
（2）在（1）的基础上，若，，则的面积为______．
【答案】（1）解：甲方案，证明：连接BD，如图：
∵四边形是平行四边形，
∴AO=CO，BO=DO，
∵AE=CF，
∴AO－AE＝CO－CF，即EO=FO，
∵BO=DO，EO=FO，
∴四边形是平行四边形．
乙方案，证明：连接BD，如图：
∵四边形是平行四边形，
∴BO=DO.
∵于点于点，
∴，
又∵∠BOE=∠DOF，
∴△BEO≌△DFO(AAS)
∴EO=FO，
∴四边形是平行四边形；
（2）50
【知识点】三角形的面积；平行四边形的判定与性质；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：（2）由（1）得四边形BEDF是平行四边形，
∴OE=OF，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO=CO，
∴AE=CF.
，
，
∵四边形是平行四边形，
，
，
故答案为：50．
【分析】（1）甲方案，连接BD，由平行四边形的性质得AO=CO，BO=DO，再结合题意得EO=FO，即可证明四边形是平行四边形；
乙方案，连接BD，证明△BEO≌△DFO，可得EO=FO，即可证明四边形是平行四边形；
（2）证明AE=CF，结合题意即可得到，然后再由平行四边形的性质和三角形面积关系得，即可解决问题．
（1）解：甲方案，证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形．
乙方案，证明：∵于点于点，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形；
（2）解：由（1）得，
，
，
，
∵四边形是平行四边形，
，
，
故答案为：50．
19．（2024九上·深圳开学考）如图，在四边形中，，顶点坐标分别为，，，，，动点从开始以每秒个单位长度的速度沿线段向运动，另一个动点以每秒个单位长度的速度从开始运动，、同时出发，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为秒．
请回答下列问题：
（1） ， ；
（2）如图，若点沿折线向运动，
为何值时，，请说明理由；
为何值时，以点、和四边形的任意两个顶点为顶点的四边形是平行四边形，请说明理由；
（3）如图，若点沿射线运动，当线段被平分时，直接写出点坐标为 ．
【答案】（1）2；3
（2）解：由题意知点运动过程中的坐标为，
，
是直角三角形，
，
，
，，
，
即或，
解得或舍去，
时，；
由题意，分两种情况，当时，时，
由题得当时，点在上运动，
若想，与四边形的任意两个顶点构成平行四边形，，
即且，
，，
，
；
当时，
根据题意，，
，
，，
，
；
当时，
，
；
故的值为或或；
（3）
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；四边形-动点问题；坐标系中的两点距离公式；分类讨论
【解析】【解答】解：（1）过点A作AE⊥x轴于点H
∵，，
∴BE=-1-(-2)=1，
∴
∵，
∴AD=2-(-1)=3
故答案为：2；3
（3）设直线的解析式为，代入，两点，则，得，
，
，
被平分，
的中点，
在线段上，
点纵坐标为，
，
，
，
点坐标为，
故答案为：
【分析】（1）根据两点间距离可得BE=-1-(-2)=1，，再根据勾股定理可得AB长，再根据两点间距离可得AD长.
（2）①由题意知点运动过程中的坐标为，根据含30°角的直角三角形性质可得，，再根据边之间的关系建立方程，解方程即可求出答案.
②分情况讨论：时，时，根据边之间的关系建立方程，解方程即可求出答案.
20．（2024九上·深圳开学考）综合与实践
问题情境：“综合与实践”课上，老师提出如下问题：如图，在 中，，点是边的中点，连接保持 不动，将从图的位置开始，绕点顺时针旋转得到，点，，的对应点分别为点，，当线段与线段相交于点点不与点，，，重合时，连接老师要求各个小组结合所学的图形变换的知识展开数学探究．
（1）初步思考：如图，连接，“勤学”小组在旋转的过程中发现，请你证明这一结论；
（2）操作探究：如图，连接，“善思”小组在旋转的过程中发现垂直平分，请你证明这一结论；
（3）拓展延伸：已知，，在旋转的过程中，当以点，，为顶点的三角形是等腰三角形时，请直接写出此时线段的长度．
【答案】（1）证明：如图，连接，，
将绕点顺时针旋转得到，
，，
，
，
，
点是边的中点，
，
．
四边形是平行四边形，
，
，
又，
，
，
在和中，
≌，
，
是的一个外角，
，
即，
，
；
（2）证明：如图，延长交于点，
由知：≌，
，，
将绕点顺时针旋转得到，
，
四边形是平行四边形，
，
，
，
即，
，，，
，
垂直平分；
（3）或或
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；矩形的判定与性质；旋转的性质；线段垂直平分线的判定
【解析】【解答】解：（3）解：以点，，为顶点的三角形是等腰三角形，
或或，
当时，如图，过点作于，交于，过点作于，
则四边形、、均为矩形，
，，
，，点是边的中点，
，
，，
，
，
由旋转得，
又，
，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
；
当时，如图，连接，
由旋转得，
又，
≌，
，
，
，
即、、三点共线，
在和中，
，
≌，
，
设，
四边形是矩形，，，
，，
则，，
在中，，
，
解得：，
；
当时，如图，过点作于，
，，
，
在中，，
，
和均为等腰直角三角形，
，
，
，
，
四边形是矩形，
；
综上所述，线段的长度为或或．
【分析】（1）连接，，根据旋转性质可得，，则，再根据平行四边形性质可得，则，根据角之间的关系可得，再根据全等三角形判定定理可得≌，则，再根据三角形外角性质可得，则，再根据直线平行判定定理即可求出答案.
（2）延长交于点，根据全等三角形性质可得，，再根据旋转性质可得，根据平行四边形性质可得，再根据边之间的关系可得，再根据角之间的关系可得，再根据垂直平分线判定定理即可求出答案.
（3）根据等腰三角形性质分类讨论：当时，过点作于，交于，过点作于，则四边形、、均为矩形，根据矩形性质可得，，再根据边之间的关系可得，由旋转得，根据勾股定理可得FK，则，根据等腰直角三角形判定定理可得是等腰直角三角形，则，再根据边之间的关系即可求出答案；当时，连接，由旋转得，根据全等三角形判定定理可得≌，则，根据角之间的关系可得、、三点共线，再根据全等三角形判定定理可得≌，则，设，根据矩形性质可得，，则则，，再根据勾股定理建立方程，解方程即可求出答案；当时，过点作于，根据垂直平分线性质可得，再根据勾股定理可得OK，根据等腰直角三角形判定定理可得和均为等腰直角三角形，则，再根据角之间的关系可得，再根据矩形判定定理及性质即可求出答案.
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