§2 双曲线
2.1 双曲线及其标准方程
学习目标 1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过程，培养数学抽象的核心素养. 2.掌握双曲线的标准方程及其求法，提升数学运算的核心素养. 3.会利用双曲线的定义和标准方程解决较简单的问题，提升逻辑推理、数学运算的核心素养. 4.了解双曲线的简单应用.
任务一 双曲线的定义
问题1.把椭圆定义中的“距离之和”改为“距离之差”，那么点的轨迹会怎么样？
提示：准备实验(可以找三名同学在教师指导下操作)，取一条拉链，拉开它的一部分，在拉开的两边上各选择一个点，分别固定在点F1，F2上，点F1到点F2的距离为2c(c＞0).把笔尖放在拉链开口的咬合处M，点M到点F1的距离与点M到点F2的距离之差等于2a(c＞a＞0).随着拉链逐渐拉开或者闭拢，笔尖就画出一条曲线，同理可画出另一支.(如图)显然所画的曲线不是椭圆，而是两条相同的曲线，只是位置不同，其原因都是应用了“到两定点的距离之差｜MF1｜－｜MF2｜，或｜MF2｜－｜MF1｜是同一个常数”这个条件.
问题2.在上述过程中，我们在其中的一段拉链上截取一段小于｜F1F2｜，如果截取的长度等于｜F1F2｜，其轨迹还是上述图形吗？
提示：不是，是以F1，F2为端点的两条射线.
双曲线的定义
定义 平面内到两个定点F1，F2的距离之差的绝对值等于常数(大于零且小于｜F1F2｜)的点的集合(或轨迹)叫作双曲线
焦点 两个定点F1，F2叫作双曲线的焦点
焦距 两焦点间的距离｜F1F2｜叫作双曲线的焦距
集合语言 P＝{M｜｜｜MF1｜－｜MF2｜｜＝2a，0＜2a＜｜F1F2｜}
[微提醒] (1)常数要小于两个定点的距离.(2)如果没有绝对值，点的轨迹表示双曲线的一支.(3)当2a＝｜F1F2｜时，动点的轨迹是以F1，F2为端点的两条方向相反的射线(包括端点).(4)当2a＞｜F1F2｜时，动点的轨迹不存在.(5)当2a＝0时，动点轨迹为线段F1F2的垂直平分线.
(多选题)已知平面直角坐标系中，点A(－1，0)，B(1，0)，点P为平面内一动点，且｜PA｜－｜PB｜＝2a(a∈R)，则下列说法正确的是( )
A.当a＝0时，点P的轨迹为一直线
B.当a＝1时，点P的轨迹为一射线
C.当a＝－1时，点P的轨迹不存在
D.当a＝时，点P的轨迹是双曲线
答案：AB
解析：对于A，当a＝0时，｜PA｜＝｜PB｜，则点P的轨迹为线段AB的垂直平分线，故A正确；对于B，当a＝1时，｜PA｜－｜PB｜＝2＝｜AB｜，则点P的轨迹是一条射线，且射线的端点为B，方向为x轴的正方向，故B正确；对于C，当a＝－1时，｜PA｜－｜PB｜＝－2＝－｜AB｜，则点P的轨迹是一条射线，且射线的端点为A，方向为x轴的负方向，故C错误；对于D，当a＝时，｜PA｜－｜PB｜＝1＜｜AB｜，且｜PA｜＞｜PB｜，所以点P的轨迹是以点A，B为左、右焦点的双曲线的右支，故D错误.故选AB.
判断点的轨迹是否为双曲线时，依据是双曲线的定义成立的充要条件.
对点练1.(1)已知M(－2，0)，N(2，0)，｜PM｜－｜PN｜＝4，则动点P的轨迹是( )
A.线段 B.双曲线左支
C.一条射线 D.双曲线右支
(2)与圆x2＋y2＝1及圆x2＋y2－8x＋12＝0都外切的圆P的圆心在( )
A.一个椭圆上 B.一个圆上
C.一条直线上 D.双曲线的一支上
答案：(1)C (2)D
解析：(1)因为M(－2，0)，N(2，0)，于是有｜PM｜－｜PN｜＝4＝｜MN｜，所以动点P的轨迹是一条射线.故选C.
(2)由x2＋y2－8x＋12＝0，得(x－4)2＋y2＝4，作出两方程所对应曲线，如图所示：设圆P的半径为r，因为圆P与圆O和圆M都外切，所以｜PM｜＝r＋2，｜PO｜＝r＋1，则｜PM｜－｜PO｜＝1＜4，所以根据双曲线定义知点P在以O，M为焦点的双曲线的左支上.故选D.
任务二 双曲线的标准方程
问题3.仿照求椭圆标准方程的方法，根据双曲线的定义，如何选择恰当的平面直角坐标系来求双曲线的标准方程？
提示：观察我们画出的双曲线，发现它也具有对称性，而且直线F1F2是它的一条对称轴，所以以直线F1F2为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，则焦点F1，F2的坐标分别为(－c，0)，(c，0)，焦距为2c，c＞0.
设P(x，y)是双曲线上任意一点，则根据双曲线的定义可得｜｜PF1｜－｜PF2｜｜＝2a，即｜PF1｜－｜PF2｜＝±2a，
因为｜PF1｜＝，｜PF2｜＝，所以－＝±2a，化简、整理可得(c2－a2)x2－a2y2＝a2(c2－a2).根据双曲线的定义可知，2c＞2a＞0，所以c2－a2＞0，设b2＝c2－a2(b＞0)，代入上式，得b2x2－a2y2＝a2b2，即－＝1(a＞0，b＞0).
问题4.设双曲线的焦点为F1和F2，焦距为2c，而且双曲线上的动点P满足｜｜PF1｜－｜PF2｜｜＝2a，其中c＞a＞0，以直线F1F2为y轴，线段F1F2的垂直平分线为x轴，建立平面直角坐标系，如图所示，此时，双曲线的标准方程是什么？
提示：－＝1(a＞0，b＞0).
双曲线的标准方程
焦点位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上
图形
焦点位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上
标准方程 －＝1(a＞0，b＞0) －＝1(a＞0，b＞0)
焦点 F1(－c，0)，F2(c，0) F1(0，－c)，F2(0，c)
a，b，c的关系 b2＝c2－a2
[微提醒] (1)若x2项的系数为正，则焦点在x轴上；若y2项的系数为正，则焦点在y轴上.(2)a与b没有大小关系；a，b，c的关系满足c2＝a2＋b2.
角度1 求双曲线的标准方程
(链教材P62例1)求适合下列条件的双曲线的标准方程：
(1)焦点在x轴上，a＝2，经过点A(－5，2)；
(2)经过A(－7，－6)，B(2，3)两点；
(3)过点P(－，2)，且与椭圆＋＝1有相同焦点的双曲线方程.
解：(1)因为a＝2，且双曲线的焦点在x轴上，
可设双曲线的标准方程为－＝1(b＞0)，
将点A(－5，2)的坐标代入双曲线的方程得－＝1，解得b2＝16，
所以双曲线的标准方程为－＝1.
(2)设双曲线的方程为mx2＋ny2＝1(mn＜0)，
将点A，B的坐标代入双曲线方程可得解得m＝，n＝－，
所以双曲线的标准方程为－＝1.
(3)由题意知，椭圆＋＝1的焦点坐标为F1(－，0)，F2(，0)，
所以可设双曲线标准方程为－＝1，其中a2＋b2＝5，
代入点P(－，2)可得－＝1，联立解得a2＝1，b2＝4，
所以双曲线的标准方程为x2－＝1.
1.求双曲线标准方程的两个关注点
2.双曲线标准方程的两种求法
(1)定义法：根据双曲线的定义得到相应的a，b，c，再写出双曲线的标准方程.
(2)待定系数法：先设出双曲线的标准方程－＝1或－＝1(a，b均为正数)，然后根据条件求出待定的系数代入方程即可.
注意：若焦点的位置不明确，应注意分类讨论，也可以设双曲线方程为mx2＋ny2＝1的形式，注意标明条件mn＜0.
对点练2.求适合下列条件的双曲线的标准方程：
(1)经过点A(4，3)，且a＝4；
(2)经过点A，B(3，－2).
解：(1)若双曲线的焦点在y轴上，
则－＝1，不成立，可知双曲线的焦点在x轴上，
设双曲线的标准方程为－＝1(b＞0)，
代入点A(4，3)，
即－＝1，解得b2＝9，
所以双曲线的标准方程为－＝1.
(2)设双曲线的方程为mx2＋ny2＝1(mn＜0)，
代入点A，B(3，－2)，
可得
所以双曲线的标准方程为－＝1.
角度2 双曲线标准方程的理解
给出曲线方程＋＝1.
(1)若该方程表示双曲线，求实数k的取值范围；
(2)若该方程表示焦点在y轴上的双曲线，求实数k的取值范围.
解：(1)将所给方程化为－＝1，若该方程表示双曲线，则有(4＋k)(k－1)＞0，解得k＞1或k＜－4.
故实数k的取值范围是(－∞，－4)∪(1，＋∞).
(2)将所给方程化为－＝1，若该方程表示焦点在y轴上的双曲线，则有解得k＜－4.
故实数k的取值范围是(－∞，－4).
方程表示双曲线的条件及参数范围求法
1.对于方程＋＝1，当mn＜0时表示双曲线，且当m＞0，n＜0时表示焦点在x轴上的双曲线；当m＜0，n＞0时表示焦点在y轴上的双曲线.
2.对于方程－＝1，当mn＞0时表示双曲线，且当m＞0，n＞0时表示焦点在x轴上的双曲线；当m＜0，n＜0时表示焦点在y轴上的双曲线.
3.已知方程所代表的曲线，求参数的取值范围时，应先将方程转化为所对应曲线的标准方程的形式，再根据方程中参数取值的要求，建立不等式(组)求解参数的取值范围.
对点练3.在方程mx2－my2＝3n中，若mn＜0，则该方程表示( )
A.焦点在x轴上的椭圆
B.焦点在x轴上的双曲线
C.焦点在y轴上的椭圆
D.焦点在y轴上的双曲线
答案：D
解析：方程化为－＝1.因为mn＜0，所以＜0，故方程表示焦点在y轴上的双曲线.故选D.
任务三 双曲线定义的应用
若F1，F2是双曲线－＝1的两个焦点.
(1)若双曲线上一点M到它的一个焦点的距离等于7，求点M到另一个焦点的距离；
(2)若点P是双曲线上的一点，且∠F1PF2＝60°，求△F1PF2的面积.
解：(1)由双曲线方程知a2＝9，b2＝16，则c2＝25，
所以a＝3，b＝4，c＝5.
设｜MF1｜＝7，则根据双曲线的定义知
｜｜MF2｜－7｜＝6，即｜MF2｜－7＝±6，
解得｜MF2｜＝13或｜MF2｜＝1，
又｜MF2｜＝1＜c－a，则｜MF2｜＝1不合题意，
因此，点M到另一个焦点的距离为13.
(2)由定义和余弦定理得｜PF1｜－｜PF2｜＝±6，
｜F1F2｜2＝｜PF1｜2＋｜PF2｜2－2｜PF1｜｜PF2｜cos 60°，
所以102＝(｜PF1｜－｜PF2｜)2＋｜PF1｜·｜PF2｜，
所以｜PF1｜·｜PF2｜＝64，
所以＝｜PF1｜·｜PF2｜·sin ∠F1PF2
＝×64×＝16.
[变式探究]
(变条件)若将本例(2)中的“∠F1PF2＝60°”改为“｜PF1｜·｜PF2｜＝32”，求△F1PF2的面积.
解：将｜｜PF2｜－｜PF1｜｜＝2a＝6，两边平方得｜PF1｜2＋｜PF2｜2－2｜PF1｜·｜PF2｜＝36，
所以｜PF1｜2＋｜PF2｜2＝36＋2｜PF1｜·｜PF2｜＝36＋2×32＝100.
在△F1PF2中，由余弦定理的推论得cos ∠F1PF2
＝＝＝0，
所以∠F1PF2＝90°.
所以＝｜PF1｜·｜PF2｜＝×32＝16.
双曲线的定义的应用
1.已知双曲线上一点的坐标，可以求得该点到某一焦点的距离，进而根据定义求该点到另一焦点的距离.
2.双曲线中与焦点三角形有关的问题可以根据定义结合余弦定理、勾股定理或三角形面积公式等知识进行运算，在运算中要注意整体思想和一些变形技巧的灵活运用.
对点练4.已知双曲线的方程为x2－＝1，如图所示，点A的坐标为(－，0)，B是圆x2＋(y－)2＝1上的点，点C为其圆心，点M在双曲线的右支上，求｜MA｜＋｜MB｜的最小值.
解：设点D的坐标为(，0)，则点A，D是双曲线的焦点，如图所示，
连接MD，BD.由双曲线的定义，得｜MA｜－｜MD｜＝2a＝2.
所以｜MA｜＋｜MB｜＝｜MA｜－｜MD｜＋｜MB｜＋｜MD｜
＝2＋｜MB｜＋｜MD｜≥2＋｜BD｜.
又点B是圆x2＋(y－)2＝1上的点，圆的圆心为C(0，)，半径长为1，
故｜BD｜≥｜CD｜－1＝－1，
从而｜MA｜＋｜MB｜≥2＋｜BD｜≥ ＋1，
当且仅当点M，B在线段CD上时取等号.
故｜MA｜＋｜MB｜的最小值为＋1.
任务四 双曲线的实际应用
(链教材P63例2)某区域有三个救援中心(记A，B，C)，A在B的正东方向，相距6千米，C在B的北偏西30°方向，相距4千米，某一时刻，A接收到P的求救信号，由于B，C两地比A距P远，在此4秒后，B，C两个救援中心才同时接收到这一信号.已知该信号的传播速度为1千米/秒，求在A处发现P的方位角.
解：如图所示，以直线AB为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系.
则A(3，0)，B(－3，0)，C(－5，2).
因为｜PB｜＝｜PC｜，
所以点P在线段BC的垂直平分线上.
又易知kBC＝－，
线段BC的中点D(－4，)，
所以直线PD的方程为y－＝(x＋4)，①
又｜PB｜－｜PA｜＝4＜6＝｜AB｜，
所以点P在以A，B为焦点的双曲线的右支上.
设双曲线方程为－＝1(a＞0，b＞0)，则a＝2，c＝3，b＝，
所以点P的轨迹方程为－＝1(x≥2)，②
联立①②，得P点坐标为(8，5)，
所以kPA＝＝，
因此在A处发现P的方位角为北偏东30°.
用双曲线解决实际问题的基本步骤
第一步(建系)：建立适当的坐标系；
第二步(求方程)：求出双曲线的标准方程；
第三步(还原)：根据双曲线的方程及定义解决实际应用问题(注意实际意义).
对点练5.如图，某绿色蔬菜种植基地在A处，现要把此处生产的蔬菜沿道路AA1或AA2运送到农贸市场A1A2A3A4中去，已知｜AA1｜＝10 km，｜AA2｜＝15 km，∠A1AA2＝60°，能否在农贸市场中确定一条界线，使位于界线一侧的点沿道路AA1运送蔬菜较近，而另一侧的点沿道路AA2运送蔬菜较近？如果能，说出这条界线是一条什么曲线，并求出该曲线的方程.
解：以A1A2所在直线为x轴，以A1A2的中垂线为y轴建立平面直角坐标系xOy，如图所示.
在△AA1A2中，由余弦定理可得｜A1A2｜2＝｜AA1｜2＋｜AA2｜2－2｜AA1｜｜AA2｜cos 60°＝175，
可得｜A1A2｜＝5.设M是边界上任一点，则满足｜MA1｜＋｜AA1｜＝｜AA2｜＋｜MA2｜，
所以｜MA1｜－｜MA2｜＝｜AA2｜－｜AA1｜＝15－10＝5＜5＝｜A1A2｜.
由双曲线定义可知，点M所在的界线是以A1，A2为焦点的双曲线靠近A2的一支，并且在农贸市场A1A2A3A4内的部分.
由a＝，c＝，可得b2＝c2－a2＝－＝，
所以双曲线方程为－＝1(x＞0)，即－＝1(x＞0).
任务再现 1.双曲线的定义及应用.2.双曲线的标准方程.3.双曲线的实际应用
方法提炼 待定系数法、分类讨论法、定义法、转化与化归思想
易错警示 忽略双曲线成立的必要条件及双曲线焦点位置的判断
1.在双曲线的标准方程中，若a＝6，b＝8，则标准方程是( )
A.－＝1
B.－＝1
C.－＝1
D.－＝1或－＝1
答案：D
解析：应分焦点在x轴上和焦点在y轴上两种情况进行讨论，显然D选项符合要求.故选D.
2.(多选题)已知方程＋＝1表示曲线C，则下列判断正确的是( )
A.当1＜t＜4时，曲线C表示椭圆
B.当t＞4或t＜1时，曲线C表示双曲线
C.若曲线C表示焦点在x轴上的椭圆，则1＜t＜
D.若曲线C表示焦点在y轴上的双曲线，则t＞4
答案：BCD
解析：由4－t＝t－1，得t＝，此时方程＋＝1表示圆，故A错误；由双曲线的定义可知，当(4－t)(t－1)＜0，即t＜1或t＞4时，方程＋＝1表示双曲线，故B正确；由椭圆的定义可知，当椭圆焦点在x轴上时，满足4－t＞t－1＞0，解得1＜t＜，故C正确；当曲线C表示焦点在y轴上的双曲线时，满足解得t＞4，故D正确.故选BCD.
3.若双曲线－＝1上的点P到一个焦点的距离为11，则它到另一个焦点的距离为( )
A.1或21 B.14或36
C.2 D.21
答案：D
解析：设双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，不妨设｜PF1｜＝11，根据双曲线的定义知｜｜PF1｜－｜PF2｜｜＝2a＝10，所以｜PF2｜＝1或｜PF2｜＝21，而1＜c－a＝7－5＝2，所以｜PF2｜＝1舍去，所以点P到另一个焦点的距离为21.故选D.
4.以椭圆＋＝1的焦点为焦点，且过点(2，)的双曲线的标准方程为 .
答案：－＝1
解析：由椭圆的标准方程可知，椭圆的焦点在x轴上.设双曲线的标准方程为－＝1(a＞0，b＞0).根据题意得(舍去)，所以双曲线的标准方程为－＝1.
课时分层评价15 双曲线及其标准方程
(时间：60分钟 满分：110分)
(1—9，每小题5分，共45分)
1.在平面直角坐标系xOy中，已知点F1(－5，0)，F2(5，0)，动点P满足｜PF1｜－｜PF2｜＝8，则动点P的轨迹是( )
A.椭圆 B.一条射线
C.双曲线 D.双曲线的一支
答案：D
解析：因为F1(－5，0)，F2(5，0)，所以｜F1F2｜＝10，若动点P满足｜｜PF1｜－｜PF2｜｜＝8＜｜F1F2｜＝10，则动点P的轨迹是以F1，F2为焦点的双曲线.而题目中动点P只满足｜PF1｜－｜PF2｜＝8，有｜PF1｜＞｜PF2｜，所以动点P的轨迹是以F1，F2为焦点的双曲线的右支.故选D.
2.已知双曲线＋＝1，焦点在y轴上，若焦距为4，则a等于( )
A. B.5
C.7 D.
答案：D
解析：根据题意可知，双曲线的标准方程为－＝1.由其焦距为4，得c＝2，则有c2＝2－a＋3－a＝4，解得a＝.故选D.
3.已知A，B两地相距800 m，在A地听到炮弹爆炸声比在B地晚2 s，且声速为340 m/s，则炮弹爆炸点的轨迹是( )
A.椭圆 B.双曲线
C.双曲线的一支 D.抛物线
答案：C
解析：设炮弹爆炸点为点P，由题意可得｜PA｜－｜PB｜＝340×2＝680＜800＝｜AB｜，所以炮弹爆炸点的轨迹是双曲线的一支.故选C.
4.(多选题)若双曲线－＝1上的点到一个焦点的距离为12，则到另一个焦点的距离为( )
A.2 B.7
C.17 D.22
答案：AD
解析：设双曲线－＝1的左、右焦点分别为F1，F2，则a＝5，b＝3，c＝，设P为双曲线上一点，不妨令｜PF1｜＝12(12＞a＋c＝5＋)，所以点P可能在左支，也可能在右支，由｜｜PF1｜－｜PF2｜｜＝2a＝10，得｜12－｜PF2｜｜＝10，所以｜PF2｜为22或2.所以点P到另一个焦点的距离是22或2.故选AD.
5.已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)，F1，F2为其两个焦点，若过焦点F1的直线与双曲线的同一支相交，且所得弦长｜AB｜＝m，则△ABF2的周长为( )
A.4a B.4a－m
C.4a＋2m D.4a－2m
答案：C
解析：由题意可知｜AF2｜＞｜AF1｜，｜BF2｜＞｜BF1｜，由双曲线的定义，知｜AF2｜－｜AF1｜＝2a，｜BF2｜－｜BF1｜＝2a，所以｜AF2｜＋｜BF2｜＝(｜AF1｜＋｜BF1｜)＋4a＝m＋4a，于是△ABF2的周长l＝｜AF2｜＋｜BF2｜＋｜AB｜＝4a＋2m.故选C.
6.已知双曲线－＝1上一点P到左焦点F1的距离为10，则PF1的中点N到坐标原点O的距离为( )
A.3或7 B.6或14
C.3 D.7
答案：A
解析：设F2是双曲线的右焦点，连接ON(图略)，ON是△PF1F2的中位线，所以｜ON｜＝｜PF2｜，因为｜｜PF1｜－｜PF2｜｜＝4，｜PF1｜＝10，所以｜PF2｜＝6或14，所以｜ON｜＝｜PF2｜＝3或7.故选A.
7.已知点A(0，2)，B(0，－2)，C(3，2)，若动点M(x，y)满足｜MA｜＋｜AC｜＝｜MB｜＋｜BC｜，则点M的轨迹方程为 .
答案：y2－＝1(y≤－1)
解析：因为｜MA｜＋｜AC｜＝｜MB｜＋｜BC｜，即｜MA｜＋3＝｜MB｜＋，所以｜MA｜－｜MB｜＝2.故点M(x，y)的轨迹是以A(0，2)，B(0，－2)为焦点，2a＝2的双曲线的下支.此时a＝1，c＝2，b2＝c2－a2＝3.故点M的轨迹方程为y2－＝1(y≤－1).
8.若焦点在x轴上的双曲线经过点P(4，－3)，且Q(0，5)与两焦点的连线互相垂直，则此双曲线的标准方程为 .
答案：－＝1
解析：设焦点为F1(－c，0)，F2(c，0)(c＞0)，则由QF1⊥QF2，得·＝－1，所以·＝－1，所以c＝5.设双曲线方程为－＝1(a＞0，b＞0)，因为双曲线过点P(4，－3)，所以－＝1，又因为c2＝a2＋b2＝25，所以a2＝16，b2＝9.所以双曲线的标准方程为－＝1.
9.(双空题)设P是双曲线x2－＝1的右支上的动点，F为双曲线的右焦点，已知A(3，1)，B(3，6)，则｜PA｜＋｜PF｜的最小值为 ；｜PB｜＋｜PF｜的最小值为 .
答案：－2
解析：设双曲线的另一焦点为F'，则有F'(－2，0)，F(2，0)，连接AF'(图略)，易知点A在双曲线内，点B在双曲线外，则｜PA｜＋｜PF｜＝｜PA｜＋(｜PF'｜－2)≥｜AF'｜－2＝－2；｜PB｜＋｜PF｜≥｜BF｜＝.
10.(13分)已知方程kx2＋y2＝4，其中k为实数，对于不同范围的k值，分别指出方程所表示的曲线类型.
解：①当k＝0时，y＝±2，表示两条与x轴平行的直线；
②当k＝1时，方程为x2＋y2＝4，表示圆心在原点，半径为2的圆；
③当k＜0时，方程为－＝1，表示焦点在y轴上的双曲线；
④当0＜k＜1时，方程为＋＝1，表示焦点在x轴上的椭圆；
⑤当k＞1时，方程为＋＝1，表示焦点在y轴上的椭圆.
(11—13，每小题5分，共15分)
11.双曲线C：－＝1＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，A为双曲线C左支上一点，直线AF2与双曲线C的右支交于点B，且＝15，∠F1AF2＝，则＋＝( )
A. B.26
C.25 D.23
答案：B
解析：由题意知｜AF2｜－｜AF1｜＝｜BF1｜－｜BF2｜＝2a＝10.令｜BF2｜＝x，则｜AF1｜＝x＋15－10＝x＋5，｜BF1｜＝x＋10，△ABF1中，如图所示，＝15，∠F1AF2＝，则cos∠F1AF2＝＝，所以＝，则x＝3，故｜AF1｜＝8，则｜AF2｜＝18，所以＋＝26.故选B.
12.(多选题)已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)过点(3，)和点(，0)，下列选项正确的是( )
A.C的标准方程为－y2＝1
B.C与椭圆＋＝1有共同的焦点
C.曲线x2＋(y－2)2＝4过C的一个焦点
D.设P为C的右支上任一点，F1，F2为焦点，△PF1F2的内切圆过点(，0)
答案：AD
解析：由题意得双曲线方程为－y2＝1，a＝，b＝1，c＝2，焦点分别为(±2，0).故A正确，B、C错误；设△PF1F2的内切圆与x轴切于A点，则｜PF1｜－｜PF2｜＝｜F1A｜－｜AF2｜，即A点在双曲线右支上，所以A(，0)，故D正确.故选AD.
13.已知F1，F2分别为双曲线－＝1的左、右焦点，P(3，1)为双曲线内一点，点A在双曲线的右支上，则｜AP｜＋｜AF2｜的最小值为 .
答案：－2
解析：因为｜AP｜＋｜AF2｜＝｜AP｜＋｜AF1｜－2，所以要求｜AP｜＋｜AF2｜的最小值，只需求｜AP｜＋｜AF1｜的最小值.如图所示.
连接F1P交双曲线的右支于点A0.当点A位于点A0处时，｜AP｜＋｜AF1｜最小，最小值为｜PF1｜＝＝.故｜AP｜＋｜AF2｜的最小值为－2.
14.(15分)如图，某野生保护区监测中心设置在点O处，正西、正东、正北处有3个监测点A，B，C，且｜OA｜＝｜OB｜＝｜OC｜＝30 km，一名野生动物观察员在保护区遇险，发出求救信号，3个监测点均收到求救信号，A点接收到信号的时间比B点接收到信号的时间早 s.(注：信号每秒传播V0 km)
(1)求观察员所有可能出现的位置的轨迹方程；
(2)若C点信号失灵，现立即以C为圆心进行“圆形”红外扫描，为保证有救援希望，扫描半径r至少是多少？
解：(1)设观察员可能出现的位置为点P(x，y)，由题意，得｜PB｜－｜PA｜＝×V0＝40＜｜AB｜＝60，故点P的轨迹为以A，B为焦点的双曲线的左支，设双曲线的方程为－＝1(a＞0，b＞0，x≤－a)，又2a＝40，2c＝60，所以b2＝c2－a2＝500，故所求轨迹方程为－＝1(x≤－20).
(2)设轨迹上一点为M(x，y)，
则｜MC｜＝＝，
又－＝1，所以x2＝y2＋400，
所以｜MC｜＝
＝≥20，
当且仅当y＝时，｜MC｜取得最小值20，故扫描半径r至少是20 km.
15.(5分)从某个角度观察篮球(如图①)，可以得到一个对称的平面图形.如图②，篮球的外轮形状为圆O，将篮球表面的粘合线看成坐标轴和双曲线的一部分，若坐标轴和双曲线与圆O的交点将圆O的周长八等分，且AB＝BC＝CD＝2，视AD所在直线为x轴，则双曲线的标准方程为 .
答案：x2－＝1
解析：设所求双曲线方程为－＝1(a＞0，b＞0)，因为AB＝BC＝CD＝2，则点C的坐标为(1，0)，将其代入双曲线方程，得a＝1，又坐标轴和双曲线与圆O的交点将圆O的周长八等分，所以点在双曲线上，得－＝1，则b2＝，故所求双曲线的标准方程为x2－＝1.
16.(17分)已知△OFQ的面积为2，且·＝m，其中O为坐标原点.
(1)设 ＜m＜4，求与的夹角θ的正切值的取值范围；
(2)设以O为中心，F为其中一个焦点的双曲线经过点Q，如图所示，｜｜＝c，m＝c2，当｜｜取得最小值时，求此双曲线的标准方程.
解：(1)因为
所以tan θ＝.
又＜m＜4，
所以1＜tan θ＜4，
即tan θ的取值范围为(1，4).
(2)设双曲线的标准方程为－＝1(a＞0，b＞0)，Q(x1，y1)，则＝(x1－c，y1)，
所以S△OFQ＝｜｜·｜y1｜＝2，
则y1＝±.
又·＝m，
即(c，0)·(x1－c，y1)＝c2，
解得x1＝c，
所以｜｜＝＝≥ ＝2，当且仅当c＝4时取等号，｜｜最小为2，
这时Q的坐标为(，)或(，－).
因此
于是所求双曲线的标准方程为－＝1.
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2.1 双曲线及其标准方程
第二章 §2 双曲线
学习目标
1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过程，培 养数学抽象的核心素养.
2.掌握双曲线的标准方程及其求法，提升数学运算的核心
素养.
3.会利用双曲线的定义和标准方程解决较简单的问题，提升 逻辑推理、数学运算的核心素养.
4.了解双曲线的简单应用.
任务一 双曲线的定义
问题导思
问题1.把椭圆定义中的“距离之和”改为“距离之差”，那么点的轨迹会怎么样？
提示：准备实验(可以找三名同学在教师指导下操作)，取
一条拉链，拉开它的一部分，在拉开的两边上各选择一个
点，分别固定在点F1，F2上，点F1到点F2的距离为2c(c＞
0).把笔尖放在拉链开口的咬合处M，点M到点F1的距离与点M到点F2的距离之差等于2a(c＞a＞0).随着拉链逐渐拉开或者闭拢，笔尖就画出一条曲线，同理可画出另一支.(如图)显然所画的曲线不是椭圆，而是两条相同的曲线，只是位置不同，其原因都是应用了“到两定点的距离之差｜MF1｜－｜MF2｜，或｜MF2｜－｜MF1｜是同一个常数”这个条件.
问题2.在上述过程中，我们在其中的一段拉链上截取一段小于｜F1F2｜，如果截取的长度等于｜F1F2｜，其轨迹还是上述图形吗？
提示：不是，是以F1，F2为端点的两条射线.
新知构建
双曲线的定义
定义 平面内到两个定点F1，F2的__________________等于常数(大于零且小于｜F1F2｜)的点的集合(或轨迹)叫作双曲线
焦点 两个______________叫作双曲线的焦点
焦距 两焦点间的______｜F1F2｜叫作双曲线的焦距
集合语言 P＝{M｜______________________________，0＜2a＜｜F1F2｜}
距离之差的绝对值
定点F1，F2
距离
｜｜MF1｜－｜MF2｜｜＝2a
微提醒
(1)常数要小于两个定点的距离.(2)如果没有绝对值，点的轨迹表示双曲线的一支.(3)当2a＝｜F1F2｜时，动点的轨迹是以F1，F2为端点的两条方向相反的射线(包括端点).(4)当2a＞｜F1F2｜时，动点的轨迹不存在.(5)当2a＝0时，动点轨迹为线段F1F2的垂直平分线.
典例
1
√
√
规律方法
判断点的轨迹是否为双曲线时，依据是双曲线的定义成立的充要条件.
√
对点练1.(1)已知M(－2，0)，N(2，0)，｜PM｜－｜PN｜＝4，则动点P的轨迹是
A.线段 B.双曲线左支
C.一条射线 D.双曲线右支
因为M(－2，0)，N(2，0)，于是有｜PM｜－｜PN｜＝4＝｜MN｜，所以动点P的轨迹是一条射线.故选C.
√
(2)与圆x2＋y2＝1及圆x2＋y2－8x＋12＝0都外切的圆P的圆心在
A.一个椭圆上 B.一个圆上
C.一条直线上 D.双曲线的一支上
由x2＋y2－8x＋12＝0，得(x－4)2＋y2＝4，作出两方程所对应曲线，如图所示：设圆P的半径为r，因为圆P与圆O和圆M都外切，所以｜PM｜＝r＋2，｜PO｜＝r＋1，则｜PM｜－｜PO｜＝1＜4，所以根据双曲线定义知点P在以O，M为焦点的双曲线的左支上.故选D.
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任务二 双曲线的标准方程
问题导思
问题3.仿照求椭圆标准方程的方法，根据双曲线的定义，如何选择恰当的平面直角坐标系来求双曲线的标准方程？
提示：观察我们画出的双曲线，发现它也具有对称性，
而且直线F1F2是它的一条对称轴，所以以直线F1F2为x
轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标
系，则焦点F1，F2的坐标分别为(－c，0)，(c，0)，焦距
为2c，c＞0.
设P(x，y)是双曲线上任意一点，则根据双曲线的定义可得｜｜PF1｜－
｜PF2｜｜＝2a，即｜PF1｜－｜PF2｜＝±2a，
新知构建
双曲线的标准方程
焦点位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上
图形
焦点位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上
标准方程
焦点 ________________________ ________________________
a，b，c的关系 b2＝________
F1(－c，0)，F2(c，0)
F1(0，－c)，F2(0，c)
c2－a2
微提醒
(1)若x2项的系数为正，则焦点在x轴上；若y2项的系数为正，则焦点在y轴上.(2)a与b没有大小关系；a，b，c的关系满足c2＝a2＋b2.
典例
2
规律方法
1.求双曲线标准方程的两个关注点
规律方法
典例
3
规律方法
规律方法
3.已知方程所代表的曲线，求参数的取值范围时，应先将方程转化为所对应曲线的标准方程的形式，再根据方程中参数取值的要求，建立不等式(组)求解参数的取值范围.
√
对点练3.在方程mx2－my2＝3n中，若mn＜0，则该方程表示
A.焦点在x轴上的椭圆
B.焦点在x轴上的双曲线
C.焦点在y轴上的椭圆
D.焦点在y轴上的双曲线
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任务三 双曲线定义的应用
典例
4
规律方法
双曲线的定义的应用
1.已知双曲线上一点的坐标，可以求得该点到某一焦点的距离，进而根据定义求该点到另一焦点的距离.
2.双曲线中与焦点三角形有关的问题可以根据定义结合余弦定理、勾股定理或三角形面积公式等知识进行运算，在运算中要注意整体思想和一些变形技巧的灵活运用.
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任务四 双曲线的实际应用
(链教材P63例2)某区域有三个救援中心(记A，B，C)，A在B的正东方向，相距6千米，C在B的北偏西30°方向，相距4千米，某一时刻，A接收到P的求救信号，由于B，C两地比A距P远，在此4秒后，B，C两个救援中心才同时接收到这一信号.已知该信号的传播速度为1千米/秒，求在A处发现P的方位角.
解：如图所示，以直线AB为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系.
典例
5
规律方法
用双曲线解决实际问题的基本步骤
第一步(建系)：建立适当的坐标系；
第二步(求方程)：求出双曲线的标准方程；
第三步(还原)：根据双曲线的方程及定义解决实际应用问题(注意实际意义).
对点练5.如图，某绿色蔬菜种植基地在A处，现要把此处
生产的蔬菜沿道路AA1或AA2运送到农贸市场A1A2A3A4中
去，已知｜AA1｜＝10 km，｜AA2｜＝15 km，∠A1AA2＝
60°，能否在农贸市场中确定一条界线，使位于界线一侧
的点沿道路AA1运送蔬菜较近，而另一侧的点沿道路AA2运
送蔬菜较近？如果能，说出这条界线是一条什么曲线，并求出该曲线的
方程.
解：以A1A2所在直线为x轴，以A1A2的中垂线为y轴建立平面直角坐标系xOy，如图所示.
课堂小结
任务再现 1.双曲线的定义及应用.2.双曲线的标准方程.3.双曲线的实际应用
方法提炼 待定系数法、分类讨论法、定义法、转化与化归思想
易错警示 忽略双曲线成立的必要条件及双曲线焦点位置的判断
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随堂评价
√
应分焦点在x轴上和焦点在y轴上两种情况进行讨论，显然D选项符合要求.故选D.
√
√
√
√
设双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，不妨设｜PF1｜＝11，根据双曲线的定义知｜｜PF1｜－｜PF2｜｜＝2a＝10，所以｜PF2｜＝1或
｜PF2｜＝21，而1＜c－a＝7－5＝2，所以｜PF2｜＝1舍去，所以点P到另一个焦点的距离为21.故选D.
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课时分层评价
√
1.在平面直角坐标系xOy中，已知点F1(－5，0)，F2(5，0)，动点P满足
｜PF1｜－｜PF2｜＝8，则动点P的轨迹是
A.椭圆 B.一条射线
C.双曲线 D.双曲线的一支
因为F1(－5，0)，F2(5，0)，所以｜F1F2｜＝10，若动点P满足｜｜PF1｜－｜PF2｜｜＝8＜｜F1F2｜＝10，则动点P的轨迹是以F1，F2为焦点的双曲线.而题目中动点P只满足｜PF1｜－｜PF2｜＝8，有｜PF1｜＞｜PF2｜，所以动点P的轨迹是以F1，F2为焦点的双曲线的右支.故选D.
√
√
3.已知A，B两地相距800 m，在A地听到炮弹爆炸声比在B地晚2 s，且声速为340 m/s，则炮弹爆炸点的轨迹是
A.椭圆 B.双曲线
C.双曲线的一支 D.抛物线
设炮弹爆炸点为点P，由题意可得｜PA｜－｜PB｜＝340×2＝680＜800＝｜AB｜，所以炮弹爆炸点的轨迹是双曲线的一支.故选C.
√
√
√
由题意可知｜AF2｜＞｜AF1｜，｜BF2｜＞｜BF1｜，由双曲线的定义，知｜AF2｜－｜AF1｜＝2a，｜BF2｜－｜BF1｜＝2a，所以｜AF2｜＋｜BF2｜＝(｜AF1｜＋｜BF1｜)＋4a＝m＋4a，于是△ABF2的周长l＝｜AF2｜＋｜BF2｜＋｜AB｜＝4a＋2m.故选C.
√
7.已知点A(0，2)，B(0，－2)，C(3，2)，若动点M(x，y)满足｜MA｜＋
｜AC｜＝｜MB｜＋｜BC｜，则点M的轨迹方程为 .
√
√
√
15.(5分)从某个角度观察篮球(如图①)，可以得到一个对称的平面图形.如图②，篮球的外轮形状为圆O，将篮球表面的粘合线看成坐标轴和双曲线的一部分，若坐标轴和双曲线与圆O的交点将圆O的周长八等分，且AB＝
BC＝CD＝2，视AD所在直线为x轴，则双曲线的标准方程为 .
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