(共86张PPT)
1.1 椭圆及其标准方程
第二章 §1 椭圆
学习目标
1.了解圆锥曲线的实际背景，感受圆锥曲线在刻画现实世界 和解决实际问题中的作用，培养数学抽象的核心素养.
2.掌握椭圆的定义、标准方程，提升逻辑推理的核心素养.
3.会求椭圆的标准方程，提升数学运算的核心素养.
任务一 椭圆的定义
问题导思
问题1.取一条定长的细绳，把它的两端都固定在画板的同一点，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，这时笔尖(动点)画出的轨迹是一个圆.如果把细绳的两端拉开一段距离，分别固定在画板上的F1，F2两点，当绳长大于F1和F2的距离时，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，画出的轨迹是什么曲线？在这一过程中，移动的笔尖(动点)满足的几何条件是什么？
提示：椭圆，笔尖到两个定点的距离的和等于常数.
新知构建
椭圆的定义
定义 平面内到两个定点F1，F2的距离______________________________的点的集合(或轨迹)叫作椭圆
焦点 两个______________叫作椭圆的焦点
焦距 两个焦点间的________________叫作椭圆的焦距
集合语言 Q＝{P｜__________________________，2a＞｜F1F2｜}
之和等于常数(大于｜F1F2｜)
定点F1，F2
距离｜F1F2｜
｜PF1｜＋｜PF2｜＝2a
微提醒
(1)椭圆上的点到两焦点距离之和为定值.(2)定值必须大于两定点的距离.(3)当距离的和等于｜F1F2｜时，点的轨迹是线段.(4)当距离的和小于｜F1F2｜时，点的轨迹不存在.
(多选题)在平面上，动点P满足以下条件，其中P的轨迹为椭圆的是
A.P到两定点(0，2)，(0，－2)的距离之和为4
B.P到两定点(0，2)，(0，－2)的距离之和为6
C.P到两定点(3，0)，(－3，0)的距离之和为6
D.P到两定点(3，0)，(－3，0)的距离之和为8
典例
1
√
√
因为两定点(0，2)，(0，－2)的距离为4＜6，所以选项A不符合椭圆定义，选项B符合椭圆定义；因为两定点(3，0)，(－3，0)的距离为6＜8，所以选项C不符合椭圆定义，选项D符合椭圆定义.故选BD.
规律方法
在椭圆定义中，要求常数必须大于两定点F1，F2之间的距离，这是椭圆定义中非常重要的一个条件.如果这个常数等于两定点F1，F2之间的距离，动点的轨迹将是一条线段；如果这个常数小于两定点F1，F2之间的距离，动点的轨迹将不存在.因此在根据椭圆定义判断动点的轨迹时，务必注意这一隐含的条件.
√
(2)若平面内一点P到两定点F1(－6，0)，F2(6，0)的距离之和等于12，则点P的轨迹是 .
线段F1F2
由题意知｜PF1｜＋｜PF2｜＝12，且｜F1F2｜＝12，故｜PF1｜＋
｜PF2｜＝｜F1F2｜＝12，所以点P的轨迹是线段F1F2.
返回
任务二 椭圆的标准方程
问题导思
问题2.观察椭圆的形状，你认为怎样建立坐标系可能使所得的椭圆方程形式简单？
提示：观察我们画出的图形，可以
发现椭圆具有对称性，而且过两个
焦点的直线是它的对称轴，所以我
们以直线F1F2为x轴，线段F1F2的垂
直平分线为y轴，建立平面直角坐标
系Oxy，如图①所示；也可以以直线F1F2为y轴，线段F1F2的垂直平分线为x轴，建立平面直角坐标系Oxy，如图②所示.
问题3.考虑到椭圆的对称性，我们以直线F1F2为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，如图，设｜F1F2｜＝2c，试利用椭圆定义推导椭圆方程.
提示：设P(x，y)是椭圆上任意一点，根据椭圆的定义可知点P满足｜PF1｜＋｜PF2｜＝2a.
新知构建
椭圆的标准方程
焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上
标准方程 _____________________ _________________________
焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上
图形
焦点坐标 ________________________ ________________________
a，b，c的关系 ____________
F1(－c，0)，F2(c，0)
F1(0，－c)，F2(0，c)
b2＝a2－c2
微提醒
典例
2
法二：设椭圆的方程为mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，m≠n).
规律方法
确定椭圆标准方程的方法
1.定位：是指确定在坐标系中的相对位置，在中心为原点的前提下，确定焦点位于哪条坐标轴上，以判断方程的形式.
2.定量：是指确定a2，b2的具体数值，常根据条件列方程(组)
求解.
典例
3
√
(2)若方程x2－3my2＝1表示焦点在x轴上的椭圆，则实数m的取值范围是
.
规律方法
规律方法
√
√
返回
任务三 点与椭圆的位置关系
问题导思
问题5.类比点与圆的位置关系，探究点与椭圆的位置关系时，如何确定点与椭圆的位置关系？
提示：将点的坐标代入椭圆的方程，看方程是否成立，即方程两边的大小关系.
新知构建
典例
4
√
规律方法
点与椭圆的位置关系的判断方法
1.定义法；
2.方程法.
(1，5)
返回
任务四 椭圆定义的应用
典例
5
规律方法
1.焦点三角形的概念
如图所示，设P是椭圆上一点，F1，F2为椭圆的焦点，当点P，F1，F2不在同一条直线上时，它们构成一个三角形——焦点三
角形.
规律方法
2.关于椭圆的焦点三角形问题，可结合椭圆的定义列出｜PF1｜＋｜PF2｜＝2a，利用这个关系式转化求解，所以回归定义是求解椭圆的焦点三角形问题的常用方法.在求解过程中要灵活运用勾股定理、正弦定理、余弦定理等.
规律方法
角度2 定义法求椭圆的轨迹(方程)
(1)已知B，C是两个定点，｜BC｜＝8，且△ABC的周长等于18，求这个三角形的顶点A的轨迹方程.
解：以过B，C两点的直线为x轴，线段BC的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系Oxy，如图所示，
由｜BC｜＝8，可知点B(－4，0)，C(4，0)，
由｜AB｜＋｜AC｜＋｜BC｜＝18，｜BC｜＝8，得｜AB｜＋｜AC｜＝10，
典例
6
规律方法
定义法求椭圆的轨迹(方程)
用定义法求椭圆方程的思路是先观察、分析已知条件，看所求动点轨迹是否符合椭圆的定义，若符合椭圆的定义，则用待定系数法求解即可，但注意要检验是否有要删除的点.
课堂小结
任务再现 1.椭圆的定义.2.椭圆的标准方程.3.点与椭圆的位置关系.4.椭圆定义的应用
方法提炼 定义法、待定系数法、转化与化归思想
易错警示 忽视椭圆定义中a，b，c的关系；混淆焦点在两个坐标轴上椭圆的标准方程；求参数范围时，忽视焦点所在的坐标轴而致错
返回
随堂评价
√
1.设F1，F2为定点，｜F1F2｜＝6，动点P满足｜PF1｜＋｜PF2｜＝6，则动点P的轨迹是
A.椭圆 B.直线
C.圆 D.线段
因为｜PF1｜＋｜PF2｜＝6＝｜F1F2｜，所以动点P的轨迹是线段.故
选D.
√
由定义｜PF1｜＋｜PF2｜＝8，知｜PF2｜＝6.故选B.
√
4.(开放题)在平面直角坐标系xOy中，已知菱形ABCD的边长为2，一个内角为60°，顶点A，B，C，D均在坐标轴上，以A，C为焦点的椭圆Γ经过
B，D两点，请写出一个这样的Γ的标准方程： .
返回
课时分层评价
√
√
√
√
√
椭圆焦点在x轴上，所以a2＝10－m，b2＝m－2.又c＝2，所以(10－m)－(m－2)＝4，所以m＝4.故选A.
√
由题意可知，a＝5，b＝4，则c＝3，又｜PF1｜＋｜PF2｜＝10，
｜PF1｜＝4｜PF2｜，所以｜PF1｜＝8，｜PF2｜＝2，且｜F1F2｜＝6，则6＋2＝8，即P，F1，F2三点共线，不构成三角形.故选D.
√
7.椭圆8x2＋3y2＝24的焦点坐标为 .
8
根据椭圆的对称性及｜PQ｜＝｜F1F2｜可以得到四边形PF1QF2为对角线相等的平行四边形，所以四边形PF1QF2为矩形.设｜PF1｜＝m，则
｜PF2｜＝2a－｜PF1｜＝8－m，则｜PF1｜2＋｜PF2｜2＝m2＋(8－m)2＝2m2＋64－16m＝｜F1F2｜2＝4c2＝4(a2－b2)＝48，所以m(8－m)＝8，所以四边形PF1QF2的面积为｜PF1｜×｜PF2｜＝m(8－m)＝8.
5
易知B为椭圆的一个焦点，设椭圆的另一个焦点为B'，则B'(0，1)，如图所示，连接PB'，AB'，根据椭圆的定义得｜PB｜＋｜PB'｜＝2a＝4，所以｜PB｜＝4－｜PB'｜，因此｜PA｜＋｜PB｜＝｜PA｜＋(4－｜PB'｜)＝4＋｜PA｜－｜PB'｜≤4＋｜AB'｜＝4＋1＝5，当且仅当点P在AB'的延长线上时，等号成立，所以｜PA｜＋｜PB｜的最大值为5.
√
√
√
12.已知△ABC的底边长为12，其中点B(－6，0)，C(6，0)，其他两边
AB，AC上的中线之和为30，则△ABC的重心G的轨迹方程为____________
.
(x≠±10)
(3)设P是该椭圆上的一个动点，求△PBF1的周长的最大值.
解：因为｜PF1｜＋｜PB｜＝4－｜PF2｜＋｜PB｜≤4＋｜BF2｜，
所以△PBF1的周长≤4＋｜BF2｜＋｜BF1｜＝8，
所以当点P位于直线BF2与椭圆的交点处时，△PBF1的周长最大，最大值为8.
√
如图所示，由椭圆及圆的方程可知两圆圆心分别为椭圆的两个焦点，由椭圆的定义知｜PA｜＋｜PB｜＝2a＝10，连接PA，PB，分别与左、右两圆相交于M，N两点，设r为两圆的半径，此时｜PM｜＋｜PN｜最小，最小值为｜PA｜＋｜PB｜－2r＝8.延长PA，PB，分别与左、右两圆相交于M'，N'两点，此时｜PM｜＋｜PN｜最大，最大值为｜PA｜＋｜PB｜＋2r＝12，即最小值和最大值分别为8，12.故选C.
返回§1 椭圆
1.1 椭圆及其标准方程
学习目标 1.了解圆锥曲线的实际背景，感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用，培养数学抽象的核心素养. 2.掌握椭圆的定义、标准方程，提升逻辑推理的核心素养. 3.会求椭圆的标准方程，提升数学运算的核心素养.
任务一 椭圆的定义
问题1.取一条定长的细绳，把它的两端都固定在画板的同一点，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，这时笔尖(动点)画出的轨迹是一个圆.如果把细绳的两端拉开一段距离，分别固定在画板上的F1，F2两点，当绳长大于F1和F2的距离时，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，画出的轨迹是什么曲线？在这一过程中，移动的笔尖(动点)满足的几何条件是什么？
提示：椭圆，笔尖到两个定点的距离的和等于常数.
椭圆的定义
定义 平面内到两个定点F1，F2的距离之和等于常数(大于｜F1F2｜)的点的集合(或轨迹)叫作椭圆
焦点 两个定点F1，F2叫作椭圆的焦点
焦距 两个焦点间的距离｜F1F2｜叫作椭圆的焦距
集合语言 Q＝{P｜｜PF1｜＋｜PF2｜＝2a，2a＞｜F1F2｜}
[微提醒] (1)椭圆上的点到两焦点距离之和为定值.(2)定值必须大于两定点的距离.(3)当距离的和等于｜F1F2｜时，点的轨迹是线段.(4)当距离的和小于｜F1F2｜时，点的轨迹不存在.
(多选题)在平面上，动点P满足以下条件，其中P的轨迹为椭圆的是( )
A.P到两定点(0，2)，(0，－2)的距离之和为4
B.P到两定点(0，2)，(0，－2)的距离之和为6
C.P到两定点(3，0)，(－3，0)的距离之和为6
D.P到两定点(3，0)，(－3，0)的距离之和为8
答案：BD
解析：因为两定点(0，2)，(0，－2)的距离为4＜6，所以选项A不符合椭圆定义，选项B符合椭圆定义；因为两定点(3，0)，(－3，0)的距离为6＜8，所以选项C不符合椭圆定义，选项D符合椭圆定义.故选BD.
在椭圆定义中，要求常数必须大于两定点F1，F2之间的距离，这是椭圆定义中非常重要的一个条件.如果这个常数等于两定点F1，F2之间的距离，动点的轨迹将是一条线段；如果这个常数小于两定点F1，F2之间的距离，动点的轨迹将不存在.因此在根据椭圆定义判断动点的轨迹时，务必注意这一隐含的条件.
对点练1.(1)设P(x，y)满足＋＝10，则P点的轨迹为( )
A.圆 B.椭圆
C.线段 D.不存在
(2)若平面内一点P到两定点F1(－6，0)，F2(6，0)的距离之和等于12，则点P的轨迹是 .
答案：(1)B (2)线段F1F2
解析：(1)因为＋＝10表示P(x，y)到定点F1(0，－4)，F2(0，4)的距离之和为10，即｜PF1｜＋｜PF2｜＝10＞｜F1F2｜＝8，所以P点的轨迹为椭圆.故选B.
(2)由题意知｜PF1｜＋｜PF2｜＝12，且｜F1F2｜＝12，故｜PF1｜＋｜PF2｜＝｜F1F2｜＝12，所以点P的轨迹是线段F1F2.
任务二 椭圆的标准方程
问题2.观察椭圆的形状，你认为怎样建立坐标系可能使所得的椭圆方程形式简单？
提示：观察我们画出的图形，可以发现椭圆具有对称性，而且过两个焦点的直线是它的对称轴，所以我们以直线F1F2为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系Oxy，如图①所示；也可以以直线F1F2为y轴，线段F1F2的垂直平分线为x轴，建立平面直角坐标系Oxy，如图②所示.
问题3.考虑到椭圆的对称性，我们以直线F1F2为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，如图，设｜F1F2｜＝2c，试利用椭圆定义推导椭圆方程.
提示：设P(x，y)是椭圆上任意一点，根据椭圆的定义可知点P满足｜PF1｜＋｜PF2｜＝2a.
因为｜PF1｜＝，｜PF2｜＝，所以＋＝2a，即＝2a－.两边平方、整理，得a2－cx＝a，上式两边再平方、整理，得(a2－c2)x2＋a2y2＝a2(a2－c2)，即＋＝1，将b2＝a2－c2代入上式，得＋＝1(a＞b＞0).
问题4.如图，如果椭圆的焦点在y轴上，其焦点分别为F1(0，－c)，F2(0，c)，a，b的意义同上，那么椭圆的方程是什么？
提示：＋＝1(a＞b＞0).
椭圆的标准方程
焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上
标准方程 ＋＝1(a＞b＞0) ＋＝1(a＞b＞0)
焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上
图形
焦点坐标 F1(－c，0)，F2(c，0) F1(0，－c)，F2(0，c)
a，b，c的关系 b2＝a2－c2
[微提醒] (1)椭圆上的点到两焦点的距离的和为2a.(2)x2项和y2项谁的分母大，焦点就在谁的轴上.(3)椭圆上任意一点的坐标都是方程＋＝1(a＞b＞0)的解；以方程＋＝1(a＞b＞0)的解为坐标的点都在椭圆上.
角度1 求椭圆的标准方程
(链教材P51例2)写出适合下列条件的椭圆的标准方程：
(1)焦点坐标为(－3，0)和(3，0)，椭圆上任一点到两个焦点的距离之和为10；
(2)焦点坐标为(0，－2)和(0，2)，且经过点(3，2)；
(3)(一题多解)经过点P，Q.
解：(1)因为椭圆的焦点在x轴上，所以可设它的标准方程为＋＝1(a＞b＞0).
根据椭圆的定义知2a＝10，所以a＝5.
又因为c＝3，所以b2＝a2－c2＝25－9＝16.
所以椭圆的标准方程为＋＝1.
(2)因为椭圆的焦点在y轴上，所以可设它的标准方程为＋＝1(a＞b＞0).
根据椭圆的定义知2a＝＋＝5＋3＝8，
所以a＝4.
又因为c＝2，所以b2＝a2－c2＝16－4＝12.
所以椭圆的标准方程为＋＝1.
(3)法一：①当椭圆焦点在x轴上时，
可设椭圆的标准方程为＋＝1(a＞b＞0).
由题意，有
由a＞b＞0，知不合题意，故舍去；
②当椭圆焦点在y轴上时，可设椭圆的标准方程为
＋＝1(a＞b＞0).
由题意，有
所以所求椭圆的标准方程为＋＝1.
法二：设椭圆的方程为mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，m≠n).
则
所以所求椭圆的方程为5x2＋4y2＝1，
所以椭圆的标准方程为＋＝1.
确定椭圆标准方程的方法
1.定位：是指确定在坐标系中的相对位置，在中心为原点的前提下，确定焦点位于哪条坐标轴上，以判断方程的形式.
2.定量：是指确定a2，b2的具体数值，常根据条件列方程(组)求解.
对点练2.写出适合下列条件的椭圆的标准方程：
(1)经过两点(2，－)，；
(2)过点(，－)，且与椭圆＋＝1有相同的焦点.
解：(1)设椭圆的方程为mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，m≠n).
将两点(2，－)，代入，
得
所以所求椭圆的标准方程为＋＝1.
(2)因为所求椭圆与椭圆＋＝1的焦点相同，所以其焦点在y轴上，且c2＝25－9＝16.
设所求椭圆的标准方程为＋＝1(a＞b＞0).
因为c2＝16，且c2＝a2－b2，所以a2－b2＝16.①
又点(，－)在椭圆上，所以＋＝1，即＋＝1.②
由①②得b2＝4，a2＝20，
所以所求椭圆的标准方程为＋＝1.
角度2 椭圆标准方程的理解
(1)若方程＋＝1表示椭圆，则实数m的取值范围是( )
A.(－9，25) B.(－9，8)∪(8，25)
C.(8，25) D.(8，＋∞)
(2)若方程x2－3my2＝1表示焦点在x轴上的椭圆，则实数m的取值范围是 .
答案：(1)B (2)(－∞，－)
解析：(1)依题意有解得－9＜m＜8或8＜m＜25，即实数m的取值范围是(－9，8)∪(8，25).故选B.
(2)由题意知m≠0，将椭圆方程化为＋＝1，
依题意有解得m＜－，
故实数m的取值范围是(－∞，－).
根据椭圆方程求参数的取值范围
1.给出方程＋＝1，其表示椭圆的条件是其表示焦点在x轴上的椭圆的条件是m＞n＞0，其表示焦点在y轴上的椭圆的条件是n＞m＞0.
2.若给出椭圆方程Ax2＋By2＝C(ABC≠0)，则应首先将该方程转化为椭圆的标准方程的形式＋＝1，再研究其焦点的位置等情况.
对点练3.(多选题)已知曲线C：＋＝1，则( )
A.当m＝8时，C是圆
B.当m＝10时，C是焦距为4的椭圆
C.当C是焦点在x轴上的椭圆时，5＜m＜8
D.当C是焦点在y轴上的椭圆时，8＜m＜11
答案：AB
解析：对于A，当m＝8时，曲线C的方程为x2＋y2＝3；此时曲线为圆，故A正确；对于B，当m＝10时，曲线C的方程为＋y2＝1，此时曲线为椭圆且椭圆C的焦距为2＝4，故B正确；对于C，若曲线C是焦点在x轴上的椭圆，则解得8＜m＜11，故C错误；对于D，若曲线C是焦点在y轴上的椭圆，则解得5＜m＜8，故D错误.故选AB.
任务三 点与椭圆的位置关系
问题5.类比点与圆的位置关系，探究点与椭圆的位置关系时，如何确定点与椭圆的位置关系？
提示：将点的坐标代入椭圆的方程，看方程是否成立，即方程两边的大小关系.
点与椭圆的位置关系
1.定义法
｜PF1｜＋｜PF2｜＜2a 点P在椭圆内部；
｜PF1｜＋｜PF2｜＝2a 点P在椭圆上；
｜PF1｜＋｜PF2｜＞2a 点P在椭圆外部.
2.方程法
点P(x0，y0)在椭圆外 ＋＞1；
点P(x0，y0)在椭圆内 ＋＜1；
点P(x0，y0)在椭圆上 ＋＝1.
已知直线mx＋ny－5＝0与圆x2＋y2＝5没有公共点，则点P(m，n)与椭圆＋＝1的位置关系是( )
A.点在椭圆内 B.点在椭圆外
C.点在椭圆上 D.点不确定
答案：A
解析：因为直线mx＋ny－5＝0与圆x2＋y2＝5没有公共点，所以＞，即m2＋n2＜5，所以m2＜5，n2＜5.所以＋＜＋＝＜1，所以点P(m，n)在椭圆内部.故选A.
点与椭圆的位置关系的判断方法
1.定义法；
2.方程法.
对点练4.若点P(0，1)在焦点在x轴上的椭圆＋＝1的内部，则实数m的取值范围是 .
答案：(1，5)
解析：由题意知＋＜1，所以m＞1，又椭圆的焦点在x轴上，所以0＜m＜5，故m的取值范围是(1，5).
任务四 椭圆定义的应用
角度1 椭圆中的焦点三角形问题
已知椭圆＋＝1中，点P是椭圆上一点，F1，F2是椭圆的焦点，且∠PF1F2＝120°，求△PF1F2的面积.
解：由＋＝1，
可知a＝2，b＝，
所以c＝＝1，
从而｜F1F2｜＝2c＝2.
在△PF1F2中，由余弦定理得｜PF2｜2＝｜PF1｜2＋｜F1F2｜2－2｜PF1｜｜F1F2｜cos ∠PF1F2，
即｜PF2｜2＝｜PF1｜2＋4＋2｜PF1｜. ①
由椭圆定义得｜PF1｜＋｜PF2｜＝2a＝4. ②
由①②联立可得｜PF1｜＝.
所以＝｜PF1｜｜F1F2｜sin ∠PF1F2＝××2×＝.
[变式探究]
(变条件、变设问)本例中方程改为“＋＝1(a＞b＞0)”，且“∠PF1F2＝120°”改为“∠F1PF2＝120°”，若△PF1F2的面积为，求b的值.
解：由∠F1PF2＝120°，△PF1F2的面积为，可得｜PF1｜｜PF2｜·sin ∠F1PF2＝｜PF1｜·｜PF2｜＝，所以｜PF1｜｜PF2｜＝4.
根据椭圆的定义可得｜PF1｜＋｜PF2｜＝2a，再利用余弦定理可得4c2＝｜PF1｜2＋｜PF2｜2－2｜PF1｜｜PF2｜cos 120°＝(｜PF1｜＋｜PF2｜)2－｜PF1｜·｜PF2｜＝4a2－4，
所以b2＝1，即b＝1.
1.焦点三角形的概念
如图所示，设P是椭圆上一点，F1，F2为椭圆的焦点，当点P，F1，F2不在同一条直线上时，它们构成一个三角形——焦点三角形.
2.关于椭圆的焦点三角形问题，可结合椭圆的定义列出｜PF1｜＋｜PF2｜＝2a，利用这个关系式转化求解，所以回归定义是求解椭圆的焦点三角形问题的常用方法.在求解过程中要灵活运用勾股定理、正弦定理、余弦定理等.
3.焦点三角形的常用公式
(1)焦点三角形的周长L＝2a＋2c.
(2)在△PF1F2中，由余弦定理可得｜F1F2｜2＝｜PF1｜2＋｜PF2｜2－2｜PF1｜｜PF2｜cos θ.
(3)焦点三角形的面积＝｜PF1｜｜PF2｜·sin θ＝b2tan .(选择题、填空题可直接应用此公式求解)
对点练5.已知椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆E上，∠F1PF2＝2θ.
(1)求△F1PF2的面积S；
(2)研究△PF1F2的内角∠F1PF2的变化规律.
解：(1)如图所示，由椭圆的定义，可得｜PF1｜＋｜PF2｜＝2a.
由余弦定理，可得
｜F1F2｜2＝｜PF1｜2＋｜PF2｜2－2｜PF1｜·｜PF2｜·cos 2θ＝(｜PF1｜＋｜PF2｜)2－2·｜PF1｜·｜PF2｜－2｜PF1｜·｜PF2｜·cos 2θ＝4a2－2｜PF1｜·｜PF2｜·(1＋cos 2θ)＝4c2，
所以｜PF1｜·｜PF2｜＝.
所以S＝｜PF1｜·｜PF2｜·sin 2θ＝··sin 2θ＝·b2＝b2tan θ.
(2)因为2θ为△PF1F2的内角，
所以2θ∈(0，π)，即θ∈.
令点P顺时针方向由点A向点B运动，则△PF1F2的边F1F2不变，但F1F2上的高逐渐增大，故S逐渐增大，从而tan θ逐渐变大，由θ∈可知，θ也逐渐变大.由此可见，点P的纵坐标的绝对值越大，2θ也越大，当点P与点B重合时，∠F1PF2达到最大值.
角度2 定义法求椭圆的轨迹(方程)
(1)已知B，C是两个定点，｜BC｜＝8，且△ABC的周长等于18，求这个三角形的顶点A的轨迹方程.
(2)已知圆M：(x＋1)2＋y2＝1，圆N：(x－1)2＋y2＝9，动圆P与圆M外切并且与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C.求C的方程.
解：(1)以过B，C两点的直线为x轴，线段BC的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系Oxy，如图所示，
由｜BC｜＝8，可知点B(－4，0)，C(4，0)，
由｜AB｜＋｜AC｜＋｜BC｜＝18，｜BC｜＝8，得｜AB｜＋｜AC｜＝10，
因此，点A的轨迹是以B，C为焦点的椭圆，
这个椭圆上的点与两焦点的距离之和为2a＝10，c＝4，但点A不在x轴上.
由a＝5，c＝4，得b2＝a2－c2＝25－16＝9，
所以点A的轨迹方程为＋＝1(y≠0).
(2)由已知得圆M的圆心为M(－1，0)，半径r1＝1；
圆N的圆心为N(1，0)，半径r2＝3.
设圆P的圆心为P(x，y)，半径为R.
动圆P与圆M外切并且与圆N内切，
所以｜PM｜＋｜PN｜＝(R＋r1)＋(r2－R)＝r1＋r2＝4＞｜MN｜.
由椭圆定义可知，曲线C是以M，N为左、右焦点的椭圆(点(－2，0)除外)，且a＝2，c＝1，b＝，
所以其方程为＋＝1(x≠－2).
定义法求椭圆的轨迹(方程)
用定义法求椭圆方程的思路是先观察、分析已知条件，看所求动点轨迹是否符合椭圆的定义，若符合椭圆的定义，则用待定系数法求解即可，但注意要检验是否有要删除的点.
对点练6.已知△ABC的顶点A，B的坐标分别为(－4，0)，(4，0)，C为动点，且满足sin B＋sin A＝sin C，求点C的轨迹.
解：由sin B＋sin A＝sin C，
可知b＋a＝c＝10(a，b，c分别为角A，B，C的对边)，
即｜AC｜＋｜BC｜＝10＞｜AB｜＝8，满足椭圆的定义.
令椭圆方程为＋＝1(a'＞b'＞0)，
则a'＝5，c'＝4 b'＝3，
则轨迹方程为＋＝1(x≠±5)，图形为椭圆(不含左、右顶点).
任务再现 1.椭圆的定义.2.椭圆的标准方程.3.点与椭圆的位置关系.4.椭圆定义的应用
方法提炼 定义法、待定系数法、转化与化归思想
易错警示 忽视椭圆定义中a，b，c的关系；混淆焦点在两个坐标轴上椭圆的标准方程；求参数范围时，忽视焦点所在的坐标轴而致错
1.设F1，F2为定点，｜F1F2｜＝6，动点P满足｜PF1｜＋｜PF2｜＝6，则动点P的轨迹是( )
A.椭圆 B.直线
C.圆 D.线段
答案：D
解析：因为｜PF1｜＋｜PF2｜＝6＝｜F1F2｜，所以动点P的轨迹是线段.故选D.
2.已知椭圆＋＝1上一点P，它到左焦点F1的距离为2，则它到右焦点F2的距离为( )
A.4 B.6
C. D.30
答案：B
解析：由定义｜PF1｜＋｜PF2｜＝8，知｜PF2｜＝6.故选B.
3.若方程＋＝1表示焦点在y轴上的椭圆，则实数m的取值范围是( )
A.－9＜m＜25 B.8＜m＜25
C.16＜m＜25 D.m＞8
答案：B
解析：由题意知解得8＜m＜25.故选B.
4.(开放题)在平面直角坐标系xOy中，已知菱形ABCD的边长为2，一个内角为60°，顶点A，B，C，D均在坐标轴上，以A，C为焦点的椭圆Γ经过B，D两点，请写出一个这样的Γ的标准方程： .
答案：＋y2＝1(答案不唯一)
解析：根据题意，顶点A，B，C，D均在坐标轴上，则该菱形对角线的交点为坐标原点.如图所示，假设A，C在x轴上，B，D在y轴上，∠BCD＝60°，由菱形的性质得∠BCA＝30°，又由菱形ABCD的边长为2，则OB＝1，BC＝2，OC＝，即b＝1，c＝，则a2＝b2＋c2＝4，故椭圆Γ一个标准方程为＋y2＝1(答案不唯一).
课时分层评价13 椭圆及其标准方程
(时间：60分钟 满分：110分)
(1—9，每小题5分，共45分)
1.已知椭圆C：＋＝1，点A(1，1)，则点A与椭圆C的位置关系是( )
A.点在椭圆上 B.点在椭圆内
C.点在椭圆外 D.无法判断
答案：B
解析：因为＋＝＜1，所以点A在椭圆C内部.故选B.
2.(多选题)对于曲线C：＋＝1，下面说法正确的是( )
A.曲线C不可能是椭圆
B.“1＜k＜4”是“曲线C是椭圆”的充分不必要条件
C.“曲线C是焦点在y轴上的椭圆”是“3＜k＜4”的必要不充分条件
D.“曲线C是焦点在x轴上的椭圆”是“1＜k＜2.5”的充要条件
答案：CD
解析：对于A，当1＜k＜4且k≠2.5时，曲线C是椭圆，故A错误；对于B，当k＝2.5时，4－k＝k－1，此时曲线C是圆，故B错误；对于C，若曲线C是焦点在y轴上的椭圆，则解得2.5＜k＜4，所以“曲线C是焦点在y轴上的椭圆”是“3＜k＜4”的必要不充分条件，故C正确；对于D，若曲线C是焦点在x轴上的椭圆，则解得1＜k＜2.5，故D正确.故选CD.
3.(2021·新高考Ⅰ卷)已知F1，F2是椭圆C：＋＝1的两个焦点，点M在C上，则｜MF1｜·｜MF2｜的最大值为( )
A.13 B.12
C.9 D.6
答案：C
解析：由椭圆C：＋＝1，得｜MF1｜＋｜MF2｜＝2×3＝6，则｜MF1｜·｜MF2｜≤＝32＝9，当且仅当｜MF1｜＝｜MF2｜＝3时等号成立.故选C.
4.已知椭圆＋＝1，焦点在x轴上，若焦距为4，则m等于( )
A.4 B.5
C.7 D.8
答案：A
解析：椭圆焦点在x轴上，所以a2＝10－m，b2＝m－2.又c＝2，所以(10－m)－(m－2)＝4，所以m＝4.故选A.
5.设P为椭圆＋＝1上一点，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，且｜PF1｜＝4｜PF2｜，则( )
A.△PF1F2为锐角三角形
B.△PF1F2为钝角三角形
C.△PF1F2为直角三角形
D.P，F1，F2三点不构成三角形
答案：D
解析：由题意可知，a＝5，b＝4，则c＝3，又｜PF1｜＋｜PF2｜＝10，｜PF1｜＝4｜PF2｜，所以｜PF1｜＝8，｜PF2｜＝2，且｜F1F2｜＝6，则6＋2＝8，即P，F1，F2三点共线，不构成三角形.故选D.
6.△ABC的两个顶点为A(－3，0)，B(3，0)，△ABC的周长为16，则顶点C的轨迹方程为( )
A.＋＝1(y≠0) B.＋＝1(y≠0)
C.＋＝1(y≠0) D.＋＝1(y≠0)
答案：A
解析：由题意知点C到A，B两点的距离之和为10＞6，故点C的轨迹为以A(－3，0)，B(3，0)为焦点的椭圆，故2a＝10，c＝3，b2＝a2－c2＝16，又△ABC中A，B，C三点不能共线，所以顶点C的轨迹方程为＋＝1(y≠0).故选A.
7.椭圆8x2＋3y2＝24的焦点坐标为 .
答案：(0，－)，(0，)
解析：因为椭圆方程可化为＋＝1，所以a2＝8，b2＝3，且焦点在y轴上，又c＝＝，所以其焦点坐标为(0，－)，(0，).
8.(2021·全国甲卷)已知F1，F2为椭圆C：＋＝1的两个焦点，P，Q为C上关于坐标原点对称的两点，且｜PQ｜＝｜F1F2｜，则四边形PF1QF2的面积为 .
答案：8
解析：根据椭圆的对称性及｜PQ｜＝｜F1F2｜可以得到四边形PF1QF2为对角线相等的平行四边形，所以四边形PF1QF2为矩形.设｜PF1｜＝m，则｜PF2｜＝2a－｜PF1｜＝8－m，则｜PF1｜2＋｜PF2｜2＝m2＋(8－m)2＝2m2＋64－16m＝｜F1F2｜2＝4c2＝4(a2－b2)＝48，所以m(8－m)＝8，所以四边形PF1QF2的面积为｜PF1｜×｜PF2｜＝m(8－m)＝8.
9.在平面直角坐标系xOy中，P是椭圆＋＝1上的一个动点，点A(1，1)，B(0，－1)，则｜PA｜＋｜PB｜的最大值为 .
答案：5
解析：易知B为椭圆的一个焦点，设椭圆的另一个焦点为B'，则B'(0，1)，如图所示，连接PB'，AB'，根据椭圆的定义得｜PB｜＋｜PB'｜＝2a＝4，所以｜PB｜＝4－｜PB'｜，因此｜PA｜＋｜PB｜＝｜PA｜＋(4－｜PB'｜)＝4＋｜PA｜－｜PB'｜≤4＋｜AB'｜＝4＋1＝5，当且仅当点P在AB'的延长线上时，等号成立，所以｜PA｜＋｜PB｜的最大值为5.
10.(13分)写出适合下列条件的椭圆的标准方程：
(1)b＝1，c＝，焦点在y轴上；
(2)a＝10，c＝6；
(3)经过点P(－2，0)，Q(0，2)两点；
(4)与椭圆＋＝1有相同的焦点且经过点(2，－).
解：(1)因为b＝1，c＝，所以a2＝b2＋c2＝16，
因为椭圆焦点在y轴上，
所以所求椭圆的标准方程为＋x2＝1.
(2)因为a＝10，c＝6，所以b2＝a2－c2＝100－36＝64，
因为椭圆焦点位置不确定，
所以所求椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1.
(3)由题意得P，Q分别是椭圆与坐标轴的交点，且椭圆的焦点在x轴上，
所以a＝2，b＝2，
所以所求椭圆的标准方程为＋＝1.
(4)设椭圆＋＝1的两个焦点为F1，F2，且焦点在x轴上，
因为c＝＝1，所以F1(－1，0)，F2(1，0)，
故设椭圆方程为＋＝1(a＞b＞0)，
由题意得(舍去).
所以所求椭圆的标准方程为＋＝1.
(11—13，每小题5分，共15分)
11.(多选题)设椭圆＋＝1的右焦点为F，直线y＝m(0＜m＜)与椭圆交于A，B两点，则( )
A.｜AF｜＋｜BF｜为定值
B.△ABF的周长的取值范围是[6，12]
C.当m＝时，△ABF为直角三角形
D.当m＝1时，△ABF的面积为
答案：ACD
解析：设椭圆的左焦点为F'，则｜AF'｜＝｜BF｜，所以｜AF｜＋｜BF｜＝｜AF｜＋｜AF'｜＝6为定值，故A正确；△ABF的周长为｜AB｜＋｜AF｜＋｜BF｜，因为｜AF｜＋｜BF｜为定值6，｜AB｜的取值范围是(0，6)，所以△ABF的周长的取值范围是(6，12)，故B错误；将y＝与椭圆方程联立，可解得A(－，)，B，又因为F(，0)，所以·＝＋＝0，所以AF⊥BF，所以△ABF为直角三角形，故C正确；将y＝1与椭圆方程联立，解得A(－，1)，B(，1)，所以S△ABF＝×2×1＝，故D正确.故选ACD.
12.已知△ABC的底边长为12，其中点B(－6，0)，C(6，0)，其他两边AB，AC上的中线之和为30，则△ABC的重心G的轨迹方程为 .
答案：＋＝1(x≠±10)
解析：设边AB，AC的中点分别为D，E，故｜CD｜＋｜BE｜＝30，所以｜CG｜＋｜BG｜＝20＞12＝｜BC｜，所以点G的轨迹为椭圆，且其两个焦点分别为点B和C，所以轨迹方程为＋＝1(x≠±10).
13.在平面直角坐标系xOy中，已知△ABC的顶点A(－3，0)和C(3，0)，顶点B在椭圆＋＝1上，则＝ .
答案：
解析：由椭圆的方程得a＝5，b＝4，c＝3.则△ABC的顶点A(－3，0)和C(3，0)分别为椭圆的左、右焦点，顶点B在椭圆＋＝1上，所以｜BC｜＋｜BA｜＝2a＝10，所以由正弦定理可知＝＝＝.
14.(15分)设F1，F2分别为椭圆＋y2＝1的左、右焦点，B为椭圆上的点且坐标为(0，－1).
(1)若P是该椭圆上的一个动点，求｜PF1｜·｜PF2｜的最大值；
(2)若C为椭圆上异于B的一点，且＝λ，求λ的值；
(3)设P是该椭圆上的一个动点，求△PBF1的周长的最大值.
解：(1)因为椭圆的方程为＋y2＝1，
所以a＝2，b＝1，c＝，
即｜F1F2｜＝2，又因为｜PF1｜＋｜PF2｜＝2a＝4，
所以｜PF1｜·｜PF2｜≤＝()2＝4，当且仅当｜PF1｜＝｜PF2｜＝2时取“＝”，
所以｜PF1｜·｜PF2｜的最大值为4.
(2)设C(x0，y0)，B(0，－1)，F1(－，0)，
由＝λ，得x0＝，y0＝－.
又＋＝1，所以＋＝1，
化简得λ2＋6λ－7＝0，
解得λ＝－7或λ＝1，
因为点C异于点B，所以λ＝－7.
(3)因为｜PF1｜＋｜PB｜＝4－｜PF2｜＋｜PB｜≤4＋｜BF2｜，
所以△PBF1的周长≤4＋｜BF2｜＋｜BF1｜＝8，
所以当点P位于直线BF2与椭圆的交点处时，△PBF1的周长最大，最大值为8.
15.(5分)设P是椭圆＋＝1上一点，M，N分别是圆A：(x＋4)2＋y2＝1和圆B：(x－4)2＋y2＝1上的点，则｜PM｜＋｜PN｜的最小值、最大值分别为( )
A.9，12 B.8，11
C.8，12 D.10，12
答案：C
解析：如图所示，由椭圆及圆的方程可知两圆圆心分别为椭圆的两个焦点，由椭圆的定义知｜PA｜＋｜PB｜＝2a＝10，连接PA，PB，分别与左、右两圆相交于M，N两点，设r为两圆的半径，此时｜PM｜＋｜PN｜最小，最小值为｜PA｜＋｜PB｜－2r＝8.延长PA，PB，分别与左、右两圆相交于M'，N'两点，此时｜PM｜＋｜PN｜最大，最大值为｜PA｜＋｜PB｜＋2r＝12，即最小值和最大值分别为8，12.故选C.
16.(17分)某海域有A，B两个岛屿，B岛在A岛正东4海里处，经多年观察研究发现，某种鱼群洄游的路线是曲线C，有渔船在距A岛、B岛距离和为8海里处发现鱼群，以A，B所在直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，如图所示.
(1)求曲线C的标准方程；
(2)某日，研究人员在A，B两岛同时用声纳探测仪发出不同频率的探测信号(传播速度相同)，A，B两岛收到鱼群在P处反射信号的时间比为5∶3，你能否确定P处的位置(即点P的坐标)？
解：(1)由题意知曲线C是以A，B为焦点且2a＝8的椭圆，又2c＝4，
则c＝2，a＝4，故b＝2，
所以曲线C的标准方程为＋＝1.
(2)由于A，B两岛收到鱼群反射信号的时间比为5∶3，因此设鱼群此时距A，B两岛的距离比为5∶3，即鱼群分别距A，B两岛的距离为5海里和3海里，设P(x，y)，B(2，0)，由｜PB｜＝3，得＝3，
所以
所以点P的坐标为(2，3)或(2，－3).
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