(共72张PPT)
1.2 椭圆的简单几何性质
第二章 §1 椭圆
学习目标
1.掌握椭圆的范围、对称性、顶点、离心率等简单的几何性 质，了解椭圆标准方程中a，b，c的几何意义，培养直观想 象、数学运算的核心素养.
2.能利用椭圆的简单几何性质求标准方程及了解椭圆的简单 应用，提升数学运算的核心素养.
任务一 椭圆的简单几何性质
问题导思
新知构建
椭圆的简单几何性质
焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上
图形
标准方程
对称性 对称轴：__________，对称中心：________
范围 __________________________ －b≤x≤b，且－a≤y≤a
x轴和y轴
(0，0)
－a≤x≤a，且－b≤y≤b
焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上
顶点 ________________________________________________ ________________________________________________
轴长 短轴长＝____，长轴长＝____
焦点 ________________________ ________________________
焦距 ｜F1F2｜＝____
离心率
A1(－a，0)，A2(a，0)，B1(0，－b)，B2(0，b)
A1(0，－a)，A2(0，a)，B1(－b，0)，B2(b，0)
2b
2a
F1(－c，0)，F2(c，0)
F1(0，－c)，F2(0，c)
2c
微提醒
典例
1
规律方法
确定椭圆几何性质的基本步骤
典例
2
规律方法
规律方法
2.在椭圆的简单几何性质中，轴长、离心率不能确定椭圆的焦点位置，因此仅依据这些条件求所要确定的椭圆的标准方程可能有两个.
返回
任务二 求椭圆的离心率
典例
3
规律方法
√
返回
任务三 相关点法求轨迹方程
典例
4
规律方法
1.直接法求轨迹方程
求轨迹方程时，没有坐标系时要先建立坐标系，设轨迹上任一点的坐标为(x，y)，轨迹方程就是x，y之间的等式，关键是找到等量关系，然后用x，y表示.
规律方法
2.相关点法求轨迹方程
有些问题中的动点轨迹是由另一动点按照某种规律运动而形成的，只要把所求动点的坐标“转移”到另一个动点在运动中所遵循的条件中去，即可解决问题，这种方法称为相关点法.
注意：相关点法求轨迹问题的四步曲为：设点、求关系式、代换、得方程.
典例
5
课堂小结
任务再现 1.椭圆的简单几何性质.2.由椭圆的几何性质求标准方程.3.求椭圆离心率的值或取值范围.4.相关点法求轨迹方程
方法提炼 分类讨论法、待定系数法、直接法、相关点法、方程法或不等式法
易错警示 忽略椭圆离心率的取值范围以及长轴长与a的关系
返回
随堂评价
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课时分层评价
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返回1.2 椭圆的简单几何性质
学习目标 1.掌握椭圆的范围、对称性、顶点、离心率等简单的几何性质，了解椭圆标准方程中a，b，c的几何意义，培养直观想象、数学运算的核心素养. 2.能利用椭圆的简单几何性质求标准方程及了解椭圆的简单应用，提升数学运算的核心素养.
任务一 椭圆的简单几何性质
问题1.如图所示，椭圆C的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)，你能根据方程和图象确定椭圆的边界吗？
提示：由方程＋＝1(a＞b＞0)可得椭圆C上的任意一点P(x，y)总满足≤1，≤1，即－a≤x≤a，－b≤y≤b，这说明椭圆C位于四条直线x＝－a，x＝a，y＝－b，y＝b所围成的矩形区域内.
问题2.如上图所示，椭圆具有怎样的对称性？如何通过椭圆方程加以说明？
提示：既关于坐标轴轴对称，又关于原点中心对称.若(x0，y0)是椭圆方程的一组解，即＋＝1，则(x0，－y0)，(－x0，y0)，(－x0，－y0)也是方程的解.
问题3.如上图所示，椭圆中有哪些特殊点？坐标是什么？
提示：在椭圆的标准方程中，当x＝0时，y＝±b；当y＝0时，x＝±a，所以(±a，0)，(0，±b)为特殊点.
问题4.扁平程度是椭圆的重要形状特征，观察图象，我们可以发现，不同椭圆的扁平程度不同，我们常用离心率e＝来刻画椭圆的扁平程度.请说明一下这个定量对椭圆的形状有何影响？
提示：题干图中，保持长半轴长a不变，随着短半轴长b的增大，即离心率e＝＝减小，椭圆就越接近于圆；随着短半轴长b的减小，即离心率e＝＝增大，椭圆就越扁.
椭圆的简单几何性质
焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上
图形
标准方程 ＋＝1(a＞b＞0) ＋＝1(a＞b＞0)
对称性 对称轴：x轴和y轴，对称中心：(0，0)
范围 －a≤x≤a，且－b≤y≤b －b≤x≤b，且－a≤y≤a
顶点 A1(－a，0)，A2(a，0)，B1(0，－b)，B2(0，b) A1(0，－a)，A2(0，a)，B1(－b，0)，B2(b，0)
轴长 短轴长＝2b，长轴长＝2a
焦点 F1(－c，0)，F2(c，0) F1(0，－c)，F2(0，c)
焦距 ｜F1F2｜＝2c
离心率 e＝(0＜e＜1)
[微提醒] (1)椭圆的焦点一定在它的长轴上.(2)椭圆上到中心的距离最小的点是短轴的两个端点，到中心的距离最大的点是长轴的两个端点.(3)椭圆上到焦点的距离最大和最小的点分别是长轴的两个端点，最大值为a＋c，最小值为a－c.(4)P为短轴端点时，∠F1PF2最大.(5)通径长为(通径是过焦点垂直于长轴的弦).(6)e＝＝.(7)离心率的范围为(0，1)，e越大，椭圆就越扁；e越小，椭圆就越接近于圆.
角度1 椭圆的简单几何性质
(链教材P54例4)已知椭圆C1：＋＝1，设椭圆C2与椭圆C1的长轴长、短轴长分别相等，且椭圆C2的焦点在y轴上.
(1)求椭圆C1的长半轴长、短半轴长、焦点坐标及离心率；
(2)写出椭圆C2的方程，并研究其几何性质.
解：(1)由椭圆C1：＋＝1，可得其长半轴长为10，短半轴长为8，
焦点坐标为(6，0)，(－6，0)，离心率e＝.
(2)椭圆C2：＋＝1.几何性质如下：
①范围：－8≤x≤8，－10≤y≤10；②对称性：对称轴：x轴，y轴；对称中心：原点；③顶点：长轴端点(0，10)，(0，－10)，长轴长为20，短轴端点(－8，0)，(8，0)，短轴长为16；④焦点：(0，6)，(0，－6)，焦距为12；⑤离心率：e＝.
确定椭圆几何性质的基本步骤
对点练1.设椭圆方程为mx2＋4y2＝4m(m＞0)，离心率为，试求椭圆的长轴长、短轴长、焦点坐标及顶点坐标.
解：椭圆方程可化为＋＝1.
①当0＜m＜4时，a＝2，b＝，c＝，
所以e＝＝＝，
所以m＝3，所以b＝，c＝1，
所以椭圆的长轴长和短轴长分别是4，2，焦点坐标为F1(－1，0)，F2(1，0)，顶点坐标为A1(－2，0)，A2(2，0)，B1(0，－)，B2(0，).
②当m＞4时，a＝，b＝2，
所以c＝，
所以e＝＝＝，解得m＝，
所以a＝，c＝，
所以椭圆的长轴长和短轴长分别为，4，焦点坐标为F1，F2，顶点坐标为A1(0，－)，A2，B1(－2，0)，B2(2，0).
角度2 由椭圆的简单性质求标准方程
(链教材P55例5)求适合下列条件的椭圆的标准方程：
(1)焦点在y轴上，a＝2，离心率e＝；
(2)一焦点坐标为(－3，0)，一顶点坐标为(0，5)；
(3)过点(3，0)，离心率e＝.
解：(1)由a＝2，e＝，得a2＝4，且＝，即c＝1，
所以b2＝a2－c2＝4－1＝3.
已知椭圆的焦点在y轴上，所以椭圆的标准方程为＋＝1.
(2)由椭圆的一个焦点坐标为(－3，0)，可知椭圆的焦点在x轴上，且c＝3.
又由一顶点坐标为(0，5)，可得b＝5，
所以a2＝b2＋c2＝25＋9＝34.
所以椭圆的标准方程为＋＝1.
(3)当椭圆的焦点在x轴上时，因为a＝3，e＝，所以c＝，从而b2＝a2－c2＝3，所以椭圆的标准方程为＋＝1；
当椭圆的焦点在y轴上时，因为b＝3，e＝，所以＝，所以a2＝27，所以椭圆的标准方程为＋＝1.
综上，椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1.
利用椭圆的几何性质求标准方程的思路
1.利用椭圆的几何性质求椭圆的标准方程时，通常采用待定系数法，其步骤是：
(1)确定焦点位置；
(2)设出相应椭圆的标准方程(对于焦点位置不确定的椭圆可能有两种标准方程)；
(3)根据已知条件构造关于参数的关系式，利用方程(组)求参数，列方程(组)时常用的关系式有b2＝a2－c2，e＝等，充分体现方程思想.
2.在椭圆的简单几何性质中，轴长、离心率不能确定椭圆的焦点位置，因此仅依据这些条件求所要确定的椭圆的标准方程可能有两个.
对点练2.求适合下列条件的椭圆的标准方程：
(1)焦距为8，离心率为0.8；
(2)长轴是短轴的3倍，且经过点(3，0).
解：(1)当焦点在x轴上，设方程为＋＝1(a＞b＞0).
由题意得c＝4，e＝，
所以a＝5，b＝3.
所以椭圆的标准方程为＋＝1.
当焦点在y轴上，同理可求得方程为＋＝1.
所以椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1.
(2)当焦点在x轴上，设方程为＋＝1(a＞b＞0).
因为椭圆过点(3，0)，所以a＝3，
又2a＝3×2b，所以b＝1.
所以椭圆的标准方程为＋y2＝1.
当焦点在y轴上，设方程为＋＝1(a＞b＞0).
因为椭圆过点(3，0)，所以b＝3.
又2a＝3×2b，所以a＝9.
所以椭圆的标准方程为＋＝1.
所以所求椭圆的标准方程为＋y2＝1或＋＝1.
任务二 求椭圆的离心率
设椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，P是C上的点，∠PF2F1＝75°，∠PF1F2＝45°，求C的离心率.
解：在△PF1F2中，因为∠PF1F2＝45°，∠PF2F1＝75°，所以∠F1PF2＝60°，设｜PF1｜＝m，｜PF2｜＝n，｜F1F2｜＝2c，m＋n＝2a，
则在△PF1F2中，有＝＝，
所以＝，所以e＝＝＝＝.
[变式探究]
(变条件)若将本例中“∠PF2F1＝75°，∠PF1F2＝45°”改为“C上存在点P，使∠F1PF2为钝角”，求C的离心率的取值范围.
解：由题意，若∠F1PF2为钝角，则c＞b，所以c2＞b2.又b2＝a2－c2，所以c2＞a2－c2，即2c2＞a2.所以e2＝＞，所以e＞，又0＜e＜1，
所以C的离心率的取值范围为.
求椭圆离心率及取值范围的两种方法
1.直接法：若已知a，c可直接利用e＝求解.若已知a，b或b，c可借助于a2＝b2＋c2求出c或a，再代入公式e＝求解.
2.解方程法或不等式法：若a，c的值不可求，则可根据条件建立a，b，c的关系式，借助于a2＝b2＋c2转化为关于a，c的齐次方程或不等式，再将方程或不等式两边同除以a的最高次幂，得到关于e的方程或不等式，即可求得e的值或取值范围.
对点练3.椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，过点F1作直线与椭圆相交，被椭圆截得的最短的弦MN的长为，若△MF2N的周长为20，则椭圆的离心率为( )
A. B.
C. D.
答案：D
解析：设椭圆的方程为＋＝1(a＞b＞0)，则由椭圆的定义，可得｜MF1｜＋｜MF2｜＝｜NF1｜＋｜NF2｜＝2a.由△MF2N的周长为20，可得4a＝20，即a＝5.令x＝－c，代入椭圆的方程，可得y＝±，即＝，解得b2＝9，所以c＝＝4，所以椭圆的离心率为e＝＝.故选D.
任务三 相关点法求轨迹方程
(链教材P56例7)已知在平面直角坐标系中，动点M到定点(－，0)的距离与它到定直线l：x＝－的距离之比为常数.
(1)求动点M的轨迹Q的方程；
(2)设点A，若P是(1)中轨迹Q上的动点，求线段PA的中点B的轨迹方程.
解：(1)设动点M(x，y)，
由已知可得 ＝，
平方、整理，得＋y2＝1，
即所求动点M的轨迹Q的方程为＋y2＝1.
(2)设点B的坐标为(x，y)，点P的坐标为(x0，y0)，
由
由点P在轨迹Q上，得＋＝1，
整理得＋4＝1，
所以线段PA的中点B的轨迹方程是＋＝1.
1.直接法求轨迹方程
求轨迹方程时，没有坐标系时要先建立坐标系，设轨迹上任一点的坐标为(x，y)，轨迹方程就是x，y之间的等式，关键是找到等量关系，然后用x，y表示.
2.相关点法求轨迹方程
有些问题中的动点轨迹是由另一动点按照某种规律运动而形成的，只要把所求动点的坐标“转移”到另一个动点在运动中所遵循的条件中去，即可解决问题，这种方法称为相关点法.
注意：相关点法求轨迹问题的四步曲为：设点、求关系式、代换、得方程.
对点练4.已知P是椭圆＋＝1上一动点，O为坐标原点，求线段OP的中点Q的轨迹方程.
解：设点Q的坐标为(x，y)，点P的坐标为(x0，y0)，
由Q是线段OP的中点知，x0＝2x，y0＝2y，
又＋＝1，所以＋＝1，即x2＋＝1，
所以点Q的轨迹方程为x2＋＝1.
[教材拓展3] 椭圆的第二、第三定义(源自于教材P58－B组T3、P84－阅读材料一)
(1)设椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，左、右准线方程分别为l1：x＝－，l2：x＝.如图，由椭圆上的动点P向l1，l2分别作垂线，垂足分别为N1，N2.椭圆的第二定义指出如下性质：椭圆的离心率e＝＝(a2－b2＝c2，c＞0).请利用椭圆的第二定义证明：焦半径公式＝a＋ex0，＝a－ex0.
(2)借助(1)中焦半径公式解决问题：已知A，B为椭圆＋＝1上两个不同的点，F为右焦点，＋＝6，若线段AB的垂直平分线交x轴于点T，求.
解：(1)证明：由e＝＝，
得＝e，＝e，
又＝x0－＝x0＋，
＝－x0，
所以＝e＝e＝a＋ex0，
＝e＝e＝a－ex0，
即＝a＋ex0，＝a－ex0.
(2)由题意，在椭圆＋＝1中，a＝4，c＝2，e＝，F.
设A，B，
则由焦半径公式，得＋＝＋＝6，所以x1＋x2＝4，
所以线段AB的中点为E.
设T，如图所示，
由题意知，直线AB与坐标轴不平行，且直线AB的斜率kAB＝，
所以线段AB的垂直平分线的斜率为－，
则线段AB的垂直平分线方程为y＝－＋.
代入T，得m－2＝
＝＝
＝－＝－，
解得m＝，所以＝2－＝.
任务再现 1.椭圆的简单几何性质.2.由椭圆的几何性质求标准方程.3.求椭圆离心率的值或取值范围.4.相关点法求轨迹方程
方法提炼 分类讨论法、待定系数法、直接法、相关点法、方程法或不等式法
易错警示 忽略椭圆离心率的取值范围以及长轴长与a的关系
1.(多选题)已知椭圆C：16x2＋4y2＝1，则下列结论正确的是( )
A.长轴长为 B.焦距为
C.焦点坐标为 D.离心率为
答案：CD
解析：由椭圆方程16x2＋4y2＝1化为标准方程可得＋＝1，所以a＝，b＝，c＝，所以长轴长为2a＝1，焦距为2c＝，焦点坐标为，离心率为e＝＝.故选CD.
2.已知椭圆的离心率为，焦点是(－3，0)和(3，0)，则该椭圆的方程为( )
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
答案：A
解析：由题意知c＝3，＝，则a＝6，所以b2＝a2－c2＝27，所以椭圆的方程为＋＝1.故选A.
3.若椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成一个正三角形，则该椭圆的离心率为( )
A. B.
C. D.
答案：B
解析：不妨设椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，B为椭圆的上顶点.依题意可知，△BF1F2是正三角形.如图所示，因为在Rt△OBF2中，｜OF2｜＝c，｜BF2｜＝a，∠OF2B＝60°，所以cos 60°＝＝，即椭圆的离心率e＝.故选B.
4.在圆x2＋y2＝4上任取一点P，过点P作x轴的垂线段PD，D为垂足，＝.当点P在圆上运动时，点M的轨迹方程是 .
答案：＋＝1
解析：设点M的坐标为(x，y)，点P的坐标为(x0，y0)，则点D的坐标为(x0，0).因为＝，即(x－x0，y)＝(0，y0)，所以因为点P在x2＋y2＝4上，所以＋＝4，所以x2＋＝4，所以点M的轨迹方程是＋＝1.
课时分层评价14 椭圆的简单几何性质
(时间：60分钟 满分：110分)
(1—9，每小题5分，共45分)
1.若椭圆的焦点在x轴上，长半轴长与短半轴长之和为10，焦距为4，则椭圆的方程为( )
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
答案：A
解析：由题意得c＝2，a＋b＝10，又a2＝b2＋c2，解得a＝6，b＝4.所以椭圆的方程为＋＝1.故选A.
2.若椭圆x2＋my2＝1的焦点在y轴上，长轴长是短轴长的2倍，则m的值为( )
A. B.2
C. D.4
答案：C
解析：椭圆x2＋my2＝1的标准方程为x2＋＝1.因为焦点在y轴上，且长轴长是短轴长的2倍，所以＝2，所以m＝.故选C.
3.曲线＋＝1与＋＝1(0＜k＜9)的关系是( )
A.有相等的焦距，相同的焦点
B.有相等的焦距，不同的焦点
C.有不等的焦距，不同的焦点
D.以上都不对
答案：B
解析：曲线＋＝1的焦距为2c＝8，而曲线＋＝1(0＜k＜9)表示的椭圆的焦距也是8，但焦点所在的坐标轴不同.故选B.
4.已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左顶点和右焦点分别为A，F，点P为椭圆外一点，线段PA，PF恰好均被椭圆平分，且与椭圆分别交于M，N两点，当｜MA｜＝｜MF｜时，椭圆的离心率为( )
A. B.
C. D.
答案：C
解析：如图所示，设P(x0，y0)，A(－a，0)，F(c，0)，因为｜MA｜＝｜MF｜，所以xM＝.又因为M为PA的中点，所以xM＝，则x0＝c，所以M，N.因为点M在椭圆上，代入椭圆方程得＝b2，因为MN∥x轴，所以b2＝，整理得3c2＋2ac－a2＝0，即3e2＋2e－1＝0，解得e＝或e＝－1(舍去).故选C.
5.(多选题)为使椭圆＋＝1的离心率为，则正数m的值可以是( )
A.1 B.
C. D.
答案：CD
解析：当0＜m＜2时，焦点在x轴上，此时a2＝2，b2＝m，所以c2＝a2－b2＝2－m，所以e2＝＝＝，解得m＝，符合题意；当m＞2时，焦点在y轴上，此时a2＝m，b2＝2，所以c2＝a2－b2＝m－2，所以e2＝＝＝，解得m＝，符合题意.故正数m的值可以是.故选CD.
6.椭圆是日常生活中常见的图形，在圆柱形的玻璃杯中盛半杯水，将杯体倾斜一个角度，水面的边界即是椭圆.现有一高度为12厘米，底面半径为3厘米的圆柱形玻璃杯，且杯中所盛水的体积恰为该玻璃杯容积的一半(玻璃厚度忽略不计)，在玻璃杯倾斜的过程中(杯中的水不能溢出)，杯中水面边界所形成的椭圆的离心率的取值范围是( )
A. B.
C. D.
答案：C
解析：当玻璃杯倾斜至杯中水刚好不溢出时，水面边界所形成椭圆的离心率最大，此时椭圆长轴长为＝6(厘米)，短轴长为6厘米，所以椭圆离心率e＝＝，所以e∈.故选C.
7.已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为，且过P(－5，4)，则椭圆的方程为 .
答案：＋＝1
解析：因为e＝＝，所以＝＝，所以5a2－5b2＝a2，即4a2＝5b2.设椭圆的标准方程为＋＝1(a＞0)，因为椭圆过点P(－5，4)，所以＋＝1，解得a2＝45.所以椭圆方程为＋＝1.
8.在平面直角坐标系中，椭圆C的中心为原点，焦点F1，F2在x轴上，离心率为.过F1的直线l交C于A，B两点，且△ABF2的周长为16，那么椭圆C的方程为 .
答案：＋＝1
解析：设椭圆方程为＋＝1(a＞b＞0)，由e＝，知＝，故＝.因为△ABF2的周长为｜AB｜＋｜BF2｜＋｜AF2｜＝(｜AF1｜＋｜AF2｜)＋(｜BF1｜＋｜BF2｜)＝4a＝16，所以a＝4，所以b2＝8，所以椭圆C的方程为＋＝1.
9.椭圆＋＝1(a＞b＞0)的两个焦点是F1，F2，若P为其上一点，且｜PF1｜＝5｜PF2｜，则此椭圆离心率的取值范围是 .
答案：
解析：由题意可知｜PF1｜＋｜PF2｜＝2a，｜PF1｜＝5｜PF2｜，则｜PF1｜＝，｜PF2｜＝，因为｜PF1｜－｜PF2｜≤｜F1F2｜，所以≤2c，e≥.又e＜1，所以椭圆离心率的取值范围是.
10.(13分)已知中心在坐标原点的椭圆，经过点A(2，3)，且点F(2，0)为其右焦点.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若P是(1)中所求椭圆上的动点，求PF的中点Q的轨迹方程.
解：(1)由题意，可设椭圆方程为＋＝1(a＞b＞0)，
若点F(2，0)为其右焦点，
则其左焦点为F'(－2，0)，
从而有
解得
又a2＝b2＋c2，所以b2＝12，
故椭圆的标准方程为＋＝1.
(2)设点P的坐标为(x0，y0)，点Q的坐标为(x，y)，
因为Q为PF的中点，
所以
又P是＋＝1上的动点，
所以＋＝1，
即点Q的轨迹方程是＋＝1.
(11—13，每小题5分，共15分)
11.如图，把椭圆＋＝1的长轴AB分成10等份，过每个分点作x轴的垂线分别交椭圆的上半部分于点P1，P2，…，P9，F是左焦点，则＋＋…＋＝( )
A.16 B.18
C.20 D.22
答案：B
解析：因为把椭圆＋＝1的长轴AB分成10等份，过每个分点作x轴的垂线分别交椭圆的上半部分于点P1，P2，…，P9，设椭圆的右焦点为F'，且a2＝4，可得a＝2，由椭圆的定义及椭圆的对称性，可得｜P1F｜＝｜P9F'｜，｜P2F｜＝｜P8F'｜，｜P3F｜＝｜P7F'｜，…，所以｜P1F｜＋｜P2F｜＋…＋｜P9F｜＝(｜P9F'｜＋｜P9F｜)＋(｜P8F'｜＋｜P8F｜)＋…＋(｜P5F'｜＋｜P5F｜)＝9a＝18.故选B.
12.(新角度)(多选题)阿基米德是古希腊数学家，他利用“逼近法”算出椭圆面积等于圆周率、椭圆的长半轴长、短半轴长三者的乘积.据此得某椭圆面积为6π，且两焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的标准方程可以为( )
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
答案：AD
解析：由题意可知又a2＝b2＋c2，解得a＝3，b＝2，c＝1，所以椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1.故选AD.
13.P是椭圆＋＝1(a＞b＞0)上的任意一点，F1，F2是它的两个焦点，O为坐标原点，有一动点Q满足＝＋，则动点Q的轨迹方程是 .
答案：＋＝1
解析：设Q(x，y)，因为＝＋，所以＝－＝，因为P是椭圆＋＝1上的任意一点，所以＋＝1，所以＋＝1.
14.(15分)设F1，F2分别是椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，过点F1的直线交椭圆E于A，B两点，｜AF1｜＝3｜F1B｜.
(1)若｜AB｜＝4，△ABF2的周长为16，求｜AF2｜；
(2)若cos ∠AF2B＝，求椭圆E的离心率.
解：(1)由｜AF1｜＝3｜F1B｜，｜AB｜＝4，
得｜AF1｜＝3，｜F1B｜＝1.
因为△ABF2的周长为16，
所以由椭圆定义可得4a＝16，｜AF1｜＋｜AF2｜＝2a＝8.
故｜AF2｜＝8－3＝5.
(2)设｜F1B｜＝k，则k＞0且｜AF1｜＝3k，｜AB｜＝4k.
由椭圆定义可得，｜AF2｜＝2a－3k，｜BF2｜＝2a－k.
在△ABF2中，由余弦定理可得｜AB｜2＝＋－2｜AF2｜·｜BF2｜·cos ∠AF2B，
即(4k)2＝(2a－3k)2＋(2a－k)2－(2a－3k)·(2a－k)，
化简可得(a＋k)(a－3k)＝0，而a＋k＞0，故a＝3k.
于是有｜AF2｜＝3k＝｜AF1｜，｜BF2｜＝5k.
因此｜BF2｜2＝｜F2A｜2＋｜AB｜2，可得F1A⊥F2A，
故△AF1F2为等腰直角三角形.
从而c＝a，
所以椭圆E的离心率e＝＝.
15.(5分)(新情境)油纸伞是中国传统工艺品，至今已有1 000多年的历史，为宣传和推广这一传统工艺，北京市文化宫开展了油纸伞文化艺术节活动，在本次活动中，某油纸伞撑开后摆放在户外展览场地上，如图所示，该伞伞沿是一个半径为2的圆，圆心到伞柄底端距离为2，当阳光与地面夹角为60°时，在地面形成了一个椭圆形影子，且伞柄底端正好位于该椭圆的长轴上，若该椭圆的离心率为e，则e2＝( )
A. B.7－2
C.3－2 D.3－5
答案：D
解析：因伞柄底端正好位于该椭圆的长轴上，由图可知，椭圆的短半轴长b＝2，在△ABC中，∠B＝60°，∠C＝45°，｜AC｜＝4，由正弦定理得＝ ＝ ＝ 2a＝ a＝＋，所以e2＝＝＝1－＝1－＝3－5.故选D.
16.(17分)如图，我区新城公园将在长34米，宽30米的矩形地块内开凿一个“挞圆”形水池，水池边缘由两个半椭圆＋＝1(x≤0)和＋＝1(x≥0)组成，其中a＞b＞9，“挞圆”内切于矩形(即“挞圆”与矩形各边均有且只有一个公共点).
(1)求“挞圆”的方程；
(2)在“挞圆”形水池内建一矩形网箱养殖观赏鱼，若该矩形网箱的一条边所在直线方程为y＝t(t∈(0，15))，求该网箱所占水面面积的最大值.
解：(1)由题意知b＝15，a＋9＝34，
解得a＝25，b＝15.
所以“挞圆”方程为＋＝1(x≤0)和＋＝1(x≥0).
(2)设P(x0，t)为矩形在第一象限内的顶点，Q(x1，t)为矩形在第二象限内的顶点，
则＋＝1，＋＝1，可得x1＝－x0.
所以内接矩形的面积S＝2t(x0－x1)＝2t×x0＝15×34×2··≤15×34＝510，
当且仅当＝时，S取最大值510.
所以网箱所占水面面积的最大值为510平方米.
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