2.2 双曲线的简单几何性质
学习目标 1.掌握双曲线的范围、对称性、顶点、渐近线、离心率等简单的几何性质，培养直观想象、数学运算的核心素养. 2.能利用双曲线的简单几何性质求标准方程及解决一些简单的实际问题，提升数学运算、数学建模的核心素养.
任务一 双曲线的简单几何性质
问题1.仿照椭圆的简单几何性质的讨论方法，根据双曲线C的标准方程－＝1(a＞0，b＞0)和图象(如图)，如何研究双曲线C的范围、对称性、顶点、离心率等性质？
提示：(1)范围：利用双曲线的方程求出它的范围，由方程－＝1可得＝1＋，所以双曲线C上的任意一点P(x，y)都满足≥1，y∈R，即x≥a或x≤－a，y∈R.因此，双曲线C在不等式x≤－a与x≥a所表示的区域内，即位于两条直线x＝－a和x＝a外侧的区域.
(2)对称性：－＝1(a＞0，b＞0)关于x轴、y轴和原点都对称.x轴、y轴是双曲线的对称轴，原点是对称中心，又称为双曲线的中心.
(3)顶点：双曲线与它的对称轴的交点，叫作双曲线的顶点.顶点是A1(－a，0)，A2(a，0)，只有两个.
(4)离心率：①定义：e＝.②e的范围：e＞1.③e的含义：因为c＞a＞0，所以可以看出e＞1，另外，注意到＝＝＝，说明e越趋近于1，则的值越小，因此双曲线的渐近线所夹的双曲线区域越狭窄.
问题2.如图，线段A1A2的长为2a，线段B1B2的长为2b.据此，你能发现双曲线的范围与矩形对角线y＝±x有什么关系？
提示：双曲线在第一象限内部分的方程为y＝·，它与y＝x的位置关系：在y＝x的下方.它与y＝x的位置的变化趋势：慢慢靠近.其他象限同理.
双曲线的简单几何性质
标准方程 －＝1(a＞0，b＞0) －＝1(a＞0，b＞0)
图形
性质 焦点 F1(－c，0)，F2(c，0) F1(0，－c)，F2(0，c)
焦距 ｜F1F2｜＝2c
范围 x≥a或x≤－a，y∈R y≥a或y≤－a，x∈R
对称性 对称轴：x轴、y轴；对称中心：坐标原点
顶点 (－a，0)，(a，0) (0，－a)，(0，a)
轴长 实轴长＝2a，虚轴长＝2b
渐近线 ±＝0或y＝±x ±＝0或y＝±x
离心率 e＝(e＞1)
[微提醒] (1)e＝＝.(2)双曲线的离心率刻画了双曲线的“开口”大小，e越大，开口越大.(3)写双曲线的渐近线方程要注意焦点所在轴的位置.(4)焦点到渐近线的距离为b.
角度1 双曲线的简单几何性质
(链教材P65例4，P67例5)求双曲线9y2－4x2＝－36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率、渐近线方程.
解：将9y2－4x2＝－36化为标准方程为－＝1，
所以a＝3，b＝2，c＝.
所以双曲线的顶点坐标为A1(－3，0)，A2(3，0)，焦点坐标为F1(－，0)，F2(，0)，
实轴长2a＝6，虚轴长2b＝4，
离心率e＝＝，
渐近线方程为y＝±x＝±x.
[变式探究]
(变条件)若将双曲线的方程变为nx2－my2＝mn(m＞0，n＞0)，求双曲线的实半轴长、虚半轴长、焦点坐标、离心率、顶点坐标和渐近线方程.
解：将方程nx2－my2＝mn(m＞0，n＞0)化为标准方程为－＝1(m＞0，n＞0)，
由此可得实半轴长a＝，虚半轴长b＝，c＝，
所以双曲线的焦点坐标为(，0)，(－，0)，
离心率e＝＝＝，
顶点坐标为(－，0)，(，0)，
所以渐近线方程为y＝±x，即y＝±x.
确定双曲线几何性质的基本步骤
对点练1.求双曲线25y2－16x2＝400的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程.
解：将方程25y2－16x2＝400化为标准方程为－＝1.
由此可得实半轴长a＝4，虚半轴长b＝5，c＝＝＝，
所以双曲线的焦点坐标为(0，－)，(0，)；
离心率e＝＝；渐近线方程为y＝±x.
角度2 利用双曲线的性质求标准方程
求适合下列条件的双曲线的标准方程：
(1)实轴长为16，离心率为；
(2)右焦点为(2，0)，右顶点为(，0)；
(3)过点(2，0)，与双曲线－＝1离心率相等.
解：(1)设双曲线的标准方程为－＝1或－＝1(a＞0，b＞0).
由题意知2a＝16，＝，c2＝a2＋b2，
解得c＝10，a＝8，b＝6，
所以所求双曲线的标准方程为－＝1或－＝1.
(2)设双曲线方程为－＝1(a＞0，b＞0).
由已知得a＝，c＝2，
所以b2＝c2－a2＝1.
所以所求双曲线的标准方程为－y2＝1.
(3)当所求双曲线的焦点在x轴上时，可设其方程为－＝λ(λ＞0)，将点(2，0)的坐标代入方程得λ＝，故所求双曲线的标准方程为－y2＝1；
当所求双曲线的焦点在y轴上时，可设其方程为－＝λ(λ＞0)，将点(2，0)的坐标代入方程得λ＝－＜0(舍去).
综上可知，所求双曲线的标准方程为－y2＝1.
利用双曲线的几何性质求双曲线标准方程的基本思路
1.根据双曲线的几何性质求双曲线的标准方程可按先定位，再定形的方法.但在这里要注意的是对双曲线几何性质的运用，如在定位方面，可能涉及双曲线的焦点、顶点的位置；在定形方面，要注意是否给出了离心率及渐近线方程.解题时，我们要充分利用这些几何性质.
2.设双曲线方程的技巧
(1)与双曲线－＝1共焦点的双曲线方程可设为－＝1(λ≠0，－b2＜λ＜a2).
(2)与双曲线－＝1具有相同渐近线的双曲线方程可设为－＝λ(λ≠0).
(3)渐近线方程为ax±by＝0的双曲线方程可设为a2x2－b2y2＝λ(λ≠0).
对点练2.求适合下列条件的双曲线的标准方程：
(1)焦点在x轴上，虚轴长为8，离心率为；
(2)两顶点间的距离是6，两焦点所连线段被两顶点和中心四等分；
(3)(一题多解)渐近线方程为y＝±x，且经过点A(2，－3).
解：(1)设所求双曲线的标准方程为－＝1(a＞0，b＞0)，则2b＝8，e＝＝，
从而b＝4，c＝a，代入c2＝a2＋b2，得a2＝9，
所以所求双曲线的标准方程为－＝1.
(2)由两顶点间的距离是6，得2a＝6，即a＝3.
由两焦点所连线段被两顶点和中心四等分，可得2c＝4a＝12，即c＝6，则b2＝c2－a2＝62－32＝27.
由于焦点所在的坐标轴不确定，所以所求双曲线的标准方程为－＝1或－＝1.
(3)法一：因为双曲线的渐近线方程为y＝±x.
当焦点在x轴上时，设所求双曲线的标准方程为－＝1(a＞0，b＞0)，则＝.①
因为点A(2，－3)在双曲线上，所以－＝1.②
①②联立，无解.
当焦点在y轴上时，设所求方程为－＝1(a＞0，b＞0)，则＝.③
因为点A(2，－3)在双曲线上，所以－＝1.④
联立③④，解得a2＝8，b2＝32.
所以所求双曲线的标准方程为－＝1.
法二：由双曲线的渐近线方程为y＝±x，可设双曲线方程为－y2＝λ(λ≠0)，
因为A(2，－3)在双曲线上，所以－(－3)2＝λ，即λ＝－8.
所以所求双曲线的标准方程为－＝1.
任务二 双曲线的渐近线与离心率问题
角度1 求双曲线离心率的值或取值范围
(1)已知F是双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的焦点，B是虚轴的一个端点，线段BF与双曲线交于点M，且点M恰是线段BF的中点，则双曲线的离心率为( )
A. B.
C.2 D.
(2)已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)，O为坐标原点，F1，F2为其左、右焦点，若左支上存在一点P，使得F2P的中点M满足｜OM｜＝c，则双曲线的离心率e的取值范围是 .
答案：(1)D (2)
解析：(1)不妨设F(－c，0)，B(0，b)，则M(－，).将点M坐标代入双曲线方程－＝1，得－＝1，则＝5，即＝.故选D.
(2)因为O，M分别为F1F2，PF2的中点，所以｜PF1｜＝2｜OM｜＝c.又双曲线上的点到焦点的最小距离为c－a，所以c≥c－a＞0，解得1＜≤.因此双曲线的离心率e的取值范围是.
求双曲线的离心率的方法
1.直接法：若可求得a，c，则直接利用e＝得解；若已知a，b，可直接利用e＝得解.
2.解方程法：若得到的是关于a，c的齐次方程pc2＋q·ac＋r·a2＝0(p，q，r为常数，且p≠0)，则转化为关于e的方程pe2＋q·e＋r＝0求解.
对点练3.已知A，B为双曲线E的左、右顶点，点M在双曲线E上，满足△ABM为等腰三角形，顶角为120°，则双曲线E的离心率为( )
A. B.
C.2 D.
答案：A
解析：不妨取点M在第一象限，如图所示.设双曲线的方程为－＝1(a＞0，b＞0)，因为△ABM是顶角为120°的等腰三角形，所以｜BM｜＝｜AB｜＝2a，∠MBx＝60°，所以点M的坐标为(2a，a).又因为点M在双曲线－＝1(a＞0，b＞0)上，所以将点M坐标代入方程得4－＝1，整理上式得a2＝b2.而c2＝a2＋b2＝2a2，所以e2＝2，因此e＝.故选A.
角度2 双曲线的渐近线与离心率的综合
双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线经过点(－1，－)，则该双曲线的离心率为( )
A. B.2
C. D.4
答案：B
解析：易知双曲线的渐近线y＝x经过点(－1，－)，将(－1，－)代入渐近线方程得＝，所以e＝＝＝2.故选B.
对点练4.已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的右顶点为A，左、右焦点分别为F1，F2，渐近线在第一象限的部分上存在一点P，且｜OP｜＝｜OF1｜，直线PF1的斜率为，则该双曲线的离心率为 .
答案：2
解析：由双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)，可得渐近线方程为y＝±x，设点P的坐标为(x0，x0)，且x0＞0，因为｜OP｜＝｜OF1｜，即＋＝c2，解得＝a2，即x0＝a，所以点P的坐标为(a，b)，又因为直线PF1的斜率为，所以＝，可得b＝a＋c，两边平方得3b2＝a2＋c2＋2ac，即c2－ac－2a2＝0，两边同时除以a2，可得e2－e－2＝0，即(e－2)(e＋1)＝0，解得e＝2或e＝－1(舍去).
任务三 双曲线简单几何性质的实际应用
如图为陕西历史博物馆收藏的国宝——唐·金筐宝钿团花纹金杯，杯身曲线内收，玲珑娇美，巧夺天工，是唐代金银细作的典范之作.该杯的主体部分可以近似看作是双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的右支与y轴及平行于x轴的两条直线围成的曲边四边形ABMN绕y轴旋转一周得到的几何体.若该金杯主体部分的上口外直径为，下底座外直径为，且杯身最细之处到上杯口的距离是到下底座距离的2倍，则杯身最细之处的周长为( )
A.2π B.3π
C.2π D.4π
答案：C
解析：该金杯主体部分的上口外直径为，下底座外直径为，且杯身最细之处到上杯口的距离是到下底座距离的2倍，可设M，N(，－m)，代入双曲线方程可得－＝1，－＝1，即－＝，－＝1，作差可得＝，解得a2＝3，a＝，所以杯身最细处的周长为2π.故选C.
双曲线在实际生活中有着广泛的应用，解答该类问题的关键是从实际问题中挖掘出所有相关条件，将实际问题转化为求双曲线的标准方程的问题.特别要注意在实际意义下隐含着的变量范围.
对点练5.(新情境)单叶双曲面是最受设计师青睐的结构之一，它可以用直的钢梁建造，既能减少风的阻力，又能用最少的材料来维持结构的完整.如图①，俗称小蛮腰的广州塔位于中国广州市，它的外形就是单叶双曲面，可看成是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所形成的曲面.某市计划建造类似于广州塔的地标建筑，此地标建筑的平面图形是双曲线，如图②，最细处的直径为100 m，楼底的直径为50 m，楼顶直径为50 m，最细处距楼底300 m，则该地标建筑的高为( )
A.350 m B.375 m
C.400 m D.450 m
答案：C
解析：以地标建筑的最细处所在直线为x轴，双曲线的虚轴为y轴，建立平面直角坐标系如图所示，由题意可得A(50，0)，C(25，－300)，设B(25，y0)(y0＞0)，双曲线的方程是－＝1(a＞0，b＞0)，则－＝1，将点B(25，y0)代入得－＝1，解得y0＝100，所以该地标建筑的高为300＋100＝400(m).故选C.
任务再现 1.双曲线的简单几何性质.2.由双曲线几何性质求标准方程.3.双曲线的渐近线与离心率问题.4.双曲线简单几何性质的实际应用
方法提炼 待定系数法、直接法、解方程组法、数形结合思想
易错警示 求双曲线的方程时常因位置关系考虑不全面出错
1.双曲线2x2－y2＝－8的实轴长是( )
A.2 B.4
C.2 D.4
答案：B
解析：双曲线标准方程为－＝1，故实轴长为2a＝4.故选B.
2.(2025·八省适应性测试)双曲线x2－＝1的渐近线方程为( )
A.y＝±x B.y＝±2x
C.y＝±3x D.y＝±4x
答案：C
解析：由方程x2－＝1，则a＝1，b＝3，所以渐近线方程为y＝±x＝±3x.故选C.
3.(2025·北京西城区期中)已知双曲线－＝1的右焦点为(3，0)，则该双曲线的离心率等于( )
A. B.
C. D.
答案：C
解析：根据右焦点为(3，0)，知c＝3，则a2＋5＝9，所以a＝2，故e＝＝.故选C.
4.已知双曲线的实轴和虚轴等长，且过点(5，3)，则双曲线方程为( )
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
答案：D
解析：由题意知，所求双曲线是等轴双曲线，设其方程为x2－y2＝λ(λ≠0)，将点(5，3)代入方程，可得λ＝52－32＝16，所以双曲线方程为x2－y2＝16，即－＝1.故选D.
课时分层评价16 双曲线的简单几何性质
(时间：60分钟 满分：110分)
(1—9，每小题5分，共45分)
1.(2021·全国甲卷)点(3，0)到双曲线－＝1的一条渐近线的距离为( )
A. B.
C. D.
答案：A
解析：由双曲线的方程知，a＝4，b＝3，焦点在x轴上，所以双曲线的一条渐近线方程为y＝x，即3x－4y＝0，所以点(3，0)到双曲线的一条渐近线的距离为＝.故选A.
2.(多选题)下列双曲线中，渐近线方程为y＝±2x的是( )
A.x2－＝1 B.－y2＝1
C.－x2＝1 D.y2－＝1
答案：AC
解析：B、D选项，双曲线的渐近线方程为y＝±x，A、C选项，双曲线的渐近线方程为y＝±2x.故选AC.
3.已知中心在原点，焦点在y轴上的双曲线的离心率为，则它的渐近线方程为( )
A.y＝±2x B.y＝±x
C.y＝±x D.y＝±x
答案：C
解析：设双曲线的方程为－＝1(a＞0，b＞0)，因为e＝＝，c＝，所以＝＝，所以＝2，所以双曲线的渐近线方程为y＝±x＝±x.故选C.
4.若将如图所示大教堂外形弧线的一段近似看成双曲线－＝1(a＞0，b＞0)下支的一部分，此双曲线一条渐近线为3x＋y＝0，下焦点到下顶点的距离为1，则该双曲线的方程为( )
A.－＝1 B.－＝1
C.－x2＝1 D.－＝1
答案：A
解析：由题意可得又c2＝a2＋b2，则－＝1.故选A.
5.设F为双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的右焦点，O为坐标原点，以OF为直径的圆与圆x2＋y2＝a2交于P，Q两点.若｜PQ｜＝｜OF｜，则C的离心率为( )
A. B.
C.2 D.
答案：A
解析：如图所示，由题意知，以OF为直径的圆的方程为＋y2＝①，将x2＋y2＝a2记为②式，①－②得x＝，则以OF为直径的圆与圆x2＋y2＝a2的相交弦所在直线的方程为x＝，所以｜PQ｜＝2.由｜PQ｜＝｜OF｜，得2＝c，整理得c4－4a2c2＋4a4＝0，即e4－4e2＋4＝0，解得e＝.故选A.
6.在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C：－y2＝1的左焦点为F，点A在C的右支上，A关于O的对称点为B，则－＝( )
A.－2 B.2
C.－4 D.4
答案：D
解析：由已知及双曲线的定义知－＝2a＝4.故选D.
7.已知P是双曲线－＝1右支上的一点，双曲线的一条渐近线方程为3x－y＝0.设F1，F2分别为双曲线的左、右焦点.若｜PF2｜＝3，则｜PF1｜＝ .
答案：5
解析：依题意知3＝，所以a＝1，由点P在双曲线右支上，得｜PF1｜－｜PF2｜＝2a＝2，所以｜PF1｜＝2＋｜PF2｜＝2＋3＝5.
8.过双曲线的一焦点的直线垂直于一渐近线，且与双曲线的两支相交，则该双曲线离心率的范围为 .
答案：(，＋∞)
解析：设双曲线的方程为－＝1，F(c，0)，渐近线y＝x，由题意知，－＞－，即a2＜b2，即a2＜c2－a2，即e＞.
9.(双空题)如图，B地在A地的正东方向4 km处，C地在B地的北偏东30°方向2 km处，河流的沿岸PQ(曲线)上任意一点D到A的距离比到B的距离远2 km，则曲线PQ的轨迹方程是 ；现要在曲线PQ上选一处M建一座码头，向B，C两地转运货物，那么这两条公路MB，MC的路程之和最短是 km.
答案：x2－＝1(x≥1) 2－2
解析：如图所示，以AB所在的直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系.则｜DA｜－｜DB｜＝2，根据双曲线定义知，轨迹为双曲线的右支.故2c＝4，c＝2，2a＝2，a＝1，b2＝c2－a2＝4－1＝3，故轨迹方程为x2－＝1(x≥1).根据题意知C(3，)，A(－2，0)，｜MB｜＋｜MC｜＝｜MA｜＋｜MC｜－2≥｜AC｜－2＝2－2，当A，M，C三点共线时等号成立.
10.(13分)求适合下列条件的双曲线的标准方程：
(1)(一题多解)焦点在x轴上，离心率为，且过点(－5，3)；
(2)渐近线方程为2x±3y＝0，且两顶点间的距离是6.
解：(1)法一：因为e＝＝，所以c＝a，b2＝c2－a2＝a2.
又因为焦点在x轴上，
所以设双曲线的标准方程为－＝1(a＞0).
把点(－5，3)代入方程，解得a2＝16.
所以所求双曲线的标准方程为－＝1.
法二：由离心率为知，所求双曲线为等轴双曲线，设双曲线的方程为x2－y2＝k(k≠0)，把点(－5，3)的坐标代入方程得k＝16，
所以所求双曲线的标准方程为－＝1.
(2)设双曲线方程为4x2－9y2＝λ(λ≠0)，
即－＝1(λ≠0)，由题意得a＝3.
当λ＞0时，＝9，λ＝36，
双曲线方程为－＝1；
当λ＜0时，＝9，λ＝－81，
双曲线方程为－＝1.
所以所求双曲线的标准方程为－＝1或－＝1.
(11—13，每小题5分，共15分)
11.已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的离心率为2，过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点.设A，B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d1和d2，且d1＋d2＝6，则双曲线的方程为( )
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
答案：A
解析：把x＝c代入－＝1，得y＝±.不妨设A，B，双曲线的一条渐近线方程为y＝x，即bx－ay＝0，则d1＝，d2＝，故d1＋d2＝＋＝＝2b＝6，故b＝3.又＝＝＝＝2，得a2＝3，所以双曲线的方程为－＝1.故选A.
12.(多选题)已知双曲线E：2x2－my2＝4m的左、右焦点分别为F1，F2，P是双曲线上一点，则下列结论正确的是( )
A.m＞0
B.当双曲线E为等轴双曲线时，焦点坐标为F1(－2，0)，F2(2，0)
C.焦点F1到双曲线E的一条渐近线的距离是定值2
D.若双曲线E的一条渐近线方程是y＝2x且｜PF1｜＝3，则｜PF2｜＝1或｜PF2｜＝5
答案：AC
解析：对于A，将方程2x2－my2＝4m化为标准形式为－＝1，方程表示双曲线，则m＞0，故A正确；对于B，双曲线E为等轴双曲线时，2m＝4，即a2＝b2＝4，所以c＝2，焦点坐标为(2，0)，(－2，0)，故B错误；对于C，不妨设双曲线的一条渐近线方程为y＝x，所以E的一个焦点(c，0)到一条渐近线的距离是＝b，故为定值b＝2，故C正确；对于D，双曲线－＝1的一条渐近线方程是y＝2x，所以a2＝2m＝1，c2＝1＋22＝5，c＝.由双曲线的定义知｜PF2｜－｜PF1｜＝±2，又｜PF1｜＝3，所以｜PF2｜＝1或｜PF2｜＝5，又｜PF2｜≥c－a＝－1，所以｜PF2｜＝5，故D错误.故选AC.
13.(双空题)已知椭圆M：＋＝1(a＞b＞0)，双曲线N：－＝1(m＞0，n＞0).若双曲线N的两条渐近线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的六个顶点，则椭圆M的离心率为 ；双曲线N的离心率为 .
答案：－1 2
解析：椭圆、双曲线都关于x轴、y轴对称，所以只需考虑第一象限内的情况.记双曲线N的一条渐近线与椭圆M在第一象限的交点为P，椭圆左焦点为Q，右焦点为F，连接PQ，如图所示，由题意知，△OPF为正三角形，边长设为2，则高为，所以椭圆半焦距为2，2a＝｜PQ｜＋｜PF｜＝2＋2，a＝＋1，椭圆M的离心率为＝－1.双曲线N的一条渐近线斜率为＝tan 60°＝，e2＝＝1＋＝4，所以双曲线N的离心率为2.
14.(15分)已知F1，F2分别为双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，P为双曲线右支上的任意一点，当取最小值时，求双曲线离心率e的取值范围.
解：因为双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，P为双曲线右支上的任意一点，
所以｜PF1｜－｜PF2｜＝2a，｜PF1｜＝2a＋｜PF2｜，
所以＝＝＋4a＋｜PF2｜≥8a，当且仅当＝｜PF2｜，
即｜PF2｜＝2a时取等号，
所以｜PF1｜＝2a＋｜PF2｜＝4a.
因为｜PF1｜－｜PF2｜＝2a＜2c，｜PF1｜＋｜PF2｜＝6a≥2c e＝≤3，
所以双曲线离心率e的取值范围为(1，3].
15.(5分)(新情境)双曲线具有光学性质，从双曲线一个焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点.若双曲线E：－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，从F2发出的光线经过图中的A，B两点反射后，分别经过点C和D，且cos ∠BAC＝－，·＝0，则E的离心率为( )
A. B.
C. D.
答案：B
解析：由题意知，延长CA，DB，则必过点F1，如图所示.由双曲线的定义知又因为cos ∠BAC＝－，所以cos ∠F1AB＝.又因为·＝0，所以AB⊥BD，设｜AF1｜＝13m，m＞0，则｜AB｜＝5m，＝12m，因此从而由｜AF2｜＋｜BF2｜＝｜AB｜得13m－2a＋12m－2a＝5m，所以a＝5m.则｜BF1｜＝a，｜BF2｜＝a，｜F1F2｜＝2c，又因为｜BF1｜2＋｜BF2｜2＝｜F1F2｜2，所以＋＝(2c)2，即37a2＝25c2，即e＝.故选B.
16.(17分)已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，P是双曲线的右支上一点.
(1)求的最小值；
(2)若右支上存在点P满足＝4，求双曲线的离心率的取值范围.
解：(1)设F1(－c，0)，F2(c，0)，P(x，y)(x≥a)，
则＝＝＝＝
＝＝x＋a≥·a＋a＝a＋c，
当P在右顶点时，最小，所以的最小值为a＋c.
(2)依题意
法一：由(1)知，｜PF1｜≥a＋c，所以a≥a＋c，
所以1＜e≤.
法二：设∠F1PF2＝θ，θ∈.
由余弦定理得cos θ＝＝＝－e2，
即－1≤－e2＜1，得1＜e2≤，1＜e≤.
所以双曲线的离心率的取值范围为.
21世纪教育网(www.21cnjy.com)(共75张PPT)
2.2 双曲线的简单几何性质
第二章 §2 双曲线
学习目标
1.掌握双曲线的范围、对称性、顶点、渐近线、离心率等简 单的几何性质，培养直观想象、数学运算的核心素养.
2.能利用双曲线的简单几何性质求标准方程及解决一些简单 的实际问题，提升数学运算、数学建模的核心素养.
任务一 双曲线的简单几何性质
问题导思
新知构建
双曲线的简单几何性质
标准方程
图形
性质 焦点 ________________________ ________________________
焦距 ________________
范围 x≥a或x≤－a，y∈R y≥a或y≤－a，x∈R
对称性 对称轴：__________；对称中心：__________
顶点 __________________ __________________
轴长 实轴长＝____，虚轴长＝____
渐近线
离心率
F1(－c，0)，F2(c，0)
F1(0，－c)，F2(0，c)
｜F1F2｜＝2c
x轴、y轴
坐标原点
(－a，0)，(a，0)
(0，－a)，(0，a)
2a
2b
微提醒
典例
1
规律方法
确定双曲线几何性质的基本步骤
典例
2
规律方法
利用双曲线的几何性质求双曲线标准方程的基本思路
1.根据双曲线的几何性质求双曲线的标准方程可按先定位，再定形的方法.但在这里要注意的是对双曲线几何性质的运用，如在定位方面，可能涉及双曲线的焦点、顶点的位置；在定形方面，要注意是否给出了离心率及渐近线方程.解题时，我们要充分利用这些几何性质.
规律方法
返回
任务二 双曲线的渐近线与离心率问题
典例
3
√
规律方法
√
典例
4
√
2
返回
任务三 双曲线简单几何性质的实际应用
典例
5
√
规律方法
双曲线在实际生活中有着广泛的应用，解答该类问题的关键是从实际问题中挖掘出所有相关条件，将实际问题转化为求双曲线的标准方程的问题.特别要注意在实际意义下隐含着的变量
范围.
√
课堂小结
任务再现 1.双曲线的简单几何性质.2.由双曲线几何性质求标准方程.3.双曲线的渐近线与离心率问题.4.双曲线简单几何性质的实际应用
方法提炼 待定系数法、直接法、解方程组法、数形结合思想
易错警示 求双曲线的方程时常因位置关系考虑不全面出错
返回
随堂评价
√
√
√
√
返回
课时分层评价
√
√
√
√
√
√
√
5
8.过双曲线的一焦点的直线垂直于一渐近线，且与双曲线的两支相交，则该双曲线离心率的范围为 .
9.(双空题)如图，B地在A地的正东方向4 km处，C地在B地的北偏东30°方向2 km处，河流的沿岸PQ(曲线)上任意一点D到A的距离比到B的距离远
2 km，则曲线PQ的轨迹方程是 ；现要在曲线PQ上选一处M建一座码头，向B，C两地转运货物，那么这两条公路MB，MC的路程之和最短是 km.
√
√
√
12.(多选题)已知双曲线E：2x2－my2＝4m的左、右焦点分别为F1，F2，P是双曲线上一点，则下列结论正确的是
A.m＞0
B.当双曲线E为等轴双曲线时，焦点坐标为F1(－2，0)，F2(2，0)
C.焦点F1到双曲线E的一条渐近线的距离是定值2
D.若双曲线E的一条渐近线方程是y＝2x且｜PF1｜＝3，则｜PF2｜＝1或｜PF2｜＝5
2
√
返回
