3.2 抛物线的简单几何性质
学习目标 1.了解抛物线的简单几何性质，培养数学抽象的核心素养. 2.能利用抛物线的几何性质解决相关问题，培养直观想象、数学运算的核心素养.
任务一 抛物线的简单几何性质
问题1.类比椭圆和双曲线的几何性质的探索过程，你认为抛物线有哪些简单的几何性质？
提示：范围、对称性、顶点及离心率等.
问题2.试以y2＝2px(p＞0)为研究对象，探讨抛物线的范围、对称性及顶点.如何研究这些性质？
提示：(1)范围：由方程y2＝2px(p＞0)可知，对于抛物线y2＝2px(p＞0)上的任意一点M(x，y)，都有x≥0，y∈R，所以这条抛物线在y轴的右侧，开口向右；当x的值增大时，｜y｜也随之增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸.
(2)对称性：观察曲线，可以发现，抛物线y2＝2px(p＞0)关于x轴对称.抛物线只有一条对称轴.
(3)顶点：抛物线和它的对称轴的交点叫作抛物线的顶点.抛物线的顶点坐标是坐标原点(0，0).
抛物线的简单几何性质
图形
标准方程 y2＝2px(p＞0) y2＝－2px(p＞0) x2＝2py(p＞0) x2＝－2py(p＞0)
范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R
对称性 x轴 x轴 y轴 y轴
焦点 F(，0) F(－，0) F(0，) F(0，－)
准线方程 x＝－ x＝ y＝－ y＝
顶点 O(0，0)
离心率 e＝1
[微提醒] (1)只有焦点在坐标轴上，顶点是原点的抛物线的方程才是标准方程.(2)过焦点且垂直于对称轴的弦称为通径，通径长为2p.
角度1 根据抛物线的几何性质求标准方程
(链教材P73例3)抛物线的顶点在原点，对称轴重合于椭圆9x2＋4y2＝36短轴所在的直线，抛物线焦点到顶点的距离为3，求抛物线的方程及抛物线的准线方程.
解：椭圆的方程可化为＋＝1，其短轴在x轴上，
所以抛物线的对称轴为x轴，
则设抛物线的方程为y2＝2px(p＞0)或y2＝－2px(p＞0).
因为抛物线的焦点到顶点的距离为3，
即＝3，所以p＝6，
所以抛物线的标准方程为y2＝12x或y2＝－12x，
相对应的准线方程分别为x＝－3，x＝3.
把握三个要点确定抛物线的简单几何性质
1.开口：由抛物线标准方程看图象开口，关键是看准一次项是x还是y，一次项的系数是正还是负.
2.关系：顶点位于焦点与准线中间，准线垂直于对称轴.
3.定值：焦点到准线的距离为p；过焦点垂直于对称轴的弦(又称为通径)长为2p；离心率恒等于1.
对点练1.边长为1的等边三角形AOB，O为坐标原点，AB⊥x轴，以O为顶点且过A，B的抛物线方程是( )
A.y2＝x B.y2＝－x
C.y2＝±x D.y2＝±x
答案：C
解析：设抛物线方程为y2＝ax(a≠0).又A(±，)(取点A在x轴上方)，则有＝±a，解得a＝±，所以抛物线方程为y2＝±x.故选C.
角度2 抛物线的几何性质的应用
已知正三角形AOB的一个顶点O位于坐标原点，另外两个顶点A，B在抛物线y2＝2px(p＞0)上，求这个三角形的边长.
解：如图所示，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则＝2px1，＝2px2.
又｜OA｜＝｜OB｜，
所以＋＝＋，
即－＋2px1－2px2＝0，
整理得(x1－x2)(x1＋x2＋2p)＝0.
因为x1＞0，x2＞0，2p＞0，所以x1＝x2，
由此可得｜y1｜＝｜y2｜，
即线段AB关于x轴对称，由此得∠AOx＝30°，
所以y1＝x1，与＝2px1联立，
解得y1＝2p.所以｜AB｜＝2y1＝4p，即这个三角形的边长为4p.
利用抛物线的性质可以解决的问题
1.对称性：解决抛物线的内接三角形问题.
2.焦点、准线：解决与抛物线的定义有关的问题.
3.范围：解决与抛物线有关的最值问题.
4.焦点：解决焦点弦问题.
对点练2.已知A，B是抛物线y2＝2px(p＞0)上两点，O为坐标原点，若｜OA｜＝｜OB｜，且△AOB的垂心恰是此抛物线的焦点，求直线AB的方程.
解：如图所示，
设点A(x0，y0)，
由题意可知点B(x0，－y0)，
因为F是△AOB的垂心，
所以AF⊥OB，
所以kAF·kOB＝－1，即·＝－1，
所以＝x0，
又因为＝2px0，所以x0＝2p＋＝.
所以直线AB的方程为x＝.
任务二 抛物线的轨迹方程
若点P到点F(4，0)的距离比它到直线x＋5＝0的距离小1，则点P的轨迹方程是( )
A.y2＝－16x B.y2＝－32x
C.y2＝16x D.y2＝32x
答案：C
解析：由题意知点P到点F(4，0)和直线x＝－4的距离相等，所以点P的轨迹是以F为焦点，以直线x＝－4为准线的抛物线，所以p＝8，则点P的轨迹方程为y2＝16x.故选C.
解决轨迹为抛物线问题的方法
抛物线的轨迹问题，既可以用轨迹法直接求解，也可以先将条件转化，再利用抛物线的定义求解.后者的关键是找到满足动点到定点的距离等于到定直线的距离且定点不在定直线上的条件，有时需要依据已知条件进行转化才能得到满足抛物线定义的条件.
对点练3.已知动点M(x，y)(x≥0)到点F(2，0)的距离与到y轴的距离的差为2.
(1)求动点M的轨迹方程；
(2)若过点F的直线l与动点M的轨迹交于A，B两点，直线x＝－2与x轴交于点H，过A，B作直线x＝－2的垂线，垂足分别为D，E，若S△DHF∶S△EHF＝2∶1(S表示面积)，求.
解：(1)因为M(x，y)(x≥0)到F(2，0)的距离与到y轴的距离的差为2，
则M(x，y)到F(2，0)的距离与到直线x＝－2的距离相等，
所以动点M的轨迹是抛物线，其方程为y2＝8x.
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1＞2＞x2).
因为S△DHF∶S△EHF＝∶＝2∶1，则y1＝－2y2，所以＝＝4.
又因为＝＝＝2，则x1＋2x2＝6，解得x1＝4，x2＝1，
故＝p＋x1＋x2＝4＋5＝9.
任务三 抛物线的实际应用
河上有一抛物线形拱桥，当水面距拱桥顶5 m时，水面宽为8 m，一小船宽4 m，载货后船露出水面上的部分高0.75 m，则水面上涨到与抛物线形拱桥拱顶相距多少时，载货小船开始不能通航？
解：如图所示，以拱桥的拱顶为原点，以过拱顶且平行于水面的直线为x轴，建立平面直角坐标系.
设拱桥所在的抛物线方程为x2＝－2py(p＞0)，
由题意可知，点B(4，－5)在抛物线上，则16＝－2p×(－5)，解得p＝，则x2＝－y.当船面两侧和抛物线接触时，船刚好不能通航.
设此时船面宽为AA'，则A(2，yA)，由22＝－yA，得yA＝－.又知船面露出水面上的部分高为0.75 m，
所以水面上涨到与抛物线形拱桥拱顶相距｜yA｜＋0.75＝2(m)时，载货小船开始不能通航.
求解抛物线实际应用题的5个步骤
对点练4.清代青花瓷盖碗是中国传统茶文化的器物载体，具有“温润”“淡远”“清新”的特征.如图所示，已知碗体和碗盖的内部均近似为抛物线形状，碗盖深为3 cm，碗盖口直径为8 cm，碗体口直径为10 cm，碗体深6.25 cm，则盖上碗盖后，碗盖内部最高点到碗底的垂直距离为(碗和碗盖的厚度忽略不计)( )
A.5 cm B.6 cm
C.7 cm D.8.25 cm
答案：C
解析：以碗体的最低点为原点，向上方向为y轴，建立平面直角坐标系，如图所示，设碗体的抛物线方程为x2＝2py(p＞0)，将点(5，6.25)代入，得52＝2p×6.25，解得p＝2，则x2＝4y，设盖上碗盖后，碗盖内部最高点到碗底的垂直距离为h(cm)，则两抛物线在第一象限的交点为(4，h－3)，代入到x2＝4y，得42＝4(h－3)，解得h＝7 cm.故选C.
[教材拓展4] 圆锥曲线的光学性质及其应用(源自于教材P86阅读材料二)
在天文望远镜的设计中利用了双曲线的光学性质：从双曲线的一个焦点出发的入射光线经双曲线镜面反射后，反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点.如图，已知双曲线C：－＝1的左、右焦点分别为F1，F2，M是C的右支上一点，直线l与C相切于点M.由点F2出发的入射光线碰到点M后反射光线为MQ，法线(在光线投射点与分界面垂直的直线)交x轴于点N，此时直线l起到了反射镜的作用.若＝，则C的离心率为 .
答案：
解析：如图所示，过点F1作F1A⊥l于点A，延长F1A交MF2的延长线于点B.设l上有一点T，由题意可得∠TMQ＝∠F1MA，∠QMN＝∠F2MN.又NM⊥l，所以∠TMQ＝∠F2MA，所以∠F1MA＝∠F2MA，故＝.由双曲线定义可得－＝2a，故－＝＝2a.因为F1B⊥l，NM⊥l，所以F1B∥MN，故＝ ＝，故离心率为e＝＝＝＝.
任务再现 1.抛物线的简单几何性质.2.抛物线的轨迹方程.3.抛物线的实际应用
方法提炼 待定系数法、数形结合法、定义法、转化与化归思想
易错警示 求抛物线方程时忽略焦点位置
1.对于抛物线y＝4x2，下列描述正确的是( )
A.开口向上，焦点为(0，1)
B.开口向上，焦点为
C.开口向右，焦点为(1，0)
D.开口向右，焦点为
答案：B
解析：由抛物线y＝4x2，得抛物线标准方程为x2＝y，2p＝，＝，故焦点在y轴上，开口向上，焦点坐标为.故选B.
2.(多选题)以y轴为对称轴的抛物线的通径(过焦点且与对称轴垂直的弦)长为8，若抛物线的顶点在坐标原点，则其方程为( )
A.y2＝8x B.y2＝－8x
C.x2＝8y D.x2＝－8y
答案：CD
解析：设抛物线方程为x2＝2py或x2＝－2py(p＞0).由题意得2p＝8，所以抛物线方程为x2＝8y或x2＝－8y.故选CD.
3.若抛物线y2＝x上一点P到准线的距离等于它到顶点的距离，则点P的坐标为( )
A. B.
C. D.
答案：B
解析：设抛物线的焦点为F，原点为O，P(x0，y0)，由条件及抛物线的定义知，｜PF｜＝｜PO｜，又F(，0)，所以x0＝，所以＝，所以y0＝±.故选B.
4.苏州市“东方之门”是由南北两栋建筑组成的双塔连体建筑(门顶厚度忽略不计)，“门”的造型是东方之门的立意基础，“门”的内侧曲线呈抛物线型，如图所示，现测得门的内侧地面上两塔之间的距离约为80米，与门顶竖直距离8米处两塔内侧之间的距离约为16米，则“东方之门”的高度约为( )
A.150米 B.200米
C.250米 D.300米
答案：B
解析：以门顶所在的点为坐标原点，以抛物线的对称轴为y轴建立如图所示的平面直角坐标系.设抛物线的方程为x2＝－2py(p＞0)，由题意可知点(8，－8)在抛物线上，所以82＝－2p×(－8)，解得p＝4，所以抛物线的方程为x2＝－8y，将x＝40代入抛物线的方程可得y＝＝－200.故“东方之门”的高度约为200米.故选B.
课时分层评价18 抛物线的简单几何性质
(时间：60分钟 满分：110分)
(1—9，每小题5分，共45分)
1.若抛物线y2＝2x上有两点A，B且AB垂直于x轴，若｜AB｜＝2，则抛物线的焦点到直线AB的距离为( )
A. B.
C. D.
答案：D
解析：由题意知，线段AB所在的直线方程为x＝1，抛物线的焦点坐标为，则焦点到直线AB的距离为1－＝.故选D.
2.以坐标轴为对称轴，以原点为顶点且过圆x2＋y2－2x＋6y＋9＝0的圆心的抛物线的方程是( )
A.y2＝－9x或x2＝y
B.y2＝9x或x2＝－y
C.x2＝y或x2＝－y
D.x2＝y
答案：B
解析：圆的方程可化为(x－1)2＋(y＋3)2＝1，圆心为(1，－3)，由题意可设抛物线方程为y2＝2px(p＞0)或x2＝－2p1y(p1＞0).把(1，－3)代入得9＝2p或1＝6p1，所以p＝或p1＝，所以y2＝9x或x2＝－y.故选B.
3.若双曲线－＝1(p＞0)的左焦点在抛物线y2＝2px(p＞0)的准线上，则p的值为( )
A.2 B.3
C.4 D.4
答案：C
解析：双曲线的方程可化为－＝1，所以双曲线的左焦点为.又因为抛物线的准线为x＝－，由题意得－＝－，解得p＝4.故选C.
4.图①为一种卫星接收天线，其曲面与轴截面的交线为抛物线的一部分，以顶点为坐标原点，建立如图②所示的平面直角坐标系，已知该卫星接收天线的口径｜AB｜＝6，深度｜MO｜＝2，信号处理中心F位于焦点处，若P是该拋物线上一点，抛物线开口内有一点Q，则｜PF｜＋｜PQ｜的最小值为( )
A.1 B.2
C.3 D.4
答案：C
解析：设抛物线的方程为y2＝2px(p＞0)，因为｜AB｜＝6，｜MO｜＝2，所以点A(2，3)在抛物线上，所以9＝4p，故p＝，所以抛物线的方程为y2＝x.则焦点F的坐标为，准线方程为x＝－.如图所示，过点P作PP'垂直于准线，垂足为P'，过点Q作QQ'垂直于准线，垂足为Q'，则｜PF｜＝｜PP'｜，所以｜PF｜＋｜PQ｜＝｜PP'｜＋｜PQ｜≥｜QQ'｜＝＋＝3，当且仅当直线PQ与准线垂直时等号成立，所以｜PF｜＋｜PQ｜的最小值为3.故选C.
5.为响应国家“节能减排，开发清洁能源”的号召，小华制作了一个太阳灶，如图所示.集光板由抛物面(抛物线绕对称轴旋转得到)形的反光镜构成，已知镜口圆的直径为2 m，镜深0.25 m，为达到最佳吸收太阳光的效果(容器灶圈在抛物面对应轴截面的抛物线的焦点处)，容器灶圈应距离集光板顶点( )
A.0.5 m B.1 m
C.1.5 m D.2 m
答案：B
解析：若使吸收太阳光的效果最佳，容器灶圈应在抛物面对应轴截面的抛物线的焦点处，如图所示.画出抛物面的轴截面，并建立平面直角坐标系，设抛物线方程为x2＝2py(p＞0)，集光板端点A(1，0.25)，代入抛物线方程可得2×0.25p＝1，p＝2，所以抛物线方程为x2＝4y，故焦点坐标是F(0，1).所以容器灶圈应距离集光板顶点1 m.故选B.
6.(多选题)(2025·八省适应性测试)已知F(2，0)是抛物线C：y2＝2px的焦点，M是C上的点，O为坐标原点.则( )
A.p＝4
B.｜MF｜≥｜OF｜
C.以M为圆心且过F的圆与C的准线相切
D.当∠OFM＝120°时，△OFM的面积为2
答案：ABC
解析：因为F(2，0)是抛物线C：y2＝2px的焦点，所以＝2，即得p＝4，故A正确；对于B，设M在y2＝8x上，所以x0≥0，所以＝x0＋≥＝，故B正确；对于C，因为以M为圆心且过F的圆半径为＝x0＋2等于M与C的准线的距离，所以以M为圆心且过F的圆与C的准线相切，故C正确；对于D，当∠OFM＝120°时，x0＞2，结合抛物线的对称性不妨设M在x轴上方，则＝tan 60°＝，且＝8x0，y0＞0，所以－8y0－16＝0，解得y0＝4或y0＝－(舍去).所以△OFM的面积为S△OFM＝×＝4，故D错误.故选ABC.
7.已知点A(－2，3)在抛物线C：y2＝2px(p＞0)的准线上，记抛物线C的焦点为F，则直线AF的斜率为 .
答案：－
解析：因为点A(－2，3)在抛物线C的准线上，所以＝2，所以p＝4.所以抛物线的方程为y2＝8x，则焦点F的坐标为(2，0).又A(－2，3)，根据斜率公式得kAF＝＝－.
8.已知F是抛物线C：y2＝8x的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N.若M是FN的中点，则｜FN｜＝ .
答案：6
解析：如图所示，过点M作MM'⊥y轴，垂足为M'，｜OF｜＝2.因为M为FN的中点，所以｜MM'｜＝1，所以M到准线的距离d＝｜MM'｜＋＝3，所以｜MF｜＝3，所以｜FN｜＝6.
9.(双空题)(2021·北京卷)已知抛物线C：y2＝4x，焦点为F，点M在C上，且｜FM｜＝6，则M的横坐标是 ；作MN⊥x轴于N，则S△FMN＝ .
答案：5 4
解析：由题意得点F(1，0)，设点M(x，±2)，则｜FM｜＝＝6，解得x＝5.易得点N(5，0)，从而S△FMN＝(xN－xF)·｜MN｜＝×4×2＝4.
10.(13分)已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)，焦点为F，准线为l，抛物线C上一点A的横坐标为3，且点A到准线l的距离为5.
(1)求抛物线C的方程；
(2)若P为抛物线C上的动点，求线段FP的中点M的轨迹方程.
解：(1)抛物线y2＝2px(p＞0)的准线方程为x＝－，因为抛物线C上一点A的横坐标为3，且点A到准线l的距离为5，
所以根据抛物线的定义可知，3＋＝5，
所以p＝4，所以抛物线C的方程是y2＝8x.
(2)由(1)可知F(2，0)，设P(x0，y0)，M(x，y)，
则
而点P(x0，y0)在抛物线C上，所以＝8x0，
所以(2y)2＝8(2x－2)，即y2＝4(x－1)，
所以点M的轨迹方程是y2＝4(x－1).
(11—13，每小题5分，共15分)
11.(多选题)设抛物线C：y2＝3x的焦点为F，点A为C上一点，若｜FA｜＝3，则直线FA的倾斜角可能是( )
A. B.
C. D.
答案：BC
解析：如图所示，作AH⊥l于H，则｜AH｜＝｜FA｜＝3，作FE⊥AH于E，则｜AE｜＝3－＝.在Rt△AEF中，cos ∠EAF＝＝，所以∠EAF＝，即直线FA的倾斜角为，同理点A在x轴下方时，直线FA的倾斜角为.故选BC.
12.已知曲线C由抛物线y2＝2x及抛物线y2＝－2x组成，A(1，2)，B(－1，2)，M，N是曲线C上关于y轴对称的两点(A，B，M，N四点不共线，且点M在第一象限)，则四边形ABNM周长的最小值为( )
A.2＋ B.1＋
C.3 D.4
答案：B
解析：设抛物线y2＝2x的焦点为F，如图所示，则四边形ABNM的周长l＝｜AB｜＋2｜AM｜＋2xM＝2＋2｜AM｜＋2｜MF｜－1＝1＋2(｜AM｜＋｜MF｜)≥1＋2｜AF｜＝1＋，当且仅当M在线段AF上时取等号.故四边形ABNM周长的最小值为1＋.故选B.
13.抛物线x2＝2py(p＞0)的焦点为F，其准线与双曲线－＝1相交于A，B两点，若△ABF为等边三角形，则p＝ .
答案：6
解析：抛物线的焦点坐标为F，准线方程为y＝－.将y＝－－＝1得｜x｜＝.要使△ABF为等边三角形，则tan ＝＝＝，解得p2＝36，p＝6.
14.(15分)已知抛物线C的顶点在原点，焦点F在x轴的正半轴上，设A，B是抛物线C上的两个动点(AB不垂直于x轴)，且｜AF｜＋｜BF｜＝8，线段AB的垂直平分线恒经过点Q(6，0)，求抛物线的方程.
解：设抛物线的方程为y2＝2px(p＞0)，
则其准线方程为x＝－.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
因为｜AF｜＋｜BF｜＝8，
所以x1＋＋x2＋＝8，即x1＋x2＝8－p.
因为Q(6，0)在线段AB的中垂线上，
所以｜QA｜＝｜QB｜，
即＝，
又＝2px1，＝2px2，
所以(x1－x2)(x1＋x2－12＋2p)＝0.
因为AB与x轴不垂直，所以x1≠x2，
故x1＋x2－12＋2p＝8－p－12＋2p＝0，即p＝4.
从而抛物线方程为y2＝8x.
15.(5分)(多选题)已知抛物线x2＝4y的焦点为F，A，B是抛物线上两动点，则下列说法正确的有( )
A.抛物线准线方程为x＝－1
B.若｜AF｜＋｜BF｜＝8，则线段AB的中点到x轴的距离为3
C.以线段AF为直径的圆与x轴相切
D.以线段AB为直径的圆与准线相切
答案：BC
解析：对于A，抛物线x2＝4y的准线方程为y＝－1，焦点F(0，1)，故A错误；对于B，设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，由抛物线的定义可得｜AF｜＋｜BF｜＝y1＋y2＋2＝8，可得y1＋y2＝6，所以线段AB的中点到x轴的距离为＝3，故B正确；对于C，｜AF｜＝y1＋1，AF的中点为(，)，AF的中点(，)到x轴的距离为＝｜AF｜，所以以线段AF为直径的圆与x轴相切，故C正确；对于D，因为点A，B没有任何限制条件，可以是抛物线上任意两点，所以以线段AB为直径的圆与准线不一定相切，故D错误.故选BC.
16.(17分)已知抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点为F，△ABC的顶点都在抛物线上，满足＋＋＝0.
(1)求｜FA｜＋｜FB｜＋｜FC｜的值；
(2)设直线AB、直线BC、直线AC的斜率分别为kAB，kBC，kAC，若实数λ满足：＋＝λ·，求λ的值.
解：(1)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，F，
所以＝(x1－，y1)，＝(x2－，y2)，＝(x3－，y3).
因为＋＋＝0，
所以(x1－)＋(x2－)＋(x3－)＝0，y1＋y2＋y3＝0，
即x1＋x2＋x3＝.
由抛物线定义知，｜FA｜＝x1－＝x1＋，
｜FB｜＝x2－＝x2＋，｜FC｜＝x3－(－)＝x3＋，
所以｜FA｜＋｜FB｜＋｜FC｜＝x1＋x2＋x3＋＝＋＝3p.
(2)由(1)知，y1＋y2＋y3＝0.
因为kAB＝＝＝，
同理kAC＝，kBC＝，
所以＋＝＋＝λ·＝λ·，即2y2＋(y1＋y3)＝λ(y1＋y3)，
所以2y2－y2＝－λy2，解得λ＝－1.
21世纪教育网(www.21cnjy.com)(共65张PPT)
3.2 抛物线的简单几何性质
第二章 §3 抛物线
学习目标
1.了解抛物线的简单几何性质，培养数学抽象的核心素养.
2.能利用抛物线的几何性质解决相关问题，培养直观想象、 数学运算的核心素养.
任务一 抛物线的简单几何性质
问题导思
问题1.类比椭圆和双曲线的几何性质的探索过程，你认为抛物线有哪些简单的几何性质？
提示：范围、对称性、顶点及离心率等.
问题2.试以y2＝2px(p＞0)为研究对象，探讨抛物线的范围、对称性及顶点.如何研究这些性质？
提示：(1)范围：由方程y2＝2px(p＞0)可知，对于抛物线y2＝2px(p＞0)上的任意一点M(x，y)，都有x≥0，y∈R，所以这条抛物线在y轴的右侧，开口向右；当x的值增大时，｜y｜也随之增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸.
(2)对称性：观察曲线，可以发现，抛物线y2＝2px(p＞0)关于x轴对称.抛物线只有一条对称轴.
(3)顶点：抛物线和它的对称轴的交点叫作抛物线的顶点.抛物线的顶点坐标是坐标原点(0，0).
新知构建
抛物线的简单几何性质
图形
标准方程 y2＝2px(p＞0) y2＝－2px(p＞0) x2＝2py(p＞0) x2＝－2py(p＞0)
范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R
对称性 ___轴 ___轴 ___轴 ___轴
x
x
y
y
焦点
准线方程
顶点 O________
离心率 e＝___
(0，0)
1
微提醒
(1)只有焦点在坐标轴上，顶点是原点的抛物线的方程才是标准方程.(2)过焦点且垂直于对称轴的弦称为通径，通径长为2p.
典例
1
规律方法
把握三个要点确定抛物线的简单几何性质
1.开口：由抛物线标准方程看图象开口，关键是看准一次项是x还是y，一次项的系数是正还是负.
2.关系：顶点位于焦点与准线中间，准线垂直于对称轴.
3.定值：焦点到准线的距离为p；过焦点垂直于对称轴的弦(又称为通径)长为2p；离心率恒等于1.
√
典例
2
规律方法
利用抛物线的性质可以解决的问题
1.对称性：解决抛物线的内接三角形问题.
2.焦点、准线：解决与抛物线的定义有关的问题.
3.范围：解决与抛物线有关的最值问题.
4.焦点：解决焦点弦问题.
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任务二 抛物线的轨迹方程
若点P到点F(4，0)的距离比它到直线x＋5＝0的距离小1，则点P的轨迹方程是
A.y2＝－16x B.y2＝－32x
C.y2＝16x D.y2＝32x
典例
3
√
由题意知点P到点F(4，0)和直线x＝－4的距离相等，所以点P的轨迹是以F为焦点，以直线x＝－4为准线的抛物线，所以p＝8，则点P的轨迹方程为y2＝16x.故选C.
规律方法
解决轨迹为抛物线问题的方法
抛物线的轨迹问题，既可以用轨迹法直接求解，也可以先将条件转化，再利用抛物线的定义求解.后者的关键是找到满足动点到定点的距离等于到定直线的距离且定点不在定直线上的条件，有时需要依据已知条件进行转化才能得到满足抛物线定义的条件.
对点练3.已知动点M(x，y)(x≥0)到点F(2，0)的距离与到y轴的距离的差
为2.
(1)求动点M的轨迹方程；
解：因为M(x，y)(x≥0)到F(2，0)的距离与到y轴的距离的差为2，
则M(x，y)到F(2，0)的距离与到直线x＝－2的距离相等，
所以动点M的轨迹是抛物线，其方程为y2＝8x.
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任务三 抛物线的实际应用
河上有一抛物线形拱桥，当水面距拱桥顶5 m时，水面宽为8 m，一小船宽4 m，载货后船露出水面上的部分高0.75 m，则水面上涨到与抛物线形拱桥拱顶相距多少时，载货小船开始不能通航？
解：如图所示，以拱桥的拱顶为原点，以过拱顶且平行于水面的直线为x轴，建立平面直角坐标系.
典例
4
规律方法
求解抛物线实际应用题的5个步骤
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对点练4.清代青花瓷盖碗是中国传统茶文化的器物载体，具有“温润” “淡远”“清新”的特征.如图所示，已知碗体和碗盖的内部均近似为抛物线形状，碗盖深为3 cm，碗盖口直径为8 cm，碗体口直径为10 cm，碗体深6.25 cm，则盖上碗盖后，碗盖内部最高点到碗底的垂直距离为(碗和碗盖的厚度忽略不计)
A.5 cm
B.6 cm
C.7 cm
D.8.25 cm
以碗体的最低点为原点，向上方向为y轴，建立平面
直角坐标系，如图所示，设碗体的抛物线方程为x2＝
2py(p＞0)，将点(5，6.25)代入，得52＝2p×6.25，解
得p＝2，则x2＝4y，设盖上碗盖后，碗盖内部最高点
到碗底的垂直距离为h(cm)，则两抛物线在第一象限的交点为(4，h－3)，代入到x2＝4y，得42＝4(h－3)，解得h＝7 cm.故选C.
典例
4
课堂小结
任务再现 1.抛物线的简单几何性质.2.抛物线的轨迹方程.3.抛物线的实际应用
方法提炼 待定系数法、数形结合法、定义法、转化与化归思想
易错警示 求抛物线方程时忽略焦点位置
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随堂评价
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2.(多选题)以y轴为对称轴的抛物线的通径(过焦点且与对称轴垂直的弦)长为8，若抛物线的顶点在坐标原点，则其方程为
A.y2＝8x B.y2＝－8x
C.x2＝8y D.x2＝－8y
√
设抛物线方程为x2＝2py或x2＝－2py(p＞0).由题意得2p＝8，所以抛物线方程为x2＝8y或x2＝－8y.故选CD.
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4.苏州市“东方之门”是由南北两栋建筑组成的双塔连体建筑(门顶厚度忽略不计)，“门”的造型是东方之门的立意基础，“门”的内侧曲线呈抛物线型，如图所示，现测得门的内侧地面上两塔之间的距离约为80米，与门顶竖直距离8米处两塔内侧之间的距离约为16米，则“东方之门”的高度约为
A.150米
B.200米
C.250米
D.300米
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课时分层评价
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5.为响应国家“节能减排，开发清洁能源”的号召，小华制作了一个太阳灶，如图所示.集光板由抛物面(抛物线绕对称轴旋转得到)形的反光镜构成，已知镜口圆的直径为2 m，镜深0.25 m，为达到最佳吸收太阳光的效果(容器灶圈在抛物面对应轴截面的抛物线的焦点处)，容器灶圈应距离集光板顶点
A.0.5 m
B.1 m
C.1.5 m
D.2 m
若使吸收太阳光的效果最佳，容器灶圈应在抛物面对应轴截面的抛物线的焦点处，如图所示.画出抛物面的轴截面，并建立平面直角坐标系，设抛物线方程为x2＝2py(p＞0)，集光板端点A(1，0.25)，代入抛物线方程可得2×0.25p＝1，p＝2，所以抛物线方程为x2＝4y，故焦点坐标是F(0，1).所以容器灶圈应距离集光板顶点1 m.故选B.
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7.已知点A(－2，3)在抛物线C：y2＝2px(p＞0)的准线上，记抛物线C的焦
点为F，则直线AF的斜率为 .
8.已知F是抛物线C：y2＝8x的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N.若M是FN的中点，则｜FN｜＝ .
6
9.(双空题)(2021·北京卷)已知抛物线C：y2＝4x，焦点为F，点M在C上，且｜FM｜＝6，则M的横坐标是 ；作MN⊥x轴于N，则S△FMN＝ .
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15.(5分)(多选题)已知抛物线x2＝4y的焦点为F，A，B是抛物线上两动点，则下列说法正确的有
A.抛物线准线方程为x＝－1
B.若｜AF｜＋｜BF｜＝8，则线段AB的中点到x轴的距离为3
C.以线段AF为直径的圆与x轴相切
D.以线段AB为直径的圆与准线相切
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