(共68张PPT)
4.1 直线与圆锥曲线的交点
第二章 §4 直线与圆锥曲线的位置关系
学习目标
1.会用代数法来判断直线与圆锥曲线交点的个数，提升逻辑 推理、直观想象、数学运算的核心素养.
2.会由直线与圆锥曲线的交点个数求参数的范围，提升逻辑 推理、数学运算的核心素养.
任务一 直线与椭圆的交点
问题导思
新知构建
位置关系 解的个数 Δ的取值
相交 ____解 Δ____0
相切 ____解 Δ____0
相离 ____解 Δ____0
两
＞
一
＝
无
＜
典例
1
规律方法
判断直线与椭圆的交点情况
1.将直线的方程与椭圆的方程联立，消去一个未知数y(或x)，得到关于x(或y)的一个一元二次方程.
2.利用一元二次方程根的判别式Δ，根据Δ＞0，Δ＜0还是Δ＝0即可判断方程组解的个数，从而得出直线与椭圆的交点情况.
返回
任务二 直线与抛物线的交点
问题导思
问题3.若直线与抛物线只有一个公共点，那么直线与抛物线一定相切吗？
提示：不一定，当直线与抛物线的对称轴平行或重合时，直线与抛物线只有一个公共点，但两者相交.
新知构建
＞
＝
＜
一个
微提醒
(1)直线与抛物线有一个公共点是直线与抛物线相切的必要不充分条件.(2)研究直线与抛物线的关系时要注意直线斜率不存在的情况.
典例
2
规律方法
判断直线与抛物线位置关系的方法：联立方程组消元，当二次项系数不等于零时，用判别式Δ来判定；当二次项系数等于0时，直线与抛物线相交于一点.
返回
任务三 直线与双曲线的交点
问题导思
问题4.类比直线与椭圆的位置关系可知直线与双曲线有几种位置关系？
提示：有三种位置关系，分别为相交、相切、相离三种情况.
新知构建
(1)若a1≠0时，
Δ＞0时，直线与双曲线有______公共点；
Δ＝0时，直线与双曲线只有______公共点；
Δ＜0时，直线与双曲线______公共点.
(2)若a1＝0时，直线与双曲线有______公共点，此时直线平行于双曲线的渐近线.
两个
一个
没有
一个
微提醒
在直线与双曲线的关系中：一解不一定相切，相交不一定两解，两解不一定同支.
典例
3
规律方法
1.解决直线与双曲线的公共点问题，不仅要考虑判别式，还要注意二次项系数为0时，直线与渐近线平行的特殊情况.
2.双曲线与直线只有一个公共点的题目，应分两种情况讨论：直线与双曲线相切或直线与双曲线的渐近线平行.
注意：注意对直线的斜率是否存在进行讨论.
课堂小结
任务再现 1.直线与椭圆的交点.2.直线与抛物线的交点.3.直线与双曲线的交点
方法提炼 判别式法、分类讨论思想
易错警示 忽略直线中斜率不存在的情况；忽略直线与双曲线、抛物线只有一个交点的情况中非Δ＝0的情况
返回
随堂评价
√
2.若直线y＝kx与双曲线4x2－y2＝16相交，则实数k的取值范围为 .
(－2，2)
易知k≠±2，将y＝kx代入4x2－y2＝16得到关于x的一元二次方程(4－k2)x2－16＝0，由Δ＞0可得－2＜k＜2.
3.若直线y＝kx＋2与抛物线y2＝8x有且只有一个公共点，则k＝ .
0或1
当k＝0时，直线与抛物线有唯一公共点，当k≠0时，联立方程消去y，得k2x2＋4(k－2)x＋4＝0，Δ＝16(k－2)2－16k2＝0，所以k＝1.综上，k＝0或1.
返回
课时分层评价
√
√
2.过点(0，1)且与抛物线y2＝x只有一个公共点的直线有
A.1条 B.2条
C.3条 D.无数条
因为点(0，1)在抛物线的外部，所以过点(0，1)且与抛物线只有一个公共点的直线有2条切线，1条交线，共3条.故选C.
√
√
4.若直线l过点(3，0)与双曲线4x2－9y2＝36只有一个公共点，则这样的直线有
A.1条 B.2条
C.3条 D.4条
√
5.若直线l：x－2y＝0与双曲线x2－ay2＝4(a＞0)的右支仅有一个公共点，则实数a的取值范围是
A.(0，4) B.(0，4]
C.(4，＋∞) D.[4，＋∞)
√
√
由题意可知机器人的轨迹为抛物线，其轨迹方程为y2＝4x，过点P(－1，0)且斜率为k的直线方程为y＝k(x＋1)(k≠0)，由题意知直线与抛物线无交点，联立两方程并消去y，得k2x2＋(2k2－4)x＋k2＝0，则Δ＝(2k2－4)2－4k4＜0，所以k2＞1，解得k＞1或k＜－1.故选AD.
7.已知直线x－y－1＝0与抛物线y＝ax2相切，则a＝ .
[1，5)
9.若直线y＝kx＋2与双曲线x2－y2＝6的右支交于不同的两点，则实数k的
取值范围是 .
①当Δ＞0，即k＜1，且k≠0时，
l与C有两个公共点，此时直线l与C相交；
②当Δ＝0，即k＝1时，l与C有一个公共点，此时直线l与C相切；
③当Δ＜0，即k＞1时，l与C没有公共点，此时直线l与C相离.
综上所述，当k＝1或0时，l与C有一个公共点；
当k＜1，且k≠0时，l与C有两个公共点；
当k＞1时，l与C没有公共点.
√
12.已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，抛物线上两点A，B在第一象限，且满足｜AF｜＝3，｜BF｜＝7，｜AB｜＝5，则直线AB的斜率
为 .
(2，－3)
返回§4 直线与圆锥曲线的位置关系
4.1 直线与圆锥曲线的交点
学习目标 1.会用代数法来判断直线与圆锥曲线交点的个数，提升逻辑推理、直观想象、数学运算的核心素养. 2.会由直线与圆锥曲线的交点个数求参数的范围，提升逻辑推理、数学运算的核心素养.
任务一 直线与椭圆的交点
问题1.如何判定直线l：y＝kx＋b与椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)两者交点的个数？
提示：由于y＝kx＋b过点(0，b)，而点(0，b)在椭圆C上，所以直线与椭圆有1个或2个交点.
问题2.若直线l与椭圆C两者相交，那么怎样求交点坐标？
提示：直线l的方程与椭圆C的方程联立，通过求方程组的解确定交点坐标.
直线与椭圆的位置关系
设直线l：y＝kx＋m，椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)，将直线方程与椭圆方程联立消去y得到一个关于x的一元二次方程.
位置关系 解的个数 Δ的取值
相交 两解 Δ＞0
相切 一解 Δ＝0
相离 无解 Δ＜0
(链教材P78例2)当m取何值时，直线l：y＝x＋m与椭圆9x2＋16y2＝144：
(1)无公共点；
(2)有且仅有一个公共点；
(3)有两个公共点.
解：由题意知，联立方程组消去y，得25x2＋32mx＋16m2－144＝0，
所以Δ＝(32m)2－4×25×(16m2－144)＝－576m2＋14 400.
(1)要使直线l：y＝x＋m与椭圆9x2＋16y2＝144无公共点，
则Δ＜0，即－576m2＋14 400＜0，解得m＜－5或m＞5，
所以当m＜－5或m＞5时，直线和椭圆无公共点.
(2)要使直线l：y＝x＋m与椭圆9x2＋16y2＝144有且仅有一个公共点，
则Δ＝0，即－576m2＋14 400＝0，解得m＝±5，
所以当m＝±5时，直线和椭圆有且仅有一个公共点.
(3)要使直线l：y＝x＋m与椭圆9x2＋16y2＝144有两个公共点，
则Δ＞0，即－576m2＋14 400＞0，解得－5＜m＜5，
所以当－5＜m＜5时，直线和椭圆有两个公共点.
判断直线与椭圆的交点情况
1.将直线的方程与椭圆的方程联立，消去一个未知数y(或x)，得到关于x(或y)的一个一元二次方程.
2.利用一元二次方程根的判别式Δ，根据Δ＞0，Δ＜0还是Δ＝0即可判断方程组解的个数，从而得出直线与椭圆的交点情况.
对点练1.已知直线l：y＝2x＋m，椭圆C：＋＝1.试问当m取何值时，直线l与椭圆C：
(1)有两个公共点；
(2)有且只有一个公共点；
(3)没有公共点.
解：由题意知，直线l的方程与椭圆C的方程联立，得方程组消去y得9x2＋8mx＋2m2－4＝0，①
方程①的根的判别式Δ＝(8m)2－4×9×(2m2－4)＝－8m2＋144.
(1)当Δ＞0，即－3＜m＜3时，
方程①有两个不相等的实数根.这时直线l与椭圆C有两个公共点.
(2)当Δ＝0，即m＝±3时，
方程①有两个相等的实数根.这时直线l与椭圆C有且只有一个公共点.
(3)当Δ＜0，即m＜－3或m＞3时，
方程①没有实数根.这时直线l与椭圆C没有公共点.
任务二 直线与抛物线的交点
问题3.若直线与抛物线只有一个公共点，那么直线与抛物线一定相切吗？
提示：不一定，当直线与抛物线的对称轴平行或重合时，直线与抛物线只有一个公共点，但两者相交.
直线与抛物线的位置关系
设直线l：y＝kx＋m，抛物线C：y2＝2px(p＞0)，将直线方程与抛物线方程联立消去y得到一个关于x的方程k2x2＋2(km－p)x＋m2＝0.
(1)若k≠0时，
当Δ＞0时，直线与抛物线相交，有两个公共点；
当Δ＝0时，直线与抛物线相切，有一个公共点；
当Δ＜0时，直线与抛物线相离，没有公共点.
(2)若k＝0时，直线与抛物线有一个公共点，此时直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合.
[微提醒] (1)直线与抛物线有一个公共点是直线与抛物线相切的必要不充分条件.(2)研究直线与抛物线的关系时要注意直线斜率不存在的情况.
(链教材P79例3)当k为何值时，直线y＝kx＋k－2与抛物线y2＝4x有两个公共点？仅有一个公共点？无公共点？
解：联立方程组得k2x2＋2(k2－2k－2)x＋(k－2)2＝0.
当k＝0时，方程化为一次方程－4x＋4＝0，
该方程只有一解x＝1，原方程组只有一组解，
所以直线y＝－2与抛物线只有一个公共点.
当k≠0时，二次方程的判别式Δ＝4(k2－2k－2)2－4k2(k－2)2＝－16(k2－2k－1)，
当Δ＞0时，得k2－2k－1＜0，1－＜k＜1＋，
所以当1－＜k＜0或0＜k＜1＋时，直线与抛物线有两个公共点；
由Δ＝0得k＝1±，此时直线与抛物线相切，只有一个公共点；
由Δ＜0得k＜1－或k＞1＋，此时直线与抛物线无公共点.
综上，当k＝0或k＝1±时，直线与抛物线有一个公共点；
当1－＜k＜0或0＜k＜1＋时，直线与抛物线有两个公共点；
当k＜1－或k＞1＋时，直线与抛物线无公共点.
判断直线与抛物线位置关系的方法：联立方程组消元，当二次项系数不等于零时，用判别式Δ来判定；当二次项系数等于0时，直线与抛物线相交于一点.
对点练2.已知直线l经过点A，且与抛物线y2＝2px(p＞0)只有一个公共点，求直线l的方程.
解：若直线l的斜率不存在，则直线l与抛物线y2＝2px(p＞0)没有交点，不符合题意.
若直线l的斜率存在，设直线l的方程为y－p＝k，
联立方程组消去x并整理，得ky2－2py＋p2＝0.
①当k≠0时，因为直线l与抛物线只有一个公共点，
所以Δ＝4p2－4k(2＋3k)p2＝0，解得k＝或k＝－1.
故直线l的方程为2x－6y＋9p＝0或2x＋2y＋p＝0.
②当k＝0时，即直线l与x轴平行时，直线l与抛物线也只有一个公共点，此时y＝p.
故满足条件的直线l有三条，它们的方程是2x－6y＋9p＝0或2x＋2y＋p＝0或y＝p.
任务三 直线与双曲线的交点
问题4.类比直线与椭圆的位置关系可知直线与双曲线有几种位置关系？
提示：有三种位置关系，分别为相交、相切、相离三种情况.
直线与双曲线的位置关系
设直线l：y＝kx＋m，双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)，将直线方程与双曲线方程联立消去y得到一个关于x的方程a1x2＋b1x＋c1＝0.
(1)若a1≠0时，
Δ＞0时，直线与双曲线有两个公共点；
Δ＝0时，直线与双曲线只有一个公共点；
Δ＜0时，直线与双曲线没有公共点.
(2)若a1＝0时，直线与双曲线有一个公共点，此时直线平行于双曲线的渐近线.
[微提醒] 在直线与双曲线的关系中：一解不一定相切，相交不一定两解，两解不一定同支.
(链教材P80例4)已知双曲线x2－y2＝4，直线l：y＝k(x－1)，直线l与双曲线有两个不同的公共点，确定满足条件的实数k的取值范围.
解：联立方程组
消去y，得(1－k2)x2＋2k2x－k2－4＝0.(*)
当1－k2≠0，即k≠±1时，
Δ＝(2k2)2－4(1－k2)(－k2－4)＝4(4－3k2).
由
得－＜k＜，且k≠±1，
此时方程(*)有两个不同的实数解，即直线l与双曲线有两个不同的公共点.
[变式探究]
(变条件)若直线l与双曲线有且只有一个公共点，确定满足条件的实数k的取值范围.
解：联立方程组消去y，
得(1－k2)x2＋2k2x－k2－4＝0.(*)
当1－k2≠0，即k≠±1时，
Δ＝(2k2)2－4(1－k2)(－k2－4)＝4(4－3k2).
由得k＝±，
此时方程(*)有两个相同的实数解，
即直线l与双曲线有且只有一个公共点；
当1－k2＝0，即k＝±1时，
直线l与双曲线的渐近线平行，
方程(*)化为2x＝5，
故方程(*)只有一个实数解，即直线l与双曲线相交，且只有一个公共点.
故当k＝±或±1时，直线l与双曲线有且只有一个公共点.
1.解决直线与双曲线的公共点问题，不仅要考虑判别式，还要注意二次项系数为0时，直线与渐近线平行的特殊情况.
2.双曲线与直线只有一个公共点的题目，应分两种情况讨论：直线与双曲线相切或直线与双曲线的渐近线平行.
注意：注意对直线的斜率是否存在进行讨论.
对点练3.已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的渐近线方程为y＝±x，且双曲线C过点(－2，3).
(1)求双曲线C的方程；
(2)若直线l：y＝kx＋3与双曲线C只有一个公共点，求实数k的值.
解：(1)由题意知，b＝a，联立方程组
所以双曲线C的方程为x2－＝1.
(2)联立方程组得(3－k2)x2－6kx－12＝0，
当3－k2≠0时，由Δ＝36k2＋48(3－k2)＝0，
解得k＝±2.
当3－k2＝0，即k＝±时，直线l与双曲线C的渐近线y＝±x平行，直线l与双曲线C只有一个公共点.
综上所述，k＝±2或k＝±.
任务再现 1.直线与椭圆的交点.2.直线与抛物线的交点.3.直线与双曲线的交点
方法提炼 判别式法、分类讨论思想
易错警示 忽略直线中斜率不存在的情况；忽略直线与双曲线、抛物线只有一个交点的情况中非Δ＝0的情况
1.已知直线l：x＋y－3＝0，椭圆＋y2＝1，则直线与椭圆的位置关系是( )
A.相离 B.相切
C.相交 D.相交或相切
答案：A
解析：把x＋y－3＝0代入＋y2＝1，得＋(3－x)2＝1，即5x2－24x＋32＝0.因为Δ＝(－24)2－4×5×32＝－64＜0，所以直线与椭圆相离.故选A.
2.若直线y＝kx与双曲线4x2－y2＝16相交，则实数k的取值范围为 .
答案：(－2，2)
解析：易知k≠±2，将y＝kx代入4x2－y2＝16得到关于x的一元二次方程(4－k2)x2－16＝0，由Δ＞0可得－2＜k＜2.
3.若直线y＝kx＋2与抛物线y2＝8x有且只有一个公共点，则k＝ .
答案：0或1
解析：当k＝0时，直线与抛物线有唯一公共点，当k≠0时，联立方程消去y，得k2x2＋4(k－2)x＋4＝0，Δ＝16(k－2)2－16k2＝0，所以k＝1.综上，k＝0或1.
4.已知斜率为2的直线经过椭圆＋＝1的右焦点F2与椭圆相交于A，B两点，则线段AB的中点P的坐标为 .
答案：
解析：因为直线AB过椭圆＋＝1的右焦点F2(1，0)，且斜率为2，所以直线AB的方程为y＝2(x－1)，即2x－y－2＝0.由方程组得交点A(0，－2)，B，，所以P.
课时分层评价19 直线与圆锥曲线的交点
(时间：60分钟 满分：110分)
(1—9，每小题5分，共45分)
1.直线y＝kx－k＋1与椭圆＋＝1的位置关系为( )
A.相交 B.相切
C.相离 D.不确定
答案：A
解析：直线y＝kx－k＋1＝k(x－1)＋1恒过定点(1，1)，又＋＝＜1，所以点(1，1)在椭圆内部，故直线与椭圆相交.故选A.
2.过点(0，1)且与抛物线y2＝x只有一个公共点的直线有( )
A.1条 B.2条
C.3条 D.无数条
答案：C
解析：因为点(0，1)在抛物线的外部，所以过点(0，1)且与抛物线只有一个公共点的直线有2条切线，1条交线，共3条.故选C.
3.若直线mx＋ny＝4与圆x2＋y2＝4没有公共点，则过点P(m，n)的直线与椭圆＋＝1的公共点个数为( )
A.0 B.1
C.2 D.不确定
答案：C
解析：由题意得，＞2，即m2＋n2＜4，所以＋≤＜1，所以点P(m，n)在椭圆＋＝1内，所以过点P(m，n)的直线与椭圆＋＝1相交，所以过点P(m，n)的直线与椭圆＋＝1有两个公共点.故选C.
4.若直线l过点(3，0)与双曲线4x2－9y2＝36只有一个公共点，则这样的直线有( )
A.1条 B.2条
C.3条 D.4条
答案：C
解析：当直线斜率存在时，设直线l：y＝k(x－3)，代入双曲线方程化简得(4－9k2)x2＋54k2x－81k2－36＝0，要使l与双曲线只有一个公共点，需上述方程只有一根或两相等实根，所以4－9k2＝0或Δ＝0(不成立)，解得k＝±.当直线斜率不存在时，直线为x＝3，此时与双曲线也只有一个公共点，故这样的直线有3条.故选C.
5.若直线l：x－2y＝0与双曲线x2－ay2＝4(a＞0)的右支仅有一个公共点，则实数a的取值范围是( )
A.(0，4) B.(0，4]
C.(4，＋∞) D.[4，＋∞)
答案：A
解析：由双曲线方程为x2－ay2＝4(a＞0)，可得渐近线方程为x＝±y，由直线方程l：x－2y＝0与双曲线的右支仅有一个公共点，可得＜2，解得0＜a＜4.故选A.
6.(多选题)平面上一机器人在行进中始终保持与点F(1，0)的距离和到直线x＝－1的距离相等，若机器人接触不到过点P(－1，0)且斜率为k的直线，则k的值可以为( )
A.－2 B.－1
C.1 D.
答案：AD
解析：由题意可知机器人的轨迹为抛物线，其轨迹方程为y2＝4x，过点P(－1，0)且斜率为k的直线方程为y＝k(x＋1)(k≠0)，由题意知直线与抛物线无交点，联立两方程并消去y，得k2x2＋(2k2－4)x＋k2＝0，则Δ＝(2k2－4)2－4k4＜0，所以k2＞1，解得k＞1或k＜－1.故选AD.
7.已知直线x－y－1＝0与抛物线y＝ax2相切，则a＝ .
答案：
解析：联立方程组得ax2－x＋1＝0，由直线x－y－1＝0与抛物线y＝ax2相切，得解得a＝.
8.若直线y＝kx＋1与焦点在x轴上的椭圆＋＝1总有公共点，则实数m的取值范围为 .
答案：[1，5)
解析：因为焦点在x轴上的椭圆＋＝1，所以0＜m＜5，因为直线y＝kx＋1过定点P(0，1)，且直线与椭圆＋＝1总有公共点，所以点P在椭圆上或在椭圆的内部，即＋≤1，解得m≥1.综上，1≤m＜5.
9.若直线y＝kx＋2与双曲线x2－y2＝6的右支交于不同的两点，则实数k的取值范围是 .
答案：
解析：把y＝kx＋2代入x2－y2＝6，得x2－(kx＋2)2＝6，化简得(1－k2)x2－4kx－10＝0.设直线y＝kx＋2与双曲线x2－y2＝6的右支交于不同的两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题意知解得－＜k＜－1.故实数k的取值范围是.
10.(13分)已知直线l：y＝kx＋1，抛物线C：y2＝4x，当k为何值时，l与C：只有一个公共点；有两个公共点；没有公共点.
解：联立方程组消去y，得k2x2＋(2k－4)x＋1＝0.(*)
当k＝0时，(*)式只有一个解x＝，
所以直线l与C只有一个公共点，
此时直线l平行于x轴.
当k≠0时，(*)式是一个一元二次方程，
Δ＝(2k－4)2－4k2＝16(1－k).
①当Δ＞0，即k＜1，且k≠0时，
l与C有两个公共点，此时直线l与C相交；
②当Δ＝0，即k＝1时，l与C有一个公共点，此时直线l与C相切；
③当Δ＜0，即k＞1时，l与C没有公共点，此时直线l与C相离.
综上所述，当k＝1或0时，l与C有一个公共点；
当k＜1，且k≠0时，l与C有两个公共点；
当k＞1时，l与C没有公共点.
(11—13，每小题5分，共15分)
11.以F1(－1，0)，F2(1，0)为焦点且与直线x－y＋3＝0有公共点的椭圆中，离心率最大的椭圆方程是( )
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
答案：C
解析：由题意知，设椭圆方程为＋＝1，由得(2b2＋1)x2＋6(b2＋1)x＋8b2＋9－b4＝0，由Δ≥0得b2≥4，所以b2的最小值为4，又e＝，则b2＝4时，e取最大值，此时椭圆方程是＋＝1.故选C.
12.已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，抛物线上两点A，B在第一象限，且满足｜AF｜＝3，｜BF｜＝7，｜AB｜＝5，则直线AB的斜率为 .
答案：
解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，如图所示，由题可知AB的斜率存在，设AB的斜率为k.因为A，B都在x轴上方，由题意知k＞0，由抛物线定义｜AF｜＝x1＋，｜BF｜＝x2＋，则＝4，又因为｜AB｜＝·＝5，所以＝，解得k＝.
13.(双空题)在椭圆＋＝1上找一点P，使点P到直线2x－4y－31＝0的距离最小，则取得最小值时点P的坐标是 ，最小值为 .
答案：(2，－3)
解析：设过点P与直线2x－4y－31＝0平行的椭圆的切线方程为直线2x－4y＋m＝0，联立方程组整理得4x2＋mx＋m2－48＝0，则Δ＝m2－4×4＝0，解得m＝±16，当m＝16时，2x－4y＋16＝0，4x2＋mx＋m2－48＝0可整理得x2＋4x＋4＝0，解得x＝－2，则y＝3，P(－2，3)到直线2x－4y－31＝0的距离d＝＝，当m＝－16时，2x－4y－16＝0，4x2＋mx＋m2－48＝0可整理得x2－4x＋4＝0，解得x＝2，则y＝－3，P(2，－3)到直线2x－4y－31＝0的距离d＝＝.所以P(2，－3)到直线2x－4y－31＝0的距离最小，最小值为.
14.(15分)在平面直角坐标系xOy中，点M到点F(1，0)的距离比它到y轴的距离多1.记点M的轨迹为C.
(1)求轨迹C的方程；
(2)设斜率为k的直线l过定点(－2，1)，求直线l与轨迹C恰好有一个公共点时k的取值范围.
解：(1)设点M(x，y)，依题意得＝＋1，即＝＋1，化简整理得y2＝2(｜x｜＋x).
故点M的轨迹C的方程为y2＝
(2)在点M的轨迹C中，
记C1：y2＝4x(x≥0)，C2：y＝0(x＜0).
依题意，可设直线l的方程为y－1＝k(x＋2).
由方程组
可得ky2－4y＋4(2k＋1)＝0.①
a.当k＝0时，此时y＝1.
把y＝1代入轨迹C的方程，得x＝.
故此时直线l：y＝1与轨迹C恰好有一个公共点.
b.当k≠0时，方程①的判别式为Δ＝－16(2k2＋k－1).②
设直线l与x轴的交点为(x0，0)，
由y－1＝k(x＋2)，令y＝0，得x0＝－.③
当x0＜0时，令Δ＜0，
由②③解得k＜－1或k＞.
即当k∈(－∞，－1)∪时，直线l与C1没有公共点，与C2有一个公共点，
故此时直线l与轨迹C恰好有一个公共点.
当x0≥0时，令Δ＝0，由②③得，解集为空集.
综合a，b知，当k∈(－∞，－1)∪∪{0}时，直线l与轨迹C恰好有一个公共点.
15.(5分)已知点P为直线ax＋y－4＝0上一点，PA，PB是椭圆C：＋y2＝1(a＞0)的两条切线，若恰好存在一点P使得PA⊥PB，则椭圆C的离心率为 .
答案：
解析：设P(m，n)，当切线斜率都存在时，设斜率为k，则过点P的切线为y－n＝k(x－m).联立方程组 (k2a2＋1)x2＋2ka2(n－km)x＋a2[(n－km)2－1]＝0.因为直线与椭圆相切，所以Δ＝4k2a4(n－km)2－4a2(k2a2＋1)[(n－km)2－1]＝0，整理得(a2－m2)k2＋2mnk＋1－n2＝0.设切线PA，PB的斜率分别为k1，k2，因为PA⊥PB，所以k1·k2＝＝－1，即m2＋n2＝1＋a2，所以点P在以(0，0)为圆心，为半径的圆上，即(0，0)到直线ax＋y－4＝0的距离为，由d＝＝，解得a＝.当切线斜率有一条为0，另一条不存在时，当点P(a，4－a2)，此时4－a2＝1，a＝，当点P(－a，4＋a2)，此时4＋a2＝1，无解.综上所述，a＝，又因为b＝1，所以c＝＝，e＝＝.
16.(17分)已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，若过点F且斜率为1的直线与抛物线相交于M，N两点，且｜MN｜＝8.
(1)求抛物线C的方程；
(2)设直线l为抛物线C的切线，且l∥MN，P为l上一点，求·的最小值.
解：(1)由题意可知F，
则该直线方程为y＝x－，
代入y2＝2px(p＞0)，得x2－3px＋＝0.
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则有x1＋x2＝3p.
因为｜MN｜＝8，所以x1＋x2＋p＝8，
即3p＋p＝8，解得p＝2，
所以抛物线C的方程为y2＝4x.
(2)设直线l的方程为y＝x＋b，代入y2＝4x，
得x2＋(2b－4)x＋b2＝0.
因为直线l为抛物线C的切线，
所以Δ＝0，解得b＝1.
所以直线l的方程为y＝x＋1.
由(1)可知x1＋x2＝6，x1x2＝1.
设P(m，m＋1)，
则＝(x1－m，y1－(m＋1))，＝(x2－m，y2－(m＋1))，
所以·＝(x1－m)(x2－m)＋[y1－(m＋1)]·[y2－(m＋1)]＝x1x2－m(x1＋x2)＋m2＋y1y2－(m＋1)(y1＋y2)＋(m＋1)2.
因为x1＋x2＝6，x1x2＝1，
所以(y1y2)2＝16x1x2＝16，y1y2＝－4.
因为－＝4(x1－x2)，
所以y1＋y2＝4×＝4，
所以·＝1－6m＋m2－4－4(m＋1)＋(m＋1)2＝2(m2－4m－3)＝2[(m－2)2－7]≥－14，当且仅当m＝2，即点P的坐标为(2，3)时，·取得最小值，最小值为－14.
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