4.2 直线与圆锥曲线的综合问题
学习目标 1.进一步掌握直线与圆锥曲线的位置关系，培养直观想象、数学运算的核心素养. 2.掌握弦长公式，会求解与弦长有关的问题，提升数学运算的核心素养. 3.会解决与圆锥曲线有关的焦点弦、中点弦问题，提升逻辑推理、数学运算的核心素养.
任务一 弦长公式
问题1.已知直线l：y＝kx＋m上两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，如何表示线段AB的长度？
提示：｜AB｜＝＝｜x1－x2｜＝.
当直线的斜率存在时，斜率为k的直线l与椭圆相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两个不同的点，则弦长公式的常见形式有如下几种：
(1)｜AB｜＝｜x1－x2｜；
(2)｜AB｜＝｜y1－y2｜(k≠0)；
(3)｜AB｜＝；
(4)｜AB｜＝(k≠0).
[微提醒] (1)对于弦长问题，一定先有判别式大于零，才有两根之和、两根之积.(2)对于斜率不确定的问题，要分类讨论.(3)抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点弦AB，弦长｜AB｜＝x1＋x2＋p.(4)椭圆、双曲线的通径为.
已知椭圆C：x2＋＝1，过点M(0，3)的直线l与椭圆C相交于不同的两点A，B，若｜AB｜＜，试求直线l斜率的取值范围.
解：当直线l的斜率不存在时，则直线l的方程为x＝0，
代入椭圆C的方程得A(0，2)，B(0，－2)，所以｜AB｜＝4，不满足｜AB｜＜，此时直线l：x＝0不符合题意.
当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝kx＋3，
将直线和椭圆方程联立，得
化简、整理，得(4＋k2)x2＋6kx＋5＝0，
此时Δ＝(6k)2－20(4＋k2)＞0，即k2＞5.①
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1，x2是上述方程的两根，
则x1＋x2＝，x1·x2＝，
因为｜AB｜＝＜，
所以·＜，
解得－＜k2＜8，②
由①②知5＜k2＜8.
所以－2＜k＜－＜k＜2.
所以直线l斜率的取值范围为(－2，－)∪(，2).
1.求弦长的两种方法
(1)求出弦两端点的坐标，然后利用两点间的距离公式求解.
(2)结合根与系数的关系，利用弦长公式｜AB｜＝，或｜AB｜＝(k≠0)求解.
2.已知弦长求参数值，关键是利用弦长公式，得到关于参数的方程，注意求得结果要验证是否满足判别式大于0.
对点练1.已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的离心率为，点(，0)是双曲线的一个顶点.
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)经过双曲线右焦点F2作倾斜角为30°的直线l，直线l与双曲线交于不同的两点A，B，求｜AB｜.
解：(1)因为双曲线C的离心率为，点(，0)是双曲线的一个顶点，
所以
所以双曲线C的标准方程为－＝1.
(2)双曲线－＝1的右焦点为F2(3，0)，所以直线l的方程为y＝(x－3).
由得5x2＋6x－27＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝－，x1x2＝－，
所以｜AB｜＝＝×＝.
(或由5x2＋6x－27＝0，得x＝－3或，则｜AB｜＝×＝.)
任务二 中点弦问题
问题2.已知椭圆的方程为＋＝1(m＞0，n＞0，m≠n)，直线与椭圆相交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1≠x2)，弦AB的中点为M(x0，y0)，你能求出kOM·kAB的值吗？
提示：将A(x1，y1)，B(x2，y2)代入椭圆方程得将两式作差并整理得
＋＝0，
由弦AB的中点为M(x0，y0)，若x1≠x2，则＝－，即·＝－，从而kAB·＝－，即kAB·kOM＝－.
点差法：设出弦的两端点坐标后，代入椭圆的方程，将两式相减，式中含有x1＋x2，y1＋y2，三个未知量，这样就联系了中点坐标和直线的斜率.
(一题多解)已知椭圆＋＝1的弦AB的中点M的坐标为(2，1)，求直线AB的方程.
解：法一：易知直线AB的斜率k存在，
设所求直线的方程为y－1＝k(x－2)，
联立直线与椭圆的方程，得方程组
化简、整理，得(4k2＋1)x2－8(2k2－k)x＋4(2k－1)2－16＝0，Δ＞0.
设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1，x2是上述方程的两根，
于是x1＋x2＝.
又M为AB的中点，
所以＝＝2，解得k＝－.
故所求直线的方程为x＋2y－4＝0.
经检验，所求直线满足题意.
法二：设点A(x1，y1)，B(x2，y2).
因为M(2，1)为AB的中点，
所以x1＋x2＝4，y1＋y2＝2.
又A，B两点在椭圆上，
则＋4＝16，＋4＝16，
两式相减，得(－)＋4(－)＝0，
于是(x1＋x2)(x1－x2)＋4(y1＋y2)(y1－y2)＝0.
所以＝－＝－＝－，
即kAB＝－.
故所求直线的方程为x＋2y－4＝0.
经检验，所求直线满足题意.
法三：设所求直线与椭圆的一个交点为A(x，y)，
由于AB的中点为M(2，1)，
则另一个交点为B(4－x，2－y).
因为A，B两点都在椭圆上，
所以
①－②，化简得x＋2y－4＝0.
显然点A的坐标满足这个方程，代入验证可知点B的坐标也满足这个方程，而过点A，B的直线只有一条，故所求直线的方程为x＋2y－4＝0.
涉及弦的中点，可以使用点差法：设出弦的两端点坐标，代入椭圆、双曲线或抛物线方程，两式相减即得弦的中点坐标与斜率的关系.
对点练2.(1)直线l与双曲线－y2＝1交于A，B两点，线段AB的中点在直线y＝2x上，则直线AB的斜率为( )
A.4 B.2
C. D.
(2)(双空题)已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点为F(1，0).直线l与抛物线C相交于A，B两点，若AB的中点为(2，2)，则抛物线的方程为 ，直线l的方程为 .
答案：(1)D (2)y2＝4x x－y＝0
解析：(1)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，线段AB的中点M(x0，y0)，由已知，A，B两点在双曲线上，所以·＝kAB·＝，因为点M(x0，y0)在直线y＝2x上，所以＝2，代入上式可得kAB＝，故直线AB的斜率为.故选D.
(2)由题意知，抛物线的方程为y2＝4x，设直线l与抛物线C的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有且x1≠x2，两式相减得，－＝4(x1－x2)，因为AB的中点为(2，2)，所以y1＋y2＝4，所以＝＝1，所以直线l的方程为y－2＝x－2，即x－y＝0.
任务三 弦长的最值、范围问题
在平面直角坐标系中，椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率e＝，且点P(2，1)在椭圆C上.
(1)求椭圆C的方程；
(2)斜率为－1的直线与椭圆C相交于A，B两点，求｜AB｜的最大值.
解：(1)由题意得
所以椭圆C的方程为＋＝1.
(2)设直线AB的方程为y＝－x＋m，
联立直线与椭圆的方程，得方程组
化简、整理得3x2－4mx＋2m2－6＝0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1，x2是上述方程的两根，
所以
所以｜AB｜＝｜x1－x2｜＝，
当m＝0时，
满足Δ＞0，｜AB｜max＝4.
[变式探究]
(变设问)本例条件不变，求△AOB面积的最大值.
解：由本例知｜AB｜＝，
原点到直线的距离d＝.
所以S△AOB＝··
＝≤ ·＝.
当且仅当m＝±时，等号成立，满足Δ＞0，
所以△AOB面积的最大值为.
求与圆锥曲线有关的最值、范围问题的方法
1.定义法：利用定义转化为几何问题处理.
2.数形结合法：利用数与形的结合，挖掘几何特征，进而求解.
3.函数法：探求函数模型，转化为函数的最值问题，借助函数的单调性、基本不等式等求解，注意椭圆的范围.
对点练3.已知抛物线y2＝4x，其焦点为F.
(1)若点M(1，1)，求以M为中点的抛物线的弦所在的直线方程；
(2)若互相垂直的直线m，n都经过抛物线y2＝4x的焦点F，且与抛物线相交于A，B两点和C，D两点，求四边形ACBD面积的最小值.
解：(1)因为点M在抛物线y2＝4x含焦点F的区域内，所以中点弦所在的直线存在.
设所求直线交抛物线于P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
则＝4x1，＝4x2，y1＋y2＝2，
kPQ＝＝＝2(x1≠x2)，
所以所求直线方程为2x－y－1＝0.
(2)依题意知，直线m，n的斜率存在，设直线m的方程为y＝k(x－1)(k≠0)，与抛物线方程联立，
得
消去y，化简、整理得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，Δ＞0，
设其两根为x3，x4，则x3＋x4＝＋2.
由抛物线的定义可知，
｜AB｜＝2＋x3＋x4＝＋4，
同理｜CD｜＝4k2＋4，
所以四边形ACBD的面积S＝(4k2＋4)·＝8≥32，
当且仅当k＝±1时取等号，故四边形ACBD面积的最小值为32.
任务再现 1.弦长公式.2.中点弦问题.3.弦长的最值、范围问题
方法提炼 数形结合、分类讨论、基本不等式法
易错警示 容易忽略直线斜率不存在的情况
1.若直线y＝2(x－1)与椭圆＋＝1交于A，B两点，则｜AB｜＝( )
A. B.
C. D.
答案：D
解析：由方程组消去y，整理得3x2－5x＝0，解得x1＝0，x2＝，分别代入y＝2(x－1)，得y1＝－2，y2＝.所以｜AB｜＝＝.故选D.
2.若直线2x－y－4＝0与抛物线y2＝6x交于A，B两点，则线段AB的长度为( )
A. B.
C. D.
答案：B
解析：联立消去y并整理得2x2－11x＋8＝0，Δ＝121－4×2×8＝57＞0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝，x1x2＝4，所以｜AB｜＝·＝×＝.故选B.
3.过椭圆＋＝1的焦点的最长弦和最短弦的长分别为 .
答案：4，3
解析：过椭圆焦点的最长弦为长轴，其长度为2a＝4；最短弦为垂直于长轴的弦，因为c＝1，将x＝1代入＋＝1，得＋＝1，解得y2＝，即y＝±，所以最短弦的长为2×＝3.
4.过点M(2，1)作斜率为1的直线，交双曲线－＝1(a＞0，b＞0)于A，B两点，点M为AB的中点，则该双曲线的离心率为 .
答案：
解析：设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有·＝，由已知＝1，x1＋x2＝4，y1＋y2＝2，所以＝，又c2＝a2＋b2，所以＝，得＝.
课时分层评价20 直线与圆锥曲线的综合问题
(时间：60分钟 满分：110分)
(1—9，每小题5分，共45分)
1.若椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的最短弦PQ的长为10，△PF2Q的周长为36，则此椭圆的离心率为( )
A. B.
C. D.
答案：C
解析：如图所示，PQ为过F1且垂直于x轴的弦，则Q，△PF2Q的周长为36，所以4a＝36，a＝9.由已知得＝5，即＝5，解得c＝6，所以＝，即e＝.故选C.
2.直线y＝x－1被椭圆2x2＋y2＝4所截得的弦的中点坐标是( )
A. B.
C. D.
答案：A
解析：联立直线与椭圆的方程，得方程组消去y得2x2＋(x－1)2＝4，即3x2－2x－3＝0，所以弦的中点的横坐标是x＝×＝，代入直线方程y＝x－1中，得y＝－，所以弦的中点坐标是.故选A.
3.过椭圆x2＋2y2＝4的左焦点作倾斜角为的弦AB，则弦AB的长为( )
A. B.
C. D.
答案：C
解析：易求直线AB的方程为y＝(x＋).由消去y并化简、整理，得7x2＋12x＋8＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝－，x1x2＝.由弦长公式，得｜AB｜＝·｜x1－x2｜＝×＝.故选C.
4.已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)与斜率为1的直线交于A，B两点，若线段AB的中点为(4，1)，则C的离心率e等于( )
A. B.
C. D.
答案：B
解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2).因为－＝1，－＝1，所以－＝0，又AB的中点为(4，1)，所以x1＋x2＝8，y1＋y2＝2，所以＝.由题意知＝1，所以＝1，即＝，则C的离心率e＝＝.故选B.
5.已知F是椭圆＋＝1的一个焦点，AB为过椭圆中心的一条弦，则△ABF面积的最大值为( )
A.6 B.12
C.15 D.20
答案：B
解析：由已知得a＝5，b＝3，c＝＝4，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则S△ABF＝｜OF｜｜y1－y2｜≤｜OF｜·2b＝×4×6＝12.故选B.
6.已知直线l过抛物线C的焦点F，且与C的对称轴垂直，l与C交于A，B两点，｜AB｜＝12，P为C的准线上的一点，则△ABP的面积为( )
A.60 B.45
C.36 D.18
答案：C
解析：不妨设抛物线的解析式为y2＝2px(p＞0)，则焦点为F，对称轴为x轴，准线为x＝－.如图所示，过点P作PD⊥AB于点D.因为直线l经过抛物线的焦点，A，B是l与C的交点，又AB⊥x轴，所以｜AB｜＝2p＝12，所以p＝6.又因为点P在准线上，所以｜DP｜＝＋＝p＝6，所以S△ABP＝｜DP｜·｜AB｜＝×6×12＝36.故选C.
7.已知双曲线x2－y2＝m(m≠0)与直线y＝x交于A，B两点，若｜AB｜＝2，则m＝ .
答案：9
解析：联立方程组得y2＝，由此得m＞0，y＝±，故x＝±2，｜AB｜＝2｜OA｜＝2＝2，解得m＝9.
8.过椭圆3x2＋4y2＝48的左焦点F作斜率为1的直线交椭圆于A，B两点，则｜AB｜等于 .
答案：
解析：由3x2＋4y2＝48，得＋＝1，所以a2＝16，b2＝12，c2＝4，所以F(－2，0)，直线l的方程为y＝x＋2.由得7x2＋16x－32＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝－，x1x2＝－，所以｜AB｜＝·｜x1－x2｜＝×＝.
9.(双空题)过点M(1，1)作斜率为－的直线与椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)相交于A，B，则直线AB的方程为 ；若M是线段AB的中点，则椭圆C的离心率为 .
答案：x＋2y－3＝0
解析：由题意可知，直线的点斜式方程为y－1＝－(x－1)，整理得x＋2y－3＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则因为M是线段AB的中点，所以＝1，＝1.又＝－，①②两式相减可得＋＝0，即＋×＝0，整理得a＝b，c＝＝b，所以e＝＝＝，即椭圆C的离心率为.
10.(13分)已知椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，上顶点为M，且△MF1F2是面积为1的等腰直角三角形.
(1)求椭圆E的方程；
(2)若直线l：y＝－x＋m与椭圆E交于A，B两点，以AB为直径的圆与y轴相切，求m的值.
解：(1)由题意可得M(0，b)，F1(－c，0)，F2(c，0)，
由△MF1F2是面积为1的等腰直角三角形得a2＝1，b＝c，且a2－b2＝c2，解得b＝c＝1，a＝，则椭圆E的方程为＋y2＝1.
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
联立得3x2－4mx＋2m2－2＝0，
有Δ＝16m2－12(2m2－2)＞0，即－＜m＜，
x1＋x2＝，x1x2＝，可得AB中点横坐标为，｜AB｜＝·＝·＝，
因为以AB为直径的圆与y轴相切，
所以可得半径r＝｜AB｜＝｜｜，
即＝｜｜，解得m＝±∈(－，)，则m的值为±.
(11—13，每小题5分，共15分)
11.(多选题)若双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的实轴长为6，焦距为10，右焦点为F，则下列结论正确的是( )
A.双曲线C的渐近线上的点到点F距离的最小值为4
B.双曲线C的离心率为
C.双曲线C上的点到点F距离的最小值为2
D.过点F的最短弦长为
答案：ACD
解析：由题意知2a＝6，2c＝10，即a＝3，c＝5，因为b2＝c2－a2，所以b2＝25－9＝16，解得b＝4，所以右焦点为F(5，0)，双曲线C的渐近线方程为y＝±x.对于A，由点F向双曲线C的渐近线作垂线时，垂线段的长度即为C的渐近线上的点到点F距离的最小值，由点到直线的距离公式可得d＝＝4，故A正确；对于B，因为a＝3，c＝5，所以双曲线C的离心率e＝＝，故B错误；对于C，当双曲线C上的点为其右顶点(3，0)时，此时双曲线C上的点到点F的距离最小为2，故C正确；对于D，过点F的最短弦为通径，即＝，故D正确.故选ACD.
12.已知抛物线y2＝4x，过点P(4，0)的直线与抛物线相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则＋的最小值是 .
答案：32
解析：设直线AB的方程为x＝my＋4，代入y2＝4x得y2－4my－16＝0，Δ＞0，则y1＋y2＝4m，y1y2＝－16，所以＋＝(y1＋y2)2－2y1y2＝16m2＋32，当m＝0时，＋取最小值，最小值为32.
13.在平面直角坐标系xOy中，已知点P(4，0)，点A，B在双曲线C：－y2＝1上，且＝3，则直线AB的斜率为 .
答案：±
解析：易知直线AB斜率为0时不符合题意，故设直线AB的方程为x＝my＋4.由得(m2－4)y2＋8my＋12＝0，m2－4≠0.易知Δ＞0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则①，因为＝(4－x1，－y1)，＝(x2－4，y2)，＝3，所以y1＝－3y2，代入①，得＝，化简得m2＝，所以m＝±.因此直线AB的斜率为＝±.
14.(15分)已知点A(m，4)(m＞0)在抛物线x2＝4y上，过点A作倾斜角互补的两条直线l1和l2，且l1，l2与抛物的另一个交点分别为B，C.
(1)求证：直线BC的斜率为定值；
(2)若抛物线上存在两点关于直线BC对称，求｜BC｜的取值范围.
解：(1)证明：因为点A(m，4)在抛物线上，
所以16＝m2，所以m＝±4，又m＞0，所以m＝4.
设B(x1，y1)，C(x2，y2)，
则kAB＋kAC＝＋＝＋＝＝0，所以x1＋x2＝－8.
所以kBC＝＝＝＝－2，
所以直线BC的斜率为定值－2.
(2)设直线BC的方程为y＝－2x＋b，P(x3，y3)，Q(x4，y4)关于直线BC对称，设PQ的中点为M(x0，y0)，则kPQ＝＝＝＝，
所以x0＝1.所以M(1，－2＋b).
又点M在抛物线内部，所以－2＋b＞，即b＞.
由得x2＋8x－4b＝0，
所以x1＋x2＝－8，x1x2＝－4b.
所以｜BC｜＝｜x1－x2｜＝·
＝×.
又b＞，所以｜BC｜＞10.
所以｜BC｜的取值范围为(10，＋∞).
15.(5分)(新情境)如图所示，某市有相交于点O的一条东西走向的公路l与一条南北走向的公路m，有一商城A的部分边界是椭圆的四分之一，这两条公路为椭圆的对称轴，椭圆的长半轴在公路l上且长为2，短半轴在公路m上且长为1(单位：千米).根据市民建议，欲新建一条公路PQ，点P，Q分别在公路l，m上，且要求PQ与椭圆形商城A相切，当公路PQ最短时，OQ为 千米.
答案：
解析：以点O为坐标原点，公路l，m所在直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系(图略)，由题意设PQ所在直线的方程为y＝kx＋b，易得b＞1，－＞2，联立x2＋2kbx＋b2－1＝0，则Δ＝(2kb)2－4(b2－1)＝0，即k2＝(b2－1).因为P，Q(0，b)，所以｜PQ｜2＝＋b2＝＋b2＝＋b2＝4＋＋b2＝5＋＋(b2－1)≥5＋2＝9，当且仅当b2－1＝，即b＝时取等号，即｜OQ｜＝千米.
16.(17分)已知点A(0，－2)，椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，F是椭圆的右焦点，直线AF的斜率为，O为坐标原点.
(1)求椭圆E的方程；
(2)设过点A的直线l与椭圆E交于P，Q两点，当△OPQ的面积最大时，求直线l的方程.
解：(1)设点F(c，0)，
因为直线AF的斜率为，A(0，－2)，
所以＝，c＝.
又因为＝，b2＝a2－c2，
解得a＝2，b＝1，
所以椭圆E的方程为＋y2＝1.
(2)设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
由题意可知直线l的斜率存在，
设直线l的方程为y＝kx－2，
联立消去y得(1＋4k2)x2－16kx＋12＝0，
Δ＝16(4k2－3)＞0，即k2＞，
x1＋x2＝，x1x2＝.
所以｜PQ｜＝＝·
＝.
又点O到直线l的距离d＝，
所以S△OPQ＝d｜PQ｜＝.
设＝t＞0，则4k2＝t2＋3.
所以S△OPQ＝＝≤＝1，
当且仅当t＝2，即＝2，k＝±时取等号，满足k2＞，
所以△OPQ的面积最大时，直线l的方程为y＝x－2或y＝－x－2，
即x－2y－4＝0或x＋2y＋4＝0.
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4.2 直线与圆锥曲线的综合问题
第二章 §4 直线与圆锥曲线的位置关系
学习目标
1.进一步掌握直线与圆锥曲线的位置关系，培养直观想象、 数学运算的核心素养.
2.掌握弦长公式，会求解与弦长有关的问题，提升数学运算 的核心素养.
3.会解决与圆锥曲线有关的焦点弦、中点弦问题，提升逻辑 推理、数学运算的核心素养.
任务一 弦长公式
问题导思
新知构建
微提醒
典例
1
规律方法
返回
任务二 中点弦问题
问题导思
新知构建
典例
2
规律方法
涉及弦的中点，可以使用点差法：设出弦的两端点坐标，代入椭圆、双曲线或抛物线方程，两式相减即得弦的中点坐标与斜率的关系.
√
(2)(双空题)已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点为F(1，0).直线l与抛物线C相交于A，B两点，若AB的中点为(2，2)，则抛物线的方程为 ，直线l的方程为 .
y2＝4x
x－y＝0
返回
任务三 弦长的最值、范围问题
典例
3
规律方法
求与圆锥曲线有关的最值、范围问题的方法
1.定义法：利用定义转化为几何问题处理.
2.数形结合法：利用数与形的结合，挖掘几何特征，进而求解.
3.函数法：探求函数模型，转化为函数的最值问题，借助函数的单调性、基本不等式等求解，注意椭圆的范围.
课堂小结
任务再现 1.弦长公式.2.中点弦问题.3.弦长的最值、范围问题
方法提炼 数形结合、分类讨论、基本不等式法
易错警示 容易忽略直线斜率不存在的情况
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随堂评价
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4，3
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课时分层评价
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6.已知直线l过抛物线C的焦点F，且与C的对称轴垂直，l与C交于A，B两点，｜AB｜＝12，P为C的准线上的一点，则△ABP的面积为
A.60 B.45
C.36 D.18
9
8.过椭圆3x2＋4y2＝48的左焦点F作斜率为1的直线交椭圆于A，B两点，
则｜AB｜等于 .
x＋2y－3＝0
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15.(5分)(新情境)如图所示，某市有相交于点O的一条东西走向的公路l与一条南北走向的公路m，有一商城A的部分边界是椭圆的四分之一，这两条公路为椭圆的对称轴，椭圆的长半轴在公路l上且长为2，短半轴在公路m上且长为1(单位：千米).根据市民建议，欲新建一条公路PQ，点P，Q分别在公路l，m上，且要求PQ与椭圆形商城A相切，当公路PQ最短时，OQ为 千米.
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