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§1 空间直角坐标系
第三章 空间向量与立体几何
学习目标
1.在平面直角坐标系的基础上，了解空间直角坐标系，感受 建立空间直角坐标系的必要性，会用空间直角坐标系刻画 点的位置，培养数学抽象、直观想象、逻辑推理的核心
素养.
2.借助特殊长方体(所有棱分别与坐标轴平行)顶点的坐标，探 索并得出空间两点间的距离公式，培养直观想象、逻辑推 理的核心素养.
3.会应用空间两点间的距离公式，求空间中两点间的距离， 提升数学运算的核心素养.
任务一 空间直角坐标系
问题导思
问题1.在数轴上确定一个点的位置需要几个实数？在平面直角坐标系中确定一个点的位置需要几个实数？
提示：在数轴上，一个实数确定一个点的位置；在平面直角坐标系中，需要一个有序实数对(x，y)才能确定一个点的位置.
问题2.如果点P是空间直角坐标系O-xyz中的任意一点，那么如何刻画它的位置呢？
提示：类比平面上点的坐标的确定方式，可以先作出点P在三条坐标轴上的投影，再根据投影在坐标轴上的坐标写出表示点P位置的三元有序实数组即可.
如图所示，当点P不在任何坐标平面上时，过点P分别作
垂直于x轴、y轴和z轴的平面，依次交x轴、y轴和z轴于
点A、点B和点C，则点A，B，C分别是点P在x轴、y轴
和z轴上的投影.设点A在x轴上、点B在y轴上、点C在z
轴上的坐标依次为a，b，c，那么点P就对应唯一的三元有序实数组(a，b，c).
新知构建
1.空间直角坐标系及相关概念
过空间任意一点O，作三条两两垂直的直线，并以点O为原点，在三条直线上分别建立数轴：x轴、y轴和z轴，这样就建立了一个空间直角坐标系O-xyz.点O叫作坐标原点，x轴(横轴)、y轴(纵轴)、z轴(竖轴)叫作________，通过每两条坐标轴的平面叫作__________，分别称为______平面、______平面、______平面.
坐标轴
坐标平面
xOy
yOz
zOx
2.右手系
一般是将x轴和y轴放置在水平面上，那么z轴就垂直于水平面.它们的方向通常符合右手螺旋法则，即伸出右手，让四指与大拇指垂直，并使四指先指向_____正方向，然后让四指沿握拳方向旋转90°指向_____正方向，此时大拇指的指向即为_____正方向.我们也称这样的坐标系为右手系.
x轴
y轴
z轴
3.点在空间直角坐标系中的坐标
(1)在空间直角坐标系中，对于空间任意一点P，都可以用______的一个三元有序实数组(x，y，z)来表示；反之，对于任意给定的一个三元有序实数组(x，y，z)，都可以确定空间中的一个点P.这样，在空间直角坐标系中，任意一点P与三元有序实数组(x，y，z)之间，就建立了一一对应的关系：P (x，y，z).
三元有序实数组(_________)叫作点P在此空间直角坐标系中的坐标，记作P(_________)，其中___叫作点P的横坐标，___叫作点P的纵坐标，___叫作点P的竖坐标.
唯一
x，y，z
x，y，z
x
y
z
(2)特殊点的三元有序实数组
点的位置 x轴上 y轴上 z轴上
坐标的形式 (x，0，0) ___________ (0，0，z)
点的位置 xOy平面内 yOz平面内 zOx平面内
坐标的形式 ___________ (0，y，z) ___________
(0，y，0)
(x，y，0)
(x，0，z)
微提醒
(1)三个坐标平面把空间分成八个部分.(2)将x轴和y轴放在水平面上.(3)x轴的正半轴逆时针旋转90°与y轴正半轴重合.(4)建立的坐标系一般为右手系.(5)过点P作垂直于坐标轴的平面，与三条坐标轴分别交于点A、点B和点C，实际上就是作点P在各条坐标轴上的投影，即从点P向坐标轴引垂线，垂足分别为点A，B，C.设点A，B，C的坐标分别为(x，0，0)，(0，y，0)，(0，0，z)，则点P的坐标为(x，y，z).
角度1 已知点的位置写出点的坐标
(链教材P93例1)长方体ABCD-A'B'C'D'的长、宽、高分别为｜AB｜＝8，｜AD｜＝3，｜AA'｜＝5.建立适当的空间直角坐标系，并求顶点A，B，C，D，A'，B'，C'，D'的坐标.
解：如图所示，以A为原点，分别以有向直线AB，AD，
AA'为x轴、y轴、z轴的正方向，以1为单位长度，建立空
间直角坐标系A-xyz，
则点A，B，C，D都在平面xAy内，因而其竖坐标z都为0，
因此A，B，C，D的坐标分别是A(0，0，0)，B(8，0，0)，C(8，3，0)，D(0，3，0).
典例
1
由于点A'，B'，C'，D'都在一个垂直于z轴的平面A'B'C'D'
内，又｜AA'｜＝5，
所以这四点的竖坐标z都是5.
又过A'，B'，C'，D'分别作xAy平面的垂线，垂足分别为
A，B，C，D，
因此A'，B'，C'，D'的横坐标x、纵坐标y分别与A，B，C，D的横坐标x、纵坐标y相同.
因此A'，B'，C'，D'的坐标分别是A'(0，0，5)，B'(8，0，5)，C'(8，3，5)，D'(0，3，5).
规律方法
1.若已给出坐标系，不用再建系，若未给出坐标系，建立空间直角坐标系时应遵循以下原则：
(1)让尽可能多的点落在坐标轴上或坐标平面内；
(2)充分利用几何图形的对称性.
2.求某点的坐标时，一般先找这一点在某一坐标平面上的射影，确定其两个坐标，再找出它在另一坐标轴上的投影(或者通过它到这个坐标平面的距离加上正负号)进而确定第三个坐标.
角度2 空间中点的对称问题
在空间直角坐标系中，已知点P(－2，1，4).
(1)求点P关于x轴对称的点P1的坐标；
解：由于点P关于x轴对称后，它在x轴上的坐标不变，在y轴、z轴上的坐标变为原来的相反数，
所以对称点坐标为P1(－2，－1，－4).
(2)求点P关于xOy平面对称的点P2的坐标；
解：由点P关于xOy平面对称后，它在x轴、y轴上的坐标不变，在z轴上的坐标变为原来的相反数，
所以对称点坐标为P2(－2，1，－4).
典例
2
(3)求点P关于点M(2，－1，－4)对称的点P3的坐标.
解：设对称点为P3(x，y，z)，则点M为线段PP3的中点，
由中点坐标公式，可得x＝2×2－(－2)＝6，
y＝2×(－1)－1＝－3，z＝2×(－4)－4＝－12，
所以P3的坐标为(6，－3，－12).
规律方法
空间点的对称问题的解题策略
1.空间点的对称问题可类比平面直角坐标系中点的对称问题，要掌握对称点的变化规律，才能准确求解.
2.对称点的问题常常利用“关于谁对称，谁保持不变，其余坐标相反”这个结论.
对点练2.(多空题)点P(－3，2，－1)关于平面zOx的对称点是 .
，关于z轴的对称点是 ，关于M(1，2，1)的对称点是 .
(－3，－2，
－1)
(3，－2，－1)
(5，2，3)
返回
任务二 空间两点间的距离公式
问题导思
新知构建
微提醒
方程x2＋y2＋z2＝1表示什么图形？
提示：方程x2＋y2＋z2＝1表示以原点为球心，半径为1的球面.
微思考
角度1 求空间中两点间的距离
如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，｜C1C｜＝
｜CB｜＝｜CA｜＝2，AC⊥CB，D，E分别是棱AB，B1C1
的中点，F是AC的中点，求DE，EF的长度.
解：以点C为原点，CA，CB，CC1所在直线分别为x轴、
y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图所示.
典例
3
规律方法
利用空间两点间的距离公式求线段长度问题的一般步骤
对点练3.如图，正方体ABCD-A'B'C'D'的棱长为a，｜AN｜
＝2｜CN｜，｜BM｜＝2｜MC'｜.求MN的长.
解：以点D为原点，DA，DC，DD'所在直线分别为x轴、
y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图所示.
过点M作MF垂直BC于点F，连接NF，
显然MF垂直于平面ABCD，
所以MF⊥NF，
因为｜BM｜＝2｜MC'｜，所以｜BF｜＝2｜FC｜，
又｜AN｜＝2｜CN｜，
角度2 距离公式的应用
(链教材P96例3)已知点A(4，5，6)，B(－5，0，10)，在z轴上有一点P，使｜PA｜＝｜PB｜，则点P的坐标为 .
典例
4
(0，0，6)
规律方法
由空间两点间距离求点的坐标的方法
1.若已知点到定点的距离以及点在特殊位置，则可直接设出该点坐标，利用待定系数法求解点的坐标.
2.若已知一点到两个定点的距离之间的关系，以及其他的一些条件，则可以列出关于点的坐标的方程进行求解.
典例
4
课堂小结
任务再现 1.空间直角坐标系的概念.2.点在空间直角坐标系中的坐标.3.空间点的对称问题.4.空间两点间的距离公式.5.利用两点间距离公式求空间点的坐标
方法提炼 类比联想、数形结合思想
易错警示 由于对右手系理解有误而导致建立的坐标系不符合要求；由于点的坐标寻找不正确，而导致距离求解错误
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随堂评价
√
由点P的坐标可知，到平面yOz的距离即为横坐标的绝对值.故选A.
√
3.在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1(底面为正方形的直棱柱)中，｜AA1｜＝
2｜AB｜＝4，点E在CC1上且｜C1E｜＝3｜EC｜.建立如图所示的空间直角坐标系，则点B，C，E，A1的坐标分别为 .
.
(2，2，0)，(0，2，0)，
(0，2，1)，(2，0，4)
4.(双空题)点P(1，1，1)关于xOy平面的对称点P1的坐标为 ，点P关于z轴的对称点P2的坐标为 .
(1，1，－1)
(－1，－1，1)
点P(1，1，1)关于xOy平面的对称点P1的坐标为(1，1，－1)，点P关于z轴的对称点P2的坐标为(－1，－1，1).
返回
课时分层评价
√
1.点P(0，2，0)位于
A.x轴上 B.y轴上
C.xOy平面内 D.yOz平面内
由于x＝z＝0，y＝2，所以P在y轴上.故选B.
√
2.点P(a，b，c)到坐标平面xOz的距离是
A.｜a｜ B.｜b｜
C.｜c｜ D.以上都不对
设点P在平面xOz的投影为P'，则｜PP'｜＝｜b｜.故选B.
√
3.已知点A(2，3－μ，－1＋v)关于x轴的对称点为A'(λ，7，－6)，则λ，μ，v的值分别为
A.λ＝－2，μ＝－4，v＝－5
B.λ＝2，μ＝－4，v＝－5
C.λ＝2，μ＝10，v＝8
D.λ＝2，μ＝10，v＝7
两个点关于x轴对称，那么这两个点的横坐标相同，纵坐标与竖坐标均互为相反数，故有λ＝2，7＝－(3－μ)，－6＝－(－1＋v)，所以λ＝2，μ＝10，v＝7.故选D.
√
√
5.已知三点A(－4，－1，－9)，B(－10，1，－6)，C(－2，－4，－3)，则
A.△ABC是等腰三角形
B.△ABC是直角三角形
C.△ABC是等腰直角三角形
D.三点构不成三角形
√
√
√
6.(多选题)如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝5，AD＝4，AA1＝3，以直线DA，DC，DD1分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，则下列说法正确的是
A.点B1的坐标为(4，5，3)
B.点C1关于点B对称的点为(5，8，－3)
C.点A关于直线BD1对称的点为(0，5，3)
D.点C关于平面ABB1A1对称的点为(8，5，0)
依据空间中点的坐标的定义可知，点B1(4，5，3)，
点C1(0，5，3)，点A(4，0，0)，点C(0，5，0)，故
A正确；设点C1关于点B(4，5，0)的对称点为
(x1，y1，z1)，由中点坐标公式得x1＝4×2－0＝8，
y1＝5×2－5＝5，z1＝0×2－3＝－3，所以C1关于
点B对称的点为(8，5，－3)，故B错误；由AB＝5，AD＝4，AA1＝3易知四边形ABC1D1是正方形，所以点A关于直线BD1对称的点为C1(0，5，3)，故C正确；点C关于平面ABB1A1的对称点就是点C关于点B的对称点，坐标为(8，5，0)，故D正确.故选ACD.
7.(多空题)写出点P(2，3，4)在三条坐标轴上的投影的坐标 ，
， .
(2，0，0)
(0，3，0)
(0，0，4)
P(2，3，4)在x轴上的投影坐标为(2，0，0)，在y轴上的投影坐标为(0，3，0)，在z轴上的投影坐标为(0，0，4).
8.在空间直角坐标系中，已知点A(1，0，2)，B(1，－3，1)，点M在y轴上，且点M到点A与到点B的距离相等，则点M的坐标是 .
(0，－1，0)
设M(0，y，0).由｜MA｜＝｜MB｜得(1－0)2＋(0－y)2＋(2－0)2＝(1－0)2＋(－3－y)2＋(1－0)2，解得y＝－1.所以M(0，－1，0).
9.已知A(x，5－x，2x－1)，B(1，x＋2，2－x)，当｜AB｜取最小值时，x
的值为 .
√
(－8，－7，－2)
15.(5分)如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，｜AD｜＝｜AA1｜＝2，
｜AB｜＝4，DE⊥AC，垂足为E，建立适当的空间直角坐标系，则点E的
坐标可以为 .
解：因为PA⊥平面ABCD，且AB 平面ABCD，AD 平面ABCD，
所以PA⊥AB，PA⊥AD.
因为AB⊥AD，所以AP，AB，AD两两垂直.
所以以点A为原点，以AB，AD，AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系A-xyz，如图所示.
在平面ABCD内，作CE∥AB交AD于点E，则CE⊥AD.
在Rt△CDE中，DE＝CE＝1.
设AB＝AP＝t，则B(t，0，0)，P(0，0，t).
由AB＋AD＝4，得AD＝4－t，
所以E(0，3－t，0)，C(1，3－t，0)，D(0，4－t，0).
假设在线段AD上存在一点G，使得点G到点P，B，C，D的距离都相等.
设G(0，m，0)(其中0≤m≤4－t)，
由｜GC｜＝｜GD｜得12＋(3－t－m)2＝(4－t－m)2，即t＝3－m.①
由｜GD｜＝｜GP｜，得(4－t－m)2＝m2＋t2.②
由①②消去t，化简得m2－3m＋4＝0.③
由于方程③没有实数根，所以在线段AD上不存在一
点G，使得点G到点P，B，C，D的距离都相等.
返回§1 空间直角坐标系
学习目标 1.在平面直角坐标系的基础上，了解空间直角坐标系，感受建立空间直角坐标系的必要性，会用空间直角坐标系刻画点的位置，培养数学抽象、直观想象、逻辑推理的核心素养. 2.借助特殊长方体(所有棱分别与坐标轴平行)顶点的坐标，探索并得出空间两点间的距离公式，培养直观想象、逻辑推理的核心素养. 3.会应用空间两点间的距离公式，求空间中两点间的距离，提升数学运算的核心素养.
任务一 空间直角坐标系
问题1.在数轴上确定一个点的位置需要几个实数？在平面直角坐标系中确定一个点的位置需要几个实数？
提示：在数轴上，一个实数确定一个点的位置；在平面直角坐标系中，需要一个有序实数对(x，y)才能确定一个点的位置.
问题2.如果点P是空间直角坐标系O-xyz中的任意一点，那么如何刻画它的位置呢？
提示：类比平面上点的坐标的确定方式，可以先作出点P在三条坐标轴上的投影，再根据投影在坐标轴上的坐标写出表示点P位置的三元有序实数组即可.
如图所示，当点P不在任何坐标平面上时，过点P分别作垂直于x轴、y轴和z轴的平面，依次交x轴、y轴和z轴于点A、点B和点C，则点A，B，C分别是点P在x轴、y轴和z轴上的投影.设点A在x轴上、点B在y轴上、点C在z轴上的坐标依次为a，b，c，那么点P就对应唯一的三元有序实数组(a，b，c).
1.空间直角坐标系及相关概念
过空间任意一点O，作三条两两垂直的直线，并以点O为原点，在三条直线上分别建立数轴：x轴、y轴和z轴，这样就建立了一个空间直角坐标系O-xyz.点O叫作坐标原点，x轴(横轴)、y轴(纵轴)、z轴(竖轴)叫作坐标轴，通过每两条坐标轴的平面叫作坐标平面，分别称为xOy平面、yOz平面、zOx平面.
2.右手系
一般是将x轴和y轴放置在水平面上，那么z轴就垂直于水平面.它们的方向通常符合右手螺旋法则，即伸出右手，让四指与大拇指垂直，并使四指先指向x轴正方向，然后让四指沿握拳方向旋转90°指向y轴正方向，此时大拇指的指向即为z轴正方向.我们也称这样的坐标系为右手系.
3.点在空间直角坐标系中的坐标
(1)在空间直角坐标系中，对于空间任意一点P，都可以用唯一的一个三元有序实数组(x，y，z)来表示；反之，对于任意给定的一个三元有序实数组(x，y，z)，都可以确定空间中的一个点P.这样，在空间直角坐标系中，任意一点P与三元有序实数组(x，y，z)之间，就建立了一一对应的关系：P (x，y，z).
三元有序实数组(x，y，z)叫作点P在此空间直角坐标系中的坐标，记作P(x，y，z)，其中x叫作点P的横坐标，y叫作点P的纵坐标，z叫作点P的竖坐标.
(2)特殊点的三元有序实数组
点的位置 x轴上 y轴上 z轴上
坐标的形式 (x，0，0) (0，y，0) (0，0，z)
点的位置 xOy平面内 yOz平面内 zOx平面内
坐标的形式 (x，y，0) (0，y，z) (x，0，z)
[微提醒] (1)三个坐标平面把空间分成八个部分.(2)将x轴和y轴放在水平面上.(3)x轴的正半轴逆时针旋转90°与y轴正半轴重合.(4)建立的坐标系一般为右手系.(5)过点P作垂直于坐标轴的平面，与三条坐标轴分别交于点A、点B和点C，实际上就是作点P在各条坐标轴上的投影，即从点P向坐标轴引垂线，垂足分别为点A，B，C.设点A，B，C的坐标分别为(x，0，0)，(0，y，0)，(0，0，z)，则点P的坐标为(x，y，z).
角度1 已知点的位置写出点的坐标
(链教材P93例1)长方体ABCD-A'B'C'D'的长、宽、高分别为｜AB｜＝8，｜AD｜＝3，｜AA'｜＝5.建立适当的空间直角坐标系，并求顶点A，B，C，D，A'，B'，C'，D'的坐标.
解：如图所示，以A为原点，分别以有向直线AB，AD，AA'为x轴、y轴、z轴的正方向，以1为单位长度，建立空间直角坐标系A-xyz，
则点A，B，C，D都在平面xAy内，因而其竖坐标z都为0，
因此A，B，C，D的坐标分别是A(0，0，0)，B(8，0，0)，C(8，3，0)，D(0，3，0).
由于点A'，B'，C'，D'都在一个垂直于z轴的平面A'B'C'D'内，又｜AA'｜＝5，
所以这四点的竖坐标z都是5.
又过A'，B'，C'，D'分别作xAy平面的垂线，垂足分别为A，B，C，D，
因此A'，B'，C'，D'的横坐标x、纵坐标y分别与A，B，C，D的横坐标x、纵坐标y相同.
因此A'，B'，C'，D'的坐标分别是A'(0，0，5)，B'(8，0，5)，C'(8，3，5)，D'(0，3，5).
1.若已给出坐标系，不用再建系，若未给出坐标系，建立空间直角坐标系时应遵循以下原则：
(1)让尽可能多的点落在坐标轴上或坐标平面内；
(2)充分利用几何图形的对称性.
2.求某点的坐标时，一般先找这一点在某一坐标平面上的射影，确定其两个坐标，再找出它在另一坐标轴上的投影(或者通过它到这个坐标平面的距离加上正负号)进而确定第三个坐标.
对点练1.在棱长均为2a的正四棱锥P-ABCD中，建立适当的空间直角坐标系.
(1)写出正四棱锥P-ABCD各顶点的坐标；
(2)写出棱PB的中点M的坐标.
解：如图所示，连接AC，BD交于点O，连接PO.
因为四棱锥P-ABCD为正四棱锥，且棱长均为2a，
所以四边形ABCD为正方形，且PO⊥平面ABCD.
所以｜OA｜＝a，
｜PO｜＝＝＝a.
所以以点O为坐标原点，OA，OB，OP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图所示.
(1)正四棱锥P-ABCD中各顶点坐标分别为A(a，0，0)，B(0，a，0)，C(－a，0，0)，D(0，－a，0)，P(0，0，a).
(2)因为M为棱PB的中点，
所以M，
即M.
角度2 空间中点的对称问题
在空间直角坐标系中，已知点P(－2，1，4).
(1)求点P关于x轴对称的点P1的坐标；
(2)求点P关于xOy平面对称的点P2的坐标；
(3)求点P关于点M(2，－1，－4)对称的点P3的坐标.
解：(1)由于点P关于x轴对称后，它在x轴上的坐标不变，在y轴、z轴上的坐标变为原来的相反数，
所以对称点坐标为P1(－2，－1，－4).
(2)由点P关于xOy平面对称后，它在x轴、y轴上的坐标不变，在z轴上的坐标变为原来的相反数，
所以对称点坐标为P2(－2，1，－4).
(3)设对称点为P3(x，y，z)，则点M为线段PP3的中点，
由中点坐标公式，可得x＝2×2－(－2)＝6，
y＝2×(－1)－1＝－3，z＝2×(－4)－4＝－12，
所以P3的坐标为(6，－3，－12).
空间点的对称问题的解题策略
1.空间点的对称问题可类比平面直角坐标系中点的对称问题，要掌握对称点的变化规律，才能准确求解.
2.对称点的问题常常利用“关于谁对称，谁保持不变，其余坐标相反”这个结论.
对点练2.(多空题)点P(－3，2，－1)关于平面zOx的对称点是 ，关于z轴的对称点是 ，关于M(1，2，1)的对称点是 .
答案：(－3，－2，－1) (3，－2，－1) (5，2，3)
解析：点P(－3，2，－1)关于平面zOx的对称点是(－3，－2，－1)，关于z轴的对称点是(3，－2，－1).设点P(－3，2，－1)关于M(1，2，1)的对称点为(x，y，z)，则故点P(－3，2，－1)关于点M(1，2，1)的对称点为(5，2，3).
任务二 空间两点间的距离公式
问题3.在空间直角坐标系中，给定O(0，0，0)，P(x0，y0，z0)两点，如何求O，P两点间的距离？
提示：如图所示，｜OP｜＝，｜OA｜＝｜x0｜，｜OB｜＝｜y0｜，｜OC｜＝｜z0｜，则｜OP｜＝.
问题4.在空间直角坐标系中，给定P(x1，y1，z1)，Q(x2，y2，z2)两点，如何求P，Q两点间的距离？
提示：如图所示，作长方体使P，Q为其体对角线的顶点，长方体的棱都平行于坐标轴，由已知得，B(x2，y2，z1)，C(x1，y2，z1)，｜PQ｜＝，｜PC｜＝｜y2－y1｜，｜BC｜＝｜x2－x1｜，｜BQ｜＝｜z2－z1｜，则｜PQ｜＝ .
已知空间中P(x1，y1，z1)，Q(x2，y2，z2)两点，则P，Q两点间的距离为｜PQ｜＝
.
[微提醒] (1)公式特征：同名坐标差的平方和的算术平方根.(2)在空间直角坐标系中，点P(x，y，z)到坐标原点O的距离｜OP｜＝.
[微思考] 方程x2＋y2＋z2＝1表示什么图形？
提示：方程x2＋y2＋z2＝1表示以原点为球心，半径为1的球面.
角度1 求空间中两点间的距离
如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，｜C1C｜＝｜CB｜＝｜CA｜＝2，AC⊥CB，D，E分别是棱AB，B1C1的中点，F是AC的中点，求DE，EF的长度.
解：以点C为原点，CA，CB，CC1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图所示.
因为｜C1C｜＝｜CB｜＝｜CA｜＝2，
所以C(0，0，0)，A(2，0，0)，B(0，2，0)，C1(0，0，2)，B1(0，2，2).
由中点坐标公式，可得D(1，1，0)，E(0，1，2)，F(1，0，0)，
所以｜DE｜＝＝，
｜EF｜＝＝.
利用空间两点间的距离公式求线段长度问题的一般步骤
对点练3.如图，正方体ABCD-A'B'C'D'的棱长为a，｜AN｜＝2｜CN｜，｜BM｜＝2｜MC'｜.求MN的长.
解：以点D为原点，DA，DC，DD'所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图所示.
过点M作MF垂直BC于点F，连接NF，
显然MF垂直于平面ABCD，
所以MF⊥NF，
因为｜BM｜＝2｜MC'｜，所以｜BF｜＝2｜FC｜，
又｜AN｜＝2｜CN｜，
所以NF∥AB，所以｜NF｜＝｜FC｜＝｜AB｜＝，
同理｜MF｜＝｜CC'｜＝，
因此，点N的坐标为，点M的坐标为，
于是｜MN｜＝＝.
角度2 距离公式的应用
(链教材P96例3)已知点A(4，5，6)，B(－5，0，10)，在z轴上有一点P，使｜PA｜＝｜PB｜，则点P的坐标为 .
答案：(0，0，6)
解析：设P(0，0，z)，由｜PA｜＝｜PB｜，得
＝，解得z＝6.
所以点P的坐标为(0，0，6).
[变式探究]
(变条件)若本例中“在z轴上”改为“在y轴上”，其他条件不变，结论又如何？
解：设P(0，y，0)，由｜PA｜＝｜PB｜，
得
＝，
解得y＝－.所以点P的坐标为.
由空间两点间距离求点的坐标的方法
1.若已知点到定点的距离以及点在特殊位置，则可直接设出该点坐标，利用待定系数法求解点的坐标.
2.若已知一点到两个定点的距离之间的关系，以及其他的一些条件，则可以列出关于点的坐标的方程进行求解.
对点练4.已知点P1，P2的坐标分别为(3，1，－1)，(2，－2，－3)，分别在x，y，z轴上取点A，B，C，使它们与P1，P2两点的距离相等，求A，B，C的坐标.
解：设A(x，0，0)，B(0，y，0)，C(0，0，z)，
由｜AP1｜＝｜AP2｜，得
＝，
所以x＝－3，
同理，由｜BP1｜＝｜BP2｜，得y＝－1，
由｜CP1｜＝｜CP2｜，得z＝－，
所以A(－3，0，0)，B(0，－1，0)，C.
[教材拓展5]球的球面方程(源自于教材P95 思考交流)
求与平面x＋2y＋2z＋3＝0相切于点M(1，1，－3)，且半径为3的球面方程.
解：球心所在直线经过点M(1，1，－3)，且直线方向向量＝平面法向量＝(1，2，2)，
所以，设球心坐标为C(1＋t，1＋2t，－3＋2t)，
所以r＝｜CM｜＝＝3｜t｜＝3，
所以t＝±1，
球心C(2，3，－1)的球面方程为(x－2)2＋(y－3)2＋(z＋1)2＝9，
球心C(0，－1，－5)的球面方程为x2＋(y＋1)2＋(z＋5)2＝9.
任务 再现 1.空间直角坐标系的概念.2.点在空间直角坐标系中的坐标.3.空间点的对称问题.4.空间两点间的距离公式.5.利用两点间距离公式求空间点的坐标
方法 提炼 类比联想、数形结合思想
易错 警示 由于对右手系理解有误而导致建立的坐标系不符合要求；由于点的坐标寻找不正确，而导致距离求解错误
1.在空间直角坐标系中，点P(－1，－2，－3)到平面yOz的距离是( )
A.1 B.2
C.3 D.
答案：A
解析：由点P的坐标可知，到平面yOz的距离即为横坐标的绝对值.故选A.
2.已知点A(x，1，2)和点B(2，3，4)，且｜AB｜＝2，则实数x的值是( )
A.－2 B.6
C.－2或6 D.4
答案：C
解析：由空间两点间的距离公式得
＝2，解得x＝6或x＝－2.故选C.
3.在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1(底面为正方形的直棱柱)中，｜AA1｜＝2｜AB｜＝4，点E在CC1上且｜C1E｜＝3｜EC｜.建立如图所示的空间直角坐标系，则点B，C，E，A1的坐标分别为 .
答案：(2，2，0)，(0，2，0)，(0，2，1)，(2，0，4)
4.(双空题)点P(1，1，1)关于xOy平面的对称点P1的坐标为 ，点P关于z轴的对称点P2的坐标为 .
答案：(1，1，－1) (－1，－1，1)
解析：点P(1，1，1)关于xOy平面的对称点P1的坐标为(1，1，－1)，点P关于z轴的对称点P2的坐标为(－1，－1，1).
课时分层评价21 空间直角坐标系
(时间：60分钟 满分：110分)
(1—9，每小题5分，共45分)
1.点P(0，2，0)位于( )
A.x轴上 B.y轴上
C.xOy平面内 D.yOz平面内
答案：B
解析：由于x＝z＝0，y＝2，所以P在y轴上.故选B.
2.点P(a，b，c)到坐标平面xOz的距离是( )
A.｜a｜ B.｜b｜
C.｜c｜ D.以上都不对
答案：B
解析：设点P在平面xOz的投影为P'，则｜PP'｜＝｜b｜.故选B.
3.已知点A(2，3－μ，－1＋v)关于x轴的对称点为A'(λ，7，－6)，则λ，μ，v的值分别为( )
A.λ＝－2，μ＝－4，v＝－5
B.λ＝2，μ＝－4，v＝－5
C.λ＝2，μ＝10，v＝8
D.λ＝2，μ＝10，v＝7
答案：D
解析：两个点关于x轴对称，那么这两个点的横坐标相同，纵坐标与竖坐标均互为相反数，故有λ＝2，7＝－(3－μ)，－6＝－(－1＋v)，所以λ＝2，μ＝10，v＝7.故选D.
4.点P(1，，)为空间直角坐标系中的点，过点P作平面xOy的垂线，垂足为Q，则点Q的坐标为( )
A.(0，0，) B.(0，，)
C.(1，0，) D.(1，，0)
答案：D
解析：由空间点的坐标的定义，知点Q的坐标为(1，，0).故选D.
5.已知三点A(－4，－1，－9)，B(－10，1，－6)，C(－2，－4，－3)，则( )
A.△ABC是等腰三角形
B.△ABC是直角三角形
C.△ABC是等腰直角三角形
D.三点构不成三角形
答案：C
解析：因为＝49，＝98，＝49，所以＋＝，且｜AB｜＝｜CA｜，所以这三点构成等腰直角三角形.故选C.
6.(多选题)如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝5，AD＝4，AA1＝3，以直线DA，DC，DD1分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，则下列说法正确的是( )
A.点B1的坐标为(4，5，3)
B.点C1关于点B对称的点为(5，8，－3)
C.点A关于直线BD1对称的点为(0，5，3)
D.点C关于平面ABB1A1对称的点为(8，5，0)
答案：ACD
解析：依据空间中点的坐标的定义可知，点B1(4，5，3)，点C1(0，5，3)，点A(4，0，0)，点C(0，5，0)，故A正确；设点C1关于点B(4，5，0)的对称点为(x1，y1，z1)，由中点坐标公式得x1＝4×2－0＝8，y1＝5×2－5＝5，z1＝0×2－3＝－3，所以C1关于点B对称的点为(8，5，－3)，故B错误；由AB＝5，AD＝4，AA1＝3易知四边形ABC1D1是正方形，所以点A关于直线BD1对称的点为C1(0，5，3)，故C正确；点C关于平面ABB1A1的对称点就是点C关于点B的对称点，坐标为(8，5，0)，故D正确.故选ACD.
7.(多空题)写出点P(2，3，4)在三条坐标轴上的投影的坐标 ， ， .
答案：(2，0，0) (0，3，0) (0，0，4)
解析：P(2，3，4)在x轴上的投影坐标为(2，0，0)，在y轴上的投影坐标为(0，3，0)，在z轴上的投影坐标为(0，0，4).
8.在空间直角坐标系中，已知点A(1，0，2)，B(1，－3，1)，点M在y轴上，且点M到点A与到点B的距离相等，则点M的坐标是 .
答案：(0，－1，0)
解析：设M(0，y，0).由｜MA｜＝｜MB｜得(1－0)2＋(0－y)2＋(2－0)2＝(1－0)2＋(－3－y)2＋(1－0)2，解得y＝－1.所以M(0，－1，0).
9.已知A(x，5－x，2x－1)，B(1，x＋2，2－x)，当｜AB｜取最小值时，x的值为 .
答案：
解析：因为｜AB｜＝＝＝，所以当x＝时，｜AB｜最小.
10.(13分)已知A(3，3，1)，B(1，0，5)，求：
(1)线段AB的中点坐标及AB的长度；
(2)到A，B两点的距离相等的点P(x，y，z)的坐标满足的条件.
解：(1)设M(x1，y1，z1)是线段AB的中点，
则根据中点坐标公式得
x1＝＝2，y1＝＝，z1＝＝3.
所以AB的中点坐标为.
根据两点间的距离公式，得
｜AB｜＝＝，
所以AB的长度为.
(2)因为点P(x，y，z)到A，B的距离相等，
所以
＝，
化简得4x＋6y－8z＋7＝0.
即点P(x，y，z)的坐标满足的条件为4x＋6y－8z＋7＝0.
(11—13，每小题5分，共15分)
11.一束光线自点P(1，1，1)发出，遇到xOy平面被反射，到达点Q(3，3，6)被吸收，那么光所走的路程是( )
A. B.
C. D.
答案：D
解析：点P(1，1，1)关于xOy平面的对称点的坐标为M(1，1，－1)，一束光线自点P(1，1，1)发出，遇到xOy平面被反射，到达点Q(3，3，6)被吸收，那么光所走的路程是＝.故选D.
12.对于任意实数x，y，z，则＋的最小值为 .
答案：
解析：设P(x，y，z)，M(－1，2，1)，O(0，0，0)，则＋＝｜PO｜＋｜PM｜，由于x，y，z是任意实数，即点P是空间任意一点，则｜PO｜＋｜PM｜≥｜OM｜＝＝，当且仅当P，O，M三点共线时取等号，则所求的最小值为.
13.(双空题)在空间直角坐标系中，点A(2，3，4)关于点P(－3，－2，1)的对称点为B，则点B的坐标为 ，＝ .
答案：(－8，－7，－2) 2
解析：设点B坐标为(x，y，z)，由题知P是AB的中点，所以所以点B的坐标为(－8，－7，－2)，
＝＝2.
14.(15分)已知A(1，－2，11)，B(4，2，3)，C(6，－1，4)为△ABC的三个顶点.
求证：△ABC为直角三角形.
证明：｜AB｜＝＝，
｜BC｜＝＝，
｜AC｜＝＝，
所以｜AC｜2＋｜BC｜2＝75＋14＝89，又｜AB｜2＝89，
所以｜AC｜2＋｜BC｜2＝｜AB｜2，
所以∠ACB＝90°，
所以△ABC为直角三角形.
15.(5分)如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，｜AD｜＝｜AA1｜＝2，｜AB｜＝4，DE⊥AC，垂足为E，建立适当的空间直角坐标系，则点E的坐标可以为 .
答案：(答案不唯一)
解析：如图所示，以点D为原点，以DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系.则D(0，0，0)，B1(2，4，2)，A(2，0，0)，C(0，4，0).设点E的坐标为(x，y，0)，在xDy平面内，直线AC的方程为＋＝1，即2x＋y－4＝0，因为DE⊥AC，所以直线DE的方程为x－2y＝0.由所以E(答案不唯一).
16.(17分)如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD.在四边形ABCD中，AB⊥AD，AB＋AD＝4，CD＝，∠CDA＝45°.设AB＝AP，在线段AD上是否存在一点G，使得点G到点P，B，C，D的距离都相等？说明理由.
解：因为PA⊥平面ABCD，且AB 平面ABCD，AD 平面ABCD，
所以PA⊥AB，PA⊥AD.
因为AB⊥AD，所以AP，AB，AD两两垂直.
所以以点A为原点，以AB，AD，AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系A-xyz，如图所示.
在平面ABCD内，作CE∥AB交AD于点E，则CE⊥AD.
在Rt△CDE中，DE＝CE＝1.
设AB＝AP＝t，则B(t，0，0)，P(0，0，t).
由AB＋AD＝4，得AD＝4－t，
所以E(0，3－t，0)，C(1，3－t，0)，D(0，4－t，0).
假设在线段AD上存在一点G，使得点G到点P，B，C，D的距离都相等.
设G(0，m，0)(其中0≤m≤4－t)，
由｜GC｜＝｜GD｜得12＋(3－t－m)2＝(4－t－m)2，即t＝3－m.①
由｜GD｜＝｜GP｜，得(4－t－m)2＝m2＋t2.②
由①②消去t，化简得m2－3m＋4＝0.③
由于方程③没有实数根，所以在线段AD上不存在一点G，使得点G到点P，B，C，D的距离都相等.
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