§3 空间向量基本定理及空间向量运算的坐标表示
3.1 空间向量基本定理
学习目标 1.了解空间向量基本定理及其意义，并会用基向量表示空间向量. 2.初步体会利用空间向量基本定理求解立体几何问题的方法，提升直观想象、数学运算、逻辑推理的核心素养.
任务一 空间向量基本定理
问题.如图，设a，b，c是空间中三个两两垂直的向量，且表示它们的有向线段有公共起点O，对于任意一个空间向量p＝，p能否用a，b，c表示呢？
提示：如图所示，设在a，b所确定的平面上的投影向量，则＝＋.又向量，c共线，因此存在唯一的实数z，使得＝zc，从而＝＋zc.在a，b确定的平面上，由平面向量基本定理可知，存在唯一的有序实数对(x，y)，使得＝xa＋yb.从而＝＋zc＝xa＋yb＋zc.
1.空间向量基本定理
(1)条件：如果向量a，b，c是空间三个不共面的向量，p是空间任意一个向量.
(2)结论：存在唯一的三元有序实数组(x，y，z)，使得p＝xa＋yb＋zc.
2.基
(1)条件：三个向量a，b，c不共面.
(2)结论：{a，b，c}叫作空间向量的一组基.其中a，b，c都叫作基向量.
[微提醒] (1)空间任意三个不共面的向量都可构成空间向量的一组基.基选定后，空间的所有向量均可由基唯一表示；不同基下，同一向量的表达式也有可能不同.(2)一组基是一个向量组，一个基向量是指基中的某一个向量，二者是相关联的不同概念.(3)由于零向量与任意一个非零向量共线，与任意两个不共线的非零向量共面，所以若三个向量不共面，就说明它们都不是零向量.
若{a，b，c}是空间向量的一组基，试判断{a＋b，b＋c，c＋a}能否作为空间向量的一组基.
解：假设a＋b，b＋c，c＋a共面，则存在实数λ，μ，使得a＋b＝λ(b＋c)＋μ(c＋a)，即a＋b＝μa＋λb＋(λ＋μ)c.
因为{a，b，c}是空间向量的一组基，
所以a，b，c不共面，
所以方程组无解.
即不存在实数λ，μ，使得a＋b＝λ(b＋c)＋μ(c＋a)，
所以a＋b，b＋c，c＋a不共面.
故{a＋b，b＋c，c＋a}能作为空间向量的一组基.
判断一组基的基本思路和注意问题
1.基本思路：判断三个空间向量是否共面，若共面，则不能构成一组基；若不共面，则能构成一组基.
2.注意问题：对于三个向量，若其中存在零向量，则这组向量不能作为一组基；若其中存在一个向量可以用另外的向量线性表示，则不能构成一组基.
对点练1.{e1，e2，e3}是空间向量的一组基，且＝e1＋2e2－e3，＝－3e1＋e2＋2e3，＝e1＋e2－e3，试判断{，，}能否作为空间向量的一组基.
解：假设，，共面，由向量共面的充要条件知，存在实数x，y，使＝x＋y成立，
所以e1＋2e2－e3＝x(－3e1＋e2＋2e3)＋y(e1＋e2－e3)，
即e1＋2e2－e3＝(y－3x)e1＋(x＋y)e2＋(2x－y)e3.
因为{e1，e2，e3}是空间向量的一组基，所以e1，e2，e3不共面，
所以此方程组无解.
即不存在实数x，y，使得＝x＋y，
所以，，不共面.
所以{，，}能作为空间向量的一组基.
任务二 用基向量表示空间向量
如图，在三棱柱ABC-A'B'C'中，已知＝a，＝b，＝c，点M，N分别是BC'，B'C'的中点，试用a，b，c表示向量，.
解：＝＋＝＋＋)＝＋＋
＝＋－)＋＝＋＋＝(a＋b＋c).
连接A'N(图略).
＝＋＝＋＋)
＝＋＋)＝a＋b＋c.
[变式探究]
(变条件)若把本例中的“＝a”改为“＝a”，其他条件不变，则结果是什么？
解：因为M为BC'的中点，N为B'C'的中点，
所以＝＋)＝a＋b.
＝＋)＝＋＋)
＝＋＋
＝＋－)＋
＝＋－＝a＋b－c.
用基向量表示空间向量的步骤
第一步(定基)：根据已知条件，确定三个不共面的向量构成空间向量的一组基；
第二步(找目标)：用确定的基(或已知基)表示目标向量，需要根据三角形法则及平行四边形法则，结合相等向量的代换、向量的运算进行变形、化简，最后求出结果；
第三步(下结论)：利用空间向量的一组基{a，b，c}可以表示出空间所有向量.表示要彻底，结果中只能含有a，b，c，不能含有其他形式的向量.
对点练2.(一题多解)已知矩形ABCD，P为平面ABCD外一点，M，N分别为PC，PD上的点，且M分PC为PM∶MC＝2，N为PD的中点，求满足＝x＋y＋z的实数x，y，z的值.
解：法一：如图所示，取PC的中点E，
连接NE，则＝－.
因为＝＝＝－，
＝－＝－＝，
连接AC，则＝－＝＋－，
所以＝－－＋－)
＝－－＋，
因为，，不共面，
所以x＝－，y＝－，z＝.
法二：＝－＝－＝＋)－＋)＝－＋－(－＋＋)＝－－＋，
因为，，不共面，
所以x＝－，y＝－，z＝.
任务三 四点共面问题
已知A，B，C三点不共线，对平面ABC外的任一点O，若点M满足＝＋＋.
(1)判断，，三个向量是否共面；
(2)判断点M是否在平面ABC内.
解：(1)因为＝＋＋，
所以＋＋＝3，
所以－＝(－)＋(－)，
所以＝＋＝－－，
所以向量，，共面.
(2)由(1)知向量，，共面，又这三个向量有公共点M，所以M，A，B，C共面，即点M在平面ABC内.
解决向量共面问题的策略
1.若已知点P在平面ABC内，则有＝x＋y＝x＋y＋z(x＋y＋z＝1)，然后利用指定向量表示出已知向量，用待定系数法求出参数.
2.证明三个向量共面(或四点共面)，需利用共面向量定理，证明过程中要灵活进行向量的分解与合成，将其中一个向量用另外两个不共线的向量来表示.
对点练3.如图，在空间四边形ABCD中，H，G分别是AD，CD的中点，E，F分别是边AB，BC上的点，且＝＝，＝a，＝b，＝c.
(1)求(用向量a，b，c表示)；
(2)求证：点E，F，G，H四点共面.
解：(1)因为＝＋＋＝－＋＋＝－－＋＝－－，
所以＝a－b－c.
(2)证明：由(1)知＝a－b－c，
因为＝＝，所以EF＝AC，且FE∥AC，
即＝＝a，＝＋＝－－＝－b－c，
所以＝＋，又这三个向量有公共点F，所以点E，F，G，H四点共面.
任务 再现 1.空间向量基本定理.2.用基向量表示空间向量.3.四点共面问题
方法 提炼 基向量法、数形结合思想、转化与化归思想
易错 警示 忽视基向量的条件；利用基向量表示向量时，没有转化目标，不理解空间向量基本定理的意义
1.设p：a，b，c是三个非零向量；q：{a，b，c}为空间向量的一组基，则p是q的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
答案：B
解析：当非零向量a，b，c不共面时，{a，b，c}可以作为基，否则不能作为基.当{a，b，c}为基时，一定有a，b，c为非零向量.因此p / q，q p.故选B.
2.(多选题)下列条件中，使M与A，B，C一定共面的是( )
A.＝3－－
B.＝＋＋
C.＋＋＝0
D.＋＋＋＝0
答案：AC
解析：A选项中，3－1－1＝1，四点共面，C选项中，＝－－，则点M，A，B，C共面.故选AC.
3.(双空题)已知空间向量的一组基{a，b，c}，m＝a－b＋c，n＝xa＋yb＋c，若m与n共线，则x＝ ，
y＝ .
答案：1 －1
解析：因为m与n共线，所以存在实数λ，使m＝λn，即a－b＋c＝λxa＋λyb＋λc，于是有
4.如图，在正四面体P-ABC中，M，N分别为PA，BC的中点，D是线段MN上一点，且ND＝2DM，若＝x＋y＋z，则x＋y＋z的值为 .
答案：
解析：由题意得＝＋＝＋＝＋－)＝＋＋－)＝＋＋，所以x＝，y＝z＝，所以x＋y＋z＝.
课时分层评价24 空间向量基本定理
(时间：60分钟 满分：110分)
(1—9，每小题5分，共45分)
1.已知O，A，B，C为空间四点，且向量，，不能构成空间向量的一组基，则( )
A.，，共线 B.，共线
C.，共线 D.O，A，B，C四点共面
答案：D
解析：由，，不能构成一组基知，，，三向量共面，所以一定有O，A，B，C四点共面.故选D.
2.(多选题)给出下列命题，其中是真命题的是( )
A.若{a，b，c}可以作为空间向量的一组基，d与c共线，c≠0，d≠0，则{a，b，d}也可以作为空间向量的一组基
B.已知向量a∥b，则a，b与任何向量都不能构成空间向量的一组基
C.已知A，B，M，N是空间中的四点，若{，，}不能构成空间向量的一组基，则A，B，M，N四点共面
D.若a，b是两个不共线的向量，而c＝λa＋μb(λ，μ∈R且λμ≠0)，则{a，b，c}能构成空间向量的一组基
答案：ABC
解析：对于A，假设d与a，b共面，则存在实数λ，μ，使得d＝λa＋μb，因为d与c共线，c≠0，所以存在实数k，使得d＝kc，因为d≠0，所以k≠0，从而c＝a＋b，所以c与a，b共面，与已知条件矛盾，所以d与a，b不共面，故A是真命题；对于B，根据基的概念，知空间中任意三个不共面的向量都可作为空间向量的一组基，显然B是真命题；对于C，由，，有公共点B，所以A，B，M，N四点共面，故C是真命题；对于D，因为a，b，c共面，所以{a，b，c}不能构成空间向量的一组基，故D错误.故选ABC.
3.已知{a，b，c}是空间向量的一组基，p＝a＋b，q＝a－b，一定可以与向量p，q构成空间向量的另一组基的是( )
A.a B.b
C.c D.p－2q
答案：C
解析：因为a，b，c不共面，所以p，q，c不共面.若存在x，y∈R，使c＝xp＋yq＝(x＋y)a＋(x－y)b成立，则a，b，c共面，这与已知{a，b，c}是空间向量的一组基矛盾，故p，q，c不共面.故选C.
4.如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，点O为空间内任意一点，设＝a，＝b，＝c，则向量可用a，b，c表示为( )
A.a－b＋2c B.a－b－2c
C.－a＋b＋c D.a－b＋c
答案：D
解析：＝＋＝＋＝＋－)＝a－b＋c.故选D.
5.已知A，B，C三点不共线，O是平面ABC外一点，下列条件中能确定点M与点A，B，C一定共面的是( )
A.＝＋＋
B.＝＋2＋3
C.＝＋＋
D.＝＋＋
答案：D
解析：由＝＋＋，得－＝－)＋－)，即＝＋，所以A，B，C，M四点共面.故选D.
6.若a＝e1＋e2＋e3，b＝e1－e2－e3，c＝e1＋e2，d＝e1＋2e2＋3e3(e1，e2，e3为空间向量的一组基)且d＝xa＋yb＋zc，则x，y，z的值分别为( )
A.，－，－1 B.，，1
C.－，，1 D.，－，1
答案：A
解析：d＝xa＋yb＋zc＝(x＋y＋z)e1＋(x－y＋z)e2＋(x－y)e3.又因为d＝e1＋2e2＋3e3，所以故选A.
7.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E，F分别是底面A1C1和侧面CD1的中心，若＋λ＝0(λ∈R)，则λ＝ .
答案：－
解析：如图所示，连接A1C1，C1D，则E在A1C1上，F在C1D上，易知EF＝A1D，所以＝，即－＝0，所以λ＝－.
8.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，用{，，}作为空间向量的一组基，则＝ .
答案：＋＋)
解析：因为2＝2＋2＋2＝(＋)＋(＋)＋(＋)＝＋＋，所以＝＋＋).
9.(一题多解)已知A，B，C三点不共线，O是平面ABC外的任意一点，若点P在平面ABC内，且＝＋＋m，则实数m＝ .
答案：
解析：法一：＝－＋＋m－＋－m＋m＝＋－)＋m(－)＋＋m－＝＋＋m＋，即＝＋m＋，由共面向量定理可得m－＝0，故m＝.
法二：因为点P在平面ABC内，O是平面ABC外的任意一点，所以＝x＋y＋z，且x＋y＋z＝1，利用此结论可得＋＋m＝1，解得m＝.
10.(13分)如图，已知平行六面体OABC-O'A'B'C'，且＝a，＝b，＝c.
(1)用a，b，c表示向量；
(2)设G，H分别是侧面BB'C'C和O'A'B'C'的中心，用a，b，c表示.
解：(1)＝＋＝－＋＝b＋c－a.
(2)＝＋＝－＋＝－＋)＋＋)
＝－＋＝(c－b).
(11—13，每小题5分，共15分)
11.(多选题)设x＝a＋b，y＝b＋c，z＝c＋a，且{a，b，c}是空间的一组基，则能作为空间一组基的向量组是( )
A.{x，y，z} B.{x，y，a}
C.{b，c，z} D.{a，b，x}
答案：ABC
解析：如图所示，作平行六面体ABCD-A1B1C1D1，使＝a，＝b，＝c，则＝x，＝y，＝z，由平行六面体的性质知：向量x，y，z不共面；向量x，y，a不共面；向量b，c，z不共面.又由x＝a＋b可知，向量a，b，x共面.故选ABC.
12.在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，F为棱DD1的中点，E为棱BB1上一点.记＝x＋y＋z，若x＋y＋z＝，则＝ .
答案：
解析：如图所示，设＝λ，因为＝＋＋＋＝－λ－＋＋＝－λ－＋＋＝－＋＋，又已知＝x＋y＋z，所以x＝－1，y＝1，z＝－λ.又因为x＋y＋z＝－λ＝，所以λ＝.
13.(新角度)在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，P为正方体内一动点(包括表面)，若＝x＋y＋z，且0≤x≤y≤z≤1.则点P所有可能的位置所构成的几何体的体积是 ；表面积是 .
答案： 1＋
解析：根据向量加法的几何意义和空间向量基本定理，满足0≤x≤y≤1的点P在三棱柱ACD-A1C1D1内，满足0≤y≤z≤1的点P在三棱柱AA1D1-BB1C1内，故同时满足0≤x≤y≤1和0≤y≤z≤1的点P在这两个三棱柱的公共部分(如图)，即三棱锥A-A1C1D1内，其体积是 × ×1×1×1＝，其表面积是2××1×1＋2××1×＝1＋.
14.(15分)如图，在四棱锥E-ABCD中，底面ABCD是正方形，AC与BD交于点O，EC⊥底面ABCD，F为BE的中点.
(1)求证：DE∥平面ACF；
(2)求证：BD⊥AE；
(3)若AB＝CE，在线段EO上是否存在点G，使CG⊥平面BDE？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
解：(1)证明：设＝a，＝b，＝c，则{a，b，c}构成空间向量的一组基，且｜a｜＝｜b｜，a·b＝b·c＝c·a＝0.
依题意得＝－＝c－b，＝＋＝a＋b，＝＋)＝a＋c.
设＝x＋y(x，y∈R)，则c－b＝x(a＋b)＋y＝a＋xb＋yc，
因此
又不共线，所以，，共面.
又直线DE不在平面ACF内，
所以DE∥平面ACF.
(2)证明：依题意得＝＋＝b－a，＝＋＝＋＋＝－a－b＋c＝c－a－b，
则·＝(b－a)·(c－a－b)＝－b2＋a2＝0，
因此⊥，从而BD⊥AE.
(3)由AB＝CE，设｜a｜＝｜b｜＝2，则｜c｜＝，
假设在线段EO上存在点G，使CG⊥平面BDE.
由O，G，E三点共线，设＝(1－λ)＋λ＝λa＋λb＋(1－λ)c(0≤λ≤1)，
则一定有CG⊥DE，而＝c－b，
所以·＝·(c－b)＝(1－λ)c2－λb2＝2－4λ＝0，解得λ＝，
易知CG⊥BD，所以点G是线段EO的中点时，满足题意，此时＝.
15.(5分)已知四面体O-ABC，G1是△ABC的重心，G是OG1上一点，且OG＝3GG1，若＝x＋y＋z，则(x，y，z)为( )
A. B.
C. D.
答案：A
解析：如图所示，连接AG1并延长，交BC于点E，则点E为BC的中点，所以＝＋)＝－2＋)，＝＝－2＋)，因为＝3，所以＝＝＋)＝＝＋＋.所以x＝，y＝，z＝.故选A.
16.(17分)如图，在三棱锥P-ABC中，点G为△ABC的重心，点M在PG上，且PM＝3MG，过点M任意作一个平面分别交线段PA，PB，PC于点D，E，F，若＝m，＝n，＝t，求证：＋＋为定值，并求出该定值.
证明：连接AG并延长交BC于点H，连接DM(图略).
由题意，可令{，，}为空间的一组基，
则＝＝＋)＝＋×＝＋×＋)＝＋－)＋－)＝＋＋.
因为点D，E，F，M共面，
所以存在实数λ，μ使得＝λ＋μ，
即－＝λ(－)＋μ(－)，
所以＝(1－λ－μ)＋λ＋μ＝(1－λ－μ)m＋λn＋μt，
由空间向量基本定理，
知＝(1－λ－μ)m，＝λn，＝μt，
所以＋＋＝4(1－λ－μ)＋4λ＋4μ＝4，
即＋＋为定值，定值为4.
21世纪教育网(www.21cnjy.com)(共58张PPT)
3.1 空间向量基本定理
第三章 §3 空间向量基本定理及空间向量运算的坐标表示
学习目标
1.了解空间向量基本定理及其意义，并会用基向量表示空间 向量.
2.初步体会利用空间向量基本定理求解立体几何问题的方 法，提升直观想象、数学运算、逻辑推理的核心素养.
任务一 空间向量基本定理
问题导思
新知构建
1.空间向量基本定理
(1)条件：如果向量a，b，c是空间三个不共面的向量，p是空间任意一个
向量.
(2)结论：存在______的三元有序实数组(x，y，z)，使得p＝xa＋yb＋zc.
2.基
(1)条件：三个向量a，b，c________.
(2)结论：_________叫作空间向量的一组基.其中a，b，c都叫作________.
唯一
不共面
{a，b，c}
基向量
微提醒
(1)空间任意三个不共面的向量都可构成空间向量的一组基.基选定后，空间的所有向量均可由基唯一表示；不同基下，同一向量的表达式也有可能不同.(2)一组基是一个向量组，一个基向量是指基中的某一个向量，二者是相关联的不同概念.(3)由于零向量与任意一个非零向量共线，与任意两个不共线的非零向量共面，所以若三个向量不共面，就说明它们都不是零向量.
典例
1
规律方法
判断一组基的基本思路和注意问题
1.基本思路：判断三个空间向量是否共面，若共面，则不能构成一组基；若不共面，则能构成一组基.
2.注意问题：对于三个向量，若其中存在零向量，则这组向量不能作为一组基；若其中存在一个向量可以用另外的向量线性表示，则不能构成一组基.
返回
任务二 用基向量表示空间向量
典例
2
规律方法
用基向量表示空间向量的步骤
第一步(定基)：根据已知条件，确定三个不共面的向量构成空间向量的一组基；
第二步(找目标)：用确定的基(或已知基)表示目标向量，需要根据三角形法则及平行四边形法则，结合相等向量的代换、向量的运算进行变形、化简，最后求出结果；
第三步(下结论)：利用空间向量的一组基{a，b，c}可以表示出空间所有向量.表示要彻底，结果中只能含有a，b，c，不能含有其他形式的向量.
返回
任务三 四点共面问题
典例
3
规律方法
课堂小结
任务再现 1.空间向量基本定理.2.用基向量表示空间向量.3.四点共面问题
方法提炼 基向量法、数形结合思想、转化与化归思想
易错警示 忽视基向量的条件；利用基向量表示向量时，没有转化目标，不理解空间向量基本定理的意义
返回
随堂评价
√
1.设p：a，b，c是三个非零向量；q：{a，b，c}为空间向量的一组基，则p是q的
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
当非零向量a，b，c不共面时，{a，b，c}可以作为基，否则不能作为基.当{a，b，c}为基时，一定有a，b，c为非零向量.因此p q，q p.故选B.
/
√
√
3.(双空题)已知空间向量的一组基{a，b，c}，m＝a－b＋c，n＝xa＋yb＋c，若m与n共线，则x＝ ，y＝ .
1
－1
返回
课时分层评价
√
√
√
√
√
因为a，b，c不共面，所以p，q，c不共面.若存在x，y∈R，使c＝xp＋yq＝(x＋y)a＋(x－y)b成立，则a，b，c共面，这与已知{a，b，c}是空间向量的一组基矛盾，故p，q，c不共面.故选C.
√
√
√
√
√
√
11.(多选题)设x＝a＋b，y＝b＋c，z＝c＋a，且{a，b，c}是空间的一组基，则能作为空间一组基的向量组是
A.{x，y，z} B.{x，y，a}
C.{b，c，z} D.{a，b，x}
√
返回
