(共64张PPT)
4.1 直线的方向向量与平面的法向量
第三章 §4 向量在立体几何中的应用
学习目标
1.能用向量语言描述直线和平面，理解直线的方向向量与平 面的法向量，培养学生的数学抽象、直观想象的核心素养.
2.会求直线的方向向量与平面的法向量，提升数学运算的核 心素养.
任务一 直线的方向向量与直线的向量表示
问题导思
油纸伞是世界上最早的雨伞，纯手工制成，全部取材于天然，是中国古人智慧的结晶.油纸伞舞蹈表演，更是传承几百年，用来伴舞，美轮美奂.
问题1.观众甲、乙两人在不同地方观察到舞台上方的一个
彩灯，甲说彩灯在他的左上方，而乙说彩灯在他的右上方，
为什么？
提示：甲乙观察点的位置不一样.
问题2.当舞蹈演员们向同一个方向举起油纸伞时，伞柄所在的直线是什么位置关系？
提示：互相平行.
新知构建
微提醒
(1)空间中，一个向量成为直线l的方向向量，必须具备两个条件：①是非零向量；②向量所在的直线与l平行或重合.(2)与直线l平行的任意非零向量a都是直线l的方向向量，且直线l的方向向量有无数个.
典例
1
规律方法
√
对点练1.(1)(多选题)若M(1，0，－1)，N(2，1，2)在直线l上，则直线l的一个方向向量是
A.(2，2，6) B.(1，1，3)
C.(3，1，1) D.(－3，0，1)
√
(2)若向量a＝(x，－2，1)，b＝(－1，y，2)都是直线l的方向向量，则x＋y
＝ .
返回
任务二 平面的法向量
问题导思
问题3.当伞柄的方向改变时，伞面的位置也改变，为什么？
提示：伞柄与伞面是垂直关系，过直线外一点有且只有一个平面与该直线垂直，所以伞柄的方向改变时，伞面的位置也随之改变.
新知构建
方向向量
A(x－x0)＋B(y－y0)＋C(z－z0)＝0
微提醒
(1)平面α的法向量垂直于平面α内的所有向量.(2)一个平面的法向量有无限多个，它们相互平行.
(1)(多选题)在如图所示的空间直角坐标系中，ABCD-A1B1C1D1是棱长为1的正方体，下列结论正确的是
A.平面CDD1C1的一个法向量为(0，1，0)
B.平面A1BC的一个法向量为(1，1，1)
C.平面B1CD1的一个法向量为(1，1，1)
D.平面ABC1D1的一个法向量为(0，1，1)
典例
2
√
√
(2)已知平面α经过点O(0，0，0)，且e＝(1，2，－3)是α的一个法向量，M(x，y，z)是平面α内任意一点，则x，y，z满足的关系式是 .
x＋2y－3z＝0
规律方法
返回
任务三 求平面的法向量
典例
3
规律方法
课堂小结
任务再现 1.直线的方向向量与直线的向量表示.2.平面的法向量及其应用.3.求平面的法向量
方法提炼 待定系数法、赋值法、转化与化归思想
易错警示 对直线的方向向量理解不到位而致误；不理解平面法向量的作用和不唯一性
返回
随堂评价
√
1.若A(2，1，1)，B(1，2，2)在直线l上，则直线l的一个方向向量为
A.(2，1，1) B.(－2，2，2)
C.(－3，2，1) D.(2，1，－1)
√
2.过空间三点A(1，1，0)，B(1，0，1)，C(0，1，1)的平面的一个法向
量是
A.(1，1，1) B.(1，1，－1)
C.(1，0，1) D.(－1，0，1)
√
√
4.已知平面α经过点M(1，1，1)，且e＝(2，4，7)是α的一个法向量，N(x，y，z)是平面α内任意一点，则x，y，z满足的关系式是 .
2x＋4y＋7z－13＝0
返回
课时分层评价
√
1.下列说法不正确的是
A.若直线l垂直于平面α，则直线l的任意一个方向向量都是平面α的一个法向量
B.若n是平面α的一个法向量，则n与平面α内任意一条直线的方向向量均垂直
C.0是任意一个平面的一个法向量
D.一个平面的法向量是不唯一的
对于A，根据直线的方向向量的定义及平面的法向量的定义可知，若直线l垂直于平面α，则直线l的任意一个方向向量都是平面α的一个法向量，故A正确；对于B，由平面的法向量的定义可知，若n是平面α的一个法向量，则n与平面α内任意一条直线的方向向量均垂直，故B正确；对于C，由平面的法向量的定义可知，0不能作为一个平面的法向量，故C错误；对于D，由平面的法向量的定义可知，一个平面的法向量是不唯一的，故D正确.故选C.
√
√
3.空间直角坐标系中，已知点P(0，3，－1)，向量u＝(2，－1，1)，则过点P且以u为法向量的平面方程为
A.2x－y＋z＝－4 B.x＋2y－z＝7
C.x－y＋2z＝－5 D.－x＋2y＋z＝5
√
因为PA⊥平面ABCD，所以BD⊥PA.又AC⊥BD，AC∩PA＝A，AC，PA 平面PAC，所以BD⊥平面PAC，所以PC⊥BD.故B成立，A和D显然成立.故选C.
√
5.已知平面α上的两个向量a＝(2，3，1)，b＝(5，6，4)，则平面α的一个法向量为
A.(1，－1，1) B.(2，－1，1)
C.(－2，1，1) D.(－1，1，1)
√
7.(开放题)若n是坐标平面xOy的一个法向量，则n的坐标可以表示为 .
(0，0，z)，其中z≠0
8.(双空题)已知直线l的一个方向向量v＝(1，2，4)，且l过A(0，y，3)和B(－1，－2，z)，则y＝ ，z＝ .
0
－1
4
√
√
√
11.(多选题)如图，四棱柱ABCD-A1B1C1D1为正方体，则下列结论正确的是
A.直线DD1的一个方向向量为(0，0，1)
B.直线BC1的一个方向向量为(0，1，1)
C.平面ABB1A1的一个法向量为(0，1，0)
D.平面B1CD的一个法向量为(1，1，1)
√
12.《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑.在鳖臑A-BCD中，AB⊥平面BCD，∠BDC＝90°，BD＝AB＝CD.若建立如图所示的空间直角坐标系，则平面ACD的一个法向量为
A.(0，1，0)
B.(0，1，1)
C.(1，1，1)
D.(1，1，0)
14.(15分)如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PAB⊥平面ABCD，△PAB是边长为1的正三角形，ABCD是菱形，∠ABC＝60°，E是PC的中点，F是AB的中点，试建立恰当的空间直角坐标系，求平面DEF的一个法向量.
解：如图所示，连接PF，CF，AC.
因为PA＝PB，F为AB的中点，
所以PF⊥AB，
又因为平面PAB⊥平面ABCD，
平面PAB∩平面ABCD＝AB，PF 平面PAB，
所以PF⊥平面ABCD.
(1，0，－1)(答案不唯一)
返回§4 向量在立体几何中的应用
4.1 直线的方向向量与平面的法向量
学习目标 1.能用向量语言描述直线和平面，理解直线的方向向量与平面的法向量，培养学生的数学抽象、直观想象的核心素养. 2.会求直线的方向向量与平面的法向量，提升数学运算的核心素养.
任务一 直线的方向向量与直线的向量表示
油纸伞是世界上最早的雨伞，纯手工制成，全部取材于天然，是中国古人智慧的结晶.油纸伞舞蹈表演，更是传承几百年，用来伴舞，美轮美奂.
问题1.观众甲、乙两人在不同地方观察到舞台上方的一个彩灯，甲说彩灯在他的左上方，而乙说彩灯在他的右上方，为什么？
提示：甲乙观察点的位置不一样.
问题2.当舞蹈演员们向同一个方向举起油纸伞时，伞柄所在的直线是什么位置关系？
提示：互相平行.
1.直线的方向向量：设点A，B是直线l上不重合的任意两点，称为直线l的方向向量.
2.直线的向量表示：已知点M是直线l上的一点，非零向量a是直线l的一个方向向量，那么对于直线l上的任意一点P，一定存在实数t，使得＝ta.反之，由几何知识不难确定，满足上式的点P一定在直线l上，因此，我们把这个式子称为直线l的向量表示.
[微提醒] (1)空间中，一个向量成为直线l的方向向量，必须具备两个条件：①是非零向量；②向量所在的直线与l平行或重合.(2)与直线l平行的任意非零向量a都是直线l的方向向量，且直线l的方向向量有无数个.
如图，已知长方体ABCD-A'B'C'D'的棱长AB＝2，AD＝4，AA'＝3.以点D为原点，DA，DC，DD'所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，求下列直线的一个方向向量：
(1)AA'；(2)BD'.
解：由已知可得，长方体顶点A，B，A'，D'的坐标分别为A(4，0，0)，B(4，2，0)，A'(4，0，3)，D'(0，0，3).
(1)因为向量＝(0，0，3)，所以直线AA'的一个方向向量为(0，0，3).
(2)因为向量＝(－4，－2，3)，所以直线BD'的一个方向向量为(－4，－2，3).
直线的方向向量的求法
求直线AB的方向向量，就是找与平行的任意非零向量，因此可以在直线AB上任取不同的两点，分别以这两点为起点和终点的向量就是直线AB的方向向量，也可以在与直线AB平行的直线上任取不同的两点，分别以这两点为起点和终点的向量也是直线AB的方向向量.
对点练1.(1)(多选题)若M(1，0，－1)，N(2，1，2)在直线l上，则直线l的一个方向向量是( )
A.(2，2，6) B.(1，1，3)
C.(3，1，1) D.(－3，0，1)
(2)若向量a＝(x，－2，1)，b＝(－1，y，2)都是直线l的方向向量，则x＋y＝ .
答案：(1)AB (2)－
解析：(1)因为M，N在直线l上，所以＝(1，1，3)，故向量(1，1，3)，(2，2，6)都是直线l的一个方向向量.故选AB.
(2)因为a，b都是直线l的方向向量，所以a∥b.因此＝＝，解得x＝－，y＝－4.所以x＋y＝－.
任务二 平面的法向量
问题3.当伞柄的方向改变时，伞面的位置也改变，为什么？
提示：伞柄与伞面是垂直关系，过直线外一点有且只有一个平面与该直线垂直，所以伞柄的方向改变时，伞面的位置也随之改变.
平面的法向量
1.定义：如果一条直线l与一个平面α垂直，那么就把直线l的方向向量n叫作平面α的法向量，则n⊥α.
2.向量表示式：如图所示，设点M是平面α内给定的一点，向量n是平面α的一个法向量，那么对于平面α内任意一点P，必有·n＝0.把此式称为平面α的一个向量表示式.
3.平面α的方程：在空间直角坐标系中，若n＝(A，B，C)，点M的坐标为(x0，y0，z0)，则对于平面α内任意一点P(x，y，z)，有＝(x－x0，y－y0，z－z0)，则方程A(x－x0)＋B(y－y0)＋C(z－z0)＝0称为平面α的方程.
[微提醒] (1)平面α的法向量垂直于平面α内的所有向量.(2)一个平面的法向量有无限多个，它们相互平行.
(1)(多选题)在如图所示的空间直角坐标系中，ABCD-A1B1C1D1是棱长为1的正方体，下列结论正确的是( )
A.平面CDD1C1的一个法向量为(0，1，0)
B.平面A1BC的一个法向量为(1，1，1)
C.平面B1CD1的一个法向量为(1，1，1)
D.平面ABC1D1的一个法向量为(0，1，1)
(2)已知平面α经过点O(0，0，0)，且e＝(1，2，－3)是α的一个法向量，M(x，y，z)是平面α内任意一点，则x，y，z满足的关系式是 .
答案：(1)AC (2)x＋2y－3z＝0
解析：(1)对于A，由AD⊥平面CDD1C1知，＝(0，1，0)是平面CDD1C1的一个法向量，故A正确；对于B，由AB1⊥平面A1BC，知＝(1，0，1)是平面A1BC的一个法向量，故B错误；对于C，由AC1⊥平面B1CD1，知＝(1，1，1)是平面B1CD1的一个法向量，故C正确；对于D，由DA1⊥平面ABC1D1，知＝(0，－1，1)是平面ABC1D1的一个法向量，故D错误.故选AC.
(2)由题意得e⊥，则·e＝(x，y，z)·(1，2，－3)＝0，故x＋2y－3z＝0.
1.如果n为平面α的一个法向量，A为平面α内的一个已知的点，则对于平面α上任意一点B，向量一定与向量n垂直，即·n＝0，从而可知平面α的位置可由n和A唯一确定.
2.一个平面的法向量不是唯一的，一个平面的所有法向量共线.在应用时，可以根据需要进行选取.
3.求平面α的方程的关键是确定平面α的法向量n＝(A，B，C)，然后利用A(x－x0)＋B(y－y0)＋C(z－z0)＝0可得.
对点练2.设经过原点的平面α的一个法向量为n＝(6，3，2).
(1)求平面α的方程；
(2)若A(a，a，a)，C(a，2，3)，两点不在平面α内，直线AC与平面α的交点为E，且＝，求a.
解：(1)平面α的方程为6x＋3y＋2z＝0.
(2)由A(a，a，a)，C(a，2，3)不在平面α内易得a≠0且a≠－2，＝(0，2－a，3－a)，
又＝，
则＝＝(0，2－a，3－a)，
设坐标原点为O(0，0，0)，则＝＋＝(a，a，a)＋(0，，)＝(a，，)，
所以E(a，，)，
又E点在平面α内，
所以6a＋2＋2a＋＝0，
得a＝－.
任务三 求平面的法向量
(链教材P122例4)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点.AB＝AP＝1，AD＝，试建立恰当的空间直角坐标系，求平面ACE的一个法向量.
解：因为PA⊥平面ABCD，底面ABCD为矩形，
所以AB，AD，AP两两垂直.
如图所示，以A为坐标原点，，，的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向，建立空间直角坐标系，则D(0，，0)，P(0，0，1)，E(0，，)，C(1，，0)，
于是＝，＝(1，，0).
设n＝(x，y，z)为平面ACE的法向量，
则
所以
令y＝－1，则x＝z＝.
所以平面ACE的一个法向量为n＝(，－1，)(答案不唯一).
[变式探究]
1.(变设问)若本例条件不变，求平面PAD的一个法向量.
解：因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥AB.
因为底面ABCD为矩形，所以AB⊥AD.
又因为PA∩AD＝A，所以AB⊥平面PAD，
如图所示，建立空间直角坐标系，则A(0，0，0)，B(1，0，0)，
所以平面PAD的一个法向量为＝(1，0，0)(答案不唯一).
2.(变设问)若本例条件不变，试求直线PC的一个方向向量和平面PCD的一个法向量.
解：如图所示，建立空间直角坐标系，则P(0，0，1)，C(1，，0)，
所以＝(1，，－1)，即直线PC的一个方向向量为(1，，－1).
设平面PCD的法向量为n＝(x，y，z).
因为D(0，，0)，
所以＝(0，，－1).
由
所以令y＝1，则z＝.
所以平面PCD的一个法向量为n＝(0，1，)(答案不唯一).
利用待定系数法求平面法向量的步骤
第一步，设向量：设平面的法向量为n＝(x，y，z)；
第二步，选向量：在平面内选取两个不共线向量，；
第三步，列方程组：由列出方程组；
第四步，解方程组；
第五步，赋非零值：取其中一个为非零值(常取±1)；
第六步，得结论：得到平面的一个法向量.
对点练3.如图，已知四边形ABCD是直角梯形，AD∥BC，∠ABC＝90°，SA⊥平面ABCD，SA＝AB＝BC＝1，AD＝，试建立适当的坐标系.
(1)求平面ABCD的一个法向量；
(2)求平面SAB的一个法向量；
(3)求平面SCD的一个法向量.
解：以点A为原点，AD，AB，AS所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0，0，0)，B(0，1，0)，C(1，1，0)，D(，0，0)，S(0，0，1).
(1)因为SA⊥平面ABCD，
所以＝(0，0，1)是平面ABCD的一个法向量.
(2)因为AD⊥AB，AD⊥SA，AB∩SA＝A，AB，SA 平面SAB，
所以AD⊥平面SAB，
所以＝是平面SAB的一个法向量.
(3)在平面SCD中，＝，＝(1，1，－1).
设平面SCD的法向量是n＝(x，y，z)，
则n⊥，n⊥，
所以
得方程组
令y＝－1，得x＝2，z＝1，所以n＝(2，－1，1).
所以n＝(2，－1，1)是平面SCD的一个法向量(答案不唯一).
任务再现 1.直线的方向向量与直线的向量表示.2.平面的法向量及其应用.3.求平面的法向量
方法提炼 待定系数法、赋值法、转化与化归思想
易错警示 对直线的方向向量理解不到位而致误；不理解平面法向量的作用和不唯一性
1.若A(2，1，1)，B(1，2，2)在直线l上，则直线l的一个方向向量为( )
A.(2，1，1) B.(－2，2，2)
C.(－3，2，1) D.(2，1，－1)
答案：B
解析：因为＝(－1，1，1)，而与共线的非零向量都可以作为直线l的方向向量.故选B.
2.过空间三点A(1，1，0)，B(1，0，1)，C(0，1，1)的平面的一个法向量是( )
A.(1，1，1) B.(1，1，－1)
C.(1，0，1) D.(－1，0，1)
答案：A
解析：＝(0，－1，1)，＝(－1，0，1).设该平面的法向量为a＝(x，y，z).由题意知a·＝0，a·＝0，所以令z＝1，得平面的一个法向量是(1，1，1).故选A.
3.(多选题)设(1，－2，－1)，(3，－1，2)是空间直线l上的两点，则直线l的一个方向向量v的坐标可以是( )
A.(2，1，3) B.(4，1，6)
C. D.(2，－4，－2)
答案：AC
解析：设点A(1，－2，－1)，B(3，－1，2)，那么＝(2，1，3)，即为空间直线l的一个方向向量，－＝－(2，1，3)＝也是空间直线l的一个方向向量.故选AC.
4.已知平面α经过点M(1，1，1)，且e＝(2，4，7)是α的一个法向量，N(x，y，z)是平面α内任意一点，则x，y，z满足的关系式是 .
答案：2x＋4y＋7z－13＝0
解析：由题意得e⊥，则·e＝(x－1，y－1，z－1)·(2，4，7)＝0，故2x＋4y＋7z－13＝0.
课时分层评价26 直线的方向向量与平面的法向量
(时间：60分钟 满分：110分)
(1—9，每小题5分，共45分)
1.下列说法不正确的是( )
A.若直线l垂直于平面α，则直线l的任意一个方向向量都是平面α的一个法向量
B.若n是平面α的一个法向量，则n与平面α内任意一条直线的方向向量均垂直
C.0是任意一个平面的一个法向量
D.一个平面的法向量是不唯一的
答案：C
解析：对于A，根据直线的方向向量的定义及平面的法向量的定义可知，若直线l垂直于平面α，则直线l的任意一个方向向量都是平面α的一个法向量，故A正确；对于B，由平面的法向量的定义可知，若n是平面α的一个法向量，则n与平面α内任意一条直线的方向向量均垂直，故B正确；对于C，由平面的法向量的定义可知，0不能作为一个平面的法向量，故C错误；对于D，由平面的法向量的定义可知，一个平面的法向量是不唯一的，故D正确.故选C.
2.已知向量＝(2，4，x)，平面α的一个法向量n＝(1，y，3)，若AB α，则( )
A.x＝6，y＝2 B.x＝2，y＝6
C.3x＋4y＋2＝0 D.4x＋3y＋2＝0
答案：C
解析：由题意可知·n＝0，可得3x＋4y＋2＝0.故选C.
3.空间直角坐标系中，已知点P(0，3，－1)，向量u＝(2，－1，1)，则过点P且以u为法向量的平面方程为( )
A.2x－y＋z＝－4 B.x＋2y－z＝7
C.x－y＋2z＝－5 D.－x＋2y＋z＝5
答案：A
解析：设过点P且以u为法向量的平面上不同于P的任一点A(x，y，z)，则＝(x，y－3，z＋1)，所以·u＝2x－(y－3)＋(z＋1)＝2x－y＋z＋4＝0，即2x－y＋z＝－4.故选A.
4.在菱形ABCD中，若是平面ABCD的法向量，则以下关系中不成立的是( )
A.⊥ B.⊥
C.⊥ D.⊥
答案：C
解析：因为PA⊥平面ABCD，所以BD⊥PA.又AC⊥BD，AC∩PA＝A，AC，PA 平面PAC，所以BD⊥平面PAC，所以PC⊥BD.故B成立，A和D显然成立.故选C.
5.已知平面α上的两个向量a＝(2，3，1)，b＝(5，6，4)，则平面α的一个法向量为( )
A.(1，－1，1) B.(2，－1，1)
C.(－2，1，1) D.(－1，1，1)
答案：C
解析：显然a与b不平行，设平面α的一个法向量为n＝(x，y，z)，则令z＝1，得x＝－2，y＝1.所以n＝(－2，1，1).故选C.
6.在空间直角坐标系O-xyz中，已知平面α＝{P｜n·＝0}，其中点P0(1，2，3)，法向量n＝(1，1，1)，则下列各点中不在平面α内的是( )
A.(3，2，1) B.(－2，5，4)
C.(－3，4，5) D.(2，－4，8)
答案：B
解析：设平面α内任意一点P的坐标为(x，y，z)，则＝(x－1，y－2，z－3)，由n·＝0，得x－1＋y－2＋z－3＝0，即x＋y＋z＝6，代入选项可知B不符合上式.故选B.
7.(开放题)若n是坐标平面xOy的一个法向量，则n的坐标可以表示为 .
答案：(0，0，z)，其中z≠0
8.(双空题)已知直线l的一个方向向量v＝(1，2，4)，且l过A(0，y，3)和B(－1，－2，z)，则y＝ ，z＝ .
答案：0 －1
解析：因为直线l的一个方向向量v＝(1，2，4)，且l过A(0，y，3)和B(－1，－2，z)，所以＝(－1，－2－y，z－3)＝λ(1，2，4)，所以，解得
9.(双空题)已知＝(1，5，－2)，＝(3，1，z)，若⊥，＝(x－1，y，－3)，且BP⊥平面ABC，则实数z＝ ，x＋y＝ .
答案：4
解析：因为⊥，所以·＝0，即3＋5－2z＝0，得z＝4.又BP⊥平面ABC，所以⊥，⊥，则所以x＋y＝＋＝.
10.(13分)在△ABC中，A(1，－1，2)，B(3，3，1)，C(3，1，3)，设M(x，y，z)是平面ABC内任意一点.
(1)求平面ABC的一个法向量；
(2)求平面ABC的方程.
解：(1)设平面ABC的一个法向量为n＝(a，b，c).
因为＝(2，4，－1)，＝(2，2，1)，
所以
所以令b＝2，则a＝－3，c＝2.
所以平面ABC的一个法向量为n＝(－3，2，2).
(2)因为点M(x，y，z)是平面ABC内任意一点，
所以⊥n，
又＝(x－1，y＋1，z－2)，
所以－3(x－1)＋2(y＋1)＋2(z－2)＝0，
所以3x－2y－2z－1＝0.
故平面ABC的方程为3x－2y－2z－1＝0.
(11—13，每小题5分，共15分)
11.(多选题)如图，四棱柱ABCD-A1B1C1D1为正方体，则下列结论正确的是( )
A.直线DD1的一个方向向量为(0，0，1)
B.直线BC1的一个方向向量为(0，1，1)
C.平面ABB1A1的一个法向量为(0，1，0)
D.平面B1CD的一个法向量为(1，1，1)
答案：ABC
解析：设正方体的棱长为1，因为AA1∥DD1，且＝(0，0，1)，故A正确；因为AD1∥BC1，＝(0，1，1)，故B正确；因为AD⊥平面ABB1A1，＝(0，1，0)，故C正确；因为＝(1，1，1)，但AC1与平面B1CD不垂直，故D错误.故选ABC.
12.《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑.在鳖臑A-BCD中，AB⊥平面BCD，∠BDC＝90°，BD＝AB＝CD.若建立如图所示的空间直角坐标系，则平面ACD的一个法向量为( )
A.(0，1，0) B.(0，1，1)
C.(1，1，1) D.(1，1，0)
答案：B
解析：根据题意，设BD＝AB＝CD＝1，则D(0，1，0)，C(1，1，0)，A(0，0，1)，则＝(1，0，0)，＝(0，1，－1)，设平面ACD的法向量为m＝(x，y，z)，则有令y＝1，可得z＝1，则m＝(0，1，1).经验证，其他选项均不符合题意.故选B.
13.(开放题)如图，在三棱台ABC-A1B1C1中，AB＝2A1B1，B1D＝2DC1，CE＝EC1，设＝a，＝b，＝c，以{a，b，c}为空间向量的一组基，则直线AE，AD的一个方向向量分别为 ， .(答案不唯一)
答案：b＋c a＋b＋c
解析：＝＋＝＋＝＋＝＋＝b＋c，所以直线AE的一个方向向量为b＋c.＝＋＝＋＋＝＋＋＝＋＋＝＋＋＝a＋b＋c，所以直线AD的一个方向向量是a＋b＋c.
14.(15分)如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PAB⊥平面ABCD，△PAB是边长为1的正三角形，ABCD是菱形，∠ABC＝60°，E是PC的中点，F是AB的中点，试建立恰当的空间直角坐标系，求平面DEF的一个法向量.
解：如图所示，连接PF，CF，AC.
因为PA＝PB，F为AB的中点，
所以PF⊥AB，
又因为平面PAB⊥平面ABCD，
平面PAB∩平面ABCD＝AB，PF 平面PAB，
所以PF⊥平面ABCD.
因为AB＝BC，∠ABC＝60°，
所以△ABC是等边三角形，
所以CF⊥AB.
以点F为原点，BF，CF，PF所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图所示.
由题意得F(0，0，0)，P，D，C，E.
所以＝，＝.
设平面DEF的一个法向量为m＝(x，y，z)，
则
所以令y＝2，则x＝，z＝－2.
所以平面DEF的一个法向量为m＝(，2，－2)(答案不唯一).
15.(5分)(开放题)如图，四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，O为底面中心，A1O⊥底面ABCD，AB＝AA1＝.则平面OCB1的法向量n＝ .
答案：(1，0，－1)(答案不唯一)
解析：因为四边形ABCD是正方形，且AB＝，所以AO＝OC＝1.依题意以点O为原点，OB，OC，
OA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图所示.则O(0，0，0)，A(0，－1，0)，B(1，0，0)，C(0，1，0)，A1(0，0，1).所以＝(0，1，0)，＝(1，1，0).设B1(x0，y0，1)，所以＝(x0，y0，0)，因为＝，所以x0＝1，y0＝1，即B1(1，1，1).设向量n＝(x，y，z)是平面OCB1的法向量，所以故y＝0，x＝－z，取x＝1，故z＝－1，则平面OCB1的法向量n＝(1，0，－1).
16.(17分)(新定义)17世纪，笛卡尔在《几何学》中，通过建立坐标系，引入点的坐标的概念，将代数对象与几何对象建立关系，从而实现了代数问题与几何问题的转化，打开了数学发展的新局面，创立了新分支——解析几何.我们知道，方程x＝1在一维空间中表示一个点；在二维空间中，它表示一条直线；在三维空间中，它表示一个平面.已知A(1，2，3)，B(1，－1，－2)，C(－1，0，0).
(1)写出直线BC的一个方向向量；
(2)设平面α经过点A，且是平面α的一个法向量，M(x，y，z)是平面α内任意一点，试写出x，y，z的关系.
解：(1)因为B(1，－1，－2)，C(－1，0，0)，
所以直线BC的一个方向向量为＝(－2，1，2).
(2)因为平面α经过A(1，2，3)且M(x，y，z)是平面α内的任意一点，
则有＝(x－1，y－2，z－3)，
又因为是平面α的一个法向量，所以⊥，从而·＝0，
即(－2，1，2)·(x－1，y－2，z－3)＝0，
所以－2(x－1)＋(y－2)＋2(z－3)＝0，
整理可得2x－y－2z＋6＝0，
所以x，y，z的关系为2x－y－2z＋6＝0.
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