3.2 空间向量运算的坐标表示及应用
学习目标 1.掌握空间向量的正交分解及其坐标表示，提升逻辑推理、数学运算的核心素养. 2.掌握空间向量垂直与平行的条件及其应用；掌握空间向量的模、夹角以及两点间的距离公式，能运用公式解决问题，提升数学运算的核心素养.
任务一 空间向量的坐标
问题1.平面向量的坐标是如何定义的？
提示：如图所示，已知a＝，P(x，y)，令i，j分别为平面直角坐标系中x轴，y轴正方向上的单位向量.＝＋＝xi＋yj，即a＝xi＋yj，有序实数对(x，y)叫作向量a的坐标，记作a＝(x，y)，有序实数对(x，y)一一对应坐标平面内的向量.
1.标准正交基
在空间直角坐标系O-xyz中，分别沿x轴、y轴、z轴正方向作单位向量i，j，k，这三个互相垂直的单位向量就构成空间向量的一组基{i，j，k}，这组基叫作标准正交基.
2.空间向量的坐标
根据空间向量基本定理，对于任意一个向量p，都存在唯一的三元有序实数组(x，y，z)，使得p＝xi＋yj＋zk，反之，任意给出一个三元有序实数组(x，y，z)，也可找到唯一的一个向量p＝xi＋yj＋zk与之对应.这样，就在空间向量与三元有序实数组之间建立了一一对应的关系，把三元有序实数组(x，y，z)叫作向量p在标准正交基{i，j，k}下的坐标，记作p＝(x，y，z)，单位向量i，j，k都叫作坐标向量，xi，yj，zk实际上分别是向量p在i，j，k方向上所作的投影向量，x，y，z分别是向量p在i，j，k方向上的投影数量.
[微提醒] (1)｜i｜＝｜j｜＝｜k｜＝1，i·j＝0，j·k＝0，i·k＝0.(2)在空间直角坐标系O-xyz中，若＝p，则＝xi＋yj＋zk，所以＝(x，y，z)，点P的坐标为(x，y，z).
已知在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1＝4，建立适当的空间直角坐标系，求向量，，的坐标.
解：建立如图所示的空间直角坐标系，
设＝i，＝j，＝k，则＝4i＋0j＋0k＝(4，0，0)，＝＋＝0i＋4j＋4k＝(0，4，4)，
＝＋＝＋＋＝－4i＋4j＋4k＝(－4，4，4).
向量坐标的求法
1.点A的坐标和向量的坐标形式完全相同(O为坐标原点).
2.起点不是原点的向量的坐标可以通过向量的运算求得.
对点练1.如图，以长方体ABCD-A1B1C1D1的顶点D为坐标原点，过D的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若的坐标为(4，3，2)，则C1的坐标是( )
A.(0，3，2) B.(0，4，2)
C.(4，0，2) D.(2，3，4)
答案：A
解析：因为的坐标为(4，3，2)，D为坐标原点，所以B1的坐标为(4，3，2)，所以BC＝4，DC＝3，CC1＝2，所以C1的坐标为(0，3，2).故选A.
任务二 空间向量运算的坐标表示
问题2.平面向量运算的坐标表示：设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a±b＝(x1±x2，y1±y2)，λa＝(λx1，λy1)(λ∈R)，a·b＝x1x2＋y1y2.你能由平面向量运算的坐标表示类比得到空间向量运算的坐标表示吗？它们是否成立？为什么？
提示：能表示.空间向量运算的坐标表示与平面向量的坐标表示完全一致.即设向量a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，那么a±b＝(x1±x2，y1±y2，z1±z2)，λa＝(λx1，λy1，λz1)(λ∈R)，a·b＝x1x2＋y1y2＋z1z2.
1.设点A的坐标为(x1，y1，z1)，点B的坐标为(x2，y2，z2)，则＝(x2－x1，y2－y1，z2－z1).即一个向量在空间直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标.
2.空间向量的坐标运算
设向量a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，那么
向量运算 向量表示 坐标表示
加法 a＋b (x1＋x2，y1＋y2，z1＋z2)
减法 a－b (x1－x2，y1－y2，z1－z2)
数乘 λa (λx1，λy1，λz1)，λ∈R
数量积 a·b x1x2＋y1y2＋z1z2
已知空间四点A，B，C，D的坐标分别是(－1，2，1)，(1，3，4)，(0，－1，4)，(2，－1，－2).若p＝，q＝，求下列各式的值：
(1)p＋2q；
(2)3p－q；
(3)(p－q)·(p＋q).
解：由于A(－1，2，1)，B(1，3，4)，C(0，－1，4)，D(2，－1，－2)，
所以p＝＝(2，1，3)，q＝＝(2，0，－6).
(1)p＋2q＝(2，1，3)＋2(2，0，－6)＝(6，1，－9).
(2)3p－q＝3(2，1，3)－(2，0，－6)
＝(6，3，9)－(2，0，－6)＝(4，3，15).
(3)(p－q)·(p＋q)＝p2－q2＝｜p｜2－｜q｜2
＝(22＋12＋32)－[22＋02＋(－6)2]＝－26.
空间向量坐标运算的规律
1.由点的坐标求向量坐标：空间向量的坐标可由其两个端点的坐标确定.
2.直接计算问题：首先将空间向量用坐标表示出来，然后代入公式计算.
3.由条件求向量或点的坐标：把向量坐标形式设出来，通过解方程(组)，求出其坐标.对点练2.已知a＝(2，－1，－2)，b＝(0，－1，4).
求a＋b，a－b，a·b，(2a)·(－b)，(a＋b)·(a－b).
解： a＋b＝(2，－1，－2)＋(0，－1，4)＝(2＋0，－1－1，－2＋4)＝(2，－2，2)；
a－b＝(2，－1，－2)－(0，－1，4)＝(2－0，－1＋1，－2－4)＝(2，0，－6)；
a·b＝(2，－1，－2)·(0，－1，4)＝2×0＋(－1)×(－1)＋(－2)×4＝－7；
(2a)·(－b)＝－2(a·b)＝－2×(－7)＝14；
(a＋b)·(a－b)＝(2，－2，2)·(2，0，－6)＝2×2－2×0＋2×(－6)＝－8.
任务三 空间向量平行(共线)和垂直的条件
问题3.如何用平面向量的坐标运算刻画平面向量的平行和垂直？这个结论在空间向量还成立吗？
提示：如果设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，当b≠0时，a∥b λ∈R，使得当b与两个坐标轴都不平行(即x2y2≠0)时，a∥b ＝.a⊥b a·b＝0 x1x2＋y1y2＝0.
上述充要条件在空间中仍成立，设向量a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，当b≠0时，a∥b λ∈R，使得当b与三个坐标平面都不平行(即x2y2z2≠0)时，a∥b ＝＝.a⊥b a·b＝0 x1x2＋y1y2＋z1z2＝0.
设向量a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2).
(1)当b≠0时，a∥b λ∈R，使得
(2)当b与三个坐标平面都不平行(即x2y2z2≠0)时，a∥b ＝＝.
(3)a⊥b a·b＝0 x1x2＋y1y2＋z1z2＝0.
[微提醒] (1)要证明a⊥b，就是证明a·b＝0；要证明a∥b，就是证明a＝λb(b≠0). (2)若a∥b，则＝＝成立的条件是x2·y2·z2≠0.
已知空间三点A(－2，0，2)，B(－1，1，2)，C(－3，0，4)，设＝a，＝b.
(1)设向量c＝，试判断2a－b与c是否平行；
(2)若ka＋b与ka－2b互相垂直，求k的值.
解：(1)因为a＝＝(1，1，0)，b＝＝(－1，0，2)，所以2a－b＝(3，2，－2).
又c＝，
所以2a－b＝－2c，所以(2a－b)∥c.
(2)因为a＝＝(1，1，0)，b＝＝(－1，0，2)，
所以ka＋b＝(k－1，k，2)，ka－2b＝(k＋2，k，－4).
又因为(ka＋b)⊥(ka－2b)，
所以(ka＋b)·(ka－2b)＝0，
即(k－1，k，2)·(k＋2，k，－4)＝2k2＋k－10＝0，
解得k＝2或k＝－.
[变式探究]
(变条件)将本例(2)中“若ka＋b与ka－2b互相垂直”改为“若ka＋b与a＋kb相互平行”，其他条件不变，求k的值.
解：因为a＝(－1＋2，1－0，2－2)＝(1，1，0)，
b＝(－3＋2，0－0，4－2)＝(－1，0，2)，
所以ka＋b＝(k，k，0)＋(－1，0，2)＝(k－1，k，2)，
a＋kb＝(1，1，0)＋(－k，0，2k)＝(1－k，1，2k).
因为ka＋b与a＋kb平行，所以ka＋b＝λ(a＋kb)，
即(k－1，k，2)＝λ(1－k，1，2k)，
所以
所以k＝－1或k＝1.
判断两向量是否平行或垂直可直接利用向量平行或垂直的充要条件；已知两向量平行或垂直求参数值，则利用平行、垂直的充要条件，将位置关系转化为坐标关系，列方程(组)求解.
对点练3.已知a＝(λ＋1，1，2λ)，b＝(6，2m－1，2).
(1)若a∥b，分别求λ与m的值；
(2)若λ＜0，且a与c＝(2，－2λ，－λ)垂直，求a.
解：(1)因为a∥b，所以设(λ＋1，1，2λ)＝k(6，2m－1，2)，
所以
所以λ＝，m＝3.
(2)因为a⊥c，
所以2(λ＋1)－2λ×1－λ×2λ＝0，
化简得2－2λ2＝0，解得λ＝±1，又λ＜0，所以λ＝－1.
因此a＝(0，1，－2).
任务四 空间向量长度与夹角的坐标表示
问题4.已知空间三点A(0，2，3)，B(－2，1，6)，C(1，－1，5).
(1)如何求，的模与〈，〉的大小？
(2)在空间中，如何利用向量求△ABC的面积？
提示：(1)因为＝(－2，1，6)－(0，2，3)＝(－2，－1，3)，＝(1，－3，2)，所以＝＝，＝＝，由夹角公式得cos 〈，〉＝＝＝，又〈，〉∈[0，π]，所以〈，〉＝60°.
(2)S＝｜｜｜｜sin〈，〉＝×××＝.
设向量a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，根据空间向量运算的坐标表示，有
(1)｜a｜＝＝.
若点A(a1，b1，c1)，B(a2，b2，c2)，则｜AB｜＝｜｜＝.
(2)cos〈a，b〉＝＝(a≠0，b≠0).
如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2，M，N分别是AA1，CB1的中点.
(1)求｜｜，｜｜；
(2)求△BMN的面积.
解：以C为原点，以CA，CB，CC1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图所示.
则B(0，1，0)，M(1，0，1)，N(0，，1).
(1)因为＝(1，－1，1)，＝，
所以｜｜＝＝，｜｜＝＝.
(2)S△BMN＝·BM·BN·sin∠MBN.
因为cos∠MBN＝cos〈，〉＝＝＝，
所以sin∠MBN＝＝，
故S△BMN＝×××＝.
即△BMN的面积为.
1.空间中的距离和夹角问题可转化为向量的模与夹角问题求解.这体现了向量的工具作用.引入坐标运算，可使解题过程程序化.
2.平行四边形面积的计算公式：＝.
对点练4.已知空间三点A(1，2，3)，B(2，－1，5)，C(3，2，－5).求：
(1)向量，的模；
(2)向量，夹角的余弦值.
解：(1)因为＝(2，－1，5)－(1，2，3)＝(1，－3，2)，＝(3，2，－5)－(1，2，3)＝(2，0，－8)，
所以｜｜＝＝，｜｜＝＝2.
(2)因为·＝(1，－3，2)·(2，0，－8)＝1×2＋(－3)×0＋2×(－8)＝－14，
所以cos〈，〉＝＝＝－.
因此，向量，夹角的余弦值为－.
任务五 空间向量运算的坐标表示的综合运用
(链教材P115例4)在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G分别是DD1，BD，BB1的中点.
(1)求证：⊥；
(2)求cos〈，〉的值；
(3)求｜｜.
解：(1)证明：以点D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系.
则D(0，0，0)，E，C(0，1，0)，F，G，
所以＝，＝，
因为·＝×＋×＋×0＝0，
所以⊥.
(2)由(1)得，＝，＝，
因为·＝×1＋×0＋×＝，
｜｜＝＝，｜｜＝＝，
所以cos〈，〉＝＝＝.
(3)由(1)得，＝，则｜｜＝＝.
利用空间向量的坐标运算的一般步骤
第一步，建系：根据题目中的几何图形建立恰当的空间直角坐标系；
第二步，求坐标：(1)求出相关点的坐标；(2)写出向量的坐标；
第三步，计算：结合公式进行计算；
第四步，转化：转化为夹角与距离问题.
对点练5.如图，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD是矩形，AB＝a，AD＝2，SA＝1，且SA⊥底面ABCD，若边BC上存在异于B，C的一点P使得PS⊥PD.
(1)求a的最大值；
(2)当a取得最大值时，求异面直线AP与SD所成角的余弦值.
解：如图所示，以A为坐标原点，AB，AD，AS所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系.
设BP＝x(0＜x＜2)，则A(0，0，0)，S(0，0，1)，D(0，2，0)，P(a，x，0)，
所以＝(－a，－x，1)，＝(－a，2－x，0).
(1)因为PS⊥PD，所以·＝0，
所以a2－x(2－x)＝0，即a2＝－(x－1)2＋1，
所以当x＝1时，a取得最大值1.
(2)由(1)知，当a取得最大值1时，＝(1，1，0)，＝(0，2，－1)，
所以cos 〈，〉＝＝，
即异面直线AP与SD所成角的余弦值为.
任务 再现 1.空间向量的坐标.2.空间向量运算的坐标表示.3.空间向量平行(共线)和垂直的条件.4.空间向量长度与夹角的坐标表示.5.空间向量运算的坐标表示的综合运用
方法 提炼 类比法、数形结合思想、转化与化归思想
易错 警示 由两向量共线直接得到两向量对应坐标的比相等；建系后书写点的坐标出错；空间角与向量的夹角转化时忽略范围的不同
1.已知向量a＝(4，－2，－4)，b＝(6，－3，2)，则下列结论正确的是( )
A.a＋b＝(10，－5，－6) B.a－b＝(2，－1，－6)
C.a·b＝10 D.｜a｜＝6
答案：D
解析：因为a＝(4，－2，－4)，b＝(6，－3，2)，所以a＋b＝(10，－5，－2)，故A错误；a－b＝(－2，1，－6)，故B错误；a·b＝24＋6－8＝22，故C错误；｜a｜＝＝6，故D正确.故选D.
2.(多选题)已知a＝，b＝，c＝，则下列结论错误的是( )
A.b∥c B.a∥b
C.a⊥b D.a⊥c
答案：ABD
解析：对于A，由向量b＝，c＝(－4，－6，2)，可得≠≠，所以向量b与c不共线，故A不正确；对于B，由向量a＝，b＝，可得≠≠，所以向量a与b不共线，故B不正确；对于C，由向量a＝，b＝，可得a·b＝2×2＋3×0＋(－1)×4＝0，所以a⊥b，故C正确；对于D，由a＝，c＝，可得a·c＝2×(－4)＋3×(－6)＋(－1)×2≠0，所以向量a与c不垂直，故D不正确.故选ABD.
3.已知A(4，1，3)，B(2，－5，1)，C为线段AB上一点，且＝3，则C的坐标为( )
A. B.
C. D.
答案：C
解析：设C(x，y，z)，则＝(x－4，y－1，z－3).又＝(－2，－6，－2)，＝3，所以(－2，－6，－2)＝(3x－12，3y－3，3z－9).所以故选C.
4.已知空间三点A(1，1，1)，B(－1，0，4)，C(2，－2，3)，则与的夹角的大小是 .
答案：
解析：因为＝(－2，－1，3)，＝(－1，3，－2)，所以｜｜＝，｜｜＝，·＝(－2)×(－1)＋(－1)×3＋3×(－2)＝－7，所以cos 〈，〉＝＝＝－，又〈，〉∈[0，π]，所以〈，〉＝.
课时分层评价25 空间向量运算的坐标表示及应用
(时间：60分钟 满分：110分)
(1—9，每小题5分，共45分)
1.已知向量a＝(3，5，－1)，b＝(2，2，3)，c＝(1，－1，2)，则向量a－b＋4c的坐标为( )
A.(5，－1，4) B.(5，1，－4)
C.(－5，1，4) D.(－5，－1，4)
答案：A
解析：a－b＋4c＝(3，5，－1)－(2，2，3)＋4(1，－1，2)＝(1，3，－4)＋(4，－4，8)＝(5，－1，4).故选A.
2.下列各组向量中不平行的是( )
A.a＝(1，2，－2)，b＝(－2，－4，4)
B.c＝(1，0，0)，d＝(－3，0，0)
C.e＝(2，3，0)，f＝(0，0，0)
D.g＝(－2，3，5)，h＝(16，24，40)
答案：D
解析：对于A，b＝－2a，所以a∥b；对于B，d＝－3c，所以c∥d；对于C，f是零向量，所以e∥f；对于D，不满足g＝λh，所以g与h不是平行向量.
3.已知向量a＝(0，－1，1)，b＝(4，1，0)，｜λa＋b｜＝，且λ＞0，则λ等于( )
A.2 B.3
C.4 D.5
答案：B
解析：λa＋b＝λ(0，－1，1)＋(4，1，0)＝(4，1－λ，λ)，由已知得｜λa＋b｜＝＝，且λ＞0，解得λ＝3.故选B.
4.在空间直角坐标系O-xyz中，i，j，k分别是x轴、y轴、z轴正方向上的单位向量，设a为非零向量，且〈a，i〉＝45°，〈a，j〉＝60°，则〈a，k〉等于( )
A.60° B.45°
C.60°或120° D.45°或135°
答案：C
解析：设a＝(x，y，z)，则由cos〈a，i〉＝，cos〈a，j〉＝，cos〈a，k〉＝，得＝，＝，＝cos〈a，k〉，所以＋＋cos2〈a，k〉＝1，所以cos〈a，k〉＝±，又0°＜〈a，k〉＜180°，所以〈a，k〉＝60°或120°.故选C.
5.(多选题)在空间直角坐标系中，向量a＝(－2，－1，1)，b＝(3，4，5)，则下列结论正确的是( )
A.(2a＋b)∥a
B.5＝
C.a⊥(5a＋6b)
D.a与b夹角的余弦值为
答案：BC
解析：2a＋b＝(－1，2，7)，a＝(－2，－1，1)，而≠≠，故A错误；＝，＝5，所以5＝，故B正确；a·(5a＋6b)＝5a2＋6a·b＝5×(4＋1＋1)＋6×(－6－4＋5)＝0，故C正确；a·b＝－5，cos〈a，b〉＝＝－，故D错误.故选BC.
6.(多选题)在△ABC中，A(1，2，－3k)，B(－2，1，0)，C(4，0，－2k)，则下列k的值满足△ABC为直角三角形的有( )
A.± B.3
C. D.－
答案：ACD
解析：若∠A＝90°，＝(－3，－1，3k)，＝(3，－2，k)，则·＝(－3)×3＋(－1)×(－2)＋3k×k＝3k2－7＝0，所以k＝±.若∠B＝90°，＝(3，1，－3k)，＝(6，－1，－2k)，则·＝3×6＋1×(－1)＋(－3k)×(－2k)＝6k2＋17＝0，此时k无解.若∠C＝90°，＝(－6，1，2k)，＝(－3，2，－k)，则·＝(－6)×(－3)＋2＋2k×(－k)＝－2k2＋20＝0，所以k＝±.故选ACD.
7.(双空题)设a＝(1，0，1)，b＝(1，－2，2)，则｜a－b｜＝ ，〈a，b〉＝ .
答案：
解析：由a－b＝(1，0，1)－(1，－2，2)＝(0，2，－1)，得｜a－b｜＝＝.因为cos〈a，b〉＝＝＝，〈a，b〉∈[0，π]，所以〈a，b〉＝.
8.已知向量a＝(2，－1，3)，b＝(－4，2，t)的夹角为钝角，则实数t的取值范围为 .
答案：(－∞，－6)∪
解析：由a·b＝2×(－4)＋(－1)×2＋3t＝－10＋3t＜0，得t＜，当a∥b时，b＝λa，即(－4，2，t)＝λ(2，－1，3)，得解得t＝－6，所以当向量a，b的夹角为钝角时，t的取值范围为(－∞，－6)∪.
9.已知A(1，0，0)，B(0，－1，1)，O为坐标原点，＋λ与的夹角为120°，则λ的值为 .
答案：－
解析：因为A(1，0，0)，B(0，－1，1)，所以＝(1，0，0)，＝(0，－1，1)，所以＋λ＝(1，－λ，λ)，所以(＋λ)·＝2λ，因为＋λ的夹角为120°，所以cos 120°＝＝－，显然λ＜0，解得λ＝－.
10.(13分)如图，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD为正方形，侧棱SD⊥底面ABCD，E，F，G分别为AB，SC，SD的中点.若AB＝a，SD＝b.
(1)求｜｜；
(2)求cos〈，〉.
解：如图所示，以点D为原点，DA，DC，DS所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系D-xyz.
则A(a，0，0)，S(0，0，b)，B(a，a，0)，C(0，a，0)，E(a，，0)，F，G.
＝，＝，＝(－a，0，0).
(1)｜｜＝ ＝ .
(2)cos〈，〉＝＝＝.
(11—13，每小题5分，共15分)
11.(新角度)已知{a，b，c}是空间的一组标准正交基，向量{a＋b，a－b，c}是空间的另一组基，若向量p在{a，b，c}下的坐标为(3，2，1)，则它在{a＋b，a－b，c}下的坐标为( )
A. B.
C. D.
答案：D
解析：设向量a＝(1，0，0)，b＝(0，1，0)，c＝(0，0，1)，则向量a＋b＝(1，1，0)，a－b＝(1，－1，0)，又向量p＝(3，2，1)，不妨设p＝x(a＋b)＋y(a－b)＋zc，则(3，2，1)＝(x＋y，x－y，z)，即所以向量p在{a＋b，a－b，c}下的坐标为.故选D.
12.如图所示的正方体是一个三阶魔方(由27个全等的棱长为1的小正方体构成)，正方形ABCD是上底面正中间的一个正方形，正方形A1B1C1D1是下底面最大的正方形，已知点P是线段AC上的动点，点Q是线段B1D上的动点，则线段PQ长度的最小值为 .
答案：
解析：以B1为坐标原点，B1C1，B1A1所在直线分别为x轴、y轴，过B1垂直于底面的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则B1(0，0，0)，A(1，2，3)，C(2，1，3)，D(2，2，3).设＝λ，＝μ，λ，μ∈[0，1]，则＝λ(2，2，3)＝(2λ，2λ，3λ)，＝＋＝＋μ＝(1，2，3)＋μ(1，－1，0)＝(1＋μ，2－μ，3)，所以＝－＝(1＋μ－2λ，2－μ－2λ，3－3λ).所以｜｜2＝(1＋μ－2λ)2＋(2－μ－2λ)2＋(3－3λ)2＝17λ2－30λ＋2μ2－2μ＋14＝17＋2＋.当λ＝且μ＝时，｜｜2取得最小值，所以线段PQ长度的最小值为.
13.已知空间三点A(0，1，2)，B(－4，－1，8)，C(2，－5，6)，则以AB，AC为邻边的平行四边形的面积为 .
答案：28
解析：由已知＝(2，－6，4)，＝(－4，－2，6)，所以｜｜＝＝2，｜｜＝＝2，所以cos〈，〉＝＝＝.又〈，〉∈，则sin〈，〉＝＝，所以以AB，AC为邻边的平行四边形的面积为S＝×2×2××2＝28.
14.(15分)在正三棱柱ABC-A1B1C1中，△ABC和△A1B1C1为正三角形，所有的棱长都是2，M是BC边的中点，则在棱CC1上是否存在点N，使得向量与向量的夹角为45°？
解：假设存在点N，使得向量的夹角为45°，以点A为原点，AC，AA1所在直线分别为y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图所示.
由题意知A(0，0，0)，B1(，1，2)，C(0，2，0)，B(，1，0)，M.
又点N在棱CC1上，可设N(0，2，m)(0≤m≤2)，
则＝(，1，2)，＝，
所以｜｜＝2，｜｜＝，·＝2m－1.
则cos 〈，〉＝＝＝cos 45°，
即＝，显然2m－1＞0，
该方程无解，所以在棱CC1上不存在点N，使得向量的夹角为45°.
15.(5分)(多选题)已知单位向量i，j，k两两的夹角均为θ(0＜θ＜π，θ≠)，若空间向量a满足a＝xi＋yj＋zk(x，y，z∈R)，则有序实数组(x，y，z)称为向量a在“仿射”坐标系O-xyz(O为坐标原点)下的“仿射”坐标，记作a＝(x，y，z)θ，则下列命题是真命题的为( )
A.已知a＝(1，3，－2)θ，b＝(4，0，2)θ，则a·b＝0
B.已知a＝(x，y，0)，b＝(0，0，z)，其中x，y，z＞0，则当且仅当x＝y时，向量a，b的夹角取得最小值
C.已知a＝(x1，y1，z1)θ，b＝(x2，y2，z2)θ，则a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2，z1＋z2)θ
D.已知＝(1，0，0)，＝(0，1，0)，＝(0，0，1)，则三棱锥O-ABC的表面积S＝
答案：BC
解析：a·b＝(1，3，－2)θ·(4，0，2)θ＝(i＋3j－2k)·(4i＋2k)＝4＋2i·k＋12i·j＋6j·k－8k·i－4＝12cos θ，因为0＜θ＜π，且θ≠，所以a·b≠0，故A错误；如图所示，设＝b，＝a，则点A在平面Oxy上，点B在z轴上，由图易知当x＝y时，∠AOB取得最小值，即向量a与b的夹角取得最小值，故B正确；根据“仿射”坐标的定义可得，a＋b＝(x1，y1，z1)θ＋(x2，y2，z2)θ＝(x1i＋y1j＋z1k)＋(x2i＋y2j＋z2k)＝(x1＋x2)i＋(y1＋y2)j＋(z1＋z2)k＝(x1＋x2，y1＋y2，z1＋z2)θ，故C正确；由已知可得三棱锥O-ABC为正四面体，棱长为1，其表面积S＝4××12×＝，故D错误.故选BC.
16.(17分)(创新题)在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是一个平行四边形， ＝(2，－1，－4)，＝(4，2，0)，＝(－1，2，－1).
(1)求证：AP⊥底面ABCD；
(2)求四棱锥P-ABCD的体积；
(3)对于向量a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，c＝(x3，y3，z3)，定义一种运算：(a×b)·c＝x1y2z3＋x2y3z1＋x3y1z2－x1y3z2－x2y1z3－x3y2z1，试计算(×)·的绝对值的值；说明其与四棱锥P-ABCD体积的关系，并由此猜想向量这一运算(×)·的绝对值的几何意义.
解：(1)证明：因为·＝－2－2＋4＝0，
所以AP⊥AB.
又因为·＝－4＋4＋0＝0，
所以AP⊥AD.
因为AB，AD是底面ABCD上的两条相交直线，
所以AP⊥底面ABCD.
(2)设的夹角为θ，则cos θ＝＝
＝，
V＝｜｜·｜｜·sin θ·｜｜＝··＝16.
(3)｜(×)·｜＝｜－4－32－4－8｜＝48，它是四棱锥P-ABCD体积的3倍.
猜测：｜(×)·｜在几何上可表示以AB，AD，AP为棱的平行六面体的体积.
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3.2 空间向量运算的坐标表示及应用
第三章 §3 空间向量基本定理及空间向量运算的坐标表示
学习目标
1.掌握空间向量的正交分解及其坐标表示，提升逻辑推理、 数学运算的核心素养.
2.掌握空间向量垂直与平行的条件及其应用；掌握空间向量 的模、夹角以及两点间的距离公式，能运用公式解决问 题，提升数学运算的核心素养.
任务一 空间向量的坐标
问题导思
新知构建
1.标准正交基
在空间直角坐标系O-xyz中，分别沿x轴、y轴、z轴正方向作______向量i，j，k，这三个__________的______向量就构成空间向量的一组基{i，j，k}，这组基叫作标准正交基.
单位
互相垂直
单位
2.空间向量的坐标
根据空间向量基本定理，对于任意一个向量p，都存在唯一的三元有序实数组(x，y，z)，使得p＝xi＋yj＋zk，反之，任意给出一个三元有序实数组(x，y，z)，也可找到唯一的一个向量p＝xi＋yj＋zk与之对应.这样，就在空间向量与三元有序实数组之间建立了一一对应的关系，把三元有序实数组(x，y，z)叫作向量p在标准正交基{i，j，k}下的坐标，记作p＝___________，单位向量i，j，k都叫作__________，xi，yj，zk实际上分别是向量p在i，j，k方向上所作的__________，x，y，z分别是向量p在i，j，k方向上的__________.
(x，y，z)
坐标向量
投影向量
投影数量
微提醒
典例
1
规律方法
√
返回
任务二 空间向量运算的坐标表示
问题导思
问题2.平面向量运算的坐标表示：设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a±b＝(x1±x2，y1±y2)，λa＝(λx1，λy1)(λ∈R)，a·b＝x1x2＋y1y2.你能由平面向量运算的坐标表示类比得到空间向量运算的坐标表示吗？它们是否成立？为什么？
提示：能表示.空间向量运算的坐标表示与平面向量的坐标表示完全一致.即设向量a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，那么a±b＝(x1±x2，y1±y2，z1±z2)，λa＝(λx1，λy1，λz1)(λ∈R)，a·b＝x1x2＋y1y2＋z1z2.
新知构建
向量运算 向量表示 坐标表示
加法 a＋b __________________________
减法 a－b __________________________
数乘 λa _________________，λ∈R
数量积 a·b __________________
(x2－x1，
y2－y1，z2－z1)
终点
起点
(x1＋x2，y1＋y2，z1＋z2)
(x1－x2，y1－y2，z1－z2)
(λx1，λy1，λz1)
x1x2＋y1y2＋z1z2
典例
2
规律方法
空间向量坐标运算的规律
1.由点的坐标求向量坐标：空间向量的坐标可由其两个端点的坐标确定.
2.直接计算问题：首先将空间向量用坐标表示出来，然后代入公式计算.
3.由条件求向量或点的坐标：把向量坐标形式设出来，通过解方程(组)，求出其坐标.
对点练2.已知a＝(2，－1，－2)，b＝(0，－1，4).
求a＋b，a－b，a·b，(2a)·(－b)，(a＋b)·(a－b).
解：a＋b＝(2，－1，－2)＋(0，－1，4)＝(2＋0，－1－1，－2＋4)＝(2，－2，2)；
a－b＝(2，－1，－2)－(0，－1，4)＝(2－0，－1＋1，－2－4)＝(2，0，－6)；
a·b＝(2，－1，－2)·(0，－1，4)＝2×0＋(－1)×(－1)＋(－2)×4＝－7；
(2a)·(－b)＝－2(a·b)＝－2×(－7)＝14；
(a＋b)·(a－b)＝(2，－2，2)·(2，0，－6)＝2×2－2×0＋2×(－6)＝－8.
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任务三 空间向量平行(共线)和垂直的条件
问题导思
新知构建
x1x2＋y1y2＋z1z2＝0
微提醒
典例
3
变式探究
(变条件)将本例(2)中“若ka＋b与ka－2b互相垂直”改为“若ka＋b与a＋kb相互平行”，其他条件不变，求k的值.
解：因为a＝(－1＋2，1－0，2－2)＝(1，1，0)，
b＝(－3＋2，0－0，4－2)＝(－1，0，2)，
所以ka＋b＝(k，k，0)＋(－1，0，2)＝(k－1，k，2)，
a＋kb＝(1，1，0)＋(－k，0，2k)＝(1－k，1，2k).
因为ka＋b与a＋kb平行，所以ka＋b＝λ(a＋kb)，
即(k－1，k，2)＝λ(1－k，1，2k)，
规律方法
判断两向量是否平行或垂直可直接利用向量平行或垂直的充要条件；已知两向量平行或垂直求参数值，则利用平行、垂直的充要条件，将位置关系转化为坐标关系，列方程(组)求解.
(2)若λ＜0，且a与c＝(2，－2λ，－λ)垂直，求a.
解：因为a⊥c，
所以2(λ＋1)－2λ×1－λ×2λ＝0，
化简得2－2λ2＝0，解得λ＝±1，又λ＜0，所以λ＝－1.
因此a＝(0，1，－2).
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任务四 空间向量长度与夹角的坐标表示
问题导思
新知构建
典例
4
规律方法
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任务五 空间向量运算的坐标表示的综合运用
典例
5
规律方法
利用空间向量的坐标运算的一般步骤
第一步，建系：根据题目中的几何图形建立恰当的空间直角坐
标系；
第二步，求坐标：(1)求出相关点的坐标；(2)写出向量的坐标；
第三步，计算：结合公式进行计算；
第四步，转化：转化为夹角与距离问题.
课堂小结
任务再现 1.空间向量的坐标.2.空间向量运算的坐标表示.3.空间向量平行(共线)和垂直的条件.4.空间向量长度与夹角的坐标表示.5.空间向量运算的坐标表示的综合运用
方法提炼 类比法、数形结合思想、转化与化归思想
易错警示 由两向量共线直接得到两向量对应坐标的比相等；建系后书写点的坐标出错；空间角与向量的夹角转化时忽略范围的不同
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随堂评价
√
1.已知向量a＝(4，－2，－4)，b＝(6，－3，2)，则下列结论正确的是
A.a＋b＝(10，－5，－6) B.a－b＝(2，－1，－6)
C.a·b＝10 D.｜a｜＝6
√
√
√
√
返回
课时分层评价
√
1.已知向量a＝(3，5，－1)，b＝(2，2，3)，c＝(1，－1，2)，则向量a－b＋4c的坐标为
A.(5，－1，4) B.(5，1，－4)
C.(－5，1，4) D.(－5，－1，4)
a－b＋4c＝(3，5，－1)－(2，2，3)＋4(1，－1，2)＝(1，3，－4)＋(4，－4，8)＝(5，－1，4).故选A.
√
2.下列各组向量中不平行的是
A.a＝(1，2，－2)，b＝(－2，－4，4)
B.c＝(1，0，0)，d＝(－3，0，0)
C.e＝(2，3，0)，f＝(0，0，0)
D.g＝(－2，3，5)，h＝(16，24，40)
对于A，b＝－2a，所以a∥b；对于B，d＝－3c，所以c∥d；对于C，f是零向量，所以e∥f；对于D，不满足g＝λh，所以g与h不是平行向量.
√
√
4.在空间直角坐标系O-xyz中，i，j，k分别是x轴、y轴、z轴正方向上的单位向量，设a为非零向量，且〈a，i〉＝45°，〈a，j〉＝60°，则〈a，k〉等于
A.60° B.45°
C.60°或120° D.45°或135°
√
√
√
√
√
7.(双空题)设a＝(1，0，1)，b＝(1，－2，2)，则｜a－b｜＝ ，〈a，
b〉＝ .
8.已知向量a＝(2，－1，3)，b＝(－4，2，t)的夹角为钝角，则实数t的取
值范围为 .
√
12.如图所示的正方体是一个三阶魔方(由27个全等的棱长为1的小正方体构成)，正方形ABCD是上底面正中间的一个正方形，正方形A1B1C1D1是下底面最大的正方形，已知点P是线段AC上的动点，点Q是线段B1D上的动
点，则线段PQ长度的最小值为 .
13.已知空间三点A(0，1，2)，B(－4，－1，8)，C(2，－5，6)，则以AB，AC为邻边的平行四边形的面积为 .
√
√
返回
