(共86张PPT)
4.2 用向量方法研究立体几何中的位置关系
第三章 §4 向量在立体几何中的应用
学习目标
1.能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面 的平行与垂直关系，培养数学抽象、直观想象的核心素养.
2.能用向量方法判断或证明直线、平面间的平行与垂直关 系，提升逻辑推理、数学运算的核心素养.
任务一 平行关系
问题导思
问题1.设向量l，m分别是直线l，m的方向向量，n1，n2分别是平面α，β的法向量，若l∥m，l∥α，α∥β，那么其方向向量与法向量具有怎样的
关系？
提示：l∥m l∥m，l∥α l⊥n1，α∥β n1∥n2.
问题2.能否用向量法证明平行关系？应注意什么？
提示：能.l∥m且l与m不重合 l∥m；l⊥n1且l α l∥α；n1∥n2且α与β不重合 α∥β.
新知构建
设向量l，m分别是直线l，m的方向向量，n1，n2分别是平面α，β的法向量，则
(1)l∥m或l与m重合 _______；
(2)l∥α或l α _______；
(3)α∥β或α与β重合 ________.
l∥m
l⊥n1
n1∥n2
典例
1
规律方法
1.应用向量法证明线面平行问题的方法
(1)证明直线的方向向量与平面的法向量垂直.
(2)证明直线的方向向量与平面内的某一直线的方向向量共线.
(3)证明直线的方向向量可用平面内的任意两个不共线的向量表示.即用平面向量基本定理证明线面平行.
2.证明面面平行的方法
若不重合的两平面α，β，设平面α的法向量为n1＝(a1，b1，c1)，平面β的法向量为n2＝(a2，b2，c2)，则α∥β n1∥n2 (a1，b1，c1)＝k(a2，b2，c2)(k∈R).
对点练1.如图，已知在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，
N，P分别是AD1，BD，B1C的中点，利用向量法证明：
(1)MN∥平面CC1D1D；
证明：以点D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为
x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图所示.
返回
任务二 垂直关系
问题导思
问题3.如图，当l⊥m，l⊥α，α⊥β时，判断直线的方向向量、平面的法向量有什么关系？
提示：l⊥m，n1∥l，n1⊥n2.
新知构建
1.设向量l，m分别是直线l，m的方向向量，n1，n2分别是平面α，β的法向量，则
(1)l⊥m ______；
(2)l⊥α ______；
(3)α⊥β ______.
l⊥m
l∥n1
n1⊥n2
2.三垂线定理及其逆定理
(1)三垂线定理：若平面内的一条直线与平面的一条斜线在这个平面内的______垂直，则它也和这条______垂直.简记为：和投影垂直，则和斜线垂直.
(2)三垂线定理的逆定理：若平面内的一条直线和这个平面的一条______垂直，则它也和这条斜线在这个平面内的______垂直.简记为：和斜线垂直，则和投影垂直.
投影
斜线
斜线
投影
微提醒
(1)若证面面垂直，则证两平面的法向量垂直.
(2)证明线面垂直的方法：
①基向量法：思路一：选取基向量，用基向量表示直线所在的向量，证明直线所在向量与平面内两个不共线向量的数量积均为零，从而证得结论.
思路二：建立空间直角坐标系，求出直线方向向量的坐标，证明直线的方向向量与平面内两个不共线向量的数量积均为零，从而证得结论.
②法向量法：建立空间直角坐标系，求出直线方向向量的坐标以及平面法向量的坐标，然后说明直线方向向量与平面法向量共线，从而证得结论.
(链教材P128例7(2))如图，在长方体
ABCD-A1B1C1D1中，AB＝2，BC＝CC1＝1，E是CD的中
点.求证：B1E⊥平面AED1.
证明：以点D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为
x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图所示.
典例
2
规律方法
利用向量法证明线面、面面垂直的策略
1.用向量法判定线面垂直，只需直线的方向向量与平面的法向量平行或直线的方向向量与平面内两相交直线的方向向量垂直.
2.用向量法判定两个平面垂直，只需求出这两个平面的法向量，再看它们的数量积是否为0即可.
对点练2.(一题多解)如图，在正三棱锥P-ABC中，三条
侧棱两两互相垂直，G是△PAB的重心，E，F分别为BC，
PB上的点，且BE∶EC＝PF∶FB＝1∶2.
求证：平面EFG⊥平面PBC.
证明：法一：如图所示，以三棱锥的顶点P为原点，PA，PB，PC所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系.
返回
任务三 平行与垂直的综合应用
如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥底面ABCD，底
面ABCD为正方形，PD＝DC，E，F分别是AB，PB的中点.
(1)求证：EF⊥CD；
解：证明：如图所示，以点D为原点，DA，DC，DP所
在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系.
典例
3
规律方法
处理立体几何中的探索性问题的常用方法
1.猜想法：即先通过对空间图形的理解，猜想点、线、面在某种特殊位置(中点居多)时可能会满足条件，然后再尝试证明.
2.向量法：假设存在，利用参数标记位置，然后根据要满足的条件求出参数值，从而判定是否存在.
对点练3.如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AA1＝AD
＝1，E为CD的中点.
(1)求证：B1E⊥AD1；
解：证明：以点A为原点，AB，AD，AA1所在直线分别为
x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图所示.
课堂小结
任务再现 1.平行关系.2.垂直关系.3.平行与垂直的综合应用
方法提炼 基向量法、法向量法、转化与化归思想
易错警示 通过向量和平面平行直接得到线面平行，忽略条件直线不在平面内；直线的方向向量、平面的法向量的关系与线面间的垂直关系的对应易混淆
返回
随堂评价
√
1.已知空间中直线l的一个方向向量a＝(1，2，4)，平面α的一个法向量n＝(2，4，8)，则
A.直线l与平面α平行
B.直线l在平面α内
C.直线l与平面α垂直
D.直线l与平面α不相交
由a＝(1，2，4)， n＝(2，4，8)，可得n＝2a，所以n∥a，故a＝(1，2，4)是平面α的一个法向量，故直线l与平面α垂直.故选C.
√
2.已知直线l与平面α垂直，直线l的一个方向向量为u＝(1，－3，z)，向量v＝(3，－2，1)与平面α平行，则z等于
A.3 B.6
C.－9 D.9
因为l⊥α，v与平面α平行，所以u⊥v，即u·v＝0，所以1×3＋(－3)×
(－2)＋z×1＝0，所以z＝－9.故选C.
√
3.如图，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，E是CD的中点，F是AD上一点，当BF⊥PE时，AF∶FD的值为
A.1∶2 B.1∶1
C.3∶1 D.2∶1
4.已知直线l的方向向量为(2，m，－1)，平面α的法向量为(1，1，2)，且l与α相交，则m的取值范围是 .
m≠0
因为l与α相交，所以l的方向向量与α的法向量不垂直.所以(2，m，
－1)·(1，1，2)＝2＋m－2≠0，解得m≠0.
返回
课时分层评价
√
1.设直线l的方向向量为a，平面α的法向量为b，若a·b＝0，则
A.l∥α B.l α
C.l⊥α D.l α或l∥α
因为a·b＝0，所以l α或l∥α.故选D.
√
2.若直线l的一个方向向量为a＝(2，2，－2)，平面α的一个法向量为b＝(1，1，－1)，则
A.l⊥α B.l∥α
C.l α D.A，B，C都有可能
直线l的一个方向向量为a＝(2，2，－2)，平面α的一个法向量为b＝(1，1，－1)，则a＝2b，故a∥b，所以l⊥α.故选A.
√
3.已知直线l1的方向向量为a＝(2，4，x)，直线l2的方向向量为b＝(2，y，4)，且l1⊥l2，则x＋y＝
A.－1 B.1
C.0 D.无法确定
因为l1⊥l2，所以a⊥b，即a·b＝0，所以4＋4y＋4x＝0，即x＋y＝－1.故选A.
√
√
5.如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别为A1B，AC的中点，则MN与平面BB1C1C的位置关系是
A.相交
B.平行
C.垂直
D.不能确定
√
√
6.(多选题)如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，M，N分别是棱DD1，D1C1的中点，则直线OM
A.和AC垂直
B.和AA1垂直
C.和MN垂直
D.与AC，MN都不垂直
7.已知a＝(0，1，1)，b＝(1，1，0)，c＝(1，0，1)分别是平面α，β，γ的法向量，则α，β，γ三个平面中互相垂直的有 对.
0
因为a·b＝(0，1，1)·(1，1，0)＝1≠0，a·c＝(0，1，1)·(1，0，1)＝1≠0，b·c＝(1，1，0)·(1，0，1)＝1≠0，所以a，b，c中任意两个都不垂直，即α，β，γ中任意两个平面都不垂直.
8.已知u＝(a＋b，a－b，2)是直线l的一个方向向量，n＝(2，3，1)是平面α的一个法向量，若l⊥α，则a，b的值分别为 .
5，－1
(－2，4，1)或(2，－4，－1)
10.(13分)如图，已知PA⊥平面ABCD，四边形ABCD为矩形，
PA＝AD，M，N分别为AB，PC的中点.求证：
(1)MN∥平面PAD；
证明：如图所示，以点A为坐标原点，AB，AD，AP所在
直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系.
令z2＝1，则n2＝(0，1，1).
因为n1·n2＝0－b＋b＝0，
所以n1⊥n2，所以平面PMC⊥平面PDC.
√
√
√
法一：由多选题特征，排除A，C，故选BD.
法二：对于D，易知四边形ABB1A1为正方形，所以A1B⊥AB1，设AB1与A1B交于点K，连接PK，要使A1B⊥平面AB1P，需A1B⊥KP，所以点P只能是棱CC1的中点，故D正确.综上，故选BD.
13.设常数a＞0.如图在矩形ABCD中，AB＝1，AD＝a，PD⊥平面ABCD.
若线段AB上存在点Q，使得PQ⊥CQ，则实数a的取值范围是 .
所以C'E⊥平面ABD，
因为FA⊥平面ABD，
所以FA∥C'E，
而C'E 平面BC'D，FA 平面BC'D，
所以FA∥平面BC'D.
15.(5分)如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，侧棱AA1⊥底
面A1B1C1，∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1＝1，D是棱
CC1的中点，P是AD的延长线与A1C1的延长线的交点，
若点Q在线段B1P上，则下列结论正确的是
A.当点Q为线段B1P的中点时，DQ⊥平面A1BD
B.当点Q为线段B1P的三等分点时，DQ⊥平面A1BD
C.在线段B1P的延长线上，存在一点Q，使得DQ⊥平面A1BD
D.不存在DQ与平面A1BD垂直
√
16.(17分)如图，在三棱锥P-ABC中，AB⊥BC，AB＝BC
＝kPA，点O，D分别是AC，PC的中点，OP⊥底面ABC.
(1)求证：OD∥平面PAB；
解：连接OB，
因为OP⊥平面ABC，OA＝OC，AB＝BC，
所以OA⊥OB，OA⊥OP，OB⊥OP，
依题意以点O为原点，OA，OB，OP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图所示.
(2)当k取何值时，O在平面PBC内的投影恰好为△PBC的重心？
解：连接OB，
因为OP⊥平面ABC，OA＝OC，AB＝BC，
所以OA⊥OB，OA⊥OP，OB⊥OP，
依题意以点O为原点，OA，OB，OP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图所示.
返回4.2 用向量方法研究立体几何中的位置关系
学习目标 1.能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行与垂直关系，培养数学抽象、直观想象的核心素养. 2.能用向量方法判断或证明直线、平面间的平行与垂直关系，提升逻辑推理、数学运算的核心素养.
任务一 平行关系
问题1.设向量l，m分别是直线l，m的方向向量，n1，n2分别是平面α，β的法向量，若l∥m，l∥α，α∥β，那么其方向向量与法向量具有怎样的关系？
提示：l∥m l∥m，l∥α l⊥n1，α∥β n1∥n2.
问题2.能否用向量法证明平行关系？应注意什么？
提示：能.l∥m且l与m不重合 l∥m；l⊥n1且l α l∥α；n1∥n2且α与β不重合 α∥β.
设向量l，m分别是直线l，m的方向向量，n1，n2分别是平面α，β的法向量，则
(1)l∥m或l与m重合 l∥m；
(2)l∥α或l α l⊥n1；
(3)α∥β或α与β重合 n1∥n2.
(链教材P128例7(1))如图，在空间图形P-ABCD中，PC⊥平面ABCD，PC＝2，在四边形ABCD中，CD∥AB，∠ABC＝∠BCD＝90°，AB＝4，CD＝1，点M在PB上，且PB＝4PM，∠PBC＝30°.求证：CM∥平面PAD.
证明：以点C为原点，CD，CB，CP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图所示.
因为∠PBC＝30°，PC＝2，
所以BC＝2，PB＝4.
于是D(1，0，0)，C(0，0，0)，A(4，2，0)，P(0，0，2).
因为PB＝4PM，
所以PM＝1，M.
所以＝，＝(－1，0，2)，＝(3，2，0).
设平面PAD的法向量为n＝(x，y，z)，
则有
令x＝1，解得z＝，y＝－.
故n＝.
又因为·n＝·＝0，
所以⊥n，又CM 平面PAD，
所以CM∥平面PAD.
[变式探究]
(变设问)在本例条件下，在PA上是否存在一点N，使得DN∥平面PBC？若存在，求出点N的位置；若不存在，请说明理由.
解：建立如图所示的空间直角坐标系C-xyz.
由原例题的解析可知，D(1，0，0)，C(0，0，0)，A(4，2，0)，P(0，0，2).
因为共线，
所以可设＝λ，
所以－＝λ(－)，
所以＝λ＋(1－λ)＝λ(4，2，0)＋(1－λ)(0，0，2)＝(4λ，2λ，2(1－λ))，
＝－＝(4λ－1，2λ，2(1－λ))，
由PC⊥平面ABCD，知PC⊥CD，又BC⊥CD，PC∩BC＝C，
所以CD⊥平面PBC，
所以平面PBC的一个法向量为＝(1，0，0)，
若DN∥平面PBC，则·＝4λ－1＝0，
解得λ＝，所以＝.
即在PA上存在点N，且满足PN∶PA＝1∶4时，DN∥平面PBC.
1.应用向量法证明线面平行问题的方法
(1)证明直线的方向向量与平面的法向量垂直.
(2)证明直线的方向向量与平面内的某一直线的方向向量共线.
(3)证明直线的方向向量可用平面内的任意两个不共线的向量表示.即用平面向量基本定理证明线面平行.
2.证明面面平行的方法
若不重合的两平面α，β，设平面α的法向量为n1＝(a1，b1，c1)，平面β的法向量为n2＝(a2，b2，c2)，则α∥β n1∥n2 (a1，b1，c1)＝k(a2，b2，c2)(k∈R).
对点练1.如图，已知在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N，P分别是AD1，BD，B1C的中点，利用向量法证明：
(1)MN∥平面CC1D1D；
(2)平面MNP∥平面CC1D1D.
证明：(1)以点D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图所示.
设正方体的棱长为2，则A(2，0，0)，C(0，2，0)，D(0，0，0)，M(1，0，1)，N(1，1，0)，P(1，2，1).
由正方体的性质，知AD⊥平面CC1D1D，
所以＝(2，0，0)为平面CC1D1D的一个法向量.
由于＝(0，1，－1)，
则·＝0×2＋1×0＋(－1)×0＝0，
所以⊥.
又MN 平面CC1D1D，
所以MN∥平面CC1D1D.
(2)因为＝(2，0，0)为平面CC1D1D的一个法向量，
由于＝(0，2，0)，＝(0，1，－1)，
则
即＝(2，0，0)也是平面MNP的一个法向量，
所以平面MNP∥平面CC1D1D.
任务二 垂直关系
问题3.如图，当l⊥m，l⊥α，α⊥β时，判断直线的方向向量、平面的法向量有什么关系？
提示：l⊥m，n1∥l，n1⊥n2.
问题4.如图，AB⊥α，垂足为点B，AC∩α＝C，l α，且l⊥BC，由向量法能否得到l⊥AC？
提示：能.证明：设l是直线l的一个方向向量，则由l⊥BC，可知l⊥.
因为AB⊥α，l α，所以AB⊥l，即⊥l.
又因为＝＋，所以·l＝(＋)·l＝·l＋·l＝0.
因此l⊥，即l⊥AC.
1.设向量l，m分别是直线l，m的方向向量，n1，n2分别是平面α，β的法向量，则
(1)l⊥m l⊥m；
(2)l⊥α l∥n1；
(3)α⊥β n1⊥n2.
2.三垂线定理及其逆定理
(1)三垂线定理：若平面内的一条直线与平面的一条斜线在这个平面内的投影垂直，则它也和这条斜线垂直.简记为：和投影垂直，则和斜线垂直.
(2)三垂线定理的逆定理：若平面内的一条直线和这个平面的一条斜线垂直，则它也和这条斜线在这个平面内的投影垂直.简记为：和斜线垂直，则和投影垂直.
[微提醒] (1)若证面面垂直，则证两平面的法向量垂直.
(2)证明线面垂直的方法：
①基向量法：思路一：选取基向量，用基向量表示直线所在的向量，证明直线所在向量与平面内两个不共线向量的数量积均为零，从而证得结论.
思路二：建立空间直角坐标系，求出直线方向向量的坐标，证明直线的方向向量与平面内两个不共线向量的数量积均为零，从而证得结论.
②法向量法：建立空间直角坐标系，求出直线方向向量的坐标以及平面法向量的坐标，然后说明直线方向向量与平面法向量共线，从而证得结论.
(链教材P128例7(2))如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝2，BC＝CC1＝1，E是CD的中点.求证：B1E⊥平面AED1.
证明：以点D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图所示.
所以D(0，0，0)，A(1，0，0)，D1(0，0，1)，C(0，2，0)，B1(1，2，1).
又E为CD的中点，所以E(0，1，0)，
所以＝(－1，－1，－1)，＝(－1，1，0)，＝(－1，0，1).
设平面AED1的法向量为n＝(x，y，z)，
则
取x＝1，则y＝1，z＝1，
所以n＝(1，1，1)是平面AED1的一个法向量.
又＝－n，
所以∥n，所以B1E⊥平面AED1.
利用向量法证明线面、面面垂直的策略
1.用向量法判定线面垂直，只需直线的方向向量与平面的法向量平行或直线的方向向量与平面内两相交直线的方向向量垂直.
2.用向量法判定两个平面垂直，只需求出这两个平面的法向量，再看它们的数量积是否为0即可.
对点练2.(一题多解)如图，在正三棱锥P-ABC中，三条侧棱两两互相垂直，G是△PAB的重心，E，F分别为BC，PB上的点，且BE∶EC＝PF∶FB＝1∶2.
求证：平面EFG⊥平面PBC.
证明：法一：如图所示，以三棱锥的顶点P为原点，PA，PB，PC所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系.
令PA＝PB＝PC＝3，则A(3，0，0)，F(0，1，0)，G(1，1，0)，P(0，0，0).
则＝(3，0，0)，＝(1，0，0)，
故＝3，所以PA∥FG.
又PA⊥平面PBC，所以FG⊥平面PBC.
又FG 平面EFG，
所以平面EFG⊥平面PBC.
法二：同法一，建立空间直角坐标系，
则E(0，2，1)，F(0，1，0)，G(1，1，0).
所以＝(0，－1，－1)，＝(1，－1，－1).
设平面EFG的法向量是n＝(x，y，z)，
则
令y＝1，得z＝－1，x＝0，
即n＝(0，1，－1).
显然＝(3，0，0)是平面PBC的一个法向量.
又n·＝0，
所以n⊥，
即平面EFG的法向量与平面PBC的法向量互相垂直，
所以平面EFG⊥平面PBC.
任务三 平行与垂直的综合应用
如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，PD＝DC，E，F分别是AB，PB的中点.
(1)求证：EF⊥CD；
(2)在平面PAD内求一点G，使GF⊥平面PCB，并证明你的结论.
解：(1)证明：如图所示，以点D为原点，DA，DC，DP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系.
设AD＝a，则D(0，0，0)，A(a，0，0)，B(a，a，0)，C(0，a，0)，E，P(0，0，a)，F.
＝，＝(0，a，0).
因为·＝0，
所以⊥，即EF⊥CD.
(2)当G为AD的中点时，GF⊥平面PCB.
证明如下：设G(x，0，z)，由(1)得＝(x－，－，z－)，＝(a，0，0)，＝(0，－a，a)，
若使GF⊥平面PCB，
则需·＝0且·＝0，
由·＝·(a，0，0)
＝a＝0，得x＝，
由·＝·(0，－a，a)
＝＋a＝0，得z＝0.
所以G点坐标为，即G为AD的中点时，GF⊥平面PCB.
处理立体几何中的探索性问题的常用方法
1.猜想法：即先通过对空间图形的理解，猜想点、线、面在某种特殊位置(中点居多)时可能会满足条件，然后再尝试证明.
2.向量法：假设存在，利用参数标记位置，然后根据要满足的条件求出参数值，从而判定是否存在.
对点练3.如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AA1＝AD＝1，E为CD的中点.
(1)求证：B1E⊥AD1；
(2)在棱AA1上是否存在一点P，使得DP∥平面B1AE？若存在，求AP的长；若不存在，说明理由.
解：(1)证明：以点A为原点，AB，AD，AA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图所示.
设AB＝a，则A(0，0，0)，D(0，1，0)，D1(0，1，1)，E，B1(a，0，1).
＝(0，1，1)，＝.
因为·＝－·0＋1×1＋(－1)×1＝0，
所以B1E⊥AD1.
(2)假设在棱AA1上存在一点P(0，0，z0)(0≤z0≤1)，
使得DP∥平面B1AE，此时＝(0，－1，z0).
由(1)得＝(a，0，1)，＝.
设平面B1AE的法向量为n＝(x，y，z)，
则
取x＝1，得平面B1AE的一个法向量n＝(1，－，－a).
要使DP∥平面B1AE，则需n⊥，
即n·＝0，－az0＝0，解得z0＝.
又DP 平面B1AE，所以存在点P，使得DP∥平面B1AE，此时AP＝.
任务再现 1.平行关系.2.垂直关系.3.平行与垂直的综合应用
方法提炼 基向量法、法向量法、转化与化归思想
易错警示 通过向量和平面平行直接得到线面平行，忽略条件直线不在平面内；直线的方向向量、平面的法向量的关系与线面间的垂直关系的对应易混淆
1.已知空间中直线l的一个方向向量a＝(1，2，4)，平面α的一个法向量n＝(2，4，8)，则( )
A.直线l与平面α平行
B.直线l在平面α内
C.直线l与平面α垂直
D.直线l与平面α不相交
答案：C
解析：由a＝(1，2，4)， n＝(2，4，8)，可得n＝2a，所以n∥a，故a＝(1，2，4)是平面α的一个法向量，故直线l与平面α垂直.故选C.
2.已知直线l与平面α垂直，直线l的一个方向向量为u＝(1，－3，z)，向量v＝(3，－2，1)与平面α平行，则z等于( )
A.3 B.6
C.－9 D.9
答案：C
解析：因为l⊥α，v与平面α平行，所以u⊥v，即u·v＝0，所以1×3＋(－3)×(－2)＋z×1＝0，所以z＝－9.故选C.
3.如图，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，E是CD的中点，F是AD上一点，当BF⊥PE时，AF∶FD的值为( )
A.1∶2 B.1∶1
C.3∶1 D.2∶1
答案：B
解析：建立如图所示的空间直角坐标系.设正方形边长为1，PA＝a，则B(1，0，0)，E，P(0，0，a).设点F的坐标为(0，y，0)，则＝(－1，y，0)，＝.因为BF⊥PE，所以·＝0，解得y＝，即点F的坐标为，所以F为AD的中点，所以AF∶FD＝1∶1.故选B.
4.已知直线l的方向向量为(2，m，－1)，平面α的法向量为(1，1，2)，且l与α相交，则m的取值范围是 .
答案：m≠0
解析：因为l与α相交，所以l的方向向量与α的法向量不垂直.所以(2，m，－1)·(1，1，2)＝2＋m－2≠0，解得m≠0.
课时分层评价27 用向量方法研究立体几何中的位置关系
(时间：60分钟 满分：110分)
(1—9，每小题5分，共45分)
1.设直线l的方向向量为a，平面α的法向量为b，若a·b＝0，则( )
A.l∥α B.l α
C.l⊥α D.l α或l∥α
答案：D
解析：因为a·b＝0，所以l α或l∥α.故选D.
2.若直线l的一个方向向量为a＝(2，2，－2)，平面α的一个法向量为b＝(1，1，－1)，则( )
A.l⊥α B.l∥α
C.l α D.A，B，C都有可能
答案：A
解析：直线l的一个方向向量为a＝(2，2，－2)，平面α的一个法向量为b＝(1，1，－1)，则a＝2b，故a∥b，所以l⊥α.故选A.
3.已知直线l1的方向向量为a＝(2，4，x)，直线l2的方向向量为b＝(2，y，4)，且l1⊥l2，则x＋y＝( )
A.－1 B.1
C.0 D.无法确定
答案：A
解析：因为l1⊥l2，所以a⊥b，即a·b＝0，所以4＋4y＋4x＝0，即x＋y＝－1.故选A.
4.已知平面α，β的法向量分别为a＝(3λ＋1，0，2λ)，b＝(1，λ－1，λ)，若α⊥β，则λ的值为( )
A.1或－ B.1或
C.－1或 D.－1或－
答案：D
解析：由题意知，a⊥b，所以3λ＋1＋2λ2＝0，所以λ＝－1或－.故选D.
5.如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别为A1B，AC的中点，则MN与平面BB1C1C的位置关系是( )
A.相交 B.平行
C.垂直 D.不能确定
答案：B
解析：根据题意，建立空间直角坐标系，如图所示.设正方体的棱长为2，则A(2，2，2)，A1(2，2，0)，C(0，0，2)，B(2，0，2)，所以M(2，1，1)，N(1，1，2)，所以＝(－1，0，1).又平面BB1C1C的一个法向量为n＝(0，1，0)，所以·n＝－1×0＋0×1＋1×0＝0，所以⊥n，又因为MN 平面BB1C1C，所以MN∥平面BB1C1C.故选B.
6.(多选题)如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，M，N分别是棱DD1，D1C1的中点，则直线OM( )
A.和AC垂直
B.和AA1垂直
C.和MN垂直
D.与AC，MN都不垂直
答案：AC
解析：以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系(图略).设正方体的棱长为2a，则M(0，0，a)，A(2a，0，0)，C(0，2a，0)，O(a，a，0)，N(0，a，2a).所以＝(－a，－a，a)，＝(0，a，a)，＝(－2a，2a，0).所以·＝0，·＝0，所以OM⊥AC，OM⊥MN.OM和AA1显然不垂直.故选AC.
7.已知a＝(0，1，1)，b＝(1，1，0)，c＝(1，0，1)分别是平面α，β，γ的法向量，则α，β，γ三个平面中互相垂直的有 对.
答案：0
解析：因为a·b＝(0，1，1)·(1，1，0)＝1≠0，a·c＝(0，1，1)·(1，0，1)＝1≠0，b·c＝(1，1，0)·(1，0，1)＝1≠0，所以a，b，c中任意两个都不垂直，即α，β，γ中任意两个平面都不垂直.
8.已知u＝(a＋b，a－b，2)是直线l的一个方向向量，n＝(2，3，1)是平面α的一个法向量，若l⊥α，则a，b的值分别为 .
答案：5，－1
解析：因为l⊥α，所以u∥n，所以＝＝，所以a＝5，b＝－1.
9.(双空题)在△ABC中，A(1，－2，－1)，B(0，－3，1)，C(2，－2，1).若向量n是与共线的单位向量，则向量n的坐标为 ；若向量n与平面ABC垂直，且｜n｜＝，则n的坐标为 .
答案：或 (－2，4，1)或(2，－4，－1)
解析：据题意，得＝(－1，－1，2)，＝(1，0，2).设n＝(x，y，z)，若向量n是与共线的单位向量，则可得n＝或n＝.若n与平面ABC垂直，则又因为｜n｜＝，所以＝，解得y＝4或y＝－4.当y＝4时，x＝－2，z＝1；当y＝－4时，x＝2，z＝－1.所以n＝(－2，4，1)或n＝(2，－4，－1).
10.(13分)如图，已知PA⊥平面ABCD，四边形ABCD为矩形，PA＝AD，M，N分别为AB，PC的中点.求证：
(1)MN∥平面PAD；
(2)平面PMC⊥平面PDC.
证明：(1)如图所示，以点A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系.
设PA＝AD＝a，AB＝b，
则有P(0，0，a)，A(0，0，0)，D(0，a，0)，C(b，a，0)，B(b，0，0).
因为M，N分别为AB，PC的中点，所以M，N(，，)，
所以＝.
法一：＝(0，0，a)，＝(0，a，0)，
所以＝＋.
又因为MN 平面PAD，所以MN∥平面PAD.
法二：由题意知为平面PAD的一个法向量.
因为＝(b，0，0)，
所以·＝0，所以⊥.
又MN 平面PAD，所以MN∥平面PAD.
(2)由(1)知，P(0，0，a)，C(b，a，0)，M，D(0，a，0)，
所以＝(b，a，－a)，＝，＝(0，a，－a).
设平面PMC的一个法向量为n1＝(x1，y1，z1)，
则
所以
令z1＝b，则n1＝(2a，－b，b).
设平面PDC的一个法向量为n2＝(x2，y2，z2)，
则
所以
令z2＝1，则n2＝(0，1，1).
因为n1·n2＝0－b＋b＝0，
所以n1⊥n2，所以平面PMC⊥平面PDC.
(11—13，每小题5分，共15分)
11.如图，正方形ABCD与矩形ACEF所在平面互相垂直，AB＝，AF＝1，M在EF上，且AM∥平面BDE，则M点的坐标为( )
A.(1，1，1) B.
C. D.
答案：C
解析：设AC与BD相交于O点，连接OE，如图所示，建立空间直角坐标系.设M点的坐标为(x，y，1)，则O(，，0)，E(0，0，1)，A(，，0).所以＝，＝(x－，y－，1).由AM∥平面BDE，且AM 平面ACEF，平面ACEF∩平面BDE＝OE，所以AM∥OE，即∥，即＝λ，所以所以M点的坐标为.故选C.
12.(多选题)(2021·新高考Ⅰ卷)在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB＝AA1＝1，点P满足＝λ＋μ，其中λ∈[0，1]，μ∈[0，1]，则( )
A.当λ＝1时，△AB1P的周长为定值
B.当μ＝1时，三棱锥P-A1BC的体积为定值
C.当λ＝时，有且仅有一个点P，使得A1P⊥BP
D.当μ＝时，有且仅有一个点P，使得A1B⊥平面AB1P
答案：BD
解析：＝λ＋μ(0≤λ≤1，0≤μ≤1).对于A，当λ＝1时，点P在棱CC1上运动，如图①所示，此时△AB1P的周长为AB1＋AP＋PB1＝＋＋＝＋＋，不是定值，故A错误；
对于B，当μ＝1时，点P在棱B1C1上运动，如图②所示，则＝＝S△PBC×＝S△PBC＝××1×1＝，为定值，故B正确；对于C，取BC的中点D，B1C1的中点D1，连接DD1，A1B，则当λ＝时，点P在线段DD1上运动，假设A1P⊥BP，则A1P2＋BP2＝A1B2，即＋(1－μ)2＋＋μ2＝2，解得μ＝0或μ＝1，所以点P与点D或D1重合时，A1P⊥BP，故C错误；
法一：由多选题特征，排除A，C，故选BD.
法二：对于D，易知四边形ABB1A1为正方形，所以A1B⊥AB1，设AB1与A1B交于点K，连接PK，要使A1B⊥平面AB1P，需A1B⊥KP，所以点P只能是棱CC1的中点，故D正确.综上，故选BD.
法三：对于D，分别取BB1，CC1的中点E，F，连接EF，则当μ＝时，点P在线段EF上运动，以点C1为原点，建立如图③所示的空间直角坐标系C1-xyz，则B(0，1，1)，B1(0，1，0)，A1(，，0)，P(0，1－λ，).所以＝，＝.易知AB1⊥A1B，若A1B⊥平面AB1P，只需A1B⊥B1P，所以－＋＝0，解得λ＝1，所以只存在一个点P，使得A1B⊥平面AB1P，此时点P与F重合，故D正确.综上，故选BD.
13.设常数a＞0.如图在矩形ABCD中，AB＝1，AD＝a，PD⊥平面ABCD.若线段AB上存在点Q，使得PQ⊥CQ，则实数a的取值范围是 .
答案：
解析：因为在矩形ABCD中，AB＝1，AD＝a，PD⊥平面ABCD，所以以点D为原点，DA，DC，DP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图所示.设DP＝b，AQ＝x(0＜x＜1)，其中x＝0或x＝1不符合题意，则P(0，0，b)，Q(a，x，0)，C(0，1，0).则有＝(a，x，－b)，＝(a，x－1，0).由PQ⊥CQ，得·＝a2＋x(x－1)＝0，即x2－x＋a2＝0，若线段AB上存在点Q，即方程在(0，1)有解，设函数f(x)＝x2－x＋a2，f(0)＝a2＞0，对称轴为x＝，则方程在(0，1)有解需满足f＝a2－≤0，又因为a＞0，所以0＜a≤，即a的取值范围为.
14.(15分)如图①，在边长为2的菱形ABCD中，∠BAD＝60°，将△BCD沿对角线BD折起到△BC'D的位置，使平面BC'D⊥平面ABD，E是BD的中点，FA⊥平面ABD，且FA＝2，如图②.
(1)求证：FA∥平面BC'D；
(2)在线段AD上是否存在一点M，使得C'M⊥平面FBC'，若存在，求的值；若不存在，说明理由.
解：(1)证明：因为BC＝CD，E为BD的中点，
所以C'E⊥BD，
又平面BC'D⊥平面ABD，且平面BC'D∩平面ABD＝BD，C'E 平面BC'D，
所以C'E⊥平面ABD，
因为FA⊥平面ABD，
所以FA∥C'E，
而C'E 平面BC'D，FA 平面BC'D，
所以FA∥平面BC'D.
(2)由(1)知，C'E⊥平面ABD，AE，BE 平面ABD，
所以C'E⊥AE，C'E⊥BE，又AE⊥BD，
故以点E为原点，BD，AE，EC'所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图所示.
则B(1，0，0)，A(0，－，0)，D(－1，0，0)，F(0，－，2)，C(0，0，)，＝(1，，－2)，＝(－1，0，)，
设平面FBC'的法向量为m＝(x，y，z)，
则
令z＝1，则x＝，y＝1，故m＝(，1，1)，
假设在线段AD上存在M(x1，y1，z1)，使得C'M⊥平面FBC'，
设＝λ，则(x1，y1＋，z1)＝λ(－1，，0)＝(－λ，λ，0)，
所以x1＝－λ，y1＝λ－，z1＝0，则＝(－λ，λ－，－).
由m∥，得m＝t，即，无解，λ不存在.
所以线段AD上不存在点M，使得C'M⊥平面FBC'.
15.(5分)如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面A1B1C1，∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1＝1，D是棱CC1的中点，P是AD的延长线与A1C1的延长线的交点，若点Q在线段B1P上，则下列结论正确的是( )
A.当点Q为线段B1P的中点时，DQ⊥平面A1BD
B.当点Q为线段B1P的三等分点时，DQ⊥平面A1BD
C.在线段B1P的延长线上，存在一点Q，使得DQ⊥平面A1BD
D.不存在DQ与平面A1BD垂直
答案：D
解析：以点A1为原点，A1B1，A1C1，A1A所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系(图略)，则由已知得A1(0，0，0)，B1(1，0，0)，C1(0，1，0)，B(1，0，1)，D，P(0，2，0).＝(1，0，1)，＝，＝(－1，2，0)，＝.设平面A1BD的法向量为n＝(x，y，z)，则取z＝－2，则x＝2，y＝1，所以平面A1BD的一个法向量为n＝(2，1，－2).假设DQ⊥平面A1BD，且＝λ＝λ(－1，2，0)＝(－λ，2λ，0)，则＝＋＝，因为也是平面A1BD的法向量，所以n＝(2，1，－2)与＝共线，则有＝＝＝成立，但此方程无解.故不存在DQ与平面A1BD垂直.故选D.
16.(17分)如图，在三棱锥P-ABC中，AB⊥BC，AB＝BC＝kPA，点O，D分别是AC，PC的中点，OP⊥底面ABC.
(1)求证：OD∥平面PAB；
(2)当k取何值时，O在平面PBC内的投影恰好为△PBC的重心？
解：连接OB，
因为OP⊥平面ABC，OA＝OC，AB＝BC，
所以OA⊥OB，OA⊥OP，OB⊥OP，
依题意以点O为原点，OA，OB，OP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图所示.
设AB＝a，则A，B，C.
设OP＝h，则P(0，0，h).
(1)证明：因为D为PC的中点，所以＝(－a，0，h)，又＝，
所以＝－，
所以∥，即OD∥PA，
又因为OD 平面PAB，PA 平面PAB，
所以OD∥平面PAB.
(2)因为△PBC的重心G，
所以＝，
因为OG⊥平面PBC，
所以⊥，
又＝，
所以·＝a2－h2＝0，
所以h＝a，
所以｜｜＝＝a，即k＝1，
经验证，当k＝1时，三棱锥O-PBC为正三棱锥，
此时O在平面PBC内的投影为△PBC的重心.
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
