空间向量的运算(空间向量的数量积)
学习目标 1.了解空间向量的夹角；掌握空间向量的数量积的定义、性质、运算律及计算方法，培养直观想象、数学运算的核心素养. 2.了解空间向量投影的概念以及投影向量的意义，培养直观想象的核心素养. 3.掌握两个向量的数量积在判断垂直中的应用，掌握利用向量数量积求空间两点间的距离，提升逻辑推理和数学运算的核心素养.
任务一 两个向量的夹角
问题1.类比两个平面向量a和b的夹角的定义，那么对于两个空间向量a和b，他们的夹角又该如何定义呢？
提示：已知两个非零向量a，b，在空间中任取一点O，作＝a，＝b，则∠AOB叫作向量a，b的夹角，记作〈a，b〉.
两个向量的夹角
定义 已知两个非零向量a，b，在空间中任取一点O，作＝a，＝b，则∠AOB叫作向量a与b的夹角，记作〈a，b〉
范围 0≤〈a，b〉≤π
向量 平行 当〈a，b〉＝0时，向量a与b方向相同； 当〈a，b〉＝π时，向量a与b方向相反
向量 垂直 当〈a，b〉＝时，称向量a，b互相垂直，记作a⊥b 规定：零向量与任意向量垂直
[微思考] 〈a，b〉＝＜b，a〉吗？〈a，b〉与〈－a，b〉，〈a，－b〉，〈－a，－b〉有什么关系？
提示：〈a，b〉＝〈b，a〉，〈－a，b〉＝〈a，－b〉＝π－〈a，b〉，〈－a，－b〉＝〈a，b〉.
如图，在正方体ABCD-A'B'C'D'中，求向量分别与向量，，，，的夹角.
解：连接BD(图略)，
则在正方体ABCD-A'B'C'D'中，AC⊥BD，∠BAC＝45°，AC＝AD'＝CD'，
所以〈，〉＝〈，〉＝45°，
〈，〉＝180°－〈，＞＝135°，
〈，〉＝∠D'AC＝60°，
〈，〉＝180°－〈，〉＝180°－60°＝120°，
〈，〉＝〈，〉＝90°.
1.求两个空间向量的夹角时，要结合夹角的定义和图形，以防出错.
2.对空间任意两个非零向量a，b有：
(1)〈a，b〉＝〈b，a〉；
(2)〈－a，b〉＝〈a，－b〉＝π－〈a，b〉；
(3)〈－a，－b〉＝〈a，b〉.
对点练1.(1)对于空间任意两个非零向量a，b，“a∥b”是“〈a，b〉＝0”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
(2)(双空题)在正四面体ABCD中，与的夹角等于 ；与的夹角等于 .
答案：(1)B (2)120° 60°
解析：(1)因为a∥b，包括向量a和b同向共线和反向共线两种情况，所以当a∥b时，有〈a，b〉＝0，或〈a，b〉＝π，不能得到〈a，b〉＝0，充分性不成立；〈a，b〉＝0，则a和b方向相同，有a∥b，必要性成立，故“a∥b”是“〈a，b〉＝0”的必要不充分条件.故选B.
(2)由正四面体每个面都是正三角形可知，〈，〉＝180°－〈，〉＝180°－60°＝120°；〈，〉＝〈，〉＝60°.
任务二 两个向量的数量积
问题2.类比平面向量的数量积的定义，你能给出空间两向量数量积的定义吗？空间向量的数量积运算满足哪些运算律？
提示：能给出空间两向量数量积的定义，即已知两个空间向量a，b，把｜a｜｜b｜cos〈a，b〉叫作a与b的数量积，记作a·b，即a·b＝｜a｜｜b｜cos〈a，b〉.
空间向量的数量积运算满足：(1)交换律：a·b＝b·a；(2)分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c；(3)数乘向量与向量数量积的结合律：(λa)·b＝λ(a·b)(λ∈R).
1.空间向量数量积的定义
已知两个空间向量a，b，把｜a｜｜b｜cos〈a，b〉叫作a与b的数量积，记作a·b，即a·b＝｜a｜｜b｜cos〈a，b〉.零向量与任意向量的数量积为0，即0·a＝0.
2.数量积的结论
(1)cos〈a，b〉＝(a≠0，b≠0).
(2)｜a｜＝＝，｜a｜2＝a2.
(3)a⊥b a·b＝0.
3.数量积的运算律
交换律 a·b＝b·a
分配律 a·(b＋c)＝a·b＋a·c
数乘向量与数量积的结合律 (λa)·b＝λ(a·b)(λ∈R)
[微思考] 对于不共线向量a，b，c，(a·b)·c＝a·(b·c)成立吗？为什么？
提示：不成立.例如，任取三个不共面向量a，b，c，(a·b)·c是一个数与向量c作数乘，a·(b·c)是一个数与向量a作数乘，而a，c不共线，所以(a·b)·c与a·(b·c)不可能相等.
如图，已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于1，点E，F分别是AB，AD的中点，计算：
(1)·；(2)·；
(3)·；(4)·.
解：(1)·＝·＝｜｜·｜｜·cos〈，〉＝×1×1×cos 60°＝.
(2)·＝·＝｜｜·｜｜·cos〈，〉＝×1×1×cos 0°＝.
(3)·＝·＝｜｜·｜｜·cos〈，〉＝×1×1×cos 120°＝－.
(4)·＝＋)·＋)＝
＝[－·－·＋(－)·＋·]＝×＝－.
在几何体中求空间向量的数量积的步骤
第一步：将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式；
第二步：利用向量的运算律将数量积展开，转化成已知模和夹角的向量的数量积；
第三步：根据向量的方向，正确求出向量的夹角；
第四步：代入公式a·b＝｜a｜｜b｜cos 〈a，b〉求解.
对点练2.在正四面体P-ABC中，棱长为2，且E是棱AB的中点，则·的值为( )
A.－1 B.1
C.3 D.7
答案：A
解析：如图所示，因为在正四面体P-ABC中，棱长为2，，，两两夹角为60°，所以·＝·＝·＝2×2×cos 60°＝2，＝4.因为E是棱AB的中点，所以＝，又＝－，所以·＝·＝·＋·－·－)＝＝－1.故选A.
任务三 投影向量与投影数量
问题3.如何根据平面向量中一个向量在另一个向量方向上的投影向量与投影数量定义空间向量中的投影向量与投影数量？
提示：因为任意两个空间向量一定是共面向量，所以可以把平面向量中投影向量与投影数量的概念直接推广到空间向量.
1.投影向量的定义：已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作＝a，＝b，过点B作直线OA的垂线，垂足为点B1，称向量为向量b在向量a方向上的投影向量，其长度等于｜｜b｜cos〈a，b〉｜.
当〈a，b〉为锐角时，｜b｜cos〈a，b〉＞0(如图①)；
当〈a，b〉为钝角时，｜b｜cos〈a，b〉＜0(如图②)；
当〈a，b〉＝时，｜b｜cos〈a，b〉＝0(如图③).
2.投影数量的定义：若用a0表示与向量a(a≠0)同方向的单位向量，则向量b在向量a方向上的投影向量为＝｜b｜cos〈a，b〉a0.因此，称｜b｜cos〈a，b〉为投影向量的数量，也称为向量b在向量a方向上的投影数量.向量b在向量a方向上的投影数量为｜b｜cos〈a，b〉＝＝a0·b.
[微提醒] (1)投影数量可正、可负、也可为零，这是由两非零向量的夹角决定的.(2)投影数量不一定是投影向量的模.当两向量的夹角小于或等于90°时，投影数量才是投影向量的模.
已知向量a与b的夹角为60°，｜a｜＝2，｜b｜＝6，则2a－b在a方向上的投影数量为 .
答案：1
解析：因为a与b的夹角为60°，｜a｜＝2，｜b｜＝6，所以(2a－b)·a＝2｜a｜2－a·b＝2×22－2×6×＝2，所以2a－b在a方向上的投影数量为＝＝1.
1.求投影向量的方法
(1)依据投影向量的定义和平面几何知识作出恰当的垂线，直接得到投影向量.
(2)首先根据题意确定向量a的模、与b同向的单位向量e及两向量a与b的夹角θ，然后依据公式｜a｜cos θ·e计算a在b方向上的投影向量.
2.a在b方向上的投影数量为｜a｜cos〈a，b〉＝.
对点练3.已知｜a｜＝3，｜b｜＝5，a·b＝－12且e是与b方向相同的单位向量，则a在b方向上的投影向量为 .
答案：－e
解析：由于cos〈a，b〉＝＝－＝－，所以a在b方向上的投影向量为｜a｜cos〈a，b〉·e＝3×·e＝－e.
任务四 利用数量积证明垂直问题
如图，已知空间四边形ABCD的各边和对角线的长都为a，点M，N分别是AB，CD的中点.证明：MN⊥AB.
证明：由题意可知，｜｜＝｜｜＝｜｜＝a，且向量，，两两的夹角均为60°，连接AN(图略)，
则＝－＝＋)－，
所以·＝·＋·－)
＝(a2cos 60°＋a2cos 60°－a2)＝0，
所以⊥，即MN⊥AB.
用向量法证明空间线线、线面垂直的思路
1.要证两直线垂直，可分别构造与两直线平行的向量，只要证明这两个向量的数量积为0即可.
2.证明线面垂直，需将线面垂直转化为线线垂直，然后利用向量数量积证明线线垂直即可.
对点练4.如图，已知三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱垂直于底面，∠BAC＝90°.求证：AB⊥AC1.
证明：因为AA1⊥平面ABC，∠BAC＝90°，AB 平面ABC，
所以AA1⊥AB，AB⊥AC，
因为＝＋，
所以·＝(＋)·＝·＋·＝0，
所以⊥，即AB⊥AC1.
任务五 利用数量积求夹角和模
(1)如图，正三棱柱(底面是正三角形的直三棱柱)ABC-A1B1C1的各棱长都为2，E，F分别是AB，A1C1的中点，则EF的长为 .
(2)已知空间四边形OABC各边及对角线长都等于2，E，F分别为AB，OC的中点，则异面直线OE与BF所成角的余弦值为 .
答案：(1) (2)
解析：(1)设＝a，＝b，＝c.由题意，知｜a｜＝｜b｜＝｜c｜＝2，且〈a，b〉＝60°，〈a，c〉＝〈b，c〉＝90°.因为＝＋＋＝－＋＋＝－a＋b＋c，所以｜｜2＝＝a2＋b2＋c2＋2＝×22＋×22＋22＋2××2×2cos 60°＝1＋1＋4－1＝5，所以｜｜＝，即EF＝.
(2)由已知得·＝·＝·＝2，＝＋)，＝－＝－，因此｜｜＝｜＋｜＝＝，
｜｜＝＝＝.又因为·＝＋)·(－)＝×2－×2＋×2－2＝－2，所以cos〈，〉＝＝＝－.故异面直线OE与BF所成角的余弦值为.
1.利用数量积求夹角或其余弦值的步骤
2.利用数量积求两点间的距离或线段的长度的步骤
第一步：将此线段用向量表示；
第二步：用其他已知夹角和模的向量表示该向量；
第三步：利用｜a｜＝，计算出｜a｜，即得所求距离.
对点练5.如图，平行六面体ABCD-A1B1C1D1的底面是菱形，且∠C1CB＝∠C1CD＝∠BCD＝60°，CD＝CC1＝2.
(1)求AC1的长；
(2)求异面直线CA1与DC1所成角的余弦值.
解：(1)设＝a，＝b，＝c，则｜a｜＝｜b｜＝｜c｜＝2，〈a，b〉＝〈a，c〉＝〈b，c〉＝60°，
因为＝－(＋)＝c－(a＋b)，
所以＝＝＝c2＋a2＋b2－2a·c－2b·c＋2a·b
＝12－2×2×2×cos 60°＝8，
所以AC1＝2.
(2)因为＝a＋b＋c，＝c－a，
所以·＝(a＋b＋c)·(c－a)＝c2－a2＋b·c－a·b＝0，
所以⊥，
所以异面直线CA1与DC1所成的角为90°，余弦值为0.
任务 再现 1.两个向量的夹角.2.两个向量的数量积.3.投影向量与投影数量.4.利用数量积证明垂直问题.5.利用数量积求夹角和模
方法 提炼 类比法、转化与化归思想
易错 警示 向量的夹角只注重角度大小，而忽视向量的方向；数量积的运算不满足结合律，更不存在“消去律”；当a≠0时，由a·b＝0可得a⊥b或b＝0
1.(多选题)如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，下列各组向量的夹角为45°的是( )
A.与
B.与
C.与
D.与
答案：AD
解析：对于A，的夹角，为45°；对于B，的夹角，为180°－45°＝135°；对于C，的夹角为180°－45°＝135°；对于D，的夹角，为45°.故选AD.
2.已知等边△ABC的边长为2，则向量在向量方向上的投影向量为( )
A.－ B.
C.2 D.2
答案：A
解析：在等边△ABC中，因为A＝60°，所以向量，所以向量方向上的投影向量为－.故选A.
3.(多选题)已知空间四边形ABCD的四条边和两条对角线的长都为a，且E，F，G分别是AB，AD，DC的中点，则下列选项中运算结果为－a2的是( )
A.2· B.2·
C.2· D.2·
答案：AC
解析：如图所示，2·＝2｜｜｜｜cos 120°＝2a·a cos 120°＝－a2，故A正确；2·＝2｜｜｜｜·cos 60°＝2a·a cos 60°＝a2，故B错误；2·＝2｜｜｜｜cos 180°＝2··a cos 180°＝－a2，故C正确；2·＝2｜｜｜｜cos 120°＝2··a cos 120°＝－，故D错误.故选AC.
4.如图，在三棱锥A-BCD中，底面边长与侧棱长均为a，M，N分别是棱AB，CD上的点，且MB＝2AM，CN＝ND，则MN的长为 .
答案：a
解析：因为＝＋＋＝＋(－)＋－)＝－＋＋，所以＝＝－·－·＋·＋＋＝a2－a2－a2＋a2＋a2＋a2＝a2.所以｜｜＝a，即MN＝a.
课时分层评价23 空间向量的运算(空间向量的数量积)
(时间：60分钟 满分：110分)
(1—9，每小题5分，共45分)
1.已知e1，e2为单位向量，且e1⊥e2，若a＝2e1＋3e2，b＝ke1－4e2，a⊥b，则实数k的值为( )
A.－6 B.6
C.－3 D.3
答案：B
解析：由题意可得a·b＝0，e1·e2＝0，｜e1｜＝｜e2｜＝1，所以(2e1＋3e2)·(ke1－4e2)＝0，所以2k－12＝0，解得k＝6.故选B.
2.(多选题)已知a，b是两个非零向量，下列结论中，正确的是( )
A.a·b＞0 〈a，b〉∈
B.a·b＝0 〈a，b〉＝
C.a·b＜0 〈a，b〉∈
D.｜a·b｜＝｜a｜｜b｜ 〈a，b〉＝0
答案：ABC
解析：由｜a·b｜＝｜a｜｜b｜ ｜cos〈a，b〉｜＝1 〈a，b〉＝0或〈a，b〉＝π.故选ABC.
3.若非零向量a，b满足｜a｜＝｜b｜，·b＝0，则a与b的夹角为( )
A.30° B.60°
C.120° D.150°
答案：C
解析：由·b＝0，得2a·b＋b2＝0，设a与b的夹角为θ，所以2｜a｜｜b｜cos θ＋｜b｜2＝0，所以cos θ＝－＝－＝－.因为0°≤θ≤180°，所以θ＝120°.故选C.
4.已知四边形ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，连接AC，BD，PB，PC，PD，则下列各组向量中，数量积不一定为零的是( )
A.与 B.与
C.与 D.与
答案：A
解析：可用排除法.如图所示，因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥CD，·＝0，排除D.又因为AD⊥AB，所以AD⊥平面PAB.所以AD⊥PB，所以·＝0，同理·＝0，排除B，C.故选A.
5.如图，已知PA⊥平面ABC，∠ABC＝120°，PA＝AB＝BC＝6，则PC等于( )
A.6 B.6
C.12 D.144
答案：C
解析：因为＝＋＋，所以＝＋＋＋2·＋2·＋2·＝36＋36＋36＋2×36cos 60°＝144，所以PC＝12.故选C.
6.设空间中有四个互异的点A，B，C，D，已知(＋－2)·(－)＝0，则△ABC是( )
A.直角三角形 B.等腰三角形
C.等腰直角三角形 D.等边三角形
答案：B
解析：因为＋－2＝(－)＋(－)＝＋，所以(＋)·(－)＝｜｜2－｜｜2＝0，所以｜｜＝｜｜，即△ABC是等腰三角形.故选B.
7.在空间四边形ABCD中，·＋·＋·＝ .
答案：0
解析：原式＝·＋·＋·(－)＝·(－)＋·(＋)＝·＋·＝0.
8.(2021·全国甲卷)若向量a，b满足｜a｜＝3，｜a－b｜＝5，a·b＝1，则｜b｜＝ .
答案：3
解析：由｜a－b｜＝5得(a－b)2＝25，即a2－2a·b＋b2＝25，结合｜a｜＝3，a·b＝1，得32－2×1＋｜b｜2＝25，所以｜b｜＝3.
9.已知空间向量a，b，c，则下列结论中正确的是 (填序号).
①a·b＝a·c(a≠0) b＝c；
②a·b＝0 a＝0或b＝0；
③(a·b)c＝(b·c)a；
④a·(λb)＝λ(a·b)；
⑤若a·b＜0，则a，b的夹角为钝角.
答案：④
解析：在空间中，任取与a(a≠0)垂直的两个向量作为b，c，都有a·b＝a·c＝0，所以①不正确；由a·b＝0，得a＝0或b＝0或〈a，b〉＝，所以②不正确；a·b为实数，设为p，b·c为实数，设为q，而pc＝qa不一定成立，所以③不正确；根据空间向量数量积的运算律可知④正确；当a，b反向共线时，a，b的夹角为π，此时a·b＜0也成立，故⑤不正确.
10.(13分)如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，M，N分别是A1B，B1C1上的点，且BM＝2A1M，C1N＝2B1N.设＝a，＝b，＝c.
(1)试用a，b，c表示向量；
(2)若∠BAC＝90°，∠BAA1＝∠CAA1＝60°，AB＝AC＝AA1＝1，求MN的长.
解：(1)＝＋＋＝＋＋＝(c－a)＋a＋(b－a)＝a＋b＋c.
(2)因为(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2a·b＋2b·c＋2a·c＝1＋1＋1＋0＋2×1×1×＋2×1×1×＝5，所以｜a＋b＋c｜＝，
所以｜｜＝｜a＋b＋c｜＝，即MN＝.
(11—13，每小题5分，共15分)
11.在△ABC中，若·＋＝0，则在方向上的投影向量为( )
A. B.
C. D.
答案：A
解析：因为·＋＝·(＋)＝·＝0，所以的夹角为90°，即⊥.又因为的夹角为锐角，所以.故选A.
12.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，若动点P在线段BD1上运动，则·的取值范围是 .
答案：[0，1]
解析：依题意，如图所示，设＝λ，其中λ∈[0，1]，则·＝·(＋)＝·(＋λ)＝＋λ·＝1＋λ×1××＝1－λ∈[0，1].因此·的取值范围是[0，1].
13.在四面体OABC中，已知OA，OB，OC两两垂直，且OA＝3，OB＝6，OC＝9，若G是△ABC的重心，则OG＝ .
答案：
解析：如图所示，取BC的中点D，根据三角形重心的性质，可得AG＝AD.根据向量的运算法则，可得＝＋＝＋＝＋ ＝＋［(－)＋－)］＝＋＋)，所以｜｜2＝＋＋＋2·＋2·＋2·)＝(9＋36＋81＋0＋0＋0)＝14，所以｜｜＝，即OG＝.
14.(15分)如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，底面边长为.
(1)设侧棱长为1，求证：AB1⊥BC1；
(2)设AB1与BC1的夹角为，求侧棱的长.
解：(1)证明：＝＋，＝＋.
因为BB1⊥平面ABC，所以·＝0，·＝0.
又△ABC为正三角形，
所以〈，〉＝π－〈，〉＝π－＝.
因为·＝(＋)·(＋)
＝·＋·＋＋·
＝｜｜·｜｜·cos 〈，〉＋
＝－1＋1＝0，
所以AB1⊥BC1.
(2)结合(1)知·＝｜｜·｜｜·cos 〈，〉＋＝－1.
又｜｜＝＝＝｜｜，
所以cos 〈，〉＝＝cos ＝，
所以｜｜＝2，即侧棱长为2.
15.(5分)(新角度)如图所示，四个棱长为1的正方体排成一个正四棱柱，AB是一条侧棱，Pi(i＝1，2，…，8)是上底面上其余的八个点，则·(i＝1，2，…，8)的不同值的个数为( )
A.1 B.2
C.4 D.8
答案：A
解析：·＝·(＋)＝＋·，因为AB⊥平面BP2P8P6，所以⊥，所以·＝0，所以·＝｜｜2＝1，则·(i＝1，2，…，8)的不同值的个数为1.故选A.
16.(17分)如图，矩形ABCD中，AB＝1，BC＝a，PA⊥平面ABCD(点P位于平面ABCD上方)，BC边上是否存在点Q，使⊥？
解：假设存在点Q(点Q在边BC上)，使⊥，即PQ⊥QD，连接AQ(图略).
因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥QD.
又＝＋，且⊥，
所以·＝0，
即·＋·＝0.
又因为·＝0，所以·＝0，
所以⊥，所以∠AQD＝90°，
即点Q在以AD为直径的圆上，圆的半径为.
又因为AB＝1，由题图知，
当＝1，即a＝2时，该圆与边BC相切，存在1个点Q满足题意；
当＞1，即a＞2时，该圆与边BC相交，存在2个点Q满足题意；
当＜1，即a＜2时，该圆与边BC相离，不存在点Q满足题意.
综上所述，当a≥2时，存在点Q，使⊥；当0＜a＜2时，不存在点Q，使⊥.
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空间向量的运算(空间向量的数量积)
第三章 §2 空间向量与向量运算
学习目标
1.了解空间向量的夹角；掌握空间向量的数量积的定义、性 质、运算律及计算方法，培养直观想象、数学运算的核心 素养.
2.了解空间向量投影的概念以及投影向量的意义，培养直观 想象的核心素养.
3.掌握两个向量的数量积在判断垂直中的应用，掌握利用向 量数量积求空间两点间的距离，提升逻辑推理和数学运算 的核心素养.
任务一 两个向量的夹角
问题导思
新知构建
两个向量的夹角
定义
范围 0≤〈a，b〉≤π
向量平行 当〈a，b〉＝0时，向量a与b方向______；
当〈a，b〉＝π时，向量a与b方向______
向量垂直
∠AOB
〈a，b〉
相同
相反
⊥
〈a，b〉＝＜b，a〉吗？〈a，b〉与〈－a，b〉，〈a，
－b〉，〈－a，－b〉有什么关系？
提示：〈a，b〉＝〈b，a〉，〈－a，b〉＝〈a，－b〉＝π－〈a，b〉，〈－a，－b〉＝〈a，b〉.
微思考
典例
1
规律方法
1.求两个空间向量的夹角时，要结合夹角的定义和图形，以防
出错.
2.对空间任意两个非零向量a，b有：
(1)〈a，b〉＝〈b，a〉；
(2)〈－a，b〉＝〈a，－b〉＝π－〈a，b〉；
(3)〈－a，－b〉＝〈a，b〉.
√
对点练1.(1)对于空间任意两个非零向量a，b，“a∥b”是“〈a，b〉＝0”的
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
因为a∥b，包括向量a和b同向共线和反向共线两种情况，所以当a∥b时，有〈a，b〉＝0，或〈a，b〉＝π，不能得到〈a，b〉＝0，充分性不成立；〈a，b〉＝0，则a和b方向相同，有a∥b，必要性成立，故“a∥b”是“〈a，b〉＝0”的必要不充分条件.故选B.
120°
60°
返回
任务二 两个向量的数量积
问题导思
问题2.类比平面向量的数量积的定义，你能给出空间两向量数量积的定义吗？空间向量的数量积运算满足哪些运算律？
提示：能给出空间两向量数量积的定义，即已知两个空间向量a，b，把｜a｜｜b｜cos〈a，b〉叫作a与b的数量积，记作a·b，即a·b＝｜a｜｜b｜cos〈a，b〉.
空间向量的数量积运算满足：(1)交换律：a·b＝b·a；(2)分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c；(3)数乘向量与向量数量积的结合律：(λa)·b＝λ(a·b)(λ∈R).
新知构建
0
a·b＝0
3.数量积的运算律
交换律 a·b＝b·a
分配律 a·(b＋c)＝a·b＋a·c
数乘向量与数量积的结合律 (λa)·b＝λ(a·b)(λ∈R)
对于不共线向量a，b，c，(a·b)·c＝a·(b·c)成立吗？为什么？
提示：不成立.例如，任取三个不共面向量a，b，c，(a·b)·c是一个数与向量c作数乘，a·(b·c)是一个数与向量a作数乘，而a，c不共线，所以(a·b)·c与a·(b·c)不可能相等.
微思考
典例
2
规律方法
在几何体中求空间向量的数量积的步骤
第一步：将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式；
第二步：利用向量的运算律将数量积展开，转化成已知模和夹角的向量的数量积；
第三步：根据向量的方向，正确求出向量的夹角；
第四步：代入公式a·b＝｜a｜｜b｜cos〈a，b〉求解.
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任务三 投影向量与投影数量
问题导思
问题3.如何根据平面向量中一个向量在另一个向量方向上的投影向量与投影数量定义空间向量中的投影向量与投影数量？
提示：因为任意两个空间向量一定是共面向量，所以可以把平面向量中投影向量与投影数量的概念直接推广到空间向量.
新知构建
｜｜b｜cos〈a，b〉｜
＞
＜
＝
｜b｜cos〈a，b〉
｜b｜cos〈a，b〉
a0·b
微提醒
(1)投影数量可正、可负、也可为零，这是由两非零向量的夹角决定的.(2)投影数量不一定是投影向量的模.当两向量的夹角小于或等于90°时，投影数量才是投影向量的模.
已知向量a与b的夹角为60°，｜a｜＝2，｜b｜＝6，则2a－b在a方向上的投影数量为 .
典例
3
1
规律方法
对点练3.已知｜a｜＝3，｜b｜＝5，a·b＝－12且e是与b方向相同的单位
向量，则a在b方向上的投影向量为 .
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任务四 利用数量积证明垂直问题
典例
4
规律方法
用向量法证明空间线线、线面垂直的思路
1.要证两直线垂直，可分别构造与两直线平行的向量，只要证明这两个向量的数量积为0即可.
2.证明线面垂直，需将线面垂直转化为线线垂直，然后利用向量数量积证明线线垂直即可.
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任务五 利用数量积求夹角和模
(1)如图，正三棱柱(底面是正三角形的直三棱柱)ABC-A1B1C1的各棱长都为2，E，F分别是AB，A1C1的中点，则EF的长为 .
典例
5
(2)已知空间四边形OABC各边及对角线长都等于2，E，F分别为AB，OC的
中点，则异面直线OE与BF所成角的余弦值为 .
规律方法
1.利用数量积求夹角或其余弦值的步骤
规律方法
课堂小结
任务再现 1.两个向量的夹角.2.两个向量的数量积.3.投影向量与投影数量.4.利用数量积证明垂直问题.5.利用数量积求夹角和模
方法提炼 类比法、转化与化归思想
易错警示 向量的夹角只注重角度大小，而忽视向量的方向；数量积的运算不满足结合律，更不存在“消去律”；当a≠0时，由a·b＝0可得a⊥b或b＝0
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随堂评价
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课时分层评价
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1.已知e1，e2为单位向量，且e1⊥e2，若a＝2e1＋3e2，b＝ke1－4e2，a⊥b，则实数k的值为
A.－6 B.6
C.－3 D.3
由题意可得a·b＝0，e1·e2＝0，｜e1｜＝｜e2｜＝1，所以(2e1＋3e2)·(ke1－4e2)＝0，所以2k－12＝0，解得k＝6.故选B.
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由｜a·b｜＝｜a｜｜b｜ ｜cos〈a，b〉｜＝1 〈a，b〉＝0或〈a，b〉＝π.故选ABC.
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0
8.(2021·全国甲卷)若向量a，b满足｜a｜＝3，｜a－b｜＝5，a·b＝1，则｜b｜＝ .
9.已知空间向量a，b，c，则下列结论中正确的是 (填序号).
①a·b＝a·c(a≠0) b＝c；
②a·b＝0 a＝0或b＝0；
③(a·b)c＝(b·c)a；
④a·(λb)＝λ(a·b)；
⑤若a·b＜0，则a，b的夹角为钝角.
④
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[0，1]
13.在四面体OABC中，已知OA，OB，OC两两垂直，且OA＝3，OB＝6，OC＝9，若G是△ABC的重心，则OG＝ .
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