第2课时 空间中的距离问题
学习目标 1.能用向量方法解决点到直线、点到平面、相互平行的直线、相互平行的平面间的距离问题，培养直观想象、数学运算的核心素养. 2.通过空间中距离问题的求解，体会向量方法在研究几何问题中的作用，提升数学运算、逻辑推理的核心素养.
任务一 点到平面的距离
问题1.如图，设点P是平面α外一点，点A是平面α内的已知点，n0是平面α的单位法向量.如何求平面α外一点P到平面α的距离？
提示：如图所示，过点P作PP'⊥平面α，垂足为点P'，则线段PP'的长度就是点P到平面α的距离，而∥n0，所以向量在法向量n0方向上的投影向量的长度就等于线段PP'的长度.
点P到平面α的距离，等于点P与平面α内任意一点A连线所得向量，在平面α的单位法向量n0方向上所作投影向量的长度，即d＝.
[微思考] 当直线与平面平行时，如何求直线与平面的距离？两平行平面间的距离呢？
提示：如果一条直线l与一个平面α平行，可在直线l上任取一点P，将线面距离转化为点P到平面α的距离求解；如果两个平面α，β互相平行，在其中一个平面α内任取一点P，可将两个平行平面的距离转化为点P到平面β的距离求解.
如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝2，AD＝AA1＝1，E为AB中点.
(1)求点B1到平面A1EC的距离；
(2)求点C1到平面A1EC的距离.
解：(1)依题意，建立如图所示的空间直角坐标系.
A1(1，0，1)，E(1，1，0)，B1(1，2，1)，C(0，2，0).
＝(－1，1，0)，＝(0，1，－1).
设平面A1EC的法向量为n＝(x，y，z)，
则
令z＝1，可得y＝1，x＝1，
所以n＝(1，1，1)，
又＝(0，－1，－1)，
取n0＝＝(，，)，
所以点B1到平面A1EC的距离为＝＝.
(或者点B1到平面A1EC的距离为＝＝).
(2)由(1)可知，C1(0，2，1)，＝(－1，2，0)，
所以点C1到平面A1EC的距离为＝＝.
(或者点C1到平面A1EC的距离为＝＝).
用向量法求点面距离的步骤
第一步(建系)：建立恰当的空间直角坐标系；
第二步(求点坐标)：写出(求出)相关点的坐标；
第三步(求向量)：求出相关向量的坐标(，α内两不共线向量，平面α的法向量n)；
第四步(求距离)：d＝.(或取平面α的法向量n的单位法向量n0).
对点练1.如图，△BCD与△MCD都是边长为2的正三角形，平面MCD⊥平面BCD，AB⊥平面BCD，AB＝2.求点A到平面MBC的距离.
解：取CD的中点O，连接OB，OM，则OB⊥CD，OM⊥CD，
又平面MCD⊥平面BCD，
所以MO⊥平面BCD.
依题意以点O为原点，OC，BO，OM所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系O-xyz，如图所示.
因为△BCD与△MCD都是边长为2的正三角形，
所以OB＝OM＝，
则O(0，0，0)，C(1，0，0)，M(0，0，)，B(0，－，0)，A(0，－，2).
所以＝(1，，0)，＝(0，，).
设平面MBC的法向量为n＝(x，y，z)，
由
即取x＝，可得平面MBC的一个法向量为n＝(，－1，1).
又＝(0，0，2)，所以所求距离d＝｜·｜＝.
任务二 点到直线的距离
问题2.如图，设点P是直线l外一点，l0是直线l的单位方向向量，如何利用这些条件求点P到直线l的距离？
提示：如图所示，过点P作直线l的垂线，垂足为点P'，则垂线段PP'的长度就是点P到直线l的距离.
在Rt△PP'A中，＝，于是，点P到直线l的距离为＝＝.
点到直线的距离：若点P是直线l外一点，l0是直线l的单位方向向量，点A是直线l上任意一点，则点P到直线l的距离为d＝，l0＝.
[微思考] 如何求两条平行线之间的距离？
提示：两条平行线之间的距离可以转化为其中一条直线上的任意一点到另一条直线的距离.
如图，在空间直角坐标系中有长方体ABCD-A'B'C'D'，AB＝1，BC＝2，AA'＝3，求点B到直线A'C的距离.
解：因为AB＝1，BC＝2，AA'＝3，
所以A'(0，0，3)，C(1，2，0)，B(1，0，0)，
所以直线A'C的方向向量＝(1，2，－3).
法一：＝(0，2，0)，
l0＝＝(，，－)，
则｜｜2＝4，·l0＝，
所以点B到直线A'C的距离为
＝＝.
法二：因为＝(0，2，0)，所以＝，
所以点B到直线A'C的距离为d＝
＝＝.
向量法求点到直线的距离的一般步骤
第一步(建系)：建立空间直角坐标系；
第二步(求方向向量)：求直线的方向向量；
第三步(求模)：计算所求点与直线上某一点所构成的向量在直线的方向向量上的投影向量的模；
第四步(求距离)：利用勾股定理求点到直线的距离.
另外，要注意平行直线间的距离与点到直线的距离之间的转化.
对点练2.如图，P为矩形ABCD所在平面外一点，PA⊥平面ABCD，若已知AB＝3，AD＝4，PA＝1，求点P到直线BD的距离.
解：如图所示，以点A为原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系.
则P(0，0，1)，B(3，0，0)，D(0，4，0).
所以＝(3，0，－1)，＝(－3，4，0)，
l0＝＝，
则｜｜2＝10，·l0＝－，
所以点P到直线BD的距离为＝＝.
任务三 线线距、线面距和面面距
如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为线段DD1的中点，F为线段BB1的中点.
(1)求直线FC1到直线AE的距离；
(2)求直线FC1到平面AB1E的距离.
解：(1)建立如图所示的空间直角坐标系.
得B1(1，1，1)，E，F，A(1，0，0)，C1(0，1，1).
因为＝，＝，
所以∥，即AE∥FC1，
所以点F到直线AE的距离即为直线FC1到直线AE的距离，
l0＝＝，＝，
｜｜2＝，·l0＝，
所以直线FC1到直线AE的距离为
＝＝.
(2)因为AE∥FC1，FC1 平面AB1E，AE 平面AB1E，所以FC1∥平面AB1E，
所以直线FC1到平面AB1E的距离等于C1到平面AB1E的距离，
＝(1，0，0)，＝(0，1，1)，＝，
设平面AB1E的一个法向量为n＝(x，y，z)，
则
取z＝2，可得n＝(1，－2，2)，
所以C1到平面AB1E的距离为＝＝，
所以直线FC1到平面AB1E的距离为.
求线面距离或两个平行平面间的距离可以转化为求点到平面的距离.
对点练3.直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD为正方形，边长为2，侧棱A1A＝3，M，N分别为A1B1，A1D1的中点，E，F分别是C1D1，B1C1的中点.
(1)求证：平面AMN∥平面EFBD；
(2)求平面AMN与平面EFBD的距离.
解：(1)证明：法一：连接B1D1，NF(图略)，
因为M，N分别为A1B1，A1D1的中点，E，F分别是C1D1，B1C1的中点，所以MN∥EF∥B1D1，
因为MN 平面EFBD，EF 平面EFBD，
所以MN∥平面EFBD，
因为NF綊AB，所以ABFN是平行四边形，
所以AN∥BF，
因为AN 平面EFBD，BF 平面EFBD，
所以AN∥平面EFBD，
因为AN∩MN＝N，所以平面AMN∥平面EFBD.
法二：如图所示，建立空间直角坐标系D-xyz.
则A(2，0，0)，N(1，0，3)，B(2，2，0)，E(0，1，3)，F(1，2，3)，M(2，1，3).
所以＝(1，1，0)，＝(－1，－1，0)，＝(－1，0，3)，＝(－1，0，3)，
所以＝－，＝，
所以EF∥MN，AN∥BF，
因为MN 平面EFBD，EF 平面EFBD，
所以MN∥平面EFBD，
因为AN 平面EFBD，BF 平面EFBD，
所以AN∥平面EFBD，
又MN∩AN＝N，所以平面AMN∥平面EFBD.
(2)法一：由(1)知平面AMN∥平面EFBD，所以平面AMN与平面EFBD的距离等于B到平面AMN的距离h.
在△AMN中，AM＝AN＝，MN＝，＝××＝，
所以由VB-AMN＝VN-AMB可得×h＝××2×3×1，所以h＝.
法二：设平面AMN的一个法向量为n＝(x，y，z)，
则则可取n＝(3，－3，1)，
因为＝(0，2，0)，
所以平面AMN与平面EFBD的距离为d＝＝＝.
[教材拓展6] 异面直线间的距离(源自于教材P143 阅读材料)
如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝1，M，N分别是棱AB，CC1的中点，E是BD的中点，则异面直线D1M，EN间的距离为( )
A. B.
C.1 D.
答案：A
解析：以点D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图所示.得D1(0，0，1)，M(1，，0)，E(，，0)，N(0，1，).＝(1，，－1)，＝(－，，).设n＝(x，y，z)同时垂直于，，由令x＝1，得n＝(1，0，1)，又＝(－1，，)，则异面直线D1M，EN间的距离为＝＝.故选A.
任务再现 1.点到平面的距离.2.点到直线的距离.3.线线距、线面距和面面距
方法提炼 公式法、数形结合思想、转化与化归思想
易错警示 对距离公式理解不到位，在使用时生搬硬套.对公式推导过程的理解是应用的基础
1.已知直线l过定点A(2，3，1)，且方向向量为n＝(0，1，1)，则点P(4，3，2)到l的距离为( )
A. B.
C. D.
答案：D
解析：＝(－2，0，－1)，｜｜＝，·＝，则点P到直线l的距离d＝＝＝.故选D.
2.如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，O是底面A1B1C1D1的中心，则O到平面ABC1D1的距离是( )
A. B.
C. D.
答案：A
解析：建立如图所示空间直角坐标系.则D(0，0，0)，A1(1，0，1)，O，A(1，0，0).所以＝(1，0，1)，＝(－，，1).由题意知为平面ABC1D1的法向量，所以O到平面ABC1D1的距离为d＝＝＝.故选A.
3.两平行平面α，β分别经过坐标原点O和点A(1，2，3)，且两平面的一个法向量n＝(－1，0，1)，则两平面间的距离是 .
答案：
解析：因为两平行平面α，β分别经过坐标原点O和点A(1，2，3)，则＝(1，2，3)，又两平面的一个法向量n＝(－1，0，1)，所以两平面间的距离d＝＝＝.
4.在棱长是2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为A1B1的中点，则异面直线D1E和BC1间的距离是 .
答案：
解析：以点D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系(图略).则D1(0，0，2)，E(2，1，2)，B(2，2，0)，C1(0，2，2).则＝(2，1，0)，＝(－2，0，2).设与异面直线D1E和BC1都垂直的向量为n＝(x，y，z)，则令z＝1，则n＝(1，－2，1)，又＝(0，－1，2)，故异面直线D1E和BC1间的距离是d＝＝＝.
课时分层评价29 空间中的距离问题
(时间：60分钟 满分：110分)
(1—9，每小题5分，共45分)
1.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a，则点A1与对角线BC1所在直线间的距离是( )
A. B.a
C.a D.a
答案：C
解析：如图所示，建立空间直角坐标系.则A1(a，0，a)，B(a，a，0)，C1(0，a，a).所以＝(0，a，－a)，｜｜＝a，＝(－a，0，a)，｜｜＝a.所以点A1到BC1的距离d＝＝＝a.故选C.
2.如图，已知ABC-A1B1C1是各条棱长均等于a的正三棱柱，D是侧棱CC1的中点，则点C1到平面AB1D的距离为( )
A.a B.a
C.a D.a
答案：B
解析：因为ABB1A1为正方形，所以A1B⊥AB1，又·＝(＋)·＝·－＝a2－a2＝0，所以A1B⊥B1D，又AB1∩B1D＝B1，所以A1B⊥平面AB1D，所以是平面AB1D的一个法向量，由于C1D＝CD，所以C1到平面AB1D的距离等于C到平面AB1D的距离，设点C到平面AB1D的距离为d，则d＝＝＝＝＝a.故选B .
3.正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面边长为2，侧棱长为4，E，F分别为棱AB，BC的中点，则三棱锥B1-EFD1的体积V等于( )
A. B.
C. D.16
答案：C
解析：以点D为原点，建立如图所示的空间直角坐标系.则B1(2，2，4)，D1(0，0，4)，E(2，，0)，F(，2，0).所以＝(2，，－4)，＝(，2，－4)，＝(2，2，0).所以cos〈，〉＝＝＝，所以sin〈，〉＝，所以＝｜｜·｜｜·sin〈，〉＝ ×××＝5，设平面D1EF的法向量为n＝(x，y，z)，则取x＝1，则n＝，所以点B1到平面D1EF的距离d＝＝＝，所以V＝··d＝×5×＝.故选C.
4.如图，已知长方体ABCD-A1B1C1D1中，A1A＝5，AB＝12，则直线B1C1到平面A1BCD1的距离是( )
A.5 B.8
C. D.
答案：D
解析：以点D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图所示.则C(0，12，0)，D1(0，0，5).设B(x，12，0)，B1(x，12，5)(x＞0).＝(－x，0，0)，＝(0，－12，5).设平面A1BCD1的法向量为n＝(a，b，c)，则所以可取n＝(0，5，12).又＝(0，0，－5)，所以点B1到平面A1BCD1的距离为＝＝.因为B1C1∥平面A1BCD1，所以B1C1到平面A1BCD1的距离为.故选D.
5.正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a，则平面AB1D1与平面BDC1的距离为( )
A.a B.a
C.a D.a
答案：D
解析：以点D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图所示.则平面AB1D1的一个法向量为n＝(1，－1，1)，由A(a，0，0)，B(a，a，0)，得＝(0，－a，0)，则两平面间的距离d＝｜·｜＝＝a.故选D.
6.(多选题)如图，在棱长为3的正方体ABCD-A1B1C1D1中，点P在棱DC上运动(不与顶点重合)，则点B到平面AD1P的距离可以是( )
A.1 B.2
C. D.3
答案：BC
解析：以点D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图所示.则D(0，0，0)，A(3，0，0)，B(3，3，0)，D1(0，0，3).设P(0，t，0)(0＜t＜3)，所以＝(－3，t，0)，＝(－3，0，3)，＝(0，3，0).设n＝(x，y，z)为平面AD1P的法向量，则有令y＝3，可得n＝(t，3，t)，则点B到平面AD1P的距离为d＝＝，因为0＜t＜3，所以2t2＋9∈(9，27)，所以d∈(，3).故选BC.
7.设A(2，3，1)，B(4，1，2)，C(6，3，7)，D(－5，－4，8)，则点D到平面ABC的距离为 .
答案：
解析：设平面ABC的法向量n＝(x，y，z)，因为n·＝0，n·＝0，所以取z＝－2，则n＝(3，2，－2).又＝(－7，－7，7)，所以点D到平面ABC的距离为d＝＝＝＝.
8.在三棱锥S-ABC中，SA＝BC＝2，SC＝AB＝，SB＝AC＝.记BC的中点为M，SA的中点为N，则异面直线AM与CN的距离为 .
答案：
解析：三棱锥S-ABC的三组对棱分别相等，将三棱锥S-ABC放在长方体中，设长方体的长、宽、高分别为a，b，c，且 因此以点B为原点，建立空间直角坐标系，如图所示.则S(0，，)，A(1，0，)，B(0，0，0)，C(1，，0)，M，N.＝，＝.设n＝(x，y，z)垂直于，所以令y＝，则z＝，x＝0，所以n＝.又＝(0，0，)，所以异面直线AM与CN的距离d＝｜·｜＝＝.
9.(新情境)在我国古代数学名著《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称为鳖臑.如图，已知在鳖臑P-ABC中，PA⊥平面ABC，PA＝AB＝BC＝2，M为PC的中点，则点P到平面MAB的距离为 .
答案：
解析：以点B为原点，BA，BC所在直线分别为x轴、y轴建立空间直角坐标系，如图所示.则B(0，0，0)，A(2，0，0)，P(2，0，2)，C(0，2，0)，由M为PC的中点可得M(1，1，1).＝(1，1，1)，＝(2，0，0)，＝(2，0，2).设n＝(x，y，z)为平面MAB的一个法向量，则令z＝－1，可得n＝(0，1，－1)，点P到平面MAB的距离为d＝＝.
10.(13分)如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AD＝AA1＝1，AB＝2.求：
(1)点A1到直线BD的距离；
(2)点A1到平面BDC1的距离；
(3)异面直线BD，CD1之间的距离.
解：(1)以点D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图所示.
因为AD＝AA1＝1，AB＝2，则B(1，2，0)，D(0，0，0)，A1(1，0，1)，C1(0，2，1)，C(0，2，0)，D1(0，0，1).
所以＝(－1，－2，0)，＝(0，2，－1).
所以＝＝，
又＝＝，
所以点A1到直线BD的距离d1＝＝.
(2)由(1)知 ＝(－1，－2，0)，＝(0，2，1)，＝(0，2，－1).
设平面BDC1的法向量为n＝(x，y，z)，则
取y＝1，可得x＝－2，z＝－2，所以n＝(－2，1，－2)是平面BDC1的一个法向量，
向量＝(0，2，－1)在法向量n＝(－2，1，－2)上的投影向量的长度为
＝＝，
所以点A1到平面BDC1的距离为.
(3)由(1)＝(0，－2，1)，＝(0，－2，1)，
所以∥，所以CD1∥BA1，
又CD1 平面A1BD，BA1 平面A1BD，
所以CD1∥平面A1BD，
所以异面直线BD，CD1之间的距离与点C到平面A1BD的距离相等，
设平面A1BD的法向量为m＝(x1，y1，z1)，
因为＝(－1，－2，0)，
则
取y1＝1，可得x1＝－2，z1＝2，所以m＝(－2，1，2)是平面A1BD的一个法向量，
向量＝(0，－2，0)在法向量m＝(－2，1，2)上的投影向量的长度为＝＝，
所以点C到平面A1BD的距离为，故异面直线BD，CD1之间的距离为.
(11—13，每小题5分，共15分)
11.如图，在空间直角坐标系中有棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1，点M是线段DC1上的动点，则点M到直线AD1距离的最小值是( )
A.a B.a
C.a D.a
答案：B
解析：设M(0，m，m)(0≤m≤a)，＝(－a，0，a)，直线AD1的一个单位方向向量s0＝(－，0，)，由＝(0，－m，a－m)，故点M到直线AD1的距离d＝＝＝，当m＝时，d取最小值a.故选B.
12.棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别是线段BB1，B1C1的中点，则直线MN到平面ACD1的距离为 .
答案：
解析：如图所示，以点D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系.
则D(0，0，0)，C(0，1，0)，D1(0，0，1)，M，A(1，0，0).所以＝，＝(－1，1，0)，＝(－1，0，1).设平面ACD1的法向量为n＝(x，y，z)，则令x＝1，则y＝z＝1，所以n＝(1，1，1).所以点M到平面ACD1的距离d＝＝＝.又MN∥AD1，所以MN∥平面ACD1，所以直线MN到平面ACD1的距离为.
13.已知A(0，0，2)，B(0，2，1)，C(2，1，0)，D(2，0，1)，则点D到平面ABC的距离为 .
答案：
解析：由题意，＝(0，2，－1)，＝(2，1，－2)，＝(2，0，－1)，设平面ABC的法向量为n＝(x，y，z)，则有令y＝2，则z＝4，x＝3，所以n＝(3，2，4)，则点D到平面ABC的距离为＝＝.
14.(15分)已知直三棱柱ABC-A1B1C1中，侧面AA1B1B为正方形.AB＝BC＝2，E，F分别为AC和CC1的中点，BF⊥A1B1.
(1)求四棱锥E-BB1C1F的体积；
(2)是否存在点D在直线A1B1上，使得异面直线BF，DE的距离为1？若存在，求出此时线段DE的长；若不存在，请说明理由.
解：(1)因为侧面AA1B1B为正方形，
所以A1B1⊥BB1，
又BF⊥A1B1，且BB1∩BF＝B，BB1，BF 平面BB1C1C，
所以A1B1⊥平面BB1C1C，又AB∥A1B1，
所以AB⊥平面BB1C1C，取BC中点G，连接EG，如图所示，
则EG∥AB，所以EG⊥平面BB1C1C.
所以＝×(C1F＋BB1)·B1C1·EG＝××(1＋2)×2×1＝1.
(2)假设存在点D符合题意.以点B为原点，BA，BC，BB1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图所示.
则B(0，0，0)，E(1，1，0)，F(0，2，1).
设D(a，0，2)，则＝(0，2，1)，＝(a－1，－1，2)，＝(1，1，0).
设与，均垂直的向量为n＝(x，y，z)，
则取n＝(5，a－1，－2(a－1))，
所以异面直线BF，DE的距离d＝＝＝1，解得a＝1或.
所以＝＝.
故存在点D在直线A1B1上，使得异面直线BF，DE的距离为1，且此时DE＝.
15.(5分)如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，若BB1＝AB＝2，则点C到直线AB1的距离为 .
答案：
解析：取AC的中点D，建立如图所示的空间直角坐标系.则A(0，－1，0)，B1(，0，2)，C(0，1，0)，所以＝(，1，2)，＝(0，－2，0).所以·＝－2，所以＝＝，所以点C到直线AB1的距离d＝＝＝＝.
16.(17分)如图，在四棱锥P-ABCD中，侧面PAD⊥底面ABCD，侧棱PA＝PD＝，底面ABCD为直角梯形，其中BC∥AD，AB⊥AD，AD＝2AB＝2BC＝2，线段AD上是否存在一点Q，使得它到平面PCD的距离为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.
解：取AD的中点O，在△PAD中，
因为PA＝PD，所以PO⊥AD.
又侧面PAD⊥底面ABCD，
平面PAD∩平面ABCD＝AD，PO 平面PAD，
所以PO⊥平面ABCD.
所以以点O为原点，OC，OD，OP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图所示.
得A(0，－1，0)，B(1，－1，0)，C(1，0，0)，D(0，1，0)，P(0，0，1).
则＝(－1，0，1)，＝(－1，1，0).
假设线段AD上存在点Q，使它到平面PCD的距离为，
设Q(0，y，0)(－1≤y≤1)，
则＝(－1，y，0).
设平面PCD的法向量为n＝(x0，y0，z0)，
则
即x0＝y0＝z0，取x0＝1，
则平面PCD的一个法向量为n＝(1，1，1).
所以点Q到平面PCD的距离d＝＝＝，
所以y＝－或y＝(舍去).
此时＝，＝，
则｜｜＝，｜｜＝，
所以存在点Q满足题意，此时＝.
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4.3 用向量方法研究立体几何中的度量关系
第2课时 空间中的距离问题
第三章 §4 向量在立体几何中的应用
学习目标
1.能用向量方法解决点到直线、点到平面、相互平行的直 线、相互平行的平面间的距离问题，培养直观想象、数学 运算的核心素养.
2.通过空间中距离问题的求解，体会向量方法在研究几何问 题中的作用，提升数学运算、逻辑推理的核心素养.
任务一 点到平面的距离
问题导思
新知构建
当直线与平面平行时，如何求直线与平面的距离？两平行平面间的距离呢？
提示：如果一条直线l与一个平面α平行，可在直线l上任取一点P，将线面距离转化为点P到平面α的距离求解；如果两个平面α，β互相平行，在其中一个平面α内任取一点P，可将两个平行平面的距离转化为点P到平面β的距离求解.
微思考
典例
1
规律方法
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任务二 点到直线的距离
问题导思
新知构建
如何求两条平行线之间的距离？
提示：两条平行线之间的距离可以转化为其中一条直线上的任意一点到另一条直线的距离.
微思考
典例
2
规律方法
向量法求点到直线的距离的一般步骤
第一步(建系)：建立空间直角坐标系；
第二步(求方向向量)：求直线的方向向量；
第三步(求模)：计算所求点与直线上某一点所构成的向量在直线的方向向量上的投影向量的模；
第四步(求距离)：利用勾股定理求点到直线的距离.
另外，要注意平行直线间的距离与点到直线的距离之间的转化.
对点练2.如图，P为矩形ABCD所在平面外一点，PA⊥平面
ABCD，若已知AB＝3，AD＝4，PA＝1，求点P到直线BD的
距离.
解：如图所示，以点A为原点，AB，AD，AP所在直线分别
为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系.
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任务三 线线距、线面距和面面距
如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1
中，E为线段DD1的中点，F为线段BB1的中点.
(1)求直线FC1到直线AE的距离；
解：建立如图所示的空间直角坐标系.
典例
3
规律方法
求线面距离或两个平行平面间的距离可以转化为求点到平面的距离.
对点练3.直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD为正方
形，边长为2，侧棱A1A＝3，M，N分别为A1B1，A1D1的中
点，E，F分别是C1D1，B1C1的中点.
(1)求证：平面AMN∥平面EFBD；
解：证明：法一：连接B1D1，NF(图略)，
因为M，N分别为A1B1，A1D1的中点，E，F分别是C1D1，B1C1的中点，所以MN∥EF∥B1D1，
因为MN 平面EFBD，EF 平面EFBD，
所以MN∥平面EFBD，
因为NF AB，所以ABFN是平行四边形，
所以AN∥BF，
因为AN 平面EFBD，BF 平面EFBD，
所以AN∥平面EFBD，
因为AN∩MN＝N，所以平面AMN∥平面EFBD.
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典例
4
课堂小结
任务再现 1.点到平面的距离.2.点到直线的距离.3.线线距、线面距和面面距
方法提炼 公式法、数形结合思想、转化与化归思想
易错警示 对距离公式理解不到位，在使用时生搬硬套.对公式推导过程的理解是应用的基础
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随堂评价
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3.两平行平面α，β分别经过坐标原点O和点A(1，2，3)，且两平面的一个法向量n＝(－1，0，1)，则两平面间的距离是 .
4.在棱长是2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为A1B1的中点，则异面直线
D1E和BC1间的距离是 .
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课时分层评价
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7.设A(2，3，1)，B(4，1，2)，C(6，3，7)，D(－5，－4，8)，则点D到平
面ABC的距离为 .
9.(新情境)在我国古代数学名著《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称为鳖臑.如图，已知在鳖臑P-ABC中，PA⊥平面ABC，PA＝AB＝BC＝2，M为PC的中点，则点P到平面MAB的距离为 .
10.(13分)如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AD＝
AA1＝1，AB＝2.求：
(1)点A1到直线BD的距离；
解：以点D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x
轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图所示.
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12.棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别是线段BB1，B1C1的中
点，则直线MN到平面ACD1的距离为 .
13.已知A(0，0，2)，B(0，2，1)，C(2，1，0)，D(2，0，1)，则点D到平
面ABC的距离为 .
(2)是否存在点D在直线A1B1上，使得异面直线BF，DE的距离为1？若存在，求出此时线段DE的长；若不存在，请说明理由.
解：假设存在点D符合题意.以点B为原点，BA，BC，BB1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图所示.
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