§3 离散型随机变量的均值与方差
3.1 离散型随机变量的均值
学习目标 1.通过具体实例，理解离散型随机变量的均值的概念，能计算简单离散型随机变量的均值，培养数学抽象、数学运算、数学建模的核心素养. 2.掌握两点分布的均值. 3.会利用离散型随机变量的均值解决一些相关的实际问题，培养数学运算、数学建模的核心素养.
任务一 离散型随机变量的均值
问题.已知有12个西瓜，其中重5 kg的有4个，重6 kg的有3个，重7 kg的有5个.请思考：
(1)任取一个西瓜，用X表示这个西瓜的重量，试求X的分布列；
(2)如何求西瓜的平均重量？
提示：(1)X的分布列为
X 5 6 7
P
(2)＝5×＋6×＋7×＝.
1.定义：设离散型随机变量X的分布列为
X x1 x2 … xi … xn
P p1 p2 … pi … pn
则称EX＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn为随机变量X的均值或数学期望(简称期望).
2.意义：均值EX刻画的是X取值的“中心位置”，反映了离散型随机变量X取值的平均水平.
3.两点分布的均值：若随机变量X服从参数为p的两点分布，则EX＝p.
(链教材P205例3)(2025·山东青岛期中)一个袋子里装有编号1，2，3的3个红球与编号1，2的2个黄球，从中逐一取球，已知每个球被取到的可能性相同.若取后不放回，设取完黄球所需的次数为X，求X的分布列及均值.
解：由题意知Y的可能取值为2，3，4，5.
当X＝2时，表示前2次取的都是黄球，
所以P(X＝2)＝＝；
当X＝3时，表示前2次中取得1个黄球，1个红球，第3次取得黄球，
所以P(X＝3)＝＝；
当X＝4时，表示前3次中取得1个黄球，2个红球，第4次取得黄球，
所以P(X＝4)＝＝；
当X＝5时，表示前4次中取得1个黄球，3个红球，第5次取得黄球，
所以P(X＝5)＝＝.
所以Y的分布列为
X 2 3 4 5
P
所以EX＝2×＋3×＋4×＋5×＝4.
[变式探究]
(变条件，变设问)在本例中，若条件改为从袋中同时取出2个球，求2球的编号之和Y的均值.
解：由题意知Y的可能取值为2，3，4，5.
当Y＝2时，表示2球的编号都是1，所以P(Y＝2)＝＝；
当Y＝3时，表示2球的编号一个是1，一个是2，所以P(Y＝3)＝＝＝；
当Y＝4时，表示2球的编号一个是1，一个是3；或表示2球的编号一个是2，另一个也是2，所以P(Y＝4)＝＝；
当Y＝5时，表示2球的编号一个是2，一个是3，
所以P(Y＝5)＝＝＝.
所以Y的分布列为
Y 2 3 4 5
P
所以EY＝2×＋3×＋4×＋5×＝.
求随机变量X的均值的方法和步骤
第一步：理解随机变量X的意义，写出X所有可能的取值；
第二步：求出X取每个值的概率P(X＝k)；
第三步：写出X的分布列；
第四步：利用均值的定义EX＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn，求EX.
对点练1.(2025·湖南邵阳期中)已知10道试题中有4道选择题，依次不放回的抽取2道题目，设X为抽取的2道题中选择题的个数，求随机变量X的分布列及其均值.
解：X的可能取值为0，1，2，
P(X＝0)＝＝＝，P(X＝1)＝＝＝，P(X＝2)＝＝＝，
所以X的分布列为
X 0 1 2
P
所以EX＝＋＝＝.
任务二 均值的函数性质
(2025·河南濮阳高二期末)已知随机变量X的分布列为
X 0 1 2
P m
设Y＝3X－2，则EY＝( )
A. B.
C.－ D.－
答案：A
解析：由题可知＋＋m＝1，解得m＝.
法一：随机变量Y的分布列为
Y －2 1 4
P
所以EY＝－2×＋1×＋4×＝.故选A.
法二：由随机变量X的分布列可得EX＝0×＋1×＋2×＝，而Y＝3X－2，所以EY＝3EX－2＝3×－2＝.故选A.
求线性关系的随机变量Y＝aX＋b均值的方法
1.定义法：先列出Y的分布列，再求均值.
2.性质法：若X是随机变量，则Y＝aX＋b(a，b均是常数)也是随机变量，且EY＝E(aX＋b)＝aEX＋b.
注意：性质法仅适合线性关系，如果是其他函数关系，一般选用定义法.
对点练2.(1)已知离散型随机变量X的分布列如下：
X －1 0 a 2
P b
若E＝5，则a＋b＝( )
A. B.1
C. D.
(2)设随机变量X的分布列如下：
X －1 0 1
P
则EX2＝ .
答案：(1)C (2)
解析：(1)由题意知＋b＋＋＝1，解得b＝，因为E＝5，所以3EX＋4＝5，即EX＝，则EX＝－1×＋0×＋a×＋2×＝，解得a＝1，所以a＋b＝.故选C.
(2)X2的分布列如下：
X2 1 0
P
则X2服从两点分布，故EX2＝.
任务三 均值的实际应用
(链教材P205例4)为了丰富学生的课余生活，某校决定举办竞技比赛.比赛分为“无人机表演”和“机器人操作”两个项目，选手两个比赛项目的顺序自选，若第一个项目不过关，则淘汰；若第一个项目过关则进行第二个项目的比赛，无论第二个项目是否合格，比赛都结束.“无人机表演”比赛合格得4分，否则得0分；“机器人操作”比赛合格得6分，否则得0分.已知博文同学参加“无人机表演”比赛合格的概率为0.8，参加“机器人操作”比赛合格的概率为0.7.
(1)若博文同学先进行“无人机表演”比赛，记X为博文同学的累计得分，求X的均值；
(2)为使累计得分的均值最大，博文同学应选择先进行哪项比赛？并说明理由.
解：(1)由题意得，X的可能取值为0，4，10，
所以P(X＝0)＝1－0.8＝0.2，P(X＝4)＝0.8×＝0.24，P＝0.8×0.7＝0.56，
所以X的分布列为
X 0 4 10
P 0.2 0.24 0.56
所以EX＝0×0.2＋4×0.24＋10×0.56＝6.56.
(2)若博文同学先进行“机器人操作”比赛，记Y为博文同学的累计得分，Y的可能取值为0，6，10，
所以P(Y＝0)＝1－0.7＝0.3，P＝0.7×＝0.14，P＝0.7×0.8＝0.56，
所以Y的分布列为
Y 0 6 10
P 0.3 0.14 0.56
所以EY＝0×0.3＋6×0.14＋10×0.56＝6.44，
因为EX＞EY，所以博文同学应选择先进行“无人机表演”比赛.
1.实际问题中的均值问题
均值在实际生活中有着广泛的应用，如在体育比赛的成绩预测、消费预测、工程方案预测、产品合格率预测、投资收益预测等方面，都可以通过随机变量的均值来进行估计.
2.概率模型的解答步骤
第一步(建模)：即把实际问题概率模型化；
第二步(解模)：确定分布列，计算随机变量的均值；
第三步(回归)：利用所得数据，对实际问题作出判断.
对点练3.据统计，一年中一个家庭万元以上的财产被盗的概率为0.01.保险公司开办一年期万元以上家庭财产保险，参加者需交保险费100元，若在一年以内，万元以上的财产被盗，保险公司赔偿a元(a＞100).问a如何取值，可使保险公司从均值角度分析可获利？
解：设X表示“保险公司在参加保险人身上的收益”，
则X的可能取值为100，100－a，则P(X＝100)＝0.99，P(X＝100－a)＝0.01，
所以EX＝0.99×100＋0.01×(100－a)＝100－0.01a＞0，解得a＜10 000，
又a＞100，因此100＜a＜10 000，
即当a在100和10 000之间取值时可使保险公司从均值角度分析可获利.
任务再现 1.离散型随机变量的均值.2.两点分布的均值.3.E(aX＋b)＝aEX＋b.4.均值函数的性质及应用.
方法提炼 函数与方程思想、转化化归思想
易错警示 不会应用均值对实际问题作出正确分析
1.已知随机变量X的均值为EX＝3，则E(3X＋2)＝( )
A.9 B.11
C.27 D.29
答案：B
解析：因为EX＝3，所以E(3X＋2)＝3EX＋2＝3×3＋2＝11.故选B.
2.某同学参加篮球测试，每进一球记5分，不进球记－1分，已知该同学的命中率为80％，则该同学一次投篮得分的均值为( )
A.3.0 B.3.2
C.3.6 D.3.8
答案：D
解析：记该同学一次投篮得分为X，则X的可能取值为5，－1，所以EX＝5×0.8－1×0.2＝3.8.故选D.
3.已知X的分布列如下，且Y＝aX＋3，EY＝，则a＝ .
X －1 0 1
P
答案：4
解析：EX＝(－1)×＋0×＋1×＝－，且Y＝aX＋3，EY＝aEX＋3＝，即－a＋3＝，解得a＝4.
4.从含有6件正品和4件次品的产品中任取3件，记X为所抽取的次品数，则EX＝ .
答案：
解析：X的所有可能取值为0，1，2，3，则P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝，故EX＝0×＋1×＋2×＋3×＝.
课时分层评价42 离散型随机变量的均值
(时间：60分钟 满分：110分)
(1—9，每小题5分，共45分)
1.若X是离散型随机变量，则E(X－EX)＝( )
A.EX B.2EX
C.0 D.(EX)2
答案：C
解析：E(X－EX)＝EX－EX＝0.故选C.
2.随机变量X的分布列如下：
X －1 0 1
P a b
若EX＝，则a的值是( )
A. B.
C. D.
答案：A
解析：由题意知，EX＝－1×a＋0×＋b＝①，a＋＋b＝1②，联立①②，解得a＝，b＝.故选A.
3.某船队若出海后天气好，可获利5 000元；若出海后天气坏，将损失2 000元；若不出海，要损失1 000元.根据预测知天气好的概率为0.6，则出海的均值效益是( )
A.2 000元 B.2 200元
C.2 400元 D.2 600元
答案：B
解析：出海的均值效益EX＝5 000×0.6＋(1－0.6)×(－2 000)＝3 000－800＝2 200(元).故选B.
4.2024年“与辉同行”直播间开播，董宇辉领衔7位主播从“心”出发，其中男性5人，女性3人，现需排班晚8：00黄金档，随机抽取两人，则女生人数的均值为( )
A. B.
C. D.
答案：C
解析：设抽取的女生人数为X，则X的可能取值为0，1，2，P(X＝0)＝＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，所以EX＝0×＋1×＋2×＝.故选C.
5.已知随机变量X的概率分布列为P＝asin(n＝1，2)，其中a是常数，则E(X)＝( )
A. B.
C.2 D.
答案：C
解析：由P＝asin，得P(X＝1)＝a，P(X＝2)＝a，由P(X＝1)＋P(X＝2)＝1，得a＝，于是EX＝1×P(X＝1)＋2×P(X＝2)＝2a＝，所以E(X)＝EX＝2.故选C.
6.(多选题)已知＜p＜1，随机变量X的分布列如下，则下列结论正确的有( )
X 0 1 2
P p－p2 1－p p2
A.P(X＝2)的值最大
B.P(X＝0)＜P(X＝1)
C.EX随着p的增大而减小
D.EX随着p的增大而增大
答案：BD
解析：由＜p＜1，取p＝，则P(X＝2)＝，P(X＝1)＝1－＝＞，故A错误；因为＜p＜1，所以p－p2＝p＜1－p，即P(X＝0)＜P(X＝1)，故B正确；EX＝＋2p2＝2＋，因为＜p＜1，所以EX随着p的增大而增大，故C错误，D正确.故选BD.
7.一个口袋中装有大小相同的3个白球和4个红球，从中摸出两个球，若X表示摸出白球的个数，则EX＝ .
答案：
解析：X的可能取值为0，1，2，则P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，所以EX＝0×＋1×＋2×＝.
8.设0＜a≤b，随机变量X的分布列为
X 1 2 4
P a b a＋b
则EX的取值范围是 .
答案：
解析：由分布列的概率和为1，可知2＝1，可得a＋b＝，又因为0＜a≤b，所以0＜2a≤a＋b＝，即a∈，所以EX＝a＋2b＋4a＋4b＝5a＋6b＝5a＋6＝3－a∈.
9.(双空题)某种资格证考试，每位考生一年内最多有3次考试机会.一旦某次考试通过，便可领取资格证书，不再参加以后的考试；否则就继续参加考试，直到用完3次机会.小王决定参加考试，若他每次参加考试通过的概率依次为0.6，0.7，0.8，且每次考试是否通过相互独立，则小王在一年内领到资格证书的概率为 ；他在一年内参加考试次数的均值为 .
答案：0.976 1.52
解析：小王在一年内领到资格证书的概率为P＝1－(1－0.6)×(1－0.7)×(1－0.8)＝0.976；设X为小王一年内参加考试的次数，则X的可能取值为1，2，3.P(X＝1)＝0.6，P(X＝2)＝(1－0.6)×0.7＝0.28，P(X＝3)＝(1－0.6)×(1－0.7)＝0.12，所以均值EX＝1×0.6＋2×0.28＋3×0.12＝1.52.
10.(13分)某单位年会有这样一个抽奖活动：箱子里装有8个小球，除颜色外完全相同，其中4个黑球，4个白球.每次抽奖从这个箱子里随机摸出4个球，若摸出的白球不少于3个，则为一等奖，奖励1 000元，若摸出的白球为2个，则为二等奖，奖励600元，若摸出的白球不多于1个，则为三等奖，奖励400元，每个人抽奖一次.
(1)若甲参加抽奖活动，求他获得1 000元的概率；
(2)若甲参加抽奖活动，求他获得奖金X的均值.
解：(1)由题意可知，若甲获得1 000元，则抽奖获得一等奖，设获得一等奖为事件A，
所以甲获得1 000元的概率为P(A)＝＝.
(2)若甲参加抽奖活动，获得的奖金X的取值为1 000，600，400，分别意味着甲获得一等奖、二等奖、三等奖，设获得二等奖为事件B，获得三等奖为事件C，
甲获得二等奖的概率为P(B)＝＝，
甲获得三等奖的概率为P(C)＝＝，
所以甲获得奖金X的分布列为
X 1 000 600 400
P
所以EX＝1 000×＋600×＋400×＝.
(11—13，每小题5分，共15分)
11.已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象开口向下，且对称轴在y轴的右侧，其中a，b，c∈{－2，－1，0，1，2}.在这些抛物线中，记随机变量X为的取值，则X的均值EX＝( )
A. B.
C. D.
答案：A
解析：对称轴在y轴的右侧，即a与b异号，且开口向下，所以a＜0，b＞0，所以a可取－2，－1，b可取1，2，这样的抛物线有2×2×5＝20条；X可取的值有0，1，P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，故EX＝0×＋1×＝.故选A.
12.(多选题)设离散型随机变量X的分布列如下表：
X 1 2 3 4 5
P m 0.1 0.3 n 0.3
若离散型随机变量Y＝－2X＋3，且EX＝3.2，则下列正确的是( )
A.m＝0.3 B.n＝0.1
C.EY＝－3.4 D.P(X≤3)＞P(X＞3)
答案：BCD
解析：由题意知m＋0.1＋0.3＋n＋0.3＝1，所以m＋n＝0.3，因为EX＝3.2，所以1×m＋2×0.1＋3×0.3＋4×n＋5×0.3＝3.2，即m＋4n＝0.6，综上，解得m＝0.2，n＝0.1，故A不正确，B正确；因为Y＝－2X＋3，所以EY＝－2EX＋3＝－2×3.2＋3＝－3.4，故C正确；P(X≤3)＝P(X＝1)＋P(X＝2)＋P(X＝3)＝0.2＋0.1＋0.3＝0.6，P＝P(X＝4)＋P＝0.1＋0.3＝0.4，所以P(X≤3)＞P，故D正确.故选BCD.
13.为了备战斯诺克世锦赛，甲、乙两人进行了热身赛，约定每局胜者得1分，负者得0分，热身进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止.设甲在每局中获胜的概率为，乙在每局中获胜的概率为，且各局胜负相互独立，比赛停止时已打局数为ξ，则Eξ＝ .
答案：
解析：依题意知，ξ的所有可能值为2，4，6，设每两局比赛为一轮，可以得到该轮结束时比赛停止的概率为()2＋()2＝，如果该轮结束时比赛还将继续，那么甲、乙在该轮中必是各得一分，此时，该轮比赛结果对下轮比赛是否停止没有影响，从而有P(ξ＝2)＝，P(ξ＝4)＝×＝，P＝＝，故Eξ＝2×＋4×＋6×＝.
14.(15分)某中药种植基地有两处种植区的药材需在下周一、周二两天内采摘完毕，基地员工一天可以完成一处种植区的采摘.由于下雨会影响药材品质，基地收益情况如下表：
下周一 无雨 无雨 有雨 有雨
下周二 无雨 有雨 无雨 有雨
收益 20万元 15万元 10万元 7.5万元
若基地额外聘请工人，则可在下周一当天完成全部采摘任务，无雨时收益为20万元；有雨时收益为10万元.额外聘请工人的成本为a万元.已知下周一和下周二有雨的概率相同，两天是否下雨互不影响，基地收益为20万元的概率为0.36.
(1)若不额外聘请工人，写出基地收益X的分布列及基地的预期收益；
(2)该基地是否应该外聘工人？请说明理由.
解：(1)设下周一无雨的概率为p.
由题意知，p2＝0.36，p＝0.6.
基地收益X的可能取值为20，15，10，7.5.
P(X＝20)＝0.36，P(X＝15)＝0.24，
P(X＝10)＝0.24，P(X＝7.5)＝0.16.
所以基地收益X的分布列为
X 20 15 10 7.5
P 0.36 0.24 0.24 0.16
基地的预期收益EX＝20×0.36＋15×0.24＋10×0.24＋7.5×0.16＝14.4.
所以基地的预期收益为14.4万元.
(2)设基地额外聘请工人时的收益为Y万元，则其预期收益EY＝20×0.6＋10×0.4－a＝16－a，
EY－EX＝1.6－a.
综上，当额外聘请工人的成本高于1.6万元时，不外聘工人；当成本低于1.6万元时，外聘工人；成本恰为1.6万元时，外聘工人或不外聘工人均可以.
15.(5分)(2025·安徽淮南期中)如图，某考古队在挖掘一古墓群，古墓外面是一个正方形复杂空间，且有4个形状、大小均相同的入口1，2，3，4，其中只有1个入口可以打开，其他的是关闭的.现让一个机器狗从点O出发探路，从4条路线中任选一条寻找打开的入口，找到后直接进入古墓，若未找到，则沿原路返回到出发点，继续重新寻找.若该机器狗是有记忆的，它在出发点选择各条路线的尝试均不多于1次，且每次选哪条路线是等可能的，则它能够进入古墓的总尝试次数的均值是( )
A. B.2
C. D.
答案：D
解析：设机器狗能够进入古墓的总尝试次数为X，则X的所有可能取值为1，2，3，4，所以P(X＝1)＝，P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝，P(X＝4)＝＝，所以EX＝1×＋2×＋3×＋4×＝.故选D.
16.(17分)(创新题)将一枚质地均匀的骰子先后抛掷两次，所得的向上的点数分别记为a，b，设[x]表示不超过实数x的最大整数，的值为随机变量X.
(1)求在X＞0的条件下，X＝的概率；
(2)求X的分布列及其均值.
解：(1)记抛掷骰子的样本点为(a，b)，则样本空间为，样本空间容量为36，
设事件A为“X＞0”，事件B为“X＝”，
则A＝{(1，1)，(2，1)，(3，1)，(4，1)，(5，1)，(6，1)，(2，2)，(3，2)，(4，2)，(5，2)，(6，2)，(3，3)，(4，3)，(5，3)，(6，3)，(4，4)，(5，4)，(6，4)，(5，5)，(6，5)，(6，6)}，其包含的样本点数为21，AB＝{(1，1)，(2，1)，(3，1)，(4，1)，(5，1)，(6，1)，(2，2)，(4，2)，(6，2)，(3，3)，(6，3)，(4，4)，(5，5)，(6，6)}，其包含的样本点数为14，
根据条件概率得P(B｜A)＝＝＝.
(2)随机变量X的可能取值为0，1，2，3，4，5，6，
P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，
P(X＝3)＝＝，P(X＝4)＝，P(X＝5)＝，P(X＝6)＝，
所以其分布列为
X 0 1 2 3 4 5 6
P
所以EX＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＋5×＋6×＝.
21世纪教育网(www.21cnjy.com)(共61张PPT)
3.1 离散型随机变量的均值
第六章 §3 离散型随机变量的均值与方差
学习目标
1.通过具体实例，理解离散型随机变量的均值的概念，能计 算简单离散型随机变量的均值，培养数学抽象、数学运 算、数学建模的核心素养.
2.掌握两点分布的均值.
3.会利用离散型随机变量的均值解决一些相关的实际问题， 培养数学运算、数学建模的核心素养.
任务一 离散型随机变量的均值
问题导思
问题.已知有12个西瓜，其中重5 kg的有4个，重6 kg的有3个，重7 kg的有5个.请思考：
(1)任取一个西瓜，用X表示这个西瓜的重量，试求X的分布列；
提示：X的分布列为
X 5 6 7
P
新知构建
1.定义：设离散型随机变量X的分布列为
X x1 x2 … xi … xn
P p1 p2 … pi … pn
则称EX＝____________________________为随机变量X的均值或数学期望(简称______).
2.意义：均值EX刻画的是X取值的“__________”，反映了离散型随机变量X取值的__________.
3.两点分布的均值：若随机变量X服从参数为p的两点分布，则EX＝___.
x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn
期望
中心位置
平均水平
p
典例
1
X 2 3 4 5
P
Y 2 3 4 5
P
规律方法
求随机变量X的均值的方法和步骤
第一步：理解随机变量X的意义，写出X所有可能的取值；
第二步：求出X取每个值的概率P(X＝k)；
第三步：写出X的分布列；
第四步：利用均值的定义EX＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn，求EX.
X 0 1 2
P
返回
任务二 均值的函数性质
典例
2
X 0 1 2
P m
√
Y －2 1 4
P
规律方法
求线性关系的随机变量Y＝aX＋b均值的方法
1.定义法：先列出Y的分布列，再求均值.
2.性质法：若X是随机变量，则Y＝aX＋b(a，b均是常数)也是随机变量，且EY＝E(aX＋b)＝aEX＋b.
注意：性质法仅适合线性关系，如果是其他函数关系，一般选用定义法.
√
X －1 0 a 2
P b
X －1 0 a 2
P b
(2)设随机变量X的分布列如下：
X －1 0 1
P
则EX2＝ .
X2 1 0
P
返回
任务三 均值的实际应用
(链教材P205例4)为了丰富学生的课余生活，某校决定举办竞技比赛.比赛分为“无人机表演”和“机器人操作”两个项目，选手两个比赛项目的顺序自选，若第一个项目不过关，则淘汰；若第一个项目过关则进行第二个项目的比赛，无论第二个项目是否合格，比赛都结束.“无人机表演”比赛合格得4分，否则得0分；“机器人操作”比赛合格得6分，否则得0分.已知博文同学参加“无人机表演”比赛合格的概率为0.8，参加“机器人操作”比赛合格的概率为0.7.
(1)若博文同学先进行“无人机表演”比赛，记X为博文同学的累计得分，求X的均值；
典例
3
X 0 4 10
P 0.2 0.24 0.56
所以EX＝0×0.2＋4×0.24＋10×0.56＝6.56.
Y 0 6 10
P 0.3 0.14 0.56
所以EY＝0×0.3＋6×0.14＋10×0.56＝6.44，
因为EX＞EY，所以博文同学应选择先进行“无人机表演”比赛.
规律方法
1.实际问题中的均值问题
均值在实际生活中有着广泛的应用，如在体育比赛的成绩预测、消费预测、工程方案预测、产品合格率预测、投资收益预测等方面，都可以通过随机变量的均值来进行估计.
2.概率模型的解答步骤
第一步(建模)：即把实际问题概率模型化；
第二步(解模)：确定分布列，计算随机变量的均值；
第三步(回归)：利用所得数据，对实际问题作出判断.
对点练3.据统计，一年中一个家庭万元以上的财产被盗的概率为0.01.保险公司开办一年期万元以上家庭财产保险，参加者需交保险费100元，若在一年以内，万元以上的财产被盗，保险公司赔偿a元(a＞100).问a如何取值，可使保险公司从均值角度分析可获利？
解：设X表示“保险公司在参加保险人身上的收益”，
则X的可能取值为100，100－a，则P(X＝100)＝0.99，P(X＝100－a)＝0.01，
所以EX＝0.99×100＋0.01×(100－a)＝100－0.01a＞0，解得a＜10 000，
又a＞100，因此100＜a＜10 000，
即当a在100和10 000之间取值时可使保险公司从均值角度分析可获利.
课堂小结
任务再现 1.离散型随机变量的均值.2.两点分布的均值.3.E(aX＋b)＝aEX＋b.4.均值函数的性质及应用.
方法提炼 函数与方程思想、转化化归思想
易错警示 不会应用均值对实际问题作出正确分析
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随堂评价
√
1.已知随机变量X的均值为EX＝3，则E(3X＋2)＝
A.9 B.11
C.27 D.29
因为EX＝3，所以E(3X＋2)＝3EX＋2＝3×3＋2＝11.故选B.
√
2.某同学参加篮球测试，每进一球记5分，不进球记－1分，已知该同学的命中率为80％，则该同学一次投篮得分的均值为
A.3.0 B.3.2
C.3.6 D.3.8
记该同学一次投篮得分为X，则X的可能取值为5，－1，所以EX＝5×0.8－1×0.2＝3.8.故选D.
X －1 0 1
P
4
4.从含有6件正品和4件次品的产品中任取3件，记X为所抽取的次品数，则
EX＝ .
返回
课时分层评价
√
1.若X是离散型随机变量，则E(X－EX)＝
A.EX B.2EX
C.0 D.(EX)2
E(X－EX)＝EX－EX＝0.故选C.
√
X －1 0 1
P a b
X －1 0 1
P a b
√
3.某船队若出海后天气好，可获利5 000元；若出海后天气坏，将损失
2 000元；若不出海，要损失1 000元.根据预测知天气好的概率为0.6，则出海的均值效益是
A.2 000元 B.2 200元
C.2 400元 D.2 600元
出海的均值效益EX＝5 000×0.6＋(1－0.6)×(－2 000)＝3 000－800＝
2 200(元).故选B.
√
√
√
√
X 0 1 2
P p－p2 1－p p2
X 0 1 2
P p－p2 1－p p2
7.一个口袋中装有大小相同的3个白球和4个红球，从中摸出两个球，若X
表示摸出白球的个数，则EX＝ .
8.设0＜a≤b，随机变量X的分布列为
则EX的取值范围是 .
X 1 2 4
P a b a＋b
9.(双空题)某种资格证考试，每位考生一年内最多有3次考试机会.一旦某次考试通过，便可领取资格证书，不再参加以后的考试；否则就继续参加考试，直到用完3次机会.小王决定参加考试，若他每次参加考试通过的概率依次为0.6，0.7，0.8，且每次考试是否通过相互独立，则小王在一年内领到资格证书的概率为 ；他在一年内参加考试次数的均值为 .
0.976
1.52
小王在一年内领到资格证书的概率为P＝1－(1－0.6)×(1－0.7)×(1－0.8)＝0.976；设X为小王一年内参加考试的次数，则X的可能取值为1，2，3.P(X＝1)＝0.6，P(X＝2)＝(1－0.6)×0.7＝0.28，P(X＝3)＝(1－0.6)×(1－0.7)＝0.12，所以均值EX＝1×0.6＋2×0.28＋3×0.12＝1.52.
1 000 600 400
P
√
√
√
12.(多选题)设离散型随机变量X的分布列如下表：
若离散型随机变量Y＝－2X＋3，且EX＝3.2，则下列正确的是
A.m＝0.3 B.n＝0.1
C.EY＝－3.4 D.P(X≤3)＞P(X＞3)
X 1 2 3 4 5
P m 0.1 0.3 n 0.3
√
X 1 2 3 4 5
P m 0.1 0.3 n 0.3
14.(15分)某中药种植基地有两处种植区的药材需在下周一、周二两天内采摘完毕，基地员工一天可以完成一处种植区的采摘.由于下雨会影响药材品质，基地收益情况如下表：
下周一 无雨 无雨 有雨 有雨
下周二 无雨 有雨 无雨 有雨
收益 20万元 15万元 10万元 7.5万元
若基地额外聘请工人，则可在下周一当天完成全部采摘任务，无雨时收益为20万元；有雨时收益为10万元.额外聘请工人的成本为a万元.已知下周一和下周二有雨的概率相同，两天是否下雨互不影响，基地收益为20万元的概率为0.36.
(1)若不额外聘请工人，写出基地收益X的分布列及基地的预期收益；
解：设下周一无雨的概率为p.
由题意知，p2＝0.36，p＝0.6.
基地收益X的可能取值为20，15，10，7.5.
P(X＝20)＝0.36，P(X＝15)＝0.24，
P(X＝10)＝0.24，P(X＝7.5)＝0.16.
所以基地收益X的分布列为
X 20 15 10 7.5
P 0.36 0.24 0.24 0.16
基地的预期收益EX＝20×0.36＋15×0.24＋10×0.24＋7.5×0.16＝14.4.
所以基地的预期收益为14.4万元.
(2)该基地是否应该外聘工人？请说明理由.
解：设基地额外聘请工人时的收益为Y万元，则其预期收益EY＝20×0.6＋10×0.4－a＝16－a，
EY－EX＝1.6－a.
综上，当额外聘请工人的成本高于1.6万元时，不外聘工人；当成本低于1.6万元时，外聘工人；成本恰为1.6万元时，外聘工人或不外聘工人均
可以.
√
X 0 1 2 3 4 5 6
P
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