§5 正态分布
学习目标 1.通过误差模型，了解服从正态分布的随机变量. 2.通过具体实例，借助频率直方图的几何直观，了解正态分布的特征，培养数学抽象、直观想象的核心素养. 3.了解正态分布的均值、方差及其含义并会用正态分布去解决实际问题，培养逻辑推理、数学运算的核心素养.
任务一 正态分布
问题1.下列随机变量哪个是离散型随机变量：
(1)掷一枚骰子一次，用X表示所得点数；
(2)白炽灯的使用时间.
提示：(1)是，(2)不是.
问题2.一所学校同年级的同学，身高特别高的同学比较少，特别矮的同学也不多，大都集中在某个高度左右；自动流水线包装的每袋标准质量为400 g的食盐，由于不可控因素，实际质量与标准质量或多或少存在一定的误差.生活中这样的现象很多，还能使用二项分布、超几何分布来刻画吗？
提示：不符合二项分布、超几何分布的特征，不能用它们刻画.
1.离散型随机变量：变量X的值可以一一列举.
连续型随机变量：人们把具有分布密度函数的随机变量称为连续型随机变量，最常见的一类连续型随机变量是由误差引起的，其分布密度曲线一般是形状像“钟”的光滑曲线.连续型随机变量X的值无法一一列举，它可以取某一个区间中的所有值.
2.正态分布与正态曲线
由误差引起的连续型随机变量其分布密度函数图象对应的分布密度函数解析式为φμ，σ(x)＝，x∈(－∞，＋∞)，其中实数μ，σ(σ＞0)为参数，这一类随机变量X的分布密度(函数)称为正态分布密度(函数)，简称正态分布，对应的图象为正态分布密度曲线，简称为正态曲线.
3.如果随机变量X服从正态分布，那么这个正态分布完全由参数μ，σ(σ＞0)确定，记为X～N(μ，σ2).其中EX＝μ，DX＝σ2.
4.正态曲线的性质
(1)非负性：曲线在x轴的上方，与x轴不相交.
(2)对称性：曲线是单峰的，关于直线x＝μ对称.
(3)最大值：曲线在x＝μ处达到峰值.
(4)当x＜μ时，曲线上升；当x＞μ时，曲线下降；并且当曲线向左、右两边无限延伸时，以x轴为渐近线.
(5)当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x轴平移，如图①.
(6)当μ一定时，曲线的形状由σ确定.σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散；σ越小，曲线越“高瘦”，表示总体的分布越集中，如图②.
(链教材P223例1)(1)(多选)已知三个正态分布密度函数fi(x)＝(x∈R，i＝1，2，3)的图象如图所示，则下列结论正确的是( )
A.μ1＝μ2＞μ3 B.μ1＜μ2＝μ3
C.σ1＝σ2＞σ3 D.σ1＝σ2＜σ3
(2)(双空题)设有一正态总体，它的概率密度曲线是函数f(x)的图象，且f(x)＝，则这个正态总体的平均数是 ；标准差是 .
答案：(1)BD (2)10 2
解析：(1)根据正态分布密度函数中参数μ，σ的意义，结合图象可知f2(x)，f3(x)对称轴位置相同，所以可得μ2＝μ3；且都在f1(x)的右侧，即μ1＜μ2＝μ3，比较f1(x)和f2(x)图象可得，其形状相同，即σ1＝σ2，又f3(x)的分散程度比f1(x)和f2(x)大，所以可得σ1＝σ2＜σ3.故选BD.
(2) 因为f(x)＝＝，所以σ＝2，μ＝10，即正态总体的平均数与标准差分别为10与2.
利用正态曲线的特点求参数μ，σ
1.正态曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称，由此特点结合图象求出μ.
2.正态曲线在x＝μ处达到峰值，由此特点结合图象可求出σ.
对点练1.(1)函数f(x)＝(其中μ＜0)的图象可能为( )
(2)(双空题)如图，若一个随机变量X服从某正态分布X～N，且已知函数f(x)＝的图象及部分重要点的坐标如图，则该随机变量的均值EX＝ ，方差DX＝ .
答案：(1)A (2)5 1
解析：(1)函数f(x)图象的对称轴为直线x＝μ，因为μ＜0，所以排除B、D；又正态曲线位于x轴上方，因此排除C，所以A正确.故选A.
(2)由图可知，当x＝5时，f(x)＝，所以μ＝5，σ＝1，所以X～N，所以EX＝μ＝5，DX＝σ2＝1.
任务二 利用正态分布的性质求概率
问题3.随机变量X的概率分布密度函数f(x)＝，其图象如图所示，如果由X≥2与x轴以及曲线围成的面积是0.15，则能求图中阴影部分的面积吗？
提示：由题意可知X～N，则由曲线的对称性可知：由X≤0与x轴以及曲线围成的面积也是0.15，故图中阴影部分的面积为＝0.35.
1.正态分布的几何意义
若X～N(μ，σ2)，如图所示，X取值不超过m的概率P(X≤m)为图中区域A的面积，而P(a≤X≤b)为区域B的面积.
[微提醒] (1)曲线与x轴之间的面积为1.(2)若X～N(μ，σ2)，则P(X＞μ)＝P(X＜μ)＝0.5.
2.服从于正态分布N(μ，σ2)的随机变量X在三个特殊区间内取值的概率
P(μ－σ＜X≤μ＋σ)≈0.682 6，
P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)≈0.954 4，
P(μ－3σ＜X≤μ＋3σ)≈0.997 4.
3.3σ原则
随机变量X在区间(μ－σ，μ＋σ]，(μ－2σ，μ＋2σ]，(μ－3σ，μ＋3σ]上取值的概率分别约为68.3％，95.4％，99.7％.而随机变量X在区间(μ－3σ，μ＋3σ]外取值的概率只有约0.3％，通常认为这种情况在一次试验中几乎是不可能发生的，认为是小概率事件.因此，在实际应用中，通常认为服从正态分布N(μ，σ2)的随机变量X只取区间(μ－3σ，μ＋3σ]之间的值，并称之为3σ原则.
(链教材P224习题T3)设随机变量X～N，若P(X＞c＋1)＝P(X＜c－1).
(1)求c的值；
(2)若σ＝3，求P(－4≤X≤8).
附：若随机变量X～N，则P(μ－σ＜X≤μ＋σ)≈0.682 6；P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)≈0.954 4；P(μ－3σ＜X≤μ＋3σ)≈0.997 4.
解：(1)由题意知，随机变量X～N，且P(X＞c＋1)＝P(X＜c－1)，
由正态分布的对称性可知，＝c＝2，故c的值为2.
(2)若σ＝3，则X～N(2，9)，因此μ＝2，σ＝3，
P(－4≤X≤8)＝P(2－2×3≤X≤2＋2×3)
＝P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954 4，
故P(－4≤X≤8)≈0.954 4.
[变式探究]
1.(变条件)若σ＝2，求P(－4≤X≤8).
解：P(－4≤X≤8)＝P(2－2×3≤X≤2＋2×3)＝P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.997 4，
故P(－4≤X≤8)≈0.997 4.
2.(变条件，变设问)若P＝0.6，求P(1＜X＜2).
解：由题意可得μ＝2，且P＝0.6，
则P＝P＝1－0.6＝0.4，
所以P＝＝0.1.
利用正态分布求概率的两种方法
1.对称法：由于正态曲线是关于直线x＝μ对称的，且概率的和为1，故关于直线x＝μ对称的区间的概率相等.如：
(1)P(X＜a)＝1－P(X≥a)；
(2)P(X＜μ－a)＝P(X＞μ＋a)；
(3)若b＜μ，则P(X＜b)＝.
2.“3σ”法：利用随机变量X落在区间(μ－σ，μ＋σ]，(μ－2σ，μ＋2σ]，(μ－3σ，μ＋3σ]内的概率分别约为0.682 6，0.954 4，0.997 4求解.
注意：充分利用正态曲线的对称性和曲线与x轴之间的面积为1.
对点练2.(1)(多选题)对某地区数学考试成绩的数据分析，男生成绩X服从正态分布N，女生成绩Y服从正态分布N.则( )
A.P(X≤86)＜P(Y≤86)
B.P(X≤80)＞P(Y≤80)
C.P(X≤74)＞P(Y≤74)
D.P(X≤64)＝P(Y≥80)
(2)(双空题)已知随机变量X服从正态分布N(μ，σ2).若P≥P，则实数μ的取值范围是 ；若μ＝5且P(X＜3)＝0.3，那么P(3≤X≤7)＝ .
答案：(1)ACD (2) 0.4
解析：(1)X～N(72，82)，μ1＝72，σ1＝8；Y～N(74，62)，μ2＝74，σ2＝6.P(X≤80)＝P(X≤μ1＋σ1)，P(Y≤80)＝P(Y≤μ2＋σ2)，P(X≤80)＝P(Y≤80)；P(X≤88)＝P(X≤μ1＋2σ1)，P(Y≤86)＝P(Y≤μ2＋2σ2)，P(X≤88)＝P(Y≤86)；对于A，P(X≤86)＜P(X≤88)＝P(Y≤86)，故A正确；对于B，P(X≤80)＝P(Y≤80)，故B错误；对于C，P(X≤74)＞P(X≤72)＝＝P(Y≤74)，故C正确；对于D，P(X≤64)＝P(X≥80)＝P(Y≥80)，故D正确.故选ACD.
(2)由正态分布的对称性知，≤，解得μ≤1，所以实数μ的取值范围是；因为μ＝5，所以正态密度曲线的对称轴为x＝5，所以P(3≤X≤5)＝0.5－P(X＜3)＝0.2，所以P＝2P＝0.4.
任务三 正态分布的应用
角度1 应用正态分布解决实际问题中的概率与频数问题
已知某地区高考二检数学共有8 000名考生参与，且二检的数学成绩X近似服从正态分布N，若成绩在80分以下的有1 500人，则可以估计P＝( )
A. B.
C. D.
答案：B
解析：法一：由题意得，P(X＜80)＝＝，故P(95≤X≤110)＝P＝P(X≤95)－P(X＜80)＝－＝.故选B.
法二：数学成绩在80分至95分的有4 000－1 500＝2 500人，由对称性，数学成绩在95分至110分的也有2 500人，故P＝＝.故选B.
应用正态分布解决实际问题中的概率与频数问题
解答此类问题的关键在于利用正态分布曲线的对称性把待求区间的概率向已知区间的概率进行等价转化，此过程体现了数形结合及转化与化归的数学思想.
角度2 3σ原则的实际应用
假设某厂包装食盐的生产线，正常情况下生产出来的食盐质量服从正态分布N(单位：g)，该生产线上的检测员某天随机抽取了两包食盐，称得其质量均大于515 g.
(1)求正常情况下，任意抽取一包食盐，质量大于515 g的概率为多少；
(2)检测员根据抽检结果，判断出该生产线出现异常，要求立即停产检修，检测员的判断是否合理？请说明理由.
解：(1)设正常情况下，该生产线上包装出来的食盐质量为X g，由题意可知X～N.
由于515＝500＋3×5，所以根据正态分布的对称性与“3σ原则”可知，
P(X＞515)＝P(｜X－3×5｜＞500)≈×0.3％＝0.15％.
(2)检测员的判断是合理的.因为如果生产线不出现异常的话，由(1)可知，随机抽取两包检查，质量都大于515 g的概率约为0.15％×0.15％＝2.25×10－6，几乎为零，但这样的事件竟然发生了，所以有理由认为生产线出现了异常，检测员的判断是合理的.
解决此类问题时，应当注意产品质量应大概率落在(μ－3σ，μ＋3σ]之内，否则可以认为该批产品不合格.判断的依据是小概率事件在一次试验中几乎是不可能发生的，而一旦发生了，就可以认为这批产品不合格.
对点练3.(1)一批电阻的阻值X(单位：Ω)服从正态分布N，根据行业标准，概率低于0.003视为小概率事件，现从甲、乙两箱成品中各随机抽取一个电阻，测得阻值分别为1 011 Ω和982 Ω，则下列结论正确的是( )
A.甲、乙两箱电阻均可出厂
B.甲、乙两箱电阻均不可出厂
C.甲箱电阻可出厂，乙箱电阻不可出厂
D.甲箱电阻不可出厂，乙箱电阻可出厂
(2)“双十二”网购狂欢节是继“双十一”后的又一次网络促销日，在这一天，许多网商还会进行促销活动，但促销力度不及“双十一”.已知今年“双十二”期间，某小区居民网上购物的消费金额(单位：元)近似服从正态分布N，则该小区800名居民中，网购金额超过800元的人数大约为 人.(若随机变量X～N，则P(μ－σ＜X≤μ＋σ)≈0.682 6，P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)≈0.954 4，P(μ－3σ＜X≤μ＋3σ)≈0.997 4)
答案：(1)C (2)18
解析：(1)依题意X～N，所以μ＝1 000，σ＝5，所以μ－3σ＝1 000－15＝985，μ＋3σ＝1 000＋15＝1 015，(μ－3σ，μ＋3σ]＝(985，1 015]，因为1 011∈(985，1 015]，982 ，所以甲箱电阻可出厂，乙箱电阻不可出厂.故选C.
(2)因为小区居民网上购物的消费金额(单位：元)近似服从正态分布N，
所以P＝≈＝0.022 8，所以该小区800名居民中，网购金额超过800元的人数大约为0.022 8×800≈18.
任务再现 1.正态曲线及其性质.2.利用正态分布的性质求概率.3.正态分布的应用
方法提炼 转化化归、数形结合
易错警示 概率区间转化不等价
1.设随机变量X～N，且P(X≤0)＝P(X≥a－2)，则实数a的值为( )
A.3 B.4
C.5 D.6
答案：B
解析：因为X～N，所以正态分布密度曲线的对称轴为x＝1，因为P(X≤0)＝P(X≥a－2)，所以＝1 a＝4.故选B.
2.(多选题)关于标准正态分布N(0，1)的概率密度函数f(x)＝·的说法中，正确的说法为( )
A.f(x)为偶函数
B.f(x)的最大值是
C.f(x)在x＞0时是单调递减函数，在x≤0时是单调递增函数
D.f(x)关于x＝1对称
答案：ABC
解析：由正态分布密度函数f(x)＝·，可得f(x)的图象关于x＝0对称，所以f(x)为偶函数，故A正确，D不正确；根据正态曲线的性质得，当x＝0时，函数f(x)取得最大值f(0)＝·e0＝，故B正确；根据正态曲线的性质，可得f(x)在上单调递增，在(0，＋∞)上单调递减，故C正确.故选ABC.
3.某校进行的“校园安全”知识竞赛成绩X～N(82，16)，若成绩在90分以上为“优秀”，该校有4 000人参加竞赛，则获得“优秀”的人数约为 .(附：P≈0.682 6，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954 4)
答案：91
解析：由题意得，μ＝82，σ＝4，P≈×0.954 4＝0.477 2，P≈0.5－0.477 2＝0.022 8，4 000×0.022 8≈91.
4.节约能源是人类面临的重大课题，为了更好地配置电力资源，某市电力部门调查了一年的居民用电量，发现每户居民该年用电量X(单位：千瓦时)服从正态分布N，且P＝，在该市随机抽取500户居民，设这500户居民中该年用电量超过1 200千瓦时的户数为ξ，则Eξ＝ .
答案：100
解析：由正态分布的对称性知P＝[1－P(800≤X≤1 200)]＝，则ξ～B，所以Eξ＝500×＝100.
课时分层评价46 正态分布
(时间：60分钟 满分：100分)
(1—9，每小题5分，共45分)
1.若X～N，且P＝0.10，则P(X≥0)＝( )
A.0.10 B.0.40
C.0.80 D.0.90
答案：D
解析：根据题意X～N，且P＝0.10，则P(X＜0)＝P(X＞2)＝0.10，故P(X≥0)＝1－P(X＜0)＝0.90.故选D.
2.随机变量ξ服从正态分布N，若P＝0.2，P＝0.6，则μ等于( )
A.3 B.4
C.5 D.6
答案：B
解析：因为P＝0.2，P＝0.6，所以P＝1－0.2－0.6＝0.2，即P＝P(ξ＞6)，所以μ＝＝4.故选B.
3.(2025·山东聊城高二期末)设随机变量X～N(μ1，)，Y～N，这两个正态分布密度曲线如图所示，则( )
A.μ1＞μ2
B.σ1＜σ2
C.P＞P
D.P＞P
答案：D
解析：X的密度曲线的对称轴在Y的密度曲线的对称轴的左边，即μ1＜μ2.X的密度曲线较为分散，Y的密度曲线较为集中，即σ1＞σ2，故A、B错误；因为P＝0.5，P＝0.5，故C错误；因为P＞0.5，P＜0.5，故D正确.故选D.
4.已知连续型随机变量X与离散型随机变量Y满足X～N，Y～B，若X与Y的方差相同且P＝0.3，则P＝( )
A.0.8 B.0.5
C.0.3 D.0.2
答案：A
解析：DX＝μ2，DY＝16××＝4，因为DX＝DY，所以μ2＝4，μ＝2，由对称性P＝0.5，故P＝P＋P＝0.5＋0.3＝0.8.故选A.
5.某次高二质量抽测中，学生的数学成绩X服从正态分布N.已知参加本次考试的学生约有10 000人，如果小明在这次考试中数学成绩为120分，则小明的数学成绩在本次抽测的名次大约是( )
附：若X～N，则P≈0.682 6，P≈0.954 4
A.第228名 B.第455名
C.第1 587名 D.第3 173名
答案：A
解析：由X～N，μ＋2σ＝96＋24＝120，μ－2σ＝96－24＝72，则P≈0.954 4，故P≈＝0.022 8，10 000×0.022 8＝228，故小明的数学成绩在本次抽测的名次大约是第228名.故选A.
6.(多选题)若随机变量X～N且P(X＜m)＝P(X＞n)，则下列选项正确的是( )
A.E(2X＋1)＝7
B.m2＋n2的最小值为50
C.P＞P
D.若P(X＞4)＝0.68，则P(5≤X＜6)＝0.32
答案：BC
解析：随机变量X～N，对于A，EX＝5，则E(2X＋1)＝2EX＋1＝11，故A错误；对于B，由P(X＜m)＝P(X＞n)，有＝5，则m2＋n2≥＝50，当且仅当m＝n＝5时等号成立，m2＋n2的最小值为50，故B正确；对于C，EX＝5，所以P＞P，故C正确；对于D，因为随机变量X～N，所以正态曲线的对称轴为直线x＝5，因为P(4＜X≤5)＝0.68－0.5＝0.18，所以P(5≤X＜6)＝0.18，故D错误.故选BC.
7.已知X～N，P＋P＝1，且P＝0.2，则P＝ .
答案：0.6
解析：因为P＋P＝1，所以P(X≥3)＝P，则μ＝1.因为P＝0.2，所以P＝1－2×0.2＝0.6.
8.某厂有一条包装食盐的生产线，正常情况下食盐质量服从正态分布N(单位：g)，某天生产线上的检测员随机抽取了一包食盐，称得其质量大于415 g，他立即判断生产线出现了异常，要求停产检修.由此可以得出σ的最大值是 .
答案：5
解析：由题意得μ＝400，由3σ原则，得400＋3σ≤415，解得σ≤5，所以σ的最大值是5.
9.为了解高三复习备考情况，某校组织了一次阶段考试.经数据分析，高三全体考生的数学成绩近似服从正态分布X～N(100，17.52).已知成绩在117.5分以上(不含117.5分)的学生有80人，则此次参加考试的学生成绩低于82.5分的概率为 ；如果成绩大于135分的为特别优秀，那么本次数学考试成绩特别优秀的大约有 人.(若X～N(μ，σ2)，则P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682 7，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954 5)
答案：0.158 65 11
解析：因为数学成绩X服从正态分布N(100，17.52)，则P(100－17.5≤X≤100＋17.5)＝P(82.5≤X≤117.5)≈0.682 7，所以此次参加考试的学生成绩低于82.5分的概率P(X＜82.5)＝≈＝0.158 65.又P(100－17.5×2≤X≤100＋17.5×2)＝P(65≤X≤135)≈0.954 5，所以数学成绩特别优秀的概率P(X＞135)＝≈＝0.022 75.又P(X＜82.5)＝P(X＞117.5)＝0.158 65，则本次考试数学成绩特别优秀的人数大约是×0.022 75≈11.
10.(15分)某车间生产一批零件，现从中随机抽取10个，测量其内径的数据如下(单位：mm)：192，192，193，197，200，202，203，204，208，209.设这10个数据的均值为μ，标准差为σ.
(1)求μ和σ；
(2)已知这批零件的内径X(单位：mm)服从正态分布N，若该车间又新购一台设备，安装调试后，试生产了5个零件，测量其内径(单位：mm)分别为：186，190，198，204，213，如果你是该车间的负责人，以原设备生产性能为标准，试根据3σ原则判断这台设备是否需要进一步调试？并说明你的理由.
参考数据：若X～N，则P(μ－σ＜X≤μ＋σ)≈0.682 6，P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)≈0.954 4，P(μ－3σ＜X≤μ＋3σ)≈0.997 4.
解：(1)μ＝×(192＋192＋193＋197＋200＋202＋203＋204＋208＋209)＝200，
σ2＝×(82＋82＋72＋32＋02＋22＋32＋42＋82＋92)＝36，故σ＝＝6.
(2)由题意得X～N，P(200－18＜X≤200＋18)≈0.997 4，
即P≈0.997 4，而五个零件的内径186，190，198，204，213均出现在＝内，根据3σ原则，可以认为设备正常，这台设备不需要调试.
(11—13，每小题5分，共15分)
11.(2025·黑龙江哈尔滨高二期末)已知随机变量X～N.若P(1≤X≤3)＝0.3，设事件A＝“X＜1”，事件B＝“｜X｜＞1”，则P(A｜B)＝( )
A. B.
C. D.
答案：D
解析：因为随机变量X～N，且P(1≤X≤3)＝0.3，所以P(X＞3)＝0.5－0.3＝0.2，所以P(X＜－1)＝P(X＞3)＝0.2，｜X｜＞1，即X＞1或X＜－1，所以P(｜X｜＞1)＝P(X＞1)＋P(X＜－1)＝0.5＋0.2＝0.7，所以P(A｜B)＝＝＝＝.故选D.
12.(多选题)(2025·山西吕梁高二月考)小明上学有时乘公交车，有时骑自行车.他各记录了100次乘公交车和骑自行车上学所用的时间，经数据分析得到：乘公交车平均用时20 min，样本标准差为6；骑自行车平均用时24 min，样本标准差为2.已知若随机变量ξ～N，则～N(0，1).假设小明乘公交车用时X和骑自行车用时Y都服从正态分布，则( )
A.X～N
B.～N(0，1)
C.若某天有28 min可用，小明要想尽可能不迟到应选择骑自行车
D.若某天有25 min可用，小明要想尽可能不迟到应选择乘公交车
答案：BCD
解析：根据题意知X～N，～N(0，1)，故A错误，B正确；若有28 min可用，分别设随机变量X，Y的平均数和方差为μX，σX，μY，σY，则P(｜Y－24｜≤4)＝P(｜Y－μY｜≤2σY)＝P(｜X－μX｜≤2σX)＝P(｜X－20｜≤12)＞P(｜X－20｜≤8)，故P(X≤28)＜P(Y≤28)，小明要想尽可能不迟到应选择骑自行车，故C正确；若有25 min可用，则P＝P(≤)，P＝P，因为～N(0，1)，～N(0，1)，故P＞P，小明要想尽可能不迟到应选择乘公交车，故D正确.故选BCD.
13.(双空题)(2025·江苏南通高二期中)某工厂生产的A产品的长度l(单位：cm)服从正态分布N(5，32)，按长度l分为5级：l≥10为一级，8≤l＜10为二级，6≤l＜8为三级，4≤l＜6为四级，l＜4为废品.将一级与二级产品称为优品.对该工厂生产的A产品进行随机抽查，每次抽取1个，则抽到优品的概率p≈ (精确到0.1).若抽出的是优品，则抽查终止，否则继续抽查直到抽到优品，则抽查次数不超过两次的概率约为 .
附：P(μ－σ＜Z≤μ＋σ)≈0.682 6，P(μ－2σ＜Z≤μ＋2σ)≈0.954 4，P(μ－3σ＜Z≤μ＋3σ)≈0.997 4
答案：0.2 0.36
解析：由l～N，所以μ＝5，σ＝3，优品满足l≥8，所以P(l≥8)＝P(l≥5＋3)＝P(l≥μ＋σ)＝－≈0.158 7≈0.2(第一空)；抽查次数不超过两次的概率为P＝0.2＋0.8×0.2＝0.36(第二空).
14.(15分)某公司建有1 000个销售群，在某产品的销售旺季，所有群销售件数X服从正态分布N，其中μ＝376，σ2＝12 100，公司把销售件数不小于596的群称为“A级群”，销售件数在[266，596)内的群为“B级群”，销售件数小于266的群为“C级群”.
(1)若P(X＜a)≥P(X＞2a－1)，求实数a的取值范围；
(2)该公司决定对每个“A级群”奖励1 000元，每个“B级群”奖励500元，每个“C级群”奖励200元，那么公司大约需要准备多少奖金？(群的个数按四舍五入取整数)
附：若X～N，则P(μ－σ＜X＜μ＋σ)≈0.682 6，P(μ－2σ＜X＜μ＋2σ)≈0.954 4，P(μ－3σ＜X＜μ＋3σ)≈0.997 4.
解：(1)由正态分布的对称性可知，若P(X＜a)≥P(X＞2a－1)，
当2a－1≥376，即a≥时，因为P(X＜a)≥P(X＞2a－1)，
所以有376－a≤2a－1－376，得a≥251；
当2a－1＜376，即a＜时，要使P(X＜a)≥P(X＞2a－1)，
则有a－376≥376－，解得a≥251(舍去).
综上，实数a的取值范围为.
(2)因为μ＝376，σ＝110，
所以P＝P＝－P(μ－2σ＜X＜μ＋2σ)≈0.022 8，
P＝P
＝P(μ－σ≤X＜μ＋σ)＋[P(μ－2σ≤X＜μ＋2σ)－P(μ－σ≤X＜μ＋σ)]
≈0.682 6＋＝0.818 5，
所以A级群有1 000×0.022 8≈23个，B级群有1 000×0.818 5≈819个，
C级群有1 000－23－819＝158个，
所以，公司大约需要准备奖金23×1 000＋819×500＋158×200＝464 100元.
(15、16，每小题5分，共10分)
15.(创新题)已知＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋…＋anxn，随机变量ξ服从正态分布，其正态密度曲线如图所示，若＝Dξ，则n＝( )
A.5 B.8
C.9 D.14
答案：B
解析：由ξ的分布密度曲线知μ＝1，σ＝，所以Dξ＝σ2＝，根据展开式的通项公式可得，ak＝2k，k＝0，1，2，…，n，则＝＝·＝，解得n＝8.故选B.
16.现实世界中的很多随机变量服从正态分布，例如反复测量某一个物理量，其测量误差X通常被认为服从正态分布.若某物理量做n次测量，测量结果的误差X～N，要控制｜X｜≥的概率不大于0.002 6，至少要测量 次.
(参考数据：P≈0.997 4)
答案：72
解析： 因为X～N，所以μ＝0，σ＝，根据题意得P≤0.002 6，则P≥1－0.002 6＝0.997 4，即P≥0.997 4，因为μ＝0，P≈0.997 4，所以3σ≤，所以≤，解得n≥72，所以至少要测量的次数为72次.
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§5 正态分布
第六章 概率
学习目标
1.通过误差模型，了解服从正态分布的随机变量.
2.通过具体实例，借助频率直方图的几何直观，了解正态分 布的特征，培养数学抽象、直观想象的核心素养.
3.了解正态分布的均值、方差及其含义并会用正态分布去解 决实际问题，培养逻辑推理、数学运算的核心素养.
任务一 正态分布
问题导思
问题1.下列随机变量哪个是离散型随机变量：
(1)掷一枚骰子一次，用X表示所得点数；
提示：是，
(2)白炽灯的使用时间.
提示：不是.
问题2.一所学校同年级的同学，身高特别高的同学比较少，特别矮的同学也不多，大都集中在某个高度左右；自动流水线包装的每袋标准质量为400 g的食盐，由于不可控因素，实际质量与标准质量或多或少存在一定的误差.生活中这样的现象很多，还能使用二项分布、超几何分布来刻
画吗？
提示：不符合二项分布、超几何分布的特征，不能用它们刻画.
新知构建
1.离散型随机变量：变量X的值______________.
连续型随机变量：人们把具有分布密度函数的随机变量称为连续型随机变量，最常见的一类连续型随机变量是由误差引起的，其分布密度曲线一般是形状像“钟”的光滑曲线.连续型随机变量X的值无法一一列举，它可以取某一个区间中的所有值.
可以一一列举
正态分布
正态曲线
X～N(μ，σ2)
μ
σ2
上方
x＝μ
x＝μ
x
(5)当____一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着____的变化而沿x轴平移，如图①.
(6)当μ一定时，曲线的形状由σ确定.σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散；σ越小，曲线越“高瘦”，表示总体的分布越集中，如图②.
σ
μ
典例
1
√
√
根据正态分布密度函数中参数μ，σ的意义，结合图象可知f2(x)，f3(x)对称轴位置相同，所以可得μ2＝μ3；且都在f1(x)的右侧，即μ1＜μ2＝μ3，比较f1(x)和f2(x)图象可得，其形状相同，即σ1＝σ2，又f3(x)的分散程度比f1(x)和f2(x)大，所以可得σ1＝σ2＜σ3.故选BD.
10
2
规律方法
√
函数f(x)图象的对称轴为直线x＝μ，因为μ＜0，所以排除B、D；又正态曲线位于x轴上方，因此排除C，所以A正确.故选A.
5
1
返回
任务二 利用正态分布的性质求概率
问题导思
新知构建
1.正态分布的几何意义
若X～N(μ，σ2)，如图所示，X取值不超过m的概率P(X≤m)为图中区域A的面积，而P(a≤X≤b)为区域B的面积.
微提醒
(1)曲线与x轴之间的面积为1.(2)若X～N(μ，σ2)，则P(X＞μ)＝P(X＜μ)＝0.5.
2.服从于正态分布N(μ，σ2)的随机变量X在三个特殊区间内取值的概率
P(μ－σ＜X≤μ＋σ)≈_________，
P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)≈_________，
P(μ－3σ＜X≤μ＋3σ)≈_________.
3.3σ原则
随机变量X在区间(μ－σ，μ＋σ]，(μ－2σ，μ＋2σ]，(μ－3σ，μ＋3σ]上取值的概率分别约为68.3％，95.4％，99.7％.而随机变量X在区间(μ－3σ，μ＋3σ]外取值的概率只有约0.3％，通常认为这种情况在一次试验中几乎是不可能发生的，认为是小概率事件.因此，在实际应用中，通常认为服从正态分布N(μ，σ2)的随机变量X只取区间(μ－3σ，μ＋3σ]之间的值，并称之为_____原则.
0.682 6
0.954 4
0.997 4
3σ
典例
2
规律方法
规律方法
2.“3σ”法：利用随机变量X落在区间(μ－σ，μ＋σ]，(μ－2σ，μ＋2σ]，(μ－3σ，μ＋3σ]内的概率分别约为0.682 6，0.954 4，0.997 4求解.
注意：充分利用正态曲线的对称性和曲线与x轴之间的面积为1.
√
√
√
0.4
返回
任务三 正态分布的应用
典例
3
√
规律方法
应用正态分布解决实际问题中的概率与频数问题
解答此类问题的关键在于利用正态分布曲线的对称性把待求区间的概率向已知区间的概率进行等价转化，此过程体现了数形结合及转化与化归的数学思想.
典例
4
(2)检测员根据抽检结果，判断出该生产线出现异常，要求立即停产检修，检测员的判断是否合理？请说明理由.
解：检测员的判断是合理的.因为如果生产线不出现异常的话，由(1)可知，随机抽取两包检查，质量都大于515 g的概率约为0.15％×0.15％＝2.25×10－6，几乎为零，但这样的事件竟然发生了，所以有理由认为生产线出现了异常，检测员的判断是合理的.
规律方法
解决此类问题时，应当注意产品质量应大概率落在(μ－3σ，μ＋3σ]之内，否则可以认为该批产品不合格.判断的依据是小概率事件在一次试验中几乎是不可能发生的，而一旦发生了，就可以认为这批产品不合格.
√
18
课堂小结
任务再现 1.正态曲线及其性质.2.利用正态分布的性质求概率.3.正态分布的应用
方法提炼 转化化归、数形结合
易错警示 概率区间转化不等价
返回
随堂评价
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91
100
返回
课时分层评价
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√
0.6
5
由题意得μ＝400，由3σ原则，得400＋3σ≤415，解得σ≤5，所以σ的最大值是5.
9.为了解高三复习备考情况，某校组织了一次阶段考试.经数据分析，高三全体考生的数学成绩近似服从正态分布X～N(100，17.52).已知成绩在117.5分以上(不含117.5分)的学生有80人，则此次参加考试的学生成绩低于82.5分的概率为 ；如果成绩大于135分的为特别优秀，那么本次数学考试成绩特别优秀的大约有 人.(若X～N(μ，σ2)，则P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682 7，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954 5)
0.158 65
11
√
√
√
√
13.(双空题)(2025·江苏南通高二期中)某工厂生产的A产品的长度l(单位：cm)服从正态分布N(5，32)，按长度l分为5级：l≥10为一级，8≤l＜10为二级，6≤l＜8为三级，4≤l＜6为四级，l＜4为废品.将一级与二级产品称为优品.对该工厂生产的A产品进行随机抽查，每次抽取1个，则抽到优品的概率p≈ (精确到0.1).若抽出的是优品，则抽查终止，否则继续抽查直到抽到优品，则抽查次数不超过两次的概率约为 .
附：P(μ－σ＜Z≤μ＋σ)≈0.682 6，P(μ－2σ＜Z≤μ＋2σ)≈0.954 4，P(μ－3σ＜Z≤μ＋3σ)≈0.997 4
0.2
0.36
√
72
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