辅导讲义
学员姓名： 年 级：初二 课 时 数：3辅导科目：数学 学科教师： 讲义审核：
授课主题 一元二次方程的应用
教学目标 掌握列一元二次方程解应用题的一般步骤；会分析实际问题中的数量关系，列出一元二次方程解决实际问题，并根据具体问题的实际意义，检验方程的解是否合理；分析和解决实际问题，体会一元二次方程的数学建模作用。
教学重难点 重点：掌握列一元二次方程解应用题的一般步骤难点：常见实际问题的数量关系及表示方法
授课日期及时段
教学内容
一个醉汉拿着一根竹竿进城，横着怎么也拿不进去，量竹竿长比城门宽4米，旁边一个醉汉嘲笑他，你没看城门高吗，竖着拿就可以进去啦，结果竖着比城门高2米，二人没办法，只好请教聪明人，聪明人教他们二人沿着门的对角斜着拿，二人一试，不多不少刚好进城，你知道竹竿有多长吗？【知识点一 列一元二次方程解应用题一般步骤】步骤内容摘要注意事项①审审清题意，明确已知和未知，知道它们之间的等量关系等量关系往往体现在关键词句中②设设未知数，一种是直接设法，另一种是间接设法一般要带单位③列用含有未知数的代数式表示有关的量，根据等量关系列出方程。方程两边单位要统一④解根据方程的特点，选择适当解法求出未知数的值。一般不必写出解方程的过程⑤验检验未知数的值是否满足所列方程，检验该值在实际问题中是否有意义。一般两个根中只有一个符合实际意义。⑥答写出实际问题的答案注意带上单位“一审二设三列四解五验六答”【知识点二 实际问题的解题思路】常见问题公式注意几何图形面积涉及的常见计算与证明有三角形的三边关系、三角形全等、勾股定理、各种规则图形的面积、体积或周长公式图形问题常将数量关系隐含在图形中，审题时需要结合图形分析，当所涉及的图形是不规则图形时，需割补成规则图形或用“求补”（即“总体—多余”）的方法来处理。平均增长率（降低率）问题a为起始量，b为终止量。n为增长（下降）的次数，平均增长率公式：（x为平均增长率）；平均降低率公式：（x为平均降低率）传播问题的本质与平均增长率问题相同。在传播问题中，a为传染源数。数字问题两位数=十位数上的数字×10+个位数上的数字三位数=百位上的数字×100+十位上的数字×10+个位上的数字用数位上的数字乘以它的计数单位，就可以将这个数表示出来。审题时一定要注意数与数字之间的联系与区别。商品销售问题利润=售价-进价；总利润=总售价—总成本=单件利润×总销量在理解的基础上记忆公式，针对实际问题理清各个量之间的关系。考查题型一 传播问题传播公式：（）【注意】此公式仅适用于一直在传播。【例1】有一个人患了流感，经过两轮传染后共有36人患了流感．（1）求每轮传染中平均一个人传染了几个人？（2）如果不及时控制，第三轮将又有多少人被传染？【答案】（1）5；（2）180【提示】（1）设平均一人传染了x人，根据有一人患了流感，经过两轮传染后共有36人患了流感，列方程求解即可；（2）根据每轮传染中平均一个人传染的人数和经过两轮传染后的人数，列出算式求解即可．【详解】（1）设每轮传染中平均一个人传染了x个人，根据题意得：x+1+（x+1）x＝36，解得：x＝5或x＝﹣7（舍去）．答：每轮传染中平均一个人传染了5个人；（2）根据题意得：5×36＝180（个），答：第三轮将又有180人被传染．【变式1-1】“埃博拉”病毒是一种能引起人类和灵长类动物产生“出血热”的烈性传染病毒，传染性极强，一日本游客在非洲旅游时不慎感染了“埃博拉”病毒，经过两轮传染后，共有121人受到感染，（1）问每轮传染中平均一个人传染了几个人？（2）如果得不到控制，按如此的传播速度，经过三轮后将有多少人受到感染？【答案】(1) 每轮传染中平均一个人传染了10个人;(2) 过三轮后将有1331人受到感染．【提示】（1）设每轮传染中平均一个人传染了x个人，根据经过两轮传染后共有121人受到感染，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；（2）将x=10代入（x+1）3中即可求出结论．【详解】（1）设每轮传染中平均一个人传染了x个人，根据题意得：（x+1）2=121解得：x1=10，x2=﹣12（不合题意，应舍去）．答：每轮传染中平均一个人传染了10个人．（2）当x=10时，（x+1）3=（10+1）3=1331．答：经过三轮后将有1331人受到感染．考查题型二 增长率问题增长率/公式：（）【例2】某市从2017年开始大力发展“竹文化”旅游产业．据统计，该市2017年“竹文化”旅游收入约为2亿元．预计2019“竹文化”旅游收入达到2.88亿元，据此估计该市2018年、2019年“竹文化”旅游收入的年平均增长率约为（ ）A．2% B．4.4% C．20% D．44%【答案】C【解析】设该市2018年、2019年“竹文化”旅游收入的年平均增长率为x，根据题意得：2（1+x）2=2.88，解得：x1=0.2=20%，x2=﹣2.2（不合题意，舍去）．答：该市2018年、2019年“竹文化”旅游收入的年平均增长率约为20%．【变式2-1】某公司今年1月份的生产成本是400万元，由于改进技术，生产成本逐月下降，3月份的生产成本是361万元．假设该公司2、3、4月每个月生产成本的下降率都相同．（1）求每个月生产成本的下降率；（2）请你预测4月份该公司的生产成本．【答案】（1）每个月生产成本的下降率为5%；（2）预测4月份该公司的生产成本为342.95万元．【详解】（1）设每个月生产成本的下降率为x，根据题意得：400（1﹣x）2=361，解得：x1=0.05=5%，x2=1.95（不合题意，舍去）．答：每个月生产成本的下降率为5%；（2）361×（1﹣5%）=342.95（万元），答：预测4月份该公司的生产成本为342.95万元．考查题型三 图形有关的问题【例3】如图，有一块矩形硬纸板，长，宽．在其四角各剪去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，可制成一个无盖长方体盒子．当剪去正方形的边长取何值时，所得长方体盒子的侧面积为？【答案】当剪去正方形的边长为cm时，所得长方体盒子的侧面积为．【详解】设剪去正方形的边长为，则做成无盖长方体盒子的底面长为，宽为，高为， 依题意，得： ，整理，得： ，解得： ，，当时，，不合题意，舍去，∴，答：当剪去正方形的边长为cm时，所得长方体盒子的侧面积为．【变式3-1】校园空地上有一面墙，长度为20m，用长为32m的篱笆和这面墙围成一个矩形花圃，如图所示．（1）能围成面积是126m2的矩形花圃吗？若能，请举例说明；若不能，请说明理由．（2）若篱笆再增加4m，围成的矩形花圃面积能达到170m2吗？请说明理由．【答案】（1）长为18米、宽为7米或长为14米、宽为9米；（2）若篱笆再增加4m，围成的矩形花圃面积不能达到170m2．【提示】（1）假设能，设AB的长度为x米，则BC的长度为（32﹣2x）米，再根据矩形面积公式列方程求解即可得到答案.（2）假设能，设AB的长度为y米，则BC的长度为（36﹣2y）米，再根据矩形面积公式列方程，求得方程无解，即假设不成立.【详解】（1）假设能，设AB的长度为x米，则BC的长度为（32﹣2x）米，根据题意得：x(32﹣2x)=126，解得：x1=7，x2=9，∴32﹣2x=18或32﹣2x=14，∴假设成立，即长为18米、宽为7米或长为14米、宽为9米．（2）假设能，设AB的长度为y米，则BC的长度为（36﹣2y）米，根据题意得：y(36﹣2y)=170，整理得：y2﹣18y+85=0．∵△=(﹣18)2﹣4×1×85=﹣16＜0，∴该方程无解，∴假设不成立，即若篱笆再增加4m，围成的矩形花圃面积不能达到170m2．【变式3-2】如图，某农场有一块长40m，宽32m的矩形种植地，为方便管理，准备沿平行于两边的方向纵、横各修建一条等宽的小路，要使种植面积为1140m2，求小路的宽．【答案】2m．【提示】设小路的宽为xm，将4块种植地平移为一个长方形，长为（40﹣x）m，宽为（32﹣x）m．根据长方形面积公式即可求出小路的宽．【详解】设小路的宽为xm，依题意有（40﹣x）（32﹣x）=1140，整理，得x2﹣72x+140=0．解得x1=2，x2=70（不合题意，舍去）．答：小路的宽应是2m．考查题型四 数字问题【例4】一个两位数，个位数字比十位数字大3，且个位数字的平方刚好等于这个两位数，求这个两位数是多少？【答案】这个两位数是36或25.【详解】解：设这个两位数的个位数字为x，则十位数字为(x-3)，由题意，得x2=10(x-3)+x.解得x1=6，x2=5.当x=6时，x-3=3；当x=5时，x-3=2.答：这个两位数是36或25.【变式4-1】读诗词解题：（通过列方程式，算出周瑜去世时的年龄【答案】周瑜去世的年龄为岁．【详解】解：设周瑜逝世时的年龄的个位数字为x，则十位数字为．由题意得；解得： 当时，周瑜的年龄岁，非而立之年，不合题意，舍去；当时，周瑜年龄为岁，完全符合题意．答：周瑜去世的年龄为岁．考查题型五 利润问题【例5】一商店销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元.为了扩大销售、增加盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件.（1）若降价3元，则平均每天销售数量为________件； （2）当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为1200元？【答案】（1）26；（2）每件商品降价10元时，该商店每天销售利润为1200元.【解析】（1）若降价3元，则平均每天销售数量为20+2×3=26件．（2）设每件商品应降价x元时，该商店每天销售利润为1200元．
根据题意，得 （40-x）（20+2x）=1200，
整理，得x2-30x+200=0，
解得：x1=10，x2=20．
∵要求每件盈利不少于25元，
∴x2=20应舍去，
∴x=10．答：每件商品应降价10元时，该商店每天销售利润为1200元．【变式5-1】我市茶叶专卖店销售某品牌茶叶，其进价为每千克 240 元，按每千克 400 元出售，平均每周可售出 200 千克，后来经过市场调查发现，单价每降低 10 元，则平均每周的销售量可增加 40 千克，若该专卖店销售这种品牌茶叶要想平均每周获利 41600 元，请回答：（1）每千克茶叶应降价多少元？（2）在平均每周获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的 几折出售？【答案】（1）每千克茶叶应降价30元或80元；（2）该店应按原售价的8折出售．【详解】（1）设每千克茶叶应降价x元．根据题意，得：（400﹣x﹣240）（200+×40）=41600．化简，得：x2﹣10x+240=0．解得：x1=30，x2=80．答：每千克茶叶应降价30元或80元．（2）由（1）可知每千克茶叶可降价30元或80元．因为要尽可能让利于顾客，所以每千克茶叶某应降价80元． 此时，售价为：400﹣80=320（元），．答：该店应按原售价的8折出售．实际应用取舍不当【例1】某商场将进价为每件8元的某种商品按每件18元出售，每天可卖500件，调查发现，若每件涨价1元，日销售量将减少20件，现该商场要保证每天盈利6000元，同时让顾客得到实惠，每件应涨价 元.【答案】5【详解】设每件应涨价元 根据题意得：（500-20x）（18-10+x）=6000解得：x1=5，x2=10同时让顾客得到实惠所以应涨价5元【易错总结】在用一元二次方程解决利润问题时，需注意题目中隐含条件：如减少库存或让利于民，限定成本或限定售价等。因审题不清忽视“累计”与“分计”【例2】某学校对毕业班同学三年来参加各项活动获奖情况进行统计，七年级时有48人次获奖，之后两年逐年增加，到九年级毕业时累计共有228人次获奖．求这两年中获奖人次的年平均增长率．【易错分析】把累计共有228人次获奖理解成九年级获奖的人次而出错．【详解】设这两年中获奖人次的平均年增长率为x，根据题意得：48＋48(1＋x)＋48(1＋x)2＝228，解得：x1＝＝50%，x2＝－(不符合题意，舍去).答：这两年中获奖人次的年平均年增长率为50%1．某种植基地2016年蔬菜产量为80吨，预计2018年蔬菜产量达到100吨，求蔬菜产量的年平均增长率，设蔬菜产量的年平均增长率为x，则可列方程为（ ）A．80（1+x）2=100 B．100（1﹣x）2=80 C．80（1+2x）=100 D．80（1+x2）=100【答案】A【详解】由题意知，蔬菜产量的年平均增长率为x，根据2016年蔬菜产量为80吨，则2017年蔬菜产量为80（1+x）吨，2018年蔬菜产量为80（1+x）（1+x）吨，预计2018年蔬菜产量达到100吨，即： 80（1+x）2=100，2．如图，某小区计划在一块长为32m，宽为20m的矩形空地上修建三条同样宽的道路，剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为570m2．若设道路的宽为xm，则下面所列方程正确的是（ ）A．（32﹣2x）（20﹣x）=570 B．32x+2×20x=32×20﹣570C．（32﹣x）（20﹣x）=32×20﹣570 D．32x+2×20x﹣2x2=570【答案】A【解析】六块矩形空地正好能拼成一个矩形，设道路的宽为xm，根据草坪的面积是570m2，即可列出方程:(32 2x)(20 x)=570，3．某中学组织初三学生篮球比赛，以班为单位，每两班之间都比赛一场，计划安排15场比赛，则共有多少个班级参赛？（ ）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】C【详解】设共有x个班级参赛，根据题意得：=15，解得：x1=6，x2=﹣5（不合题意，舍去），则共有6个班级参赛，4．为增强学生身体素质，提高学生足球运动竞技水平，我市开展“市长杯”足球比赛，赛制为单循环形式（每两队之间赛一场）．现计划安排21场比赛，应邀请多少个球队参赛？设邀请x个球队参赛，根据题意，可列方程为_____．【答案】x（x﹣1）=21【详解】有x个队，每个队都要赛（x﹣1）场，但两队之间只有一场比赛，由题意得：x（x﹣1）=21，5．如图，在一块长12m，宽8m的矩形空地上，修建同样宽的两条互相垂直的道路(两条道路各与矩形的一条平行)，剩余部分栽种花草，且栽种花草的面积77m ，设道路的宽为x m，则根据题意，可列方程为_______.【答案】（12-x）（8-x）=77【详解】道路的宽为x米．依题意得：(12-x)(8-x)=77，6．某药品原价每盒元，为了响应国家解决老百姓看病贵的号召，经过连续两次降价，现在售价每盒元，则该药品平均每次降价的百分率是______．【答案】20%【解析】解：设该药品平均每次降价的百分率是x，根据题意得25×（1-x）（1-x）=16，整理得，解得x=0.2或1.8（不合题意，舍去）；即该药品平均每次降价的百分率是20%．7．石狮泰禾某童装专卖店在销售中发现，一款童装每件进价为80元，销售价为120元时，每天可售出20件，为了迎接“十一”国庆节，商店决定采取适当的降价措施，以扩大销售量，增加利润，经市场调查发现，如果每件童装降价1元，那么平均可多售出2件．（1）设每件童装降价x元时，每天可销售______ 件，每件盈利______ 元；（用x的代数式表示）（2）每件童装降价多少元时，平均每天赢利1200元．（3）要想平均每天赢利2000元，可能吗？请说明理由．【答案】（1）（20+2x），（40﹣x）；（2）每件童装降价20元或10元，平均每天赢利1200元；（3）不可能做到平均每天盈利2000元．【详解】(1) 设每件童装降价x元时，每天可销售20+2x件，每件盈利40-x元，
故答案为（20+2x），（40-x）；根据题意可得：(20+2x)(40－x)=1200，解得：即每件童装降价10元或20元时，平均每天盈利1200元；(20+2x)(40－x)=2000， ， ∵此方程无解， ∴不可能盈利2000元．1．在一次酒会上，每两人都只碰一次杯，如果一共碰杯55次，则参加酒会的人数为（ ）A．9人 B．10人 C．11人 D．12人【答案】C【详解】设参加酒会的人数为x人，依题可得：
x（x-1）=55，
化简得：x2-x-110=0，
解得：x1=11，x2=-10（舍去），
2．某钢铁厂一月份生产钢铁560吨，从二月份起，由于改进操作技术，使得第一季度共生产钢铁1850吨，问二、三月份平均每月的增长率是多少？若设二、三月份平均每月的增长率为x，则可得方程（ ）A． B．C． D．【答案】D【解析】第一个月是560，第二个月是560（1+x），第三月是560（1+x）2，所以第一季度总计560+560（1+x）+560（1+x）2=1850，3．扬帆中学有一块长，宽的矩形空地，计划在这块空地上划出四分之一的区域种花，小禹同学设计方案如图所示，求花带的宽度．设花带的宽度为，则可列方程为（ ）A． B．C． D．【答案】D【详解】设花带的宽度为，则可列方程为，4．“2019新型冠状病毒”是一种较大传染性病毒，武汉华南海鲜市场最开始有1人感染，由于没有及时隔离，经过两轮传播，共有36人感染．（1）求每轮感染中平均一个人传染几个人？（2）如果按这样的传染速度，第三轮又新增多少人感染？【解答】（1）解：设平均每个人传染x个人，则根据题意得(1＋x)2＝36，解得x1＝5，x2＝－7(舍去)．答：平均每个人传染5个人．（2）解：第三轮新增36×5＝180人，答：第三轮新增180人感染病毒．5．如图，要利用一面墙(墙长为25米)建羊圈，用100米的围栏围成总面积为400平方米的三个大小相同的矩形羊圈，求羊圈的边长AB，BC各为多少米？【答案】羊圈的边长AB，BC分别是20米、20米.【解析】设AB的长度为x米，则BC的长度为（100﹣4x）米． 根据题意得 （100﹣4x）x=400，解得 x1=20，x2=5． 则100﹣4x=20或100﹣4x=80． ∵80＞25， ∴x2=5舍去． 即AB=20，BC=206．阅读下面内容，并解决问题：《名画》中的数学前苏联著名科学家别莱利曼在他所著的《趣味代数学》中介绍了波格达诺夫·别列斯基的《名画》，画上那位老师拉金斯基是一位自然科学教授，放弃了大学教席(教师职务)来到农村学校当一名普通老师．画中，黑板上写着一道式子，如图所示：从这道算式计算可以得出答案等于2，如果仔细一研究，10，11，12，13，14这几个数具有一种有趣的特性： ，而且．请解答以下问题：（1）还有没有其他像这样五个连续的整数，前三个数的平方和正好等于后两个数的平方和呢？如果有，请求出另外的五个连续的整数；（2）若七个连续整数前四个数的平方和等于后三个数的平方和，请直接写出符合条件的连续整数．【解析】（1）存在其他像这样五个连续的整数，前三个数的平方和正好等于后两个数的平方和．设x为这五个连续整数的第二个数．依题意列方程，得．化简，得．解这个方程，得，，∴五个连续的整数为10，11，12，13，14和－2，－1，0，1，2，前三个数的平方和正好等于后两个数的平方和．答：存在其他五个连续的整数－2，－1，0，1，2，前三个数的平方和正好等于后两个数的平方和．（2）设七个连续整数为n-3，n-2，n-1，n，n+1，n+2，n+3，根据题意得：
（n-1）2+（n-2）2+（n-3）2+n2=（n+1）2+（n+2）2+（n+3）2，
∴n2-24n=0
解得n=24或n=0，
当n=24时这五个数为21，22，23，24，25，26，27．
当n=0时这五个数为-3，-2，-1，0，1，2，3．
故答案为：符合条件的连续整数有两组：
第一组21，22，23，24，25，26，27；
第二组-3，-2，-1，0，1，2，3．辅导讲义
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授课主题 一元二次方程的应用
教学目标 掌握列一元二次方程解应用题的一般步骤；会分析实际问题中的数量关系，列出一元二次方程解决实际问题，并根据具体问题的实际意义，检验方程的解是否合理；分析和解决实际问题，体会一元二次方程的数学建模作用。
教学重难点 重点：掌握列一元二次方程解应用题的一般步骤难点：常见实际问题的数量关系及表示方法
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一个醉汉拿着一根竹竿进城，横着怎么也拿不进去，量竹竿长比城门宽4米，旁边一个醉汉嘲笑他，你没看城门高吗，竖着拿就可以进去啦，结果竖着比城门高2米，二人没办法，只好请教聪明人，聪明人教他们二人沿着门的对角斜着拿，二人一试，不多不少刚好进城，你知道竹竿有多长吗？【知识点一 列一元二次方程解应用题一般步骤】步骤内容摘要注意事项①审审清题意，明确已知和未知，知道它们之间的等量关系等量关系往往体现在关键词句中②设设未知数，一种是直接设法，另一种是间接设法一般要带单位③列用含有未知数的代数式表示有关的量，根据等量关系列出方程。方程两边单位要统一④解根据方程的特点，选择适当解法求出未知数的值。一般不必写出解方程的过程⑤验检验未知数的值是否满足所列方程，检验该值在实际问题中是否有意义。一般两个根中只有一个符合实际意义。⑥答写出实际问题的答案注意带上单位“一审二设三列四解五验六答”【知识点二 实际问题的解题思路】常见问题公式注意几何图形面积涉及的常见计算与证明有三角形的三边关系、三角形全等、勾股定理、各种规则图形的面积、体积或周长公式图形问题常将数量关系隐含在图形中，审题时需要结合图形分析，当所涉及的图形是不规则图形时，需割补成规则图形或用“求补”（即“总体—多余”）的方法来处理。平均增长率（降低率）问题a为起始量，b为终止量。n为增长（下降）的次数，平均增长率公式：（x为平均增长率）；平均降低率公式：（x为平均降低率）传播问题的本质与平均增长率问题相同。在传播问题中，a为传染源数。数字问题两位数=十位数上的数字×10+个位数上的数字三位数=百位上的数字×100+十位上的数字×10+个位上的数字用数位上的数字乘以它的计数单位，就可以将这个数表示出来。审题时一定要注意数与数字之间的联系与区别。商品销售问题利润=售价-进价；总利润=总售价—总成本=单件利润×总销量在理解的基础上记忆公式，针对实际问题理清各个量之间的关系。考查题型一 传播问题传播公式：（）【注意】此公式仅适用于一直在传播。【例1】有一个人患了流感，经过两轮传染后共有36人患了流感．（1）求每轮传染中平均一个人传染了几个人？（2）如果不及时控制，第三轮将又有多少人被传染？【变式1-1】“埃博拉”病毒是一种能引起人类和灵长类动物产生“出血热”的烈性传染病毒，传染性极强，一日本游客在非洲旅游时不慎感染了“埃博拉”病毒，经过两轮传染后，共有121人受到感染，（1）问每轮传染中平均一个人传染了几个人？（2）如果得不到控制，按如此的传播速度，经过三轮后将有多少人受到感染？考查题型二 增长率问题增长率/公式：（）【例2】某市从2017年开始大力发展“竹文化”旅游产业．据统计，该市2017年“竹文化”旅游收入约为2亿元．预计2019“竹文化”旅游收入达到2.88亿元，据此估计该市2018年、2019年“竹文化”旅游收入的年平均增长率约为（ ）A．2% B．4.4% C．20% D．44%【变式2-1】某公司今年1月份的生产成本是400万元，由于改进技术，生产成本逐月下降，3月份的生产成本是361万元．假设该公司2、3、4月每个月生产成本的下降率都相同．（1）求每个月生产成本的下降率；（2）请你预测4月份该公司的生产成本．考查题型三 图形有关的问题【例3】如图，有一块矩形硬纸板，长，宽．在其四角各剪去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，可制成一个无盖长方体盒子．当剪去正方形的边长取何值时，所得长方体盒子的侧面积为？【变式3-1】校园空地上有一面墙，长度为20m，用长为32m的篱笆和这面墙围成一个矩形花圃，如图所示．（1）能围成面积是126m2的矩形花圃吗？若能，请举例说明；若不能，请说明理由．（2）若篱笆再增加4m，围成的矩形花圃面积能达到170m2吗？请说明理由．【变式3-2】如图，某农场有一块长40m，宽32m的矩形种植地，为方便管理，准备沿平行于两边的方向纵、横各修建一条等宽的小路，要使种植面积为1140m2，求小路的宽．考查题型四 数字问题【例4】一个两位数，个位数字比十位数字大3，且个位数字的平方刚好等于这个两位数，求这个两位数是多少？【变式4-1】读诗词解题：（通过列方程式，算出周瑜去世时的年龄考查题型五 利润问题【例5】一商店销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元.为了扩大销售、增加盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件.（1）若降价3元，则平均每天销售数量为________件； （2）当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为1200元？【变式5-1】我市茶叶专卖店销售某品牌茶叶，其进价为每千克 240 元，按每千克 400 元出售，平均每周可售出 200 千克，后来经过市场调查发现，单价每降低 10 元，则平均每周的销售量可增加 40 千克，若该专卖店销售这种品牌茶叶要想平均每周获利 41600 元，请回答：（1）每千克茶叶应降价多少元？（2）在平均每周获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的 几折出售？实际应用取舍不当【例1】某商场将进价为每件8元的某种商品按每件18元出售，每天可卖500件，调查发现，若每件涨价1元，日销售量将减少20件，现该商场要保证每天盈利6000元，同时让顾客得到实惠，每件应涨价 元.因审题不清忽视“累计”与“分计”【例2】某学校对毕业班同学三年来参加各项活动获奖情况进行统计，七年级时有48人次获奖，之后两年逐年增加，到九年级毕业时累计共有228人次获奖．求这两年中获奖人次的年平均增长率．1．某种植基地2016年蔬菜产量为80吨，预计2018年蔬菜产量达到100吨，求蔬菜产量的年平均增长率，设蔬菜产量的年平均增长率为x，则可列方程为（ ）A．80（1+x）2=100 B．100（1﹣x）2=80 C．80（1+2x）=100 D．80（1+x2）=1002．如图，某小区计划在一块长为32m，宽为20m的矩形空地上修建三条同样宽的道路，剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为570m2．若设道路的宽为xm，则下面所列方程正确的是（ ）A．（32﹣2x）（20﹣x）=570 B．32x+2×20x=32×20﹣570C．（32﹣x）（20﹣x）=32×20﹣570 D．32x+2×20x﹣2x2=5703．某中学组织初三学生篮球比赛，以班为单位，每两班之间都比赛一场，计划安排15场比赛，则共有多少个班级参赛？（ ）A．4 B．5 C．6 D．74．为增强学生身体素质，提高学生足球运动竞技水平，我市开展“市长杯”足球比赛，赛制为单循环形式（每两队之间赛一场）．现计划安排21场比赛，应邀请多少个球队参赛？设邀请x个球队参赛，根据题意，可列方程为_____．5．如图，在一块长12m，宽8m的矩形空地上，修建同样宽的两条互相垂直的道路(两条道路各与矩形的一条平行)，剩余部分栽种花草，且栽种花草的面积77m ，设道路的宽为x m，则根据题意，可列方程为_______.6．某药品原价每盒元，为了响应国家解决老百姓看病贵的号召，经过连续两次降价，现在售价每盒元，则该药品平均每次降价的百分率是______．7．石狮泰禾某童装专卖店在销售中发现，一款童装每件进价为80元，销售价为120元时，每天可售出20件，为了迎接“十一”国庆节，商店决定采取适当的降价措施，以扩大销售量，增加利润，经市场调查发现，如果每件童装降价1元，那么平均可多售出2件．（1）设每件童装降价x元时，每天可销售______ 件，每件盈利______ 元；（用x的代数式表示）（2）每件童装降价多少元时，平均每天赢利1200元．（3）要想平均每天赢利2000元，可能吗？请说明理由．1．在一次酒会上，每两人都只碰一次杯，如果一共碰杯55次，则参加酒会的人数为（ ）A．9人 B．10人 C．11人 D．12人
2．某钢铁厂一月份生产钢铁560吨，从二月份起，由于改进操作技术，使得第一季度共生产钢铁1850吨，问二、三月份平均每月的增长率是多少？若设二、三月份平均每月的增长率为x，则可得方程（ ）A． B．C． D．3．扬帆中学有一块长，宽的矩形空地，计划在这块空地上划出四分之一的区域种花，小禹同学设计方案如图所示，求花带的宽度．设花带的宽度为，则可列方程为（ ）A． B．C． D．4．“2019新型冠状病毒”是一种较大传染性病毒，武汉华南海鲜市场最开始有1人感染，由于没有及时隔离，经过两轮传播，共有36人感染．（1）求每轮感染中平均一个人传染几个人？（2）如果按这样的传染速度，第三轮又新增多少人感染？5．如图，要利用一面墙(墙长为25米)建羊圈，用100米的围栏围成总面积为400平方米的三个大小相同的矩形羊圈，求羊圈的边长AB，BC各为多少米？6．阅读下面内容，并解决问题：《名画》中的数学前苏联著名科学家别莱利曼在他所著的《趣味代数学》中介绍了波格达诺夫·别列斯基的《名画》，画上那位老师拉金斯基是一位自然科学教授，放弃了大学教席(教师职务)来到农村学校当一名普通老师．画中，黑板上写着一道式子，如图所示：从这道算式计算可以得出答案等于2，如果仔细一研究，10，11，12，13，14这几个数具有一种有趣的特性： ，而且．请解答以下问题：（1）还有没有其他像这样五个连续的整数，前三个数的平方和正好等于后两个数的平方和呢？如果有，请求出另外的五个连续的整数；（2）若七个连续整数前四个数的平方和等于后三个数的平方和，请直接写出符合条件的连续整数．
