辅导讲义
学员姓名： 年 级：初二 课 时 数：3辅导科目：数学 学科教师： 讲义审核：
授课主题 一元二次方程总复习
教学目标 掌握一元二次方程的定义，一元二次方程的根；能够灵活运用一元二次方程的四种解法；掌握一元二次方程根的判别式和根与系数的关系；能够根据题意列一元二次方程。
教学重难点 重点：解方程，一元二次方程解应用题难点：（1）韦达定理的应用（2）配方法（3）利润问题
授课日期及时间
教学内容
一元二次方程是指含有一个未知数且未知数的最高次项是二次的整式方程。 在公元前两千年左右，一元二次方程及其解法已出现于古巴比伦人的泥板文书中：求出一个数使它与它的倒数之和等于一个已给数.可见巴比伦人已知道一元二次方程并知道了求根公式。但他们当时并不接受负数，所以负根是略而不提的。 埃及的纸草文书中也涉及到最简单的二次方程，在公元前4、5世纪时，古中国也已掌握了一元二次方程的求根公式。 希腊的丢番图（246-330）却只取二次方程的一个正根，即使遇到两个都是正根的情况，他亦只取其中之一。 公元628年，从印度的婆罗摩笈多写成的《婆罗摩修正体系》中，得到二次方程二次项系数为一的一个求根公式。 在阿拉伯阿尔．花拉子米的《代数学》中讨论到方程的解法，解出了一次、二次方程，其中涉及到六种不同的形式，令 a、b、c为正数。把二次方程分成不同形式作讨论，是依照丢番图的做法。阿尔．花拉子米除了给出二次方程的几种特殊解法外，还第一次给出二次方程的一般解法，承认方程有两个根，并有无理根存在，但却未有虚根的认识。十六世纪意大利的数学家们为了解三次方程而开始应用复数根。 韦达（1540-1603）除已知一元方程在复数范围内恒有解外，还给出根与系数的关系。我国《九章算术．勾股》章中的第二十题是通过求相当于的正根而解决的。我国数学家还在方程的研究中应用了内插法。【考点1 一元二次方程的概念】【方法点拨】解决此类问题掌握一元二次方程的定义是关键；等号两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的方程，叫做一元二次方程。【例1】下面关于的方程中：①；②；③；④； ⑤．一元二次方程的个数是 A．1 B．2 C．3 D．4【考点2 一元二次方程的解】【方法点拨】一元二次方程的解（根）的意义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值称为一元二次方程的解，解决此类问题，通常是将方程的根或解反代回去再进行求解.【例2】如果关于的一元二次方程有一个解是0，那么的值是 A．3 B． C． D．0或【考点3 用指定方法解一元二次方程】【方法点拨】解决此类问题需熟练掌握直接开方法、配方法、公式法、因式分解法的步骤.【例3】用指定的方法解下列方程：（直接开平方法） （2） （配方法）（公式法） （4）（因式分解法）【考点4 一元二次方程根的判别式】【方法点拨】解决此类问题需熟练掌握根的判别式：当①b2-4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根；②b2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根；③b2-4ac＜0时，方程无实数根，反之亦成立.【例4】已知关于的一元二次方程有两个实数根．（1）求的取值范围；（2）在（1）的条件下，若为最大的正整数，求此时方程的根．【考点5 一元二次方程根与系数的关系】【方法点拨】解决此类问题需熟练掌根与系数的关系，熟记两根之和与两根之积，并且能够灵活运用所学知识对代数式进行变形得到两根之和与两根之积的形式，代入即可求值.【例5】已知，是方程的两个根，不解方程，求下列代数式的值；（1）（2）【考点6 有关一元二次方程传播问题】【方法点拨】解有关一元二次方程的实际问题的一般步骤：第1步：审题。认真读题，分析题中各个量之间的关系。第2步：设未知数。根据题意及各个量的关系设未知数。第3步：列方程。根据题中各个量的关系列出方程。第4步：解方程。根据方程的类型采用相应的解法。第5步：检验。检验所求得的根是否满足题意。第6步：答。【例6】今年春季某地区流感爆发，开始时有4人患了流感，经过两轮传染后，共有196人患了流感．若每轮每人传染的人数相同，求每轮每人传染的人数．【考点7 有关一元二次方程面积问题】【例7】某农场要建一个饲养场（矩形两面靠现有墙位置的墙最大可用长度为27米，位置的墙最大可用长度为15米），另两边用木栏围成，中间也用木栏隔开，分成两个场地及一处通道，并在如图所示的三处各留1米宽的门（不用木栏）．建成后木栏总长45米．设饲养场（矩形的一边长为米．（1）饲养场另一边 米（用含的代数式表示）．（2）若饲养场的面积为180平方米，求的值．【考点8 有关一元二次方程增长率问题】【例8】“美化城市，改善人民居住环境”是城市建设的一项重要内容．北京市将重点围绕城市副中心、大兴国际机场、冬奥会、世园会、永定河、温榆河、南中轴等重要节点区域绿化，到2022年，全市将真正形成一片集“万亩城市森林、百万乔灌树木、百种乡土植物、二十四节气林窗、四季景观大道”于一体的城市森林．2018年当年计划新增造林23万亩，2019年计划新增造林面积大体相当于27.8个奥森公园的面积，预计2020年计划新增造林面积达到38.87万亩，求2018年至2020年计划新增造林面积的年平均增长率．【考点9 有关一元二次方程利润问题】【例9】某公司销售一种产品，进价为20元件，售价为80元件，公司为了促销，规定凡一次性购买10万件以上的产品，每多买1万件，每件产品的售价就减少2元，但售价最低不能低于50元件，设一次性购买万件（1）若，则售价应是 元件；（2）一次性购买多少件产品时，该公司的销售总利润为728万元；【考点10 有关一元二次方程动点问题】【例10】如图，在中，，，，动点从点出发，沿方向运动，动点从点出发，沿方向运动，如果点，的运动速度均为．那么运动几秒时，它们相距？的面积能等于60平方厘米吗？为什么？一商店销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元.为了扩大销售、增加盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件.（1）若降价3元，则平均每天销售数量为________件； （2）当每件商品售价多少元时，该商店每天销售利润为1200元？分别设售价与降价为未知量时有什么不一样的地方 1、【变式1-1】关于的方程是一元二次方程，则 A． B． C． D．2、【变式1-2】方程是关于的一元二次方程，则 A． B． C． D．3、【变式2-1】已知是方程的一个根，则代数式的值为 A．2022 B．2021 C．2020 D．20194、【变式3-1】按指定的方法解下列方程：（1）（配方法）（2）（因式分解法）（3）（公式法）（4）（直接开平方法）5、【变式4-1】关于的一元二次方程为（1）求证：无论为何实数，方程总有实数根；（2）为何整数时，此方程的两个根都为正数．6、【变式5-1】已知，是方程的两个实数根，求下列代数式的值．（1）；（2）；（3）．7、【变式6-1】某人过新年用手机向他的一些好朋友发短信，获得信息的人也按该人发送的人数再加1人向外发短信，经过两轮短信的发送共有35人手机上获得新年问候的同一条信息，问第一轮和第二轮各有多少人收到新年问候的短信？8、【变式7-1】如图所示，有一长方形的空地，长为米，宽为12米，建筑商把它分成甲、乙、丙三部分，甲和乙为正方形，现计划甲建筑成住宅区，乙建成商场，丙开辟成公园．（1）请用含的代数式表示正方形乙的边长： 米；（2）若丙地的面积为32平方米，请求出的值．9、【变式8-1】2019年中国北京世界园艺博览会于4月28日晚在北京延庆隆重开幕，本届世园会主题为“绿色生活、美丽家园”．自开园以来，世园会迎来了世界各国游客进园参观．据统计，仅五一小长假前来世园会打卡的游客就总计约32.7万人次．其中中国馆也是非常受欢迎的场馆．据调查，中国馆5月1日游览人数约为4万人，5月3日游览人数约为9万人，若5月1日到5月3日游客人数的日增长率相同，求中国馆这两天游客人数的日平均增长率是多少？10、【变式9-1】电商时代使得网购更加便捷和普及．小张响应国家号召，自主创业，开了家淘宝店．他购进一种成本为100元件的新商品，在试销中发现：销售单价（元与每天销售量（件之间满足如图所示的关系．（1）求与之间的函数关系式；（2）若某天小张销售该产品获得的利润为1200元，求销售单价的值．11、【变式10-1】如图，在矩形中，，，点从点出发沿以的速度向点移动；同时，点从点出发沿以的速度向点移动，几秒种后的面积为？1、【变式1-3】已知关于的方程是一元二次方程，则的值为 A．1 B． C． D．不能确定2、【变式2-3】是方程的根，则式子的值为 A．2017 B．2018 C．2019 D．20203、【变式3-2】按指定的方法解下列方程：（直接开平方法） （2）（配方法）（公式法） （4）（因式分解法）4、【变式4-3】已知是关于的一元二次方程（1）证明：此方程总有两个不相等的实数根；（2）若等腰的一边长，另两边长、是该方程的两个实数根，求的面积．5、【变式5-3】已知，是关于的一元二次方程的两实数根，且，恰好是另外两边的边长，已知等腰的一边长为7，求这个三角形的周长．6、【变式6-3】在一次聚会上，规定每两个人见面必须握手，且握手1次．（1）若参加聚会的人数为3，则共握手 次；若参加聚会的人数为5，则共握手 次；（2）若参加聚会的人数为为正整数），则共握手 次；（3）若参加聚会的人共握手28次，请求出参加聚会的人数．（4）嘉嘉由握手问题想到了一个数学问题：若线段上共有个点（不含端点，，线段总数为多少呢？请直接写出结论．7、【变式7-3】已知长方形硬纸板的长为，宽为，按如图所示剪掉2个小正方形和2个小长方形（即图中阴影部分），剩余部分恰好能折成一个有盖的长方体盒子，设剪掉的小正方形边长为．（纸板的厚度忽略不计）（1） ， ；（用含的代数式表示）（2）若折成的长方体盒子底面的面积为，求剪掉的小正方形的边长．8、【变式8-3】为响应国家全民阅读的号召，某社区鼓励居民到社区阅览室借阅读书，并统计每年的借阅人数和图书借阅总量（单位：本），该阅览室在2016年图书借阅总量是7500本，2018年图书借阅总量是10800本．（1）求该社区的图书借阅总量从2016年至2018年的年平均增长率；（2）已知2018年该社区居民借阅图书人数有1350人，预计2019年达到1440人，如果2018至2019年图书借阅总量的增长率不低于2016至2018年的年平均增长率，那么2019年的人均借阅量比2018年增长，求的值至少是多少？9、【变式9-3】某商店经销甲、乙两种商品，已知一件甲种商品和一件乙种商品的进价之和为30元，每件甲种商品的利润是4元，每件乙种商品的售价比其进价的2倍少11元，小明在该商店购买8件甲种商品和6件乙种商品一共用了262元．（1）求甲、乙两种商品的进价分别是多少元？（2）在（1）的前提下，经销商统计发现，平均每天可售出甲种商品400件和乙种商品300件，如果将甲种商品的售价每提高0.1元，则每天将少售出7件甲种商品；如果将乙种商品的售价每提高0.1元，则每天将少售出8件乙种商品．经销商决定把两种商品的价格都提高元，在不考虑其他因素的条件下，当为多少时，才能使该经销商每天销售甲、乙两种商品获取的利润共2500元？10、【变式10-3】如图，在矩形中，，，点从点出发沿线段、以的速度向终点运动；同时，点从点出发沿线段、以的速度向终点运动、两点中，只要有一点到达终点，则另一点运动立即停止）．（1）运动停止后，哪一点先到终点？另一点离终点还有多远？（2）在运动过程中，的面积能否等于？若能，需运动多长时间？若不能，请说明理由．辅导讲义
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授课主题 一元二次方程总复习
教学目标 掌握一元二次方程的定义，一元二次方程的根；能够灵活运用一元二次方程的四种解法；掌握一元二次方程根的判别式和根与系数的关系；能够根据题意列一元二次方程。
教学重难点 重点：解方程，一元二次方程解应用题难点：（1）韦达定理的应用（2）配方法（3）利润问题
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教学内容
一元二次方程是指含有一个未知数且未知数的最高次项是二次的整式方程。 在公元前两千年左右，一元二次方程及其解法已出现于古巴比伦人的泥板文书中：求出一个数使它与它的倒数之和等于一个已给数.可见巴比伦人已知道一元二次方程并知道了求根公式。但他们当时并不接受负数，所以负根是略而不提的。 埃及的纸草文书中也涉及到最简单的二次方程，在公元前4、5世纪时，古中国也已掌握了一元二次方程的求根公式。 希腊的丢番图（246-330）却只取二次方程的一个正根，即使遇到两个都是正根的情况，他亦只取其中之一。 公元628年，从印度的婆罗摩笈多写成的《婆罗摩修正体系》中，得到二次方程二次项系数为一的一个求根公式。 在阿拉伯阿尔．花拉子米的《代数学》中讨论到方程的解法，解出了一次、二次方程，其中涉及到六种不同的形式，令 a、b、c为正数。把二次方程分成不同形式作讨论，是依照丢番图的做法。阿尔．花拉子米除了给出二次方程的几种特殊解法外，还第一次给出二次方程的一般解法，承认方程有两个根，并有无理根存在，但却未有虚根的认识。十六世纪意大利的数学家们为了解三次方程而开始应用复数根。 韦达（1540-1603）除已知一元方程在复数范围内恒有解外，还给出根与系数的关系。我国《九章算术．勾股》章中的第二十题是通过求相当于的正根而解决的。我国数学家还在方程的研究中应用了内插法。【考点1 一元二次方程的概念】【方法点拨】解决此类问题掌握一元二次方程的定义是关键；等号两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的方程，叫做一元二次方程。【例1】下面关于的方程中：①；②；③；④； ⑤．一元二次方程的个数是 A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【详解】解：①ax2+x+2＝0，当a＝0时，该方程属于一元一次方程，故错误；②3（x﹣9）2﹣（x+1）2＝1、④（a2+a+1）x2﹣a＝0符合一元二次方程的定义，故正确；③属于分式方程，故错误；⑤属于无理方程，故错误；【考点2 一元二次方程的解】【方法点拨】一元二次方程的解（根）的意义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值称为一元二次方程的解，解决此类问题，通常是将方程的根或解反代回去再进行求解.【例2】如果关于的一元二次方程有一个解是0，那么的值是 A．3 B． C． D．0或【答案】B【详解】解：把x＝0代入方程（m﹣3）x2+3x+m2﹣9＝0中，得m2﹣9＝0，解得m＝﹣3或3，当m＝3时，原方程二次项系数m﹣3＝0，舍去，【考点3 用指定方法解一元二次方程】【方法点拨】解决此类问题需熟练掌握直接开方法、配方法、公式法、因式分解法的步骤.【例3】用指定的方法解下列方程：（直接开平方法） （2） （配方法）（公式法） （4）（因式分解法）【答案】解：（1）方程变形得：（x﹣1）2＝9，开方得：x﹣1＝3或x﹣1＝﹣3，解得：x1＝4，x2＝﹣2；（2）方程变形得：x2﹣x＝﹣，配方得：x2﹣x+＝（x﹣）2＝，开方得：x﹣＝±，则x1＝，x2＝；（3）方程整理得：x2﹣x﹣6＝0，a＝1，b＝﹣1，c＝﹣6，∵△＝1+24＝25，∴x＝，则x1＝3，x2＝﹣2；（4）分解因式得：（x+1）（2﹣x）＝0，解得：x1＝﹣1，x2＝2．【考点4 一元二次方程根的判别式】【方法点拨】解决此类问题需熟练掌握根的判别式：当①b2-4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根；②b2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根；③b2-4ac＜0时，方程无实数根，反之亦成立.【例4】已知关于的一元二次方程有两个实数根．（1）求的取值范围；（2）在（1）的条件下，若为最大的正整数，求此时方程的根．【答案】解：（1）由题意知△≥0，即4（a﹣1）2﹣4（a﹣2）（a+1）≥0，解得：a≤3，∴a≤3且a≠2；（2）由题意知a＝3，则方程为x2﹣4x+4＝0，解得：x1＝x2＝2．【考点5 一元二次方程根与系数的关系】【方法点拨】解决此类问题需熟练掌根与系数的关系，熟记两根之和与两根之积，并且能够灵活运用所学知识对代数式进行变形得到两根之和与两根之积的形式，代入即可求值.【例5】已知，是方程的两个根，不解方程，求下列代数式的值；（1）（2）【答案】解：∵x1，x2是方程3x2﹣3x﹣5＝0的两个根，∴x1+x2＝1，x1 x2＝﹣．（1）x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1x2＝12+2×＝．（2）＝＝＝﹣．【考点6 有关一元二次方程传播问题】【方法点拨】解有关一元二次方程的实际问题的一般步骤：第1步：审题。认真读题，分析题中各个量之间的关系。第2步：设未知数。根据题意及各个量的关系设未知数。第3步：列方程。根据题中各个量的关系列出方程。第4步：解方程。根据方程的类型采用相应的解法。第5步：检验。检验所求得的根是否满足题意。第6步：答。【例6】今年春季某地区流感爆发，开始时有4人患了流感，经过两轮传染后，共有196人患了流感．若每轮每人传染的人数相同，求每轮每人传染的人数．【答案】解：设每轮传染的人数是x人，根据题意得：4x+4+（4x+4）x＝196，解得：x＝6或x＝﹣8（不合题意，舍去）．答：每轮传染的人数是6个人．【考点7 有关一元二次方程面积问题】【例7】某农场要建一个饲养场（矩形两面靠现有墙位置的墙最大可用长度为27米，位置的墙最大可用长度为15米），另两边用木栏围成，中间也用木栏隔开，分成两个场地及一处通道，并在如图所示的三处各留1米宽的门（不用木栏）．建成后木栏总长45米．设饲养场（矩形的一边长为米．（1）饲养场另一边 米（用含的代数式表示）．（2）若饲养场的面积为180平方米，求的值．【答案】（1）由题意得：（48﹣3x）米．故答案是：（48﹣3x）；（2）由题意得：x（48﹣3x）＝180，解得x1＝6，x2＝10 【考点8 有关一元二次方程增长率问题】【例8】“美化城市，改善人民居住环境”是城市建设的一项重要内容．北京市将重点围绕城市副中心、大兴国际机场、冬奥会、世园会、永定河、温榆河、南中轴等重要节点区域绿化，到2022年，全市将真正形成一片集“万亩城市森林、百万乔灌树木、百种乡土植物、二十四节气林窗、四季景观大道”于一体的城市森林．2018年当年计划新增造林23万亩，2019年计划新增造林面积大体相当于27.8个奥森公园的面积，预计2020年计划新增造林面积达到38.87万亩，求2018年至2020年计划新增造林面积的年平均增长率．【答案】解：设2018年至2020年计划新增造林面积的年平均增长率为x，根据题意得23（1+x）2＝38.87，解得x1＝0.3＝30%，x2＝﹣2.3（不合题意，舍去）．答：2018年至2020年计划新增造林面积的年平均增长率为30%．【考点9 有关一元二次方程利润问题】【例9】某公司销售一种产品，进价为20元件，售价为80元件，公司为了促销，规定凡一次性购买10万件以上的产品，每多买1万件，每件产品的售价就减少2元，但售价最低不能低于50元件，设一次性购买万件（1）若，则售价应是 元件；（2）一次性购买多少件产品时，该公司的销售总利润为728万元；【答案】解：（1）由题意知，一次性购买x万件时，售价为80﹣2（x﹣10）＝100﹣2x（元/件），当x＝15时，100﹣2x＝70（元/件），故答案为：70；（2）根据题意知，（100﹣2x﹣20）x＝728，整理，得﹣2x2+80x＝728．解得x1＝26，x2＝14．因为100﹣2x≥50，所以10＜x≤25．所以x＝14符合题意．答：一次性购买14万件产品时，该公司的销售总利润为728万元．【考点10 有关一元二次方程动点问题】【例10】如图，在中，，，，动点从点出发，沿方向运动，动点从点出发，沿方向运动，如果点，的运动速度均为．那么运动几秒时，它们相距？的面积能等于60平方厘米吗？为什么？【答案】解：设运动t秒时，P，Q两点相距15厘米，依题意，得：t2+（21﹣t）2＝152，解得：t1＝9，t2＝12，∴运动秒或12秒时，P，Q两点相距12厘米．△PCQ的面积不能等于60平方厘米，理由如下：设运动x秒时，△PCQ的面积等于60平方厘米，依题意，得：x（21﹣x）＝60，整理，得：x2﹣21x+120＝0，∵△＝（﹣21）2﹣4×1×120＝﹣39＜0，∴原方程无解，即△PCQ的面积不能等于60平方厘米．一商店销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元.为了扩大销售、增加盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件.（1）若降价3元，则平均每天销售数量为________件； （2）当每件商品售价多少元时，该商店每天销售利润为1200元？分别设售价与降价为未知量时有什么不一样的地方 1、【变式1-1】关于的方程是一元二次方程，则 A． B． C． D．【答案】D【详解】解：∵关于x的方程（a﹣1）x2﹣3x+2＝0是一元二次方程，∴a﹣1≠0，∴a≠1，2、【变式1-2】方程是关于的一元二次方程，则 A． B． C． D．【答案】B【详解】解：由题意得：|m|＝2且m+2≠0，由解得得m＝±2且m≠﹣2，∴m＝2．3、【变式2-1】已知是方程的一个根，则代数式的值为 A．2022 B．2021 C．2020 D．2019【答案】B【详解】解：∵m是方程x2﹣2x﹣1＝0的一个根，∴m2﹣2m﹣1＝0，∴m2﹣2m＝1，∴2m2﹣4m+2019＝2（m2﹣2m）+2019＝2×1+2019＝2021．4、【变式3-1】按指定的方法解下列方程：（1）（配方法）（2）（因式分解法）（3）（公式法）（4）（直接开平方法）【答案】解：（1）x2﹣6x﹣7＝0x2﹣6x+9＝7+9（x﹣3）2＝16x﹣3＝±4x1＝7，x2＝﹣1；（2）2x﹣6＝（x﹣3）2（x﹣3）（x﹣3﹣2）＝0x1＝3，x2＝5；（3）3x2﹣4x+1＝0x＝x1＝1，x2＝；（4）5（x+1）2＝10x+1＝±x1＝﹣1，x2＝﹣﹣1．5、【变式4-1】关于的一元二次方程为（1）求证：无论为何实数，方程总有实数根；（2）为何整数时，此方程的两个根都为正数．【答案】（1）证明：△＝（﹣2）2﹣4×[﹣m（m+2）]＝4m2+8m+4＝4（m+1）2，∵4（m+1）2≥0，∴△≥0，∴无论m为何实数，方程总有实数根；（2）解：x＝＝1±（m+1），所以x1＝m+2，x2＝﹣m，根据题意得m+2＞0且﹣m＞0，所以﹣2＜m＜0，所以整数m为﹣1．6、【变式5-1】已知，是方程的两个实数根，求下列代数式的值．（1）；（2）；（3）．【答案】解：∵m，n是方程x2﹣x﹣2014＝0的两个实数根，∴m+n＝1，mn＝﹣2014，m2﹣m＝2014．（1）m2﹣m+2015＝2014+2015＝4029；（2）（m2﹣m）（m﹣+1）＝（m2﹣m）×（m+n+1）＝2014×2＝4028；（3）m2﹣2m﹣n+2014＝（m2﹣m）﹣（m+n）+2014＝2014﹣1+2014＝4027．7、【变式6-1】某人过新年用手机向他的一些好朋友发短信，获得信息的人也按该人发送的人数再加1人向外发短信，经过两轮短信的发送共有35人手机上获得新年问候的同一条信息，问第一轮和第二轮各有多少人收到新年问候的短信？【答案】解：设第一轮中某人向x人发短信，获得短信的x人，每人向外发（x+1）条短信，由题意得，x+x（x+1）＝35，整理x2+2x﹣35＝0，解得x1＝5，x2＝﹣7（舍去）．答：第一轮5人收到短信，第二轮有30人收到短信．8、【变式7-1】如图所示，有一长方形的空地，长为米，宽为12米，建筑商把它分成甲、乙、丙三部分，甲和乙为正方形，现计划甲建筑成住宅区，乙建成商场，丙开辟成公园．（1）请用含的代数式表示正方形乙的边长： 米；（2）若丙地的面积为32平方米，请求出的值．【答案】解：（1）因为甲和乙为正方形，结合图形可得丙的长为：（x﹣12）米．同样乙的边长也为（x﹣12）米故答案是：（x﹣12）；（2）结合（1）得，丙的宽为（24﹣x），所以丙的面积为：（x﹣12）（24﹣x）列方程得，（x﹣12）（24﹣x）＝32解方程得x1＝20，x2＝16．9、【变式8-1】2019年中国北京世界园艺博览会于4月28日晚在北京延庆隆重开幕，本届世园会主题为“绿色生活、美丽家园”．自开园以来，世园会迎来了世界各国游客进园参观．据统计，仅五一小长假前来世园会打卡的游客就总计约32.7万人次．其中中国馆也是非常受欢迎的场馆．据调查，中国馆5月1日游览人数约为4万人，5月3日游览人数约为9万人，若5月1日到5月3日游客人数的日增长率相同，求中国馆这两天游客人数的日平均增长率是多少？【答案】解：设中国馆这两天游客人数的日平均增长率为x，由题意得：4（1+x）2＝9解得x1＝，x2＝﹣（舍去）答：中国馆这两天游客人数的日平均增长率为50%．10、【变式9-1】电商时代使得网购更加便捷和普及．小张响应国家号召，自主创业，开了家淘宝店．他购进一种成本为100元件的新商品，在试销中发现：销售单价（元与每天销售量（件之间满足如图所示的关系．（1）求与之间的函数关系式；（2）若某天小张销售该产品获得的利润为1200元，求销售单价的值．【答案】解：（1）设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b（k≠0），由所给函数图象可知：，解得：．故y与x的函数关系式为y＝﹣x+180；（2）由题意得：（﹣x+180）（x﹣100）＝1200，解得：x＝120，或x＝160．答：某天小张销售该产品获得的利润为1200元，则销售单价为120元或160元．11、【变式10-1】如图，在矩形中，，，点从点出发沿以的速度向点移动；同时，点从点出发沿以的速度向点移动，几秒种后的面积为？【答案】解：设运动x秒钟后△DPQ的面积为31cm2，则AP＝xcm，BP＝（6﹣x）cm，BQ＝2xcm，CQ＝（12﹣2x）cm，S△DPQ＝S矩形ABCD﹣S△ADP﹣S△CDQ﹣S△BPQ，＝AB BC﹣AD AP﹣CD CQ﹣BP BQ，＝6×12﹣×12x﹣×6（12﹣2x）﹣（6﹣x） 2x，＝x2﹣6x+36＝31，解得：x1＝1，x2＝5．答：运动1秒或5秒后△DPQ的面积为31cm2．1、【变式1-3】已知关于的方程是一元二次方程，则的值为 A．1 B． C． D．不能确定【答案】A【详解】解：∵关于x的方程是一元二次方程，∴m+1≠0，m2+1＝2，解得：m＝1．2、【变式2-3】是方程的根，则式子的值为 A．2017 B．2018 C．2019 D．2020【答案】C【详解】解：∵m是方程x2+x﹣1＝0的根，∴m2+m＝1∵m3+2m2+2018＝m3+m2+m2+2018＝m（m2+m）+m2+2018＝m+m2+2018＝1+2018＝2019．3、【变式3-2】按指定的方法解下列方程：（直接开平方法） （2）（配方法）（公式法） （4）（因式分解法）【答案】解：（1））（2x﹣1）2﹣32＝0整理，得（2x﹣1）2＝64，2x﹣1＝±8，解得：x1＝，x2＝﹣；（2）3x2+4x+1＝03x2+4x＝﹣1，x2+x＝﹣，x2+x+＝﹣+，（x+）2＝x+＝±，解得：x1＝﹣，x2＝﹣1；（3）x2﹣x﹣7＝0b2﹣4ac＝（﹣1）2﹣4×（﹣7）＝29，x＝，解得：x1＝，x2＝；（4）x2﹣1＝3x﹣3，x2﹣1﹣3x+3＝0，（x+1）（x﹣1）﹣3（x﹣1）＝0，（x﹣1）（x+1﹣3）＝0，x﹣1＝0，x﹣2＝0，解得：x1＝1，x2＝2．4、【变式4-3】已知是关于的一元二次方程（1）证明：此方程总有两个不相等的实数根；（2）若等腰的一边长，另两边长、是该方程的两个实数根，求的面积．【答案】（1）证明：△＝（﹣8）2﹣4×（16﹣m2）＝4m2，∵m≠0，∴m2＞0，∴△＞0，∴此方程总有两个不相等的实数根；（2）解：∵x＝4±m，即b＝4+m，c＝4﹣m，当b＝a时，4+m＝6，解得m＝2，即a＝b＝6，c＝2，底边上的高为＝，所以△ABC的面积＝×2×＝；当c＝a时，4﹣m＝6，解得m＝﹣2，即a＝c＝6，b＝2，底边上的高为＝，所以△ABC的面积＝×2×＝，即△ABC的面积为．5、【变式5-3】已知，是关于的一元二次方程的两实数根，且，恰好是另外两边的边长，已知等腰的一边长为7，求这个三角形的周长．【答案】解：∵x1，x2恰好是△ABC另外两边的边长，而等腰△ABC的一边长为7，∴x＝7必是一元二次方程x2﹣2（m+1）x+m2+5＝0的一个解，把x＝7代入方程得49﹣14（m+1）+m2+5＝0，整理得m2﹣14m+40＝0，解得m1＝10，m2＝4，当m＝10时，x1+x2＝2（m+1）＝22，解得x2＝15，而7+7＜15，故舍去；当m＝4时，x1+x2＝2（m+1）＝10，解得x2＝3，则三角形周长为3+7+7＝17；若x1＝x2，则m＝2，方程化为x2﹣6x+9＝0，解得x1＝x2＝3，则3+3＜7，故舍去，所以这个三角形的周长为17．6、【变式6-3】在一次聚会上，规定每两个人见面必须握手，且握手1次．（1）若参加聚会的人数为3，则共握手 次；若参加聚会的人数为5，则共握手 次；（2）若参加聚会的人数为为正整数），则共握手 次；（3）若参加聚会的人共握手28次，请求出参加聚会的人数．（4）嘉嘉由握手问题想到了一个数学问题：若线段上共有个点（不含端点，，线段总数为多少呢？请直接写出结论．【答案】解：（1）3×（3﹣1）÷2＝3，5×（5﹣1）÷2＝10．故答案为：3；10．（2）∵参加聚会的人数为n（n为正整数），∴每人需跟（n﹣1）人握手，∴共握手n（n﹣1）次．故答案为：n（n﹣1）．（3）依题意，得：n（n﹣1）＝28，整理，得：n2﹣n﹣56＝0，解得：n1＝8，n2＝﹣7（不合题意，舍去）．答：参加聚会的人数为8人．（4）∵线段AB上共有m个点（不含端点A，B），∴可当成共有（m+2）个人握手，∴线段总数为（m+2）（m+1）．7、【变式7-3】已知长方形硬纸板的长为，宽为，按如图所示剪掉2个小正方形和2个小长方形（即图中阴影部分），剩余部分恰好能折成一个有盖的长方体盒子，设剪掉的小正方形边长为．（纸板的厚度忽略不计）（1） ， ；（用含的代数式表示）（2）若折成的长方体盒子底面的面积为，求剪掉的小正方形的边长．【答案】解：（1）EF＝AB﹣AE﹣BF＝（30﹣2x）cm，GH＝BC﹣BG＝（20﹣x）cm．故答案为：（30﹣2x）；（20﹣x）．（2）依题意，得：（30﹣2x）（20﹣x）＝300，整理，得：x2﹣35x+150＝0，解得：x1＝5，x2＝30（不合题意，舍去）．答：剪掉的小正方形的边长为5cm．8、【变式8-3】为响应国家全民阅读的号召，某社区鼓励居民到社区阅览室借阅读书，并统计每年的借阅人数和图书借阅总量（单位：本），该阅览室在2016年图书借阅总量是7500本，2018年图书借阅总量是10800本．（1）求该社区的图书借阅总量从2016年至2018年的年平均增长率；（2）已知2018年该社区居民借阅图书人数有1350人，预计2019年达到1440人，如果2018至2019年图书借阅总量的增长率不低于2016至2018年的年平均增长率，那么2019年的人均借阅量比2018年增长，求的值至少是多少？【答案】解：（1）设该社区的图书借阅总量从2016年至2018年的年平均增长率为x，依题意，得：7500（1+x）2＝10800，解得：x1＝0.2＝20%，x1＝﹣2.2（舍去）．答：该社区的图书借阅总量从2016年至2018年的年平均增长率为20%．（2）依题意，得：×（1+a%）×1440≥10800×（1+20%），解得：a≥12.5．答：a的值至少是12.5．9、【变式9-3】某商店经销甲、乙两种商品，已知一件甲种商品和一件乙种商品的进价之和为30元，每件甲种商品的利润是4元，每件乙种商品的售价比其进价的2倍少11元，小明在该商店购买8件甲种商品和6件乙种商品一共用了262元．（1）求甲、乙两种商品的进价分别是多少元？（2）在（1）的前提下，经销商统计发现，平均每天可售出甲种商品400件和乙种商品300件，如果将甲种商品的售价每提高0.1元，则每天将少售出7件甲种商品；如果将乙种商品的售价每提高0.1元，则每天将少售出8件乙种商品．经销商决定把两种商品的价格都提高元，在不考虑其他因素的条件下，当为多少时，才能使该经销商每天销售甲、乙两种商品获取的利润共2500元？【答案】解：（1）设甲种商品的进价是x元，乙种商品的进价是y元，依题意有，解得．故甲种商品的进价是16元，乙种商品的进价是14元；（2）依题意有：（400﹣10a×7）（4+a）+（300﹣10a×8）（14×2﹣11﹣14+a）＝2500，整理，得150a2﹣180a＝0，解得a1＝，a2＝0（舍去）．故当a为时，才能使该经销商每天销售甲、乙两种商品获取的利润共2500元．10、【变式10-3】如图，在矩形中，，，点从点出发沿线段、以的速度向终点运动；同时，点从点出发沿线段、以的速度向终点运动、两点中，只要有一点到达终点，则另一点运动立即停止）．（1）运动停止后，哪一点先到终点？另一点离终点还有多远？（2）在运动过程中，的面积能否等于？若能，需运动多长时间？若不能，请说明理由．【答案】解：（1）点P从开始到运动停止用的时间为：（12+6）÷2＝9s，点Q从开始到运动停止用的时间为：（6+12）÷1＝18s，∵9＜18，只要有一点到达终点，则另一点运动立即停止，∴点P先到终点，此时点Q离终点的距离是：（6+12）﹣1×9＝9cm，答：点P先到终点，此时点Q离终点的距离是9cm；（2）在运动过程中，△APQ的面积能等于22cm2，当P从点B运动到点C的过程中，设点P运动时间为as，∵△APQ的面积能否等于22cm2，∴12×6﹣＝22，解得，此方程无解；当点P从C到D的过程中，设点P运动的时间为（b+6）s，∵△APQ的面积能否等于22cm2，∴12×6﹣＝22，解得，b1＝1，b2＝14（舍去），即需运动6+1＝7s，△APQ的面积能否等于22cm2．
