辅导讲义
学员姓名： 年 级：初二 课 时 数：3辅导科目：数学 学科教师： 讲义审核：
授课主题 一元二次方程
教学目标 掌握一元二次方程的解法（公式法和因式分解法）；能够灵活运用根的判别式；3、掌握一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）。
教学重难点 重点：掌握一元二次方程的解法（公式法和因式分解法）；难点：学会总结一元二次方程的知识点。
授课日期及时段
教学内容
前两天悄悄地听到小明和小青的一段对话，内容如下：小明：小青，我有一个秘密，你想听吗？小青：什么秘密？小明：你知道咱们可爱的张老师年龄到底有多大吗？小青：哦？小明：呵呵，这绝对是个秘密，我不能直接告诉你，我这么说吧：她的年龄啊是方程的两根的积，回去你把两根求出来就知道了．小青：咳，你难不住我，我不用求根就已经知道答案了，而且我还告诉你，张老师的年龄还是方程的两根的和呢．小明：哈哈，你太有才了．对了，咱们应该也让同学们猜一猜，不解方程，能不能求出张老师的年龄．【知识点一 公式法】求根公式：当时，一元二次方程方程的实数很可写为，这个式子叫做一元二次方程的求根公式。①当时，一元二次方程的两个跟可以分别写为： ，。②当时，一元二次方程的两个跟可以写为：。【方法点拨】用公式法解一元二次方程的一般步骤：（1）把方程化为一般形式，确定a、b、c的值(若系数是分数通常将其化为整数，方便计算);（2）求出的值，根据其值的情况确定一元二次方程是否有解;（3）如果， 将a、b、c的值代入求根公式：（4）最后求出x1，x2【例1】 x=是下列哪个一元二次方程的根（ ）A．3x2+5x+1=0 B．3x2﹣5x+1=0 C．3x2﹣5x﹣1=0 D．3x2+5x﹣1=0【变式1-1】用公式法解下列方程（1）x2﹣6x﹣8＝0． （2）2x2﹣4x﹣3＝0． ， a=2，b=-4，c=-3，， △=16+24=40＞0， ∴， ∴ ，∴【知识点二 根的判别式】根的判别式：一般地，在一元二次方程中，我们把叫做一元二次方程的跟的判别式。用符号“”表示，即 。一元二次方程根的情况与的具体关系如下： 方程有两个不相等的实数根。 方程有两个相等的实数根。 方程没有实数根。【例2】下列对一元二次方程x2+x﹣3=0根的情况的判断，正确的是（ ）A．有两个不相等实数根 B．有两个相等实数根C．有且只有一个实数根 D．没有实数根【变式2-1】关于的方程有实数根，则满足（ ）A． B．且 C．且 D．【知识点三 用因式分解法求一元二次方程】1、因式分解法：先对的左边进行因式分解，使方程化为两个一次式的成绩等于0的形式。2、用因式分解一元二次方程的一般步骤：（1）移项：将方程右边的各项移到方程左边，使方程右边为0；（2）分解：将方程左边分解为两个一次因式相乘的形式；（3）转化：令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；（4）求解归纳：右化零，左分解，两因式，各求解3、常见类型求解方法常见类型因式分解为方程的解（提取公因式），（平方差公式），（完全平方公式）（a,b为常数）（十字相乘法），【例3】用因式分解法解方程，下列方法中正确的是（ ）A．，∴或B．，∴或C．，∴或D．，∴【变式3-1】已知一元二次方程x2-8x+15=0的两个解恰好分别是等腰△ABC的底边长和腰长，则△ABC的周长为（ ）A．13 B．11或13 C．11 D．12【变式3-2】用因式分解法解一元二次方程（1） （2）（3）x2+x-12=0【知识点四 一元二次方程根与系数的关系】 如果方程的两个实数根是，那么，（韦达定理）。<推导过程>一元二次方程的两根是：．由此可得，．【例4】关于的方程的一个根是，则它的另一个根是（ ）A．3 B． C． D．【变式4-1】已知α，β是一元二次方程x2+x﹣2=0的两个实数根，则α+β﹣αβ的值是（ ）A．3 B．1 C．﹣1 D．﹣3运用公式法解方程时，未将方程化为一般形式【例1】 【错误做法】【正确做法】移项得：运用根与系数的关系时，忽视二次项系数和判别式的条件【例3】已知，是关于的一元二次方程的两个不相等的实根，且满足，则的值是( )A．2 B．3 C．2或3 D．－2或－31．关于x的一元二次方程x2+8x+q=0有两个不相等的实数根，则q的取值范围是( )A．q<16 B．q>16 C．q≤4 D．q≥42．已知m、n、4分别是等腰三角形(非等边三角形)三边的长，且m、n是关于x的一元二次方程﹣6+k+2=0的两个根，则k的值等于( )A．7 B．7或6 C．6或﹣7 D．63．设a、b是两个整数，若定义一种运算“△”，a△b＝a2＋b2＋ab，则方程（x＋2）△x＝4的实数根是（ ）A．x1＝x2＝1 B．x1＝0，x2＝1C．x1＝x2＝－1 D．x1＝0，x2＝－24．已知：x1，x2是方程2x2＋x－2＝0的两实根，则x12＋x22的值为（ ）A． B． C．1 D．95．已知关于的方程的一个解为，则它的另一个解是__________．6．解方程：（1）（用配方法）；（2）（用公式法）．7．关于x的方程x2﹣2（k﹣1）x+k2＝0有两个实数根x1、x2．（1）求k的取值范围；（2）若x1+x2＝1﹣x1x2，求k的值．.1．解方程最适当的方法是（ ）A．直接开平方法 B．配方法 C．因式分解法 D．公式法2．已知 (均为常数，且)，则一元二次方程根的情况是（ ）A．有两个不相等的实数根 B．有两个实数根C．有两个相等的实数根 D．无实数根3．如果关于x的一元二次方程kx2﹣4x-1=0有实数根，那么k应满足的条件是（ ）A．k＞-4 B．且C．且 D．k≤14．已知矩形的长和宽是方程的两个实数根，则矩形的对角线的长为（ ）A． B．C． D．5．定义运算：a*b＝2ab，若a、b是方程x2+x﹣m＝0（m＞0）的两个根，则（a+1）*b+2a的值为（ ）A．m B．2﹣2mC．2m﹣2 D．﹣2m﹣26．若关于x的一元二次方程的两根是，则的值为( )A． B． C． D．7．已知是方程的两个实数根，则式子的值为________．8．小明同学在解一元次方程时，他是这样做的：解一元二次方程解： ...第一步 ...第二步 ...第三步 ...第四步小明的解法从第几步开始出现错误，请你写出正确的求解过程．【解析】第一步开始错误，，．9．已知关于x的一元二次方程（1）求证：无论实数 m 取何值，方程总有两个实数根；（2）若方程有一个根的平方等于 9，求m的值．10．计算：（1）（2－1）2－（＋）（－）（2）（x＋1）2＝6x＋6辅导讲义
学员姓名： 年 级：初二 课 时 数：3辅导科目：数学 学科教师： 讲义审核：
授课主题 一元二次方程
教学目标 掌握一元二次方程的解法（公式法和因式分解法）；能够灵活运用根的判别式；3、掌握一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）。
教学重难点 重点：掌握一元二次方程的解法（公式法和因式分解法）；难点：学会总结一元二次方程的知识点。
授课日期及时段
教学内容
前两天悄悄地听到小明和小青的一段对话，内容如下：小明：小青，我有一个秘密，你想听吗？小青：什么秘密？小明：你知道咱们可爱的张老师年龄到底有多大吗？小青：哦？小明：呵呵，这绝对是个秘密，我不能直接告诉你，我这么说吧：她的年龄啊是方程的两根的积，回去你把两根求出来就知道了．小青：咳，你难不住我，我不用求根就已经知道答案了，而且我还告诉你，张老师的年龄还是方程的两根的和呢．小明：哈哈，你太有才了．对了，咱们应该也让同学们猜一猜，不解方程，能不能求出张老师的年龄．【知识点一 公式法】求根公式：当时，一元二次方程方程的实数很可写为，这个式子叫做一元二次方程的求根公式。①当时，一元二次方程的两个跟可以分别写为： ，。②当时，一元二次方程的两个跟可以写为：。【方法点拨】用公式法解一元二次方程的一般步骤：（1）把方程化为一般形式，确定a、b、c的值(若系数是分数通常将其化为整数，方便计算);（2）求出的值，根据其值的情况确定一元二次方程是否有解;（3）如果， 将a、b、c的值代入求根公式：（4）最后求出x1，x2【例1】 x=是下列哪个一元二次方程的根（ ）A．3x2+5x+1=0 B．3x2﹣5x+1=0 C．3x2﹣5x﹣1=0 D．3x2+5x﹣1=0【答案】D【详解】一元二次方程的求根公式是，对四个选项一一代入求根公式，正确的是D.【变式1-1】用公式法解下列方程（1）x2﹣6x﹣8＝0． （2）2x2﹣4x﹣3＝0． ， a=2，b=-4，c=-3，， △=16+24=40＞0， ∴， ∴ ，∴【知识点二 根的判别式】根的判别式：一般地，在一元二次方程中，我们把叫做一元二次方程的跟的判别式。用符号“”表示，即 。一元二次方程根的情况与的具体关系如下： 方程有两个不相等的实数根。 方程有两个相等的实数根。 方程没有实数根。【例2】下列对一元二次方程x2+x﹣3=0根的情况的判断，正确的是（ ）A．有两个不相等实数根 B．有两个相等实数根C．有且只有一个实数根 D．没有实数根【答案】A【详解】∵a=1，b=1，c=﹣3，∴△=b2﹣4ac=12﹣4×（1）×（﹣3）=13＞0，∴方程x2+x﹣3=0有两个不相等的实数根，【变式2-1】关于的方程有实数根，则满足（ ）A． B．且 C．且 D．【答案】A【详解】当a=5时，原方程变形为-4x-1=0，解得x=-；当a≠5时，△=（-4）2-4（a-5）×（-1）≥0，解得a≥1，即a≥1且a≠5时，方程有两个实数根，所以a的取值范围为a≥1．【知识点三 用因式分解法求一元二次方程】1、因式分解法：先对的左边进行因式分解，使方程化为两个一次式的成绩等于0的形式。2、用因式分解一元二次方程的一般步骤：（1）移项：将方程右边的各项移到方程左边，使方程右边为0；（2）分解：将方程左边分解为两个一次因式相乘的形式；（3）转化：令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；（4）求解归纳：右化零，左分解，两因式，各求解3、常见类型求解方法常见类型因式分解为方程的解（提取公因式），（平方差公式），（完全平方公式）（a,b为常数）（十字相乘法），【例3】用因式分解法解方程，下列方法中正确的是（ ）A．，∴或B．，∴或C．，∴或D．，∴【答案】A【解析】用因式分解法时，方程的右边为0，才可以达到化为两个一次方程的目的．因此第二、第三个不对，第四个漏了一个一次方程，应该是x＝0，x＋2＝0．所以第一个正确．【变式3-1】已知一元二次方程x2-8x+15=0的两个解恰好分别是等腰△ABC的底边长和腰长，则△ABC的周长为（ ）A．13 B．11或13 C．11 D．12【答案】B【解析】x2-8x+15=0，分解因式得：（x-3）（x-5）=0，可得x-3=0或x-5=0，解得：x1=3，x2=5，若3为底边，5为腰时，三边长分别为3，5，5，周长为3+5+5=13；若3为腰，5为底边时，三边长分别为3，3，5，周长为3+3+5=11，综上，△ABC的周长为11或13．【变式3-2】用因式分解法解一元二次方程（1） （2）x=0或x+2=0， 解得x1=0，x2=-2． 解得,（3）x2+x-12=0（x+4）（x﹣3），x+4=0或x﹣3=0解得：x1=﹣4，x2=3．【知识点四 一元二次方程根与系数的关系】 如果方程的两个实数根是，那么，（韦达定理）。<推导过程>一元二次方程的两根是：．由此可得，．【例4】关于的方程的一个根是，则它的另一个根是（ ）A．3 B． C． D．【答案】C【提示】先将代入方程，求出m的值；再解一元二次方程组求出另一个根即可.【详解】解：将代入方程得： ，解得： 将代入原方程： 方法一：解方程组，得：，方法二：根据根与系数的关系： 可知：∴ 【变式4-1】已知α，β是一元二次方程x2+x﹣2=0的两个实数根，则α+β﹣αβ的值是（ ）A．3 B．1 C．﹣1 D．﹣3【答案】B【提示】根据根与系数的关系得α+β=﹣1，αβ=﹣2，求出α+β和αβ的值，再把要求的式子进行整理，即可得出答案．【详解】∵α，β是方程x2+x﹣2=0的两个实数根，∴α+β=﹣1，αβ=﹣2，∴α+β﹣αβ=﹣1-（-2）=-1+2=1，运用公式法解方程时，未将方程化为一般形式【例1】 【错误做法】【正确做法】移项得：运用根与系数的关系时，忽视二次项系数和判别式的条件【例3】已知，是关于的一元二次方程的两个不相等的实根，且满足，则的值是( )A．2 B．3 C．2或3 D．－2或－3【易错分析】根据根与系数的关系，结合列出关于的方程，解出的值后，忽略了Δ＞0时的范围．【答案】B【详解】解得：因为方程有两个不相等的实根，综上，1．关于x的一元二次方程x2+8x+q=0有两个不相等的实数根，则q的取值范围是( )A．q<16 B．q>16 C．q≤4 D．q≥4【答案】A【解析】∵关于x的一元二次方程x2+8x+q=0有两个不相等的实数根，∴△>0，即82-4q>0，∴q<16，2．已知m、n、4分别是等腰三角形(非等边三角形)三边的长，且m、n是关于x的一元二次方程﹣6+k+2=0的两个根，则k的值等于( )A．7 B．7或6 C．6或﹣7 D．6【答案】B【解析】当m=4或n=4时，即x=4，∴方程为42﹣6×4+k+2=0，解得：k=6；当m=n时，﹣6+k+2=0∵，，，∴，解得：，综上所述，k的值等于6或7，3．设a、b是两个整数，若定义一种运算“△”，a△b＝a2＋b2＋ab，则方程（x＋2）△x＝4的实数根是（ ）A．x1＝x2＝1 B．x1＝0，x2＝1C．x1＝x2＝－1 D．x1＝0，x2＝－2【答案】D【解析】∵a△b＝a2+b2+ab，∴（x+2）△x＝（x+2）2+x2+x（x+2）＝4，整理得：x2+2x＝0，即x（x+2）＝0，解得：x1＝0，x2＝﹣2，4．已知：x1，x2是方程2x2＋x－2＝0的两实根，则x12＋x22的值为（ ）A． B． C．1 D．9【答案】B【解析】∵、是方程的两个根，运用韦达定理，其中二次项系数a=2，一次项系数，常数项c=-2，∴，，又∵，将、的值代入，∴，5．已知关于的方程的一个解为，则它的另一个解是__________．【答案】【解析】将x＝代入关于x的方程，得：4－6－m＝0，解得：m＝，设方程的另一个根为a，则＋a＝ 3，解得：a＝ 1，6．解方程：（1）（用配方法）；（2）（用公式法）．【解析】（1）∵，∴，∴，∴，∴解得，（2）化简方程得，，∴∴，，∴∴∴解得，.7．关于x的方程x2﹣2（k﹣1）x+k2＝0有两个实数根x1、x2．（1）求k的取值范围；（2）若x1+x2＝1﹣x1x2，求k的值．【答案】（1）；（2）【解析】(1)∵Δ＝4(k－1)2－4k2≥0，∴－8k＋4≥0，∴k≤；(2)∵x1＋x2＝2(k－1)，x1x2＝k2，∴2(k－1)＝1－k2，∴k1＝1，k2＝－3.∵k≤，∴k＝－3..1．解方程最适当的方法是（ ）A．直接开平方法 B．配方法 C．因式分解法 D．公式法【答案】C【解析】先移项得到，然后利用因式分解法解方程．2．已知 (均为常数，且)，则一元二次方程根的情况是（ ）A．有两个不相等的实数根 B．有两个实数根C．有两个相等的实数根 D．无实数根【答案】B【解析】∵，∴△=2-4c=2-4=∴一元二次方程根的情况是有两个实数根．3．如果关于x的一元二次方程kx2﹣4x-1=0有实数根，那么k应满足的条件是（ ）A．k＞-4 B．且C．且 D．k≤1【答案】B【解析】关于的一元二次方程有实数根，且△解得：且．4．已知矩形的长和宽是方程的两个实数根，则矩形的对角线的长为（ ）A． B．C． D．【答案】D【解析】设矩形的长和宽分别为a、b，∵矩形的长和宽是方程的两个实数根，∴a+b=7，ab=8，∴矩形的对角线长为：．5．定义运算：a*b＝2ab，若a、b是方程x2+x﹣m＝0（m＞0）的两个根，则（a+1）*b+2a的值为（ ）A．m B．2﹣2mC．2m﹣2 D．﹣2m﹣2【答案】D【解析】∵a、b是方程x2+x﹣m＝0（m＞0）的两个根，∴由根与系数的关系得：a+b＝﹣1，ab＝﹣m，∴（a+1）*b+2a＝2（a+1）b+2a＝2ab+2b+2a＝2ab+2（a+b）＝2×（﹣m）+2×（﹣1）6．若关于x的一元二次方程的两根是，则的值为( )A． B． C． D．【答案】A【解析】由题意可得：，则7．已知是方程的两个实数根，则式子的值为________．【答案】4【解析】∵m、n是方程的两个实数根，∴，，∴，∴，8．小明同学在解一元次方程时，他是这样做的：解一元二次方程解： ...第一步 ...第二步 ...第三步 ...第四步小明的解法从第几步开始出现错误，请你写出正确的求解过程．【解析】第一步开始错误，，．9．已知关于x的一元二次方程（1）求证：无论实数 m 取何值，方程总有两个实数根；（2）若方程有一个根的平方等于 9，求m的值．【解析】（1）证明：∵△＝[﹣（m+3）]2﹣4（m+2）＝（m+1）2≥0，∴无论实数 m 取何值，方程总有两个实数根；（2）解：∵方程有一个根的平方等于 9，∴x＝±3，当 x＝3 时，m＝1；当 x＝﹣3时， m＝﹣5．综上所述，m 的值为 1 或﹣5．10．计算：（1）（2－1）2－（＋）（－）（2）（x＋1）2＝6x＋6【解析】（1）原式=12－4+1－（＋）（－）=13－4－2（＋）（－）=13－4－2（3－2）=13－4－2=11－4；（2）（x＋1）2＝6x＋6x2+2x+1＝6x＋6x2-4x-5＝0（x-5）（x+1）=0x1=-1，x2=5．
