21.2.2 公式法 课件(共31张PPT) 人教版数学九年级上册

(共31张PPT)
21.2 解一元二次方程
第二十一章 一元二次方程
21.2.2 公式法
复习引入
解：方程整理得
配方得
开平方得
解得
1. 如何用配方法解方程 2x2 + 4x - 1 = 0
想一想 任何一个一元二次方程都可以写成一般形式
ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0).
能否也用配方法得出它的解呢？
合作探究
用配方法解一般形式一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0).
方程两边都除以 a，得
解：移项，得
配方，得
即
问题：对于方程①接下来能用直接开平方解吗？
求根公式的推导
∵ a≠0，∴ 4a2 > 0.
而 b2－4ac 的符号有以下三种情况：
（1）b2－4ac ＞0，
这时 ＞0，由①得
则方程有两个不相等的实数根
（2）b2 - 4ac = 0，
这时 = 0，由①可知，方程有两个相等的实数根 x1 = x2 = - .
（3）b2 - 4ac ＜0，
这时 ＜0，由①可知 ＜0，而 x 取任何实数都不能使 ＜0，因此方程无实数根.
两个不相等的实数根
两个相等的实数根
没有实数根
两个实数根
判别式的情况
根的情况
我们把 b2 4ac 叫做一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 根的判别式，通常用希腊字母“Δ”表示，即 Δ = b2 4ac.
Δ > 0
Δ = 0
Δ < 0
Δ≥0
一元二次方程根的判别式
按要求完成下列表格：
练一练
的值
0
4
根的 情况
有两个相等的实数根
没有实数根
有两个不相等的实数根
Δ
例1 已知一元二次方程 x2 + x = 1，下列判断正确的是( )
A. 该方程有两个相等的实数根
B. 该方程有两个不相等的实数根
C. 该方程无实数根
D. 该方程根的情况不确定
解析：原方程即 x2 + x 1 = 0，a = 1，b = 1，c = 1，
∵ Δ = b2 4ac = 12 4×1×( 1) = 5＞0，
∴ 该方程有两个不等的实数根，故选 B.
B
典例精析
例2 不解方程，判断下列方程的根的情况：
（1）3x2 + 4x 3 = 0； （2）4x2 = 12x 9；
解：（1）a = 3，b = 4，c = 3，
∴ Δ = b2 4ac = 42 4×3×( 3) = 52＞0.
∴ 方程有两个不相等的实数根．
（2）方程化为 4x2 12x + 9 = 0，a = 4，b = 12，c = 9，
∴ Δ = b2 4ac = ( 12)2 4×4×9 = 0.
∴ 方程有两个相等的实数根．
（3）7y = 5( y2 + 1 ).
解：方程化为 5y2 7y + 5 = 0，a = 5，b = 7，c = 5，
∴ Δ = b2－4ac = ( 7)2－4×5×5 = 51＜0.
∴ 方程没有实数根．
方法归纳
判断一元二次方程根的情况的方法：
将方程整理为一般形式
ax2+bx+c=0
Δ = b2 4ac > 0
Δ = b2 4ac = 0
Δ = b2 4ac < 0
有两个不等的实数根
有两个相等的实数根
没有实数根
例3 若关于 x 的一元二次方程 x2 + 8x + q = 0 有两个不等的实数根，则 q 的取值范围是 ( )
A. q≤4 B. q≥4
C. q＜16 D. q＞16
C
解析：方程有两个不等的实数根，根据根的判别式，则 Δ = b2 4ac＞0，即 82 4q＞0. 解得 q＜16，故选 C.
典例精析
【变式题】二次项系数含字母
若关于 x 的一元二次方程 kx2 2x 1 = 0 有两个不等的实数根，则 k 的取值范围是 ( )
A. k > 1 B. k > 1 且 k≠0
C. k < 1 D. k < 1 且 k≠0
B
(-2)2 + 4k > 0
当一元二次方程二次项系数是字母时，一定要注意二次项系数不为 0，再根据“Δ”求字母的取值范围.
归纳
方程有两个不等的实数根
分析：
二次项系数不为 0
k≠0
k > 1 且 k≠0
【变式题】删除限制条件“二次”
若关于 x 的方程 kx2 2x 1 = 0 有实数根，则 k 的取值范围是( )
A. k≥ 1 B. k≥ 1且 k≠0
C. k < 1 D. k < 1 且 k≠0
分析：
分类讨论
k = 0
k≠0
原方程变形为 2x 1 = 0，有实数根
Δ = 4 + 4k≥0
k≥ 1
A
由上可知，当 Δ≥0 时，方程 ax2 + bx + c = 0 (a≠0)的实数根可写为 的形式，这个式子叫做一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 的求根公式.
注意：用公式法解一元二次方程时，首先要将方程化为一般式，然后当 Δ = b2 - 4ac≥0 时，才可以用求根公式.
用求根公式解一元二次方程的方法叫做公式法.
用公式法解方程
视频：求根公式的趣味记忆
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例4 用公式法解下列方程：
典例精析
(1) x2 4x 7 = 0；
方程有两个不等的实数根
解：a = 1，b = 4，c = 7.
Δ = b2－4ac = ( 4)2－4×1×( 7) = 44＞0.
即
方程有两个相等的实数根
x1 = x2
(2) 2x2 x + 1 = 0；
解：a = 2，b = ，c = 1.
Δ = b2－4ac = ( )2－4×2×1 = 0.
(3) 5x2－3x = x + 1；
方程有两个不等的实数根
即
a = 5，b = －4，c = －1.
Δ = b2－4ac = (－4)2－4×5×(－1) = 36＞0.
解：方程化为 5x2－4x－1 = 0.
(4) x2 + 17 = 8x.
方程没有实数根.
a = 1，b = 8，c = 17.
Δ = b2 4ac = ( 8)2 4×1×17 = 4＜0.
解：方程化为 x2－8x + 17 = 0.
要点归纳
公式法解方程的步骤
1. 变形：化已知方程为一般形式；
2. 确定系数：用 a，b，c 写出各项系数；
3. 计算：b2 4ac 的值；
4. 判断：若 Δ = b2 4ac≥0，则利用求根公式求出；
若 b2 4ac＜0，则方程没有实数根.
1. 不解方程，判断下列方程的根的情况：
（1）2x2 + 3x 4 = 0； （2）x2 x + = 0；
解：（1）a = 2，b = 3，c = 4，
∴ Δ = b2 4ac = 32 4×2×( 4) = 41＞0.
∴ 方程有两个不等的实数根．
（2）a = 1，b = 1，c = ，
∴ Δ = b2 4ac = ( 1)2 4×1× = 0.
∴ 方程有两个相等的实数根．
解：x2 x + 1 = 0，a = 1，b = 1，c = 1，
∴ Δ = b2 4ac = ( 1)2 4×1×1 = 3 < 0.
∴ 方程无实数根．
（3） x2 x + 1 = 0.
2. 解方程：x2 + 7x – 18 = 0.
解：a = 1，b = 7，c = 18，
∴ Δ = b2 - 4ac = 72 – 4×1×( 18 ) = 121 > 0，
即 x1 = 9， x2 = 2 .
3. 解方程：(x - 2) (1 - 3x) = 6.
解：去括号，得 x - 2 - 3x2 + 6x = 6，
化为一般式，得 3x2 - 7x + 8 = 0，
a = 3，b = -7，c = 8，
∴ Δ = b2 - 4ac = (-7 )2 – 4×3×8 = 49–96
= - 47 < 0，
∴ 原方程没有实数根.
4. 解方程：2x2 - x + 3 = 0.
解： a = 2，b = ，c = 3 .
∴ Δ = b2 - 4ac = 27 - 4×2×3 = 3 > 0 ，
5. (1) 关于 x 的一元二次方程 有两个实根，则 m 的取值范围是 .
(2) 若关于 x 的一元二次方程 (m 1)x2 2mx + m = 2 有实数根．求 m 的取值范围.
解：化为一般式，得 (m 1)x2 2mx + m 2 = 0．
Δ = 4m2 4(m 1)(m 2)≥0，且 m 1≠0.
解得
且 m≠1.
6. 不解方程，判断关于 x 的方程
的根的情况.
解：
∴ 原方程有两个实数根．
Δ ＝( k )2 4×1×k2 = 4k2.
∵ k2≥0，
∴ 4k2≥0，
即 Δ≥0.
能力提升：在等腰△ABC 中，三边长分别为 a，b，c，其中 a = 5，若关于 x 的方程 x2 + (b + 2)x + 6 - b = 0 有两个相等的实数根，求△ABC 的周长.
解：∵关于 x 的方程 x2 + (b + 2)x + 6 b = 0 有两个相等的实数根，
∴ Δ = (b + 2)2 4(6 b) = b2 + 8b 20 = 0.
解得 b1= 10（舍去），b2 = 2.
由三角形的三边关系，得 c = 5，
∴△ABC 的三边长为 5，2，5，其周长为 5 + 2 + 5 = 12.
公式法
求根公式
步骤
一化（一般形式）；
二定（系数值）；
三求（求 b2 - 4ac 的值）；
四判（方程根的情况）；
五代（代求根公式计算）
务必将方程
化为一般形式
判断一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0)根情况的方法：
Δ =b2 4ac > 0
Δ =b2 4ac = 0
Δ =b2 4ac＜ 0
有两个不等的实数根
有两个相等的实数根
没有实数根