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21.2 解一元二次方程
第二十一章 一元二次方程
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课堂小结
21.2.3 因式分解法
我们经常看到大学毕业的学生，穿着学士服，将学士帽高高抛起的样子，那么抛起的学士帽什么时候落下，什么时候抬头接才不会被砸到呢？一起看看吧！
情境引入
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因式分解法解一元二次方程
引例：根据物理学规律，如果把一个物体从地面以 10 m/s 的速度竖直上抛，那么物体经过 x s 离地面的高度 (单位：m)为 10x - 4.9x2. 根据上述规律，物体经过多少秒落回地面(结果保留小数点后两位)
分析：设物体经过 x s 落回地面，这时它离地面的高度为 0 m，即
10x - 4.9x2 = 0. ①
解：
解：
a = 4.9，b = -10，c = 0.
∴ Δ = b2－4ac
= (-10)2 - 4×4.9×0 = 100.
公式法解方程10x - 4.9x2 = 0.
配方法解方程 10x - 4.9x2 = 0.
4.9x2 - 10x = 0.
因式分解
如果 a · b = 0，
那么 a = 0 或 b = 0.
两个因式乘积为 0，说明什么？
或 10 - 4.9x = 0
降次，化为两个一次方程
解两个一次方程，得出原方程的根
这种解法是不是很简单？
10x - 4.9x2 = 0 ①
x(10 - 4.9x) = 0 ②
x = 0，
思考2 解方程①时，二次方程是如何降为一次的？
思考1 除上述方法以外，有更简单的方法解方程①吗？
使方程化为两个一次式的乘积等于 0 的形式，再使这两个一次式分别等于 0，从而实现降次. 这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法.
要点归纳
因式分解法的概念
因式分解法的基本步骤
一移——使方程的右边为 0；
二分——将方程的左边因式分解；
三化——将方程化为两个一元一次方程；
四解——写出方程的两个解.
简记歌诀：
右化零，左分解；
两因式，各求解.
试一试：下列各方程的根分别是多少？
(1) x(x - 2) = 0；
解：(1) x1 = 0，x2 = 2.
(2) (y + 2)(y - 3) = 0；
(2) y1 = -2，y2 = 3.
(3) (3x + 6)(2x - 4) = 0；
(3) x1 = -2，x2 = 2.
(4) x2 = x.
(4) x1 = 0，x2 = 1.
例1 解下列方程：
解：(1)因式分解，得
∴ x - 2 = 0，或 x＋1 = 0.
解得 x1 = 2，x2 = -1.
(2) 移项、合并同类项，得
因式分解，得
(2x＋1)(2x - 1) = 0.
解得
∴ 2x＋1 = 0，或 2x - 1 = 0.
(x - 2)(x＋1) = 0.
典例精析
练一练 解下列方程：
(1) (x + 1)2 = 5x + 5；
即 x1 = 1，x2 = 4．
(2) x2 6x + 9 = (5 2x)2．
解：∵ (x + 1)2 = 5(x + 1)，
∴ (x + 1)2 - 5(x + 1) = 0.
则 (x + 1)(x 4) = 0.
∴ x + 1 = 0，或 x 4 = 0，
解：方程整理得
(x 3)2 (5 2x)2 = 0，则
[(x 3)+(5 2x)][(x 3) (5 2x)]=0，
∴ 2 x = 0，或 3x 8 = 0，
即 x1 = 2，x2 = .
即 (2 x)(3x 8) = 0.
十字相乘法
拓展提升
(x + a)(x + b) = x2 + (a + b)x + ab (a，b 均为常数)
两个一次二项式相乘的积
一个二次三项式
整式的乘法
反过来，得
x2 + (a + b)x + ab = (x + a)(x + b)
一个二次三项式
两个一次二项式相乘的积
因式分解
如果二次三项式 x2 + px + q 中的常数项 q 能分解成两个因数 a、b 的积，而且一次项系数 p 又恰好是 a + b，那么 x2 + px + q 就可以用如上的方法进行因式分解.
步骤：
①竖分二次项与常数项
②交叉相乘，积相加
③检验确定，横写因式
简记口诀：首尾分解，交叉相乘，求和凑中.
试一试 解方程：x2 + 6x - 7 = 0.
解：因式分解得
(x + 7)(x 1) = 0.
∴ x + 7 = 0，
或 x 1 = 0.
∴ x1= 7，
x2 = 1.
·
×
练一练 解下列方程：
(1) x2 5x + 6 = 0；
解：分解因式，得
(x 2)(x 3) = 0，
(2) x2 + 4x 5 = 0；
解：分解因式，得
(x + 5)(x 1) = 0，
解得 x1 = 2，x2 = 3.
解得 x1 = 5，x2 = 1．
·
×
·
×
(3) (x + 3)(x 1) = 5；
解：整理得 x2 + 2x 8 = 0，
(4) 2x2 7x + 3 = 0.
解：分解因式，得
(2x 1)(x 3) = 0，
解得 x1 = 4，x2 = 2.
分解因式，得
(x + 4)(x 2) = 0，
解得 x1 = ，x2 = 3.
例2 用适当的方法解方程：
(1) 3x(x + 5) = 5(x + 5)； (2) (5x + 1)2 = 1；
分析：该式左右两边含公因式，
所以用因式分解法解答较快.
解：变形得 (3x - 5)(x + 5) = 0.
即 3x - 5 = 0，或 x + 5 = 0.
解得
分析：方程一边以平方形式出现，另一边是常数，可用直接开平方法.
解：开平方，得
5x + 1 = ±1.
解得 x1 = 0，x2 =
灵活选用适当的方法解方程
(3) x2 - 12x = 4； (4) 3x2 = 4x + 1.
分析：二次项系数为 1，可用配方法解较快.
解：配方，得
x2 - 12x + 62 = 4 + 62，
即 (x - 6)2 = 40.
开平方，得
解得 x1 = ，
x2 =
分析：二次项系数不为 1，且不能直接开平方，也不能直接分解因式，可用公式法.
解：整理成一般形式，得
3x2 - 4x - 1 = 0.
∵ Δ = b2 - 4ac = 28 > 0，
1. 一般地，当一次项系数为 0 时 (ax2 + c = 0)，应选用直接开平方法；
2. 若常数项为 0 (ax2 + bx = 0)，应选用因式分解法；
3. 化为一般式 (ax2 + bx + c = 0) 后，若一次项系数和常数项都不为 0，先看左边是否容易因式分解，若容易，宜选用因式分解法，否则就选用公式法或配方法：此时若二次项系数为 1，且一次项系数为偶数，则可选用配方法；否则可选公式法. 系数含根式时也可选公式法.
要点归纳
一元二次方程的解法选择基本思路
填一填：一元二次方程的各种解法及适用类型.
拓展提升
一元二次方程的解法 适用的方程类型
直接开平方法
配方法
公式法
因式分解
x2 + px + q = 0 ( p2 - 4q≥0)
(ax + m)2 = n (a ≠ 0，n≥0)
ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0，b2 - 4ac≥0)
(ax + m)(bx + n) = 0 (ab ≠ 0)
1. 填空：
① x2 - 3x + 1 = 0； ② 3x2 - 1 = 0； ③ -3t2 + t = 0；
④ x2 - 4x = 2； ⑤ 2x2 = x； ⑥ 5(m + 2)2 = 8；
⑦ 3y2 - y - 1 = 0； ⑧ 2x2 + 4x = 1； ⑨ (x - 2)2 = 2(x - 2).
最适合运用直接开平方法： ；
最适合运用因式分解法： ；
最适合运用公式法： ；
最适合运用配方法： .
⑥
①
③
⑤
⑦
⑧
⑨
②
④
2. 解方程：x2 - 3x - 10 = 18. 下面的解法正确吗？如果不正确，错误在哪？并请改正过来.
解：原方程化为 (x - 5)(x + 2) = 18. ①
由 x - 5 = 3，得 x = 8； ②
由 x + 2 = 6，得 x = 4. ③
∴ 原方程的解为 x1 = 8 或 x2 = 4. ④
3. 解方程 x(x + 1) = 2 时，要先把方程化为 ；
再选择适当的方法求解，解得 x1 = ，x2 = .
x2 + x - 2 = 0
-2
1
解：原方程化为
x2 - 3x - 28 = 0，
(x - 7)(x + 4) = 0，
x1 = 7，x2 = -4.
解：化为一般式为
因式分解，得
x2 - 2x + 1 = 0.
(x - 1)2 = 0.
∴ x - 1 = 0.
解得 x1 = x2 = 1.
解：因式分解，得
(2x + 11)( 2x - 11) = 0.
∴ 2x + 11 = 0 或 2x - 11 = 0.
4. 解方程：
解得
(4) x2 + 4x 2 = 2x + 3；
(3) 2x2 5x +1 = 0；
解：a = 2，b = 5，c = 1.
∴ Δ = ( 5)2 4×2×1=17.
解：整理，得 x2 + 2x = 5，
∴ x2 + 2x + 1 = 5 + 1，
即 (x + 1)2 = 6.
(5)(3m + 2)2 7(3m + 2) + 10 = 0．
解法一：
解：方程整理得m2 - m = 0.
分解因式，得m(m - 1) = 0.
解得 m1 = 0，m2 = 1.
解法二：
解：分解因式，得
(3m + 2 - 2)(3m + 2 - 5) = 0.
∴ 3m + 2 - 2 = 0，
或 3m + 2 - 5 = 0，
解得 m1 = 0，m2 = 1.
将 (3m + 2) 看作一个整体，进行因式分解
5. 把小圆形场地的半径增加 5 m 得到大圆形场地，场地面积增加了一倍，求小圆形场地的半径．
解：设小圆形场地的半径为 r，
根据题意得 π(r + 5)2 = 2πr2.
因式分解，得
于是得
答：小圆形场地的半径是
解得 (舍去).
挑战自我
(2) 一个三角形的两边长分别为 3 和 5，其第三边是方程 x2 13x + 40 = 0 的根，则此三角形的周长为_____；
(1) 已知三角形的两边长为 4 和 5，第三边的长是方程
x2 5x + 6 = 0 的根，则此三角形的周长是_________；
(3) 已知等腰三角形的腰长、底边长分别是一元二次方程 x2 7x + 10 = 0 的两根，则该等腰三角形的周长是______.
11 或 12
13
12
与三角形结合时，要考虑三角形的三边关系！
因式分解法
形式
步骤
简记歌诀：
右化零，左分解；两因式，各求解
如果 a · b = 0，那么 a = 0 或 b = 0
原理
将方程左边因式分解，使右边为 0
因式分解的常见方法有
ma + mb = m(a + b)；
a2±2ab + b2 = (a±b)2；
a2 - b2 = (a + b)(a - b).
